Controlo
Estatístico do
Processo
Gestão da Produção II
LEM-2004/2005
Paulo Peças
CEP
• Os processos produtivos apresentam sempre um
dado nível de variabilidade como resultado apenas
da sua aleatoriedade intrínseca.
• Um processo controlado exibe um padrão estável de
variabilidade.
• Se um processo trabalha para além desse padrão
estável é porque existe uma causa.
• Há que encontrar essa(s) causa(s) porque:
– Deteriora a qualidade do processo
– Melhora a qualidade do processo
• Assume-se em geral que um processo é estável
(controlado) até haver evidências do contrário.
CEP
• Materializa-se nos Gráficos de Controlo (Shewhart)
• Tipos:
– Gráficos de Controlo por Variáveis
• Gráficos X-barra ( X )
• Gráficos R
- Gráfico X se n=1
- Gráfico Rm se n=1
– Gráficos de Controlo por Atributos
• Gráficos P
• Gráficos C
• Caracterizam-se por:
– Monitorizar a consistência do processo ao longo do tempo
– Gráficos CV – nível média e a variabilidade
– Gráficos CA – proporção de defeituosos
• São incompletos em termos de:
– Não indicam se se estão a respeitar as tolerâncias de forma consistente
– Não explicitam nem eliminam as causas de descontrolo
Gráfico de Controlo por Variáveis
Valor alvo da variável de controlo: 10 mm; Tolerância +/- 0,5 mm
Amostra
Réplica 1
Réplica 2
Réplica 3
Réplica 4
Réplica 5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
9,90
10,11
9,98
9,30
10,25
9,99
10,49
9,60
10,45
9,90
9,90
10,41
10,60
10,20
10,08
9,90
9,95
10,23
10,01
10,38
10,11
10,93
10,39
10,34
10,00
10,12
10,47
10,45
9,70
10,26
10,22
9,98
9,55
9,50
10,41
10,02
10,36
10,70
10,21
10,08
10,42
10,33
10,21
10,24
10,26
10,29
10,17
10,11
9,93
10,26
10,36
10,06
10,25
10,45
10,26
10,31
10,40
9,80
9,80
10,02
10,34
9,95
10,80
9,93
9,90
10,45
10,06
10,40
10,49
10,29
10,05
10,07
10,40
9,91
10,12
10,18
10,35
10,10
10,30
9,96
10,00
10,29
10,19
9,93
10,31
10,20
9,99
10,40
10,15
10,38
10,21
10,49
10,17
10,46
10,34
10,13
10,34
10,26
10,24
10,11
9,98
10,18
9,99
10,08
10,31
10,20
10,33
10,14
9,40
10,24
10,30
10,42
10,39
10,24
10,01
10,00
10,39
10,46
9,98
10,44
10,15
9,44
10,47
10,30
9,99
Média
amostra
10,11
10,23
10,15
9,97
10,21
10,14
10,30
9,86
9,82
10,18
10,15
10,23
10,58
10,15
10,09
10,20
10,24
10,29
10,24
10,34
10,15
10,19
10,33
10,14
10,10
10,17
Amplitude
0,46
0,41
0,47
1,15
0,35
0,32
0,51
0,64
1,05
0,51
0,44
0,47
0,41
0,31
0,48
0,55
0,54
0,29
0,51
0,18
0,24
1,49
0,36
0,43
0,27
0,51
Gráfico de Controlo por Variáveis
Medições individuais (mm)
11
10,75
Limite superior da
especificação (10,5 mm)
10,5
10,25
10
9,75
Limite inferior da
especificação (9,5 mm)
9,5
9,25
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nº do sub-grupo
Este gráfico não é um gráfico de controlo de Shewart !
No entanto pode ser usado em ambiente fabril para apoio ao controlo do processo
Médias dos sub-grupos (mm)
Gráfico de Controlo por Variáveis
11
10,75
10,5
10,25
10
9,75
9,5
9,25
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nº do sub-grupo
Este gráfico não é um gráfico de controlo de Shewart !
Num gráfico onde se exibem valores médios não devem estar presentes apenas
os limites de especificação e o valor alvo. Deve-se representar os valores das
réplicas também.
Medições individuais e médias (mm)
Gráfico de Controlo por Variáveis
11
10,75
Limite superior da
especificação (10,5 mm)
10,5
10,25
10
9,75
Limite inferior da
especificação (9,5 mm)
9,5
9,25
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nº do sub-grupo
Este gráfico não é um gráfico de controlo de Shewart !
Num gráfico onde se exibem valores médios não devem estar presentes
apenas os limites de especificação e o valor alvo. Deve-se representar
os valores das réplicas também.
Gráfico de Controlo por Variáveis
Médias dos sub-grupos (mm)
11
Gráfico X
10,75
Limite superior de controlo (10,47 mm)
10,5
10,25
10
Limite inferior de controlo (9,88 mm)
9,75
9,5
9,25
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nº do sub-grupo
Este gráfico é um gráfico de controlo de Shewart !
Amplitudes dos sub-grupos (mm)
Gráfico de Controlo por Variáveis
Gráfico R
1,6
1,4
1,2
Limite superior de controlo (1,08 mm)
1
0,8
Amplitude média
(0,51 mm)
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nº do sub-grupo
Este gráfico é um gráfico de controlo de Shewart !
Gráfico de Controlo por Variáveis
Médias dos sub-grupos (mm)
11
Gráfico X
/2:  = probabilidade do erro Tipo I
10,75
Limite superior de controlo (10,47 mm)
10,5
10,25
10
Limite inferior de controlo (9,88 mm)
9,75
/2:  = probabilidade do erro Tipo I
9,5
9,25
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nº do sub-grupo
Erro do Tipo I – “Falso Alarme” – Considerar o processo fora de
controlo sendo este facto Falso. O valor do sub-grupo deve-se apenas à
variabilidade natural e não a uma causa específica.
Gráfico de Controlo por Variáveis
• Formulário
– Gráficos X :
in1 Xi
X
n
mj 1 X j
X
m
X : valor médio do sub-grupo
i: número da medição do sub-grupo
n: nº de medições do sub-grupo
X : média dos valores médios dos sub-grupos
j: número do sub-grupo
m: número de sub-grupos
LSC  X  A2 R
LIC  X  A 2 R
– Gráficos R:
 mj 1 R j
R
m
LSC  D4 R
LIC D3 R
R : médias das amplitudes dos sub-grupos
j: número do sub-grupo
m: número de sub-grupos
Rj: amplitude do sub-grupo j
Gráfico de Controlo por Variáveis
Factores para a determinação a partir de R,
dos limites de controlo 3 para os gráficos X e R
Número de observações no
subgrupo (n)
Factor para gráfico X
A2
Gráfico X
d2
Factores para gráfico R
D3
D4
2
1,88
1,128
0
3,27
3
1,02
1,693
0
2,57
4
1,02
2,059
0
2,28
5
0,58
2,326
0
2,11
6
0,48
2,534
0
2,00
7
0,42
2,704
0,08
1,92
8
0,37
2,847
0,14
1,86
9
0,34
2,970
0,18
1,82
10
0,31
3,078
0,22
1,78
11
0,29
3,173
0,26
1,74
12
0,27
3,258
0,28
1,72
13
0,25
0,31
1,69
14
0,24
0,33
1,67
15
0,22
0,35
1,65
16
0,21
0,36
1,64
17
0,20
0,38
1,62
18
0,19
0,39
1,61
19
0,19
0,40
1,60
20
0,18
0,41
1,59
Gráfico de Controlo por Variáveis
Gráfico X
Médias dos sub-grupos (mm)
11
10,75
Limite superior de controlo (10,43 mm)
10,5
Valor médio
(10,20 mm)
10,25
10
Limite inferior de controlo (9,96 mm)
9,75
9,5
9,25
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Nº do sub-grupo
Limites de Controlo Revistos (retirando pontos 4,8,9,13,22): X  10,20 ; R  0,41
LSC  10,20  0,58* 0,41  10,43
LSC  10,20  0,58* 0,41  9,96
Amplitudes dos sub-grupos (mm)
Gráfico de Controlo por Variáveis
Gráfico R
1,6
1,4
1,2
1
Limite superior de controlo (0,85 mm)
0,8
Amplitude média
(0,41 mm)
0,6
0,4
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Nº do sub-grupo
Limites de Controlo Revistos (retirando pontos 4,8,9,13,22):
LSC  2,11* 0,41  0,85
R  0,41
LSC  0 * 0,41  0
20
Gráfico de Controlo por Variáveis
m
X
• Formulário
– Gráficos X :
X : valor médio
i: número da medição
m: nº de medições
1 medição por sub-grupo (nreal=1)
i
X  i1
m
LSC e LIC  X  3
RM
d
2
m
– Gráficos RM :
R
Mj
RM 
jn
m  n 1
LSC  D4 R M
LIC D3 R M
R M : média móvel das amplitudes
j: número da medição
m: número de medições (sub-grupos)
n: dimensão artificial do sub-grupo
para cálculo da média móvel (p.ex.
n=2).
Gráfico de Controlo por Atributos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Nº defeitos
20
40
60
50
70
45
55
65
70
40
50
55
35
55
60
85
45
65
60
70
70
60
105
65
60
%Defeitos
(nºdef/200)
0,100
0,200
0,300
0,250
0,350
0,225
0,275
0,325
0,350
0,200
0,250
0,275
0,175
0,275
0,300
0,425
0,225
0,325
0,300
0,350
0,350
0,300
0,525
0,325
0,300
Após
melhoria
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Nº defeitos
12
15
24
15
17
18
22
25
34
22
11
10
12
18
22
%Defeitos
(nºdef/200
0,060
0,075
0,120
0,075
0,085
0,090
0,110
0,125
0,170
0,110
0,055
0,050
0,060
0,090
0,110
p : percentagem de defeituosos
n
p
1
p : percentagem média de defeituosos  ( )
n
p(1 p)
s : desviopadrão 
n
LSC e LIC  p  3s
Gráfico de Controlo por Atributos
Gráfico P
Fracção de defeituosos
0,6
LSC=0,54
0,5
0,4
0,3
Média=0,29
LSC=0,25
0,2
0,1
Média=0,09
LIC=0,042
0
0
2
4
6
8
Saté 25 =
0,0829= 0,0528
S
25 a 40
10 12 14 16
18 20 22
24 26 28
30 32 34 36
38 40
Evolução do processo
Bom comportamento. Revisão Limites.
10,6
10,5
10,4
10,3
10,2
10,1
10
Ponto fora. Investigar causa.
9,9
10,6
9,8
10,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10,4
10
10,3
10,2
10,1
10
9,9
9,8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Evolução do processo
2 Pontos próximos limites. Investigar causa.
10,6
10,5
10,4
10,3
10,2
10,1
10
5 pontos acima. Investigar causa.
9,9
10,6
9,8
10,5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
10,4
10,3
10,2
10,1
10
9,9
9,8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Evolução do processo
5 pontos abaixo. Investigar causa.
10,6
10,5
10,4
10,3
10,2
10,1
Comportamento errático. Investigar causa.
10
10,6
9,9
10,5
9,8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
910,4
10
10,3
10,2
10,1
10
9,9
9,8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
CEP
Variabilidade devido a
causas comuns
reduzida
Causas especiais
eliminadas
Processo melhorado
Causas especiais
presentes
Processo controlado previsível
Processo fora de
controlo - imprevisível
Melhorar o processo
fazendo a média
aproximar-se do valor alvo
Date
03/05/2003
02/19/2003
Data
improved
02/05/2003
500
01/22/2003
01/08/2003
12/25/2002
12/11/2002
11/27/2002
11/13/2002
10/30/2002
10/16/2002
10/02/2002
09/18/2002
400
09/04/2002
08/21/2002
08/07/2002
07/24/2002
07/10/2002
06/26/2002
06/12/2002
05/29/2002
05/15/2002
05/01/2002
Wait (min)
CEP
600
Average wait
Mean
UPL
LPL
300
200
100
0
Capabilidade do processo
• Gráficos CEP medem e garantem a estabilidade do processo
ao longo do tempo.
• No entanto, a estabilidade do processo não garante que o
processo está a cumprir as especificações do produto.
• Os gráficos CEP são função de condicionantes internas à
empresa: o processo pode ser estável e não cumprir
especificações.
• A capabilidade do processo é uma medida de desempenho
do processo em relação ao cumprimento das especificações
do produto.
• É primordial que se garanta que o processo é capaz e após
esta fase controlar o processo
• Índices:
–
–
–
–
Cp – capabilidade potencial
Cpk – capabilidade efectiva
Cpm – capabilidade em relação ao valor alvo
Cpmk – capabilidade em relação ao valor alvo
Capabilidade do processo
LSE  LIE
Cp 
6 x
 x : desviopadrão processo
• É desejável que Cp ≥ 2
• Se Cp≥1 : o processo é capaz
• Se Cp<1: o processo não é capaz
C pk  MIN (C pl , C pu )
C pl
x  LIE

3 x
C pu
LSE  x

3 x
• É desejável que Cp>2
• Se Cpk>1 : o processo é capaz
• Se Cpk<1 : o processo não é capaz
Capabilidade do processo
Valor
Alvo
LIE
LSE
Cp=2;Cpk=2
Cp=2;Cpk=-4
Cp=2;Cpk=0
Cp=1;
Cpk=1
Cp=0,5;
Cpk=0,5
0
5
10
15
20
25
Cp 
Médias dos sub-grupos (mm)
11
10,75
Limite superior de controlo (10,47 mm)
10,5
10,25
10
Limite inferior de controlo (9,88 mm)
9,75
10,5  9,5
 0,636
6 * 0,262
10,17  9,5
 0,852
3 * 0,262
10,5  10,17
C pu  
 0,420
3 * 0,262
C pl  
C pk  0,42
9,5
9,25
Processo não capaz
Capabilidade do processo
9
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Nº do sub-grupo
10,5  9,5
Cp 
 0,947
6 * 0,176
Médias dos sub-grupos (mm)
11
10,75
10,20  9,5
 1,322
3 * 0,176
10,5  10,20
C pu  
 0,572
3 * 0,176
Limite superior de controlo (10,43 mm)
10,5
Valor médio
(10,20 mm)
10,25
10
Limite inferior de controlo (9,96 mm)
9,75
9,5
C pl  
C pk  0,572
9,25
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Nº do sub-grupo
13
14
15
16
17
18
19
20
Processo não capaz
0
Capabilidade do processo
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
Esp.Inf.
10
5
15
5
158655,26
317310,52
ALVO
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
0,33
0,33
0,33
0,33
158655,26
31,73%
NÃO
Esp.Sup.
Esp.Inf.
0
5
10
15
20
0
0
ALVO
Esp.Sup.
20
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
5
10
3
15
5
47790,3304
95580,6608
10
15
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
20
0,56
0,56
0,56
0,56
47790,3304
9,56%
NÃO
Capabilidade do processo
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
Esp.Inf.
0
5
10
2
15
5
6209,67986
12419,3597
ALVO
10
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
0,83
0,83
0,83
0,83
6209,67986
1,24%
NÃO
Esp.Sup.
15
Esp.Inf.
20
0
ALVO
Esp.Sup.
20
0
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
5
10
1,5
15
5
429,116534
858,233068
10
15
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
20
1,11
1,11
1,11
1,11
429,116534
0,09%
NÃO
0
Capabilidade do processo
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
Esp.Inf.
5
10
1
15
5
0,287105
0,57421
ALVO
10
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
1,67
1,67
1,67
1,67
0,287105
0,00%
NÃO
Esp.Sup.
15
Esp.Inf.
20
0
20
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
5
10
0,8
15
5
0,00020609
0,00041219
ALVO
10
Esp.Sup.
15
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
2
2,08
2,08
2,08
2,08
0,00020609
0,00%
SIM
Capabilidade do processo
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
Esp.Inf.
0
5
10
0,8
15
5
0,00020609
0,00041219
ALVO
10
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
2,08
2,08
2,08
2,08
0,00020609
0,00%
SIM
Esp.Sup.
15
Esp.Inf.
20
0
0
20
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
5
10,1
0,8
15
5
9,19E-05
0,00054708
ALVO
10
Esp.Sup.
15
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
20
2,08
2,04
2,04
2,13
0,00045519
0,00%
SIM
Capabilidade
do processo
Média: 10,2
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
Esp.Inf.
0
5
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
0,8
15
5
4,0358E-05
0,00103048
ALVO
10
2,08
2,00
2,00
2,17
0,00099012
0,00%
NÃO
Esp.Inf.
ALVO
Esp.Sup.
Esp.Sup.
15
20
00
20
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
5
11
0,8
15
5
3,2196E-08
0,28710503
10
15
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
20
2,08
1,67
1,67
2,50
0,287105
0,00%
NÃO
Capabilidade do processo
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
Esp.Inf.
0
5
12
0,8
15
5
0
88,4445904
ALVO
10
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
2,08
1,25
1,25
2,92
88,4445904
0,01%
NÃO
Esp.Sup.
15
20
0 0
20
Média:
Dp:
Especif. super.:
Especif. infer.:
P. Erro Defeito (ppm):
P. Erro Total (ppm):
5
13,5
0,8
15
5
0
30396,2972
10
15
Cp:
Cpk:
Cps:
Cpi:
P. Erro Excesso (ppm):
P.Erro Total (%):
-------- Seis Sigma:
20
2,08
0,63
0,63
3,54
30396,2972
3,04%
NÃO
Capabilidade do processo
LSE  LIE
C pm 
2


6  X  T   σ2


Cpmk 
C pk


 XT 
1 
  


T: Valor Alvo
Cpm: mede o grau de desvio
do processo em relação ao
valor alvo
T: Valor Alvo
2
Cpmk: impõe uma
penalização quando o
processo não está centrado
no valor alvo