UFPR_VESTIBULAR _2004
COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA
QUESTÃO 1
Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro
nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma
empresa a seguinte proposta, na qual o preço de cada passagem depende do total
de passageiros: cada passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar
que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 52 lugares, é
correto afirmar:
a) Se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R$ 110,00.
b) Se o total de passageiros for x, o preço (em reais) de cada passagem será
calculado pela expressão 90 + 5(52 – x).
c) Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá receber um total de R$ 6.000,00,
referente ao pagamento das passagens.
d) Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá receber,
referente ao pagamento das passagens, é calculado pela expressão 300x –
2
5x .
e) O valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das
passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35.
RESOLUÇÃO:
Considerando que o número de passageiros é x, o número de lugares vagos é 52-x
o que implica que cada passageiro pagará [90+5(52-x)] reais .
a) FALSO
Se viajarem 30 passageiros, cada um pagará em reais: 90 + 5(52-30) =
90 + 5 × 22 = 90 + 110= 200.
b) VERDADEIRO
c) VERDADEIRO
Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá receber, em reais, um total
de 40×[90 + 5(52-40)] = 40 × (90 + 60) = 6000.
d) FALSO.
Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá
receber: x[90+5(52-x)] = 90x+260x-5x2 = 350x-5x2.
e) VERDADEIRO
O valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das
- b − 350
=
= 35 .
passagens ocorrerá quando o total de passageiros for: x =
2a
− 10
QUESTÃO 2
O mapa ao lado representa as regiões em que está
dividido o Brasil. Cada região do mapa deve ser colorida
de modo que regiões com uma fronteira comum tenham
cores distintas (por exemplo, as regiões Sul e Sudeste
devem ter cores diferentes, enquanto as regiões Sul e
Nordeste podem ter a mesma cor). Tendo como base
essa condição, é correto afirmar:
a) Três cores diferentes são suficientes para colorir o mapa.
b) Estando disponíveis cinco cores, existem 5×4×3×2 modos diferentes de
colorir o mapa se, em cada um desses modos, forem aplicadas as 5 cores.
c) Estando disponíveis cinco cores, e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul
com a mesma cor, existem somente 4×3×3 modos diferentes de colorir o
mapa.
d) Estando disponíveis cinco cores, e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul
com a mesma cor, assim como as regiões Norte e Sudeste, existem 5×4×3
modos diferentes de colorir o mapa.
RESOLUÇÃO:
a) VERDADEIRO
Como a Região Nordeste faz fronteira com as regiões Sudeste, CentroOeste e Norte, mas a Região Norte não faz fronteira com a Sudeste,
podemos pintar estas duas últimas da mesma cor. Então teremos 3
cores diferentes para pintar essas quatro regiões. A Região Sul poderá
ser pintada com a cor da Região Nordeste ou com a cor da Região
Norte.
b) VERDADEIRO.
Vamos supor que eu disponha das seguintes cores:
NORTE
NORDESTE CENTRO-OESTE SUDESTE
SUL
Pintando em primeiro lugar a região Norte disponho de 5 cores para a
minha opção. Escolhida a azul, por exemplo, para a região Nordeste
restam 4 cores.Escolhida a amarela, restam 3 cores para a CentroOeste. Escolhida a verde, para a região Sudeste restam as cores: azul
ou rosa, 2 cores. Escolhida a laranja, por exemplo, para a Região Sul
resta 1 cores: a rosa, a amarela ou a azul.
Logo, um total de 5×4×3×2×1=120 possib ilidades.
c) FALSO.
NORTE
NORDESTE
CENTRO-OESTE
SUDESTE
SUL
Pintando em primeiro lugar a região Norte disponho de 5 cores para a
minha opção. Escolhida a azul, por exemplo, para as regiões Nordeste
e Sul restam 4 cores.Escolhida a amarela, restam para a Centro-Oeste
3 cores ( verde, laranja ou magenta). Escolhida a verde, restam para a
região Sudeste 3 cores (a azul, a laranja ou a magenta).
Logo são 5 × 4 × 3 × 3 = 180 possibilidades.
d) VERDADEIRO
NORTE
NORDESTE
CENTRO-OESTE
SUDESTE
SUL
Pintando em primeiro lugar as regiões Norte e Sudeste disponho de 5
cores para a minha opção. Escolhida a azul, por exemplo, para as
regiões Nordeste e Sul restam 4 cores.Escolhida a amarela, restam 3
cores para a Centro-Oeste ( verde, laranja ou magenta). b
Então são 5×4×3 = 60.
Questão 3
A respeito do sistema de equações
x + 3 y − 4 z = 0

3 x + y = a
4 x + bz = 0

onde a e b são números reais, é
correto afirmar:
a) Se a = 0, existe algum valor de b para o qual o sistema é impossível.
b) Se o valor de b for tal que o determinante da matriz não seja nulo, o sistema
terá uma única solução, qualquer que seja o valor de a.
c) Se a = 1 e b = 2, o sistema tem mais de uma solução.
d) Se a = b = 0, o sistema possui somente a solução nula.
RESOLUÇÃO:
a) FALSO
Se a = 0 o sistema é homogêneo e sempre admite a solução (0,0,0).
b) VERDADEIRO.
O sistema será possível e determinado.
c) FALSO.
Para que o sistema tenha mais de uma solução é preciso que
1 3 −4
3 1 0 = 0 ⇒ b + 16 - 9b = 0 ⇒ 8b = 16 ⇒ b = 2 e
4 0 b
1
3
0
3
4
1
0
a = 0 ⇒ 12a = 0 ⇒ a = 0 e não a = 1.
0
d) VERDADEIRO.
Se a = 0, o sistema terá sempre a solução nula independente do valor
de b, pois o sistema será homogêneo.
Questão 4
O nível sonoro de um som de intensidade I, medido em decibéis, é calculado pela
fórmula 10 × log, onde log representa logaritmo na base 10, e I0 é um valor de
referência que corresponde aproximadamente à menor intensidade de som audível
ao ouvido humano. Com base nessas informações, é correto afirmar:
a)
b)
c)
d)
Se um som tem intensidade I0, então o seu nível sonoro é igual a zero.
Um som de 1 decibel tem intensidade igual a 10 × I0.
Um som de 40 decibéis tem intensidade igual a 10000 × I0.
Se um som tem nível sonoro de 10 decibéis, então outro som que é dez
vezes mais intenso que aquele tem nível sonoro igual a 100 decibéis.
e) Se três sons têm níveis sonoros de 50, 60 e 70 decibéis, e suas intensidades
são, respectivamente, I1, I2, e I3, então esses números formam, nessa ordem,
uma progressão geométrica.
RESOLUÇÃO:
a) VERDADEIRO
I
Ns = 10×log  0
 I0

 = 10 × log1 = 0

b) FALSO.
 I
1 = 10×log 
 I0

 I
 ⇒ log 

 I0
1
1

1
I
 =
⇒
= 10 10 ⇒ I = 10 10 × I 0
I0
 10
c) VERDADEIRO.
 I
40 = 10×log 
 I0

 I
 ⇒ 4 = log 

 I0

 I 
 ⇒   = 104 ⇒ I = 10000×I0

 I0 
d) FALSO.
 I 
 I 
10 = 10×log   ⇒ 1 = log   ⇒
 I0 
 I0 
 100 × I 0 
 = 10×log100 = 200.
10×log 
 I0 
 I

 I0

 = 10 ⇒ I = 10×I0 Ns =

e) VERDADEIRO.
 I
50 = 10×log 
 I0
 I
60 = 10×log 
 I0

 I 
 I 
 ⇒ 5 = log   ⇒   = 105 ⇒ I1 = 105 ×I0

 I0 
 I0 

 I 
 I 
 ⇒ 6 = log   ⇒   = 106 ⇒ I2 = 106 ×I0

 I0 
 I0 
 I 
 I 
 I 
70 = 10×log   ⇒ 7 = log   ⇒   = 107 ⇒ I3 = 107 ×I0.
 I0 
 I0 
 I0 
Logo I1, I2 e I3 formam uma PG de razão 10.
Questão 5
Em um triângulo ABE, a medida do lado é 3, a do ângulo E é 75º, e a do ângulo A é
45º. Dois pontos, C e D, pertencem ao lado. Sabe-se que a distância AC é e que o
segmento ED é perpendicular a . Nessas condições, é correto afirmar:
a)
b)
c)
d)
A medida do ângulo B é igual a 60º.
AD > ED
EB = 6
EC = 5
RESOLUÇÃO:
%
ƒ
'
ƒ
(
ƒ
$
a) VERDADEIRO.
 + B̂ + Ĉ = 180° ⇒ B̂ +75°+45° = 180° ⇒ B̂ = 60°
b) FALSO.
Como ED ⊥ AB e  = 45°, o triângulo ADE é retângulo isósceles e ED =
AD.
c) VERDADEIRO.
2ED² = 9 ⇒ ED =
9
2
=
3 2
.
2
ED
3 3 2
3 2
= sen60 ° ⇒ AB ×
=
⇒ AB =
= 6
AB
2
2
3
d) VERDADEIRO.
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACE:
EC 2 = 2 2 + 3 2 − 2 × 2 × 3 ×
2
⇒ EC 2 = 11 - 6 ⇒ EC = 5 .
2
Questão 6
A obtenção de lâminas de madeira para a fabricação de compensados consiste em
se colocar uma tora em um torno e cortá-la, ao mesmo tempo em que é girada, com
Faca
Tora
Lâmina de
madeira
uma faca disposta paralelamente ao eixo da tora. O miolo da tora não é utilizável
para a produção de lâminas.
Uma tora em forma de cilindro circular reto de 40 cm de diâmetro e 2 m de
comprimento será utilizada para obter lâminas de 0,1 cm de espessura e 2 m de
largura. Considere que: a parte utilizada da tora seja transformada em lâmina, sem
perda de madeira; o miolo não utilizado da tora seja um cilindro circular reto com 10
cm de diâmetro; a lâmina obtida, quando estendida sobre uma superfície plana, seja
um paralelepípedo retângulo de 0,1 cm de altura. Nessas condições, é correto
afirmar:
a) O volume da tora é 0,08Œ P
b) O volume da lâmina obtida é 0,075Œ P
c) Quando se tiver utilizado 0,02 m3 da tora, o comprimento da lâmina obtida
será 10 m.
d) De uma lâmina de 5 m de comprimento poderão ser recortadas 16 chapas
retangulares de base 30 cm, altura 2 m e espessura 0,1 cm.
e) Durante o processo de obtenção da lâmina, a cada giro completo da tora
corresponde um comprimento de lâmina, em centímetros, e a seqüência
desses comprimentos é uma progressão aritmética de razão íŒ
RESOLUÇÃO:
a) VERDADEIRO.
Como a tora tem a forma de um cilindro circular, então V = 2 × π × (0,2)²
m³ = 0,08π m³.
b) VERDADEIRO.
0,08π m³.-2 × 0,05²π m³ = 0,08 π m³ - 0,005π m³ = 0,075π m³.
c) VERDADEIRO.
2.0,001x =0,02 ⇒ x =
0,02 20
=
= 10 m
0,002 2
P
P
[ P
d) VERDADEIRO.
(5 × 0,001 × 2) ÷ ( 0,3 × 0,001 × 2) = 5 ÷0,3 =
16,666...placas
P
P
P
P
e) FALSO.
A cada giro completo o raio diminui de 0,1cm, então o diâmetro diminui
de 0,2cm.
O comprimento de um giro completo é C = 2rπ = dπ.
Os comprimentos dos giros serão sucessivamente: 40πcm; (40-0,2)
πcm; (40-0,4) πcm; ...(40-10) πcm, portanto uma P.A. de razão –0,2πcm.
Questão 7
A figura ao lado representa um paralelepípedo de dimensões 2
cm, 1 cm e 1 cm. A respeito desse paralelepípedo, é correto
afirmar:
E
H
G
F
D
C
A
a)
b)
c)
d)
e)
B
A área do triângulo de vértices A, F e C é cm2.
O número de caminhos com distância 4 cm entre os vértices B e E é 12.
A menor distância entre os vértices A e H écm.
3
O volume da pirâmide de vértices A, B, C, D e E é igual a 1 cm .
O perímetro do retângulo de vértices A,C, F e H é igual a cm.
RESOLUÇÃO:
a) VERDADEIRO.
No triângulo retângulo ABC: AC² = 2+1 ⇒ AC =
5.
)
1× 5
5
A área do triângulo retângulo AFC é, em cm²:
=
2
2
b) FALSO.
Temos 12 opções de percursos a tomar: L1, L2, L3,
L4, H1, H2, H3, H4, C1, C2, C3 e C4.
Qualquer caminho ligando A a E, na condição
exigida de medir, 4cm é composto de uma largura
(L), um comprimento (C) e de uma altura (H).
Para sair de B só temos 3 opções : C1 ; H2 ou L1. O
total de caminhos será então: 3 × 2 × 1=6
C1 H1 L4; C1 L4H4; H2C2 L3; H2 L2 C3; L1H3C3; L1C4H4
&
$
/
+
%
(
+
&
/
&
+
+
/
&
%
/
c) VERDADEIRO.
O menor caminho entre dois pontos é a medida do segmento de reta
que determinam, no caso a medida da diagonal do paralelepípedo: AH
= FC =
AC 2 + 1 =
52 + 1 = 6 .
d) FALSO.
(
O volume da pirâmide ABCDE é, em cm³:
2 ×1×1 2
−
3
3
&
'
$
%
e) FALSO.
+
)
O perímetro do retângulo ACHF é: 2(1+ 5 ) cm
&
$
Questão 8
4
3
2
Sobre o polinômio p(x) = x – 5x + 10x – 5x + d, onde d é número real, é correto
afirmar:
a)
b)
c)
d)
e)
Se d = 16, então p(x) é o desenvolvimento de (x–2)4.
Se 4 e 3–2i forem raízes de p(x), então –5 também é raiz de p(x).
Se d = 0, então zero é uma raiz de p(x).
Se 1 for raiz de p(x), então d = 15.
Se d = –21, então p(x) é divisível por x+1.
RESOLUÇÃO:
a) FALSO.
(x-2)4 = x4-4.x³.2+6.x².2²-4.x.2³+24 ⇒
(x-2)4 = x4 - 8x³ +24x² - 32x + 16, então
(x-2)4 ≠ x4 – 5x3 + 10x2 – 5x + 16
Triângulo de Pascal
1
1
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
b) ANULADA
c) VERDADEIRO.
Se d = 0 ⇒ P(x) = x4 – 5x3 + 10x2 – 5x ⇒ P(x) = x(x3 – 5x2 + 10x – 5) ⇒
x = 0 ou x3 – 5x2 + 10x – 5=0
d) FALSO.
Se 1 for raiz de p(x), p(1) = 0 ⇒ p(1) = 1-5+10-5+d=0 ⇒ d = -1
e) VERDADEIRO.
Se p(x) é divisível por x+1, p(-1) = 0 ⇒ p(-1) = 1+5+10+5+d=0 ⇒ d = 21.
Questão 9
Uma loja tem um lote de 10 aparelhos de rádio/CD e sabe-se que nesse lote existem
2 aparelhos com defeito, perceptível somente após uso continuado. Um consumidor
compra dois aparelhos do lote, escolhidos aleatoriamente. Então, é correto afirmar:
a) A probabilidade de o consumidor comprar somente aparelhos sem defeito é.
b) A probabilidade de o consumidor comprar pelo menos um aparelho
defeituoso é 0,70.
c) A probabilidade de o consumidor comprar os dois aparelhos defeituosos é.
d) A probabilidade de o primeiro aparelho escolhido ser defeituoso é 0,20.
e) A probabilidade de o segundo aparelho escolhido ser defeituoso, sendo que o
primeiro já está escolhido, é.
RESOLUÇÃO:
a) VERDADEIRO.
C2
8 × 7 28
p = 28 =
=
C10 10 × 9 45
b) FALSO.
2 1 8 2 2 8 1
8
8 17
× + × + × =
+
+
=
= 37,77% .
10 9 10 9 10 9 45 45 45 45
c) VERDADEIRO.
2 1 1
× =
10 9 45
d) VERDADEIRO.
2 1 2 8 1
8
1
× + × =
+
=
.
10 9 10 9 45 45 45
e) FALSO.
1 2 1
+ =
9 9 3
Questão 10
Considere as seguintes informações: C é uma circunferência de raio igual a 1 e
centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares; um ponto
estará no interior da circunferência C se a distância do ponto à origem do sistema for
menor do que 1. Assim, é correto afirmar:
a) A equação da circunferência C é x² + y² + 1 = 0.
E 2 SRQWR 3FRV & VHQ & SHUWHQFH à circunferência C, qualquer que seja o
número real &
c) A reta y = x + 1 intercepta a circunferência C em dois pontos.
d) A reta y + 1 = 0 é tangente à circunferência C.
e) O ponto (1, 1) está no interior da circunferência C.
f) O gráfico da função y = sen 2x intercepta o eixo x apenas uma vez no interior
da circunferência C.
RESOLUÇÃO:
$
3FRVωVHQω
ω
2
a) FALSO.
(x-0)²+(y-0)² = 1 ⇒ x² + y² = 1.
b) VERDADEIRO.
P(cos ω, sen ω) ⇒ existe um número complexo Z de módulo 1;
Z = cos ω +isen ω.
c) VERDADEIRO.
x² + (x+1)² =1 = ⇒ 2x² + 2x = 0 ⇒ x²+x =0 ⇒ ∆ = 1 ⇒ a reta y = x+1 é
secante à circunferência x² + y² = 1.
d) VERDADEIRO.
y + 1 = 0 ⇒ y = -1 ⇒ x² +1 = 1 ⇒ x² = 0 ⇒ ∆ = 0 ⇒ a reta y+1 = 0 é
tangente à circunferência x² + y² = 1.
e) FALSO.
O centro da circunferência é o ponto (0,0) cuja distância ao ponto (1,1)
é: 1 + 1 = 2 > raio = 1 ⇒ O ponto (1,1) é exterior à circunferência.
f) FALSO.
1
-1
1
-1
Vemos que o gráfico de y = 2senx intercepta o eixo dos x no ponto (0,0) que é o
centro da circunferência.