REVISÃO FUVEST – Ensino Médio
Geometria – Prof. Sérgio Tambellini
Aluno : ...................................................................................................................................................................
GEOMETRIA PLANA
Questão 1 - (FUVEST SP/2014)
Uma das piscinas do Centro de Práticas Esportivas da USP tem o formato de três hexágonos
regulares congruentes, justapostos, de modo que cada par de hexágonos tem um lado em comum,
conforme representado na figura abaixo. A distância entre lados paralelos de cada hexágono é de 25
metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da piscina.
a) 1.600 m2
b) 1.800 m2
c) 2.000 m2
d) 2.200 m2
e) 2.400 m2
Gab: A
Questão 2 - (FUVEST SP/2013)
Percorre-se o paralelogramo ABCD em sentido anti-horário. A partir de cada vértice atingido ao
longo do percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido, construindo-se um segmento de mesmo
comprimento que esse lado. As extremidades dos prolongamentos são denotadas por A´, B´, C´ e D´,
de modo que os novos segmentos sejam, então, AA' , BB' , CC' e DD' . Dado que AB = 4 e que a
distância de D à reta determinada por A e B é 3, calcule a área do
a) paralelogramo ABCD;
b) triângulo BB´C´;
c) quadrilátero A´B´C´D´.
Gab:
a) AABCD = 12
b) ABB'C' = 12
c) AA'B'C'D' = 60
Questão 3 - (FUVEST SP/2014)
Considere o triângulo equilátero A0OB0 de lado 7 cm.
a) Sendo A1 o ponto médio do segmento A 0 B0 , e B1 o ponto simétrico de A1 em relação à reta
determinada por O e B0, determine o comprimento de OB1 .
b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo A1OB1,
pode‐se obter o triângulo A2OB2 tal que A2 é o ponto médio do segmento A1B1 , e B2 o ponto
simétrico de A2 em relação à reta determinada por O e B1. Repetindo mais uma vez o
procedimento, obtém‐se o triângulo A3OB3. Assim, sucessivamente, pode‐se construir uma
sequência de triângulos AnOBn tais que, para todo n  1, An é o ponto médio de A n  1Bn  1 , e Bn,
ó ponto simétrico de An em relação à reta determinada por O e Bn – 1, conforme figura abaixo.
Denotando por an, para n  1, o comprimento do segmento A n  1A n , verifique que a1, a2, a3, … é
uma progressão geométrica. Determine sua razão.
c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal A0A1A2 …
An, n  1.
O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento
interseção de PP' e r é o ponto médio de PP' .
PP'
é perpendicular à reta r e a
Gab:
a)
7 3
cm
2
b) pode-se notar que o segmento A n  1A n é sempre a metade da base A n  1Bn  1 do triângulo equilátero
An – 1OBn – 1 e que a partir do segundo triângulo o lado é sempre equivalente à altura do triângulo
equilátero anterior.
Assim, de acordo com o enunciado, para n  1, tem-se sempre:
De onde podemos concluir que a1, a2, a3, … são termos de uma progressão geométrica.
Razão:
c)
q
3
2
n
 
3  
7(2  3 ) 1  
cm
  2  
 
 
Questão 4 - (FUVEST SP/2012)
Na figura, a circunferência de centro O é tangente à reta CD no ponto D, o qual pertence à reta AO .
Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB = 6 3 e BC = 2 3 . Nessas condições, determine
a)
b)
c)
d)
a medida do segmento CD ;
o raio da circunferência;
a área do triângulo AOB;
a área da região hachurada na figura.
Gab:
a) 4 3
b) 6
c) 9 3
d) 12 –
9 3
Questão 5 - (FUVEST SP/2012)
O segmento AB é lado de um hexágono regular de área 3 . O ponto P pertence à mediatriz de AB de
tal modo que a área do triângulo PAB vale 2 . Então, a distância de P ao segmento AB é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
2
2 2
3 2
3
2 3
Gab: E
Questão 6 - (FUVEST SP/2011)
As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e
tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no ponto P2 e
intercepta a reta O1O 2 no ponto Q. Sendo assim, determine
a) o comprimento P1P2;
b) a área do quadrilátero O1O2P2P1;
c) a área do triângulo QO2P2.
Gab:
a) 12
b) 90
c) 96
GEOMETRIA ESPACIAL
Questão 7 - (FUVEST SP/2015)
O sólido da figura é formado pela pirâmide SABCD sobre o paralelepípedo reto ABCDEFGH. Sabese que S pertence à reta determinada por A e E e que AE = 2cm, AD = 4cm e AB = 5cm. A medida
do segmento SA que faz com que o volume do sólido seja igual a 4 do volume da pirâmide SEFGH
3
é
a)
b)
c)
d)
e)
2cm
4cm
6cm
8cm
10cm
Gab: E
Questão 8 - (FUVEST SP/2015)
A grafite de um lápis tem quinze centímetros de comprimento e dois milímetros de espessura. Dentre
os valores abaixo, o que mais se aproxima do número de átomos presentes nessa grafite é
a)
b)
c)
d)
e)
5  1023
1  1023
5  1022
1  1022
5  1021
Nota:
1) Assuma que a grafite é um cilindro circular reto, feito de grafita pura. A espessura da grafite é o
diâmetro da base do cilindro.
2) Adote os valores aproximados de:
2,2 g/cm3 para a densidade da grafita;
12 g/mol para a massa molar do carbono;
6,0  1023 mol–1 para a constante de Avogadro.
Gab: C
Questão 9 - (FUVEST SP/2014)
Esta foto é do relógio solar localizado no campus do Butantã, da USP. A linha inclinada (tracejada
na foto), cuja projeção ao chão pelos raios solares indica a hora, é paralela ao eixo de rotação da
Terra. Sendo  e , respectivamente, a latitude e a longitude do local, medidas em graus, pode-se
afirmar, corretamente, que a medida em graus do ângulo que essa linha faz com o plano horizontal é
igual a
a)
b)
c)
d)
e)


90 – 
90 – 
180 – 
Gab: B
Questão 10 - (FUVEST SP/2014)
Três das arestas de um cubo, com um vértice em comum, são também arestas de um tetraedro. A
razão entre o volume do tetraedro e o volume do cubo é
a)
b)
c)
d)
e)
1
8
1
6
2
9
1
4
1
3
Gab: B
Questão 11 - (FUVEST SP/2013)
Os vértices de um tetraedro regular são também vértices de um cubo de aresta 2. A área de uma face
desse tetraedro é
a) 2
b) 4
c) 3
d) 3
e) 6
Gab: A
3
2
3
Questão 12 - (FUVEST SP/2012)
Em um tetraedro regular de lado a, a distância entre os pontos médios de duas arestas não adjacentes
é igual a
a)
b)
a 3
a 2
c)
a 3
2
d)
a 2
2
e)
a 2
4
Gab: D
Questão 13 - (FUVEST SP/2009)
Um fabricante de cristais produz três tipos de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no
formato de uma semi-esfera de raio r ; a outra, no formato de um cone reto de base circular de raio 2r
e altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de base circular de raio x e altura h.
Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando completamente cheias, comportam a mesma
quantidade de vinho, é correto afirmar que a razão x é igual a
h
a)
3
6
b)
3
3
c)
2 3
3
d)
3
e)
4 3
3
Gab: E
Questão 14 - (FUVEST SP/2008)
Pedrinho, brincando com seu cubo mágico, colocou-o sobre um copo, de maneira que
• apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo, conforme ilustra a foto;
• os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um triângulo eqüilátero.
Sabendo-se que a borda do copo é uma circunferência de raio
cubo que ficou no interior do copo.
Gab:
9 2 cm 3
2 3cm ,
determine o volume da parte do
GEOMETRIA ANALÍTICA
Questão 15 - (FUVEST SP/2015)
A equação x2 + 2x + y2 + my = n, em que m e n são constantes, representa uma circunferência no
plano cartesiano. Sabe-se que a reta y = – x + 1 contém o centro da circunferência e a intersecta no
ponto (–3, 4). Os valores de m e n são, respectivamente,
a)
b)
c)
d)
e)
–4 e 3
4e5
–4 e 2
–2 e 4
2e3
Gab: A
Questão 16 - (FUVEST SP/2014)
Considere o triângulo ABC no plano cartesiano com vértices A = (0, 0), B = (3, 4) e C = (8, 0). O
retângulo MNPQ tem os vértices M e N sobre o eixo das abscissas, o vértice Q sobre o lado AB e o
vértice P sobre o lado BC . Dentre todos os retângulos construídos desse modo, o que tem área
máxima é aquele em que o ponto P é
a)
 16 
 4, 
 5
b)
 17 
 ,3 
 4 
c)
 12 
 5, 
 5
d)
 11 
 ,2 
2 
e)
 8
 6, 
 5
Gab: D
Questão 17 - (FUVEST SP/2013)
São dados, no plano cartesiano, o ponto P de coordenadas (3, 6) e a circunferência C de equação (x –
1)2 + (y – 2)2 = 1. Uma reta t passa por P e é tangente a C em um ponto Q. Então a distância de P a Q
é
a)
b)
c)
d)
e)
Gab: D
15
17
18
19
20
Questão 18 - (FUVEST SP/2014)
Considere a circunferência  de equação cartesiana x2 + y2 – 4y = 0 e a parábola  de equação y = 4 –
x2.
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de  com .
b) Desenhe, no par de eixos abaixo, a circunferência  e a parábola . Indique, no seu desenho, o
conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem, simultaneamente, as inequações x2 + y2 – 4y  0 e y 
4 – x2.
Gab:
a)
b)
( 3; 1) ,
(0; 4) e (
3
; 1)
Questão 19 - (FUVEST SP/2012)
No plano cartesiano Oxy, a circunferência C é tangente ao eixo Ox no ponto de abscissa 5 e contém o
ponto (1,2). Nessas condições, o raio de C vale
a)
5
b) 2 5
c) 5
d) 3 5
e) 10
Gab: C
Questão 20 - (FUVEST SP/2010)
No sistema ortogonal de coordenadas cartesianas Oxy da figura, estão representados a circunferência
de centro na origem e raio 3, bem como o gráfico da função
y
8
|x|
.
Nessas condições, determine
a) as coordenadas dos pontos A, B, C, D de interseção da circunferência com o gráfico da função.
b) a área do pentágono OABCD.
Gab:
a)
b)
A( 8 , 1) , B(1, 8 ) , C(1, 8 )
e
D( 8 , 1)
7 8
Questão 21 - (FUVEST SP/2009)
Considere, no plano cartesiano Oxy, a circunferência C de equação ( x  2) 2  ( y  2) 2  4 e sejam P e Q os
pontos nos quais C tangencia os eixos Ox e Oy, respectivamente.
Seja PQR o triângulo isósceles inscrito em C, de base PQ , e com o maior perímetro possível.
Então, a área de PQR é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
2 2 2
2 2 1
2 2
2 2 2
2 2 4
Gab: D
..::FIM::..