Matemática
Análise Combinatória 1 ⏐ 3o ano | Blaidi/Walter | ago/09
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1. (U. F. Viçosa – MG) Para controlar o estoque de um produto, uma empresa usa
etiquetas formadas por uma parte literal e outra numérica, nesta ordem. A parte literal
é formada de três letras do nosso alfabeto, incluindo y, k, w, e a parte numérica é
formada por quatro dos algarismos de 0 a 9. Sabendo-se que pode haver repetição
das letras e dos números, a quantidade do produto que pode ser etiquetado sem que
haja coincidência de etiquetas é:
a)
b)
c)
d)
e)
253 + 104
253 ⋅ 94
253 ⋅ 104
263 ⋅ 104
263 + 104
2. (Uneb-BA) Uma senhora idosa foi retirar dinheiro em um caixa automático, mas se
esqueceu da senha. Lembrava que não havia o algarismo 0, que o primeiro algarismo
era 8, o segundo era par, o terceiro era menor que 5 e o quarto e último era ímpar.
Qual o maior número de tentativas que ela pode fazer, no intuito de acertar a senha?
a) 13
b) 60
c) 75
d) 78
e) 80
3. (U. Passo Fundo-RS) O(s) valor(es) de x na equação
a)
b)
c)
d)
e)
Ax , 2 − C x , 2
Px
=
1
é(são):
x!
{– 2, 1}
{2, –1}
2
–1
4
4. (Fuvest-SP) Quantos são os números inteiros positivos de cinco algarismos que não
têm algarismos adjacentes iguais?
a) 59
b) 9 ⋅ 84
c) 8 ⋅ 94
d) 85
e) 95
5. (PUC-RS) Se
(n − 1)!
1
= , então n é igual a:
(n + 1)!− n! 81
a) 13
b) 11
c) 9
d) 8
e) 6
6. (Unirio-RJ) Um fiscal do Ministério do Trabalho faz uma visita mensal a cada uma das
cinco empresas de construção civil existentes no município. Para evitar que os donos
dessas empresas saibam quando o fiscal as inspecionará, ele varia a ordem de suas
visitas. De quantas formas diferentes esse fiscal pode organizar o calendário de visita
mensal a essas empresas?
a) 180
b) 120
c) 100
d) 48
e) 24
7. (UFF-RJ) Com as letras da palavra PROVA podem ser escritos x anagramas que
começam por vogal e y anagramas que começam e terminam por consoante. Os
valores de x e y são, respectivamente:
a) 48 e 36
b) 48 e 72
c) 72 e 36
d) 24 e 36
e) 72 e 24
8. (Fatec-SP) Dispomos de 10 produtos para a montagem de cestas básicas. O número
de cestas que podemos formar com 6 desses produtos, de modo que um determinado
produto seja sempre incluído, é:
a) 252
b) 210
c) 126
d) 120
e) 24
9. (UF-AL) Quantos números pares de quatro algarismos distintos podem ser formados
com os elementos do conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4}?
a) 60
b) 48
c) 36
d) 24
e) 18
2
10. (Unisinos-RS) No vestibular de inverno da Unisinos, João conheceu Maria, que lhe
informou seu telefone. João não anotou o número, mas sabe que Maria mora em
São Leopoldo e que este número começa por 59. Lembra ainda que o 3° algarismo é
1 ou 2 e os outros quatro algarismos são 0, 3, 6, 8, mas não sabe sua ordem. As
possibilidades de João descobrir o telefone de Maria são:
a) 4
b) 12
c) 20
d) 24
e) 48
11. (Vunesp-SP) Uma pessoa quer trocar duas cédulas de 100 reais por cédulas de 5, 10
e 50 reais, recebendo cédulas de todos esses valores e o maior número possível de
cédulas de 50 reais. Nessas condições, qual é o número mínimo de cédulas que ela
poderá receber?
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
12. (Unirio-RJ) Com os algarismos de 1 a 9, o total de números de 4 algarismos
diferentes, formados por 2 algarismos pares e 2 ímpares, é igual a:
a) 126
b) 504
c) 720
d) 1.440
e) 5.760
13. (UF-SE) Uma classe tem 17 alunos, sendo 10 rapazes e 7 moças. Quantas
comissões de 4 alunos podem ser formadas com os alunos dessa classe, nas quais
participa somente uma moça?
a) 70
b) 140
c) 560
d) 840
e) 1.020
3
14. (Uneb-BA) Três prêmios iguais vão ser sorteados entre as 45 pessoas presentes a
uma festa. Se, desse total, 18 são homens e as restantes são mulheres, de quantas
formas diferentes pode ser feita essa distribuição, de forma que entre os premiados
exatamente dois sejam do mesmo sexo?
a) 10.449
b) 8.937
c) 7.575
d) 6.318
e) 4.131
15. (Fuvest-SP) Considere todas as trinta e duas seqüências, com cinco elementos cada
uma, que podem ser formadas com os algarismos 0 e 1. Quantas dessas seqüências
possuem pelo menos três zeros em posições consecutivas?
a) 3
b) 5
c) 8
d) 12
e) 16
16. (UF-MG) Um clube resolve fazer uma Semana de Cinema. Para isso, os
organizadores escolhem sete filmes, que serão exibidos um por dia. Porém, ao
elaborar a programação, eles decidem que três desses filmes, que são de ficção
científica, devem ser exibidos em dias consecutivos.
Nesse caso, o número de maneiras diferentes de se fazer a programação dessa
semana é:
a) 144
b) 576
c) 720
d) 1.040
17. (Unesp-SP) Quatro amigos vão ocupar as poltronas a, b, c, d de um ônibus dispostas
na mesma fila horizontal, mas em lados diferentes em relação ao corredor, conforme
a ilustração.
4
a)
b)
c)
d)
e)
Dois deles desejam sentar-se juntos, seja do mesmo lado do corredor, seja em lados
diferentes. Nessas condições, de quantas maneiras distintas os quatro podem ocupar
as poltronas referidas, considerando-se distintas as posições em que pelo menos dois
dos amigos ocupem poltronas diferentes?
24
18
16
12
6
18.
a)
b)
c)
d)
e)
(PUC-RJ) Um polígono regular de n lados tem 90 diagonais. O valor de n é:
10
12
15
20
21
19. (Unifor-CE) Numa urna estão seis bolinhas, numeradas de 1 a 6. Serão sorteadas 3
dessas bolinhas para formar um número de três algarismos. Quantos números
diferentes podem ser formados se, após cada sorteio, a bola sorteada é reposta na
urna?
a) 216
b) 240
c) 496
d) 720
e) 729
20. (PUC-SP) Para ter acesso a certo arquivo de um microcomputador, o usuário deve
realizar duas operações: digitar uma senha composta por três algarismos distintos e,
se a senha digitada for aceita, digitar uma segunda senha, composta por duas letras
distintas, escolhidas num alfabeto de 26 letras. Quem não conhece as senhas pode
fazer tentativas. O número máximo de digitações necessárias para ter acesso ao
arquivo é:
a) 4.120
b) 3.286
c) 2.720
d) 1.900
e) 1.370
5
21. (Ucsal-BA) Uma prova de Matemática deve ter apenas 6 questões escolhidas entre 5
questões de Álgebra, 4 de Geometria e 3 de Trigonometria. Um aluno pretende
escolher 3 de Álgebra, 2 de Geometria e 1 de Trigonometria. O número de provas que
esse aluno poderá montar é:
a) 270
b) 210
c) 180
d) 90
e) 60
22. (UCDB-MT) O número de permutações das letras da palavra AMIGA nas quais não
aparece o grupo AA é:
a) 36
b) 24
c) 60
d) 120
e) 54
23. (UFF-RJ) O produto 20 ⋅ 18 ⋅ 16 ⋅ 14 ... 6 ⋅ 4 ⋅ 2 é equivalente a:
20!
a)
2
b) 2 ⋅ 10!
20!
c)
210
d) 210 ⋅ 10!
20!
e)
10
24. (Unifor-CE) O comprador de certo modelo de automóvel pode escolher entre 6 cores e
4 itens opcionais. O número total de opções distintas, com pelo menos um item
opcional, é:
a) 24
b) 36
c) 48
d) 72
e) 90
6
25. (UF-ES) Uma lanchonete faz vitaminas com uma, duas, três, quatro ou cinco frutas
diferentes, a saber: laranja, mamão, banana, morango e maçã. As vitaminas podem
ser feitas com um só tipo de fruta ou misturando-se os tipos de fruta de acordo com o
gosto do freguês. Desse modo, quantas opções de vitaminas a lanchonete oferece?
a) 10
b) 25
c) 31
d) 35
e) 120
26. (Funrei-MG) Se a razão entre o número de arranjos de n elementos agrupados 4 a 4 e
o número de combinações de n elementos agrupados 2 a 2 é 24, então n é igual a:
a) 8
b) 5
c) 7
d) 6
27. (U. F. Uberlândia – MG) De quantas maneiras três mães e seus respectivos três filhos
podem ocupar uma fila com seis cadeiras, de modo que cada mãe sente junto de seu
filho?
a) 6
b) 18
c) 12
d) 36
e) 48
28. (Mackenzie-SP) Cada um dos círculos da figura abaixo deverá ser pintado com uma
cor, escolhida dentre quatro disponíveis. Sabendo que dois círculos consecutivos
nunca serão pintados com a mesma cor, então o número de formas de se pintar os
círculos é:
a)
b)
c)
d)
e)
3 ⋅ 7!
47
2.916
74
7! ⋅ 4!
7
29. (Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720
“palavras” (anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas “palavras” forem
colocadas em ordem alfabética, como num dicionário, a 250ª “palavra” começa com:
a) EV
b) FU
c) FV
d) SE
e) SF
30. (U. F. Uberlândia – MG) Considere 12 cartas distintas de um baralho, sendo 4 delas
ases. Determine o número de possibilidades de se dividir essas 12 cartas em 2 partes
iguais, de maneira que em cada uma dessas partes existam exatamente 2 ases.
a) 420
b) 210
c) 105
d) 48
e) 24
31. (UF-MG) Nessa figura, o número de triângulos que
se obtêm com vértices nos pontos D, E, F, G, H, I e
J é:
a) 20
b) 21
c) 25
d) 31
e) 35
32. (ITA-SP) O número de anagramas da palavra VESTIBULANDO que não apresentam
as cinco vogais juntas é:
a) 12!
b) (8!) (5!)
c) 12! - (8!) (5!)
d) 12! - 8!
e) 12! - (7!) (5!)
8
33. (U. F. Juiz de Fora – MG) Uma tribo indígena utiliza uma linguagem escrita que possui
duas “letras”:
a)
b)
c)
d)
e)
„ e z, e cada palavra pode ter 1 a 5 “letras”. O número máximo de
palavras desta linguagem é:
10
20
62
32
30
34. (PUC-RS) O maior número de retas definidas por 12 pontos, dos quais sete são
colineares, é:
a) 44
b)
c)
d)
e)
45
46
90
91
35. (Fuvest-SP) Uma classe de Educação Física de um colégio é formada por dez
estudantes, todos com alturas diferentes. As alturas dos estudantes, em ordem
crescente, serão designadas por h1, h2, ..., h10 (h1 < h2 < ... < h9 < h10). O professor vai
escolher cinco desses estudantes para participar de uma demonstração na qual eles
se apresentarão alinhados, em ordem crescente de suas alturas.
⎛10 ⎞
Dos ⎜⎜ ⎟⎟ = 252 grupos que podem ser escolhidos, em quantos o estudante cuja
⎝5⎠
a)
b)
c)
d)
e)
altura é h7 ocupará a posição central durante a demonstração?
7
10
21
45
60
36. (Mackenzie-SP) O número de formas de 8 pessoas ocuparem duas salas distintas,
devendo uma das salas conter exatamente 3 pessoas, é:
a) 112
b) 144
c) 160
d) 182
e) 252
9
37. (Unifor-CE) Dispõe-se de 6 cores distintas, 3 das quais serão escolhidas para pintar
as faces de um cubo. De quantos modos a pintura poderá ser feita se faces opostas
devem ter a mesma cor?
a) 720
b) 150
c) 120
d) 24
e) 15
38. (UPE-PE) Uma empresa tem doze diretores, entre os quais Júnior, Daniela e Maria
Eduarda. Quantas comissões de seis diretores podem ser formadas, sempre
contendo Júnior, Daniela e Maria Eduarda como membros?
a) 48
b) 84
c) 112
d) 108
e) 104
39. (PUC-MG) Uma sala tem 6 lâmpadas com interruptores independentes. O número de
modos de iluminar essa sala, acendendo pelo menos uma lâmpada, é:
a) 63
b) 79
c) 127
d) 182
e) 201
10
40. (PUC-SP) Um debate político será realizado por uma rede de televisão com 5
candidatos à prefeitura de uma cidade. O debate será formado por duas partes:
1ª parte: O jornalista que coordenará o debate escolherá, de todas as formas
possíveis, dois candidatos: ao primeiro, o jornalista formulará uma pergunta e, ao
segundo, ele pedirá que comente a resposta do primeiro.
2ª parte: Cada candidato escolherá, também, de todas as formas possíveis, dois
outros candidatos: ao primeiro, o candidato formulará uma pergunta e, ao segundo,
ele pedirá que comente a resposta do primeiro.
a)
b)
c)
d)
e)
Qual é o número mínimo de perguntas que devem ser elaboradas pelo jornalista e
pelos candidatos, admitindo que uma mesma pergunta não seja formulada mais que
uma vez?
36
72
80
20
64
11
Gabarito
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
d
e
c
e
c
b
a
c
a
e
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
b
d
d
a
c
c
d
c
a
e
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
12
c
a
d
e
c
d
e
c
d
a
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
d
c
c
c
d
a
c
b
a
c