Exercı́cios bobos de cinemâtica
Cees Noteboom
setembro 2009
3
3.1
Cinemâtica
Moysés, cap.3-11
Demonstre o resultado de Galileu, enunciado anterioramente, mostrando (com aquele dedo!) que,
para uma dada velocidade inicial v0 , um projétil pode atingir o mesmo alcance A para dois ângulos
de elevação diferentes, θ = 45o + δ e θ = 45 − δ, contanto que A não ultrapasse o alcance máximo
Amax = v02 /g. Calcule δ em função de v0 e A.
Crı́tica do enunciado :
Seria mais sério de perguntar qual a relação entre o alcance A e o ângulo de elevação .
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Solução :
A equação horária do movimento é :
x(t) =
(v0 cos θ) t
(3.1.1)
y(t)
g
(v0 sin θ) t − t2
2
(3.1.2)
=
O instante t1 > 0 determine quando a altura se anula :
t1 = 2 sin θ
v0
g
.
e o alcance, com Amax = v02 /g, é obtido como :
A = x(t1 ) = Amax sin(2 θ)
(3.1.3)
O ângulo θ está limitado : 0 ≤ θ ≤ π/2, donde 0 ≤ 2 θ ≤ π.
.
A equação (3.1.3) tem duas soluções . Podemos definir δ por 2 θ = π/2 + 2 δ de modo que (3.1.3)
torna-se :
A = Amax cos(2 δ)
(3.1.4)
e obtemos
θ=
π
+ δ ; δ = ± Arccos (A/Amax )
4
1
(3.1.5)
3.2
Moysés, cap.3-12
Generalize o resultado do problema anterior, mostrando (com seu dedo !) que um projétil lançado
do chão com velocidade inicial v0 pode atingir um ponto situado à distância x e altura y para dois
ângulos de elevação diferentes, contanto que o ponto (x, y) esteja abaixo da parábola de segurança :
1
x2
y=
Amax −
2
Amax
onde Amax é o alcance máximo.
Crı́tica do enunciado :
De novo um enunciado ” Mostre que ...” ! Um enunciado mais investigativo seria : Para quais
ângulos de elevação um projétil pode atingir um ponto com coordenadas (x, y). Estude as condições
de existência de soluções .
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Solução :
Temos de novo a equação horária do movimento :
x(t) =
(v0 cos θ) t
(3.2.1)
y(t)
g
(v0 sin θ) t − t2
2
(3.2.2)
=
Eliminando t, obtemos a equação da trajetória :
y = x tan θ −
x2
g
2
2 v0 cos2 θ
(3.2.3)
.
.
Notando Amax = v02 /g e τ = tan θ, achamos uma equação quadrâtica para τ :
y =τx−
1 + τ2 2
x
2 Amax
que reescrevemos como :
x2 τ 2 − 2 (Amax x) τ + 2 Amax y + x2 = 0
(3.2.4)
Essa equação posue duas soluções reais se
ou
(Amax x)2 − x2 2 A y + x2 ≥ 0
2 Amax x2
1
2
Amax −
x2
Amax
−y ≥ 0
o que significa que o ponto (x, y) está em baixo da parábola de segurança.
2
(3.2.5)