Polígonos e ângulos
Prof. Ilizete
Linha Poligonal: linha formada por segmentos de reta consecutivos,
não alinhados
Linha poligonal aberta
Linha poligonal fechada
Polígono: superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada
Exemplos:
CLASSIFICAÇÃO QUANTO AOS ÂNGULOS:
Polígono convexo
Polígono côncavo
Ângulo
côncavo
Todos os seus ângulos são
convexos, menores que 1800
Tem pelo menos um ângulo
côncavo, maior que 1800
(se unir quaisquer 2 dos seus pontos, o
segmento de reta obtido está sempre
contido no polígono)
(existem sempre, pelo menos dois dos
seus pontos que unidos, formam um
segmento de reta que não está contido
no polígono)
Ângulo interno:
(os ângulos assinalados em verde são os ângulos internos)
Ângulo externo:
Ângulo formado por um lado com o prolongamento de um lado consecutivo
(os ângulos assinalados em amarelo são os ângulos externos)
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO
Preencher o quadro:
5
3
6
4
4
5
7
10 - 2
n-2
(n – 2) x 180º
A soma Si das medidas dos ângulos internos de um polígono
(convexo) com n lados é dada pela expressão:
Si=(n-2) x 180o
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS EXTERNOS DE UM POLÍGONO
Observe o polígono [ABCDE] e os seus ângulos externos a, b, c, d, e
Se recortássemos cada um dos ângulos externos da figura, obtínhamos
Se agora juntássemos os ângulos externos pelos seus vértices:
A soma das medodas dos ângulos externos deste polígono é 3600
De um modo geral prova-se que:
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono (convexo)
é sempre igual a 3600.
Se=3600
RECORDANDO:
Polígono regular é um polígono com todos os lados
geometricamente iguais e todos os ângulos geometricamente
iguais.
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulo agudo:
  90º
Ângulo reto:
 = 90º
Ângulo obtuso:
 > 90º
Ângulo raso:
 = 180º
CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS
Ângulos complementares:

Ângulos suplementares:
Ângulos replementares:



 +  = 90º


 +  = 180º
 +  = 360º
ÂNGULOS FORMADOS POR DUAS PARALELAS E
UMA TRANSVERSAL.
t
b
c
f
g
e
h
a
r
d
s
Correspondentes: a e e; d e h; b e f; c e g.
Opostos pelo vértice: a e c; b e d; e e g; f e h.
Alternos internos: d e f; c e e.
Alternos externos: a e g; b e h.
Colaterais internos: d e e; c e f.
Colaterais externos: a e h; b e g.
Questão 1:
(UFES) O triplo do complemento de um ângulo é igual à terça
parte do suplemento deste ângulo. Este ângulo mede:
a) 45o
b) 48o 30’
c) 56o 15’
d) 60o
e) 78o 45’
Questão 2:
(UFES) Se as retas r e s da figura abaixo são paralelas então
3 +  vale:
a) 225o
b) 195o
c) 215o
d) 1750
e) 1850
Questão 3:
(UFMG) Na figura, AC = CB = BD e A = 25o. O ângulo x mede:
a) 50o
b) 60o
c) 70o
d) 75o
e) 80o
NÚMERO DE DIAGONAIS
no de diagonais determinadas a partir
de 1 vértice: (n – 3)
no de diagonais de um polígono c/ n lados:
n.(n  3)
d
2
Questão 5:
Em um polígono de n lados, o número de diagonais
determinadas a partir de um de seus vértices é igual ao número
de diagonais de um hexágono. Desse modo, n é igual a:
a) 11
b) 12
c) 10
d) 15
e) 18
Questão 6:
Se ABCDE é um polígono regular, então a soma dos ângulos
assinalados na figura é:
a)
b)
c)
d)
e)
90o
120o
144o
154o
180o
Questão 7:
No hexágono ABCDEF abaixo, a medida do ângulo ABC é o
quádruplo da medida do ângulo EFA. Calcule a medida de um
ângulo obtuso formado pelas bissetrizes de ABC e EFA.
a) 100o
b) 110o
c) 120o
d) 130o
e) 140o
Questão 8:
Na figura seguinte, o valor de  é:
a) 90o
b) 95o
c) 100o
d) 110o
e) 120o
Quadriláteros
P
T
Trapézio: dois
lados paralelos
Paralelogramo:
lados opostos
paralelos
R
Retângulo: quatro
ângulos
congruentes
L
Q
Losango: quatro lados
congruentes
Quadrado: lados e
ângulos congruentes
Quadriláteros
Resumo
Quadriláteros : quatro
ladosTrapézios: pelo menos dois lados
paralelos
Paralelogramos: lados opostos
paralelos
Retângulos:
ângulos
retos
Losangos
Questão 9:
(UFJF) Em um pentágono convexo, os ângulos
internos formam uma progressão aritmética de razão r.
O valor de r tal que o maior ângulo desse pentágono
meça 128° é:
a) 10°
b) 15º
c) 20°
d) 27º
e) 36°
Polígonos regulares inscritos na circunferência
Apótema (a) é um segmento com uma extremidade no centro da circunferência
e outra no ponto médio de um dos lados do polígono.
Raio da circunferência circunscrita (r) é o segmento com uma extremidade no
centro da circunferência e a outra na própria circunferência.
l 3 r 3
a3 
r
2
l 4 r 2
a4 
r 2
2
l 6 r
a6 
r 3
2
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Polígonos regulares circunscritos na circunferência
a=r
l = 2r√3
a=r
a=r
l = (2r√3)/3
l = 2r
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Questão 10:
Uma tora de madeira tem secção
circular de comprimento igual a
62,8 cm . Calcule o lado da maior
secção quadrangular que pode
ser obtida na tora (adote pi=3,14).
Questão 11:
Calcule a razão entre os
perímetros de dois hexágonos
regulares, o primeiro inscrito e o
segundo circunscrito a um mesmo
círculo.