Curso: Engenharia Civil
Período: 2014.2
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Lista de exercícios 04
Prof. Luiz Gonzaga Damasceno
1. Uma escada de 13 m está apoiada em uma parede. A base da escada está sendo
empurrada no sentido contrário ao da parede, a uma taxa constante de 6 m/min.
Qual a velocidade com a qual o topo da escada se move para baixo, encostado a
parede, quando a base da escada está a 5 m da parede?
(A) 2 m/ min
(B) 2,5 m/min
(D) 3,5 m/min
(E) 4 m/min
(C) 3 m/ min
2. Um tanque em forma de cone com o vértice para baixo mede 12 m de
altura e tem no topo um diâmetro de 12 m. Bombea-se água à taxa de 4
m3 /min. Ache a taxa com que o nível da água sobe quando a água tem 8 m
de profundidade.
(A) 0,08 m/min
(B) 1,27 m/min
(D) 2,23 m/min
(E) 3,12 m/min
(C) 1,85 m/min
3. Uma pedra lançada numa lagoa provoca uma série de ondulações concêntricas. Se o raio r da onda exterior
cresce uniformemente à taxa de 1,8 m/s 2 , determine a taxa com que a área de água perturbada está
crescendo quando r =6 m .
(A) 7,2 m2 / s
(B) 10,8 m2 / s
(C) 16,2 m2 / s
(D) 21,6 π m2 /s
(E) 28,8 m2 / s
4. Despeja-se areia sobre um monte em forma de cone à taxa constante de 1,4 m3 /min . As forças de atrito
na areia são tais que a altura do monte é sempre igual ao raio de sua base. Com que velocidade a alturado
monte aumenta quando ele tem 1,5 m de altura?
(A) 0,19 m/min
(B) 0,38 m/min
(C) 0,57 m/min
(D) 0,76 m/min
(E) 0,96 m/min
5. Uma mulher levanta um balde de cimento para uma plataforma situada a 12 m acima de sua cabeça por
meio de um cabo de 24 m de comprimento que passa por uma roldana na plataforma. Ela segura firmemente a
extremidade da corda ao nível da cabeça e caminha a 1,5 m/s de modo a se afastar da plataforma. Com que
velocidade o balde está sendo levantado quando ela está a 9 m do ponto diretamente abaixo da roldana?
(A) 0,2 m/ s
(B) 0,5 m/ s
(C) 0,6 m/ s
(D) 0,8 m/ s
(E) 0,9 m/ s
6. Um carro que viaja a 96 km/h numa estrada reta passa sob um balão de ar que está subindo a 32 km/h. Se o
balão está a 1,6 km acima da terra quando o carro está diretamente embaixo dele, com que velocidade a
distância entre o carro e o balão estará crescendo 1 min depois?
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
(A) 58,7 km/h
(B) 85,7 km/h
Lista de exercícios 04
Prof. Luiz Gonzaga Damasceno
(C) 87,5 km/h
(D) 75,8 km/h
(E) 78,5 km/h
7. A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical, de diâmetro igual a 3 m, se
bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 L/ min ?
(A) 0,244 m/ min
(B) 0,324 m/ min
(D) 0,424 m/ min
(E) 0,542 m/min
(C) 0,344 m/ min
8. Um helicóptero da polícia rodoviária sobrevoa uma auto-estrada a 3 milhas do solo a uma velocidade
constante de 120 mi/h. O piloto vê um carro se aproximando e o radar assinala que no instante da observação a
distância entre o carro e o helicóptero é de 5 mi. A distância entre eles diminui a uma taxa de 160 mi/h.
Calcule a velocidade do carro.
(A) 60 mi /h
(B) 80 mi /h
(C) 120 mi /h
(D) 160 mi /h
(E) 200 mi /h
9. Uma luz está acesa no topo de um poste de 50 pés de altura. Uma bola
cai da mesma altura em um ponto situado a 30 pés de distância do poste.
A que velocidade a sombra da bola se desloca no solo 0,5 s depois?
(A) −1500 pés /s
(B) −1200 pés /s
(C) −900 pés /s
(D) −600 pés/s
(E) −450 pés / s
f (x )=10 x (2−ln x ) no intervalo [1, e 2 ] .
10. Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
(A) max=10 e
min=0
(B) max=10 e e
min=e
(D) max=20 e
min=e
(E) max=10 e e
min=0
11. Considere a função
2
x
f ( x )=( x – 3 x+1)e . Então
5
em
e
(A)
f (x ) tem um máximo de valor
(B)
f (x ) tem um mínimo de valor −e 2 em
(C)
f (x ) tem um mínimo de valor
(D)
f (x ) tem um máximo de valor −e 2
(E)
f (x ) tem um máximo de valor
12. A função
y=3+sen x
5
e
5
e
em
em
x=1
x=−2
x=−1
em
x=2
x=−1
definida no intervalo [0, 2 π] é:
(C) max=20 e
min=0
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Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II
Lista de exercícios 04
Prof. Luiz Gonzaga Damasceno
(A) côncava para baixo em (0, π)
(B) côncava para cima em (0, π)
(C) côncava para baixo em (π , 2 π)
(D) côncava para cima em (0.5 π ,1.5 π)
(E) côncava para baixo em (0.5 π ,1.5 π)
f ( x )=x 4 −4 x 3+10 .
13. Considere a função
Então, em
x=0 ,
x=2
e
x=3 , temos
respectivamente, pontos de:
(A) máximo, mínimo e máximo
(B) mínimo, máximo e mínimo
(D) máximo, inflexão e inflexão
(E) inflexão, inflexão e mínimo
14. Investigando a função
(C) máximo, inflexão e mínimo
f ( x )=2 x 3−12 x 2+18 x−2 quanto a concavidade e pontos de inflexão podemos
afirmar que:
(A) (1, 6) , (2, 2) e (3,−2) são, respectivamente, pontos de máximo, inflexão e mínimo
(B)
(1, 6) , (2, 2) e (3,−2) são, respectivamente, pontos de mínimo, inflexão e máximo
(C)
(6, 1) , (2, 2) e (−2,3) são, respectivamente, pontos de máximo, inflexão e mínimo
(D) (6, 1) , (2, 2) e (3,−2) são, respectivamente, pontos de mínimo, inflexão e máximo
(E) (1, 6) , (3,−2) e ( 2, 2) são, respectivamente, pontos de máximo, inflexão e mínimo
15. Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 2. Qual é a
maior área que o retângulo pode ter e quais são suas dimensões?
(A) 4 , 2 √ 2 e
(D)
√2
(B)
4, 4 e 2
2 , 2 √2 e
√2
(C) 2 ,
√2 e √2
(E) 4 , 2 e 2
16. Um retângulo tem sua base no eixo x e seus dois vértices superiores na parábola
y=12 – x 2 .
maior área que este retângulo pode ter?
(A) 2
(B) 12
(C) 24
(D) 32
17. Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um rio e nos
outros três lados por uma cerca elétrica feita de um fio. Com 800 m de fio
a disposição, quais são as dimensões da região retangular para que a área
seja máxima.
(A)
x=600 e y=100
(B)
x=500 e y=150
(C)
x=400 e y=200
(D)
x=300 e y=250
(E)
x=200 e y=300
(E) 64
Qual é a
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18. Uma rodovia que passa por uma cidade A localizada na posição (0, 0) obedece ao trajeto definido pela
curva
y=x
2
. Uma estrada reta deve ligar esta rodovia a uma cidade B localizada na posição (18, 0) . Para
que o custo da construção seja mínimo, o ponto da rodovia de onde deve partir a estrada deve ser o ponto
(A)
(1, 4)
(B) (2, 4)
(C)
(3, 2)
(D) (4, 2)
(E) (3, 4)
19. Uma caixa aberta deve ser feita de uma folha de papelão medindo 16 por 30 cm,
destacando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o
tamanho dos quadrados para se obter uma caixa com o maior volume?
(A) 4
(B) 8
(C) 12
(D) 8/3
(E) 10/3
20. Suponha que as equações do movimento de um avião de papel durante os 10 primeiros segundos de vôo,
são dadas por
x (t)=t−3 sen t ; y (t)=4−3 cos t (0≤t≤10). Ache os pontos mais altos de sua trajetória e
quando é que o avião atinge estas posições.
(A) um máximo y = 5 é atingido quando t = 
(B) um máximo y = 8 é atingido quando t = 3
(C) um máximo y = 3 é atingido quando t = 
(D) um máximo y = 7 é atingido quando t =  e t = 3
(E) um máximo y = 8 é atingido quando t =  e t = 3
21. Uma janela possui a forma de um retângulo sob um semicírculo. O retângulo será de
vidro transparente, enquanto o semicírculo será de vidro colorido, que transmite apenas
metade da luz incidente, por unidade de área, em relação ao vidro transparente. O perímetro total é fixo e igual
a P. Determine as proporções da janela que permitirão a maior passagem de luz. Ignore as espessura do
caixilho.
(A)
2r π
=
h 4
(B)
(D)
h
=1+ π
2r
4
(E)
r π
=
h 8
(C)
r π
=
h 4
h
=1+ π
r
4
22. A figura mostra um poço de petróleo no mar em um ponto W a 5 km do
ponto A mais próximo, em uma praia reta. O petróleo é bombeado de W até um
ponto B na praia a 8 km de A da seguinte forma: de W até um ponto P na praia
sob a água, e de P até B através de uma tubulação colocada ao longo da praia. Se
o custo em dólares for $ 1.000.000,00 por km sob a água e $ 500.000,00 por km
por terra, onde P deve estar localizado para minimizar o custo?
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(A) 1,28 km
(B) 2,89 km
(C) 4,32 km
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(D) 6,17 km
(E)
7,34 km
23. Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1 litro ( 1000 cm3 ) de líquido. Como poderíamos escolher a
altura e o raio para minimizar o material usado na confecção da lata?
(A) h=r
(B)
h=2 r
(C)
h=3 r
(D) r =2 h
(E)
r =3 h
24. Uma forma líquida de penicilina fabricada por uma firma farmacêutica é vendida a granel a um preço de
$ 200,00 por unidade. Se o custo total de produção (em dólares) para
C (x )=500.000+80 x+0,003 x
2
x unidades for
e se a capacidade de produção da firma for de, no máximo, 30.000
unidades em um tempo especificado, quantas unidades de penicilina devem ser fabricadas e vendidas naquele
tempo para maximizar o lucro?
(A) 5.000
(B) 10.000
(C) 15.000
(D) 20.000
(E) 30.000
25. Um canal de drenagem deve ser feito de tal forma que a secção transversal seja um trápezio com os lados
igualmente inclinados. Se os lados e a base, todos, tiverem um comprimento de 5 m, como escolher o ângulo
x (0≤x≤π /2), de forma que a área da secção transversal seja máxima?
(A) π
(B) π
(C) π
(D) π
6
5
4
3
20
21
(E)
π
2