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1. Num potencial gravitacional, com gravidade constante g direcionado no sentido negativo do
eixo z, calcule o número médio de partı́culas em função da altitude. Assuma que, quando a
altitude z é igual a zero, o número de partı́culas é n(0) = N . Mostre que este número é dado
por
n(z) = N e−mgz/kB T ,
que é a chamada fórmula barométrica.
2. Na distribuição de Bose-Einstein, encontramos como peso estatı́stico
P =
Y (ni + νi − 1)!
(νi − 1)!ni !
i
Mostre que a distribuição mais provável é
f (Ei ) =
1
ni
= α+E /k T
i
B
νi − 1
e
−1
3. Na distribuição de Fermi-Dirac, encontramos como peso estatı́stico
P =
Y
i
ni !
(νi − ni )!ni !
Mostre que a distribuição mais provável é
f (Ei ) =
ni
1
= α+E /k T
i
B
νi
e
+1
4. Mostre que, quando a freqüência é muito baixa, fixada a temperatura T , de tal modo que
hν
1
kB T
a lei de Planck se reduz à lei de Rayleigh-Jeans.
5. Mostre que quando o termo do problema anterior é muito grande em comparação com a
unidade, a lei de Planck se reduz à expressão
u(ν, T ) =
8πν 2
hνe−hν/kB T
c3
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que já havia sido obtida por Wien (chamada de lei de Wien) por tentativa e erro.
6. Mostre que a densidade de energia da radiação em equilı́brio no interior da cavidade, à
temperatura T , dada pela integral
Z
∞
u(T ) =
u(ν, T )dν
0
fornece, quando substituimos a lei de Planck para u(ν, T ), o resultado
u(T ) = σT 4
onde σ =
4
8π 5 kB
. Você irá precisar da integral
15c3 h3
∞
Z
0
π4
x3
=
ex − 1
15
(Observação: esta lei já havia sido obtida por Stefan e Boltzmann por meios termodinâmicos
e o valor experimentalmente encontrado para σ havia sido σ = 7, 62 × 10−22 Jcm−3 K−4 .
Note que a lei de Planck nos permite obter teoricamente este valor em função das constantes
kB , h e c e o valor encontrado concorda incrivelmente com o valor experimental medido.
Esta predição pode ser considerada uma prova irrefutável da adequação das considerações de
Planck.)
7. Mostre, usando a lei de Planck, que, para uma dada temperatura T fixa, o máximo da
densidade de energia se dá para o valor
hνmáx
= 2, 281
kB T
Use este resultado, juntamente com os valores experimentais de σ e c para obter o valor
aproximado da constante de Boltzmann kB e da constante de Planck h. (Sugestão: irá
aparecer uma equação transcendental que deve ser resolvidade numericamente.)
8. Mostre que, para pequenos valores de T , o valor do calor especı́fico ficada dado por
cV = 3R
hν
kB T
2
e−hν/kB T
que tende para zero, quando T tende para zero. Da mesma forma, mostre que, para altas
temperaturas cV → 3R.
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9. Usando os valores das constantes que aparecem na expressão
aB =
h2 4πε0
me2
é chamado de raio de Bohr, calcule o valor do raio de Bohr em centı́metros. Este valor dá
uma idéia do tamanho dos átomos.
10. Usando as regras de Wilson-Sommerfeld, faça os cálculos associados ao oscilador harmônico
bidimensional, com freqüências νx e νy , em princı́pio distintas, e mostre que a energia fica
Enx ,ny ,nz = nx hνx + ny hνy
Mostre que, quando as freqüências são iguais a um mesmo valor ν0 a energia fica dada por
Enx ,ny ,nz = (nx + ny ) = hν0
e a degenerescência pode ser calculada para cada valor de n como sendo
1
n(n + 1)
2
11. Quando uma superfı́cie é iluminada com luz de 780 nm de comprimento de onda, observa-se
que a energia cinética máxima dos elétrons emitidos é de 0,37 eV. Qual a energia cinética
máxima se a superfı́cie for iluminada com luz de 410 nm de comprimento de onda?
12. Calcule a modificação do comprimento de onda de fótons espalhados por elétrons a θ = 60◦ .
13. Quando há espalhamento de fótons pelos elétrons do carbono, a variação de comprimento de
onda onda, sob certo ângulo, é de 0,33 pm. Calcule o ângulo de espalhamento.
14. O comprimento de onda dos fótons no efeito Compton é medido para θ = 135◦ . Se
∆λ
for
λ
de 2,3%, qual o comprimento de onda dos fótons incidentes?
15. Compton usou fótons com comprimentos de onda de 0,0711 nm.
(a) Qual a energia desses fótons?
(b) Qual o comprimento de onda do fóton espalhado a θ = 180◦ ?
(c) Qual a energia dos fótons refletidos sob esse ângulo?
16. Para os fótons usados por Compton (veja o problema anterior), calcule o momento do fóton
incidente e o momento do fóton espalhado sob o ângulo de 180◦ . Use a conservação do
momento para determinar o momento de recuo do elétron nesse caso.
17. Quantas colisões frontais no espalhamento Compton são necessárias para duplicar o comprimento de onda de um fóton com o comprimento de onda incicial de 200 pm?
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18. Um próton se desloca com v = 0, 003c, onde c é a velocidade da luz. Calcule o comprimento
de onda de de Broglie envolvido.
19. A distância entre os ı́ons Li+ e C`− em um cristal de LiC` é de 0,257 nm. Calcule a energia
dos elétrons com o comprimento de onda igual a esse espaçamento.
20. Imagine um corpo esférico de 4 g de massa se deslocando a 100 m/s. Qual o tamanho
necessário da abertura para o corpo exibir os efeitos de difração? Mostre que nenhum corpo
seria pequeno o suficiente para passar por tal abertura.
21. Um nêutron possui 10 MeV de energia cinética. Qual a dimensão do obstáculo capaz de
proporcionar efeitos de difração do nêutron? O que poderia servir de alvo, com esse tamanho,
para demostrar a natureza ondulatória dos nêutrons de 10 MeV?
22. Qual o comprimento de onda de de Broglie de um elétron cuja energia cinética é de 200 eV?
Que alvos poderiam ser usados para demonstrar a natureza ondulatória de tal elétron?
23. O diâmetro da pupila da vista humana sob certas condições é cerca de 5 mm. (É possı́vel
uma variação de 1 mm a 8 mm). Calcule a intensidade da luz de 600 nm de comprimento de
onda de forma que um fóton por segundo atravesse a pupila.
24. Um lâmpada incadescente de 90 W irradia uniformemente em todas as direções.
(a) Calcule a intensidade da luz a 1,5 m de distância.
(b) Considerando que o comprimento de onda da luz é de 650 nm, calcule o número de fótons
por segundo que atingem uma superfı́cie de 1 cm2 de área, orientada perpendicularmente
aos raios luminosos da fonte.
25. Numa experiência, observa-se que quando se faz incidir luz com comprimento de onda λ1
sobre o catodo de um tubo fotoelétrico a energia cinética máxima dos elétrons emitidos é de
λ1
, a energia cinética máxima dos elétrons
1,8 eV. Se o comprimento de onda for reduzido a
2
emitidos será de 5,5 eV. Calcule a função trabalho φ do material do catodo.
26. Um fóton de energia E sofre o espalhamento Compton, sendo θ o ângulo envolvido. Mostre
que a energia E 0 do fóton espalhado é determinada por
E0 =
E
(E/me c2 ) (1 − cos θ) + 1
27. Quando uma superfı́cie é iluminada com luz com comprimento de onda λ, a energia cinética
máxima dos elétrons emitidos é 1,2 eV. Se for usado o comprimento de onda λ0 = 0, 8λ, a
energia cinética máxima dos elétrons é 1,76 eV. Para o comprimento de onda λ0 = 0, 6λ, a
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energia cinética máxima dos elétrons emitidos é 2,676 eV. Determine a função trabalho da
superfı́cie e o comprimento de onda λ.
28. Um laser a Ti-Sa (titânio-safira) tem um comprimento de onda de 850 nm e produz 100
milhões de pulsos de luz por segundo. Cada pulso tem uma duração de 125 femto-segundos
(1 fs= 10−15 s) e contém 5 × 109 fótons. Qual a potência média produzida pelo laser?
29. Este problema trata da estimativa do retardo no tempo (classicamente esperado, mas não
observado) no efeito fotoelétrico. Seja 0,01 W/m2 a intensidade da radiação incidente.
(a) Se a área do átomo for 0,01 nm2 , calcule a energia que incide no átomo por segundo.
(b) Se a função trabalho for de 2 eV, quanto tempo seria necessário, no modelo clássico,
para um átomo receber essa energia?
30. Um laser usado para soldar retinas descoladas emite luz com comprimento de onda igual a
652 nm através de pulsos que duram 20,0 nm. A potência média durante cada pulso é igual
a 0,600 W.
(a) Qual é a energia de cada pulso em joules? E em elétron-volts?
(b) Qual é o comprimento de onda do fóton?
(c) Quantos fótons são emitidos em cada pulso?
31. O comprimento de onda predominante da luz emitida por uma lâmpada ultravioleta é 248 nm.
Sabendo que a potência total emitida para esse comprimento de onda é igual a 12,0 W,
quantos fótons são emitidos a cada segundo?
32. O comprimento de onda de corte para o efeito fotoelétrico em uma superfı́cie de tungstênio é
igual a 272 nm. Calcule a energia cinética máxima dos elétrons emitidos por essa superfı́cie
de tungstênio quando ela é iluminada por uma radiação ultravioleta com freqüência igual a
1,45×1015 Hz. Expressa a resposta em elétron-volts.
33. (a) No efeito fotoelétrico, qual é a relação entre a freqüência de corte ν0 e a função trabalho
Φ?
(b) O comprimento de onda de corte para emissão de fotoelétrons de uma superfı́cie metálica
é igual a 372 nm. Qual é a função trabalho para essa superfı́cie em eV?
34. Calcule o maior e o menor comprimento de onda da série de Lyman e da série de Paschen para
o átomo de hidrogênio. Em que região do espectro eletromagnético cada série se encontra?
35. Uma partı́cula alfa de 4,78 MeV oriunda da desintegração do
226
um núcleo de urânio. Um núcleo de urânio possui 92 prótons.
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Ra colide frontalmente com
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(a) Qual é a menor distância entre uma partı́cula alfa e o centro desse núcleo? Suponha
que o núcleo de urânio permaneça em repouso e que essa menor distância seja muito
maior do que o raio do núcleo de urânio.
(b) Qual é a força sobre a partı́cula alfa no instante em que ela está mais próxima do núcleo
de urânio.
36. Um átomo de hidrogênio inicialmente no nı́vel fundamental absorve um fóton que o excita
para o nı́vel n = 4. Determine o comprimento de onda e a freqüência do fóton.
37. (a) Qual é o momento angular L do elétron no átomo de hidrogênio, em relação a uma
origem no núcleo, quando o átomo está em seu nı́vel de energia mais baixo?
(b) Repita o item (a) para o nı́vel fundamental do He+ . Compare o resultado com o obtido
do item (a).
38. De acordo com o modelo de Bohr (supondo o núcleo em repouso), a constante de Rydberg
R é igual a me4 /8ε20 h3 c.
a Calcule R em m−1 e compare com o valor experimental.
b Calcule a energia (em elétron-volts) de um fóton cujo comprimento de onda é igual a
R−1 . (Essa grandeza é chamada de energia de Rydberg.)
c Para considerar o movimento do núcleo, troque a massa do elétron m pela massa reduzida mr para o átomo de hidrogênio e repita os itens (a) e (b).
39. O comprimento de onda visı́vel mais curto é aproximadamente igual a 400 nm. Qual é
a temperatura de um corpo negro ideal cuja emitância espectral tenha um pico para esse
comprimento de onda?
40. Determine λm , o comprimento de onda do pico da distribuição de Planck e a freqüência
correspondente para as seguintes temperaturas:
(a) 3,00 K
(b) 300 K
(c) 3000 K
41. Um corpo negro ideal irradia com uma intensidade total I = 6, 94 MW/m2 . Para qual
comprimento de onda ocorre o pico da emitância espectral I(λ)?
42. Um átomo de massa m emite um fóton de comprimento de onda λ.
(a) Qual é a velocidade de recuo do átomo?
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(b) Qual é a energia cinética K do átomo que recua?
(c) Calcule a razão K/E, onde E é a energia do fóton emitido. Quando essa razão é muito
menor do que um, o recuo do átomo pode ser desprezado no processo de emissão. O
recuo do átomo é mais importante para pequenas ou para grandes massas atômicas?
Para comprimentos de onda longos ou curtos?
(d) Calcule K (em elétron-volts) e K/E para o átomo de hidrogênio (massa 1, 67×10−27 kg)
que emite um ft́on ultravioleta com energia de 10,2 eV. O recuo é um fator importante
nessa emissão?
43. Um satélite de 20,0 kg gira em torno da Terra uma vez a cada 2,00 h numa órbita com raio
igual a 8060 km.
(a) Supondo que o momento angular de Bohr (L = n~) se aplique para um satélite do
mesmo modo que para um elétron no átomo de hidrogênio, calcule o número quântico
n da órbita do satélite.
(b) Usando o resultado do momento angular de Bohr e a lei de Newton da gravitação, mostre
que o raio de um satélite em órbita da Terra é diretamente proporcional ao quadrado
do número quântico r = kn2 , onde k é a constante de proporcionalidade.
(c) Usando o resultado do item (b) determine a distância entre a órbita do satélite neste
problema e a órbita adjacente “permitida”. (Calcule um valor numérico).
(d) Comente a possibilidade da observação da distância entre duas órbitas adjacentes.
(e) As órbitas calculadas quanticamente concordam com as órbitas calculadas classicamente
para esse satélite? Qual é o método “correto” para o cálculo das órbitas?
44. (a) Deduza uma expressão para o deslocamento total do comprimento de onda de um fóton
que sofreu dois sucessivos espalhamentos Compton produzidos por elétrons inicialmente
em repouso. Na primeira colisão o ângulo de espalhamento do fóton é igual a θ1 e na
segunda é θ2 .
(b) Geralmente, quando ocorrem dois espalhamento sucessivos com ângulos iguais a θ/2, o
resultado é o mesmo que ocorreria para um único espalhamento com ângulo igual a θ?
Caso sua resposta seja negativa, existem valores especı́ficos de θ, além de θ = 0◦ , para
os quais os deslocamentos totais sejam os mesmos?
(c) Use o resultado do item (a) para calcular o deslocamento total do comprimento de onda
de um fóton que sofreu dois sucessivos espalhamentos Compton de 30◦ cada. Expresse
sua resposta em termos de h/mc.
(d) Qual é o deslocamento do comprimento de onda produzido por um único espalhamento
de 60,0◦ ? Compare sua resposta com o resultado encontrado no item (c).
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45. Um fóton de raio X é espalhado por um elétron (massa m) em repouso. O comprimento de
onda do fóton espalhado é λ0 e a velocidade final do elétron é igual a v.
(a) Qual era o comprimento de onda inicial do fóton? Expresse sua resposta em termos de
λ0 , v e m. (Dica: Use a expressão relativı́stica para a energia cinética do elétron.)
(b) Através de qual ângulo φ o fóton é espalhado? Expresse sua resposta em termos de λ,
λ0 e m.
(c) Avalie seus resultados dos itens (a) e (b) para um comprmento de onda do fóton esplhado
igual a 5,10×10−3 nm e para uma velocidade final do elétron igual a 1,80×108 m/s.
Forneça φ em graus.
46. (a) Escreva a lei de distribuição de Planck em termos da freqüência ν em vez do comprimento
de onda λ para obter I(ν).
(b) Mostre que
∞
Z
I(λ)dλ =
0
2π 5 k 4 4
T
15c2 h3
onde I(λ) é a fórmula da distribuição de Planck
I(λ) =
2πhc2
λ5 ehc/λkB T − 1
(Dica: Troque a variável de integração de λ para ν.) Você precisará usar a seguinte
integral obtida em tabelas:
Z
∞
0
1
x3
dx =
αx
e −1
240
2π
α
4
(c) O resultado do item (b) é I, que possui a forma da lei de Stefan-Boltzmann, I = σT 4 .
Calcule a constante obtida no item (b) para mostrar que σ possui valor dado σ =
5, 6705 × 10−8 W/m2 ·K4 .
47. Uma grande cavidade com um orifı́cio muito pequeno mantida a uma temperatura T constitui
uma boa aproximação de um corpo negro ideal. A radiação só pode entrar ou sair da cavidade
através do orifı́cio. A cavidade é um absorvedor perfeito, uma vez que a radiação que incide
sobre o orifı́cio fica presa no interior da cavidade. Uma cavidade desse tipo está a 200◦ C
e possui um orifı́cio com área igual a 4,00 mm2 . Qual é o tempo necessário para que essa
cavidade irradie 100 J de energia através do orifı́cio?
48. Elétrons com velocidades elevadas são usados para sondar a estrutura dos núcleos dos átomos.
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Para tais elétrons a relação λ = h/p continua válida, porém devemos usar a expressão
p
relativı́stica para o momento linear, p = mv/ 1 − v 2 /c2 .
(a) Mostre que a velocidade de um eléron que possui um comprimento de onda de De Broglie
λ é dada por
v=q
1+
c
mcλ 2
h
(b) A grandeza h/mc é igual a 2, 426 × 10−12 m, também chamado de comprimento de onda
de Compton. Se λ é pequeno em comparação com h/mc, o denominador da expressão
encontrada no item (a) é aproximadamente igual a 1 e a velocidade é aproximadamente
igual a c. Nesse caso, é conveniente escrever v = (1 − ∆)c e expressar a velocidade do
elétron em termos de ∆ em vez de v. Encontre uma expressão para ∆ válida quando
λ h/mc. (Dica: Use a série binomial (1 + z)n = 1 + nz + n(n − 1)z 2 /2 + . . ., válida
para |z| < 1.)
(c) Qual deve ser a velocidade de um elétron para que seu comprimento de onda de De
Broglie seja igual a 1, 00×10−15 m, comparável com o diâmetro de um próton? Expresse
sua resposta na forma v = (1 − ∆)c, dizendo quanto vale ∆.
49. Para partı́culas relativı́sticas, a relação λ = h/p continua válida, porém o módulo do momento
linear p é relacionado com a energia E dada pela equação: E 2 = (pc)2 + (mc2 )2 . A energia
cinética é dada por K = E − mc2 .
(a) Mostre que o comprimento de onda de De Broglie para uma partı́cula com energia
cinética K e massa de repouso m é dado por
λ= p
hc
K(K + 2mc2 )
(b) Encontre expressões aproximadas para λ em função de K nos casos especiais
i. K mc2 (limite não-relativı́stico) e
ii. K mc2 (limite extremamente relativı́stico).
(c) Calcule o comprimento de onda de De Broglie para um próton com energia cinética
igual a 7,00 GeV.
(d) Repita o item (c) para um elétron com energia cinética de 25,0 MeV.
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