Sumário
1 Coordenadas Cartesianas no plano
1.1
1.2
1.3
1.4
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distância entre dois pontos . . . . . . . .
Divisão de um segmento numa razão dada
Problemas Propostos . . . . . . . . . . . .
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Equação de reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 O que queremos dizer com equação de uma reta?
2.1.2 O coeciente angular e o coeciente linear . . . .
2.1.3 Retas horizontais e retas verticais . . . . . . . . .
2.1.4 Equação geral da reta . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Retas paralelas e retas perpendiculares . . . . . .
Distância de um ponto a uma reta . . . . . . . . . . . .
Funções lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Modelos lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Estudo da reta
2.1
2.2
2.3
2.4
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3 Lugares geométricos
3.1
3.2
Lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 Seções cônicas
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Seções cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Circunferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Elipse - centro na origem e eixo maior horizontal . . . . . .
4.3.2 Elipse - centro na origem e eixo maior vertical . . . . . . . .
Hipérbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Hipérbole - centro na origem e eixo principal horizontal . .
4.4.2 Hipérbole - centro na origem e eixo principal vertical . . . .
4.4.3 Assíntotas de hipérboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Equação da parábola - vértice na origem e concavidade para
4.5.2 Parábolas com vértice na origem . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Propriedade de reexão das parábolas . . . . . . . . . . . .
Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i
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cima
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1
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6
6
8
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9
9
10
11
12
13
14
17
17
20
22
22
23
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27
29
29
31
32
34
34
37
39
40
SUMÁRIO
5 Seções cônicas transladadas
5.1
5.2
5.3
5.4
Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Translação de eixos . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Circunferência de raio r e centro (xo , yo )
5.2.2 Elipses com centro em (xo , yo ) . . . . . .
5.2.3 Hipérboles com centro em (xo , yo ) . . .
5.2.4 Parábolas com vértice em (xo , yo ) . . . .
Esboço de seções cônicas . . . . . . . . . . . . .
Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . .
A Respostas dos problemas propostos
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44
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46
48
49
51
55
58
Lista de Figuras
1.1
1.2
Sistema de coordenadas Cartesianas ou retangulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Distância entre dois pontos e divisão de um segmento numa razão dada . . . . . . . . . . . .
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
Denindo a equação de uma reta . . . . . . . . . . .
Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5). . . . . . . . . . . .
Coeciente angular e coeciente linear de uma reta .
Reta horizontal e reta vertical . . . . . . . . . . . .
Paralelismo e perpendicularismo de retas . . . . . . .
Distância de um ponto a uma reta paralela a um eixo
Distância de um ponto a uma reta qualquer . . . . .
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6
8
8
9
10
11
11
3.1
3.2
3.3
Lugar geométrico: mediatriz do segmento AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lugar geométrico: circunferência de centro em C(3, 2) e raio 5 . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Lugar geométrico: circunferência de centro na origem e raio 2 2 . . . . . . . . . . . . . . .
17
18
19
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
Superfície cônica e seus elementos . . . . . . . . . . . . . . . .
Circunferências . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Família de retas y = x + b e circunferência x2 + y 2 = 8 . . . . .
Elementos e medidas de uma elipse . . . . . . . . . . . . . . .
Elipse horizontal com centro na origem e relação entre as medidas
Elipse vertical com centro na origem . . . . . . . . . . . . . . .
Elementos e medidas de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . . .
Elementos e medidas de uma hipérbole . . . . . . . . . . . . . .
Hipérbole vertical com centro na origem . . . . . . . . . . . . .
Assíntotas de hipérboles horizontais e verticais . . . . . . . . . .
Elementos e medidas de uma parábola . . . . . . . . . . . . . .
Família de retas y = ax − 4 e parábola y = x2 . . . . . . . . . .
Parábolas com vértice na origem . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parábolas dos Exemplos 4.9 e 4.10 . . . . . . . . . . . . . . . .
Propriedade de reexão da parábola . . . . . . . . . . . . . . .
Farol parabólico e seção transversal pelo seu eixo . . . . . . . .
Elipses do Problema 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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a, b e c .
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37
39
40
41
42
5.1
5.2
5.3
5.4
Translação de eixos . . . . . . .
Circunferências transladadas . .
Elipse horizontal transladada . .
Elipse com eixo maior horizontal
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e centro (3, −2) .
iii
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1
2
LISTA DE FIGURAS
5.5
5.6
5.7
5.8
5.9
5.10
5.11
5.12
Elipse vertical transladada . . . . . . . . . . . . . .
Hipérboles transladadas . . . . . . . . . . . . . . .
Parábola côncava para cima com vértice em (xo , yo ) .
Circunferência de centro (3, −2) e raio 4 . . . . . . .
Elipse com eixo maior vertical e centro (−4, 5) . . . .
Hipérbole com eixo principal horizontal e centro (2, 0)
Parábola com eixo horizontal e vértice (−2, 1) . . . .
Parábola com eixo vertical e vértice (3, −2) . . . . .
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53
54
55
56
Capítulo 1
Coordenadas Cartesianas no plano
1.1
Introdução
O sistema de coordenadas Cartesianas (também conhecido como sistema de coordenadas retangulares) é constituído de dois eixos reais perpendiculares que dividem o plano em 4 regiões, denominadas
quadrantes. O eixo horizontal é denominado eixo das abscissas e o eixo vertical é denominado eixo das
ordenadas, conforme ilustrado na Figura 1.1(a).
y
6
ordenadas
6
y
segundo quadrante
(−, +)
P = (x, y)
primeiro quadrante
(+, +)
x
x
abscissas
(a) Sistema de coordenadas Cartesianas
terceiro quadrante
quarto quadrante
(−, −)
(+, −)
(b) Quadrantes e sinais das coordenadas
Figura 1.1: Sistema de coordenadas Cartesianas ou retangulares
Neste sistema um ponto P qualquer do plano é representado por um par ordenado da forma P (x, y).
O número real x é denominado abscissa do ponto P e seu valor absoluto nos dá a distância de P ao
eixo das ordenadas. O número real y é denominado ordenada do ponto P e seu valor absoluto nos dá
a distância de P ao eixo das abscissas. O par ordenado (x, y) é denominado coordenadas do ponto P .
Também é usual denotar o eixo das abscissas como eixo x e o eixo das ordenadas como eixo y.
No sistema de coordenadas Cartesianas existe uma correspondência biunívoca entre os pontos do
plano e os pares ordenados de números reais. Isto signica que a cada ponto do plano associamos um
único par ordenado, e reciprocamente, a cada par ordenado associa-se um único ponto do plano.
A interseção dos eixos é a origem do sistema, representada pelo par ordenado (0, 0). Como os eixos
são orientadas as abscissas são positivas à direita do eixo das ordenadas e negativas à esquerda do eixo
1
CAPÍTULO 1. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
2
das ordenadas. De modo análogo, as ordenadas são positivas acima do eixo das abscissas e negativas
abaixo do eixo das abscissas, conforme ilustrado na Figura 1.1(b). Observe ainda que os quadrantes
são ordenados no sentido anti-horário, sendo o primeiro aquele onde ambas coordenadas são positivas.
1.2
Distância entre dois pontos
A distância entre os pontos P (x1 , y1 ) e Q(x2 , y2 ) do plano cartesiano, denotada P Q, pode ser imediatamente obtida pela aplicação do Teorema de Pitágoras, como ilustrado na Figura 1.2(a).
p
P Q 2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ∴ P Q = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
(1.1)
y
6
6
y2
PQ
y1
x2 − x1
y1
x2
x
(a) Distância entre dois pontos
y2 − y
P
y
y2 − y1
P
x1
P2
y2
Q
N
x2 − x
y − y1
P1
M
x − x1
x1
x
x2
-
(b) Divisão de um segmento
Figura 1.2: Distância entre dois pontos e divisão de um segmento numa razão dada
1.3
Divisão de um segmento numa razão dada
Sejam P1 = (x1 , y1 ) e P2 = (x2 , y2 ) dois pontos quaisquer do plano cartesiano. Seja P (x, y) um ponto
genérico, distinto de P1 e P2 , sobre a reta determinada por P1 e P2 , conforme mostrado na Figura
1.2(b). Dizemos que o ponto P divide o segmento P1 P2 segundo uma razão r se e somente se1
P1 P
= r.
P P2
Vamos estabelecer uma fórmula para o cálculo das coordenadas do ponto P (x, y). Na Figura 1.2(b)
observamos que os triângulos P1 M P e P N P2 são semelhantes, pois possuem dois ângulos côngruos
(de mesma medida). Sabemos da geometria Euclidiana que se dois triângulos são semelhantes os lados
homólogos, isto é, aqueles opostos aos ângulos congruentes são proporcionais. Logo
P1 M
P1 P
=
.
PN
P P2
1
Devemos car atentos para o seguinte fato: se P estiver sobre o segmento P1 P2 a razão r é positiva. Por outro lado,
se P estiver sobre o prolongamento do segmento, em qualquer dos dois sentidos, a razão r é negativa.
CAPÍTULO 1. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
Como
P1 M
x − x1
=
e
x2 − x
PN
temos
P1 P
=r
P P2
x − x1
x1 + rx2
=r ∴ x=
.
x2 − x
1+r
Analogamente
3
(1.2)
PM
P1 P
=
.
P2 N
P P2
Como
PM
y − y1
=
e
y2 − y
P2 N
temos
P1 P
=r
P P2
y − y1
y1 + ry2
=r ∴ y=
.
y2 − y
1+r
(1.3)
Assim, as equações (1.2) e (1.3) nos fornecem, respectivamente, a abscissa e a ordenada do ponto
P que divide o segmento P1 P2 em uma dada razão r.
Exemplo 1.1 Dados P1 = (1, 2) e P2 = (4, 5) determine as coordenadas do ponto P que divide o
segmento P1 P2 na razão 2.
Basta substituir os valores dados nas equações (1.2) e (1.3)
x=
1+8
2 + 10
=3 e y=
= 4.
1+2
1+2
Assim o ponto procurado é P (3, 4).
O caso mais importante de divisão de um segmento é quando P (x, y) é o ponto médio do segmento
P1 P2 . Neste caso P1 P = P P2 , donde r = 1. Logo as equações (1.2) e (1.3) cam
x=
1.4
x1 + x2
y1 + y2
e y=
2
2
(1.4)
Problemas Propostos
Problema 1.1 Os pontos dados são vértices de um polígono. Esboce cada polígono no plano cartesiano
e determine seu perímetro.
(a) A(0, 0), B(−1, 5), C(4, 2).
(b) A(−1, −1), B(1, −5), C(−3, 7).
(c) A(−3, 2), B(1, 5), C(5, 3), D(1, −2).
(d) A(−5, 0), B(−3, −4), C(3, −3), D(7, 2), E(1, 6).
Problema 1.2 Indique através de um esboço a região do plano cartesiano nal qual os pontos (x, y)
satisfazem a condição dada.
CAPÍTULO 1. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
(a) x > 2
(c) −2 ≤ x < 4
(b) x > 3 e y < 5
(d) 1 ≤ x < 5 e y > 0
4
Problema 1.3 Sejam a e b dois números reais quaisquer. Discuta a posição relativa dos pontos P e
Q.
(a) P = (a, b) e Q = (a, −b)
(c) P = (a, b) e Q = (−a, −b)
(b) P = (a, b) e Q = (−a, b)
(d) P = (a, b) e Q = (b, a)
Problema 1.4 Verique, usando a fórmula da distância, que os pontos dados são colineares.
(a) A = (1, 4), B = (2, 5) e C = (−1, 2)
(b) A = (4, −2), B = (−6, 3) e C = (8, −4)
(c) A = (−3, −2), B = (5, 2) e C = (9, 4)
Problema 1.5 Verique, usando a fórmula da distância, que o triângulo ABC , é retângulo. Calcule
também seu perímetro e sua área.
(a) A = (1, 4), B = (7, 4) e C = (7, 6)
(b) A = (2, 2), B = (−1, 2) e C = (−1, 5)
Problema 1.6 Classique o triângulo ABC quanto a medida de seus lados (equilátero, isóceles ou
escaleno).
(a) A = (1, 0), B = (7, 3) e C = (5, 5)
(b) A = (−3, 0), B = (3, 0) e C = (0, 5)
(c) A = (1, 4), B = (−3, −8) e C = (2, 7)
(d) A = (3, 8), B = (−11, 3) e C(−8, −2)
√ √
(e) A = (2, −2), B = (−2, 2) e C = (2 2, 2 2)
Problema 1.7 Determine o ponto eqüidistante de
(a) A = (1, 7), B = (8, 6), C = (7, −1)
(b) A = (3, 3), B = (6, 2), C = (8, −2)
Problema 1.8 Determine o ponto que dista 10 unidades de (−3, 6) e tem abscissa x = 3.
Problema 1.9 Os pontos A = (1, −1) e B = (5, −3) são as extremidades de um diâmetro de uma
circunferência. Determine as coordenadas do centro e o raio desta circunferência.
Problema 1.10 Mostre que as diagonais do paralelogramo A = (0, 0), B = (1, 4), C = (5, 4) e
D = (4, 0) se interceptam ao meio.
Problema 1.11 Determine as coordenadas do ponto P que divide o segmento P1 P2 na razão dada
(a) P1 (4, −3), P2 (1, 4), r = 2
CAPÍTULO 1. COORDENADAS CARTESIANAS NO PLANO
(b) P1 (5, 3), P2 (−3, −3), r =
5
1
3
(c) P1 (−5, 2), P2 (1, 4), r = − 53
Problema 1.12 Os pontos A = (1, −1), B = (3, 3) e C = (4, 5) estão situados na mesma reta.
Determine a razão r na qual o ponto B divide o segmento AC .
Problema 1.13 Considere o segmento de extremos A = (2, 6) e B = (−3, −2). Determine o ponto C
tal que o comprimento do segmento AC seja o quádruplo do comprimento do segmento AB .
Problema 1.14 O ponto C = (1, −1) está a
Determine as coordenadas do ponto B .
Problema 1.15 O ponto B = (−4, 1) está a
Determine as coordenadas do ponto C .
2
5
3
5
da distância que vai de A = (−1, −5) a B = (x, y).
da distância que vai de A = (2, −2) a C = (x, y).
Problema 1.16 Determine o ponto médio de cada lado do triângulo ABC .
(a) A = (1, 0), B = (7, 3) e C = (5, 5)
(c) A = (1, 4), B = (−3, −8) e C = (2, 7)
(b) A = (−3, 0), B = (3, 0) e C = (0, 5)
(d) A = (3, 8), B = (−11, 3) e C(−8, −2)
Problema 1.17 Sendo M = (3, 2), N = (3, 4) e P = (−1, 3) os pontos médios dos respectivos lados
AB , BC e CA de um triângulo ABC , determine os vértices A, B e C .
Problema 1.18 Em um triângulo denominamos de mediana o segmento que une um dado vértice ao
ponto médio do lado oposto. Determine a medida das 3 medianas do triângulo ABC .
(a) A = (1, 0), B = (3, 0) e C = (2, 7)
(b) A = (1, 8), B = (−3, −8) e C = (2, −2)
Problema 1.19 As medianas de um triângulo concorrem num ponto P (x, y) que se encontra a
2
3
da distância que vai de um vértice qualquer ao ponto médio do lado oposto. Esse ponto é o centro
de gravidade do triângulo (denominado baricentro). Determine as coordenadas do baricentro de um
triângulo de vértices A = (x1 , y1 ), B = (x2 , y2 ) e C = (x3 , y3 ).
Problema 1.20 Determine as coordenadas do baricentro de cada um dos triângulos de vértices:
(a) (5, 7), (1, −3) e (−5, 1)
(b) (2, −1), (6, 7), (−4, −3)
Problema 1.21 Prove que o segmento que liga os pontos médios de dois lados de um triângulo é
paralelo ao terceiro lado e possui medida igual à metade da medida deste lado.
Problema 1.22 Prove que o ponto médio da hipotenusa de um triângulo retângulo é eqüidistante dos
três vértices.
Capítulo 2
Estudo da reta
2.1
Equação de reta
Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos denem uma única reta. Na geometria analítica
podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano.
Consideremos a reta denida pelos pontos A(x0 , y0 ) e B(x1 , y1 ) da Figura 2.1(a). Um ponto qualquer
P (x, y) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares, conforme ilustrado na
Figura 2.1(b).
6
y
B
y1
y0
y0
x1
P
B
y1
A
x0
6
-
A
θ
M
x0
(a) Reta pelos pontos A e B
N
x1
x
-
(b) Reta pelos pontos A, B e P
Figura 2.1: Denindo a equação de uma reta
Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e AP N forem semelhantes; neste
caso podemos escrever
PN
BM
y − y0
y1 − y0
=
∴
=
.
(2.1)
x
−
x
x
AN
AM
0
1 − x0
Simplicamos a equação (2.1) notando que a razão
y1 − y0
x1 − x0
é constante, uma vez que (x0 , y0 ) e (x1 , y1 ) são as cordenadas de dois pontos conhecidos da reta, assim
y−y0
x0 , y0 , x1 e y1 são números conhecidos. Por outro lado a razão x−x
não é constante, uma vez que x
0
6
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
7
e y são as coordenadas de um ponto qualquer do plano cartesiano, logo x e y são valores incógnitos.
Tal constante é chamada de coeciente angular da reta e doravante vamos denotá-la pela letra a.
É útil observar que o coeciente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a
variação ∆y das ordenadas dos pontos pela variação ∆x de suas abscissas; assim
a=
y0 − y1
∆y
y1 − y0
=
=
.
∆x
x1 − x0
x0 − x1
(2.2)
Substituindo o valor do coeciente angular dado em (2.2) na equação (2.1) obtemos
y − y0
=a
x − x0
(2.3)
y − y0 = a(x − x0 )
(2.4)
ou, mais apropriadamente,
chamada equação da reta na forma ponto-coeciente angular. Isolando y nesta equação obtemos
y = ax − ax0 + y0 ,
onde notamos que −ax0 + y0 é uma constante, denominada coeciente linear da reta e a qual
denotaremos pela letra b. Podemos então reescrever a equação (2.4) como
(2.5)
y = ax + b
chamada equação da reta na forma reduzida.
Exemplo 2.1 (Reta por dois pontos dados) Determine a equação da reta pelos pontos (1, 3) e
(2, 5), mostrada na Figura 2.2.
• Inicialmente calculamos seu coeciente angular: a =
∆y
∆x
=
5−3
2−1
=
3−5
1−2
= 2.
• A seguir, usando o ponto (1, 3), obtemos a equação na forma ponto-coeciente: y − 3 = 2(x − 1).
• Finalmente isolamos a variável y para obter sua forma reduzida: y = 2x + 1. Salientamos que
esta reta tem coeciente angular a = 2 e coeciente linear b = 1.
No Exemplo 2.1 poderíamos obter a equação da reta usando o ponto (2, 5), ao invés do ponto (1, 3).
Neste caso a equação da reta na forma ponto-coeciente seria
y − 5 = 2(x − 2),
e a forma reduzida
y = 2x + 1.
Observamos que a equação da reta na forma ponto-coeciente não é única: mudando-se o ponto usado
muda-se a equação; por outro lado a forma reduzida é única, independente de qual ponto é usado para
escrever sua equação.
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
8
6y
9
7
5
3
1
2
x
3
Figura 2.2: Reta pelos pontos (1, 3) e (2, 5).
2.1.1
O que queremos dizer com equação de uma reta?
Dizer que y = 2x + 1 é a equação de uma dada reta signica que todo ponto da reta é dado por um par
ordenado que satisfaz sua equação; reciprocamente, todo par ordenado que satisfaz sua equação é um
ponto da reta.
Exemplo 2.2 Considerando a reta y = 2x + 1 e a Figura 2.2 do Exemplo 2.1, concluímos que
• o ponto (3, 7) pertence a esta reta, pois suas coordenadas vericam a equação y = 2x + 1;
• o ponto (3, 9) não pertence a esta reta, pois suas coordenadas não vericam a equação y = 2x + 1.
2.1.2
O coeciente angular e o coeciente linear
Para entendermos os signicados geométricos dos coecientes angular e linear vamos observar a Figura
2.3, que ilustra novamente a reta pelos pontos A(x0 , y0 ) e B(x1 , y1 ).
y6
B
y1
θ
A
y0
∆y
∆x
a=
(0, b)
∆y
∆x
θ
x0
x1
x
= tg(θ)
-
Figura 2.3: Coeciente angular e coeciente linear de uma reta
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
9
O ângulo θ que a reta forma com o eixo das abscissas no sentido positivo denomina-se inclinação
da reta; o leitor que tem conhecimentos de trigonometria pode observar que o coeciente angular da
reta é o valor da tangente desta inclinação.
Para entendermos o signicado do coeciente linear fazemos x = 0 na equação (2.5) e obtemos
y = b; isto signica que a reta passa pelo ponto (0, b). Assim o coeciente linear é a ordenada do ponto
em que a reta intercepta o eixo-y .
2.1.3
Retas horizontais e retas verticais
Se uma reta for horizontal - Figura 2.4(a) - então sua inclinação é nula; conseqüentemente seu coeciente
angular é zero, pois tg(0) = 0. Neste caso a equação (2.5) se reduz a y = b. Genericamente falando,
toda equação da forma y = constante é equação de uma reta horizontal.
Se uma reta for vertical - Figura 2.4(b) - então sua inclinação é de 90o ; conseqüentemente seu
coeciente angular não existe, pois tg(90) @. Neste caso sua equação é da forma x = constante.
y 6
y 6
(0, k)
x=k
y=k
x
(k, 0)
(a) Reta horizontal a = 0
x
(b) Reta vertical a @
Figura 2.4: Reta horizontal e reta vertical
2.1.4
Equação geral da reta
Toda equação da forma
Ax + By + C = 0
(2.6)
onde A, B e C são constantes reais e A e B não são simultaneamente nulas, representa um reta. Para
vericar esta armação consideramos as seguintes possibilidades:
• se B 6= 0, então podemos isolar y na equação (2.6), obtendo
A
C
x− ,
B
B
que é uma equação da forma (2.5); logo a equação de uma reta. Neste caso, se A = 0, a equação
anterior se reduz a
C
y=− ,
B
que é a equação de uma reta horizontal.
y=−
• se B = 0, então podemos isolar x na equação (2.6), obtendo
x=−
que é a equação de uma reta vertical.
C
,
A
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
2.1.5
10
Retas paralelas e retas perpendiculares
A condição de paralelismo entre duas retas é facilmente estabelecida: duas retas paralelas formam o
mesmo ângulo com o eixo das abscissas, logo seus coecientes angulares são iguais - Figura 2.5(a).
y
6
y
6
y = a1 x + b1
y = a2 x + b2
P
y0
θ
θ
r1 : y = a1 x + b1
Q
y0 + a1
R
x
a1 = a2 = tg(θ)
y0 + a2
S
x0
(a) Retas paralelas
r2 : y = a2 x + b2
x0 + 1
x
(b) Retas perpendiculares
Figura 2.5: Paralelismo e perpendicularismo de retas
A condição de perpendicularismo é um pouco mais sutil. Para estabelecê-la vamos recorrer à Figura
2.5(b), que nos mostra as retas perpendiculares
r1 : y = a1 x + b1
e
r2 : y = a2 x + b2
concorrentes no ponto P (x0 , y0 ). Como P pertence a ambas as retas, suas coordenadas satisfazem
tanto a equação de r1 como a de r2 , isto é
y0 = a1 x0 + b1
e y0 = a2 x0 + b2 .
Na reta r1 , um incremento de uma unidade na abscissa resulta
a1 (x0 + 1) + b1 = a1 x0 + a1 + b1 = a1 x0 + b1 + a1 = y0 + a1 ;
isto é, a ordenada é incrementada de a1 unidades. Logo o segmento RQ da Figura 2.5(b) mede a1
unidades. De modo análogo, na reta r2 , um incremento de uma unidade na abscissa resulta
a2 (x0 + 1) + b2 = a2 x0 + a2 + b2 = a2 x0 + b2 + a2 = y0 + a2 ;
isto é, a ordenada é decrementada de a2 unidades1 . Logo o segmento SR da Figura 2.5(b) mede −a2
unidades. Finalmente, observando que os triângulos P RQ e P RS são semelhantes (ângulo-ânguloângulo), podemos escrever
RQ
RP
=
RP
SR
∴
a1
1
=
1
−a2
∴
a1 a2 = −1
que é a condição de perpendicularismo entre duas retas. Assim, duas retas são perpendiculares quando
o produto de seus coecientes angulares vale −1.
1
Decrementada por que o valor numérico de a2 é negativo.
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
2.2
11
Distância de um ponto a uma reta
Em muitos problemas tratados pela Geometria Analítica surge a necessidade de determinarmos a
distância de um ponto a uma reta. Vamos considerar duas possibilidades:
(i) a reta é paralela a um dos eixos coordenados: se a reta é horizontal a distância é simplesmente
o valor absoluto de uma diferença de ordenadas, se a reta é vertical a distância é simplesmente
o valor absoluto de uma diferença de abscissas, conforme ilustrado nas Figuras 2.6(a) e 2.6(b)
respectivamente.
y
6
y
6
d(P0 , r) = |y0 − k|
y0
r: x=k
d(P0 , r) = |x0 − k|
P0 = (x0 , y0 )
P0 = (x0 , y0 )
y0
r: y=k
x
x0
x
x0
(a) Distância ponto a reta horizontal
(b) Distância ponto a reta vertical
Figura 2.6: Distância de um ponto a uma reta paralela a um eixo
(ii) se a reta não é paralela a nenhum dos eixos a construção da Figura 2.7 nos permite determinar
a distância do ponto P0 (x0 , y0 ) à reta y = ax + b.
y
6
y0
P0
√
1 + a2
D
β
A0
α
y1
y = ax + b
A2
β
1
α
a
A1
P2
P1
x
x0
Figura 2.7: Distância de um ponto a uma reta qualquer
A distância procurada é a medida do segmento P0 P2 , denotada por D. Observando que os
triângulos P0 P1 P2 e A0 A1 A2 são semelhantes podemos escrever
D
|y0 − y1 |
= √
1
1 + a2
∴
|y0 − y1 |
D= √
.
1 + a2
(2.7)
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
12
Como P1 = (x0 , y1 ) pertence à reta temos que y1 = ax0 + b, logo a equação (2.7) ca
D=
|y0 − ax0 − b|
√
.
1 + a2
(2.8)
Considerando a equação geral desta reta, Ax + By + C = 0, isolando y obtemos
y=−
A
C
x−
B
B
e comparando com a forma reduzinda y = ax + b temos
a=−
A
B
e
b=−
C
.
B
Substituindo estes valores na equação (2.8) obtemos
¯
¯ By0 +Ax0 +C ¯
¯
¯y0 + A x0 + C ¯
¯
¯
=
D= q B ¡ ¢B = q B
B 2 +A2
A 2
1+ B
2
B
e nalmente
¯
1 ¯
|B| Ax0 + By0 +
√
1
2
2
|B| A + B
¯
C¯
¯
¯
¯Ax0 + By0 + C ¯
√
D=
A2 + B 2
(2.9)
Exemplo 2.3 Determinar a distância do ponto P (1, 5) à reta y = −3x + 11.
Basta observar que (x0 , y0 ) = (1, 5) e que a equação geral da reta é 3x + y − 11 = 0, logo A = 3,
B = 1 e C = −11. A substituição na equação (2.9) resulta
¯
¯3 × 1 + 1 × 5 − 11|
3
√
D=
=√
9+1
10
2.3
Funções lineares
Funções lineares (ou funções polinomiais do 1o grau) são funções2 f : R → R da forma
y = f (x) = ax + b;
(2.10)
onde a e b são constantes reais. Comparando as equações (2.5) e (2.10) concluímos imediatamente que
o gráco de uma função linear é uma reta no plano cartesiano. A raiz3 é dada por x = −b/a.
2
Lembre-se que o símbolo R denota o conjunto de todos os números reais. Assim f : R → R indica que a função f
tem como domínio (o R antes da echa) e contra-domínio (o R depois da echa) todos os números reais.
3
As raízes, ou zeros, de uma função são todos os valores do domínio que anulam sua imagem, ou seja, são todos
os elementos do domínio que possuem imagem zero. Determinamos as raízes de uma função f resolvendo a equação
f (x) = 0.
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
2.3.1
13
Modelos lineares
A despeito de sua simplicidade, várias situações importantes são modeladas por funções lineares. Por
modelo linear queremos dizer que existem duas quantidades que se relacionam algebricamente através
de uma equação (ou função) linear. Os próximos exemplos ilustram alguns modelos lineares.
Exemplo 2.4 (A pressão em um ponto submerso) Determine a relação entre a pressão p (me-
dida em atm) e a profundidade h (medida em m) em um ponto submerso na água do mar, considerando
que a pressão aumenta linearmente com a profundidade e que este aumento é de 1 atm a cada 10 m
de descida.
• Inicialmente observamos que quando h = 0 m (na superfície) a pressão é p = 1 atm; assim nossa
reta passa pelo ponto (h, p) = (0, 1). Quando h = 10 m de profundidade a pressão aumenta para
p = 2 atm; assim nossa reta também passa pelo ponto (h, p) = (10, 2).
• De posse de dois pontos da reta determinamos seu coeciente angular
a=
∆p
2−1
1
=
= .
∆h
10 − 0
10
• Finalmente, usando o ponto (h, p) = (0, 1), obtemos a equação da reta
p−1=
1
(h − 0)
10
∴
p=
1
h + 1;
10
que é o modelo linear que relaciona a pressão p e a pronfundidade h da situação descrita.
Exemplo 2.5 (Escalas de temperaturas) Em muitos países, incluindo o Brasil, a temperatura é
medida na escala Celsius. Nos países que adotam o arcaico sistema inglês de medidas, como Inglaterra
e Estados Unidos, a temperatura é medida na escala Farenheit. A escala Celsius adota as seguintes
convenções: a água congela a 0 o C e ferve a 100 o C . A escala Farenheit adota as seguintes convenções:
a água congela a 32 F e ferve a 212 F . Determine uma equação de conversão Celsius-Farenheit, sabendo
que trata-se de um modelo linear.
• Denotando por c a temperatura em Celsius e por f a temperatura em Farenheit observamos que a
reta procurada passa pelos pontos (c1 , f1 ) = (0, 32) (congelamento da água) e (c2 , f2 ) = (100, 212)
(ebulição da água).
• De posse de dois pontos da reta determinamos seu coeciente angular
a=
212 − 32
180
9
∆f
=
=
= .
∆c
100 − 0
100
5
• Finalmente, usando o ponto (c1 , f1 ) = (0, 32), obtemos a equação da reta
f − 32 =
9
(c − 0)
5
∴
f=
9
c + 32;
5
que é o modelo linear que relaciona a temperatura Farenheit f e a temperatura Celsius c.
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
2.4
14
Problemas Propostos
Problema 2.1 Marque cada par de pontos no plano cartesiano; trace a reta que passa por eles e
determine a equação reduzida desta reta.
(a) (5, 0) e (1, 4)
(f ) (2, −4) e (−1, 5)
(b) (−3, 0) e (1, 4)
(g) (−2, 4) e (1, −5)
(c) (−2, 3) e (1, 9)
(h) (2, 4) e (1, −5)
(d) (−1, 1) e (1, 5)
(i) (−2, 4) e (−1, −5)
(e) (−2, −4) e (−1, 1)
(j) (−2, −4) e (−1, −5)
(k) (0, 3) e (4, 3)
(l) (1, 1) e (3, 1)
(m) (1, 1) e (1, 4)
(n) (3, −2) e (3, 5)
Analisando os resultados obtidos o que você pode inferir sobre a posição da reta quando seu coeciente angular é positivo? e quando é negativo? e quando é nulo? e quando não existe?
Problema 2.2 Esboce o gráco e determine a equação da reta que satisfaz as seguintes propriedades:
(a) inclinação de 45o e passa pelo ponto P (2, 4);
(b) inclinação de 60o e passa pelo ponto P (2, 4);
(c) inclinação de 135o e passa pelo ponto A(3, 5);
(d) inclinação de 45o e passa pelo ponto médio dos pontos (3, −5) e (1, −1);
(e) paralela à reta y = 3x − 4 e passa pelo ponto P (1, 2);
(f ) perpendicular à reta y = 3x − 4 e passa pelo ponto P (1, 2);
Problema 2.3 Determine se os três pontos dados são colineares (resolva este problema de dois modos:
usando o coeciente angular e a fórmula da distância).
(a) (1, −4); (−2, −13) e (5, 8);
1
(c) ( 12 , − 32 ); ( 14 , − 13
8 ) e (− 2 , −2);
(b) (1, −7); (4, 2) e (2, 1);
Problema 2.4 Determine se os três pontos dados formam um triângulo retângulo (resolva este problema de dois modos: usando o coeciente angular e o Teorema de Pitágoras).
(a) (1, −3); (2, 7) e (−2, 5);
(c) (0, 0); (3, 6) e (−4, 2);
(b) (1, 2); (0, 1) e (−1, 2);
Problema 2.5 Esboce cada par de retas no plano cartesiano e determine o ponto de interseção.
(a) y = x − 2 e y = −2x + 4;
(c) y = 3x − 1 e y = −5x + 2;
(b) y = 2x − 7 e y = −2x + 1;
(d) y = 2x − 5 e y = 2x + 5;
Problema 2.6 Determine o(s) valor(es) de k para que a reta (k + 4)x + (9 − k2 )y + (k − 6)2 = 0
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
15
(a) seja paralela ao eixo-x;
(b) seja paralela ao eixo-y ;
(c) passe pela origem.
Problema 2.7 O conjunto de todos os pontos eqüidistantes de dois pontos A e B dados é chamado
reta mediatriz do segmento AB . Esboce e determine a equação reduzida da mediatriz do segmento AB
de dois modos:
(i) igualando a distância do ponto P (x, y) a A e B e simplicando a equação obtida;
(ii) usando o ponto médio do segmento AB e um coeciente angular adequado.
(a) A(−1, −3) e B(5, −1)
(c) A(−3, −2) e B(−3, 5)
(b) A(2, 4) e B(−6, −2)
(d) A(3, −2) e B(3, 7)
Problema 2.8 Determine a distância do ponto P0 à reta r nos casos:
(a) P0 (2, 5) e r : y = 1
(c) P0 (1, −3) e r : 4x − y2 + 2 = 0
(b) P0 (−3, 4) e r : x + 2 = 0
(d) P0 (−3, 5) e r : y = 5x − 3
Problema 2.9 Mostre que a distância da origem (0, 0) à reta Ax + By + C = 0 vale
|C|
D=√
.
A2 + B 2
Problema 2.10 Mostre que a distância entre as retas paralelas Ax + By + C1 = 0 e Ax + By + C2 = 0
vale
|C1 − C2 |
D=√
.
A2 + B 2
Problema 2.11 Determine a distância entre as retas r e s
½
(a)
½
(b)
r : 2x + 3y = 15
s : 2x + 3y − 10 = 0
r : 3x − y + 7 = 0
s : −3x + y + 7 = 0
½
(c)
½
(d)
r : x+y−1=0
s : 3x + 3y − 7 = 0
r : y = 5x − 7
s : y = 5x + 3
Problema 2.12 Determine a equação da reta paralela à reta 3x + 4y + 15 = 0 e que dista da mesma
3 unidades.
Problema 2.13 Determine a equação da reta equidistante de 3x + y − 10 = 0 e 3x + y − 4 = 0.
Problema 2.14 Dada a função f : R → R, tal que y = f (x) = 2x − 10,
(a) determine as coordenadas do ponto onde seu gráco corta o eixo-x;
(b) determine as coordenadas do ponto onde seu gráco corta o eixo-y ;
CAPÍTULO 2. ESTUDO DA RETA
16
(c) utilize as informações obtidas para esboçar seu gráco.
Problema 2.15 Voltando ao Exemplo 2.4
(a) qual a unidade do coeciente angular da reta obtida? qual é o seu signicado?
(b) qual a unidade do coeciente linear da reta obtida? qual é o seu signicado?
Problema 2.16 Voltando ao Exemplo 2.5
(a) qual o signicado do coeciente angular da reta obtida?
(b) qual o signicado do coeciente linear da reta obtida?
Problema 2.17 Dada a função f : R → R, tal que f (x) = 3x − 4, determine as constantes a e b
sabendo-se que f (a) = 2b e f (b) = 9a − 28.
Problema 2.18 Uma função linear é tal que f (3) = 2 e f (4) = 2f (2). Determine f .
Problema 2.19 Uma função linear é tal que f (0) = 1 + f (1) e f (−1) = 2 − f (0). Determine f (3).
Problema 2.20 Um avião parte de um ponto P no instante t = 0 e viaja para o oeste a uma velocidade
constante de 450 Km/h.
(a) Escreva uma expressão para a distância d (em Km) percorrida pelo avião em função do tempo
t (em horas).
(b) Trace o gráco d × t.
(c) qual o signicado do coeciente angular da reta obtida?
Problema 2.21 A equação da reta na forma (2.3) tem a vantagem da conexão direta com o raciocínio
geométrico utilizado para obtê-la, ilustrado na Figura 2.1(b). Porém, rigorosamente falando, a equação
de uma reta não pode ser deixada nesta forma. Por quê?
Capítulo 3
Lugares geométricos
3.1
Lugar geométrico
A geometria analítica trata da representação de lugares geométricos (tais como pontos, retas, circunferências, parábolas etc) através de representações algébricas (tais como pares ordenados, equações,
inequações, sistemas de equações etc). Fundamentalmente ela lida com dois tipos problemas [Joseph
H. Kindle- Geometria Analítica - Coleção Schawm]
(i) dada uma equação, determinar o lugar geométrico correspondente;
(ii) dado um lugar geométrico, cujos pontos satisfazem certas condições, determinar sua equação.
Neste momento abordaremos o segundo problema: determinar a equação de um lugar geométrico
que satisfaz certas condições estabelecidas. Nossas principais ferramentas serão a fórmulas da distância
entre dois pontos e da distância de um ponto a uma reta, além, evidentemente, de algum raciocínio
sobre a geometria do problema.
Exemplo 3.1 Determine a equação do lugar geométrico cujos pontos são eqüidistantes dos pontos
A(0, 3) e B(3, 0).
6y
6y
PB
P (x, y)
B
PB
B
PA = PB
PA
PA
-
A
P
A
(a) P ponto qualquer
x
(b) Lugar geométrico procurado
Figura 3.1: Lugar geométrico: mediatriz do segmento AB
17
CAPÍTULO 3. LUGARES GEOMÉTRICOS
18
Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição
P A = P B , conforme ilustrado na Figura 3.1(a). Usando a fórmula da distância obtemos
p
p
(x − 0)2 + (y − 3)2 =
(x − 3)2 + (y − 0)2
x2 + y 2 − 6y + 9 = x2 − 6x + 9 + y 2
y = x
Assim y = x é a equação do lugar geométrico procurado. O leitor pode observar que se trata da equação
da reta mediatriz do segmento AB , conforme ilustrado na Figura 3.1(b).
Exemplo 3.2 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto C(3, 2)
seja 5.
y
6
y
6
P (x, y)
P (x, y)
5
2
C
5
PC = 5
3
(a) P ponto qualquer
2
x
C
3
x
(b) Lugar geométrico procurado
Figura 3.2: Lugar geométrico: circunferência de centro em C(3, 2) e raio 5
Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição
P C = 5, conforme ilustrado na Figura 3.2(a). Usando a fórmula da distância obtemos
p
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 5
(x − 3)2 + (y − 2)2 = 25
É fácil perceber que o lugar geométrico procurado é a circunferência de centro no ponto C(3, 2) e raio
5, ilustrada na Figura 3.2(b). Assim (x − 3)2 + (y − 2)2 = 25 é a equação desta circunferência.
Exemplo 3.3 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto A(4, 4)
seja o dobro da distância ao ponto B(1, 1).
Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição
P A = 2P B , conforme ilustrado na Figura 3.3(a). Usando a fórmula da distância obtemos
CAPÍTULO 3. LUGARES GEOMÉTRICOS
4
6y
19
A
4
y
6
1
A
B
P
P
1
1
B
4
x
P A = 2P B
1
4
x
(a) P ponto qualquer
(b) Lugar geométrico procurado
√
Figura 3.3: Lugar geométrico: circunferência de centro na origem e raio 2 2
p
p
(x − 4)2 + (y − 4)2 =2 (x − 1)2 + (y − 1)2
x2 − 8x + 16 + y 2 − 8y + 16 =4(x2 − 2x + 1 + y 2 − 2y + 1)
x2 − 8x + 16 + y 2 − 8y + 16 =4x2 − 8x + 4 + 4y 2 − 8y + 4
24 =3x2 + 3y 2
x2 + y 2 =8
Conforme estudaremos
adiante, seção 4.2, este lugar geométrico é a circunferência de centro na
√
origem e raio 2 2, ilustrada na Figura 3.3(b). O leitor deve observar que este lugar geométrico, apesar
de bastante simples, não é facilmente reconhecido pela propriedade enunciada.
Exemplo 3.4 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja razão das distâncias aos
pontos A(−1, 3) e B(3, −2) seja 2.
Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição
PA
= 2. Usando a fórmula da distância obtemos
PB
p
p
(x + 1)2 + (y − 3)2 = 2 (x − 3)2 + (y + 2)2
x2 + 2x + 1 + y 2 − 6y + 9 = 4(x2 − 6x + 9 + y 2 + 4y + 4)
x2 + 2x + 1 + y 2 − 6y + 9 = 4x2 − 24x + 36 + 4y 2 + 16y + 16
3x2 + 3y 2 − 26x + 22y − 42 = 0
Conforme estudaremos adiante, seção 4.2, este lugar geométrico também é uma circunferência, mas
isto não é facilmente reconhecível pela propriedade enunciada.
CAPÍTULO 3. LUGARES GEOMÉTRICOS
20
Exemplo 3.5 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos tais que o produto dos coecientes
angulares das retas que os ligam aos pontos A(2, −1) e B(−2, 1) seja 1.
Se P (x, y) é um ponto qualquer do lugar geométrico procurado então P deve satisfazer à condição
mP A mP B = 1. Da denição de coeciente angular temos
µ
¶µ
¶
y+1
y−1
= 1
x−2
x+2
(y + 1)(y − 1) = (x − 2)(x + 2)
y 2 − 1 = x2 − 4
x2 − y 2 = 4
Conforme estudaremos adiante, seção 4.4, este lugar geométrico é uma curva denominada hipérbole.
3.2
Problemas Propostos
Problema 3.1 Determine a equação e esboce o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes dos pontos
A(−3, 1) e B(7, 5)
Problema 3.2 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja distância ao ponto A(2, −1)
vale 5.
Problema 3.3 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma dos quadrados de suas
distâncias aos pontos A(0, 0) e B(2, −4) vale 20.
Problema 3.4 Um segmento de reta com 12 unidades de comprimento se desloca de modo que seus
extremos se encontram sempre apoiados sobre os eixos coordenados. Determine a equação do lugar
geométrico descrito por seu ponto médio.
Problema 3.5 Considere os pontos A(2, 4) e B(5, −3). Determine a equação do lugar geométrico dos
pontos P sabendo que o coeciente angular da reta por A e P é uma unidade maior que o coeciente
angular da reta por B e P .
Problema 3.6 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A(3, 5) e
da reta y = 1.
Problema 3.7 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A(−2, 1)
e da reta x = 3.
Problema 3.8 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos equidistantes do ponto A(1, 1) e
da reta y = −x.
Problema 3.9 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos
pontos A(−5, 0) e B(5, 0) vale 10.
Problema 3.10 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cuja soma das distâncias aos
pontos A(0, 2) e B(6, 2) vale 6.
CAPÍTULO 3. LUGARES GEOMÉTRICOS
21
Problema 3.11 Determine a equação do lugar geométrico dos pontos cujo módulo da diferença das
distâncias aos pontos A(−5, 0) e B(5, 0) vale 10.
Problema 3.12 Determine a equação do lugar geométrico de um ponto que se move de maneira que
a diferença entre os quadrados de suas distâncias os pontos (2, −2) e (4, 1) vale 12.
Capítulo 4
Seções cônicas
4.1
Seções cônicas
Uma superfície cônica é uma superfície gerada da seguinte maneira: tomamos uma circunferência C
(diretriz) e um ponto xo V (vértice) que não pertença ao plano que contém C . Tomamos uma reta
(geratriz) que passa por V e seja tangente à C e fazemos esta reta se deslocar por C . A Figura 4.1
ilustra uma superfície cônica e seus elementos.
−→ folha superior
vértice
geratriz −→
−→ folha inferior
−→ diretriz
Figura 4.1: Superfície cônica e seus elementos
Ressaltamos que a superfície cônica é innita. O sólido denominado cone que muitos leitores
estudaram na geometria elementar é na verdade um tronco da superfície cônica.
As curvas obtidas pela interseção de uma superfície cônica com um plano secante são denominadas
seções cônicas: circunferências, elipses, parábolas e hipérboles, ou ainda suas respectivas degenerações.
A circunferência é a seção cônica obtida pela interseção da superfície cônica com um plano secante
perpendicular ao seu eixo; se tal plano intercepta a superfície cônica sobre seu vértice temos um único
ponto, que é a degeneração da circunferência.
Se o plano secante é paralelo a uma geratriz a seção cônica obtida é uma parábola; se tal plano for
tangente a uma geratriz temos uma única reta, que é a degeneração da parábola
Caso o plano secante não seja perpendicular ao eixo nem paralelo a uma geratriz e intercepte uma
22
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
23
única folha da superfície cônica obtemos uma elipse; aqui, novamente, se o plano secante intercepta a
superfície cônica sobre seu vértice temos um único ponto, que também é a degeneração da elipse.
Caso o plano secante não seja perpendicular ao eixo nem paralelo a uma geratriz e intercepte ambas
as folhas da superfície cônica obtemos uma hipérbole; neste caso se o plano secante intercepta ambas
as folhas e passa pelo vértice temos um par de retas concorrentes, que é a degeneração da hipérbole.
Neste capítulo estudaremos as seções cônicas como lugares geométricos no plano.
4.2
Circunferência
Denição 1 (Circunferência como lugar geométrico no plano) circunferência é o lugar geométrico
dos pontos do plano cuja distância a um ponto xo é constanteinado centro da circunferência e a distância de seus pontos ao centro é denominada raio da circunferência - Figura 4.2(a).
6
P (x, y)
y
raio
r
O
centro
(a) Centro e raio
x
-
(b) Centro na origem e raio r
Figura 4.2: Circunferências
Consideremos uma circunferência de raio r e centro na origem (0, 0), conforme ilustrado na Figura
4.2(b). Se P (x, y) é um ponto da circunferência então P O = a, então, pela fórmula da distância entre
dois pontos,
p
(x − 0)2 + (y − 0)2 = r ∴ x2 + y 2 = r2
(4.1)
Exemplo 4.1 Determine o valor da constante b para que a reta y = x+b seja tangente à circunferência
x2 + y 2 = 8.
Inicialmente determinamos a interseção da reta com a circunferência. Temos
x2 + (x + b)2 = 8
x2 + x2 + 2bx + b2 = 8
2x2 + 2bx + b2 − 8 = 0
(4.2)
Neste ponto observamos que as raízes da equação (4.2) nos dão as abscissas dos pontos de interseção
da reta com a circunferência. Para que a reta seja tangente à circunferência deve haver um único
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
24
ponto de interseção, logo a equação (4.2) deve possuir uma raiz dupla, e para isto seu discriminante
(delta) deve valer zero. Assim
4b2 − 8(b2 − 8) = 0 ∴ −4b2 + 64 = 0 ∴ b2 = 16
e lembrando que
√
b2 = |b| temos
|b| = 4 ∴ b = ±4.
Assim as retas y = x + 4 e y = x − 4 são tangentes à circunferência x2 + y 2 = 8, conforme ilustrado
na Figura 4.3.
b=8
6b = 4
b=0
b = −4
b = −8
-
Figura 4.3: Família de retas y = x + b e circunferência x2 + y 2 = 8
Neste exemplo ressaltamos as duas outras possibilidades, também ilustradas na Figura 4.3
• para que a reta seja secante à circunferência devemos ter dois pontos de interseção, logo a equação
(4.2) deve possuir duas raízes reais distintas. Para isto seu discriminante (delta) deve ser positivo,
isto é
4b2 − 8(b2 − 8) > 0 ∴ −4b2 + 64 > 0 ∴ b2 − 16 < 0 ∴ −4 < b < 4.
• para que a reta não possua interseção com a circunferência a equação (4.2) nâo deve possuir
raízes reais. Para isto seu discriminante (delta) deve ser negativo, isto é
4b2 − 8(b2 − 8) < 0 ∴ −4b2 + 64 < 0 ∴ b2 − 16 > 0 ∴ b < −4 ou b > 4.
4.3
Elipse
Denição 2 (Elipse como lugar geométrico no plano) Elipse é o lugar geométrico dos pontos
cuja soma das distâncias a dois pontos xos, denominados focos, é constante.
A Figura 4.4(a) ilustra uma elipse e seus diversos elementos:
• Focos: pontos F1 e F2 .
• Eixo maior: segmento de reta V1 V2 que passa pelos focos.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
25
• Vértices: pontos V1 e V2 . Os vértices são as extremidades do eixo maior.
• Centro: ponto C . O centro é o ponto médio dos focos e também dos vértices.
• Eixo menor: segmento de reta P1 P2 que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo maior.
P1
P
b
V1
F1
C
F2
V2
V1
c
c
C
F1
F2
V2
b
a
P2
(a) Elementos da elipse
a
(b) Medidas a, b e c
Figura 4.4: Elementos e medidas de uma elipse
Conforme ilustrado na Figura 4.4(b), no estudo da elipse adotamos as seguintes convenções para
suas medidas: (onde a, b e c são números reais positivos, a > b e a > c)
• Distância entre os vértices (comprimento do eixo maior): 2a.
• Comprimento do eixo menor: 2b.
• Distância entre os focos (distância focal): 2c.
4.3.1
Elipse - centro na origem e eixo maior horizontal
Consideremos uma elipse de eixo maior horizontal de comprimento 2a e centro na origem (0, 0), conforme ilustrado na Figura 4.5(a). Neste caso, usando as medidas convencionadas anteriormente, observamos que
• os vértices são os pontos V1 (−a, 0) e V2 (a, 0);
• os focos são os pontos F1 (−c, 0) e F2 (c, 0);
• as extremidades do eixo menor são os pontos P1 (0, b) e P2 (0, −b).
Pela denição de elipse como lugar geométrico, o ponto P (x, y) pertence à elipse se e somente se
P F1 + P F2 = constante.
(4.3)
Surge uma questão: qual o valor desta constante? Podemos obtê-la aplicando a denição para um
dos vértices, digamos para o vértice V1 . Temos
V1 F1 + V1 F2 = constante ∴ (a − c) + (a + c) = constante ∴ 2a = constante
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
26
P1 (0, b)
6
P (x, y)
P1
a
V1 (−a, 0)
F1 (−c, 0)
(0, 0)
F2 (c, 0)
V2 (a, 0)
F1
a
b
c
c
F2
a2 = b2 + c2
P2 (0, −b)
(a) Elipse horizontal com centro na origem
(b) Relação entre a, b, c
Figura 4.5: Elipse horizontal com centro na origem e relação entre as medidas a, b e c
ou seja, esta constante é exatamente o comprimento do eixo maior. Assim a equação (4.3) torna-se
P F1 + P F2 = 2a.
Pela fórmula da distância entre dois pontos, obtemos
p
p
(x + c)2 + (y − 0)2 + (x − c)2 + (y − 0)2 = 2a
p
p
(x + c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2 = 2a.
Isolamos uma das raízes no membro esquerdo e elevamos ao quadrado
p
p
(x + c)2 + y 2 = 2a − (x − c)2 + y 2
·
¸2 ·
¸2
p
p
2
2
2
2
(x + c) + y
= 2a − (x − c) + y
p
(x + c)2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + (x − c)2 + y 2
p
x2 + 2cx + c2 + y 2 = 4a2 − 4a (x − c)2 + y 2 + x2 − 2cx + c2 + y 2 .
Cancelando os termos comuns em ambos os membros e agrupando os termos restantes obtemos
p
4cx − 4a2 = −4a (x − c)2 + y 2
p
a2 − cx = a (x − c)2 + y 2
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
27
Elevando ao quadrado novamente e simplicando temos
¸2
·
2
a − cx
·
¸2
p
2
2
= a (x − c) + y
a4 − 2a2 cx + c2 x2 = a2 (x2 − 2cx + c2 + y 2 )
a4 − 2a2 cx + c2 x2 = a2 x2 − 2a2 cx + a2 c2 + a2 y 2
c2 x2 − a2 x2 − a2 y 2 = +a2 c2 − a4
(c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 )
(a2 − c2 )x2 + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 )
Pela Figura 4.5(b) observamos1 que a2 = b2 + c2 ∴ b2 = a2 − c2 . Assim a equação anterior torna-se
b2 x2 + a2 y 2 = a2 b2
e nalmente dividindo ambos os membros da equação por a2 b2 , temos
x2 y 2
+ 2 =1
a2
b
(4.4)
que é a equação reduzida da elipse mostrada na Figura 4.5(a).
Exemplo 4.2 Determine a equação da elipse de centro na origem, eixo maior horizontal de comprimento 10 e eixo menor de comprimento 6.
Temos que 2a = 10, donde a = 5, e 2b = 6, donde b = 3. Assim a equação desta elipse é
x2 y 2
+
=1
25
9
Como a2 = b2 + c2 temos 25 = 9 + c2 donde c2 = 16 e c = 4 (lembramos que a, b e c são sempre
positivos). Finalmente concluímos que os vértices desta elipse são os pontos V1 (−5, 0) e V2 (5, 0), os
focos são os pontos F1 (−4, 0) e F2 (4, 0) e as extremidades do eixo menor são os pontos P1 (0, 3) e
P2 (0, −3).
4.3.2
Elipse - centro na origem e eixo maior vertical
Consideremos uma elipse de eixo maior vertical de comprimento 2a e centro na origem (0, 0), conforme
ilustrado na Figura 4.6. Neste caso observamos que:
• os vértices são os pontos V1 (0, a) e V2 (0, −a);
• os focos são os pontos F1 (0, c) e F2 (0, −c);
• as extremidades do eixo menor são os pontos P1 (b, 0) e P2 (−b, 0).
1
Na Figura 4.5(b) observamos, pela simetria da elipse, que o ponto P1 é equidistante dos dois focos. Lembrando que
a soma das distância de um ponto da elipse aos seus focos vale 2a concluímos imediatamente que ambos os segmentos
P1 F1 e P1 F2 medem a. Daí a relação a2 = b2 + c2 ) b2 = a2 − c2
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
28
6
V1 (0, a)
F1 (0, c)
P (x, y)
P2 (−b, 0)
P1 (b, 0)
(0, 0)
-
F2 (0, −c)
V2 (0, −a)
Figura 4.6: Elipse vertical com centro na origem
De modo análogo ao caso de elipse com eixo maior horizontal, usando a denição de elipse como
lugar geométrico pode-se mostrar que a equação reduzida da elipse mostrada na Figura 4.6 é dada por
x2 y 2
(4.5)
+ 2 = 1
b2
a
Observe que esta equação é bastante parecida com a equação (4.4), bastando permutar as constantes
a e b. Em particular devemos observar atenciosamente que se a elipse possui eixo maior horizontal
então a constante a (que é a medida do semi eixo maior) ocorre no denominador da variável x. Por
outro lado, se a elipse possui eixo maior vertical a constante a ocorre no denominador da variável y .
Exemplo 4.3 Consideremos a elipse de equação 25x2 + 9y 2 = 225.
(a) Sua equação reduzida é obtida dividindo todos seus termos por 225, de modo que o membro
direito seja 1. Logo
25x2
9y 2
225
x2
y2
+
=
∴
+
=1
225
225
225
9
25
(b) Pela equação reduzida observamos que a = 5 e b = 3. Logo esta elipse possui eixo maior de
comprimento 2a = 10 e eixo menor de comprimento 2b = 6. Além disto o eixo maior é vertical.
(c) Como a2 = b2 + c2 temos 25 = 9 + c2 donde c2 = 16 e c = 4. Logo a distância focal vale
2c = 8.
(d) Finalmente observamos que os seus vértices são V1 (0, 5) e V2 (0, −5), os focos são os pontos
F1 (0, 4) e F2 (0, 4) e as extremidades do eixo menor são os pontos P1 (3, 0) e P2 (0, −3).
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
4.4
29
Hipérbole
Denição 3 (Hipérbole como lugar geométrico no plano) Hipérbole é o lugar geométrico dos
pontos cujo módulo da diferença das distâncias a dois pontos xos, denominados focos, é constante.
A Figura 4.7(a) ilustra uma hipérbole e seus diversos elementos2 :
• Focos: pontos F1 e F2 .
• Eixo principal: reta que passa pelos focos.
• Vértices: pontos V1 e V2 . Os vértices são as interseções do eixo principal com a hipérbole.
• Centro: ponto C . O centro é o ponto médio dos focos e também dos vértices.
• Eixo conjugado: reta que passa pelo centro e é perpendicular ao eixo maior.
• Assíntotas: par de retas concorrentes (concorrem no centro da hipérbole)
eixo
conjugado
assíntota
c
assíntota
c
a
F1
V1
V2
F2
eixo
principal
(a) Elementos da hiperbole
F1
a
V1
V2
F2
(b) Medidas a e c
Figura 4.7: Elementos e medidas de uma hipérbole
Conforme ilustrado na Figura 4.7(b), no estudo da hipérbole adotamos as seguintes convenções
para suas medidas: (onde a e c são números reais positivos e c > a)
• distância entre os vértices: 2a;
• distância entre os focos (distância focal): 2c.
4.4.1
Hipérbole - centro na origem e eixo principal horizontal
Consideremos uma hipérbole de eixo principal horizontal e centro na origem (0, 0), conforme ilustrado
na Figura 4.8(a). Neste caso, usando as medidas convencionadas anteriormente, observamos que
• os vértices são os pontos V1 (−a, 0) e V2 (a, 0);
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
30
6y
6y
P (x, y)
F1 (−c, 0)
V1 (−a, 0)
V2 (a, 0)
F2 (c, 0)
x
c
b
a
(a) Hipérbole horizontal com centro na origem
V (a, 0)
F (c, 0)
x
(b) Relação entre a, b, c
Figura 4.8: Elementos e medidas de uma hipérbole
• os focos são os pontos F1 (−c, 0) e F2 (c, 0).
Pela denição de hipérbole como lugar geométrico, o ponto P (x, y) pertence à hipérbole se e
somente se
¯
¯
¯P F1 − P F2 ¯ = constante.
(4.6)
Como no caso da elipse determinamos o valor da constante aplicando a denição de hipérbole para
um dos vértices, digamos para o vértice V1 . Temos
¯
¯
¯V1 F1 − V1 F2 ¯ = constante
¯
¯
¯(c − a) − (a + c)¯ = constante
¯
¯
¯−2a¯ = constante
2a = constante
ou seja, esta constante é exatamente a distância entre os vértices (como no caso da elipse). Assim a
equação (4.6) torna-se
¯
¯
¯P F1 − P F2 ¯ = 2a.
Procedendo de modo análogo à dedução da equação da elipse, após simplicações, obtemos
(c2 − a2 )x2 − a2 y 2 = a2 (c2 − a2 ).
(4.7)
Pela Figura 4.8(b) observamos3 que c2 = a2 + b2 ∴ b2 = c2 − a2 . Assim a equação anterior torna-se
b2 x2 − a2 y 2 = a2 b2
2
O
3
leitor deve estar atento para o fato de a hipérbole possuir dois ramos, mas trata-se de uma única curva.
A Figura 4.8(b), que mostra apenas uma parte do ramo direito de uma hipérbole, é construída da seguinte maneira:
traçamos uma circunferência de mesmo centro da hipérbole e passando pelo seu foco; logo o raio desta circunferência
vale c. No triângulo retângulo mostrado a hipotenusa vale c e um cateto vale a. Convencionando-se a medida do outro
cateto como b temos que c2 = a2 + b2 ) b2 = c2 − a2 . É importante ressaltar que a medida b não se refere a nenhuma
medida da hipérbole, ela é usado para simplicação da equação e também, como veremos adiante, na determinação de
suas assíntotas.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
31
e nalmente dividindo ambos os membros da equação por a2 b2 , temos
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
(4.8)
que é a equação reduzida da hipérbole mostrada na Figura 4.8(a).
Exemplo 4.4 Determine a equação da hipérbole de vértices (±4, 0) e focos (±5, 0).
Como os vértices são (−4, 0) e (4, 0) concluímos que trata-se de uma hipérbole com eixo principal
horizontal (o próprio eixo x) e centro na origem (uma vez que o centro da hipérbole é o ponto médio
de seus vértices).
A distância entre os vértices é de 8 unidades, logo 2a = 8 e a = 4; a distância focal é de 10
unidades, logo 2c = 10 e c = 5. Pela relação c2 = a2 + b2 temos que b2 = 25 − 16 donde b = 3. Assim,
substituindo os valores das constantes a e b em (4.8), a equação desta hipérbole é
x2 y 2
−
=1
16
9
4.4.2
Hipérbole - centro na origem e eixo principal vertical
6y
F2 (0, c)
P (x, y)
V2 (0, a)
x
V1 (0, −a)
F1 (0, −c)
Figura 4.9: Hipérbole vertical com centro na origem
Consideremos uma hipérbole de eixo principal vertical, centro na origem (0, 0) e distância entre os
vértices 2a, conforme ilustrado na Figura 4.9. Neste caso observamos que:
• os vértices são os pontos V1 (0, −a) e V2 (0, a);
• os focos são os pontos F1 (0, −c) e F2 (0, c).
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
32
De modo análogo ao caso de hipérboles com eixo principal horizontal, usando a denição de hipérbole como lugar geométrico pode-se mostrar que a equação reduzida da hipérbole da Figura 4.9 é dada
por
y 2 x2
− 2
a2
b
(4.9)
= 1
Exemplo 4.5 Consideremos a hipérbole de equação 36y 2 − 9x2 = 324.
(a) Sua equação reduzida é obtida dividindo todos seus termos por 324, de modo que o membro
direito seja 1. Logo
36y 2 9x2
324
y 2 x2
−
=
∴
−
=1
324
324
324
9
36
(b) Comparando-se a equação obtida com a equação (4.9) concluímos que se trata de uma hipérbole
com eixo principal vertical, centro na origem, a = 3 e b = 6.
√
√
(c) Como c2√= a2 + b2 temos que c2 = 9 + 36 = 45 ∴ c = 45 = 3 5. Logo a distância focal
vale 2c = 6 5.
√
(d) Finalmente observamos que os seus vértices são (0, ±3) e os focos são (0, ±3 5).
Voltemos às equações das hipérboles com eixo principal horizontal, dada em (4.8), e com eixo
principal vertical, dada em (4.9); repetidas aqui para ns de comparação:
Hipérbole com eixo principal horizontal :
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
Hipérbole com eixo principal vertical :
y 2 x2
− 2 =1
a2
b
Observe que:
• a variável que ocorre no termo positivo nos indica a direção do eixo principal da hipérbole;
• a raiz quadrada do denominador do termo positivo nos dá a distância do centro ao vértice.
Convém ainda ressaltar que, diferentemente das equações de elipses onde sempre a > b, nas equações
de hipérboles podemos ter a > b, a = b ou a < b (no caso em que a = b a hipérbole é dita equilátera).
4.4.3
Assíntotas de hipérboles
Uma reta é dita assíntota de uma curva se a distância de um ponto que se move sobre a parte extrema
da curva à reta se aproxima de zero. As assíntotas ocorrem com certa freqüência nos grácos de
algumas funções racionais, algébricas e transcendentes. No caso das seçôes cônicas, as únicas que
apresentam comportamento assíntótico são as hipérboles4 , conforme ilustrado na Figura 4.10. Ainda
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
33
6y
6y
assíntota
assíntota
assíntota
b
F1
a
F2
assíntota
F2
a
x
b
x
F1
(a) Hipérbole horizontal
(b) Hipérbole vertical
Figura 4.10: Assíntotas de hipérboles horizontais e verticais
nesta Figura observamos que cada hipérbole possui um par de assíntotas, que se cruzam no centro da
própria hipérbole.
Conforme sugerido na Figura 4.10(a) as assíntotas de uma hipérbole com eixo principal horizontal
possuem coeciente angular ±b/a, e como tais retas concorrem na origem, suas equações são
b
x
a
b
assíntota descendente: y = − x
a
assíntota ascendente:
y=
De modo análogo, conforme sugerido na Figura 4.10(b) as assíntotas de uma hipérbole com eixo
principal vertical possuem coeciente angular ±a/b, e como tais retas concorrem na origem, suas
equações são
a
assíntota ascendente:
y= x
b
a
assíntota descendente: y = − x
b
A argumentação anterior é bastante intuitiva e geométrica e não se trata de uma demonstração
rigorosa do comportamento assíntótico de uma hipérbole. Para os leitores interessados nestes detalhes
faremos aqui um comentário adicional de tal comportamento assíntótico para a hipérbole mostrada na
Figura 4.10(a), cuja equação é (é necessário o conhecimento de limites)
x2 y 2
− 2 =1
a2
b
4
Muitos estudantes conjecturam que as parábolas apresentam comportamento assíntótico, uma vez que tal curva
parece se aproximar de uma reta em suas extremidades. Isto é falso: as parábolas não possuem assíntotas, o que ocorre
é uma diminuição de sua curvatura em suas extremidades.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
34
Iniciamos isolando y nesta equação
x2
y2
x2 − a2
b2 2
bp 2
y2
2
2
=
−
1
∴
=
∴
y
=
(x
−
a
)
∴
y
=
±
x − a2
b2
a2
b2
a2
a2
a
Considerando agora apenas o primeiro quadrante, a distância vertical da hipérbole à reta de equação
y = ab x é dada por
bp 2
b
x − a2 − x
a
a
e simplicando
¡√
¢¡√
¢
¡ 2
¢
2 − x2
2 − a2 − x
2 − a2 + x
¢ b
x
x
x
−
a
b
ab
b ¡p 2
x − a2 − x =
= ¡√
¡√
¢
¢ = ¡√
¢.
2
2
2
2
2
a
a
a
x −a +x
x −a +x
x − a2 + x
Tomando-se o limite desta distância quando x → +∞, temos
ab
ab
ab
¶ = lim µq
¶ = lim µ q
¶ = 0.
lim µ√
¡
¢
¡
x→+∞
x→+∞
2
2¢
|x| 1 − xa2 + x
x2 − a2 + x
x2 1 − xa2 + x
x→+∞
4.5
Parábola
Denição 4 (Parábola como lugar geométrico no plano) parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto xo, denominado foco, e de uma reta xa, denominada diretriz.
A Figura 4.11(a) ilustra uma parábola e seus diversos elementos.
• Foco: ponto F .
• Diretriz.
• Eixo: reta perpendicular à diretriz e que passa pelo foco.
• Vértice: ponto V . É a interseção da parábola com seu eixo.
A distância do vértice da parábola ao seu foco, o segmento F V na Figura 4.11(a), será denotada
por p (este valor p muitas vezes é denominado parâmetro da parábola; como se trata de uma distância
é sempre positivo). Observe, pela denição de parábola como lugar geométrico, que esta é a mesma
distância do vértice à diretriz.
4.5.1
Equação da parábola - vértice na origem e concavidade para cima
Consideremos uma parábola com vértice na origem (0, 0) e concavidade voltada para cima, conforme
ilustrado na Figura 4.11(b). Neste caso observamos que
• o foco é o ponto F (0, p);
• a diretriz é a reta horizontal y = −p;
• o eixo da parábola é o próprio eixo y .
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
35
y 6eixo da parábola
eixo da parábola
F (0, p)
F : foco
p
P (x, y)
V : vértice
V (0, 0)
x
p
y = −p
diretriz
(a) Elementos da parábola
diretriz
(b) Parábola vértice na origem
Figura 4.11: Elementos e medidas de uma parábola
se
Pela denição de parábola como lugar geométrico, o ponto P (x, y) pertence à parábola se e somente
P F = distância de P à diretriz.
Usando as fórmulas da distância entre dois pontos e a de um ponto a uma reta temos
p
(x − 0)2 + (y − p)2 = |y + p |
p
x2 + (y − p)2 = |y + p |
Elevando ao quadrado, temos
x2 + (y − p)2 = (y + p)2
x2 + y 2 − 2py + p2 = y 2 + 2py + p2
Cancelando os termos comuns em ambos os membros e agrupando os termos restantes obtemos
x2 = 4py
(4.10)
que é a equação reduzida da parábola mostrada na Figura 4.11(b).
Exemplo 4.6 Determine a equação da parábola com vértice na origem, concavidade para cima e que
passa pelo ponto Q(6, 3).
Inicialmente observamos que toda parábola com vértice na origem e concavidade para cima tem
equação da forma (4.10), isto é, x2 = 4py . Necessitamos simplesmente determinar o valor do parâmetro
p; como o ponto Q pertence à parábola suas coordenadas devem satisfazer sua equação. Substituindo
as coordenadas do ponto Q na equação da parábola obtemos
62 = 12p ∴ p = 3.
Logo a equação desta parábola é x2 = 12y .
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
36
Exemplo 4.7 Determine a equação da parábola com vértice na origem e foco no ponto F (0, 4).
Pelas localizações do vértice e do foco trata-se de uma parábola com concavidade para cima, e como
o vértice situa-se na origem sua equação é da forma (4.10), isto é, x2 = 4py . Neste caso basta observar
que sendo a distância do vértice ao foco de 4 unidades então p = 4. Logo a equação desta parábola é
x2 = 16y .
Exemplo 4.8 Determine o valor da constante a para que a reta y = ax − 4 seja tangente à parábola
y = x2 .
Inicialmente determinamos a interseção da reta com a parábola. Temos
x2 = ax − 4
x2 − ax + 4 = 0
(4.11)
Neste ponto observamos que as raízes da equação (4.11) nos dão as abscissas dos pontos de interseção
da reta com a parábola. Para que a reta seja tangente à parábola deve haver um único ponto de
interseção, logo a equação (4.11) deve possuir uma raiz dupla, e para isto seu discriminante (delta)
deve valer zero. Assim
a2 − 16 = 0 ∴ a2 = 16 ∴ |a| = 4 ∴ a = ±4
Assim as retas y = 4x − 4 e y = −4x − 4 são tangentes à parábola y = x2 , conforme ilustrado na
Figura 4.12. Observe que todas as retas da família y = ax − 4 passam pelo ponto (0, −4).
6y
a = −4
a < −4
a>4
−4 < a < 0
a=4
0<a<4
x
(0, −4)
Figura 4.12: Família de retas y = ax − 4 e parábola y = x2
Neste exemplo ressaltamos as duas outras possibilidades, também ilustradas na Figura 4.12
• para que a reta seja secante à parábola devemos ter dois pontos de interseção, logo a equação (4.11)
deve possuir duas raízes reais distintas. Para isto seu discriminante (delta) deve ser positivo, isto
é
a2 − 16 > 0 ∴ a < −4 ou a > 4.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
37
• para que a reta não possua interseção com a parábola (4.11) nâo deve possuir raízes reais. Para
isto seu discriminante (delta) deve ser negativo, isto é
a2 − 16 < 0 ∴ −4 < a < 4.
4.5.2
Parábolas com vértice na origem
A Figura 4.13 ilustra a quatro possibilidades de parábolas com vértice na origem5 :
6
x = 4py
y
diretriz
y
2
y=p
6
V (0, 0)
x
F (0, p)
F (0, −p)
x
V (0, 0)
y = −p
diretriz
(a) Côncava para cima
diretriz
x2 = −4py
(b) Côncava para baixo
y
y
6
x = −p
6diretriz
x=p
y 2 = 4px
V (0, 0)
y 2 = −4px
-
F (0, p)
(c) Côncava para direita
x
F (0, p)
V (0, 0)
x
(d) Côncava para esquerda
Figura 4.13: Parábolas com vértice na origem
5
Não estamos considerando aqui parábolas com eixos rotacionados, mas somente parábolas com eixo sobre um dos
eixos cartesianos
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
38
• Parábola com vértice na origem e concavidade para cima - Figura 4.13(a): conforme
vimos anteriormente o foco é o ponto F (0, p), a diretriz é a reta horizontal y = −p e o eixo é o
próprio eixo y . A equação desta parábola é
x2 = 4py.
(4.12a)
• Parábola com vértice na origem e concavidade para baixo - Figura 4.13(b): neste caso
observamos que o foco é o ponto F (0, −p), a diretriz é a reta horizontal y = p e o eixo é o próprio
eixo y . A equação desta parábola é
x2 = −4py,
(4.12b)
que o leitor deve deduzir de modo semelhante à dedução da equação (4.10).
• Parábola com vértice na origem e concavidade para a direita - Figura 4.13(c): neste
caso observamos que o foco é o ponto F (p, 0), a diretriz é a reta vertical x = −p e o eixo é o
próprio eixo x. A equação desta parábola é
y 2 = 4px,
(4.12c)
que o leitor deve deduzir de modo semelhante à dedução da equação (4.10).
• Parábola com vértice na origem e concavidade para a esquerda - Figura 4.13(d): neste
caso observamos que o foco é o ponto F (−p, 0), a diretriz é a reta vertical x = p e o eixo é o
próprio eixo x. A equação desta parábola é
y 2 = −4px,
(4.12d)
que o leitor deve deduzir de modo semelhante à dedução da equação (4.10).
Exemplo 4.9 Determine o foco e a diretriz da parábola y 2 = −12x, mostrada na Figura 4.14(a).
Comparando a equação dada com as equações na Figura 4.13 observamos que esta é uma parábola de
vértice na origem, eixo horizontal e concavidade voltada para a esquerda (indicada pelo sinal negativo).
Temos que
4p = 12 ∴ p = 3.
Assim o foco é o ponto (−3, 0) e a diretriz é a reta vertical x = 3.
Exemplo 4.10 Determine a equação da parábola com vértice na origem, eixo horizontal e que passa
pelo ponto (4, 8).
Pelas informações dadas observamos que trata-se de uma parábola com concavidade para a direita.
Assim, pela Figura 4.13 a equação desta parábola é da forma y 2 = 4px. Devemos simplesmente
determinar o valor do parâmetro p obrigando a parábola passar pelo ponto dado, isto é,
64 = 16p ∴ p = 4.
Assim a equação desta parábola, mostrada na Figura 4.14(b), é y 2 = 16x.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
y
39
6 x=3
x = −4
y
6
(4,8)
F (0, −3)
V (0, 0)
x
(a) Parábola do Exemplo 4.9
V (0, 0)
F (0, 4)
x
(b) Parábola do Exemplo 4.10
Figura 4.14: Parábolas dos Exemplos 4.9 e 4.10
4.5.3
Propriedade de reexão das parábolas
Muitas das aplicações das parábolas se baseiam em sua propriedade de reexão: seja P um ponto
qualquer da parábola. Considere os segmentos P F e P Q, onde P Q é paralelo ao eixo da parábola. Os
ângulos α e β formados pela tangente em P com estes segmentos, são iguais, conforme ilustrado na
Figura 4.15(a).
Esta propriedade é utilizada na construção de faróis da seguinte maneira: girando-se um arco de
parábola em torno de seu eixo obtemos uma superfície cuja forma é o espelho de um farol parabólico.
Quando a fonte de luz é colocada sobre o foco todas os raios luminosos que se reetirem na parábola
o farão paralelamente ao seu eixo. De modo análogo o princípio é também aplicado na construção de
antenas parabólicas, nas quais os receptores são colocado sobre o foco.
Exemplo 4.11 Um farol parabólico tem abertura circular cujo diâmetro é de 48 cm e profundidade,
sobre seu eixo, de 18 cm, conforme ilustrado na Figura 4.16(a). A que distância, sobre o eixo, a
lâmpada deverá ser posicionada?
Pela propriedade de reexão das parábolas a lâmpada deve ser posicionado sobre o foco. A solução
do problema consiste então em determinar a distância do foco ao vértice, isto é, o valor de p; e para tal
selecionamos uma seção transversal do farol que contenha seu eixo: uma parábola conforme ilustrado
na Figura 4.16(b). (Observamos que esta seção transversal pode ser posicionada em qualquer posição
sobre o sistema de eixos cartesianos, escolhemos uma de nossa conveniência).
Pelas medidas fornecidas observamos ainda que a parábola da Figura 4.16(b), cuja equação é da
forma y 2 = 4px, passa pelo ponto (18, 24). Substituindo as coordenadas deste ponto na equação da
parábola obtemos
242 = 72p ∴ p = 8.
Logo a lâmpada deverá ser posicionada sobre o eixo a 8 cm do vértice.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
40
α
P
Q
P
α=β
β
V
F
V
(a) Princípio de reexão
F
(b) Propriedade de reexão
Figura 4.15: Propriedade de reexão da parábola
4.6
Problemas Propostos
Problema 4.1 Esboce e determine a área da região do plano cartesiano delimitada por
x2 + y 2 ≤ 64, x + y ≥ 4 x ≥ 0 e y ≥ 0.
Problema 4.2 Escreva as equações das elipses mostradas na Figura 4.17 e determine as coordenadas
de sues focos.
Problema 4.3 Dada a elipse
x2
169
+
y2
144
= 1, esboce seu gráco e determine:
(a) o comprimento do semi-eixo maior
(c) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semi-eixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Problema 4.4 Dada a elipse 225x2 + 289y 2 = 65025, esboce seu gráco e determine:
(a) o comprimento do semi-eixo maior
(c) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semi-eixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Problema 4.5 Dada a elipse
x2
4
+
y2
9
= 1, esboce seu gráco e determine:
(a) o comprimento do semi-eixo maior
(c) as coordenadas dos focos
(b) o comprimento do semi-eixo menor
(d) as coordenadas dos vértices
Problema 4.6 Determine a equação da elipse de focos (±3, 0) e que passa pelo ponto (0, 4).
Problema 4.7 Determine a equação da elipse com centro na origem, um foco em (0, 3) e eixo maior
medindo 10 unidades.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
41
(18, 24)
y
6
24
18
-
V
x
V
24
(18, −24)
(a) Farol parabólico
(b) Seção transversal
Figura 4.16: Farol parabólico e seção transversal pelo seu eixo
Problema 4.8 Determine o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias aos pontos
(0, ±5) vale 26.
Problema 4.9 Determine os pontos em que a reta 5x + y = 5 intercepta a elipse 25x2 + y 2 = 25.
Problema 4.10 Determine os pontos em que a reta x + 2y = 6 intercepta a elipse x2 + 4y 2 = 20.
Esboce ambos os grácos no mesmo sistema de coordenadas e assinale os pontos de interseção.
Problema 4.11 A orbita da Terra é uma elipse e o sol ocupa um dos focos.
Problema 4.12 Esboce cada uma das parábolas, indicando as coordenadas do foco e a equação da
diretriz.
(a) y = 8x2
(c) y = −4x2
(e) x = 6y 2
(g) x2 = 2y
(b) y = 2x2
(d) y = 18 x2
(f ) x = −8y 2
(h) y 2 = 3x
Problema 4.13 Determine o valor de k para que a parábola y = kx2 tenha foco no ponto (3, 0).
Problema 4.14 Determine os pontos em que a reta x + y = 1 intercepta a parábola x2 − y = 0.
Problema 4.15 Em um farol parabólico a abertura tem diâmetro de 80 cm e profundidade, sobre seu
eixo, de 20 cm. Determine a distância, em relação ao vértice do farol, em que a lâmpada deve ser
posicionada.
Problema 4.16 Um telescópio reetor tem um espelho parabólico para o qual a distância do vértice
ao foco é 3 m. Se o diâmetro da abertura do espelho for 64 cm, qual a profundidade do espelho no
centro?.
Problema 4.17 Suponha que a órbita de um planeta tenha a forma de uma elipse com eixo maior
cujo comprimento é 500 milhões de quilômetros. Se a distância entre os focos for de 400 milhões de
quilômetros, ache a equação da órbita.
Problema 4.18 Escreva as equações das assíntotas de cada uma das hipérboles.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
42
y
6
y
46
4
6-
1
x
(a)
x
(b)
Figura 4.17: Elipses do Problema 4.2
(a) 9x2 − y 2 = 9
(b) 4x2 − 7y 2 = 28
(c) 4y 2 − 9x2 = 36
Problema 4.19 Para cada hipérbole dada determine as coordenadas dos vértices e dos focos, escreva
as equações de suas assíntotas e esboce-a (juntamente com suas assíntotas) no sistema de eixos.
(a)
x2
9
−
y2
4
=1
(b) y 2 − 4x2 =
16
(c) x2 − y 2 = 1
(d)
y2
9
−
x2
4
=1
Problema 4.20 Determine a equação da hipérbole que satisfaz as condições dadas.
(a) Focos (0, ±4) e vértices (0, ±1).
(b) Focos (±5, 0) e vértices (±3, 0).
(c) Vértices (±3, 0) com assíntotas y = ±2x.
Problema 4.21 Determine a equação da hipérbole com centro na origem, eixo principal vertical e que
passa pelos pontos (4, 6) e (1, −3).
Problema 4.22 Determine a equação de cada seção cônica.
(a) Hipérbole de vértices (0, ±7) e b = 3.
(b) Parábola de foco (0, −10) e diretriz y = 10.
(c) Elipse de vértices (0, ±10) e focos (0, ±5).
(d) Hipérbole de vértices (0, ±6) e assíntotas y = ±9x.
Problema 4.23 Determine o valor da constante m para que a reta y = mx + 8 seja tangente à elipse
16x2 + 25y 2 = 400.
Problema 4.24 Prove o princípio de reexão das parábolas, isto é, na Figura 4.15(a) mostre que
α = β.
CAPÍTULO 4. SEÇÕES CÔNICAS
43
Problema 4.25 Seja Q um ponto interior de uma dada circunferência (diferente do centro). Considere um ponto P que se move mantendo-se eqüidistante de Q e da circunferência. Mostre que o lugar
geométrico da trajetória de P é uma elipse.
Problema 4.26 Mostre que, para que a reta ax+by +c = 0 seja tangente à parábola y 2 = kx, devemos
ter 4ac = kb2 .
Capítulo 5
Seções cônicas transladadas
5.1
Introdução
No Capítulo anterior estudamos as seções cônicas posicionadas de forma conveniente em relação à
origem do sistema Cartesiano. O leitor se recordará que os vértices das parábolas e os centros das
circunferências, elipses e hipérboles sempre se localizavam na origem.
Entretanto este não é sempre o caso; podemos estudar parábolas com vértices locados em qualquer
ponto do sistema de eixos, e o mesmo pode ocorrer com centros das demais seções cônicas. Estudaremos
agora como as equações das seções cônicas se alteram quando as localizamos em posições diferentes
daquelas vistas anteriormente.
5.2
Translação de eixos
A idéia de uma translação de eixos é substituir um dado sistema de eixos por um outro sistema,
mantendo-se as respectivas direções dos eixos dados1 e cuja origem se localiza em um ponto de nossa
conveniência.
6y
6v
6
v
y
u
yo
yo
xo
(a) Sistemas de eixos xy e uv
P
u
x
xo
6
x
-
-
(b) Ponto P qualquer
Figura 5.1: Translação de eixos
1
Se as direções de ambos os eixos são alteradas por um mesmo ângulo ocorre uma rotação de eixos, conforme veremos
em Capítulo posterior.
44
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
45
A Figura 5.1(a) ilustra o sistema de coordenadas uv com origem no ponto (xo , yo ) do sistema de
coordenadas xy . Na Figura 5.1(b) assinalamos um ponto P qualquer do plano. No sistema uv as
cordenadas deste ponto são P (u, v), enquanto no sistema xy suas coordenadas são P (x, y). Nesta
Figura observamos facilmente as relações entre as coordenadas do sistema xy e as coordenadas do
sistema uv :
½
½
x = xo + u
u = x − xo
∴
(5.1)
y = yo + v
v = y − yo
As equaçãoes dadas em (5.1) são denominadas equações de translação de eixos.
5.2.1
Circunferência de raio r e centro (xo , yo )
A Figura 5.2(a) mostra uma circunferência de raio r e centro no ponto C(xo , yo ). A equação desta
circunferência pode ser facilmente obtida: se P é um ponto qualquer da circunferência então P C = r.
Usando a fórmula da distância entre dois pontos obtemos
p
PC = r ∴
(x − xo )2 + (y − yo )2 = r ∴ (x − xo )2 + (y − yo )2 = r2
que é a equação reduzida de uma circunferência de raio r e centro no ponto (xo , yo ).
6y
6y
6v
P (x, y)
P
r
yo
r
yo
C(xo , yo )
x
xo
(a) Circunferência com centro (xo , yo )
C
u
xo
x
(b) Centro na origem do sistema uv
Figura 5.2: Circunferências transladadas
Uma maneira alternativa, e mais simples, para obtermos a equação desta circunferência está
ilustrada na Figura 5.2(b). Nesta Figura introduzimos um novo sistema de eixos uv cuja origem se
localiza no centro da circunferência dada. Assim, em relação ao sistema uv , temos uma circunferência
de centro na origem e raio r, cuja equação, de acordo com a seção 4.2, é
u2 + v 2 = r2
Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos
(x − xo )2 + (y − yo )2 = r2
(5.2)
que é exatamente a equação de uma circunferência de raio r e centro no ponto (xo , yo ) em relação ao
sistema xy .
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
5.2.2
46
Elipses com centro em (xo , yo )
Eixo maior horizontal
A Figura 5.3(a) mostra uma elipse de eixo maior horizontal e centro no ponto C(xo , yo ). Nesta Figura
introduzimos um novo sistema de eixos uv cuja origem se localiza no centro da elipse dada. Assim, em
relação ao sistema uv , temos uma elipse de eixo maior horizontal e centro na origem, cuja equação, de
acordo com a seção 4.3, é
u2 v 2
+ 2 =1
a2
b
Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos
(x − xo )2 (y − yo )2
+
=1
a2
b2
(5.3a)
que é a equação de uma elipse de eixo maior horizontal e centro no ponto (xo , yo ) em relação ao sistema
xy .
6y
yo
6v
C
xo
6y
u
yo
V1
P2
F1
C
F2
P1
x
xo
(a) Elipse horizontal com centro (xo , yo )
V2
x
(b) Vértices e focos da elipse horizontal
Figura 5.3: Elipse horizontal transladada
Lembrando que na elipse o comprimento do eixo maior é 2a, do eixo menor é 2b e a distância focal
é 2c, na Figura 5.3(b) observamos que para uma elipse de eixo maior horizontal e centro no ponto
(xo , yo ) temos (em relação ao sistema xy ):
• os focos são os pontos F1 (xo − c, yo ) e F2 (xo + c, yo ),
• os vértices são os pontos V1 (xo − a, yo ) e V2 (xo + a, yo ),
• as extremidades do eixo menor são os pontos P1 (xo , yo − b) e P2 (xo , yo + b).
Exemplo 5.1 Consideremos a elipse de equação
(x−3)2
25
+
(y+2)2
9
= 1.
(a) Comparando-se a equação desta elipse com a equação (5.3a) concluímos que seu centro é o
ponto (3, −2)
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
47
(b) Também pela equação da elipse observamos que a = 5 e b = 3. Como a2 = b2 + c2 temos que
c = 4. Logo a distância focal vale 2c = 8.
(c) A Figura 5.4 ilustra esta elipse. Como se trata de uma elipse com eixo maior horizontal com
os pontos assinalados na Figura 5.4 podem ser obtidos da seguinte maneira:
• a partir do centro (3, −2) deslocamos a = 5 unidades para a esquerda e a = 5 unidades
para a direita para obtermos as coordenadas dos vértices, que respectivamente são (−2, −2)
e (8, −2);
• a partir do centro (3, −2) deslocamos c = 4 unidades para a esquerda e c = 4 unidades
para a direita para obtermos as coordenadas dos focos, que respectivamente são (−1, −2) e
(7, −2);
• a partir do centro (3, −2) deslocamos b = 3 unidades acima e b = 3 unidades abaixo para
obtermos as coordenadas das extremidades do eixo menor, que respectivamente são (3, 1) e
(3, −5).
y
6
(3,1)
-
(-2,-2)
(-1,-2)
(3,-2)
(7,-2)
x
(8,-2)
(3,-5)
Figura 5.4: Elipse com eixo maior horizontal e centro (3, −2)
Eixo maior vertical
A Figura 5.5(a) mostra uma elipse de eixo maior vertical e centro no ponto C(xo , yo ). De modo análogo
ao caso anterior, a equação desta elipse no sistema de eixos uv , de acordo com a seção 4.3, é
v 2 u2
+ 2 =1
a2
b
Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos
(y − yo )2 (x − xo )2
+
=1
a2
b2
(5.3b)
que é a equação de uma elipse de eixo maior vertical e centro no ponto (xo , yo ) em relação ao sistema
xy .
Na Figura 5.5(b) observamos que para uma elipse de eixo maior vertical e centro no ponto (xo , yo )
temos (em relação ao sistema xy ):
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
6y
48
6y
v
6
V2
F2
yo
C
u
yo
P1
C
P2
F1
xo
V1
x
(a) Elipse vertical com centro (xo , yo )
xo
x
(b) Vértices e focos da elipse vertical
Figura 5.5: Elipse vertical transladada
• os focos são os pontos F1 (xo , yo − c) e F2 (xo , yo + c),
• os vértices são os pontos V1 (xo , yo − a) e V2 (xo , yo + a),
• as extremidades do eixo menor são os pontos P1 (xo − b, yo ) e P2 (xo + b, yo ).
5.2.3
Hipérboles com centro em (xo , yo )
Eixo principal horizontal
A Figura 5.6(a) mostra uma hipérbole de eixo principal horizontal e centro no ponto C(xo , yo ).
Raciocinando de modo análogo à seção 5.2.2, a equação desta hipérbole no sistema de eixos uv , de
acordo com a seção 4.4, é
u2 v 2
− 2 =1
a2
b
Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos
(x − xo )2 (y − yo )2
−
=1
(5.4a)
a2
b2
que é a equação de uma hipérbole de eixo principal horizontal e centro no ponto (xo , yo ) em relação ao
sistema xy .
Lembrando-se que na hipérbole a distância entre os vértices vale 2a e entre os focos vale 2c, temos
que (em relação aos sistema xy ):
• os focos são os pontos F1 (xo − c, yo ) e F2 (xo + c, yo ),
• os vértices são os pontos V1 (xo − a, yo ) e V2 (xo + a, yo ),
• as assíntotas possuem inclinação ±b/a e como ambas passam pelo ponto (xo , yo ) suas equações
são
b
y − yo = ± (x − xo ).
(5.4b)
a
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
y6
49
y6
6v
assíntota
6v
assíntota
F2
assíntota
assíntota
V2
yo
F1
V1
V2
F2
u
u
yo
V1
F1
xo
x
(a) Hipérbole horizontal com centro (xo , yo )
xo
x
(b) Hipérbole vertical com centro (xo , yo )
Figura 5.6: Hipérboles transladadas
Eixo principal vertical
A Figura 5.6(b) mostra uma hipérbole de eixo principal vertical e centro no ponto C(xo , yo ). A equação
desta hipérbole no sistema de eixos uv , de acordo com a seção 4.4, é
v 2 u2
− 2 =1
a2
b
Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos
(y − yo )2 (x − xo )2
−
=1
(5.4c)
a2
b2
que é a equação de uma hipérbole de eixo principal vertical e centro no ponto (xo , yo ) em relação ao
sistema xy . Ainda para esta hipérbole observamos que (em relação aos sistema xy ):
• os focos são os pontos F1 (xo , yo − c) e F2 (xo , yo + c),
• os vértices são os pontos V1 (xo , yo − a) e V2 (xo , yo + a),
• as assíntotas possuem inclinação ±a/b e como ambas passam pelo ponto (xo , yo ) suas equações
são
a
y − yo = ± (x − xo ).
(5.4d)
b
5.2.4
Parábolas com vértice em (xo , yo )
A Figura 5.7 mostra uma parábola côncava para cima de vértice no ponto V (xo , yo ). A equação desta
parábola no sistema de eixos uv , de acordo com a seção 4.5, é
v 2 = 4pu.
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
50
Substituindo as variáveis u e v pela equações de translação de eixos dadas em (5.1) obtemos
(y − y0 )2 = 4p (x − x0 )
(5.5a)
que é a equação de uma parábola côncava para cima e vértice no ponto (xo , yo ) em relação ao sistema
xy . Ainda para esta parábola observamos que (em relação aos sistema xy ):
• o foco é o ponto F (xo , yo + p),
• seu eixo é a reta vertical x = xo ,
• a diretriz é a reta horizontal y = yo − p.
y
6
v
6
F
y0
V
u
diretriz
y = yo − p
x0
x
Figura 5.7: Parábola côncava para cima com vértice em (xo , yo )
A seguir sumarizamos os demais casos de parábolas com eixo paralelo a um dos eixos coordenados
e com vértice em (xo , yo ). É imprescindível que o leitor faça um esboço semelhante à Figura 5.7 para
cada caso, de modo a vericar a validade das informações dadas.
• concavidade para baixo: o foco é o ponto F (xo , yo − p), o eixo da parábola e a reta vertical
x = xo e a diretriz é a reta horizontal y = yo + p. Sua equação é
(y − y0 )2 = −4p (x − x0 )
(5.5b)
• concavidade para direita: o foco é o ponto F (xo +p, yo ), o eixo da parábola e a reta horizontal
y = yo e a diretriz é a reta vertical x = yo − p. Sua equação é
(x − x0 )2 = 4p (y − y0 )
(5.5c)
• concavidade para esquerda: o foco é o ponto F (xo − p, yo ), o eixo da parábola e a reta
horizontal y = yo e a diretriz é a reta vertical x = yo + p. Sua equação é
(x − x0 )2 = −4p (y − y0 )
(5.5d)
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
5.3
51
Esboço de seções cônicas
Nesta seção ilustraremos o esboço de diversas seções cônicas. Para tal, o primeiro passo é obter a
equação da seção cônica em sua forma reduzida:
• circunferência - equação (5.2)
• elipses - equações (5.3a) e (5.3b)
• hipérboles - equações (5.4a) e (5.4c)
• parábolas - equações (5.5a) a (5.5d)
Completando o quadrado
Uma maneira de se obter a forma reduzida da equação de uma seção cônica é através de um método
conhecido como completando o quadrado. Tal método consiste em reescrever uma expressão da forma
x2 + 2kx (utilizamos o coeciente 2k para o termo linear 2kx apenas por comodidade, evitando-se
assim o uso de frações) em uma forma equivalente contendo o termo quadrático
(x + k)2 .
Para isto devemos observar dois fatos:
(i) a segunda parcela do termo (x + k)2 é a metade do coeciente de x na expressão x2 + 2kx;
(ii) na expansão (x + k)2 = x2 + 2kx + k 2 surge o termo k 2 , que não ocorre em x2 + 2kx.
Concluímos então que
x2 + 2kx = (x + k)2 − k 2 .
(5.6)
A veracidade da equação (5.6) pode ser prontamente vericada, pois
(x + k)2 − k 2 = x2 + 2kx + k 2 − k 2 = x2 + 2kx.
Exemplo 5.2 Completar o quadrado nas expressões x2 + 6x e x2 − 8x + 3.
(a) x2 + 6x = (x + 3)2 − 9.
Observe que 3 é a metade do coeciente do termo linear 6x; além disto devemos subtrair 9 do
termo (x + 3)2 para que a igualdade seja verdadeira.
(b) x2 − 8x + 3 = (x − 4)2 − 16 + 3 = (x − 4)2 − 13.
Observe que −4 é a metade do coeciente do termo linear −8x; além disto devemos subtrair 16
do termo quadrático para que a igualdade seja verdadeira.
Exemplo 5.3 Esboce a curva dada pela equação x2 + y 2 − 8x − 6y + 9 = 0
• Inicialmente reescrevemos a equação dada agrupando os termos de mesma variável e isolando o
termo constante
(x2 − 8x) + (y 2 − 6y) = −9.
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
52
• A seguir completamos os quadrados para as variáveis x e y e simplicamos
(x − 4)2 − 16 + (y − 3)2 − 9 = −9 ∴ (x − 4)2 + (y − 3)2 = 16.
• Finalmente comparamos a equação obtida com as equações reduzidas das seções cônicas. Neste
caso, de acordo com a equação (5.2), concluímos que (x − 4)2 + (y − 3)2 = 16 é a equação de
uma circunferência de centro (4, 3) e raio 4.
• Na Figura 5.8 indicamos o centro e os extremos dos diâmetros paralelos aos eixos coordenados,
que nos auxiliam no traçado da circunferência.
y
6
(0, 3)
(4, 8)
(4, 3)
(9, 3)
x
(4, -1)
Figura 5.8: Circunferência de centro (3, −2) e raio 4
No Exemplo anterior devemos ressaltar que, como as equações
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 36 e x2 + y 2 − 8x − 6y + 9 = 0
são equivalentes, ambas descrevem o mesmo lugar geométrico: a circunferência de centro (4, 3) e raio
r = 4. Ocorre que a forma
(x − 4)2 + (y − 3)2 = 36
é muito mais vantajosa, pois nos informa imediatamente o centro e o raio da circunferência em questão.
Evidentemente tais informações não podem ser prontamente obtidas quando expandimos os termos
quadráticos da equação anterior e a reescrevemos na forma
x2 + y 2 − 8x − 6y + 9 = 0.
Exemplo 5.4 Esboce a curva dada pela equação 25x2 + 9y 2 + 200x − 90y + 400 = 0
• Reescrevemos a equação dada agrupando os termos de mesma variável e isolando o termo constante
(25x2 + 200x) + (9y 2 − 90y) = −400.
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
53
• A seguir fatoramos os coecientes dos termos quadráticos
25(x2 + 8x) + 9(y 2 − 10y) = −400.
• completamos os quadrados para as variáveis x e y e simplicamos
£
¤
£
¤
25 (x + 4)2 − 16 + 9 (y − 5)2 − 25 = −400
25(x + 4)2 − 400 + 9(y − 5)2 − 225 = −400
25(x + 4)2 + 9(y − 5)2 = 225
(x + 4)2 (y − 5)2
+
= 1.
9
25
• Comparando com as equações reduzidas das seções cônicas observamos que a equação obtida é
da forma (5.3b); logo trata-se da equação de uma elipse de centro (−4, 5), eixo maior vertical
de comprimento 10 (a = 5) e eixo menor horizontal de comprimento 6 (b = 3). Como na elipse
a2 = b2 + c2 temos que c = 4 e a distância focal vale 8.
• Na Figura 5.9 indicamos o centro, os vértices e os extremos do eixo menor, que nos auxiliam no
traçado da elipse. Indicamos também seus focos F1 (−4, 1) e F2 (−4, 9).
(-4, 10)
6y
F2
(-7, 5)
(-1, 5)
F1
(-4, 0)
x
Figura 5.9: Elipse com eixo maior vertical e centro (−4, 5)
Exemplo 5.5 Esboce a curva dada pela equação 4x2 − 9y 2 − 16x − 20 = 0
• Reescrevemos a equação dada agrupando os termos de mesma variável e isolando o termo constante
(4x2 − 16x) − 9y 2 = 20.
• A seguir fatoramos o coecientes do termo quadrático em x
4(x2 − 4x) − 9y 2 = 20.
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
54
• completamos o quadrado para a variável x e simplicamos
£
¤
4 (x − 2)2 − 4 − 9y 2 = 20
4(x − 2)2 − 16 − 9y 2 = 20
4(x − 2)2 − 9y 2 = 36
(x − 2)2 y 2
−
= 1.
9
4
• Comparando com as equações reduzidas das seções cônicas observamos que a equação obtida é da
forma (5.4a); logo trata-se da equação de uma hipérbole de centro
√ (2, 0), eixo principal horizontal,
√
a = 3 e b = 2. Como na hipérbole c2 = a2 + b2 temos que c = 13 e a distância focal vale 2 13.
• Pela equação (5.4b) temos que as assíntotas desta hipérbole são
y−0=±
isto é,
2
(x − 2)
3
2x − 3y = 4 e 2x + 3y = 4.
• Na Figura 5.10 traçamos as assíntotas e indicamos o centro
√ e os vértices, que
√ nos auxiliam no
traçado da hipérbole. Indicamos também seus focos F1 (2 − 13, 0) e F2 (2 + 13, 0).
y
6
(-4, 4)
(8, 4)
(−1, 0)
F1
(5, 0)
2
F2
(-4, -4)
x
(8, -4)
Figura 5.10: Hipérbole com eixo principal horizontal e centro (2, 0)
Exemplo 5.6 Esboce a curva dada pela equação y 2 − 2y − 4x − 7 = 0
• completamos o quadrado para a variável y e simplicamos
y 2 − 2y = 4x + 7
(y − 1)2 − 1 = 4x + 7
(y − 1)2 = 4x + 8
(y − 1)2 = 4(x + 2).
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
55
• Comparando com as equações reduzidas das seções cônicas observamos que a equação obtida é
da forma (5.5c); logo trata-se da equação de uma parábola de vértice (−2, 1), eixo horizontal,
concavidade voltada para a direita e distância do centro ao foco p = 1.
• Na Figura 5.11 traçamos a diretriz x = −3 e indicamos o vértice V (−2, 1) e o foco F (−1, 1),
que nos auxiliam no traçado da parábola.
y
6
diretriz
x = −3
V
F
x
Figura 5.11: Parábola com eixo horizontal e vértice (−2, 1)
Exemplo 5.7 Esboce a curva dada pela equação x2 − 6x − 12y − 15 = 0
• completamos o quadrado para a variável x e simplicamos
x2 − 6x = 12y + 15
(x − 3)2 − 9 = 12y + 15
(x − 3)2 = 12y + 24
(x − 3)2 = 12(y + 2).
• Comparando com as equações reduzidas das seções cônicas observamos que a equação obtida
é da forma (5.5a); logo trata-se da equação de uma parábola de vértice (3, −2), eixo vertical,
concavidade voltada para cima e distância do centro ao foco p = 3.
• Na Figura 5.12 traçamos a diretriz y = −6 e indicamos o vértice e o foco, que nos auxiliam no
traçado da parábola.
5.4
Problemas Propostos
Problema 5.1 Determine a equação e esboce a elipse de
(a) vértices (±5/2, 0) e foco (3/2, 0);
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
56
6y
(3, 1)
x
(3, −2)
diretriz: y = − 6
Figura 5.12: Parábola com eixo vertical e vértice (3, −2)
√
(b) focos (0, ±3) e eixo maior de comprimento 6 3;
√
(c) vértices (±2, 0) e passa pelo ponto (−1, 3/2);
(d) centro em (4, −2), vértice (9, −2) e foco (0, −2).
Problema 5.2 Determine a equação e esboce a hipérbole de
(a) Vértices (±2, 0) b = 3;
(b) centro na origem, focos sobre o eixo y e passa pelos pontos (−2, 4) e (−6, 7);
(c) foco (26, 0) e assíntotas 12y = ±5x;
(d) centro (−2, −1), vértice (−2, 11) e foco (−2, 14).
Problema 5.3 Determine a equação e esboce a parábola de
(a) foco (5, 0) e diretriz x = −5;
(b) foco (0, −2) e diretriz y − 2 = 0;
(c) vértice na origem, eixo vertical e passa pelo ponto (−2, −4).
Problema 5.4 Esboce a curva dada pela equação
(a) x2 + y 2 − 2x − 6y + 6 = 0
(c) x2 + y 2 + 2x − 4y + 5 = 0
(b) x2 + y 2 + 6x − 4y − 12 = 0
(d) x2 + y 2 − 6x − 12y + 49 = 0
Problema 5.5 Esboce a curva dada pela equação
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
(a) 2x2 + y 2 + 16x − 4y + 32 = 0
57
(d) x2 − 3y 2 + 6x + 6y + 3 = 0
(b) 3x2 + 2y 2 + 18x − 8y + 29 = 0
(c) 3x2 − 2y 2 − 42x − 4y + 133 = 0
(e) 25y 2 − 16x2 − 150y − 45x − 239 = 0
Problema 5.6 Esboce a curva dada pela equação
(a) x2 + 5y + 5 = 0
(d) y 2 − 4y − 2x + 2 = 0
(b) y 2 − 2x + 6 = 0
(e) y 2 − 6y + 3x + 21 = 0
(c) x2 − 2x − 3y − 5 = 0
(f ) x2 − 2x − 2y − 5 = 0
Problema 5.7 Esboce a curva dada pela equação
(a) y 2 − 10y − 8x + 17 = 0
(d) 4x2 + 40x + y 2 − 6y + 108 = 0
(b) 4x2 − 32x + 9y 2 − 36y + 64 = 0
(e) y 2 + 8y − 2x + 22 = 0
(c) 25x2 + 250x − 16y 2 + 32y + 209 = 0
(f ) 3x2 + 5y 2 − 6x − 12 = 0
Problema 5.8 Determine a equação e esboce a parábola de eixo vertical e que passa pelos ponto
(−4, 21), (−2, 11) e (4, 5).
Problema 5.9 O teto de um saguão com 10 m de largura tem a forma de uma semi-elipse com 9 m
de altura nas paredes laterais. Ache a altura do teto a 2 m de cada parede.
Problema 5.10 O arco de uma ponte tem a forma de uma semi-elipse com um vão horizontal de 40 m
e com 16 m de altura no centro. Qual a altura do arco a 9 m à esquerda ou à direita do centro?
Problema
√ 5.11 Os vértices de uma hipérbole estão em (−3, −1) e (−1, −1) e a distância entre os
focos é 2 5. Ache:
(a) a equação da hipérbole;
(b) as equações das assíntotas.
Problema 5.12 Ache a equação da hipérbole cujos focos são os vértices da elipse 7x2 + 11y 2 = 77 e
cujos vértices são os focos dessa elipse.
Problema 5.13 O cabo de uma ponto suspensa tem a forma de uma parábola quando a carga é uniformemente distribuída na horizontal. A distância entre duas colunas é 150 m, os pontos de suporte
do cabo nas colunas estão 22 m acima da pista e o ponto mais baixo do cabo está 7 m acima da pista.
Ache a distância vertical do cabo a um ponto na pista a 15 m do pé de uma coluna.
Problema 5.14 A equação da diretriz de uma parábola é x + y = 0 e seu foco está no ponto (1, 1).
Determine:
(a) a equação do eixo da parábola;
(b) as coordenadas do vértice;
(c) o comprimento do latus rectum (corda perpendicular ao foco).
Apêndice A
Respostas dos problemas propostos
Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 1
• Problema 1.1 (pág. 3)
√
√
20 + 26 + 34
√
√
√
(b) 2 5 + 4 10 + 2 17
(a)
√
√
√
√
41 + 4 2
√
√
√
√
√
(d) 2 5 + 37 + 41 + 2 13 + 6 2
(c) 5 + 2 5 +
• Problema 1.2 (pág. 3)
y
6
y
6
y
6
y
6
5
x
2
(a) x > 2
3
x
(b) x > 3 e y < 5
−2
4
x
(c) −2 ≤ x < 4
• Problema 1.3 (pág. 4)
1
5
x
(d) 1 ≤ x < 5 e y > 0
• Problema 1.6 (pág. 4)
(a) simétricos em relação ao eixo x
(a) Escaleno
(b) Isóceles
(c) Escaleno
(b) simétricos em relação ao eixo y
(c) simétricos em relação à origem
(d) simétricos em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares
• Problema 1.4 (pág. 4)
(e) Isóceles
• Problema 1.7 (pág. 4)
(a) Ponto (4, 3)
√
√
√
(a) AB = 2 , AC = 2 2 , BC = 3 2
√
√
√
(b) AB = 5 5 , AC = 2 5 , BC = 7 5
√
√
√
(c) AB = 4 5 , AC = 2 5 , BC = 6 5
(d) Isóceles
(b) Ponto (3, −2)
• Problema 1.8 (pág. 4) (3, −2) e (3, 14)
• Problema 1.9 (pág. 4) Centro (3, −2) e raio
• Problema 1.11 (pág. 4)
• Problema 1.5 (pág. 4)
√
(a) Perímetro: 8 + 2 10. Área: 6
√
(b) Perímetro: 6 + 3 2. Área:
9
2
58
(a)
2,
(b)
3,
5
3
3
2
(c) (10, 7)
√
5
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
59
• Problema 1.12 (pág. 5) r = 2
• Problema 1.17 (pág. 5) A(7, 3), B(−1, 1) e C(−1, 5)
• Problema 1.13 (pág. 5) C(−18, −26)
• Problema 1.18 (pág. 5)
• Problema 1.14 (pág. 5) B(4, 5)
(a)
• Problema 1.15 (pág. 5) C(−8, 3)
• Problema 1.16 (pág. 5)
(a) 3, 25 , 4, 32 e (6, 4)
(b) (0, 0), − 32 , 52 e 32 , 52
(c) (−1, −2), 32 , 11
e − 12 , − 12
2
e − 52 , 3 e − 19
,1
(d) −4, 11
2
2 2
√
√
3 6 3 6
, 2
2
e7
√
√
685
, 109
2
2
(b)
x1 +x2 +x3
3
• Problema 1.19 (pág. 5)
,
e
√
61
2
y1 +y2 +y3 3
• Problema 1.20 (pág. 5)
1 5
,
3 3
(a)
4
,1
3
(b)
Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 2
• Problema 2.1 (pág. 14)
• Problema 2.6 (pág. 14)
(a) y = −x + 5
(h) y = 9x − 14
(b) y = x + 3
(i) y = −9x − 14
(c) y = 2x + 7
(j) y = −x − 6
(d) y = 2x + 3
(k) y = 3
(e) y = 5x + 6
(l) y = 1
(f) y = −3x + 2
(m) x = 1
(g) y = −3x − 2
(n) x = 3
(a) k = −4
Se a = 0, reta horizontal
Se a @, reta vertical
• Problema 2.2 (pág. 14)
(a) y = x + 2
(d) y = x − 5
(e) y = 3x − 1
(f) y = − 31 x +
• Problema 2.3 (pág. 14)
(a) sim
(b) não
(a) 4
(c)
√
6 5
5
(b) 1
(d)
23
√
26
7
3
(a)
√5
13
(c)
4
√
3 2
(b)
√14
10
(d)
10
√
26
• Problema 2.12 (pág. 15) 3x + 4y + 30 = 0 ou 3x + 4y = 0
(c) sim
• Problema 2.13 (pág. 15) 3x + y − 7 = 0
• Problema 2.14 (pág. 15)
• Problema 2.4 (pág. 14)
(a) não
(b) sim
(c) 2y − 3 = 0
(d) 2y − 5 = 0
• Problema 2.11 (pág. 15)
(b) y =
(c) y = −x + 8
(a) y = −3x + 4
(b) 4x + 3y + 5 = 0
• Problema 2.8 (pág. 15)
Se a < 0, reta descendente
√
3x−2 3+4
(c) k = 6
• Problema 2.7 (pág. 15)
Se a > 0, reta ascendente
√
(b) k = ±3
(a) (5, 0)
(b) (0, −10)
(c) sim
• Problema 2.15 (pág. 16)
(a)
• Problema 2.5 (pág. 14)
(a) (2, 0)
(c) ( 83 , 18 )
(b) (2, −3)
(d)
@
atm
. Para cada aumento de 1 m na profundidade
m
1
há um aumento de 10
atm na pressão.
(b) 1 atm. Na superfície a pressão é de 1 atm.
• Problema 2.16 (pág. 16)
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
(a)
o
F
oC
. Para cada aumento de 1 o C há um aumento
de 59 o F na temperatura.
(b) 32 o F . Quando a temperatura for 0 o C na escala
Celsius vale 32o F na escala Farenheit.
• Problema 2.17 (pág. 16) a = b = 4
• Problema 2.18 (pág. 16) f (x) =
2
x
3
• Problema 2.19 (pág. 16) f (3) = − 52
60
• Problema 2.20 (pág. 16)
(a) d = 450t.
(b) Omitida!
(c) a velocidade do avião.
• Problema 2.21 (pág. 16) Omitida! Pense um pouco mais!
Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 3
• Problema 3.1 (pág. 20) 5x + 4y = 32
• Problema 3.7 (pág. 20) y 2 − 2y + 8x = 4
• Problema 3.2 (pág. 20) x2 + y 2 − 2x + 2y = 20
• Problema 3.8 (pág. 20) x2 + y 2 − 2xy + −4x − 4y = −4
• Problema 3.3 (pág. 20) x2 + y 2 − 2x + 4y = 0
• Problema 3.9 (pág. 20) 3x2 + 4y 2 = 0
• Problema 3.4 (pág. 20) x2 + y 2 = 124
• Problema 3.10 (pág. 20) y 2 − 4y + 4 = 0
• Problema 3.5 (pág. 20) 3y = 16
• Problema 3.11 (pág. 21) x2 − y 2 − 2x + 25 = 0
• Problema 3.6 (pág. 20) x2 − 6x − 8y = −33
• Problema 3.12 (pág. 21) 4x + 6y = 21 ou 4x + 6y = −3
Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 4
• Problema 4.1 (pág. 40) 16π − 8
• Problema 4.12 (pág. 41)
• Problema 4.2 (pág. 40)
√
(a) 16x2 + 36y 2 = 576; (±2 5, 0)
√
(b) 16x2 + y 2 = 16; (0, ± 15)
• Problema 4.3 (pág. 40)
(a)
0,
(b)
0,
(c)
(d)
(a) a = 13
(c) (±5, 0)
(b) b = 12
(d) (±13, 0)
• Problema 4.4 (pág. 40)
1
32
1
8
1
; y = − 32
(e)
; y = − 18
1
0, − 16
;y=
0, −2 ; y = 2
(f)
1
16
(g)
(h)
• Problema 4.13 (pág. 41) k =
(a) a = 17
(c) (±8, 0)
(d) (±17, 0)
1
1
, 0 ; x = 32
− 32
0, 21 ; y = − 12
3
, 0 ; x = − 34
4
1
12
e
√
√ −1− 5 3+ 5
, 2
2
• Problema 4.15 (pág. 41) 20 cm
• Problema 4.16 (pág. 41)
• Problema 4.5 (pág. 40)
1
; x = − 24
• Problema 4.14 (pág. 41)
√
√ −1+ 5 3− 5
, 2
2
(b) b = 15
1
,0
24
16
3
cm
• Problema Problema 4.17 (pág. 41)
(a) a = 3
√
(c) (0, ± 5)
(b) b = 2
(d) (0, ±3)
• Problema 4.6 (pág. 40) 16x2 + 25y2 = 400
• Problema 4.7 (pág. 40) 25x2 + 16y2 = 400
• Problema 4.8 (pág. 41) 169x2 + 12y2 = 2028
• Problema 4.9 (pág. 41) (0, 5) e (1, 0)
• Problema 4.10 (pág. 41) (2, 2) e (4, 1)
9x2 + 25y 2 = 56.250.000
• Problema 4.18 (pág. 41)
(a) y = ±3x
(b) y = ± √27 x
(c) x = ± 23 y
• Problema 4.19 (pág. 42)
√
(a) (±3, 0), (± 13, 0), y = ± 23 x
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
√
(b) (0, ±4), (0, ±2 5), y = ±2 x
• Problema 4.21 (pág. 42) 5y 2 − 9x2 = 36
√
(c) (±1, 0), (± 2, 0), y = ±x
√
(d) (0, ±3), (0, ± 13), y = ± 32 x
• Problema 4.22 (pág. 42)
• Problema 4.20 (pág. 42)
(a)
−
= 15
(b) 16x2 − 9y 2 = 144
15y 2
(c)
x2
61
36x2
−
9y 2
(a) 9y 2 − 49x2 = 441
(c) 4x2 + 3y 2 = 300
(b)
(d) y 2 − 81x2 = 36
x2
= −40y
= 324
• Problema 4.23 (pág. 42) m = ± 48
25
Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 5
• Problema 5.1 (pág. 55)
(a) 16x2 + 25y 2 = 100
(b)
3x2
(c)
x2
+
+
2y 2
4y 2
(d) 9(x −
(e) hipérbole:
= 54
2
(x+2)
25
=4
4)2
+ 25(y +
2)2
= 225
= 1 e assíntotas y + 2 =
± 45 (x
(y−3)2
16
−
− 3)
(a) parábola: vértice (0, −1), p = 5/4 e equação x2 =
−5(y + 1)
(b) parábola: vértice (3, 0), p = 1/2 e equação y 2 =
(a) 9x2 − 4y 2 = 36
2(x − 3)
(b) 32y 2 − 33x2 = 380
(c) parábola:
vértice (1, −2), p = 3/4 e equação
(d) parábola:
vértice (−1, 2), p = 1/2 e equação
(x − 1)2 = 3(y + 2)
(c) 25x2 − 144y 2 = 14.400
(d) 81(y + 1)2 + 144(x + 2)2 = 11.664
(y − 2)2 = 2(x + 1)
(e) parábola:
vértice (−4, 3), p = 3/4 e equação
(y − 3)2 = −3(x + 4)
• Problema 5.2 (pág. 56)
(a) y 2 = 20x
(b) x2 = −8y
(f) parábola:
vértice (1, −3), p = 1/2 e equação
(x − 1)2 = −2(y + 3)
(c) x2 = −y
• Problema 5.7 (pág. 57)
• Problema 5.4 (pág. 56)
(a) circunferência: centro (1, 3), raio 2 e equação (x −
1)2 + (y − 3)2 = 4
(b) circunferência: centro (−3, 2), raio 5 e equação
(x + 3)2 + (y − 2)2 = 25
(a) parábola: vértice (−1, 5), foco (1, 5), diretriz x =
−3 e equação (y − 5)2 = 8(x + 1)
(b) elipse: centro (4, 2), vértices (7, 2) e (1, 2), focos
(4 ±
√
5, 2) e equação
(x−4)2
9
(d) conjunto vazio: lugar geométrico não existe (circunferência com raio negativo)
• Problema 5.5 (pág. 56)
√
(a) elipse: centro (−4, 2), vértices (−4 ± 2 2, 2), focos
(−2, 2) e (−6, 2), e equação
(x+4)2
8
+
(y−2)2
4
(b) elipse: centro (−3, 2), vértices (−3, 2 ±
(−3, 3) e (−3, 1), e equação
(x+3)2
2
+
equação
assíntotas y + 1 = ±
√
6
(x
2
(x−7)
3
−
√
3, −1), fo2
(y+1)
9/2
=1e
− 7)
(d) hipérbole: centro (−3, 1), vértices (−3 ±
cos −1, 1) (−5, 1), equação
e assíntotas y − 1 =
=1
√
± 33 (x
(x+3)2
3
+ 3)
√
3, 1), fo-
− (y − 1)2 = 1
(y−2)2
4
=1
2
(y−1)
e equação (x+5)
− 25 = 1
16
(d) elipse: centro√(−5, 3), vértices (−5, 2) e (−5, 4), focos (−5, 3 ± 23 ) e equação 4(x + 5)2 + (y − 3)2 = 1
(e) parábola: vértice (3, −4), foco (7/2, −4), diretriz
x = 5/2 e equação (y + 4)2 = 2(x − 3)
√
(f) elipse: centro (1, 0), vértices (1 ± 5, 0), focos
(1 ±
=1
3), focos
(y−2)2
3
(c) hipérbole: centro (7, −1), vértices (7 ±
2
√
+
(c) hipérbole: centro
√ (−5, 1), vértices (−9, 1) e (−1, 1),
focos −5 ± 41, 1), assíntotas y − 1 = ± 54 (x + 5)
2
(c) ponto (−1, 2)
cos 7 ±
vértices (−2, 7) e
√
41), equação
• Problema 5.6 (pág. 57)
• Problema 5.2 (pág. 56)
√
30
, −1 ,
2
centro (−2, 3),
(−2, −1), focos −2, 3 ±
√
2, 0) e equação
(x−1)2
5
• Problema 5.8 (pág. 57) diretriz y = 32 e foco 52 , 3
(x − 2)2
• Problema 5.9 (pág. 57)
42
5
• Problema 5.10 (pág. 57)
3
4
+
y2
3
=1
= 2(y − 3), vértice (2, 3),
m
√
319 m
• Problema 5.11 (pág. 57)
(a)
(x+2)2
1
1
−
(y+1)2
4
=
(b) 2x − y + 3 = 0 e
2x + y + 5 = 0
CAPÍTULO 5. SEÇÕES CÔNICAS TRANSLADADAS
• Problema 5.12 (pág. 57) 7x2 − 4y 2 = 28
• Problema 5.13 (pág. 57) 16, 6 m
62
• Problema 5.14 (pág. 57)
(a) y = x
(b)
1 1
,
2 2
√
(c) 2 2