Produção e Custos
Versão Preliminar
Produção em período curto – caso discreto
1 - Suponha que a Lojinha de Hamburgers Caseiros com a actual dimensão –
definida por 1 sala com 60 m2, mesas e cadeiras, 2 grelhadores, 1 frigorífico e 1 arca
congeladora, etc – consegue produzir por hora a seguinte quantidade de hamburgers
em função do número de trabalhadores:
Q (nº de
hamburgers
0
10 22 36 48 55 58 60 61 60 57
por hora)
L
(nº
de
trabalhadores
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
por hora)
1. Defina produtividade média e marginal do trabalho e calcule os respectivos valores.
2. Explique o significado da produtividade média do trabalho, quando se empregam 3
trabalhadores.
3. Explique o significado da produtividade marginal do trabalho quando se emprega o
terceiro trabalhador.
4. Represente graficamente as funções de produto total, produtividade média e
produtividade marginal do trabalho.
5. Analise o comportamento da produtividade marginal do trabalho e relacione-o com
o comportamento:
a) do produto total;
b) da produtividade média do trabalho.
6. Analise o comportamento da produtividade média do trabalho e relacione-o com o
comportamento do produto total.
7. Explique se neste processo de produção se observa a lei dos rendimentos
decrescentes e explique o seu significado económico.
8. Determine o intervalo de valores em que é tecnicamente eficiente contratar
trabalhadores. Justifique a sua resposta.
9. Em que volume de produção estará esta empresa a usar com a máxima eficiência o
factor trabalho? E os seus factores fixos? Justifique a sua resposta.
10. Quantos trabalhadores deverá esta empresa, no máximo, contratar? É esse o
número de trabalhadores que lhe permitirá minimizar os seus custos unitários de
produção?
11. Suponha que, em resultado de melhorias na acessibilidade e de reputação que
conquistou no mercado, se observa um aumento da procura desta empresa,
surgindo-lhe a oportunidade de passar a vender cerca de 90 hamburgers por hora.
Explique que alternativas se colocam a esta empresa para poder responder a este
aumento da sua procura?
Resolução
1.
A produtividade média do trabalho exprime a quantidade de produto que, por
período de tempo, se obtém em média por unidade de factor trabalho utilizada,
mantendo-se constantes as quantidades usadas dos outros factores. Obtém-se
dividindo a produção total (Q) pela quantidade utilizada de factor trabalho (L),
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Produção e Custos
correspondente a esse volume de produção. A produtividade marginal do trabalho
indica a variação da produção total que, em média, se obtém por unidade adicional
de factor trabalho, ceteris paribus. Obtém-se dividindo a variação da produção total
(∆Q) pela variação da quantidade utilizada de factor trabalho (∆L) que lhe está
associada.
Tanto a produtividade média como a produtividade marginal do trabalho são
medidas de eficiência técnica. Mas, enquanto que a produtividade média do trabalho
mede a eficiência com que, no seu todo, o factor trabalho está a ser utilizado, a
produtividade marginal do trabalho mede a eficiência associada à utilização de cada
unidade adicional de factor trabalho, mantendo-se constantes as quantidades
utilizadas dos demais factores produtivos.
Trabalho
(L)
(Nº de
trabalhad
ores por
hora)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Produção Total
ou Produto Total
(Q)
(Nº de
hamburgers
produzidos por
hora)
0
10
22
36
48
55
58
60
61
60
57
Produtividade Marginal
do Trabalho (∆Q/∆L)
(nº de hamburgers por
hora e por trabalhador)
Produtividade Média do
Trabalho
(Q/L)
(nº de hamburgers por
hora e por trabalhador)
10
12
14
12
7
3
2
1
-1
-3
10
11
12
12
11
9,6(6)
8,6
7,625
6,6(6)
5,7
2. Significa que, quando se utilizam 3 trabalhadores, com uma quantidade fixa dos
outros factores de produção, se obtêm em média 12 hamburgers por hora.
3. Significa que, tudo o mais constante, se obtém uma produção adicional de 14
hamburgers por hora ao passar a utilizar o 3º trabalhador.
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Produção e Custos
Produção Total (nº de hamburgers por hora)
FIGURA 1: Produção ou Produto Total
68
64
60
56
52
48
44
40
36
32
28
24
20
16
12
8
4
0
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
L (nº trabalhadores por hora)
16
14
12
trabalhador)
PMdL e PMgL (nº de hamburgerspor hora e por
FIGURA 2: Produtividade Média e Marginal do Trabalho
10
8
PMgL
6
PMdL
4
2
0
-2 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
-4
L (nº trabalhadores por hora)
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Produção e Custos
5-a) O volume de produção (Q) aumenta enquanto a produtividade marginal do trabalho
for positiva, alcançando o seu máximo (61 hamburgers por hora) quando se
empregam 8 trabalhadores; em seguida decresce, uma vez que a produtividade
marginal do trabalho se torna negativa.
Enquanto a produtividade marginal do trabalho é crescente (até L=3), a produção
total cresce a ritmo crescente, pois cada unidade adicional de factor trabalho
utilizado contribui para aumentar a produção em mais do que a unidade de factor
trabalho anterior. A partir do momento em que a produtividade marginal do trabalho
se torna decrescente, mas permanece positiva (a partir de L=3 e até L=8), o produto
total cresce a ritmo decrescente, dado que o acréscimo de produção associado à
utilização de mais um trabalhador é inferior ao observado anteriormente. A função
produto total muda de ritmo de crescimento (ponto de inflexão), quando a
produtividade marginal do trabalho é máxima (L=3).
5-b) Enquanto a produtividade marginal do trabalho for superior à produtividade média,
a produtividade média do trabalho cresce, dado que cada trabalhador adicional que
vai sendo utilizado contribui para aumentar o volume de produção num montante
superior ao valor até então alcançado pela produtividade média. Isto ocorre até se
utilizarem 4 trabalhadores, produzindo 48 hamburgers por hora. Neste ponto, a
produtividade média do trabalho é máxima e igual à produtividade marginal do
trabalho. A partir daí, a produtividade marginal é inferior à produtividade média, ou
seja, a utilização adicional de um trabalhador contribui para aumentar a produção
num valor inferior ao até então alcançado pela produtividade média, pelo que a
produtividade média do trabalho decresce.
6. A função produtividade média do trabalho é crescente até L=3, mantendo-se contante
entre L=3 e L=4, onde alcança o seu máximo, e passando depois a ser decrescente.
Quando a produtividade total é decrescente, a produtividade média é, também,
decrescente. No entanto, enquanto a produção total cresce, a produtividade média do
trabalho pode ser crescente, constante ou decrescente - o volume de produção
cresce até L=8, enquanto que a PMdL cresce até L=3, mantem-se constante a seguir
e decresce a partir de L=4 - pois o que determina o crescimento da função produto
total é o facto de a função produtividade marginal do trabalho ser positiva.
7. A lei dos rendimentos decrescentes observa-se neste processo produtivo a partir do
emprego do 3º trabalhador, dado que a produtividade marginal do trabalho se torna
decrescente. Esta lei estabelece que, à medida que se vão acrescentando unidades
adicionais de factor variável a uma dada dotação de factores fixos, mais cedo ou mais
tarde atingir-se-á um ponto em que a produtividade marginal do factor variável se
torna decrescente. Significa que, a partir dessa altura, os acréscimos de produto
obtido por unidade adicional de factor variável passam a ser cada vez mais pequenos,
dado que a empresa se está a aproximar da plena utilização da capacidade produtiva
instalada para esse processo produtivo.
É de notar que esta lei respeita ao período curto, derivando do facto de a existência
de factores fixos restringir as possibilidades da empresa aumentar a sua produção
através unicamente da alteração da quantidade de factor variável. É observada em
muitos processos de produção, constituindo um facto empírico.
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Produção e Custos
8- Só é tecnicamente eficiente utilizar um factor de produção enquanto a sua
produtividade marginal for não negativa. A partir do momento em que a
produtividade marginal dum factor de produção se torna negativa isso significa que,
ceteris paribus, a utilização dessa unidade adicional de factor, em vez de contribuir
para aumentar a produção, leva a que esta diminua, ou seja, acarreta desperdício de
recursos e, consequentemente, ineficiência. Não se justifica, portanto, a utilização de
mais unidades desse factor de produção, mesmo que o seu preço fosse nulo por
hipótese, enquanto se mantiverem as quantidades dos outros factores de produção
que com ele se combinam para obter o produto final, uma vez que, para além de se
usar ineficientemente esse factor, a sua utilização acarreta, também, ineficiência na
utilização de todos os outros factores de produção. O processo de produção entrou
no 3º estágio da produção e a função de produção deixa de ser, a partir daí, relevante
do ponto de vista económico.
No caso deste exercício, o intervalo de valores em que é tecnicamente eficiente
utilizar o factor de produção trabalho é desde L=0 até L=8. A partir daí, a
produtividade marginal do trabalho torna-se negativa, pelo que a utilização do 9º
trabalhador implicaria ineficiência técnica (a produção total descia de 61
hamburgers por hora para 60 hamburgers por hora) e ineficiência económica pois
aumentariam os custos unitários de produção. Deste modo, o intervalo de valores
em que a função de produto total tem relevância técnica e económica é desde L=0
até L=8, o qual corresponde aos 1º e 2º estágios da produção.
9. O factor trabalho está a ser usado com a máxima eficiência técnica quando se
empregam 4 trabalhadores, produzindo-se 48 hamburgers por hora, dado que se
obtém a máxima quantidade de produto por trabalhador ou, dito de outro modo, é
mínima a quantidade de factor trabalho necessária para obter uma unidade de
produto. Por sua vez, o factor fixo está a ser usado com a máxima eficiência técnica
quando a produção total é máxima, o que acontece quando se produzem 61
hamburgers por hora, pois a produtividade média do factor fixo cresce enquanto a
produção total crescer também1.
10. Esta empresa deverá, no máximo, utilizar 8 trabalhadores por hora, pois a partir daí
a produtividade marginal do trabalho torna-se negativa e, consequentemente, o
volume de produção diminuiria. Mas isto não significa que seja esse o número de
trabalhadores a empregar se a empresa pretender minimizar os seus custos unitários
de produção. De facto, este número de trabalhadores apenas lhe permitiria alcançar
esse objectivo, no caso extremo de a empresa nada ter que pagar pela sua utilização,
caso em que teria interesse em expandir o volume de produção até onde utiliza com
a máxima eficiência técnica possível o factor fixo, situando-se na fronteira entre o
2º e o 3º estágios de produção. Por outro lado, no caso extremo em que a empresa
nada tivesse que pagar pela utilização do factor fixo, ela minimizaria os seus custos
unitários de produção se usasse com a máxima eficiência o factor variável, situandose na fronteira entre o 1º e o 2º estágios de produção.
Deste modo, o número de trabalhadores que permitirá, em período curto, produzir
cada hamburger ao mínimo custo situa-se entre L=4 e L=8. O número concreto de
trabalhadores a empregar com vista a minimizar os custos unitários de produção
1
A produtividade média do factor fixo obtém-se dividindo a produção total (Q) pela quantidade de
factores fixos. Sendo o denominador constante, por definição, naturalmente que o comportamento do
quociente (PMd factor fixo) é determinado pelo do numerador (Q).
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Produção e Custos
depende dos preços relativos dos factores fixo e variável, aproximando-se de L=4, se
o factor variável for relativamente mais caro, ou de L=8 se for antes relativamente
mais caro o factor fixo.
11. Em período curto, e com a dimensão que actualmente possui, esta empresa não pode
produzir 90 hamburgers por hora, pois o máximo volume de produção que lhe é
tecnicamente possível alcançar é de 61 hamburgers por hora. Consequentemente, o
que poderá fazer é equacionar o aumento da sua dimensão (decisão de período
longo), tendo em conta, nomeadamente, a avaliação que faz acerca do carácter
transitório ou não do aumento da procura que lhe é dirigida, bem como os recursos
financeiros de que necessitará para aumentar a sua dimensão e as possibilidades de
arrendar um espaço físico com maior área e que se revele, pelo menos tão atractivo
como o presente, para atrair clientes. Se o resultado dessa avaliação for no sentido
de aumentar a dimensão da empresa, a concretização desta decisão de período longo
será, em termos temporais, previsivelmente rápida, dadas as características técnicas
deste processo de produção.
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Produção e Custos
1 - As linhas de expansão de longo prazo e de curto prazo indicam situações de
equilíbrio do produtor.” Comente, distinguindo linha de expansão de período longo da
de período curto acompanhe a sua explicação de representação gráfica. Explicite os
pressupostos utilizados na sua análise
Resposta:
A linha de expansão de longo prazo é o lugar geométrico de pontos de equilíbrio
produtor em período longo, para os diferentes volumes de produção, assumindo que se
mantêm os preços dos factores de produção e a tecnologia. Sobrepondo os mapas de
isoquantas e isocustos, a tangência entre uma isocusto e uma isoquanta determina a
combinação óptima dos factores L e K para cada nível de produção (figura....). Os
pontos E1, E2, E3 representam combinações de óptimas na medida em que, nesses
pontos, a TMST
K, L
= pl/pk. São combinações de ambos os factores que o empresário
racional escolherá para minimizar o custo total de produzir cada volume de produção no
longo prazo. Assim se o produtor pretender produzir Q1, terá que adquirir L1 de L e K1
de K. Igualmente, as combinações óptimas para produzir Q2 e Q3 são, respectivamente,
L2 e K2, e L3 e K3. Cada ponto de tangência assegura que os diferentes volumes de
produção são produzidos ao mínimo custo (CT1, CT2, CT3).
No curto prazo, o empresário poderá não produzir ao mínimo baixo custo possível e
portanto não estar em equilíbrio. Neste caso a linha da expansão será K=K2, indicando o
montante de factor variável (L) que, associado com um dado montante de factor fixo
(K2), é necessário utilizar se o produtor pretender expandir ou diminuir a produção, para
uma dada razão de preços e tecnologia. Se tiver decidido produzir o volume de
produção Q2, e como a dimensão K2 é a mais adequada para produzir este volume de
produção, a solução de equilíbrio será a mesma quer o empresário esteja em curto prazo
ou longo prazos (E2=E´2). Mas, se em determinado momento o empresário decidir
diminuir o volume de produção para Q1, terá que associar o montante de factor variável
L´1 com o montante de factor fixo K2, incorrendo num custo de produção CT´1. Este
custo é superior ao custo de produzir o mesmo volume de produção no longo prazo
(CT1), dado que o empresário, no curto prazo, não pode ajustar ambos os factores de
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Produção e Custos
produção de modo a produzir com a máxima eficiência. O ponto E´1 não é, portanto,
uma solução de equilíbrio. Igualmente, a produção do montante Q3 implica a utilização
de L´3 e K2 no curto prazo (E´3) , correspondendo a um custo total CT´3 , que é maior do
que o custo de produzir esse mesmo volume de produção no longo prazo (CT3).
Em resumo, a linha de expansão de longo prazo indica o mais baixo custo total de
produzir cada volume de produção, estando o produtor racional sempre em equilíbrio
produzindo com a máxima eficiência. Na linha de expansão de curto prazo, o
empresário só está em equilíbrio quando a dimensão (factor K) utilizada é a mais
adequada para produzir um dado volume de produção; se o empresário, no curto prazo,
produzir volumes de produção diferentes desse.
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Produção e Custos
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Produção e Custos
Suponha que uma empresa da indústria farmacêutica produz o medicamento "XIS"
segundo a seguinte função de produção:
Q = L2 K - L3,
onde Q designa o volume de produção, expresso em embalagens de 60 comprimidos por
período de tempo, e L e K as quantidades usadas de factor trabalho e capital por período
de tempo, respectivamente. Os preços unitários dos factores de produção são: PL = 500
u.m. e PK = 250 u.m.
1) Determine a combinação óptima de factores para um volume de produção de 1500
embalagens por período de tempo.
2) Admita que o preço do factor capital sofre um acréscimo de 10 %.
Quais os ajustamentos a que o empresário deverá proceder para estar em equilíbrio?
Justifique.
3) Atendendo ao tipo de rendimentos a escala da função de produção, explique qual será
o andamento da curva de custo marginal de período longo. Comprove a sua resposta a
partir da determinação da sua expressão analítica. (NOTA: considere os preços dos
factores produtivos iniciais)
4) Suponha que a empresa está na dimensão expressa por K=25 unidades e que produz
actualmente 2250 embalagens por período de tempo, volume de produção que estima
que se mantenha no futuro.
a) A empresa situa-se no estágio de produção mais adequado? Justifique a sua
resposta.
b) Na situação actual o valor da elasticidade da produção em relação ao factor
trabalho é de 0,5. Explique o seu significado económico e calcule a quantidade de
factor trabalho que se está a utilizar.
c) A actual situação da empresa é compatível com uma situação de equilíbrio de
longo prazo? Fundamente a sua resposta e ilustre-a graficamente.
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Produção e Custos
Resolução
1) A questão a resolver é achar a combinação (K, L) que permite minimizar o custo total
de produção sujeito à restrição de Q=1500. A solução é obtida pela resolução do
sistema:
⎧Q = L2 K − L3 → F.Produção de período longo
⎪
PL
⎪
→ Condição de equilíbrio
⎨TMSTK , L =
P
K
⎪
⎪⎩CT = PL L + PK K → Isocusto
⎧1500 = L2 K − L3
⎧1500 = L2 (2,5L) − L3
⎧ ___
⎧ ____
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪ 2 K − 3L 500
⇔⎨
=
⇔
⇔ ⎨2 K − 3L = 2 L ⇔ ⎨ K = 2,5L ⇔ ⎨ ____
250
⎪CT = 500 L + 250(2,5L)
⎪ L
⎪ ___
⎪ ___
⎩
⎩
⎩
⎪⎩CT = 500 L + 250 K
⎧ L3 = 1000
⎧1500 = 1,5L3
⎧1500 = 2,5L3 − L3
⎧ L = 10
⎪
⎪
⎪
⎪
⇔ ⎨ K = 25
⇔ ⎨ _____
⇔ ⎨ ______
⇔ ⎨ ___
⎪CT = 11250
⎪ _____
⎪ ______
⎪CT = 1125L
⎩
⎩
⎩
⎩
TMSTK , L =
TMSTK , L
PMg L
∂Q
∂Q
, sendo que PMg L =
⇔ PMg K = L2
⇔ PMg L = 2 LK − 3L2 e PMg K =
∂K
∂L
PMg K
2 LK − 3L2
2 K − 3L
=
⇔ TMSTK , L =
2
L
L
A combinação óptima de factores para produzir 1500 embalagens por período de tempo é definida por 10
unidades de factor trabalho e 25 unidades de factor capital. O custo total de produção será de 11 250 u.m.
2. Em equilíbrio,
para 275 u.m.:
PMg L
P
PMg L PMg K
. Face ao aumento do preço do factor capital
= L ⇔
=
PMg K PK
PL
PK
PMg L PMg K 2
, ou seja, o acréscimo de produção induzido pela última unidade
>
PL
PK
monetária gasta na aquisição de factor trabalho é superior ao da última unidade monetária gasta na
aquisição de capital. Consequentemente, e dados os novos preços, a empresa pode reduzir os seus custos
de produção se aumentar a quantidade usada de factor trabalho e reduzir a quantidade de factor capital.
Deverá pois proceder a ajustamentos de período longo, os quais se caracterizam pela substituição do
factor capital, que passou a ser relativamente mais caro, pelo factor trabalho. O processo de substituição
que cessará quando as produtividades marginais de ambos os factores de produção, ponderadas pelos
respectivos preços, forem iguais.
Para produzir 1 500 embalagens por período de tempo, deverá então usar uma combinação de factores
2
Em concreto, tem-se que esta desigualdade é 0,40 > 0,36. Substituindo L=10 e K=25, nas expressões
das produtividades marginais calculadas em 1), obtém-se PMgL=200 e PMgK=100, pelo que PMgL/PL =
200/500 e PMgK/PK= 100/275.
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Produção e Custos
produtivos que é relativamente mais intensiva em factor trabalho que a anteriormente calculada.
3) Esta função de produção é uma função homogénea de grau 3, exibindo, por isso, rendimentos
crescentes à escala. Com efeito, seja λ uma constante positiva:
Q1 = ( λL ) 2 ( λK ) − ( λL ) 3 ⇔ Q1 = λ3 L2 K − λ3 L3 ⇔ Q1 = λ3 ( L2 K − L3 ) ⇔ Q1 = λ3 Q
Havendo rendimentos crescentes à escala, se se aumentar a quantidade usada de ambos os factores
produtivos numa mesma proporção, o volume de produção cresce mais que proporcionalmente. Logo, à
medida que se expande a escala de produção, para obter um mesmo aumento do volume de produção vai
sendo necessário um acréscimo de factores produtivos cada vez menor. Consequentemente, e assumindo
que os preços dos factores produtivos se mantém constantes, o custo total de produção de período longo
cresce a ritmo decrescente, pelo que o custo marginal de período longo decresce com o volume de
produção.
Para confirmar, começa-se por calcular a expressão analítica da função custo total de período longo CTPL= f(Q) -, a qual é obtida através da resolução do sistema:
⎧Q = L2 K − L3 → F. Produção de período longo
⎪⎪
→ Caminho de expansão de período longo
⎨ K = 2 ,5 L
⎪
CT = 500 L + 250 K → Isocusto
⎩⎪
1/ 3
⎧
⎛Q ⎞
⎪
=
L
⎜
⎟
⎧Q = L2 ( 2 ,5 L ) − L3
⎧Q = 1,5 L3
⎪
⎝ 1,5 ⎠
⎪⎪
⎪⎪
⎪
⇔ ⎨ _____
⇔ ⎨ ____
⎨ _____
⎪
⎪
⎪
1/ 3
CT = 500 L + 250( 2 ,5 L )
CT = 1125 L
⎪
1125
⎛Q ⎞
⎩⎪
⎩⎪
(Q )1 / 3
⇔ CT =
⎟
⎪CT = 1125⎜
3
⎝ 1,5 ⎠
1,5
⎩
A função custo total de período longo é: CT PL =
1125
3
1,5
(Q )1 / 3
A função custo marginal de período longo é:
CMg PL =
dCTPL
1 1125
375
−2 / 3
(
(Q )−2 / 3
⇔ CMg PL = ×
Q)
⇔ CMg PL =
3
3
dQ
3
1,5
1,5
1ª derivada : (CMg PL ) < 0
'
2ª derivada : (CMg PL ) > 0
''
Pode-se concluir que a função custo marginal de período longo é uma função continuamente decrescente
e convexa em relação à origem, o que confirma a análise acima realizada da relação entre rendimentos
crescentes à escala e comportamento do custo marginal de período longo.
4) Sendo K=25, a função de produção de curto prazo desta empresa é: Q=25L2-L3
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Produção e Custos
a) O estágio de produção mais adequado do ponto de vista da utilização eficiente dos factores é o
segundo. Este estágio é delimitado por dois pontos: o máximo da produtividade média do trabalho, que
corresponde à situação em que se usa o factor trabalho (factor variável) com a máxima eficiência possível
e o máximo da produtividade total, onde a produtividade marginal do trabalho é nula e se usa com a
máxima eficiência possível o factor fixo (factor capital). Ao longo deste estágio, o aumento da quantidade
de factor trabalho conduz a perdas de eficiência global deste factor, dado a produtividade média do
trabalho ser decrescente, mas permite ganhos de eficiência na utilização do factor fixo, pois a
produtividade média deste factor é crescente.
Determinação dos limites do 2º estágio:
Q
PMd L = ⇔ PMd L = 25 L − L2
L
(PMd L ) = 0 ⇔ 25 − 2 L = 0 ⇔ L = 12 ,5
(PMd L )'' = −2
'
A PMdL é máxima, quando L=12,5, situação
em que se produzem Q=25(12,5)2-(12,5)3, ou
seja, cerca de 1953 embalagens por período de
tempo
A PMgL anula-se para L=50/3, situação em que
PMg L = 0 ⇔ 50 L − 3 L2 = 0 ⇔ L = 50 / 3
se produzem Q=25(50/3)2-(50/3)3, isto é,
aproximadamente 2315 embalagens por período
de tempo.
Estando a empresa a produzir 2250 embalagens por período de tempo, pode-se afirmar que se encontra no
2º estágio da produção.
b) O valor de 0,5 da elasticidade do produção em relação à quantidade utilizada de factor trabalho (EQ,L)
significa que, quando a empresa se encontra a produzir 2250 embalagens por período de tempo, uma
variação, por exemplo., de 1% na quantidade de factor trabalho, conduz a uma variação, no mesmo
sentido, de 0,5% no volume de produção, ou seja, uma variação menos que proporcional, mantendo-se
constante a quantidade usada de factor fixo.
EQ , L =
0,5 =
PMg L
50 L − 3L2
⇔ EQ , L =
PMd L
25 L − L2
50 − 3L
⇔ 12,5 − 0,5 L = 50 − 3L ⇔ 2,5 L = 37,5 ⇔ L = 15
25 − L
A empresa está a utilizar 15 unidades de factor trabalho, combinadas com as 25 unidades de factor fixo,
para produzir 2250 embalagens por período de tempo.
c) Não é. Como se viu na resolução da questão 1, K=25 é a dimensão mais adequada para produzir 1500
embalagens por período de tempo e não 2250 embalagens.
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Produção e Custos
Consequentemente, se com essa dimensão, a empresa
está correntemente a produzir 2250 embalagens por
período de tempo, os custos de produção de período
curto são superiores
(ponto A da figura) aos de
período longo (ponto B da figura). Para se encontrar
numa situação de equilíbrio de período longo, a
empresa terá de aumentar a sua dimensão, de forma a
produzir 2250 embalagens por período de tempo ao
mais baixo custo possível, situando-se então no ponto
B, onde os custos de produção de período curto e de
período longo são os mesmos. No ponto B a curva de
custo total médio de período curto dessa maior
dimensão (K1) é tangente à curva de custo médio de
período longo.
Alternativamente, a ilustração gráfica poderia ter sido realizada, através de um gráfico com a
representação das isoquantas, isocustos e linhas de expansão de curto e de longo prazos - figura b.
Figura b)
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Maria Clementina Santos e Isabel Godinho
Produção e Custos
Exercício (custos em período curto e relação entre a produção e os custos de período
curto)
Considere os dados relativos ao exercício 1:
Q (nº de hamburgers por
hora)
L (nº de trabalhadores por
hora)
0
10
22
36
48
55
58
60
61
60
57
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Suponha que o salário horário de cada trabalhador é de 5 euros e que os custos fixos
equivalem a um valor de 14 euros por hora.
1. Calcule todos os custos de produção de período curto, considerando o intervalo de
volumes de produção
2. Represente graficamente as funções custo que calculou.
3. Comente a forma das curvas de custo total.
4. Comente a forma das curvas de custos médios.
5. Relacione o comportamento dos custos variável médio e total médio com o
comportamento do custo marginal.
6. Relacione o comportamento do custo variável total e do custo total com o
comportamento do custo marginal. Como os explica?
7. Explique a relação entre o comportamento dos custos de período curto (custo variável
total, custo variável médio e o custo marginal) e o comportamento da produção em
período curto (produto total, produtividade média e produtividade marginal do
trabalho, respectivamente).
8. Qual é o volume de produção associado à máxima eficiência económica possível em
período curto. Justifique.
Resolução
1. Em período curto, em resultado da existência de factores fixos e variáveis, o custo
total é obtido a partir da soma do custo variável total e do custo fixo total.
Como, por hipótese simplificativa, apenas se está a considerar o factor trabalho como
factor variável, o custo variável total (CVT) será calculado, para cada volume de
produção, através do produto do salário horário de cada trabalhador (5 €) pelo número
de trabalhadores (L) que são utilizados por hora e vem expresso em euros. O custo
fixo total (CFT) é igual a 14 euros e o custo total é, para cada nível de produção, igual
à soma do CFT e do CVT correspondente, estando expresso em euros.
Por sua vez, os custos médios, exprimem o custo por unidade produzida, vindo
expressos em euros por hambúrguer, e obtêm-se dividindo o custo total pelo volume
de produção correspondente.
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Maria Clementina Santos e Isabel Godinho
Produção e Custos
Custo fixo médio: CFMd = CFT/Q
Custo variável médio: CVMd = CVT/Q
Custo total médio (CTMd) = CT/Q ou CTMd = CFMd + CVMd
Finalmente, o custo marginal (CMg), obtém-se através do quociente entre a variação
do custo total e a variação da quantidade produzida, vindo expresso em euros por
hambúrguer. Indica, para cada intervalo de volumes de produção, o custo adicional
em que a empresa incorrerá em média ao produzir mais um hambúrguer. Como, por
definição, a variação dos custos fixos é nula, a variação do custo total é igual à
variação do custo variável total, pelo que: CMg =
∆CT
∆Q
ou CMg =
∆CVT
.
∆Q
Como se viu no exercício 1 o intervalo de volumes de produção em que não existe
ineficiência técnica, isto é, em que a produtividade marginal do trabalho não é
negativa, vai até um volume de produção de 61 hambúrgueres por hora, pois a partir
daí a utilização de mais trabalhadores conduz à diminuição do volume de produção.
No quadro abaixo, apresenta-se o cálculo de todas as funções custo de período curto.
(A)
(B)
(C)
(D)= 5 x
(A)
Nº de
Trabal
hadores
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Produçã
o total
(Q)
(hambur
0
10
22
36
48
55
58
60
61
Custo
Fixo
Total
Custo
Variável
Total
(euros)
0
5
10
15
20
25
30
35
40
14
14
14
14
14
14
14
14
14
(E)=
(C)+(D)
Custo
Total
14
19
24
29
34
39
44
49
54
(F)=(C)
: (B)
Custo
Fixo
Médio
(euros
1,40
0,64
0,39
0,29
0,25
0,24
0,23(3)
0,23
(G)=(D)
: (B)
(H)=
(E)/ (B)
(H)=
(F)+(G)
Custo
Custo
Variável
Total
Médio
Médio
(euros
(euros
0,50
1,90
0,45
1,09
0,42
0,81
0,42
0,71
0,45
0,71
0,52
0,76
0,58
0,82
0,66
0,89
(I)
Custo
Margina
l
(euros
0,50
0,42
0,363
0,42
0,71
1,67
2,50
5,00
2. Na figura 1, estão representadas as funções de custo total e na figura 2 as funções de
custo médio e de custo marginal.
3
0 ,36 =
29 − 24
36 − 22
, usando no numerador a variação do custo total, ou
0 ,36 =
15 −10
36 − 22
, usando no numerador a variação do CVT
.
Este valor indica que, ao aumentar a quantidade produzida de 22 para 36 hambúrgueres por hora, o custo adicional de produzir mais
um hambúrguer é, em média, de 0,36 €.
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Maria Clementina Santos e Isabel Godinho
Produção e Custos
Custos totais (euros)
Figura 1: Custos Totais
58
56
54
52
50
48
46
44
42
40
38
36
34
32
30
28
26
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
CFT
CVT
CT
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66
Quantidade produzida (nº de hamburgers por hora)
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Maria Clementina Santos e Isabel Godinho
Produção e Custos
Custos médios e custo marginal (euros por hamburger)
Figura 2: Custos Médios e Custo Marginal
5,2
5,0
4,8
4,6
4,4
4,2
4,0
3,8
3,6
3,4
3,2
3,0
2,8
2,6
2,4
2,2
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
CFMd
CVMd
CMg
CTMd
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66
Quantidade produzida (nº de hamburgers por hora)
3. Da análise da figura 2 ou das colunas C, D e E do quadro obtido em 1), pode-se
concluir que:
− o custo fixo total é constante, pois não depende do volume de produção. Daí
que, graficamente, seja representado por uma recta paralela ao eixo das abcissas,
onde está representado o volume total de produção (Q);
− o custo variável total parte da origem, pois se a empresa nada produzir no curto
prazo, o CVT é nulo. É uma função crescente com o volume de produção,
crescendo a ritmo decrescente até Q =36 e, depois, a ritmo crescente;
− o custo total é igual à soma do CFT com o CVT. A sua forma resulta do
comportamentro do CVT e do CFT. Consequentemente a curva de custo total
tem por ordenada na origem o valor correspondente aos custos fixos (14 €) e
uma forma idêntica à da curva do CVT;
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Produção e Custos
− as curvas de CT e de CVT são verticalmente paralelas. Para cada volume de
produção, a distância da curva de CVT à curva de CT é igual a 14, valor do
custos fixo total.
4. Da análise da figura 3 ou das colunas F, G, H e I do quadro calculado em 1) tem-se
que:
− o custo fixo médio é uma função decrescente do volume de produção,
diminuindo à medida que aumenta a quantidade produzida pois menor é a quotaparte do custo fixo total que cabe a cada unidade produzida. Daí que a curva de
custo fixo médio seja o ramo de uma hipérbole equilátera;
− o custo variável médio decresce até Q=36 hamburgers por hora, mantém-se
constante a seguir, atingindo
o seu mínimo, e cresce a partir de Q= 48
hamburgers por hora;
− o custo total médio decresce até Q= 48 hamburgers por hora, mantém-se
constante a seguir, atingindo
o seu mínimo, e cresce a partir de Q= 55
hamburgers por hora;
− o mínimo do custo total médio ocorre num volume de produção superior àquele
em que o CVMd é mínimo. O comportamento do CTMd depende do
comportamento do CFMd e do CVMd. O CFMd é sempre decrescente, enquanto
que o CVMd começa por ser decrescente, mas depois é crescente.
Consequentemente, enquanto ambos decrescem, o CTMd decresce também.
Quando o CVMd se torna crescente, o CTMd decresce enquanto o
decrescimento do CFMd conseguir contrabalançar o crescimento do CVMd, o
que explica que o mínimo do CTMd se situe num volume de produção superior
àquele onde o CVMd é mínimo. Mas, quando o decrescimento do CFMd se
torna insuficiente para compensar o crescimento do CVMd, o CTMd passa a ser
crescente com o volume de produção.
5. Para evidenciar melhor, em termos gráficos, a relação entre o comportamento do
custo variável médio (ou do custo total médio) e o comportamento do custo marginal
reproduz-se a figura 2, sem a representação do custo fixo médio e sem o último ponto
na curva de custo marginal.
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Produção e Custos
Figura 3: Relação entre o CVMd, CTMd e o CMg
2,6
Custos médios e custo marginal (euros por hamburger)
2,4
2,2
2,0
1,8
CVMd
1,6
CMg
1,4
CTMd
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66
Quantidade produzida (nº de hamburgers por hora)
Da observação da figura 3, pode-se concluir que:
− enquanto os custos médios (custo variável médio e custo total médio)
decrescem, o custo marginal é-lhes inferior, pelo que a curva de custo marginal
se situa abaixo das curvas de custo médio;
− enquanto os custos médios crescem, o custo marginal é-lhes superior e a curva
de custo marginal situa-se acima das curvas de custo médio;
− quando as curvas de custo médio têm um mínimo, a curva de custo marginal
intersecta-as. O custo marginal é igual ao custo variável médio em Q= 48 e é
igual ao custo total médio em Q=55 hamburgers por hora.
6. Tanto o custo total como o custo variável total são funções crescentes com o volume
de produção. Mas o crescimento destes custos não se processa sempre ao mesmo
ritmo, pois estas curvas são, inicialmente, concavas (concavidade voltada para baixo)
e, depois, convexas (concavidade voltada para cima). Isso resulta do facto de, até
Q=36 hamburgers por hora, o crescimento do CVT e do CT se realizar lentamente,
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Produção e Custos
isto é, a ritmo ou taxa decrescente e, depois, rapidamente, ou seja, a ritmo crescente.
Este comportamento do CT e do CVT está relacionado com o comportamento do
custo marginal, o qual é decrescente até Q= 36 hamburgers por hora, alcançando aí o
seu mínimo, e, depois, passa a ser crescente. No volume de produção em que o custo
marginal é mínimo, as funções de CVT e de CT têm um ponto de inflexão, mudando
de curvatura4 (passam de côncavas a convexas).
O crescimento do custo marginal é explicado pela manifestação da lei dos
rendimentos decrescentes a partir de Q=36, a qual vai determinar o crescimento a
ritmo crescente do CVT e do CT a partir daquele volume de produção.
7. Admitindo a hipótese de que o preço do factor variável (salário horário dos
trabalhadores) é constante, ou seja, não varia com a quantidade usada de factor
variável (nº de trabalhadores, neste exemplo) o
comportamento dos custos em
período curto é determinado apenas pelo da produção de período curto, isto é, pelas
características da função de produção de período curto da empresa.
Comparando as Figuras 4a) e 4b) pode-se concluir que:
•
até Q= 36 hamburgers por hora, a Produção Total cresce a ritmo crescente, pelo
que o Custo Variável Total cresce a ritmo decrescente;
•
a partir de Q= 36 hamburgers por hora começa a verificar-se a lei dos
rendimentos decrescentes, pelo que a Produção Total passa a crescer a ritmo
decrescente até Q=61 hamburgers por hora. Daí que, neste intervalo de volumes
de produção, o CVT cresça a ritmo crescente.
4
Como se verá na questão 7, esta mudança tem que ver com o facto de ter começado a actuar a lei dos rendimentos decrescentes, o
que conduz a que o custo marginal passe a ser crescente.
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Produção e Custos
Figura 4b): Custo variável total
Figura 4a): Produção ou Produto Total
Custos totais (euros)
44
40
64
36
Produção Total (nº de hamburgers por hora)
60
56
32
52
48
28
44
24
40
36
20
32
16
28
24
12
20
8
16
12
4
8
4
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
11
4
L (nº trabalhadores por hora)
8
12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64
Q (nº hamburgers/hora)
Figura 5b): Curvas de CVMd e de CMg
Figura 5a) Produtividade média e produtividade
CVMd
CMg
marginal do trabalho
PMgL
PMdL
1,5
Custos médios e custo marginal (euros por hamburger)
16
14
12
10
8
5
6
4
2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1,3
1,1
0,9
0,7
0,5
11
-2
0,3
-4
0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64
L ( nº t r abalhador es por hor a)
Quantidade produzida (nº de hamburgers por hora)
Comparando as Figuras 5a) e 5b), pode-se constatar, para os vários níveis de
produção, que:
•
O comportamento do custo marginal é inverso do comportamento da
produtividade marginal do trabalho:
− o CMg decresce até Q=36 hamburgers por hora, que é precisamente o
intervalo de volumes de produção onde a produtividade marginal do trabalho
(PMgL) é crescente. A PMgL cresce até L= 3, caso em que se produzem 36
hamburgers por hora.
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Produção e Custos
− o CMg é mínimo quando se produzem 36 hamburgers por hora., a PMgL é
máxima quando se usam 3 trabalhadores por hora, produzindo-se 36
hamburgers por hora
− o CMg é crescente a partir de Q=36 hamburgers por hora, devido à
observação da lei dos rendimentos decrescentes. De facto, a PMgL torna-se
decrescente a partir L= 3, ou seja, a partir de uma produção
de 36
hamburgers por hora;
•
O comportamento do custo variável médio é inverso do comportamento da
produtividade média do trabalho (PMdL):
− a PMdL cresce até ao emprego de 3 trabalhadores por hora, caso em que se
produzem 36 hamburgers por hora. Daí que o CVMd decresça até esse
volume de produção.
− a PMdL é máxima quando se empregam 4 trabalhadores por hora e se
produzem 48 hamburgers por hora, volume de produção onde o CVMd é
mínimo.
− a PMdL passa a ser decrescente a partir da utilização de 4 trabalhadores por
hora e da produção de 48 hamburgers por hora, sendo também a partir dessa
quantidade produzida que o CVMd se torna crescente.
8. Em período curto, esta empresa está a produzir com a máxima eficiência económica
possível, isto é, ao mais baixo custo unitário de produção, quando produz 55
hamburgers por hora. Cada hamburger tem, em média, um custo de produção de
cerca de 71 cêntimos.
Deste modo, tendo em conta as características técnicas do processo de produção e os
preços dos factores de produção, a empresa deve utilizar 5 trabalhadores por hora,
pois desse modo minimizará os seus custos unitários de produção em período curto.
Este volume de produção que a empresa está a produzir, em período curto, com a
máxima eficiência económica, situa-se no 2º estágio de produção, que fica:
- entre o volume de produção (Q= 48 hamburgers/hora), onde o factor variável é
usado com a máxima eficiência, pois é máxima a quantidade de produto que se
obtém, em média, por cada trabalhador (ou seja,
a produtividade média do
trabalho é máxima)
- e o volume de produção (Q= 61hamburgers/hora) onde o factor fixo é usado com
a máxima eficiência, obtendo-se a máxima quantidade de produto por unidade de
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Produção e Custos
factor fixo. Isso acontece quando a produção total é máxima, tornando-se nula a
produtividade marginal do trabalho.
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