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X Salão de
Iniciação Científica
PUCRS
ASPECTOS RELATIVOS AO CONDICIONAMENTO DA
MATRIZ DE TRANSPORTE DE NÊUTRONS
BIDIMENSIONAL
Débora Angrizano Romero1, Eliete Biasotto Hauser2 (Orientadora).
1 Faculdade de Engenharia Química, PUCRS Bolsista BIC-FAPERGS
2 Faculdade de Matemática, PUCRS
Resumo
Um dos objetivos desse projeto consiste em utilizar novos conjuntos quadraturas
angulares e analisar o seu efeito no condicionamento da matriz LTSN de problemas de
transporte de nêutrons para meio não-multiplicativos, em geometrias cartesianas
bidimensionais, com espalhamento isotrópico.
Introdução
Para determinar o fluxo de nêutrons numa placa, utilizando o método das ordenadas
discretas em geometria cartesiana bidimensional, faz-se necessário trabalhar com a matriz
simbólica Ax, com seus elementos genéricos definidos por:
 4σ t − σ s w i
−
4u i

a x (i , j ) = 
σ sw j
 4 u i
se i = j;
se i ≠ j;
(1)
onde σ t e σ s são as seções de choque que caracterizam o material do domínio do problema,
wj e uj dependem da quadratura angular utilizada. Neste trabalho utilizamos os conjuntos de
quadraturas angular de simetria de nível LQN, Lewis(1984), EW pesos iguais, Logoni (2002),
visando futura utilização dos conjuntos de quadraturas PN-EW com mesmo ângulo e PN-TNLegendre-Chebyshev. O propósito principal é analisar o efeito da mudança de quadraturas
angulares no número de condicionamento da matriz simbólica Ax definida em (1).
As palavras condição e condicionamento são usadas de maneira informal para indicar
o quão sensível é a solução de um problema com respeito a pequenas mudanças nos dados de
entrada. Um problema é dito mal condicionado se pequenos arredondamentos nos valores
iniciais provocam grandes alterações na solução.
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Figura 1 - Direções discretas, para ordem de quadratura N=12 e N=30.
Metodologia
As medidas de condicionamento utilizadas são Cond (A) = || A || || A-1|| (2). Quanto
maior o Cond (A), mais sensível a perturbações será o problema associado à matriz A. No
cálculo do Cond, podemos escolher qualquer norma matricial usual, podendo ser a norma
matricial do máximo de linhas. O Determinante Normalizado da Matriz Ax, cuja ordem de
grandeza é menor que a ordem de grandeza do Cond é definido por:
Norm( A) =
det( A)
α1 × α 2 × ... × α n
(3)
onde, para k=1: M,
α
n
=
M
∑
j =1
a
nj
2
(4)
e o valor que pode ocorrer é limitado -1< Norm (A) < 1, quanto mais próximo de zero estiver
o Norm (A), mais mal condicionado será ma matriz A.
Resultados
Implementamos as medidas de condicionamento aplicadas às matrizes de dois
problemas de transporte de nêutrons, ambos com dois conjuntos de quadraturas, no sistema de
computação algébrica e simbólica Maple. Alguns dos resultados obtidos serão apresentamos a
seguir.
Problema 1
Utilizamos ordem de quadratura angular N=6 e dois conjuntos de quadratura angular
de simetria de nível distintos, num problema de baixa absorção com meio caracterizado
por σ t =1 e σ s =0,99. O conjunto de quadratura angular de simetria de nível LQN, o qual
possui pesos distintos no mesmo nível, gerou Cond (Ax) = 371,0329156 e Norm (Ax) =
0,016638917. Utilizando o conjunto de quadratura angular PN-EW, no qual as componentes
as direções discretas são as raízes dos polinômios de Legendre e no mesmo nível todos os
pesos são iguais, obtivemos, Cond(Ax)= 412,1653503 e Norm(Ax)= 0,01662941114.
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Concluímos que neste caso a matriz Ax é mal condicionada para ambos os conjuntos de
quadraturas utilizados.
Problema 2
Na tabela apresentamos o número de condicionamento da matriz Ax que surge com
aplicação do método LTSN, num problema de prospecção de petróleo, com erro relativo
máximo de 19,98% para N= 8.
Tabela I – Cond (Ax), material Rocha, αt = 0,33023 e αs= 0,015811
N
LQN, Romero,
2008
PN-EW
Desvio
Relativo
2
1,075429602
1,075429602
0, 000000000
4
2,659570528
2,714585210
0,020685551
6
3,727887475
4,192490669
0,124629082
8
4,683284636
5,619454539
0,199896008
10
6,248911713
7,023824968
0,124007714
12
7,592663331
8,416621371
0,108520292
Conclusão
Observamos que o número Cond (Ax) e o Norm (Ax) mudam quando modificadas as
quadraturas dos problemas. Estamos analisando os resultados utilizando o conjunto de
quadraturas PN-EQ com espaçamento de mesmo ângulo. No futuro implementaremos PNTN, utilizando o Maple.
Referências
ROMERO,
D.A;
HAUSER,
E,
B.,
CONDICIONAMENTO DE PROBLEMAS
LINEARES, 2008.
ASPECTOS
RELATIVOS
AO
E SISTEMAS DE EQUAÇÕES
LEWIS,W. M., Computational Methods of Neutron Transport. New York: Jhon WilySons.1984.
LONGONI, G et al., Investigation of New Quadrature Sets for Discrete Ordinates
Method with Application to Non-conventional Problems UniformPositive,Trans. Am.
Nuclear Soc. And Engineering, 84 224-226.
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