UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
CENTRO DE TECNOLOGIA
CURSO DE ENGENHARIA CIVIL
2ª Lista de Cálculo Fundamental (2ª AP)
1. Calcule os limites:
*a)
e) Verifique que
*b)
f)
c)
d)
*2. Um barco está sendo puxado para o cais por meio de um cabo com uma
extremidade atada na proa do barco e outra passando através de um anel fixo no cais
num ponto situado a 1,5m acima do nível da proa do barco. Se o cabo está sendo
puxado a uma taxa de 1,2 m/s, com que velocidade o barco se move na água quando o
comprimento do cabo é de 3,9m?
*3. Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um
triângulo equilátero com lado L se um dos lados do retângulo estiver sobre a base do
triângulo. Usar a primeira derivada e a segunda derivada no desenvolvimento da sua
solução.
4. Um pedaço de gelo tem o formato de um cone circular reto cuja relação entre a
altura e o raio da base é igual a 10. Assumindo que o gelo derrete a uma taxa de 1 cm³
por hora, quão rápido a altura do gelo decresce quando o seu tamanho é de 10 cm?
*5. O deslocamento de uma partícula no plano xy é dado pelas equações paramétricas
e pelo intervalo de parâmetro t abaixo. Identifique a trajetória da partícula encontrando
uma equação cartesiana para ela e traçando o diagrama correspondente. Indique o trecho
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percorrido e a direção do deslocamento. Ao final, determine a derivada dy/dx quando y
= 1.
6. Determine dy/dx:
a) xsen(t) + 2x = t, tsen(t) – 2t = y, t = π
b) y = ln(ln(ln(x))
c)
d)
e)
f)
g)
y = sen(x)x
h)
y = tg-1(lnx)
i)
y = sen-1(cos-1(x))
7. A equação x² -xy + y² = 3 representa uma “elipse girada”, isto é, uma elipse cujos
eixos não são paralelos aos eixos coordenados. Encontre os pontos nos quais essa elipse
cruza o eixo x e mostre que as retas tangentes nesses pontos são paralelas.
8. Use diferenciais para estimar a quantidade de tinta necessária para aplicar uma
camada de 0,05 cm de tinta a uma esfera com diâmetro de 50 m.
9. Determine a linearização de f(x) = √
relacionada com as linearizações individuais de √
quando x = 0. Como ela está
e de
quando x = 0?
10. Aproximadamente que exatidão deve ter a medição do lado de um quadrado para
termos certeza de que o cálculo da área não se afastará mais de 2% do valor real?
*11. Estude o comportamento da função y(x) = x + sen(x) no intervalo 0 ≤ x ≥ 2π,
determinando máximos e mínimos locais e globais, se houver, e os intervalos onde a
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função é crescente e/ou decrescente. Além disso, realize um estude da concavidade da
função determinando, se for o caso, o(s) ponto(s) de inflexão da mesma.
12. Faça o gráfico detalhado das funções abaixo:
a)
b)
13. Certa pessoa que se encontra em A, para atingir C, utilizará na travessia do rio
um barco com velocidade máxima de 10 km/h. De B a C utilizará uma bicicleta de
velocidade máxima de 15 km/h. Determine a localização do ponto B para que o tempo
gasto no percurso seja o menor possível.
14. Considere todos os possíveis triângulos (localizados no 1º quadrante) formados
pelas retas que passam pelo ponto (8/9,3) e pelos eixos x e y. Determine as dimensões
do triângulo de menor hipotenusa.
15. Determine:
a) O ponto da parábola y = x² que se encontra mais próximo da reta y = x-2.
b) A distância mínima de um ponto na curva y= √ ao ponto (3/2,0).
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