TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
TRIGONOMETRIA
ÂNGULOS EM GRAUS E RADIANOS
MULTIPLIQUE POR
GRAUS
TROQUE
180º
RADIANOS
POR 180º
Exercícios sobre Transformações
pág. 07
∙
180º
GRAUS
RADIANOS
180º
12º ∙
180º
=
15
Resp. : d
Exercícios sobre Transformações
∙
180º
pág. 07
GRAUS
RADIANOS
180º
2
5
2∙180º
5
3
4
3∙180º
4
3∙45º
22,5º
8
180º
8
2∙36º
72º
135º
1 rad
57º
rad
180º
Resp. : b
Além de GRAUS e RADIANOS há
também os GRADOS
GRAUS
90º
/2
0º 360º
180º
0
GRADOS
270º
RADIANOS
3 /2
100gr
0
200gr
300gr
400gr
2
Ângulo formado pelos ponteiros de um
relógio
12
11
10
30º
30º
30º
1
30º
30º
2
30º
9
3
30º
8
30º
30º
30º
30º
30º
7
6
5
4
Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
3:00
4:00
12
12
11
1
11
1
30º
10
30º
30º
10
2
30º
30º
9
2
30º
3
9
30º
4
8
5
7
6
90º
4
8
depois de 60
minutos o
ponteiro menor
se moveu 30º
5
7
6
120º
3
Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
3:00
3:30
12
12
11
1
10
11
10
2
9
3
4
8
5
7
6
1
2
3
9
15º
15º
4
8
depois de 30
minutos o
ponteiro menor
se moveu 15º
5
7
6
Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
3:00
3:20
12
12
11
1
10
11
10
2
9
3
4
8
5
7
6
1
2
3
9
10º
4
8
depois de 20
minutos o
ponteiro menor
se moveu 10º
5
7
6
Para saber o ângulo observe a lógica geométrica
3:00
3:10
12
12
11
1
10
11
10
2
9
3
4
8
5
7
6
1
2
3
9
5º
4
8
depois de 10
minutos o
ponteiro menor
se moveu 5º
5
7
6
Logo, o valor numérico do ângulo (em graus) de
deslocamento do ponteiro menor é sempre a metade do
valor numérico do tempo decorrido (em minutos)
tempo
(minutos)
ângulo
(graus)
60
30º
40
20º
30
15º
20
15
10º
7,5º
10
5º
2
1º
1
0,5º
Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 07
12
11
1
30º
10
30º
2
30º + 30º + 30º + 30º + 30º
150º
30º
9
3
30º
8
Resp. : b
4
30º
5
7
6
Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 08
22º30’
30º
12
11
1
10
30º + 30º + 22º30’
82º30’
2
30º
9
3
4
8
Resp. : c
5
7
6
Exercícios sobre ângulos entre ponteiros
pág. 08
30º
20º
30º
12
11
1
10
30º
2
30º + 30º + 30º + 30º + 30º + 20º
170º
30º
9
3
30º
4
8
Resp. : a
5
7
6
CICLO TRIGONOMÉTRICO
/2
2 /3
120º
3 /4
90º
+1
/3
60º
135º
/4
45º
5 /6 150º
180º
7 /6
30º
-1
+1
330º
210º
360º 2
11 /6
225º
5 /4
0º
/6
240º
4 /3
315º
-1
270º
3 /2
300º
5 /3
7 /4
ÂNGULOS PODEM SER POSITIVOS OU NEGATIVOS
-270º
90º
60º
+
-300º
-180º 180º
-150º
0º
210º
300º
-60º
270º
-90º
-
ÂRCOS CÔNGRUOS
90º
180º
-310º
-670º
-1030º
-1390º ...
50º
410º
770º
1130º ...
0º
270º
ÂRCOS CÔNGRUOS
90º
-310º
-670º
-1030º
-1390º ...
50º
410º
770º
1130º ...
180º
0º
270º
número
inteiro
x = 50º + 360 ∙ k
1ª det. positiva
4ª det. negativa
-1390º = 50º + 360 ∙ ( -4 )
3ª det. negativa
-1030º = 50º + 360 ∙ ( -3 )
2ª det. negativa
-670º = 50º + 360 ∙ ( -2 )
1ª det. negativa
-310º = 50º + 360 ∙ ( -1 )
1ª det. positiva
50º = 50º + 360 ∙ ( 0 )
2ª det. positiva
410º = 50º + 360 ∙ ( 1 )
3ª det. positiva
770º = 50º + 360 ∙ ( 2 )
4ª det. positiva
1130º = 50º + 360 ∙ ( 3 )
COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA
DE UM ÂNGULO, EM GRAUS.
EXEMPLO:
ENCONTRAR A
MENOR
DETERMINAÇÃO
POSITIVA DO ÂNGULO
DE 1850º
1850º
360º
1800º
5
50º
1ª DETERMINAÇÃO
POSITIVA
VOLTAS
COMPLETAS
COMO SABER A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA
DE UM ÂNGULO, EM RADIANOS.
EXEMPLO: ENCONTRAR A MENOR DETERMINAÇÃO POSITIVA DO
ÂNGULO DE
28
3
28
3
6
6
6
6
4
=
+
+
+
+
3
3
3
3
3
VOLTAS
COMPLETAS
1ª DETERMINAÇÃO
POSITIVA
SENO E CO-SENO DE
UM ÂNGULO
NO CICLO
TRIGONOMÉTRICO
SENO DE UM
ÂNGULO
sen 0º = 0
90º
180º
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
primeiro
quadrante
positivo
180º
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
primeiro
quadrante
positivo
180º
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
primeiro
quadrante
positivo
180º
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
primeiro
quadrante
positivo
180º
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
sen 90º = 1
90º
positivo
180º
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
positivo
180º
positivo
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
positivo
180º
positivo
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
positivo
180º
positivo
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
positivo
180º
positivo
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
sen 180º = 0
90º
positivo
180º
positivo
0º
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
positivo
180º
positivo
0º
negativo
terceiro
quadrante
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
positivo
180º
positivo
0º
negativo
terceiro
quadrante
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
positivo
180º
positivo
0º
negativo
terceiro
quadrante
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
positivo
180º
positivo
0º
negativo
terceiro
quadrante
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
sen 270º = -1
90º
positivo
180º
positivo
0º
negativo
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
positivo
positivo
180º
0º
negativo
negativo
quarto
quadrante
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
positivo
positivo
180º
0º
negativo
negativo
quarto
quadrante
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
positivo
positivo
180º
0º
negativo
negativo
quarto
quadrante
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
positivo
positivo
180º
0º
negativo
negativo
quarto
quadrante
270º
SENO DE UM
ÂNGULO
sen 360º = 0
90º
positivo
positivo
180º
0º
negativo
270º
negativo
360º
SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
primeiro
quadrante
180º
0º
terceiro
quadrante
360º
quarto
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
cos 0º = 1
90º
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
primeiro
quadrante
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
primeiro
quadrante
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
primeiro
quadrante
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
primeiro
quadrante
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
cos 90º = 0
90º
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
negativo
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
negativo
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
negativo
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
negativo
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
cos 180º = -1
90º
negativo
positivo
180º
0º
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
negativo
positivo
180º
0º
negativo
terceiro
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
negativo
positivo
180º
0º
negativo
terceiro
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
negativo
positivo
180º
0º
negativo
terceiro
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
negativo
positivo
180º
0º
negativo
terceiro
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
cos 270º = 0
90º
negativo
positivo
180º
0º
negativo
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
negativo
positivo
180º
0º
positivo
negativo
quarto
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
negativo
positivo
180º
0º
positivo
negativo
quarto
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
negativo
positivo
180º
0º
positivo
negativo
quarto
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
negativo
positivo
180º
0º
positivo
negativo
quarto
quadrante
270º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
cos 360º = 1
90º
negativo
positivo
180º
0º
positivo
negativo
270º
360º
CO-SENO DE UM
ÂNGULO
90º
segundo
quadrante
primeiro
quadrante
180º
0º
terceiro
quadrante
360º
quarto
quadrante
270º
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
Resp. : c
450º
360º
900º
360º
360º
1
720º
2
90º
180º
sen 450º = sen 90º
cos 900º = cos 180º
sen 450º = 1
cos 900º = -1
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
-1
-1
sen x
2m - 1
1
1
3
-3
+1
-1
Resp. : c
2m - 1
3
+1-3
2m
3+1
-2
2m
4
-2
2
m
4
2
-1
m
2
Exercícios sobre seno e co-seno
pág. 21
sinal do
seno
Resp. : c
sinal do
co-seno
Exercícios sobre seno e co-seno
90º
pág. 22
180º
0º
a
b
270º
Resp. : e