TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA
1. TANGÊNCIA ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA:
A RETA TANGENTE A UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA SEMPRE VAI SER PERPENDICULAR
AO RAIO DO ARCO, NO PONTO DE TANGÊNCIA
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Tangente por um ponto da curva
Para traçar uma tangente a uma circunferência por um de seus pontos:
t
2
T
O
Seja o ponto T um ponto
da circunferência:
1.Traçar o raio no ponto T
1
Prolongar o raio e sobre
ele marcar os pontos 1 e
2, eqüidistantes de T
Traçar a mediatriz do
segmento12.
Esta mediatriz é a
tangente à circunferência
no ponto T.
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Exercício de concordância:
Desenhar um arco de circunferência que concorde com a reta r no
ponto T e passe pelo ponto P.
P
P
r
T
r
1
T
2
Dados:
Ponto P, reta r e o ponto T
1. Pelo ponto T levantar uma perpendicular à reta r;
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P
P
P
O
O
r
r
r
T
T
2. Traçar a mediatriz do
segmento TP;
3. A intersecção da perpendicular com a
mediatriz é o ponto O, centro do arco
procurado.
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Tangentes a uma circunferência por um ponto exterior
Pelo ponto P, desenhar retas tangentes à circunferência.
P
O
O
P
M
Dados:
a circunferência e o ponto P exterior
à curva:
1. Traçar a mediatriz do segmento OP e
marcar o ponto M, ponto médio do segmento
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T
O
P
M
P
O
M
T’
2. Traçar uma circunferência com
centro no ponto M e raio MO. A
intersecção das duas circunferência
são os pontos de tangência T e T’
3. Traçar as retas OT e OT’, tangentes à
circunferência.
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Retas tangente a duas circunferências
a) Tangentes exteriores
Dadas duas circunferências:
r1
O
r2
O’
O
r3
O’
1. Traçar uma circunferência auxiliar com
centro em O e raio r3 = r1 - r2
O
M
O’
2. Traçar o ponto médio entre os centros
das duas circunferências
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1
O
O
M
O’
2
3. Traçar uma circunferência com centro no ponto M até cortar a circunferência
auxiliar nos pontos 1 e 2.
4. Traçar as tangentes auxiliares O’ 1 e O’ 2
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T1
1
T3
O
O´
2
T4
T2
5. Traçar os raios O1 e O2 e prolongá-los até cortar a a circunferência de raio r1 nos
pontos T1e T2
6. Centrar o compasso no pontoT1 e com raio 1O’ marcar o ponto T3 na circunferência
de raio r2.
T1T3 é a primeira tangente as duas circunferência.
7. Centrar o compasso no pontoT2 e com raio 2O’ marcar o ponto T4 na
circunferência de raio r2.
T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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b) Tangentes interiores
Dadas duas circunferências:
r1
O
r2 O’
O
r3
O
O’
1. Traçar uma circunferência auxiliar com
centro em O e raio r3 = r1 + r2
O
M
O’
2. Traçar o ponto médio entre os centros
das duas circunferências
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1
O
M
O’
2
3. Traçar uma circunferência com centro no ponto M até cortar a circunferência
auxiliar nos pontos 1 e 2.
4. Traçar as tangentes auxiliares O’ 1 e O’ 2
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T1
1
T4
O
M
O’
T3
T2
2
5. Traçar os raios O1 e O2 os quais cortam a circunferência de raio r1 nos pontos T1e T2
6. Centrar o compasso no pontoT1 e com raio 1O’ marcar o ponto T3 na circunferência de raio
r2.
T1T3 é a primeira tangente as duas circunferência.
7. Centrar o compasso no pontoT2 e com raio 2O’ marcar o ponto T4 na
circunferência de raio r2.
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T2T4 é a outra tangente as duas circunferência.
SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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2. TANGÊNCIA ENTRE CIRCUNFERÊNCIAS:
PRIMEIRO PRINCÍPIO:
CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES TÊM SEUS CENTROS E O PONTO DE TANGÊNCIA PERTENCENTES À MESMA RETA
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EXERCÍCIO:
TRAÇAR UM ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA QUE CONTENHA O PONTO P E TANGENCIE O ARCO DADO NO PONTO T.
DADOS O ARCO DE CENTRO O E OS PONTOS T E P
1. TRAÇAR A RETA OT.
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2. TRAÇARA A MEDIATRIZ DO SEGMENTO TP.
3. PROLONGAR A MEDIATRIZ ATÉ CORTAR A RETA OT.
A INTERSECÇÃO DAS DUAS RETAS É O PONTO O´,
CENTRO DO ARCO PROCURADO.
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4. COM CENTRO EM O´ E RAIO O´T OU O´P , TRAÇAR O ARCO TANGENTE.
.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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SEGUNDO PRINCÍPIO:
A MEDIATRIZ ENTRE OS CENTROS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS DE MESMO RAIO, É O LUGAR GEOMÉTRICO DOS
CENTROS DE TODAS AS CIRCUNFERÊNCIAS TANGENTES, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS.
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EXERCÍCIOS:
TRAÇAR ARCOS TANGENTES A DUAS CICUNFERÊNCIAS
a. TANGENTES EXTERIORES
TRAÇAR UM ARCO TANGENTE, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. O PONTO T É UM DOS
PONTOS DE TANGÊNCIA.
•DADOS: AS DUAS CIRCUNFERÊNCIA E O PONTO
DE TANGÊNCIA T.
1. TAÇAR A RETA QUE CONTEM O CENTRO O´ E O
PONTO T.
2. SOBRE ESTA RETA E A PARTIR DE T, MARCAR
O RAIO DA CIRDUNFERENCIA DE CENTRO
O, OBTENDO O PONTO A.
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3. TAÇAR A CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR COM
CENTRO NO PONTO A E RAIO IGUAL AO DA
CIECUNFERÊNCIA DE CENTRO NO PONTO
O.
4. TAÇAR A MEDIATRIZ DO SEGMENTO OA.
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5. DETERMINAR O PONTO O´´, INTERSECÇÃO DA
MEDIATRIZ COM A RETA TA
6. TAÇAR A RETA O´´ O , PROLONGAR ESTA RETA
ATÉ ENCONTRAR O PONTO T´, SEGUNGO
PONTO DE TANGÊNCIA.
7. TRAÇAR O ARCO COM CENTRO EM O´´ E RAIO
O´´ T = O´´ T´.
ESTE É O ARCO TANGENTE AS DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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EXERCÍCIOS:
TRAÇAR ARCOS TANGENTES A DUAS CICUNFERÊNCIAS
b. TANGENTES INTERIORES
TRAÇAR UM ARCO TANGENTE, SIMULTANEAMENTE, AS DUAS CIRCUNFERÊNCIAS. O PONTO T É UM DOS
PONTOS DE TANGÊNCIA.
•DADOS: AS DUAS CIRCUNFERÊNCIA E O PONTO
DE TANGÊNCIA T.
1. TAÇAR A RETA QUE CONTEM O CENTRO O´ E O
PONTO T.
2. SOBRE ESTA RETA E A PARTIR DE T, MARCAR
O RAIO DA CIRDUNFERENCIA DE CENTRO
NO PONTO O, OBTENDO O PONTO A.
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3. TAÇAR A CIRCUNFERÊNCIA AUXILIAR COM
CENTRO NO PONTO A E RAIO IGUAL AO DA
CIECUNFERÊNCIA DE CENTRO NO PONTO
O.
4. TAÇAR A MEDIATRIZ DO SEGMENTO OA.
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5. DETERMINAR O PONTO O´´, INTERSECÇÃO DA
MEDIATRIZ COM A RETA TA
6. TAÇAR A RETA O´´ O , PROLONGAR ESTA RETA
ATÉ ENCONTRAR O PONTO T´, SEGUNGO
PONTO DE TANGÊNCIA.
7. TRAÇAR O ARCO COM CENTRO EM O´´ E RAIO
O´´ T = O´´ T´.
ESTE É O ARCO TANGENTE AS DUAS
CIRCUNFERÊNCIAS.
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SOLUÇÃO DO PROBLEMA
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