UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
PROJETO A VEZ DO MESTRE
AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E SUA IMPORTÂNCIA PARA O
CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Por: Maria das Graças de Mattos
Orientador
Prof. Ms. Carlos Alberto Cereja de Barros
Rio de Janeiro
2004
2
UNIVERSIDADE CANDIDO MENDES
PÓS-GRADUAÇÃO “LATO SENSU”
PROJETO A VEZ DO MESTRE
AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS E SUA IMPORTÃNCIA PARA O
CONHECIMENTO MATEMÁTICO
Apresentação de monografia à Universidade Candido
Mendes como condição prévia para a conclusão do
Curso de Pós Graduação “Lato Sensu” em Docência
do Ensino Superior.
Por: Maria das Graças de Mattos
3
AGRADECIMENTOS
Agradeço , sobretudo a Deus, a quem
dedico toda a honra.
Agradeço
sinceramente ao professor Carlos Cereja
pela paciência e esforço em nos mostrar
como devemos pôr em prática nosso
pensamento. Este trabalho foi executado
porque ele o permitiu orientando- me e
conduzindo-me.
4
DEDICATÓRIA
Algumas pessoas marcam a nossa vida
para sempre, umas porque nos ajudam
na
construção , outras
apresentam projetos e
porque nos
porque
outras
nos
ainda
desafiam a construí-los.
Quando nos damos conta, são tantas
pessoas
a
agradecer !
Dedico este
trabalho a todas as pessoas que, de
alguma forma contribuíram para o seu
desenvolvimento e conclusão. Dedico
principalmente a minha família , pela
compreensão , apoio e incentivo para
superar as dificuldades encontradas ao
longo do curso e alcançar este objetivo. A
felicidade desta conquista portanto, é
nossa.
5
“Os caminhos da libertação são os do
oprimido que se libera; ele não é coisa
que se resgata, é sujeito que se deve
autoconfigurar responsavelmente.”
Paulo Freire
6
RESUMO
Pesquisa-se o papel e a importância das equações algébricas em
relação ao conhecimento matemático em geral e à álgebra, em particular,
com uma exposição inicial sobre o que é a álgebra e qual o percurso
histórico, para em seguida discutir mais detalhadamente as equações
algébricas. Neste ponto, são consideradas as raízes e os graus das
equações algébricas, identificando-se o Teorema Fundamental da Álgebra,
o Teorema da Decomposição e as operações referentes à multiplicidade de
uma raiz, que podem se apresentar como raízes racionais com coeficientes
inteiros ou raízes complexas com coeficientes reais, finalizando-se esta
exposição mais específica com a apresentação das Relações de Girard.
Esboçadas estas considerações, discute-se a questão das equações
algébricas em seu nível didático, ou pedagógico, mediante a verificação dos
conteúdos de álgebra no atual ensino de matemática.
7
METODOLOGIA
A Metodologia utilizada para a realização deste projeto foi uma
profunda pesquisa em livros de natureza científica e livros didáticos, já que
os trabalhos escritos sobre matemática e a álgebra em particular
permanecem restritos às publicações didáticas.Isto nos permitiu uma ampla
coleta de dados e informações que nos levaram a uma profunda análise
sobre o tema escolhido.
8
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO
9
CAPÍTULO I
A ÁLGEBRA NO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
12
CAPÍTULO II
A NATUREZA MATEMÁTICA DA ÁLGEBRA E SUA APLICAÇÃO
23
CAPÍTULO III
FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA
29
CAPÍTULO IV
A ÁLGEBRA NO ATUAL ENSINO DE MATEMÁTICA
39
CONCLUSÃO
43
ANEXO
46
BIBLIOGRAFIA
49
ÍNDICE
50
FOLHA DE AVALIAÇÃO
52
9
INTRODUÇÃO
A pesquisa ora iniciada focaliza o estudo das equações algébricas,
situando-se a Álgebra como um campo de notável destaque, ante o
conhecimento matemático como um todo. A demonstração das equações
algébricas constitui um dos pontos mais complexos do atual currículo de
Matemática, nos ensinos fundamental e médio e seu tratamento didático
nem sempre se revela estimulante o suficiente para motivar os alunos a
superar
as
dificuldades
normalmente
encontradas
no
decorrer
da
aprendizagem desta disciplina.
Deduz, então, que o cerne do problema poderia estar não exatamente
na aprendizagem, mas, provavelmente, no processo de ensino comumente
realizado, sendo necessário repensar o tratamento didático dado à Álgebra e
as estratégias motivacionais a ela relacionadas. Parte-se, portanto, da
exposição conceitual para os aspectos práticos das equações algébricas,
desdobrando-se a discussão a partir da análise dos itens gerais do Teorema
Fundamental da Álgebra e as propriedades algébricas das raízes.
A pesquisa tem como objetivo geral analisar e discutir a importância
da Álgebra no atual ensino de Matemática, considerando-se a aplicabilidade
desta disciplina ante as competências e habilidades necessárias para o
educando se profissionalizar e se inserir na sociedade atual. Como objetivos
específicos, a pesquisa pretende verificar se o ensino de álgebra se mantém
imóvel ou se ocorrem modificações significativas, especialmente no tocante
ao tratamento didático deste campo do conhecimento matemático.
Deve-se ressaltar a importância da prática de exercícios algébricos
em relação ao desenvolvimento cognitivo dos alunos, sobretudo quanto ao
10
raciocínio lógico e a capacidade de indução e dedução, uma vez que a
álgebra é tradicionalmente “a arte dos raciocínios perfeitos”. Situada a
questão também sob oeste aspecto, deve-se considerar com mais exatidão
o que é Álgebra, como se enquadra no contexto geral da Matemática e quais
os seus desdobramentos, bem como suas possíveis aplicações práticas.
O desenvolvimento desta pesquisa se justifica, sobretudo, pela
crescente necessidade de se analisar a pertinência dos conhecimentos
disciplinares e seus conteúdos ante as atuais expectativas do sistema de
ensino brasileiro, expressas nas concepções construtivistas e sóciointeracionalistas que norteiam as abordagens educacionais do presente.
Definida geralmente como a parte da Matemática que estuda as leis gerais
da quantidade e suas implicações, a Álgebra situa-se mais propriamente
como a “ciência do cálculo das grandezas abstratas”, as quais são
representadas por letras.
Por isso são geralmente associadas à Álgebra sa noções de cálculo e
de incógnita, sendo bastante oportunas algumas considerações históricas
sobre o percurso da Álgebra desde os árabes até os dias atuais. Após estas
considerações, terá lugar uma exposição mais específica sobre o conteúdo
geral da Álgebra, apresentando-se as equações algébricas e seu enfoque
didático, ou pedagógico, conforme as orientações atualmente propostas pelo
sistema de ensino para o trabalho com a Álgebra, no contexto geral do
conhecimento matemático.
A metodologia empregada para a realização desta abordagem é a
pesquisa bibliográfica, recorrendo-se, portanto, apenas ás fontes escritas
sobre o tema em exame. Em geral, os trabalhos escritos sobre Matemática
geral, e sobre a Álgebra em particular, permanecem restritos às publicações
didáticas. Só mais recentemente se desenvolveram estudos ou pesquisas
orientadas numa reflexão de caráter mais conceitual ou filosófica a respeito
do tema, embora as bases do conhecimento algébrico remontem há cerca
11
de dois mil anos e permanecem mais ou menos inalteráveis. As mudanças
ocorreram em termos de metodologia de ensino e de enfoque do conteúdo,
adequando os antiqüíssimos postulados fundamentais da Álgebra a
questões ou problemas da atualidade. Por outro lado, há bastante tempo
vêm sendo desenvolvidos estudos de caráter histórico sobre os diversos
campos da Matemática, inclusive a Álgebra , os quais servirão como
referencial teórico à presente pesquisa.
Uma obra de grande importância é A Magia dos Números, de Paul
Karlson, e a História da Matemática, de Carl L. Boyer,
o primeiro
remontando aos anos 40 e, o segundo, ao final dos anos 60. Ambos
oferecem valiosos subsídios históricos para o desenvolvimento dos objetivos
propostos nesta pesquisa. Os apontamentos específicos de conteúdos
algébricos são apresentados com base na vasta abordagem de Antonio
Marmo de Oliveira e Agostinho Silva, no setor de Álgebra de sua Biblioteca
de Matemática Moderna, em cinco volumes, editados em fins dos anos 60.
Finalmente, as considerações de ordem didática resultam da análise
do terceiro volume dos Parâmetros Curriculares Nacionais, onde se
encontrará extensa abordagem sobre o atual enfoque da Matemática, seu
tratamento didático, aplicabilidade e relacionamento interdisciplinar. Será
mais especificamente nesta etapa da pesquisa que serão consideradas as
expectativas sócio-culturais referentes ao ensino de Matemática e sua
importância para as tecnologias digitais, que são a base dos processos
produtivos e informacionais da atualidade. O enfoque ora proposto deve,
portanto, conciliar os conteúdos tradicionais com a nova dinâmica da
sociedade tecnológica, cuja base é essencialmente matemática, para a
inserção do educando no mercado de trabalho e na sociedade cada vez
mais competitiva e globalizada.
12
CAPÍTULO I
Álgebra no Conhecimento Matemático
“A essência da Matemática é a”.
liberdade."
Leopold Kronecker
13
O QUE É A ÁLGEBRA?
Fornece-se neste capítulo as informações preliminares necessárias à
compreensão básica da Álgebra e seu enquadramento dentro do
conhecimento matemático, traçando-se, também, uma exposição geral
sobre o percurso histórico deste campo de Matemática.
1.1- Considerações Preliminares
Define-se modernamente a Álgebra como sendo a parte da
Matemática que estuda as chamadas “funções algébricas”, isto é, as
relações
que
encerram
combinações
das
operações
matemáticas
fundamentais. A particularidade mais notável da Álgebra é a utilização de
sinais e caracteres alfabéticos, juntamente com os números, para formar a
expressão algébrica.
Os sinais são:
• Mais (+), para indicar a operação de adição
• Menos (-), para a subtração
• Os sinais (x) ou(.) para a multiplicação
• Os sinais (÷) ou (:) para a divisão
Existem ainda os sinais de radiciação(√) que, juntamente com os
anteriores, foram criados por Stifel e o de igualdade(=), adotado por Record.
Viète introduziu os sinais de (>) e menor (<) e René Descartes definiu de
uma vez por todas a notação exponencial (Descartes, 1983, p.91).
Juntamente com os anteriores, integram o conjunto geral de sinais utilizados
nas operações envolvendo números e letras.
14
O termo Expressão Algébrica é largamente empregado em Álgebra e
se refere a um conjunto de letras representando os números, ligados
através de sinais, como em 3 a²+4bc , em que o número escrito à esquerda
é chamado de “coeficiente algébrico” e o restante é a “parte literal”.
Assim sendo, em 4bc, número 4 é o coeficiente e bc é a parte literal.
Cada grupo que não apresenta o sinal de adição ou subtração separando
seus elementos, constitui um termo da expressão algébrica, de modo que
em 7x³+4y²+3z, tem-se três termos. A expressão algébrica receberá
diferentes designações, conforme apresentam um, dois ou três termos. A
expressão algébrica receberá diferentes designações, conforme o número
de termos que apresentar, podendo ser monômio, binômio, trinômio,
conforme apresentam um, dois ou três termos. Possuindo mais de três
termos, a equação algébrica é genericamente designada como polinômios.
O campo de aplicação da Álgebra é vastíssimo e se faz presente em
quase todas as partes da ciência, bem como nos cálculos de todos os
campos da Matemática (geometria, mecânica, teoria das funções, lógica). A
chamada “Álgebra Moderna” muito se desenvolveu graças às pesquisas
envolvendo a resolução de equações algébricas.
1.2- Percurso Histórico
A palavra álgebra é de origem árabe, porém os métodos algébricos
são bem anteriores à civilização árabe. Os babilônios resolviam problemas
de segundo grau e empregavam para seus cálculos a numeração de
posição com base 60, desde o segundo milênio antes de Cristo. As
possibilidades são limitadas apenas pelas imperfeições peculiares deste
15
sistema numérico, que não chegam a ser maiores do que as imperfeições da
numeração decimal.
Os chineses dispunham de uma técnica semelhante ao cálculo dos
determinantes desde o século II a.C. para os problemas de primeiro grau
com várias incógnitas, mas só calculavam com números inteiros racionais ou
fracionários, empregando tanto os números negativos como os positivos. Os
hindus tiveram a Ariabata seu maior algebrista, introdutor de regras para a
extração de raízes quadradas e cúbicas, além da resolução de equações de
primeiro e segundo graus.
O mais antigo tratado algébrico surgido no Ocidente é o Diofanto de
Alexandria (séc.IV d.C.), quando a Álgebra se tornou um campo de
conhecimento independente e com rigor científico. Ao discorrer sobre as
origens da Álgebra, tal como esta se apresenta atualmente, sobressai-se à
figura quase que lendária de Mohamed Ibn Musa Alchwarizmi, matemático e
astrônomo árabe do século VII, que foi autor de A Arte de Calcular . Dele
provêm os termos mais usados em Matemática, tais como “algarismo”,
“algoritmo” e “álgebra” , conforme informa o alemão Paul Karlson, historiador
da matemática:
“Granada, Sevilha, Córdoba - eis três grandes escolas
mouras. De Córdoba, Atelhart levou uma tradução de
Euclides, bem
importante
de
como uma cópia da obra mais
origem
genuinamente
árabe -
justamente a Arte de Calcular de Alchwarizmi. “Falou
Algoritmi. Rendamos graças merecidas a Deus, nosso
guia e defensor. ” Eis o que dizem as primeiras linhas
deste
manuscrito,
guardado
na
Cambridge. Algoritmi nada mais é
biblioteca
do
que
de
uma
corruptela o complicado nome árabe, Alchwarizmi (...)
‘Algoritmo’ é o primeiro nome que o sábio mulçumano
incorporou à nossa língua. Ele criou outro ainda, no
16
título de sua obra, para nós a mais importante,
Aldschebr Walmakabala, em português ‘Restauração
e confronto’. Esta palavra
Aldschebr
se
filiou,
estropiada, à nossa língua- é a nossa ‘álgebra’.
(Karlson, 1961, p.160)
Omar Khayánn, poeta e matemático persa, tornou-se famoso pelo seu
livro de poemas intitulado Rubayát, mas no campo da Matemática, foi o
primeiro a resolver de modo sistemático uma equação de segundo grau.
Durante a Idade Média, as notícias mais remotas sobre a álgebra na Europa
Ocidental remontam às tradições relativas a um papa que também foi
matemático. Silvestre II, cujo papado ocorreu entre 999 e 1003, foi sem
dúvida um dos mais brilhantes pontífices da História, sobretudo por ter sido
um ardoroso cultivador das ciências físicas e matemáticas, numa época em
que prevalecia o fanatismo religioso e a superstição. Não por acaso, este
papa chegou a ser acusado de pacto diabólicos, devido aos seus
extraordinários conhecimentos científicos.
A Álgebra chegou com vigor ao Ocidente , contudo, somente no
século XVI, no período denominado Renascimento, quando os algebristas
italianos Nicolo Tartaglia (1500-1557) e Geronimo Cardano (1501-1576)
resolveram equações de terceiro e quarto graus, ao mesmo tempo em que
Rafael Bombelli (1526-1573) criou uma primeira forma de números
complexos ou imaginários.
Essas descobertas começaram a ser difundidas quando Cardano
publicou uma importantíssima obra chamada Ars Magna, onde apresenta a
seguinte fórmula resolutiva para a equação x³+ ax +b=0 (Iezzi,[ ], p.[ ]):
____________
x=
√-
b +√ b² + a³
2
4
27
___________
√-
b + √ b² + a³
2
4
27
17
O filósofo e matemático francês René Descartes simplificou e
sistematizou o cálculo algébrico, aplicando-o a problemas geométricos e,
com isso, criou a Geometria Analítica, em 1637. Enunciou as principais
propriedades das equações algébricas no terceiro livro de sua Geometria,
estabelecendo o princípio segundo o qual ”(...) uma equação algébrica tem
tantas raízes quanto seu grau tem unidades ”( Descartes, 1983, p.71). Para
isso, porém, é preciso admitir a existência eventual de raízes múltiplas e,
sobretudo, admitir a realidade matemática das raízes “imaginárias”.
Somente no século XVIII é que os algebristas puderam determinar
mais precisamente estas novas noções. Jean d’ Alembert enunciou o
Teorema Fundamental da Álgebra, ou princípio de Descartes (1746),
satisfatoriamente demonstrado, mas submetida por Gauss a uma rigorosa
crítica, em 1788. Gauss demonstrou rigorosamente que toda equação
polinomial de grau n (maior ou igual a um), possui pelo menos uma raiz
complexa. O próprio Gauss chamou essa propriedade de Teorema
Fundamental da Álgebra (T.F.A.), decorrendo deste teorema que toda
equação polinomial de grau n ( ≥ a 1) possui n raízes complexas.
Juntamente com as diversas demonstrações de Gauss do Teorema
Fundamental, a demonstração de Legendre parece inspirada pela
representação dos
“números complexos”, elaborada por Argand. Tal
representação generaliza-se graças à dos quatérnions, criadas em 1843 por
Sir William R. Hamilton, quando surge a primeira Álgebra não-comunicativa.
A terminologia de Hamilton se impõe, devendo-se a ele termos como “vetor”,
“comutatividade” e “tensor”.
A teoria dos números, entretanto, conduz a Álgebra a novas
concepções, em função das pesquisas empreendidas por Krummer sobre “O
grande Teorema de Fermat”, também em 1843: conjectura ao cabo da qual
18
a equação x + y + z , só é possível em números inteiros para m = 1 e 2.
m
m
m
Estas pesquisas conduziram-no à nova noção de número ideal que culmina
na noção fundamental de ideal de anel, aperfeiçoada e sistematizada por
Dedekind, em 1871.
Todos estes trabalhos concorreram para o desenvolvimento da Teoria
dos Corpos de Números Algébricos, de Hilbert e a tradicional noção de
“grupo”, devida a Galois (1830), se aplica inicialmente aos conjuntos finitos,
como o das permutações entre as raízes de uma equação algébrica. Esta
adquire extensão considerável nos trabalhos de Jordan, enquanto Felix Klein
e Sophus Lie generalizaram-na para conjuntos infinitos e fizeram com que
desempenhasse papel fundamental: o primeiro na geometria elementar e, o
segundo, na teoria das equações de derivadas parciais.
O conceito de “espaço vetorial” liga-se, por sua vez, ao trabalho de
Hamilton, ao cálculo geométrico de Möbius (1827) e os sistemas hipercomplexos imaginados por Grassmann (1844). Se os determinantes são de
fato conhecidos desde o século XVIII como, por exemplo, os trabalhos de
Cramer sobre os sistemas de equações afins, seu estudo desenvolveu-se,
sobretudo no século XIV e só se tornaram de uso corrente com Carl Jacobi
(1841).
Os algebristas ingleses Sylvester e Cayley desenvolveram a teoria
das invariantes. Cayley criou o cálculo matricial, mas a contribuição mais
original desta escola inglesa foi a da Lógica Matemática, criada por George
Boole, cujas obras fundamentais marcaram o surgimento da Matemática
Pura. Depois de Dedekind e Hilbert, chegou-se à axiomatização da Álgebra,
devida, em especial, a Ernest Steinitz, Emil Artin e Emmy Noether. Surgiu
então a Álgebra abstrata contemporânea.
19
1.3- Histórico da Matemática
Bhãskara (1114/1185) era matemático hindu, trabalhou em quase
todos os ramos da Matemática de seu tempo. Sua obra-prima é o livro
Sidhãntasiromani, que se divide em quatro partes - Aritmética, Álgebra e as
duas últimas de Astronomia - e reúne muitos de seus trabalhos. Um deles é
a construção de uma tabela de senos com intervalos de um grau.
Girard (1590/1663) era matemático italiano, dedicou-se à álgebra das
equações, dentre outros ramos da Matemática. Seu grande trabalho sobre
as equações polinomiais são as relações entre os coeficientes e as raízes
de uma equação.
Gabriel Cramer (1704/1752) era matemático suíço, trabalhou com
Álgebra e Astronomia. Sua obra-prima é a Regra de Cramer, publicada em
1750, utilizada para resolver sistemas lineares determinados.
Joseph L. Lagrange (1736/1813) era matemático francês, presidiu o
Comitê de Pesos e Medidas. Trabalhou em Cálculo, Mecânica e Astronomia.
Teve um papel significante na verificação da teoria de Newton sobre
gravitação. Desenvolveu trabalhos sobre a impossibilidade de resolver
equações de grau 5 por meio de radicais.
Pierre Simon de Laplace (1749/1827) era matemático e astrônomo
francês. Sua grande obra publicada em cinco volumes num período de 26
anos, foi Mecânica Celeste, em que procurou demonstrar a estabilidade do
Sistema Solar por uma aplicação rigorosa da mecânica newtoniana. Em
Matemática, desenvolveu trabalhos com determinantes e é considerado o
criador da probabilidade analítica.
20
Paolo Ruffini (1765/1822) era matemático italiano, dedicou-se à
Álgebra, publicando em Bolonha (1799) um livro com vários trabalhos
apresentando a demonstração de que a equação geral de seu superior ao
quarto não pode ser resolvida por meio de radicais (essa demonstração tem
muitas lacunas). Seu nome está associado à divisão de um polinômio por
x - b.
Karl F. Gauss (1777/1855) era matemático e astrônomo alemão, fez
notáveis contribuições a vários ramos da Física, em que foi uma autoridade
em eletromagnetismo, e da Matemática, em que desenvolveu trabalhos
sobre teoria dos números, desenvolvendo o princípio de congruência
aritmética;
representação
gráfica dos números complexos de sua
construção axiomática; geometria não-euclidiana; geometria diferencial e
análise. Dentre tantos trabalhos de vulto, destacam-se "A soma de termos
de uma progressão aritmética ", aos oito anos; "Construção com régua e
compasso de um polígono regular de dezessete lados", aos dezenove anos
e "Teorema fundamental da Álgebra", aos 21 anos.
Bernhard Bolzano (1781/1848) era filósofo, lógico e matemático
tcheco, professor de Filosofia da Religião da Universidade de Praga.
Desenvolveu trabalhos em Lógica e Análise, destacando-se, entre outros,
aqueles dedicados a funções contínuas não-deriváveis; convergências de
séries e forma de distinguir classes finitas e infinitas -- tema abordado na
obra Parodoxos do Infinito, publicada após a sua morte.
Niels Henrik Abel (1802/1829) era matemático norueguês, cujos
trabalhos foram um modelo de rigor, segundo os padrões da atualidade,
destacando-se os que se referem a equações polinomiais, teoria geral de
convergência, série binomial, cálculo integral, funções transcendentais e
elípticas, entre outros. Seu primeiro grande trabalho foi a prova da
impossibilidade de resolver equações polinomiais de grau superior a 5 por
21
meio de operações elementares. Publicou um livro sobre o estudo das
propriedades especiais das funções transcendentais.
Carl Gustav J. Jacobi (1804/1851) era matemático alemão, trabalhou
em Álgebra e Análise. Na Análise, foi o primeiro a aplicar as funções
elípticas ao estudo de questões aritméticas, obtendo importantes resultados
que fizeram parte de sua grande obra-prima: Fundamentos de Uma Nova
Teoria das Funções Elípticas (1829). Na Álgebra, para citar apenas uma de
suas numerosas descobertas, elaborou por completo a teoria dos
determinantes.
Joseph Liouville (1809/1882) era matemático francês, trabalhou em
Análise e Teoria dos Números.
Evariste Galois (1811 /1832) era matemático francês, descobriu sua
vocação para a Matemática influenciado por trabalhos de Lagrange e
Legendre. Impedido de cursar a École Polytéchnique, Galois passou a
freqüentar aulas especiais ministradas por outro matemático francês, Paul
Émile Richard (1795 - 1849), que lhe facilitou o acesso à leitura de
trabalhos de Abel, Cauchy, Gauss e Jacobi. Com base no que observou em
Abel, Galois procurou as razões mais profundas da insolubilidade das
equações polinomiais de grau superior a 5. Essas razões são dadas por um
teorema seu segundo o qual uma equação polinomial pode ser resolvida por
meio de radicais se, e somente se, o seu grupo é resolúvel. As idéias
centrais de Galois são as noções de grupo e corpo.
James Joseph Sylvester (1814 /1897) era matemático inglês, foi o
primeiro a usar o termo matriz para indicar uma tabela retangular de
números. Amigo do matemático inglês Arthur Cayley, com o qual
desenvolveu a Álgebra das matrizes.
22
Gerolamo CARDANO (1501/1576) era físico e matemático italiano,
dedicou-se a Matemática, Física, Astronomia, Filosofia, Medicina e
Astrologia. Na Matemática, sua obra-prima é o livro Artis Magnae Sive de
Regulis Algebraicis (A grande arte ou sobre as regras da álgebra), publicado
em 1545, onde se encontram o método de resolução das equações de grau
3, obtido de seu amigo Tartaglia, e de grau 4, obtido de seu discípulo Lovic
Ferrari; e a regra: "menos vezes menos dá mais".
23
CAPÍTULO II
A natureza matemática da Álgebra
e sua Aplicação
"A Matemática lida com um
mundo puro de idéias."
Leopold Kronecker
24
AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
O nome do matemático árabe a quem se deve a origem da palavra
Álgebra aparece sob diferente grafia na obra História da Matemática, de Carl
B. Boyer: Alkhowarizmi. Só não difere o reconhecimento quanto à
importância de sua obra magna, onde se encontram muito mais do que
simples resoluções de equações:
“Há, por exemplo, regras
para
operações com
expressos binomiais. Embora os árabes rejeitassem
as
raízes
negativas e
conheciam as regras
que
grandezas
negativas ,
governavam
o
que
chamamos números com sinal. Há também provas
geométricas alternativas de alguns dos seis casos de
equações do autor. Finalmente, a Álgebra contém
uma ampla variedade de problemas ilustrando os seis
capítulos ou casos.” (Boyer, 1987,p.169).
Este capítulo procura traçar sucintamente uma visão geral da Álgebra,
sua natureza matemática e suas aplicações, enquanto no capítulo anterior
foi apresentada uma introdução sobre este assunto. Entretanto, alguns
pontos específicos merecem ser mais bem aprofundados, sobretudo no que
diz respeito às equações algébricas- qualquer expressão matemática que
encerre uma quantidade desconhecida e um sinal de igual, e cuja igualdade
é verificada somente para certos valores desta quantidade. Sob este
enfoque, a Álgebra é, como disse Bháskara, “a arte dos raciocínios
perfeitos“.
25
2.1- Desvendando as Equações Algébricas
Em linhas gerais, a prática de exercícios algébricos consistiria
basicamente na “caça” de incógnitas, desde o manejo da mais simples das
equações: ax + b = 0
Sabe-se que:
•
ax + b = 0, (a ≠ b) é uma equação do 1° grau cuja raiz é - b/a. Logo,
o conjunto solução dessa equação é 5 = {- b/aª}.
•
ax² + bx + c (a ≠ o) é uma equação de 2° grau cujas raízes são:
___
-b+√
2a
___
e
-b-√
2a
Logo, o conjunto solução dessa equação é
___
___
S={ -b+√
2a
, -b-√
2a
}
Pelo que se pode observar, nas equações de 1° e 2° graus, os zeros
ou raízes da equação são obtidos´por fórmulas que envolvem os
coeficientes das equações, as operações fundamentais e a extração de
raízes. Serão estudados alguns métodos que permitem resolver equações
de grau 3, ou maior do que 3, baseados no Teorema Fundamental da
Álgebra, demonstrado por Gauss em 1799 : “ Toda equação algébrica
F( x ) = 0 de grau n ( ≥ a 1), tem pelo menos uma raiz real ou complexa”.
Equação Algébrica, ou Equação Polinomial é toda sentença do tipo
f (x) = g (x), onde f e g são funções polinomiais. a definição de monômio,
binômios, trinômios e polinômios já foi dada no capítulo anterior e,
precisamente, neste ponto da discussão é que a matéria adquire maior
26
complexidade. Na resolução de uma equação polinomial procura-se sempre
transformá-la em outra,equivalente e mais simples, em que o conjunto
solução possa ser obtido com maior facilidade, ou seja:
f (x) = g (x)
P(x) = f (x) - g (x)
P (x) = 0
Desta forma toda equação polinomial é redutível à: an xn + an-1 xn-1 +
an-2 xn-2 + ... + a2 x2 + a1x + a0 =0, onde,a menos que se diga o contrário, an ,
an-1,..., a2 , a1 e a0 são números reais.
2.2- Raiz de Uma Equação Algébrica e Conjunto Solução
Dada uma equação algébrica p (x) = 0, de coeficientes reais, o
número r é uma raiz de equação se, e somente se, P (a) = 0. O Conjunto
Solução ou Conjunto Verdade de uma equação algébrica é o conjunto
formado por todas as raízes (e somente por elas)da equação. Resolver uma
equação, portanto, é obter o seu conjunto verdade.
A raiz de um número é o número que, elevado á potência do mesmo
índice,reproduz este número. Seja x um número e a raiz n deste número
seja yn = x. Indica-se a raiz de um número n√ x = y. O símbolo n é utilizado
para designar qualquer raiz e, em particular, quando n = 2, denomina-se raiz
quadrada; n = 3, raiz cúbica; n = 4, raiz quarta; etc. Quando se trata de raiz
de um número negativo, a questão é tratada na teoria dos números
complexos.
27
2.3- As Equações e Seus Graus
O grau de uma equação será dado pelo valor numérico de seu
expoente, ou pelo número de raízes que apresentar, conforme evidencias as
exposições que se seguem.
Uma equação é classificada como equação do 1° grau quando puder
ser escrita sob a forma: a xn + b = 0, onde a e b são reais, com a ≠ 0. Uma
equação do 1° grau tem apenas uma raiz que pode ser obtida, isolando-se x.
Sendo o expoente n igual a 1, diz-se portanto que a equação é de primeiro
grau.
Uma equação classificada como equação do 2° grau tem no máximo
duas raízes, que podem ser obtidas pela fórmula:
x = - b ± √b² - 4 ac = - b ± √
2a
2a
É importante observar que:
•
Se
> 0, então a equação admite duas raízes reais e distintas.
•
Se
= 0, então a equação admite uma raiz real de multiplicidade
dois.
•
Se
< 0, então a equação admite duas raízes complexas da
forma: α = m + mi, onde i = √ - 1
Uma equação é classificada como equação do 3° ou 4° grau, quando
puder ser escrita sob a forma ax³ + bx² + cx + d = 0 ou ax + bx³ + cx²+ dx +
e = 0, onde a, b, c, d e e são reais, com a ≠ 0. As raízes das equações do
terceiro e do quarto grau não podem ser obtidas através do auxílio de
fórmulas gerais.
28
Disto tudo se conclui que as equações de grau superior a 4, não
apresentam fórmulas resolutivas e, assim sendo, apresentam-se teoremas
válidos para quaisquer equações algébricas que possibilitem a resolução ou,
ao menos, informações úteis na obtenção das raízes de uma equação.
29
CAPÍTULO III
Fundamentos da Álgebra
"Não basta saber, é preferível
saber aplicar.Não é bastante
querer, é preciso saber querer."
Goethe
30
TEOREMAS
O Teorema Fundamental da Álgebra sobre equações algébricas de
coeficientes reais diz: Toda equação algébrica, de grau n (estritamente
positivo) admite n raízes, reais ou complexas não reais. O teorema garante a
existência de pelo menos uma raiz. Não diz como obtê-la, tampouco informa
o número de raízes da correspondente equação. O teorema tem validade no
conjunto dos números complexos, ou seja, pode ou não ter raiz real.
3.1- Teorema da Decomposição
O Teorema Fundamental da Álgebra- Toda equação polinomial de
grau n (n ≥ 1) admite pelo menos uma raiz complexa- tem uma aplicação na
fatoração de um polinômio.
Toda equação algébrica de grau n, da forma: P(x) = an xn + an-1 xn-1 +
an-2xn-2+...+ a2x² +...+ a1x+a0 , com an ≠ 0, pode ser decomposta e fatorada
em n fatores do 1° grau na forma:
P(x)=an.(x-α1).(x-α2). ... . (x-αn). Os
números complexos são raízes de P (x). Esta forma fatorada mostra que a
equação tem, no máximo, n raízes, e não exatamente n, pois não sabemos
se os números α1, α2,
… ,
αn são distintos dois a dois. (Vide demonstração
deste teorema no Anexo I).
Considerando estes aspectos teóricos, segue a demonstração.
Admitamos que a1 é uma raiz da equação de grau n (n ≥ 1): P (x) = an xn +
an-1 xn-1 ...+ a2x² +a1x+a0 = 0. Dividindo-se P (x) por x - a1 , encontramos um
quociente Q1 (X) e resto R1 = P (α1) = 0. Então: P (x) = (x - α1 ). Q1(x) .Q1 (x)
31
tem grau n - 1 e se n - 1 ≥1, possui pelo menos uma raiz a2. Dividindo Q1 (x)
por x - α2, encontramos um quociente Q2 (x) e resto R2 = Q1 (x2 )= 0. Então,
Q1(x)=(x- α2 ) Q2(x),
P (x)=(x - α1) (x - α2) Q2(x)
Prosseguindo assim, chegaremos, após um número finito de divisões,
a um polinômio constante, Qn(x)= K, tal que: P (x)=(x - α1) (x - α2) … (x - αn) .
Qn (x). Através da identidade: (x - α1) (x - α2) …(x - αn) K . anxn + an-1x n-1 … +
a2x2 + a1x + a0 , vemos que K=an .
Podemos, então, concluir que todo polinômio P(x) de grau n pode ser
colocado na forma fatorada: P(x) = an(x - α1) (x - α2) … (x - αn), em que an é
o coeficiente dominante e α1, α2, … , αn são raízes de P(x).
Sobre o abaixamento do grau de uma equação, observa-se que
quando conhecemos uma raiz α da equação P(x)=0, dividindo P(x) por x α, encontramos o quociente Q(x) tal que P(x) = (x - α) Q(x)=0 ⇔ (x - α = 0
ou Q(x)=0). Assim, as demais raízes de P(x)=0 são as da equação Q(x)=0.
Como grau de Q(x) é uma unidade a menos que o de P(x), dizemos que o
abaixamos o grau da equação.
3.2- Multiplicidade de uma Raiz
Quando se coloca um polinômio na forma fatorada, pode acontecer a
repetição de alguns fatores, seja P(x) um polinômio de grau n ≥ a 1.
Portanto, a é a raiz de multiplicidade da equação P (x) = 0 se, e somente se,
a forma fatorada de P(x) apresentar exatamente n fatores iguais a (x - a), ou
seja a é a raiz de multiplicidade n de P (x) = 0 se, e somente se, P (x) é
divisível por (x - a)m e não é divisível por (x - a)m+1.
32
Dizemos que a é raiz de multiplicidade m (m ≥ 1), da equação P(x) = 0
se, e somente se, a equação puder ser escrita sob a forma (x - a)m. Q (x) =
0, isto é, a é raiz de multiplicidade m de P (x) = 0 quando o polinômio P é
divisível por (x - a)m, ou seja, a decomposição de P apresenta exatamente m
fatores iguais a (x - a). Nota: Se a é uma raiz da equação polinomial P(x) = 0
então o polinômio P(x) é divisível pelo binômio x - a.
3.3- Pesquisa de Raízes
Quando se conhece uma raiz a de uma equação algébrica P(x)= 0,
divide-se P (x) por x - a, caindo numa equação de grau menor. Sabendo-se
que a é raiz de multiplicidade m da equação P (x) = 0, se P(x) = (x - a)m .
Q(x) e Q(a) ≠ 0, vejamos algumas de suas propriedades que facilitarão a
pesquisa de raízes múltiplas numa equação algébrica.
Se a é raiz de multiplicidade m da equação P(x) = 0, então a é raiz de
multiplicidade (m - 1) da equação P(x) = 0, onde P(x) é a derivação primeira
de P(x). Para que a propriedade seja válida, deve-se ter: P'(x) = (x - a)m-1 .
Q1(x) e (2) Q1(a) ≠ 0. Sabendo-se que P(x) = (x - a)m . Q(x) e (3) Q (a) ≠ 0.
Logo, P'(x) = m (x - a)m-1. Q(x) + (x - a)m . Q'(x)
P'(x) = m (x - a)m-1. [ m Q(x) + (x - a) . Q'(x) ]
Q1(x)
Ou seja: P'(x) = m (x - a)m-1. Q1(x), o que comprova (1).
Calculando agora Q1(a), tem-se: Q1(a)= m . Q(a) + (a - a) . Q(a) = m .
Q(x) ≠ 0, o que comprova(2).
São também válidas as seguintes propriedades:
•
Se a é raiz de multiplicidade m da equação P(x) = 0, então
P'(a) = 0, P''(a), P'''(a) = 0,..., P(m - 1)(a) = 0 e Pm(a) ≠ 0.
33
•
Se a é tal que P(a) = 0, P'(a) = 0, P''(a) = 0,..., P(m - 1)(a) = 0 e
Pm(a) ≠ 0, então a raiz de multiplicidade m da equação P(x) =
0.
Resumindo: Um número a é raiz de multiplicidade m de uma equação
algébrica (polinomial) P(x) = 0 se, e somente se, P(a) = 0, P'(a) = 0, P'''(a) =
0,..., P(m - 1)(a) = 0 e Pm(a) ≠ 0.
3.3.1- Teorema das Raízes Racionais Com Coeficientes
Inteiros
Veremos agora como pesquisar as possíveis raízes racionais de uma
equação com coeficientes inteiros. Consideremos a equação ax³ + bx² + cx +
d = 0, com coeficientes a, b, c e d inteiros, a ≠ 0 e d ≠ 0, supondo-se que a é
uma raiz racional da equação.
Coloquemos a = p/q, em que p e q são inteiros e primos entre si, ou
seja, a = p/q é a forma irredutível de a. De ax³ + bx² + cx + d = 0, vem:
•
a(p/q)³ + b(p/q)² + c(p/q) + d = 0
•
ap³ + bp² + cp +d = 0
q³
q²
q
• ap³ + bp²q + cpq² + dq³ = 0
• ap³ + q(bp² + cpq + dq²) = 0
• p (ap² + bpq + cq²) + dq³ = 0
• bp² + cpq + dq² = - ap³
inteiros
q
•
ap² + bpq + cq² = -dp³
inteiros
p
Tem-se - ap³ e - dq³ como inteiros e p e q são primos entre si.
q
p
34
Conclui-se que q é divisor de a e que p é divisor de d. Assim, as
possíveis raízes racionais da equação dada são da forma p/q, em que p é
divisor do termo independente d e q é divisor do coeficiente dominante a.
Isso pode ser generalizado para uma equação algébrica de grau n, n ≥ 1, em
que os coeficientes são inteiros. Se a = p/q, p e q inteiros primos entre si, é
uma raiz racional da equação de coeficientes inteiros: an xn +an-1 xn-1 + ...+a2
x² + a1 + a0 = 0, an ≠ 0 e a0 ≠ 0 , então p é divisor de a e q é divisor de a.
Disto decorre a observação de que este teorema permite descobrir se
a equação tem ou não raízes inteiras; basta, para tanto, verificar um por um
dos divisores do termo independente de x = a0 . Este teorema abrange o
anterior, ou seja, o conjunto das possíveis raízes racionais contém o
conjunto das possíveis raízes inteiras.
3.3.2- Teorema das Raízes Complexas com Coeficientes
Reais
Sendo Z = α + βi (α, β ε R e β ≠ 0) raiz da equação P(x) = 0 de
coeficientes reais, o polinômio P(x) é divisível por x - (α + βi).
P(x) ≡ [x - (α + βi)] . P1(x)
(1)
Se dividirmos P1(x) por x -s(α - βi), obteremos um quociente Q(x) e
um resto K (constante), tais que: P1(x) . [x - (α + βi)] . Q(x) + k
(2)
Substituindo (2) em (1), temos:P(x) . [x - (α + βi)] . [x - (α + βi)] . Q(x) + [x (α + βi)] . K
(3)
Esta última identidade mostra que, ao dividir P(x) por[x - (α + βi)] [x (α + βi)] o quociente é Q(x) e o resto é [x - (α + βi)] . K .Como o dividendo
P(x) é o divisor [x - (α + βi)] . [x - (α + βi)] x² - 2ax + (α² + β²) tem coeficientes
reais, o mesmo deve ocorrer comQ(x) e [x - (α + βi)] . k . kx - k (α + βi) e isso
35
só é possível se k ε R e k(α + βi) = (ka + kβi) ε R, portanto k = 0. Sendo k =
o, a condição (3) mostra que P(x) é divisível por x - (α - βi), isto é, α - βi é
raiz da equação P(x) = 0.
E, então, podemos concluir que se Z = α - βi (α ε R e β ε R*) é raiz de
uma equação polinomial de coeficientes reais, então Z = α - βi é também raiz
dessa equação.
Conseqüências: Nas equações de coeficientes reais, as raízes
complexas não reais aparecem aos pares: Z1 e Z1 , Z2 e Z2 , etc.Assim, uma
equação de coeficientes reais pode ter nenhuma, ou duas, ou quatro, ou
seis, etc., ou seja, um número parte de raízes complexas não reais. Uma
conseqüência importante deste fato é que toda equação algébrica de
coeficientes reais e grau ímpar admite pelo menos uma raiz real.
De fato, sendo de grau ímpar e de coeficientes reais, há um número
par de raízes, complexas não reais (0 ou 2, ou 4 ou 6, etc.),e, portanto um
número ímpar de raízes reais (1 ou 3, ou, 5 ou 7, etc.). Deve-se observar
ainda que se o complexo z é raiz de multiplicidade m de uma equação
algébrica de coeficientes reais, então o conjugado Z também é raiz de
multiplicidade m da equação.
Se uma equação algébrica de coeficientes reais admitir a raiz x = a +
bi (a ε R),admitirá também a raiz x = a - bi, conjugada da primeira, com o
mesmo grau de multiplicidade. Este teorema apresenta as seguintes
conseqüências: o número de raízes complexas, não reais, de uma equação
algébrica é sempre par e toda equação algébrica de grau ímpar tem pelo
menos uma raiz real.
36
3.4- Relações de Girard
Dada uma equação algébrica de coeficientes reais, é possível
estabelecer relações entre os coeficientes e as raízes. Em 1629, o
matemático Albert Girard(1590-1633) obteve informações gerais sobre as
raízes de uma equação polinomial (algébrica) ao relacioná-las com os seus
coeficientes. Para estabelecer essas relações, considere-se a identidade
entre um polinômio de grau n e sua forma fatorada, onde comparecem as
raízes a1 ,a2 ,...,an.
Analisemos o caso n = 2. Considere-se o polinômio do 2° grau P(x) =
ax² + bx + c, com a ≠ 0, cujas raízes são a1 e a2 . Pelo teorema da
decomposição, tem-se:
ax² + bc + c = 0 ⇒ ax² + bx + c = a(x - a1) (x - a2), com a ≠0.
ax² + bx + c . (a1 - a2) (x - a2 )
a a
Dividindo-se ambos os membros da igualdade por a e desenvolvendo
o segundo membro, obtemos: ax² + bx + c x² - (a1 + a2)x + a1 . a2
a
a
Portanto, da identidade dos polinômios, vem a1 + a2 = - b a1 . a2 = c
a
a
que são as relações entre as raízes a1 e a2 e os coeficientes da equação do
2° grau ax² + bx + c = 0.
Analisemos o caso n = 3, considere-se o polinômio do 3° grau P(x) =
ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠0, cujas raízes são a1 , a2 e a3. Pelo teorema
da decomposição, tem-se: ax³ + bx² + cx + d = 0 ⇒ ax³ + bx² + cx + d = 0,
a(x - a1 ) (x - a2 ) (x - a3 ), com a ≠ 0.
37
Dividindo-se ambos os membros da igualdade por a e desenvolvendo
o 2° membro, obtém-se: x³ + bx² + cx + d = 0, x³ - (a1 + a2+ a3 )x² +
a
a
a
(a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 )x - a1 a2 a3
Portanto, da identidade vem:
a1 + a2+ a3 = - b
a
a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 = c
a
a1 a2 a3 = - d
a
Que são as relações de Girard para a equação do 3° grau ax³ + bx² + cx + d
= 0.
Analisemos o caso n = 4, considere-se o polinômio do 4° grau:
P(x) = ax4 + bx³ + cx² + dx + e, com a ≠ 0, cujas raízes são a1 , a2 , a3 e a4 .
Pelo teorema da decomposição, tem-se: ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0 ⇒ ax4
+ bx³ + cx² + dx + e = 0 , a(x - a1 ) (x - a2 ) (x - a3 ) (x - a4 ), com a ≠ 0.
Dividindo-se ambos os membros da igualdade por a e desenvolvendo
o segundo membro, obtém-se: ax4+ bx³ + cx² + dx + e = x4 - (a1 + a2 + a3 +
a
a
a
a
a4)x³ + (a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4)x² - (a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1
a3 a4 + a2 a3 a4)x + a1 a2 a3 a4
Portanto, da identidade vem:
a1 + a2 + a3 + a4 = -b
a
a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4= c
a
38
a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 = - d
a
a1 a2 a3 a4= e
a
Prosseguindo da mesma forma, estabelecem-se as relações de
Girard para uma equação de grau n. Convém notar que nos primeiros
membros aparecem sempre as somas das raízes tomadas p a p, 1> p > n , e
que nos segundos membros os sinais se alternam: -, +, -, +. O anexo II
apresenta um resumo esquemático bem sucinto sobre as relações de Girard
nas equações de 1°, 2°, 3° e 4° graus.
39
CAPÍTULO IV
A Álgebra no Atual Ensino da Matemática
"Aprender para nós é construir,
reconstruir, constatar para
mudar, o que não se faz sem
abertura ao risco e à aventura
do espírito."
Paulo Freire
40
A ÁLGEBRA NO CONTEXTO ATUAL
As considerações traçadas nos dois últimos capítulos mostram-se
complexas, intrincadas e, conseqüentemente, indesejáveis aos não-iniciados
no conhecimento matemático. Mesmo os estudiosos desta disciplina sentem
dificuldades em percorrer os meandros de muitas de suas ramificações, em
verdadeiros labirintos de raciocínios e processos matemáticos, que só vem a
demonstrar o quanto este campo do conhecimento humano é vasto e
complexo.
Diante desta complexidade, como o professor de Matemática deve
conduzir sua prática, especialmente no que se refere ai tratamento didático
da álgebra no ensino fundamental? Atualmente, as discussões sobre este
tema se voltam, em grande parte, para as propostas e orientações contidas
nos Parâmetros Curriculares nacionais, cujo terceiro volume é dedicado à
disciplina Matemática. Tais considerações não se aplicam exclusivamente
ao campo da álgebra, mas ao ensino de Matemática como um todo, num
enfoque completamente diferente de tudo o que já se escreveu até então.
O presente capítulo constitui uma resenha do conteúdo essencial dos
PCNs sobre o ensino de Matemática no nível fundamental, devendo-se
confrontar a densidade das informações expostas nos dois capítulos
anteriores com a leveza e objetividade destas assertivas dos PCNs, no que
diz respeito ao ensino de Matemática.
O ensino de Matemática costuma provocar duas sensações
contraditórias, tanto por parte de quem ensina, como por parte de quem
aprende: de um lado, a constatação de que se trata de uma área de
conhecimento importante; de outro, a insatisfação diante dos resultados
negativos obtidos com muita freqüência em relação à sua aprendizagem.
41
A constatação da sua importância apóia-se no fato de que a
Matemática desempenha papel decisivo, pois permite resolver problemas da
vida cotidiana, tem muitas aplicações no mundo do trabalho e funciona como
instrumento essencial para a construção de conhecimentos em outras áreas
curriculares. Do mesmo modo, interfere fortemente na formação de
capacidades intelectuais, na estruturação do pensamento e na agilização do
raciocínio dedutivo do aluno. A insatisfação revela que há problemas a
serem enfrentados, tais como a necessidade de reverter um ensino centrado
em procedimentos mecânicos, desprovidos de significados para o aluno.
Há urgência em reformular objetivos, rever conteúdos e buscar
metodologias compatíveis com a formação que hoje a sociedade reclama.
No entanto, cada professor sabe que enfrentar esses desafios não é tarefa
simples, nem para ser feita solitariamente.O documento de Matemática é um
instrumento que pretende estimular a busca coletiva de soluções para o
ensino dessa área.Soluções que´precisam transformar-se em ações
cotidianas que efetivamente tornem os conhecimentos matemáticos
acessíveis a todos os alunos.
A primeira parte do documento apresenta os princípios norteadores,
uma breve trajetória das reformas e o quadro atual de ensino da disciplina. A
seguir, faz-se uma análise das características da área e do papel que ela
desempenha no currículo escolar. Também trata das relações entre o saber,
o aluno e o professor, indicam alguns caminhos para “fazer Matemática” na
sala de aula, destaca os objetivos gerais para o ensino fundamental,
apresenta blocos de conteúdos e discute aspectos da avaliação.
A segunda parte, destina-se aos aspectos ligados ao ensino e á
aprendizagem de Matemática para as quatro primeiras séries do ensino
fundamental. Os objetivos gerais são dimensionados em objetivos
específicos para cada ciclo. Os blocos de conteúdos são detalhados e
especificados em conceitos, procedimentos e atitudes. Ao final, são
42
apresentados critérios de avaliação e algumas orientações didáticas
referentes a cada bloco de conteúdo.
É possível iniciar a leitura do documento pela parte que se refere aos
tópicos de maior interesse do professor, mas é essencial ler e discutir todo
ele, para que haja uma visão integradora das possibilidades de
aprendizagem e dos obstáculos que o aluno enfrenta ao aprender
Matemática.
43
CONCLUSÃO
Ao término desta pesquisa, algumas considerações gerais devem ser
apresentadas, com relação aos três aspectos centrais da abordagem
desenvolvida, sabendo -se que o primeiro aspecto diz respeito à natureza e
as
características
essenciais
da
Álgebra
dentro
do
conhecimento
matemático; o segundo aspecto se refere ao percurso histórico deste campo
da Matemática e, o terceiro, concernente ao seu tratamento didático nas
atuais abordagens do sistema de ensino brasileiro.
Conforme se constatou, a Álgebra é um campo da Matemática
extremamente importante, sendo mesmo considerada a “arte dos raciocínios
perfeitos”, em razão de sua eficácia na obtenção de dados desconhecidos, a
partir de dados conhecidos, em outras palavras, na descoberta de
incógnitas. Sob este aspecto, em particular, deve-se reafirmar a importância
das chamadas “expressões algébricas”- o conjunto de letras representando
os números, ligados através de sinais, em que o número escrito à esquerda
é chamado “coeficiente algébrico e o restante é a parte literal”: 3a² + 4bc ,
em 4bc, 4 é o coeficiente e bc é a parte literal. Os grupos que não possuem
sinais (de adição ou subtração) separando seus elementos denominam-se
“termos da expressão algébrica”, como se ilustra no exemplo seguinte, que
possui três termos : 7x³ + 4y² + 3z.
Conforme se informou, a expressão algébrica denominar-se -á
monômio, binômio, trinômio, apresentando um, dois ou três termos,
respectivamente; com mais de três termos , a expressão algébrica é
denominada polinômio. Do mesmo modo, o grau da equação será dado
conforme a potenciação de seu expoente, na razão inversa da radiciação.
Além disso, as expressões algébricas podem ser apresentadas sob a forma
de expressões geométricas, e vice-versa, aplicando-se a Álgebra a uma
série de outros campos da Matemática, da Mecânica e da Lógica. No plano
44
didático, isto é, no que concerne ao ensino disciplinar do conhecimento
matemático, a importância da Álgebra se ressalta pela sua eficácia no
desenvolvimento do raciocínio lógico, não raro aplicável a situações práticas
do dia a dia.
O exemplo mais prático da atualidade é a larga utilização de
esquemas matemáticos nos cursos de Ciência da Computação, com base
em conhecimentos adquiridos na disciplina Álgebra Linear, que fornece a
base necessária às aplicações que serão utilizadas no referido curso. É
também por meio da Álgebra que se viabilizam as mais modernas
estratégias ou recursos didáticos destinados a motivar a aprendizagem
matemática, fugindo dos moldes tradicionais calcados na memorização de
fórmulas e repetição de exercícios.
Os Parâmetros Curriculares Nacionais focalizam o tema nesta
perspectiva,
evitando
compartimentar
os
conteúdos
em
blocos
descontextualizados, sugerindo, porém, um tratamento didático diferenciado
para os três campos fundamentais do conhecimento matemático: Aritmética,
Álgebra e Geometria. Sobre Álgebra, em particular, os PCNs sugerem o
desenvolvimento de estudos reflexivos sobre cálculo, em suas diferentes
modalidades: exato e aproximado,ou mental e escrito.
As considerações finais desta pesquisa, no que concerne ao parecer
dos PCNs a respeito do ensino da Álgebra, podem finalizar-se com o
seguinte trecho do citado documento:
“Embora nas séries iniciais já se possa desenvolver
uma pré-álgebra, é especialmente nas séries finais do
ensino fundamental que os trabalhos algébricos serão
ampliados; trabalhando com situações - problema, o
aluno reconhecerá diferentes funções da álgebra
(como modelizar, resolver problemas aritmeticamente
45
insolúveis, demonstrar) representando problemas por
meio de equações (identificando parâmetros, variáveis
e relações tomando com
fórmulas, equações,
variáveis e incógnitas) e reconhecendo a ‘sintaxe’
(regras para resolução) de uma equação”. (Brasil,
1997, p.55)
O emprego do termo “sintaxe” para designar o procedimento das
regras de resolução é particularmente interessante para que o aluno
compreenda os caminhos lógicos e racionais a serem percorridos até
encontrar a incógnita. Uma designação tão significativa quanto a de “arte” do
raciocínio, empregado por Bháskara século atrás, indicando o caráter
engenhoso e eficaz de se chegar a um objetivo ou resultado final, de forma
inequívoca, por meio de procedimentos matematicamente estruturados.
46
ANEXOS
Anexo 1- Resumo Esquemático das Relações de Girard
O quadro abaixo expõe de forma resumida os desdobramentos das
equações de 2°, 3° e 4° graus, segundo as relações de Girard.
__ ax² + bx + c = 0
a1 + a2 = - b
a
a1 a2 = - c
a
__ ax² + bx + c = 0
a1 + a2 + a3 = - b
a
a1 a2 + a1 a3 + a2 a3 = - c
a
a1 a2 a3 = - d
a
__ ax4 + bx³ + cx² + dx + e = 0
a1 + a2 + a3 + a4 = - b
a
a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4 = c
a
a1 a2 + a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 = - d
a
a1 a2 a3 a4 = e
a
47
E assim sucessivamente. As relações de Girard são insuficientes para
a obtenção das raízes da equação, a menos que existam informações
adicionais.
Ao encontro desta expectativa é que vem o Teorema de Bolzano.
Seja f(x) = 0 uma equação polinomial, com coeficientes reais e (a; b) um
intervalo real aberto:
•
Se f(a) e f(b) têm mesmo sinal, então existe um número par de
raízes reais ou não existem raízes reais da equação no intervalo
(a; b):
•
Se f(a) e f(b) têm sinais diferentes, então existe um número ímpar
de raízes reais da equação em (a; b).
Anexo 2- Raízes de Polinômios
Valor de um polinômio:
Seja B um anel comutativo com unidade e A um subanel unitário de
B.
Dados:
f = anxn + anxn-1 + … + a1x + a0 ∈ A(x)
e µ ∈ B, chama-se de f em µ o seguinte elemento de B:
f(µ) = anµn + an-1 µn-1 + … + a1µ + a0
Quando se verifica a igualdade f(µ) = 0 (zero de B), dizemos que µ é
a raiz de f.
Proposição: seja A um anel de integridade e f ∈ A(x) um polinômio
não nulo. Então o número de raízes de f em A não ultrapassa ϕ (f).
48
Demonstração: se o grau de f é zero, é imediato o que a preposição
afirma, pois, nesse caso, f não admite nenhuma raiz em A.
Suponhamos agora que ϕ (f) = n > 0 e que o teorema seja verdadeiro
para todo polinômio de grau n - 1. Se f não possui nenhuma raiz em A,
provado. Caso contrário se µ é uma raiz de f em A, então existe q ∈ A(x) de
modo que f = (x - µ)q. Daí qualquer outra raiz de f (caso exista) é raiz de q.
De fato: V ≠ µ e f(v) = 0 ⇒ ( v - µ ) q(v) = 0
⇒
q(v) = 0 ( aqui
entrou a hipótese de A é de integridade). Como o número de raízes de q
não ultrapassa n-1 = ϕ (q), então o número de raízes de f em A é, no
máximo, n.
49
BIBLIOGRAFIA
BOYER, C. B. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. Brasília: Ministério
da Educação/ secretaria de Educação Fundamental, 1997.
CASTRO, L. R. S., MACHADO, A. S. Matemática: Matemática.8ª ed. São
Paulo: Atual, 1982.
DANTE, L. R. Matemática- Contexto e Aplicações- Matemática. 1ª ed. São
Paulo: Ática, 2001.
DESCARTES, R. Objeções e Respostas. 3ª ed. São Paulo: Abril, 1983.
IEVVI, G., DOLCE, O., TEIXEIRA, J. P., MACHADO, N. J., GOULART, M.
C., CASTRO, L. R. S., MACHADO, A. S. Matemática: Matemática.8ª ed. São
Paulo: Atual, 1982.
IEVVI, G., DOMINGUES, H. H.Álgebra Moderna: Álgebra. 2ª ed. São Paulo:
Atual, 1982.
KARLSON, P. A. A Magia dos Números. 2ª ed. Porto Alegre: Globo, 1961.
MACHADO, A. S. Matemática na Escola do Segundo Grau: Matemática. 1ª
ed.São Paulo: Atual, 1996.
50
ÍNDICE
FOLHA DE ROSTO
2
AGRADECIMENTO
3
DEDICATÓRIA
4
RESUMO
6
METODOLOGIA
7
SUMÁRIO
8
INTRODUÇÃO
9
CAPÍTULO I
ÁLGEBRA NO CONHECIMENTO MATEMÁTICO
12
O QUE É ÁLGEBRA?
13
1.1- Considerações Preliminares
13
1.2- Percurso Histórico
14
1.3- Histórico da Matemática
19
CAPÍTULO II
A NATUREZA MATEMÁTICA DA ÁLGEBRA E SUA
APLICAÇÃO
23
AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
24
2.1- Desvendando as Equações Algébricas
25
2.2- Raiz de uma Equação Algébrica e Conjunto Solução
26
2.3- As Equações e seus Graus
27
CAPÍTULO III
FUNDAMENTOS DA ÁLGEBRA
29
TEOREMAS
30
3.1- Teorema da Decomposição
30
3.2- Multiplicidade de uma Raiz
31
3.3- Pesquisa de Raízes
32
51
3.3.1- Teorema das raízes Racionais com Coeficientes
Inteiros
33
3.3.2- Teorema das Raízes Complexas com Coeficientes
Reais
3.4- Relações de Girard
34
36
CAPÍTULO IV
A ÁLGEBRA NO ATUAL ENSINO DA MATEMÁTICA
39
A ÁLGEBRA NO CONTEXTO ATUAL
40
CONCLUSÃO
43
ANEXOS
46
BIBLIOGRAFIA
49
ÍNDICE
50
52
FOLHA DE AVALIAÇÃO
Nome da Instituição: Universidade Candido Mendes
Título da monografia: As Equações Algébricas e sua Importância
para o Conhecimento Matemático
Autor: Maria das Graças de Mattos
Data da Entrega: 24 de Janeiro de 2004.
Avaliado por: ___________________________
Conceito:______
Avaliado por: ___________________________
Conceito:______
Avaliado por: ___________________________
Conceito:______
Conceito Final: __________