UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
RICARDO PEDROSO DOS SANTOS
O PAPEL DO SOFTWARE APLUSIX NA TRANSIÇÃO DE EQUAÇÕES
DE AVALIAÇÃO PARA EQUAÇÕES DE MANIPULAÇÃO: O CASO
DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
SÃO PAULO
2011
S238o
Santos, Ricardo Pedroso dos
O papel do software aplusix na transição de equações de avaliação
para equações de manipulação: o caso das equações quadráticas/ Ricardo
Pedroso dos Santos – São Paulo: [s.n.], 2011.
151 f.;Il.; 30cm.
Dissertação de Mestrado – Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática, Universidade Bandeirante de São Paulo, Curso de
Educação Matemática.
ra
ra
Orientadora: Profª D . Rosana Nogueira de Lima; Profª D .
Siobhan Victoria Healy
.
1. Equações quadráticas 2. Três mundos da matemática 3. Corte
didático 4. Aplusix 5. Equações de avaliação 6. Equações de manipulação I.
Título.
CDD: 515.35
RICARDO PEDROSO DOS SANTOS
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
O PAPEL DO SOFTWARE APLUSIX NA TRANSIÇÃO DE EQUAÇÕES
DE AVALIAÇÃO PARA EQUAÇÕES DE MANIPULAÇÃO: O CASO
DAS EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Dissertação apresentada como exigência
parcial
à
Banca
Examinadora
da
Universidade Bandeirante de São Paulo –
UNIBAN, para obtenção do título de
Mestre em Educação Matemática, sob a
orientação da Profª Dra. Rosana Nogueira
de Lima e da Profª Dra. Lulu Healy
(Siobhan Victoria Healy)
SÃO PAULO
2011
INSERIR PÁGINA COM ASSINATURAS
Autorizo exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou
parcial desta Dissertação por processos de fotocópias ou eletrônicos.
Assinatura: ___________________
Local e Data: __________________
Dedico este trabalho a minha esposa, Ana e aos meus filhos,
Emily e Pedro por me apoiarem e entenderem meus momentos
de dificuldades e acreditarem que eu conseguiria. E a minha
mamãe, que infelizmente só pode ver o início dessa jornada,
mas acredito que descansa na graça de Deus. Contudo em
todos os momentos da minha vida me apoiou para que
conseguisse vencer desafios. A eles todo meu amor e carinho.
AGRADECIMENTOS
A DEUS, pela vida e fé.
Meus sinceros agradecimentos às professoras Rosana e Lulu, pela forma dedicada
e paciente com que me orientaram, ajudando-me a escolher sempre as melhores
opções e sempre estiveram dispostas e prontas a ajudar. Meu carinho e admiração.
Aos meus pais Isaquel e Madalena (in memoriam), pela presença em todas as
etapas da minha vida, pelo carinho, esforço e apoio em todos os momentos,
principalmente os mais difíceis.
A todos os professores do programa de pós-graduação em Educação Matemática da
Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN que me ensinaram os caminhos
e abriram as portas do conhecimento sem medo de compartilhar e ensinar, respeito,
dignidade e prazer da docência.
As professoras Gisela e Vera, pelas perguntas, sugestões e contribuições que
ajudaram a definir minha pesquisa.
Aos amigos do programa de pós-graduação que durante todo o período do curso
compartilhamos brigas, desafios e alegrias, momentos que guardo no coração.
A minha esposa Ana, por seu amor e paciência que me incentivou a não desistir.
Ao meu filho Pedro por chegar durante essa jornada e dar mais trabalho, e claro,
muito mais alegria.
RESUMO
O objetivo desta pesquisa foi investigar a contribuição em potencial do software
Aplusix para o aprendizado de conceitos algébricos, em particular em relação a
situações envolvendo equações lineares e quadráticas. Especificamente, esta
pesquisa pretende identificar como alunos, em suas interações com o software,
negociam a passagem de resolver equações lineares para encontrar as raízes de
equações quadráticas e se eles lidam de maneira diferente com equações que
podem ser resolvidas por meio de técnicas de avaliação, comparado àquelas que
requerem manipulação algébrica. Para este fim, foi elaborado um experimento de
ensino, seguindo os métodos associados ao Design Experiments (Cobb et al, 2003).
Participaram desta pesquisa três alunos do 9o ano, que trabalharam com uma série
de atividades envolvendo o software Aplusix. Para a elaboração das atividades foi
usado o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, proposto por Tall (2004;
2008), bem como para a análise das interações dos alunos ao tentarem resolver as
atividades. Mais especificamente, as atividades foram elaboradas para incluir o que
Lima (2007) chama de equações de avaliação e equações de manipulação, e a
análise das estratégias de resolução dos participantes, dando atenção aos jáencontrados que mediaram essas interações. A análise dos dados indicou que, de
maneira geral, o software Aplusix parece motivar os alunos a tentar utilizar algum
tipo de manipulação independente do tipo de equação, mas essas manipulações
foram
baseadas
no
uso
de
técnicas
corporificadas,
identificadas
como
corporificações procedimentais, ao invés de serem baseadas em princípios
algébricos. Nas atividades, e nas narrativas dos alunos, foi observado que essas
técnicas foram usadas, em detrimento dos princípios matemáticos, e que os
métodos que estes alunos usaram para resolver equações quadráticas foram
caracterizados principalmente por aspectos do mundo corporificado, com pouca ou
nenhuma conexão com os mundos simbólico e formal.
Palavras-chave: Equações Quadráticas, Três Mundos da Matemática, Corte
Didático, Aplusix, Equações de Avaliação, Equações de Manipulação.
ABSTRACT
The aim of this research was to investigate the potential contribution of the software
Aplusix to the learning of algebraic concepts, particularly regarding situations
involving linear and quadratic equations. Specifically, it attempts to identify how
students, in their interactions with the software, negotiate the passage from solving
linear equations to locating the roots of quadratic ones and how they differentially
deal with equations that can be resolved through techniques of evaluation as
compared to those which require algebraic manipulation. To this end a teaching
experiments was devised, following the methods associated with Design Experiments
(Cobb et al, 2003). The participants were three students of the 9th grade, who worked
upon a series of research activities involving the software Aplusix. The design of the
activities was informed by the theoretical framework of the Three Worlds of
Mathematics, proposed by Tall (2004; 2008) as was the analysis of the students
interactions as they attempted to resolve the activities. More specifically, the activities
were elaborated to in included what Lima (2007) delineates as evaluation equation
and manipulation equation and analysing the solution strategies of the participants,
attention was given to the met-befores that mediating their interactions. The analysis
of data indicated that, generally speaking, the software Aplusix seemed to motivate
the students to attempt some kind of manipulation regardless of the equation type,
but that these manipulations were based on the use of embodied techniques,
identified as procedural embodiments, rather than algebraic principles. In the
activities, and students narratives, it was observed that mathematical principles were
often hidden due to the use of such techniques, and that the methods these students
used to solve quadratic equations were characterized mainly by aspects of the
embodied world, with little or no connection to symbolic and formal worlds.
Keywords: Quadratic Equations, Three Worlds of Mathematics, Didactic Cut,
Aplusix, Evaluation Equations, Manipulation Equations
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1 – Demonstração da fórmula de Bhaskara ............................................ 22
Figura 2 - Equação quadrática resolvida através de operações inversas ........... 22
Figura 3 - Desenvolvimento Cognitivo pelos Três Mundos da Matemática ........
23
Figura 4 – Equação linear de avaliação, desfazendo as operações ...................
27
Figura 5 – Equação linear de manipulação, manipulando incógnitas .................
28
Figura 6 – Equação quadrática de manipulação .................................................
29
Figura 7 – Equação representada de maneira usual e na forma de árvore ........
50
Figura 8 – Equação linear resolvida no software Aplusix ....................................
58
Figura 9 - Tela principal do Aplusix ......................................................................
58
Figura 10 – Atividades em modo treinamento ....................................................
59
Figura 11 - Editor de atividades do Aplusix ........................................................
60
Figura 12 - Teclado Virtual ................................................................................... 61
Figura 13 - Setas de equivalência do Aplusix ...................................................... 61
Figura 14 – Controle do videocassete ................................................................. 62
Figura 15 – Revendo atividade ............................................................................ 62
Figura 16 – Desenvolvendo atividade .................................................................
63
Figura 17 - Desenvolvendo atividade 1 ...............................................................
63
Figura 18 - Desenvolvendo atividade 2 ..............................................................
63
Figura 19 - Desenvolvendo atividade 3 ...............................................................
64
Figura 20 - Representação em árvore da equação x²=49 ................................... 65
Figura 21 – Passagem válida, representando equivalência ................................ 72
Figura 22 – Passagem representando erro de equivalência para 3x+8=7x ........
72
Figura 23 - Passagem válida 3x+8=7x ................................................................
73
Figura 24 – Erro de equivalência para 2x +5 =6x -7 ...........................................
74
Figura 25- Equivalência para 2x +5 =6x -7 igual 4x=-12 .....................................
74
Figura 26 - Equação resolvida 2x +5 =6x -7 .......................................................
76
Figura 27 - Duas passagens k=8 ......................................................................... 77
Figura 28 - Erro de equivalência para 6x =5x .....................................................
78
Figura 29 – Tentativa de descobrir o valor da incógnita para 6x =5x ..................
79
Figura 30 – Equação com a seta azul de equivalência 1 para 6x =5x ................
80
Figura 31 – Equação 6x =5x resolvida ................................................................
82
Figura 32 - Representação em formato de árvore ..............................................
85
Figura 33 - Tentativa de substituir a incógnita para x² = 49 .................................
87
Figura 34 – Substituindo x por 47 para x² = 49 ...................................................
88
Figura 35 - Equação x² = 49 resolvida ................................................................. 89
Figura 36 – Equação 27=3x² ...............................................................................
91
Figura 37 – Valor 7 e -7 para 27=3x² .................................................................. 92
Figura 38 - Equação 2y² - 242 = 0 ......................................................................
93
Figura 39 - Duas tentativas de resolução da equação (x-3)²=81 ........................
94
Figura 40 – Calculando 3² independente da distributiva para (x-3)²=81 .............
95
Figura 41 - Tentativas de resolução da equação (x-3)²=81 .................................
95
Figura 42 - Apresenta a passagem feita pelas alunas na equação (x-3)²=81......
99
Figura 43 – Distributiva feita pelas alunas na equação (x-3)²=81 .......................
99
Figura 44 - Última passagem realizada pelas alunas na equação (x-3)²=81 ......
99
Figura 45 – Equação 2y²-242=0 ..........................................................................
100
Figura 46 – Raiz quadrada na equação 2y²-242=0 .............................................
101
Figura 47 – Equação 2y²-242=0 desenvolvida ....................................................
102
Figura 48 – Equação 27=3x² ...............................................................................
103
Figura 49 – Equação 27=3x² desenvolvida .........................................................
103
Figura 50 – Equação x²=49 .................................................................................
104
Figura 51 – Avaliação de valores para equação x²=49 .......................................
105
Figura 52 – Avaliação de valores para equação x²=49 b ....................................
105
Figura 53 – Avaliação de valores para equação x²=49 c ..................................... 105
Figura 54 – Equação (x-4)²-100=44 ....................................................................
106
Figura 55 – Distributiva na equação (x-4)²-100=44 .............................................
108
Figura 56 – Erro de distributiva na equação (x-4)²-100=44 ................................. 108
Figura 57 – Distributiva na equação (x-4)²-100=44 sem resposta ......................
109
Figura 58 – Tentativa de resolução da equação (x-4)²-100=44 ........................... 110
Figura 59 – Tentativa de resolução da equação (x-4)²-100=44 b ........................ 111
Figura 60 – Distributiva na equação (x-3)²=81 ....................................................
111
Figura 61 – Equação (x-3)²=81 resolvida ............................................................
112
Figura 62. – Equação (x-2)²=0 resolvida .............................................................
114
Figura 63. – Equação x(x+3) =18 ........................................................................
115
Figura 64. – Várias tentativas para equação x(x+3) =18 ..................................... 116
Figura 65 – Equação (x+3)² =81 .......................................................................... 117
Figura 66 – Duas respostas equação (x+3)² =81 ................................................
118
Figura 67 – Distributiva duas respostas equação (x+3)² =81 .............................. 119
Figura 68 – Duas respostas corretas, equação (x+3)² =81 .................................
119
Figura 69 – Equação (x+3)² =81 resolvida ..........................................................
120
Figura 70 - 3 tentativas de juntar a incógnita x(x + 3) =0 ...................................
120
Figura 71 – Raiz quadrada de zero na equação x(x + 3) =0 ...............................
121
Figura 72 – Equação x(x + 3) =0 resolvida .........................................................
121
Figura 73 – Equação x²-6x + 9 =0 .......................................................................
122
Figura 74 – Raiz quadrada de zero na equação x²-6x + 9 =0 .............................
123
Figura 75 – Testando valores na equação x²-6x + 9 =0 ......................................
123
Figura 76 – Testando valores na equação x²-6x + 9 =0 b ...................................
124
Figura 77 – Testando valores na equação x²-6x + 9 =0 c .................................... 124
Figura 78 – Equação x²-6x + 9 =0 resolvida ........................................................ 125
Figura 79 – Valores separados da incógnita equação 8x²+6x =0 ........................ 126
Figura 80 – Equação 8x²+6x =0 resolvida ........................................................... 126
Figura 81 – Duas contas equação x² -3² =81 ......................................................
130
ÍNDICE DE QUADROS
Quadro 1 – Familiarização ..................................................................................
67
Quadro 2 – Bloco 2 .............................................................................................. 67
Quadro 3 – Bloco 3 .............................................................................................. 68
Quadro 4 – Equações quadráticas de avaliação e manipulação ........................
133
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ................................................................................................ 14
CAPÍTULO 1: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ........................................ 18
1.1 OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA ........................................................
18
1.1.1 O mundo conceitual corporificado ...................................................
19
1.1.2 O mundo “proceitual” simbólico .......................................................
20
1.1.3 O mundo formal axiomático .............................................................
21
1.2 CORPORIFICAÇÃO PROCEDIMENTAL ......................................................
24
1.3 DIFERENTES VISÕES DA ÁLGEBRA .......................................................... 26
1.4 EQUAÇÕES DE AVALIAÇÃO E EQUAÇÕES DE MANIPULAÇÃO .............. 27
1.5 OS JÁ-ENCONTRADOS ...............................................................................
29
CAPÍTULO 2: A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES: O QUE DIZEM AS
PESQUISAS? ...........................................................................................
32
2.1 PESQUISAS SOBRE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS .................................... 32
2.2 CORTE DIDÁTICO: O CASO DE EQUAÇÕES LINEARES .......................... 36
2.3 O MODELO DA BALANÇA COM EQUAÇÕES LINEARES...........................
38
2.4 O CORTE DIDÁTICO: CONEXÃO ENTRE OS MUNDOS
CORPORIFICADO E SIMBÓLICO .......................................... ........................... 41
2.5 PESQUISAS COM O USO DO SOFTWARE APLUSIX .................................. 45
CAPÍTULO 3: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ........................ 53
3.1 METODOLOGIA ............................................................................................
53
3.1.1 Design Experiments ......................................................................... 53
3.1.2 Local ...............................................................................................
56
3.1.3 Sujeitos de nossa pesquisa .............................................................
56
3.2 O SOFTWARE APLUSIX ............................................................................... 57
3.2.1 A representação da equação em formato de árvore ........................ 64
3.3 SESSÕES DE PESQUISA ............................................................................
66
3.4 INSTRUMENTOS DA COLETA DE DADOS .................................................
68
3.5 PAPEL DO PROFESSOR-PESQUISADOR .................................................. 68
CAPÍTULO 4: ANÁLISE DE DADOS ......................................................... 70
4.1 SESSÃO 2 ....................................................................................................
70
4.1.1 Trabalho com equações lineares .....................................................
70
4.1.2 Resoluções das equações lineares .................................................
83
4.1.3
Estratégia
de
resolução
das
equações
de
avaliação
e
manipulação............................................................................................... 85
4.1.4 Iniciando o trabalho com equações quadráticas .............................. 85
4.2 SESSÃO 3 ....................................................................................................
90
4.2.1 Resolvendo as atividades de Bloco 3 ..............................................
90
4.2.2 Resolvendo novamente as atividades de Bloco 3 ...........................
99
4.2.3 Finalizando as atividades do Bloco 3 ............................................... 116
4.2.4 Resoluções das equações quadráticas ...........................................
4.2.5
Estratégia
de
resolução
das
equações
de
avaliação
127
e
manipulação .............................................................................................. 132
CONSIDERAÇÕES FINAIS ........................................................................
136
5.1 INTRODUÇÃO ..............................................................................................
136
5.2 VOLTANDO À QUESTÃO DE PESQUISA ....................................................
137
5.3 CONSIDERAÇÕES PARA NOVOS ESTUDOS ............................................
140
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .......................................................... 141
Anexo A- Equações Lineares ..............................................................................
143
Anexo B- Equações Quadráticas ........................................................................
144
Anexo C- Carta de Autorização da Escola ..........................................................
145
Anexo D- Termo Livre e Esclarecido ..................................................................
147
Anexo E- Termo Autorização do uso das imagens .............................................
150
15
INTRODUÇÃO
Em minha1 formação escolar, lembro-me de gostar mais de aprender ou
resolver exercícios usando a Aritmética do que a Álgebra, porque tive dificuldades
com conteúdos que requeriam um pensamento algébrico. Apesar de fazer uso dos
processos de resolução da Álgebra, não sabia ao certo o significado deles, resolvia
problemas mecanicamente, sem compreensão dos procedimentos usados. Nessa
época, sentia enorme dificuldade para resolver uma equação e também de
equacionar uma situação problema; a meu ver, uma equação era descobrir o valor
de “x”, o qual, muitas vezes, descobria por tentativa e erro. Sabia também que esses
problemas algébricos me acompanhariam por muito tempo.
Atualmente, exercendo o papel de educador, tenho percebido que alguns
alunos apresentam dificuldades semelhantes às que eu tive na aprendizagem de
Álgebra. Isso me levou a fazer alguns questionamentos, tais como, “Quais recursos
poderiam favorecer a compreensão das equações algébricas?”; “No estudo de
equações, os alunos entendem procedimentos e conceitos?”; “Quais as dificuldades
de encontrar todas as raízes de equações quadráticas?”. Esses questionamentos
incentivaram-me a pesquisar como os alunos trabalham com as equações
quadráticas no contexto das novas tecnologias.
Freire e Filho (2006) colocam que:
“A álgebra é uma área da matemática que desenvolve a capacidade de
abstração e generalização (BRASIL, 1998) é uma poderosa ferramenta para
resolver
problemas
(DA
ROCHA
FALCÃO,1993).
Apesar
de
sua
importância, diversos autores apontam para as dificuldades dos alunos ao
resolver situações problema envolvendo conteúdos da álgebra como
equações, mesmo nas séries terminais do ensino fundamental (CASTROFILHO et al, 2004). Os resultados do Sistema Nacional de Avaliação da
Educação Básica – SAEB também apontam que alunos da oitava série
ainda apresentam baixo desempenho em álgebra (BRASIL, 1998)” (FREIRE
e FILHO, 2006, p. 157)
1
Nesta introdução, usaremos a primeira pessoa do singular quando se tratar de minha própria experiência.
16
Muitas pesquisas enfatizam os erros e as dificuldades dos alunos, geralmente
considerando as abordagens de ensino no ambiente convencional, desenvolvida em
sala de aula usando papel&lápis. Para Freitas (2002), os alunos entram no 1º ano do
Ensino Médio sem um conhecimento aprofundado sobre as resoluções de equações
lineares e, de acordo com Lima (2007, p.17), “alunos de diversos países cometem os
(aparentemente) mesmos erros apresentados por tantas pesquisas”. Além disso,
Filloy e Rojano (1989) argumentam a existência de um “corte didático”, uma
dificuldade maior de passar de equações lineares com a incógnita em um membro
da equação, para aquelas com a incógnita em ambos os membros. Acreditamos que
é possível a ocorrência de um corte didático, também, na passagem de equações
lineares para equações quadráticas, caracterizando um projeto de pesquisa que
envolve a integração de recursos computacionais.
Em nosso estudo, discutiremos as dificuldades apresentadas pelos alunos no
desenvolvimento das equações quadráticas. Para tanto, resolvemos pesquisar:
“Qual o papel do Software Aplusix na transição de equações de
avaliação para equação de manipulação?”
Buscamos indícios de como as ferramentas disponíveis neste software
poderiam ser exploradas para superar as dificuldades encontradas na resolução de
equações quadráticas e identificar as formas de resolução utilizadas por alunos que
terão o primeiro contato com essas equações. Assim, procuramos investigar o papel
do Software Aplusix2 na transição de resolver equações de avaliação para resolver
equações de manipulação, concentrando-nos, em particular, nas equações
quadráticas.
Nosso estudo busca compreender como os alunos que já têm inicialmente a
noção ou conhecem procedimentos de como resolver equações lineares tentam
resolver equações quadráticas antes de serem introduzidos a procedimentos de
resolução, como a fórmula de Bhaskara. Em particular, pretendemos investigar se
2
http://www.aplusix.com “Desenvolvido pelos pesquisadores: J.F. Nicaud, D. Bouhineau e S. Mezerette do
Laboratório Leibniz, em Grenoble, França”.
17
esses alunos utilizam seus conhecimentos “já-encontrados3” como, por exemplo,
estratégias aritméticas e estratégias para resolver equações lineares, para encontrar
as raízes das equações quadráticas.
Para isso, utilizaremos o Aplusix, um software desenvolvido com o intuito de
ajudar alunos do Ensino Fundamental e do Ensino Médio a aprender Álgebra. Em
suas características, traz uma gama de exercícios que incluem cálculos numéricos,
fatorações, resoluções de equações, de inequações e de sistemas de equações.
Além disso, podem ser adicionados novos exercícios ou problemas de enunciados
em língua natural.
Optamos por esse software porque ele apresenta um ambiente de
desenvolvimento das equações similar ao de papel&lápis, mas que permite
feedbacks aos alunos em tempo de execução das atividades e também integra
algumas ferramentas que usaremos para conduzir as atividades e gravá-las para
que, posteriormente, possamos analisá-las.
Para essa análise, escolhemos como fundamentação teórica de nossa
pesquisa o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004), que será
apresentado no Capítulo 1. Além disso, considerando os tópicos principais do nosso
estudo, apresentamos as equações de avaliação e as equações de manipulação
(LIMA, 2007). Ainda nesse Capítulo, apresentamos os “já-encontrados”, que são
experiências anteriores que podem influenciar um novo aprendizado.
O Capítulo 2 foi dedicado às pesquisas relacionadas a equações. Neste
Capítulo, procuramos mostrar algumas dificuldades associadas à resolução de
equações, tanto das lineares como das quadráticas.
No Capítulo 3, descrevemos a metodologia Design Experiments, buscando
esclarecer e justificar a maneira pela qual foram organizadas nossas sessões de
pesquisa. Ainda nesse Capítulo, apresentamos os recursos do software Aplusix que
3
Segundo Lima (2007) já-encontrado refere-se a experiências anteriores que os alunos já possuem antes de um
novo aprendizado, que, segundo a autora, podem interferir no aprendizado em questão, seja de forma positiva ou
negativa.
18
foram utilizados.
No Capítulo 4, apresentamos nossas reflexões sobre os dados coletados
durante o desenvolvimento da pesquisa, tendo como base a fundamentação teórica
discutida no Capítulo 1.
Por fim, apresentaremos as conclusões finais desse trabalho de pesquisa, a
respeito da análise dos resultados obtidos, à luz dos fundamentos teóricos, que
fizemos no Capítulo 4, relacionando-os com os pressupostos teóricos e
metodológicos, buscando responder nossa questão de pesquisa.
19
CAPÍTULO 1:
FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Na introdução que antecede este capítulo, apresentamos as justificativas do
nosso estudo e a trajetória profissional que nos ajudou a escolher o tema da nossa
pesquisa, que se fortificou com a possibilidade de associar, a esse tema, as novas
tecnologias.
Para fundamentar nossas reflexões sobre as interações de alunos com
equações quadráticas, buscamos um quadro teórico que servirá para organizar e
entender os resultados de pesquisas existentes e para basear as análises dos dados
coletados durante nossa pesquisa. Neste capítulo, apresentamos o quadro teórico
dos Três Mundos da Matemática (TALL, 2004; 2008). Em seguida descrevemos as
diferentes visões da Álgebra de acordo com Tall e Thomas (2001) e também a
classificação de equações em equações de avaliação e equações de manipulação,
discutida em Lima (2007). Por fim, apresentamos os já-encontrados, que podem
influenciar o desenvolvimento dos alunos durante o trabalho com equações
quadráticas.
1.1 OS TRÊS MUNDOS DA MATEMÁTICA
David Tall, em suas pesquisas em Educação Matemática, tem se dedicado a
compreender o desenvolvimento do pensamento matemático e, durante sua carreira,
desenvolveu a concepção da existência de três diferentes Mundos da Matemática
(TALL, 2004): o Mundo Conceitual Corporificado, ou mundo corporificado; o Mundo
Proceitual Simbólico, ou mundo simbólico; e o Mundo Formal Axiomático, ou mundo
formal. Cada um desses mundos possui suas próprias características. Por exemplo,
o mundo conceitual corporificado inclui o uso dos sentidos visuais e das relações
dos objetos com o mundo físico; o mundo proceitual simbólico faz uso dos símbolos
matemáticos que atuam tanto como processos quanto como conceitos; e o mundo
20
formal axiomático considera a Matemática formal, apresentada por meio dos
axiomas e das demonstrações. Os Três Mundos da Matemática se relacionam entre
si no desenvolvimento do pensamento matemático criando, assim, uma rica
variedade de formas de se pensar matematicamente.
1.1.1 O mundo conceitual corporificado
O mundo conceitual corporificado envolve as percepções que são feitas sobre
os objetos, ou seja, nossas relações com objetos tanto do mundo real quanto objetos
mentais, e a maneira pela qual construímos as noções mentais associadas, como
percebemos e sentimos esses objetos. O mundo corporificado não envolve somente
as percepções sobre objetos físicos, mas também significados e concepções
mentais que integram esses objetos.
Tais percepções resultam de ações mentais sobre objetos que nos são
familiares. A partir disso, pode-se estender essas reflexões para uma experiência
mental em um nível mais sofisticado. Por exemplo, podemos representar uma
equação por meio de uma balança de dois pratos (LIMA, 2007) e fazer mentalmente
manipulações sobre esse objeto. Com a imagem mental da balança, pode-se
manipulá-la para resolver a equação. O indivíduo pode considerar cada um dos
pratos da balança como um membro da equação e, a fim de resolvê-la, retirar ou
acrescentar pesos (valores representados fisicamente) para conseguir descobrir o
valor da incógnita. Da mesma forma, pode-se desenhar uma linha no caderno e falar
dela como tendo comprimento e largura e mentalmente defini-la como perfeitamente
reta e que pode ser estendida infinitamente em qualquer direção (TALL, 2008).
De acordo com Lima (2007),
O mundo conceitual corporificado coordena percepções e ações que
efetuamos, tanto em objetos físicos quanto em objetos mentais.
Percebemos propriedades matemáticas nesses diferentes objetos e agimos
sobre eles para entender o que elas significam. Criamos idéias a respeito de
um conceito matemático a partir de seus aspectos corporificados. Um
indivíduo que está fazendo relações entre aspectos presentes nesse mundo
21
pode dar significado corporificado ao conceito matemático relacionado a
esses aspectos. (LIMA, 2007, p.74)
Neste mundo, utilizam-se experiências com características corporificadas para
validar o conhecimento. Por exemplo, visualmente, um indivíduo pode observar se a
representação de uma equação como balança está equilibrada; ou se é necessário
acrescentar ou retirar algo para que fique em equilíbrio. Neste caso, ele associa um
peso com a incógnita da equação, dando a essa incógnita um significado
corporificado. Desta maneira, neste mundo, o indivíduo pode realizar ações e
operações sem sentir a necessidade de fazer uso de formalismo ou de definições,
pois visualizar ou mentalizar as ações lhe parece suficiente para validar suas
afirmações e, para ele, não parece necessário justificativa matemática para a ação
(LIMA, 2007, p. 76).
1.1.2 O mundo “proceitual” simbólico
No mundo “proceitual” simbólico, as ações que efetuamos para calcular ou
manipular são feitas com o uso de símbolos. Estes símbolos podem estar presentes
no mundo corporificado, porém as ações no mundo simbólico já não podem ser
somente intuitivas, é necessário que se faça operações/manipulações com os
números ou com os símbolos, mostrando que os processos são válidos (ou não).
No mundo simbólico, os símbolos associados a procedimentos matemáticos
assumem uma natureza dupla, resultado de uma visão flexível na qual os símbolos
podem ser tratados como processo ou como conceito. Para chamar atenção desta
natureza, Gray e Tall (1994) os batizam “proceitos”.
Por exemplo, entendemos que um procedimento matemático para obter um
resultado é chamando de processo: 4+2 (soma). E essa operação é simbolizada e
encapsulada como um objeto. Dessa maneira, um processo produz um objeto e, por
sua vez, um símbolo é usado para representar tanto esse processo quanto o objeto:
4+2. Nesta forma “os símbolos representam não só os conceitos, mas também as
ações exercidas sobre os objetos e o produto dessas ações” (LIMA, 2007, p.57).
22
Essa junção pode ser originada de diferentes procedimentos: 4+2, 2+4, 1+5, 5+1,
“proceitos” que produzem o mesmo resultado, o número 6. Nesse resultado está
embutido o conceito (adição) do procedimento. O entendimento de que diferentes
procedimentos geram o mesmo conceito, e que um conceito pode ser gerado de
diferentes procedimentos, é chamado de pensamento “proceitual” (GRAY; TALL,
1994).
Gray e Tall (1994) colocam que:
Pensamento proceitual é caracterizado pela capacidade de comprimir
estágios na manipulação simbólica a ponto de os símbolos serem vistos
como objetos que podem ser decompostos e recompostos de maneiras
flexíveis (GRAY; TALL, 1994, p.18, tradução nossa)
O mundo simbólico não deve ser visto como simplesmente a representação
das percepções e ações do mundo corporificado. Esse mundo inclui “situações que
não são sempre possíveis de se representar por meio de corporificações” (LIMA,
2007, p. 76), tal como representar, por meio de uma balança, uma equação
equivalente a zero, ax+b=0.
1.1.3 O mundo formal axiomático
O mundo formal axiomático é baseado em propriedades expressas pela
linguagem formal em definições, axiomas, deduções e demonstrações.
Diferente dos outros dois mundos, o mundo formal, em sua totalidade, pouco
se encontra no ensino fundamental ou médio; suas relações são mais presentes no
nível de ensino superior. Neste nível, geralmente, busca-se o conhecimento formal,
das demonstrações, das propriedades, de teoremas que compõem outras
demonstrações de outros teoremas, dessa forma compondo um sistema axiomático.
23
No ensino médio, podemos encontrar características desse mundo quando
alunos se deparam com situações que são expressas com base em definições
formais e provas como, por exemplo, a demonstração da fórmula de Bhaskara.
ax2 + bx + c = 0
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0
4a2x2 + 4abx + 4ac + b2 = b2
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 - 4ac
(2ax + b) 2 = b2 - 4ac
2ax + b =
2ax = - b
consideramos a equação quadrática
Inicialmente, multiplicamos os membros da equação por 4a ,
somamos b² aos dois membros da equação.
subtraímos 4ac dos dois membros da equação.
obtendo o quadrado perfeito do lado esquerdo da igualdade
extraímos a raiz quadrada dos dois lados da igualdade
subtraímos b dos dois membros da equação.
dividimos os dois membros da equação por 2a com o
objetivo de isolar x.
Figura 1 – Demonstração da fórmula de Bhaskara
Demonstrada a fórmula de Bhaskara, ela poderá ser aplicada para descobrir
os valores da incógnita, na resolução de uma equação quadrática. Observamos que
a característica do mundo formal não se trata de usar a fórmula, mas de demonstrála, de perceber a sua validade qualquer que seja a equação quadrática.
Observamos que há alunos que resolvem equações como 3x² = 27 seguindo
o método usado para a demonstração da fórmula de Bhaskara, ou seja executando
operações em ambos os membros da equação e fazendo uso de relações do mundo
formal:
Figura 2 - Equação quadrática resolvida através de operações inversas
24
Na Figura 2 observamos que, ao resolver a equação utilizando, em ambos os
membros, operações inversas àquelas efetuadas sobre a incógnita, um indivíduo faz
uso de características do mundo formal.
Tall (2004) afirma que os Três Mundos da Matemática se relacionam entre si
como apresentado na Figura 3.
Figura 3 - Desenvolvimento Cognitivo pelos Três Mundos da Matemática Fonte: Tall (2008 apud
KOCH, 2011)
Observamos, na Figura , que tanto o mundo corporificado quanto o mundo
simbólico estão relacionados. O mundo formal apresenta uma forma mais sofisticada
do que os outros dois mundos, entre si e também com o mundo formal em termos de
desenvolvimento cognitivo, pois suas características exigem a compreensão de
características formais da Matemática. Porém, o trabalho no mundo formal pode
envolver expressões e significados dos mundos corporificado e simbólico, revelando
assim íntima relação entre os três mundos (TALL, 2008). Segundo Tall (2004),
indivíduos podem aprender de maneiras diferentes, ou seja, seu desenvolvimento
25
pode percorrer os Três Mundos da Matemática, seguindo caminhos diferentes.
Dessa maneira, o aprendizado torna-se único devido a experiências anteriores de
cada indivíduo.
No caminho do desenvolvimento cognitivo de cada indivíduo podem ocorrer
dificuldades que exigem que as idéias anteriores sejam reconsideradas e, apesar
dos Três Mundos da Matemática estarem relacionados, os caminhos são diferentes
para cada indivíduo e alguns podem ser levados a concepções alternativas e a
terem dificuldades de evoluir no aprendizado, desvinculando um mundo do outro.
Por exemplo, alunos que relacionam a resolução de equação com o modelo da
balança (mundo corporificado) podem vir a ter dificuldades com a resolução de
equações como ax+b=04 (mundo simbólico) ou equações com valores negativos.
1.2 CORPORIFICAÇÃO PROCEDIMENTAL
Juntamente com os Três Mundos da Matemática, consideramos outros fatores
que podem influenciar os trabalhos dos alunos com equações lineares e
quadráticas. Um desses fatores foi relatado por Lima (2007). A pesquisadora, ao
buscar os significados atribuídos por alunos de 1º e 2º anos do ensino médio a
equações, observou que os sujeitos de sua pesquisa faziam algum tipo de
manipulação de símbolos ao resolver equações, porém tal manipulação não era
fundamentada em significado matemático, mas sim derivada de frases como “passar
para o outro lado” (LIMA, 2007, p. 290), mostrando que não existia uma ligação
estreita do tipo de manipulação usada por esses alunos com o mundo simbólico. A
esse respeito, a pesquisadora afirma que os sujeitos dessa pesquisa dão um
significado corporificado à manipulação de símbolos e, apesar dela ter significado
para esses alunos, ela se baseia em movimentar um símbolo de um membro para
outro da equação e, junto com essa movimentação, esses alunos ainda acrescentam
alguns toques de “mágica” que, para eles, existem sem justificativas matemáticas,
como, por exemplo, a troca de sinal de um termo quando “passado” para o outro
4
Esse fenômeno será discutido no próximo capítulo
26
membro da equação; a mudança de um coeficiente “para baixo” do que está no
outro membro quando este coeficiente está multiplicando um fator ou a incógnita,
entre outros. Desta forma, os alunos, quando executam tais manipulações, podem
pensar em movimentar fisicamente objetos, não os símbolos matemáticos, sem
pensar em relações com princípios matemáticos.
Segundo Lima:
Esse procedimento e a mágica que o sucede formam uma corporificação
procedimental, em que o aluno dá significado corporificado para o
procedimento que está usando. (LIMA 2007, p. 290)
Lima (2007) coloca que, em sua pesquisa, ao justificar suas resoluções, os
alunos fazem uso de falas que remetem a corporificações procedimentais, tanto em
equações lineares quanto em quadráticas.
Apesar de a utilização da corporificação procedimental poder proporcionar
sucesso para os alunos que a usam, devemos considerar que ela não está atrelada
aos significados matemáticos na resolução de equações. E tendo em vista os
princípios algébricos que estão envolvidos na resolução de equações, essa
corporificação impede que o aluno entenda a ligação existente entre os mundos
simbólico e formal e os significados simbólicos que estão envolvidos na manipulação
simbólica.
Assim, como dito que por um lado a corporificação procedimental pode ajudar
aos alunos a obter respostas corretas. Por outro, ela mantém oculto os conceitos
matemáticos envolvidos na resolução de equações. E segundo a pesquisadora, tais
técnicas escondem os princípios matemáticos, deixando que os alunos pensem que
tais princípios são mágicos e sem fundamento, pois suas justificativas são “passar
para o outro lado e inverter o sinal”, sem entender que essas passagens não são
mágicas, mas sim técnicas derivadas de princípios algébricos fundamentados por
características do mundo formal (LIMA, 2007, p. 292).
27
1.3 DIFERENTES VISÕES DA ÁLGEBRA
Além dos Três Mundos da Matemática e da Corporificação Procedimental,
apresentamos as diferentes visões da Álgebra desenvolvidas por Tall e Thomas
(2001) que discutem o desenvolvimento cognitivo do significado dos símbolos na
Álgebra. Tall e Thomas (2001) pesquisaram com crianças o desenvolvimento da
Aritmética até a Álgebra, classificando a Álgebra em três diferentes níveis: Álgebra
de avaliação, Álgebra de manipulação e Álgebra axiomática:
Na Álgebra de avaliação, as “letras” em expressões algébricas são
substituídas por números para a determinação do valor da expressão, por exemplo,
substituindo 3 na expressão 4x + 3 e o valor dessa expressão seria 15.
Esse tipo de avaliação pode favorecer que alunos entendam a diferença entre
“expressões do tipo 3 + 2.x e (3 + 2).x ou equivalência entre (3 + 2).x e 5x ” (LIMA,
2007, p. 21). Nesse sentido, entender os processos envolvidos nessas duas
expressões significa, por exemplo, perceber que, ao substituir um valor para x na
expressão 3+2.x, o indivíduo deve primeiro realizar a multiplicação e depois a soma,
enquanto em (3+2).x, primeiro deve efetuar a soma e depois a multiplicação.
Lima (2007) acredita que, se os alunos perceberem essa equivalência, terão
maior flexibilidade à medida em que avançarem seus estudos com Álgebra e
também poderão entender que diferentes procedimentos podem gerar o mesmo
resultado.
Na Álgebra de manipulação, as “letras” são mantidas nas expressões, e são
efetuadas manipulações algébricas. Assim, para se resolver equações como
5.x + 4 = 2.x + 2 , é necessário efetuar manipulações simbólicas para, depois, chegar
a um valor. Esse tipo de pensamento também pode permitir que alunos entendam
que, por exemplo, (a + b)² e a² + 2ab + b² são iguais e, a partir da primeira, pode-se
chegar à segunda, e vice-versa.
28
Por fim, a Álgebra axiomática diz respeito à Álgebra formal, sistemas de
equações, espaços vetoriais, incluindo definições e demonstrações.
A partir dessa classificação dos níveis de Álgebra (THOMAS; TALL, 2001),
Lima (2007) define uma classificação para equações lineares e para as equações
quadráticas, em equações de avaliação e equações de manipulação, que
consideramos importante para o nosso estudo.
1.4 EQUAÇÕES DE AVALIAÇÃO E EQUAÇÕES DE MANIPULAÇÃO
No caso específico de equações, Lima (2007), em seu estudo, estendeu a
classificação sobre os diferentes níveis da álgebra (THOMAS; TALL, 2001), para as
equações lineares e quadráticas, classificando-as como equações de avaliação e de
manipulação.
Equações lineares de avaliação são as equações na forma ax+b=c, com a, b
e c reais, e a diferente de zero, em que a incógnita aparece em apenas um dos
membros. Por exemplo, a equação 2x + 3 = 5 pode ser resolvida desfazendo cada
uma das operações que foram efetuadas sobre a incógnita para chegar ao seu valor.
Figura 4 – Equação linear de avaliação, desfazendo as operações
29
2x+3=5
A equação como 2x+3 com resultado igual a 5
2x=5-3
Desfazendo as operações, subtrai-se o valor 3 do resultado 5
2x=2
Divide-se o número 2 por 2
X=2/2
Encontrando o valor da incógnita
X=1
Figura 4a – equação linear de avaliação, desfazendo as operações
Lima (2007) também estende essa classificação para as equações
quadráticas. Assim, equações quadráticas do tipo ax²=b ou a(x+b)²+c=d podem ser
classificadas como de avaliação, pois acredita-se que as operações podem ser
desfeitas para encontrar um valor para a incógnita, isto é, realizando a operação
inversa daquela efetuada na incógnita, a fim de descobrir o valor dessa incógnita,
como apresentado no exemplo da Figura , para a equação 3x²=27. Também
acreditamos que equações na forma a(x-x1).(x-x2)=0 podem ser consideradas
equações de avaliação, já que nenhuma manipulação é necessária para se
encontrar suas raízes.
Equações lineares de manipulação são equações na forma ax+b=cx+d, com
a, b, c e d reais, em que a e c são diferentes de zero, isto é, a incógnita ocorre em
ambos os membros da equação, sendo necessário operar ou manipular com ela
para se chegar a um resultado, pois a ocorrência da incógnita em ambos os
membros impedem que as operações sobre a incógnita sejam desfeitas como
apresentado na Figura 4.
Por exemplo:
4k – 2 = 3k + 6
Pode-se observar a incógnita em ambos os membros da equação
4k – 2+2 = 3k + 6+2
Efetua-se a mesma operação (adicionar 2) em ambos os membros
4k = 3k + 8
Somam-se os termos (- 2+2)
4k – 3k = 3k – 3k + 8
Efetua-se a mesma operação (subtrair 3k) em ambos os membros
k = 8
Somam-se os termos com incógnitas (k), e encontra-se o valor de K
Figura 5 – Equação linear de manipulação, manipulando incógnitas
30
Equações quadráticas na forma ax²+bx+c=d são classificadas como equações
de manipulação pois, para se encontrar os valores da incógnita, é necessário fazer
alguma manipulação simbólica, seja essa manipulação por meio da fórmula, ou
quando o indivíduo percebe alguma outra manipulação, por exemplo, quando a
equação é composta por um quadrado perfeito, como apresentado na Figura 6.
x²+5x+6=0
Pode-se fatorar para resolver essa equação
(x+2).(x+3)=0
Percebem-se as raízes da equação, ou elas são
descobertar pela manipulação dos termos: (xx1).(x-x2)=0 (em que x1 e x2 são as raízes da
equação), como abaixo:
1º Raiz
(x + 2).(x + 3)
0
=
(x + 3)
(x + 3)
Para a primeira
raiz o aluno divide
os membros por
(x+3), quando x é
diferente de –3
2º Raiz
(x + 2).(x + 3)
0
=
(x + 2)
(x + 2)
(x + 2) = 0
(x + 3) = 0
x +2-2 = 0-2
x +3-3 = 0-3
x = -2
x = -3
Para a segunda
raiz o aluno
divide os
membros por
(x+2) , quando x
é diferente de –2
Figura 6 – Equação quadrática de manipulação
Para Lima (2007), equações do tipo a(x-x1).(x-x2)=0 (no qual x1 e x2 são as
raízes da equação) são consideradas, a priori, de manipulação, pois podem ser
manipuladas como no exemplo acima, para se chegar aos valores da incóginta.
Acreditamos que equações desse tipo também podem ser resolvidas como
equações quadráticas de avaliação, porque, por exemplo, o aluno ao manipular a
equação quadrática x²+5x+6=0 e obtér a forma (x+2).(x+3)=0, pode avaliar os
valores das raízes x1 e x2 como (x1 = -2 e x2 =-3).
1.5 OS JÁ-ENCONTRADOS
Durante o processo de aprendizagem dos conteúdos matemáticos, um
indivíduo enfrenta diferentes dificuldades e tais condições fazem com que o
aprendizado gere novas experiências, que são essenciais para o desenvolvimento
31
cognitivo de indivíduos, tornando-se parte do repertório de seu pensamento e de
suas ações.
Essas experiências podem influenciar o aprendizado de um novo conceito
matemático. Ao se deparar com uma situação que se assemelha a uma já
vivenciada, um indivíduo pode recorrer a procedimentos ou conhecimentos de
experiências anteriores, para aplicar nessa nova situação.
O termo “Já-encontrado” é utilizado para descrever uma experiência anterior
que pode influenciar o aprendizado de novos conceitos matemáticos de alguma
maneira, seja de forma positiva ou negativa.
De acordo com Lima (2007)
“já-encontrado” é um construto mental que um indivíduo usa em dado
momento, baseado em experiências que ele encontrou anteriormente. Eles
são parte da imagem de conceito de um indivíduo (LIMA, 2007, p.86).
Já-encontrados podem agir de diferentes maneiras no aprendizado. Por
exemplo, um aluno pode ter como já-encontrado em Aritmética que “2+6 é igual a 8”.
Esse aprendizado pode ser aproveitado quando esse aluno se depara com
expressões do tipo “2x+6x”, e obtém a resposta igual a “8x”. Porém, ao iniciar o
estudo de equações quadráticas, tal aluno pode se deparar com a situação 2x²+6x e
concluir, de maneira incorreta, que a resposta é 8x² ou 8x.
No primeiro exemplo, 2x+6x, o “já-encontrado” funcionou de maneira positiva,
favorecendo o aprendizado; o conceito de adição usado na aritmética foi válido para
esse contexto. Já no segundo exemplo, 2x²+6x, o “já-encontrado” funcionou de
maneira negativa, pois não foi válido para essa situação. O mesmo pode acontecer
quando o aluno se depara com a expressão 2x+6. Porém, segundo Lima (2007),
esse não é um erro aleatório. Como em experiências anteriores, o aprendizado
funcionou para 2+6 e 2x+6x, o aluno pode pensar que a adição pode ser usada para
todas as situações de adição. Desta forma, um “já-encontrado”, quando funciona de
maneira negativa, pode criar uma dificuldade para aprender um novo procedimento
ou conceito.
32
Entendemos que os “já-encontrados” podem ser essenciais para o desenvolvimento
do indivíduo quando aplicado de maneira positiva. Podemos assim, juntamente com
o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática e com a classificação de
equações de avaliação e manipulação, utilizá-los para as análises dos dados da
nossa pesquisa. Portanto, o quadro teórico apresentado servirá para organizarmos e
entendermos as análises dos dados coletados e para entendermos as interações
dos alunos com equações quadráticas.
Neste capítulo, buscamos as principais ideias da fundamentação teórica a
serem usadas no desenvolvimento desse estudo. Inicialmente, descrevemos os Três
Mundos da Matemática: o mundo conceitual corporificado, o mundo “proceitual”
simbólico e o mundo formal axiomático, falamos das relações entre eles e de suas
principais características.
Em seguida, apresentamos as diferentes visões da Álgebra, definidas por Tall
e Thomas (2001), e, a partir delas, apresentamos as equações de avaliação e as
equações de manipulação, definidas por Lima (2007), que são, juntamente com o
quadro teórico, o foco das análises do desenvolvimento das atividades realizadas
pelos alunos sujeitos desta pesquisa. Apresentamos a corporificação procedimental
e finalizamos trazendo nesse Capítulo os “já-encontrados”, que acreditamos poderão
ter forte influência no pensamento dos alunos durante o desenvolvimento das
atividades.
Assim, definidos os fundamentos teóricos que utilizaremos nessa pesquisa,
partimos para identificar outras pesquisas que apontam dificuldades na resolução de
equações e que poderão nos auxiliar a identificar as dificuldades que encontraremos
em nosso estudo.
33
CAPÍTULO 2: A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES:
O QUE DIZEM AS PESQUISAS?
Neste capítulo, apresentamos algumas pesquisas que visam investigar a
aprendizagem de equações quadráticas ou de temas que relacionam as equações
lineares às quadráticas, assim como as pesquisas que abordam as dificuldades
associadas à resolução de equações.
2.1. PESQUISAS SOBRE EQUAÇÕES QUADRÁTICAS
Um dos poucos trabalhos que localizamos a respeito do estudo de equações
quadráticas é o de Vaiyavutjamai e Clements (2006). A pesquisa desenvolveu-se em
duas escolas públicas secundárias da Tailândia e contou com a participação de 231
alunos do 9º grau (equivalente ao 1º ano do ensino médio no Brasil). Foi pedido aos
estudantes que resolvessem 18 equações quadráticas antes e depois de terem
participado de 11 aulas sobre esse tema. Os principais focos dos autores estavam
em como e em até que ponto a compreensão dos alunos durante as aulas afetava o
desempenho deles sobre a resolução de equações quadráticas. Outro objetivo
dessa pesquisa foi explorar o impacto das abordagens tradicionais de ensino de
Matemática associadas à resolução de equações quadráticas.
Para fazer estas análises, os autores utilizaram fitas de vídeo do Third
International Mathematics and Science Study (TIMSS Video Study) gravadas em
1995 e em 1999. As análises revelaram que, na maioria dos países participantes do
TIMSS Study, o ensino se traduzia na sequência: (1) revisão / introdução / modelo;
(2) exercícios; (3) resumo. Assim, métodos de ensino que seguiam essa sequência
eram considerados pelos autores como uma Abordagem de Ensino Tradicional.
Suas análises foram classificadas em várias fases. Na fase inicial, com os
testes antes das aulas de equações quadráticas, indicaram que os alunos tinham
34
pouca compreensão das equações quadráticas e dos conceitos matemáticos
relacionados a elas. Isso estava evidente, pois esses alunos ainda não tinham tido
uma instrução de como lidar com essas equações.
Em uma fase posterior às 11 aulas sobre equações quadráticas, os testes
indicaram uma melhora de compreensão, mas, mesmo assim, o desenvolvimento
não foi satisfatório. A média de compreensão foi classificada como uma
compreensão instrumental, faltando, para esses alunos, uma compreensão
relacional (no sentido de SKEMP, 1976 apud VAIYAVUTJAMAI; CLEMENTS, 2006).
As análises feitas apontaram que, embora após as aulas os alunos
conseguissem desenvolver melhor os testes, ainda mais de 50% desses alunos
tiveram notas inferiores às esperadas. Também, após as 11 aulas de equações
quadráticas, identificou-se que, para a maioria dos alunos participantes, ainda era
difícil responder as perguntas dos testes e que 70% das respostas dadas nos testes
estavam incorretas. Os autores concluíram que muitos desses alunos não possuíam
as habilidades algébricas necessárias para lidar com equações quadráticas.
Os autores também enfatizam que, entre as dificuldades encontradas,
destaca-se que estudantes de diferentes níveis, inclusive universitários, quando
confrontados com equações do tipo (x - 3) ⋅ (x - 5) = 0 , procuram primeiro desenvolver
a multiplicação dos termos até x²-8x+15=0, para depois tentar aplicar um processo
de resolução. E muitos desses estudantes não conseguem perceber que
30x²+28x+6=0 é equivalente a (5x - 3) ⋅ (6x - 2) = 0 . Para os autores tais dificuldades
estão associadas à ideia de “sentido de estrutura” e de “diferentes interpretações da
mesma estrutura” (HOCH; DREYFUS, 2004 apud VAIYAVUTJAMAI; CLEMENTS,
2006).
Além disso, as conclusões dos autores mostraram que uma abordagem de
ensino tradicional produziu pouco efeito para o desenvolvimento dos alunos.
No nosso caso, quando procuramos pesquisas sobre as equações
quadráticas, deparamo-nos com o mesmo problema relatado por Vaiyavutjamai e
35
Clements (2006), que enfatizam a ausência de pesquisas relacionadas ao ensino e à
aprendizagem de equações quadráticas. Assim, decidimos destacar algumas das
referências utilizadas por eles sobre esse tema, junto com referências de equações
lineares, o que para nós, as dificuldades dessas, estão estreitamente ligadas às
dificuldades associados às quadráticas.
Uma dessas referências foi a tese de Sproule (2002, apud VAIYAVUTJAMAI;
CLEMENTS, 2006) que investigou o desempenho dos estudantes ao resolverem
diferentes tipos de equações quadráticas. Sua pesquisa contou com alunos do
ensino secundário (equivalente ao ensino médio no Brasil) de uma escola da Irlanda
do Norte. Suas conclusões indicaram que somente os alunos mais habilidosos
operaram em níveis conceituais adequados. Dessa afirmação, entendemos que as
dificuldades associadas a essas equações influenciam no sucesso das resoluções
da maioria dos alunos.
Outro estudo apresentado foi o de Gray e Thomas (2001, apud
VAIYAVUTJAMAI; CLEMENTS, 2006), sobre múltiplas representações de equações
quadráticas com o uso de calculadoras gráficas. Tal estudo envolveu uma amostra
de 25 alunos, com idades entre 14 e 15 anos e os resultados não foram satisfatórios
no que diz respeito à evolução das habilidades de resolver equações quadráticas.
Na nossa pesquisa, utilizamos uma equação quadrática representada de uma forma
diferente5 do que os alunos estão acostumados, para observar se eles empregam as
mesmas habilidades utilizadas nas outras equações.
Também foi apresentado o estudo de Fujii (2003 apud VAIYAVUTJAMAI;
CLEMENTS, 2006), que investigou a compreensão do conceito de variável.
Segundo Fujii, estudantes dos Estados Unidos e do Japão acreditavam que, nas
equações, o x do primeiro membro não precisava necessariamente representar o
mesmo valor que o x do segundo membro. Além disso, muitos alunos acreditavam
que, por x e y serem letras diferentes, em uma mesma equação, nunca poderiam ter
o mesmo valor, por exemplo, x+y=16.
Segundo Vaiyavutjamai e Clements (2006), esse tipo de pensamento,
5
Representação em forma de árvore Trgalová (2009), que será discutida no final do capítulo.
36
apresentado por Fuji, também foi identificado em sua pesquisa, por exemplo,
"Alunos ao resolver a equação (x - 3)(x - 5) = 0 ". Consideravam x com valores
distintos; 3 para (x-3) e, simultaneamente 5 para (x-5) apresentando como solução
final x = { 3, 5} . Os autores apontam que aparentemente a resolução apresentada
está correta, mas para esse aluno, a incógnita x assume valores diferentes nos dois
conjuntos de parênteses, não percebendo que a incógnita tem o mesmo status,
embora apareça em parênteses diferentes na mesma equação.
Segundo Vaiyavutjamai e Clements
O relatório da Associação de Matemáticos (Mathematical Association,
1962), no Reino Unido, sobre o ensino de álgebra nas escolas salientou que
parte do problema é que os alunos que geram soluções para uma equação,
muitas vezes não entendem que o único número ou números que "tornam a
equação verdadeira" são as soluções. Os alunos que não percebem isso
podem ter dificuldades para “verificar" a “solução” ou as “soluções”.
(VAIYAVUTJAMAI; CLEMENTS, 2006, p. 51, tradução nossa)
E em relação às equações lineares, que acreditamos contribuir para
entendermos quais estratégias os alunos reutilizam ao resolver equações
quadráticas, os autores destacam que, depois do ensino de resolução de equações
lineares, apresentadas na forma ax+b=c, espera-se que os alunos, na Tailândia,
aprendam a resolver equações na forma ax+b=cx+d. E, segundo pesquisa realizada
no TIMSS, esses alunos não conseguem fazer a passagem de resolução de um tipo
de equação (ax+b=c) para outra (ax+b=cx+d). Ao resolverem equações da forma
ax+b=cx+d, esses alunos obtiveram apenas 29% de aproveitamento. E, portanto,
para os autores, esse tipo de equação constitui um teste decisivo para o alcance do
desenvolvimento algébrico do estudante.
Vaiyavutjamai e Clements (2006) acreditam que parte do problema com
equações do tipo ax+b=cx+d está relacionada ao fato dos alunos acreditarem que o
x nos dois membros da equação pode representar valores diferentes. Filloy e Rojano
(1989) não concordam, pois acreditam que as dificuldades associadas a esse tipo de
equação devem-se à presença de um corte, isto é, uma dificuldade de manipular
números para passar para manipular a incógnita.
37
Assim, percebemos que se faz necessário procurar em qual momento alunos
apresentam dificuldades em resolver equações lineares. Para isso, recorremos à
pesquisa de Filloy e Rojano (1989).
2.2 CORTE DIDÁTICO: O CASO DE EQUAÇÕES LINEARES
Filloy e Rojano (1989) observaram, por meio de um estudo histórico, a
evolução da passagem do pensamento aritmético para o algébrico. Segundo eles,
algumas pesquisas indicam dificuldades na concepção do pensamento algébrico ou
na mudança simbólica que envolve essa passagem, que muitas vezes recaem na
interpretação de conceitos como: variáveis, noção de igualdade, gráficos, soluções
de equações, operações, entre outros. Por exemplo, os autores perceberam que
equações como x²+c =2bx e x²= c+2bx, encontradas nos livros didáticos que foram
pesquisados, possuíam diferentes estratégias de resolução, mas uma manipulação
de termos poderia deixar essas equações com o mesmo nível sintático, ou seja, uma
reorganização dos termos deixaria as equações com a mesma aparência e,
consequentemente, poderia ser usada a mesma estratégia de resolução. Porém,
segundo os pesquisadores, essa reorganização, que parece ser “fácil”, para alunos
apresenta um alto grau de dificuldade.
De acordo com os autores, as equações lineares podem ser classificadas em
dois tipos, “aritméticas” e “não-aritméticas”. Um representativo do primeiro tipo é:
ax+b=c, em que a maioria dos procedimentos são realizados no primeiro membro
(do lado esquerdo do sinal de igual), operando, geralmente, com números, em
aritmética; e o segundo membro indica o resultado que se deseja alcançar. Já o
segundo tipo de equações compreende aquelas na forma ax+b=cx+d, em que a
incógnita aparece em ambos os membros e torna-se necessário operar com as
incógnitas, o que requer do aluno o conhecimento de alguns princípios algébricos.
Ao analisar a transição entre equações aritméticas e equações nãoaritméticas, os autores perceberam que ela não ocorre imediatamente, de maneira
natural, mas requer dos alunos a aquisição de certos conceitos e de determinadas
38
técnicas de operar com incógnitas. As dificuldades percebidas durante a transição
são consideradas rupturas que separam um tipo de equação do outro. Tal ruptura foi
chamada pelos pesquisadores de corte didático.
Filloy e Rojano (1989) observaram que alunos, quando colocados frente a
equações
não-aritméticas,
procuram
resolvê-las
baseando-se
em
seus
conhecimentos de aritmética, substituindo valores, com tentativa e erro, sem levar
em consideração a hipótese de operar com as incógnitas, o que é, muitas vezes,
necessário nesse tipo de equação, para se obter uma solução.
Sabendo da existência de um “corte” e com o propósito de estudar as
dificuldades apresentadas nessa ruptura, foram propostas, pelos autores, atividades
usando modelos concretos. Segundo Filloy e Rojano (1989), o uso desses modelos
pode ajudar os alunos em alguns pontos, mas não significa que todo conhecimento
algébrico pode ser desenvolvido a partir de modelos como esses. Alunos que
aprendem usando modelos concretos, posteriormente podem sentir dificuldades em
generalizar o conhecimento adquirido.
Para desenvolver as atividades, foram usados dois modelos: o geométrico e o
da balança. O modelo geométrico baseia-se em comparação de áreas de
retângulos, nos quais o aluno geralmente observa as diferenças entre esses
retângulos e executa a operação de completar áreas. Já o modelo da balança se
baseia em uma balança de dois pratos, em que o equilíbrio representa a igualdade
entre os membros.
Em ambos os modelos, foram usadas equações com incógnitas nos dois
membros (não-aritméticas) do tipo ax+b=cx+d. À medida que os alunos conseguiam
resolver as equações, novas equações com níveis mais altos de dificuldade eram
apresentadas a eles. A partir desses modelos, os autores observaram como os
alunos reutilizavam as operações realizadas em equações anteriores, analisando os
processos de abstração e aplicação a novas equações.
Algumas conclusões dos autores em relação à utilização dos modelos
concretos foram a perda temporária de operacionalidade para resolver equações
39
aritméticas, ou seja, em equações que os alunos já sabiam resolver. Também foi
identificada uma fixação nos modelos, o que, consequentemente, impede a
formalização dos conteúdos, além de dificuldades em operar, nos modelos, com
números negativos ou com números não inteiros (alunos que tinham habilidades em
resolver equações nessas condições, não conseguiam resolver as mesmas
equações nos modelos concretos) e erros associados à manipulação e operação
dos termos das equações, como por exemplo, tentativa de somar valores de
incógnitas com graus diferentes.
Assim, parece que, para Filloy e Rojano (1989), a utilização de uma
representação concreta para o ensino de equações lineares – os modelos
geométrico e da balança – é vista como um modo de aproximar os alunos dos
processos algébricos formais e que o corte didático surge durante a transição de
equações aritméticas para as equações não-aritméticas, em que alunos deixam de
manipular somente com números para manipular também com incógnitas.
2.3 O MODELO DA BALANÇA COM EQUAÇÕES LINEARES
Em Vlassis (2002), localizamos uma tentativa para reexaminar as conclusões
de Filloy e Rojano (1989). Ela destaca que, durante anos, várias pesquisas foram
realizadas com uso de modelos concretos, cujos resultados foram, muitas vezes,
conflitantes. Neste cenário, suas reflexões são baseadas em um experimento de
ensino sobre o uso de um dos modelos concretos, o da balança. Este experimento
foi realizado com 40 alunos de duas classes de oitava série, em 16 seções divididas
em duas fases de 8 cada. A primeira com equações do tipo aritméticas e a segunda
com equações do tipo não-aritméticas (utilizando a terminologia de Filloy e Rojano,
1989). O objetivo do experimento, usando como base o modelo da balança, foi que
os alunos aprendessem a operar com incógnitas e o método formal de resolução de
equações, bem como perceber a necessidade de executar a mesma operação nos
dois membros da equação.
40
Na primeira fase, foram usadas equações aritméticas. Esta fase serviu para
que os alunos pudessem utilizar seus conhecimentos aritméticos, como uma
introdução ao experimento. A segunda fase foi organizada em três situações
envolvendo equações em que a incógnita ocorre em ambos os membros, com e sem
o uso do modelo da balança. No primeiro caso, os alunos tiveram muitas
dificuldades e só conseguiram respostas por meio de tentativas e erros. No
segundo, os alunos, para resolver essa situação, usaram vários métodos: a) Método
não-formalizado: em que o próprio desenho da balança foi utilizado e, à medida que
retiravam pesos dos pratos, riscavam o mesmo número de pesos no próprio
desenho e faziam o cálculo com esses pesos, procurando manter o equilíbrio; b)
Método aritmético: o aluno partia do método não-formalizado, riscando os pesos até
que obtivessem uma equação aritmética (variável em apenas um dos membros),
escreviam a equação e tentavam resolvê-la; c) Método algébrico: utilizado por três
alunos que não usaram o desenho, montaram a equação algebricamente com base
na Figura, mas executaram os cálculos na equação. Apesar de não usarem o
método totalmente formalizado, apresentaram princípios algébricos. Após terem
resolvido as equações, os diferentes métodos usados foram explicados. A partir
desse ponto, foi ensinado o método formal para resolução de equações com base
na resolução dos alunos que utilizaram o método algébrico. Por fim, na terceira
situação, os alunos tinham que resolver equações (inclusive com números
negativos), objetivando o processo formal, sem o apoio do modelo concreto.
Após a pesquisa, Vlassis (2002) concluiu que todos os alunos, apesar de
assimilarem os princípios demonstrados nos métodos, tiveram grande dificuldade
em resolver as equações e, nos diferentes níveis, foram detectados erros, tais como
dividir os membros pelo coeficiente de x antes de “cancelar” o termo independente;
erros devidos à presença de números inteiros negativos ou com a separação do
sinal negativo do número; entre outros.
Para Vlassis (2002), esses erros podem ser gerados pelo uso do modelo da
balança, no qual os alunos utilizam a subtração para cancelar os pesos da balança,
ou esses erros podem ser resultantes da incapacidade de alguns em conceber o
sinal ligado ao número. Para eles, o que deve ser anulado não é o –5 e sim o 5,
desconsiderando o sinal.
41
Após oito meses, a pesquisadora entrevistou cinco alunos que participaram
do experimento. Apesar de conseguirem resolver as equações e, aparentemente, o
princípio de equivalência ter sido assimilado, ainda havia dificuldades decorrentes. A
tendência era de tentar resolver as equações de maneira aritmética. Os números
negativos ainda geravam muitas dificuldades e eles ainda recorriam ao modelo da
balança para resolver equações.
Portanto, para Vlassis (2002), o corte didático não depende da posição da
incógnita na equação como definido por Filloy e Rojano (1989), mas sim da
possibilidade de conectar as equações a um modelo concreto. Porque, segundo a
pesquisadora, equações aritméticas também podem exigir operações com
incógnitas, como, por exemplo, em 6x+5–8x=27; ou mesmo equações que tenham
somente uma incógnita em que é necessária uma manipulação para se chegar a um
resultado, por exemplo, em equações do tipo –x =7 “que requer que ela seja
abordada em termos -1x=7, ou por meio de opostos” (VLASSIS, 2002, p. 351).
Discordando em alguns pontos da classificação apresentada por Filloy e
Rojano (1989), Vlassis (2002) classifica as equações como Equações Aritméticas
Concretas, consideradas equações simples que são compostas somente por uma
incógnita e com números naturais; Equações Aritméticas Abstratas, cuja incógnita
ou equações com números negativos exijam algum tipo de manipulação, por
exemplo, -x=7; Equações Pré-Algébricas, baseadas em um modelo em que há
incógnitas em ambos os membros, tornando necessária uma manipulação de
incógnitas; Equações Algébricas, que são abstraídas de um modelo concreto e só
podem ser abordadas no domínio algébrico.
Dessa forma, em nossas primeiras observações sobre as dificuldades
apresentadas em equações lineares, particularmente sobre o corte didático, notamos
que os autores discordam de sua origem e que as classificações defendidas para as
equações também apresentam diferenças.
Sobre os modelos concretos, tanto Filloy e Rojano (1989) como Vlassis
(2002), mostram que são plausíveis para o ensino de equações em alguns aspectos.
42
Entretanto, também apresentam falhas em outros, tais como dificuldades com
números negativos e fixação nos modelos.
Lima (2007) observa ainda que, em nenhuma das duas pesquisas, os
pesquisadores levaram em conta equações do tipo ax+b=0 nos modelos concretos,
já que esse tipo de equação não pode ser representado por tais modelos.
2.4 O CORTE DIDÁTICO: CONEXÃO ENTRE OS MUNDOS CORPORIFICADO E
SIMBÓLICO
Lima e Healy (2010), em seu artigo “Revisitando o Corte Didático em Álgebra:
Uma questão de conexão entre os mundos corporificado e simbólico?”, analisaram
os possíveis motivos da existência desse corte, não só com equações lineares, mas
extendendo a discussão para incluir também as equações quadráticas. A análise
usou como base a classificação de equações lineares e as quadráticas em
equações de avaliação e equações de manipulação (LIMA, 2007).
As equações lineares de avaliação, como já descrito no Capítulo 1, são do
tipo ax+b=c (com a, b, c inteiros, e a diferente de zero), cuja incógnita aparece em
apenas um dos membros da igualdade e, para resolvê-las, pode-se deduzir o valor
da incógnita (avaliar o valor que satisfaça a equação) ou desfazer as operações até
que se chegue ao valor dessa incógnita. Embora essa classificação apresente
algumas especificidades, podemos compará-la à classificação de equações
aritméticas de Filloy e Rojano (1989) e às equações aritméticas concretas e
equações aritméticas abstratas definidas por Vlassis (2002).
As equações lineares de manipulação, também apresentadas no Capítulo 1,
são aquelas do tipo ax+b=cx+d (de coeficientes inteiros e a, c diferentes de zero),
cuja incógnita ocorre em ambos os membros, sendo necessário operar com as
mesmas para se chegar a um valor. Esse tipo de equação pode ser comparada com
a classificação de equações não-aritméticas de Filloy e Rojano (1989) e também
com as equações pré-algébricas e algébricas de Vlassis (2002).
43
Para Lima e Healy (2010), nas pesquisas anteriores, as classificações
centram-se na posição da incógnita na equação. E, de fato, as equações de
avaliação, as equações aritméticas, as equações aritméticas concretas e as
aritméticas abstratas têm em comum a posição da incógnita em um único membro
“ax+b=c”, enquanto as equações de manipulação, equações não-aritméticas e as
equações pré-algébricas e algébricas têm incógnita em ambos os membros
“ax+b=cx+d”.
Entretanto, a classificação elaborada por Lima (2007) pode ser estendida,
também, para as equações quadráticas, mostrando que a posição da incógnita não é
a única característica a ser considerada. Além disso, essa classificação abrange
outras equações lineares não trabalhadas por Filloy e Rojano (1989) ou Vlassis
(2002), tais como, ax+b=0. Esta classificação diferencia-se também pela relação que
um indivíduo tem com as incógnitas na equação, ou seja, está vinculada às
estratégias que são utilizadas para resolvê-las.
A classificação de Lima (2007) é baseada no quadro teórico dos Três Mundos
da Matemática, apresentado no Capítulo 1, que concebe a existência de três
diferentes, porém interligados, Mundos da Matemática, o mundo conceitual
corporificado, o mundo proceitual simbólico e o mundo formal axiomático.
Acreditamos, em consenso com as pesquisadoras, que todos os conceitos
matemáticos têm ligações com os Três Mundos da Matemática e as equações não
são uma excessão.
As equações de avaliação estão diretamente ligadas ao mundo corporificado,
pois estão relacionadas com o sentido de fazer ou desfazer uma operação. Além
disso, o indivíduo pode pensar fisicamente em tirar ou colocar determinada
quantidade de alguma coisa. Por outro lado, as equações de manipulação estão
ligadas ao mundo proceitual simbólico, na medida em que o aluno precisa lidar com
o conhecimento simbólico e, se conseguir perceber isso, pode efetuar ações sobre
esses termos de maneira flexível, articulando os procedimentos.
Lima e Healy (2010), sob um olhar desse quadro teórico, retomam os
44
trabalhos de Filloy e Rojano (1989) e de Vlassis (2002). Da classificação de Filloy e
Rojano (1989), as autoras sugerem que as equações aritméticas estão ligadas ao
mundo conceitual corporificado e as equações não-aritméticas ligadas ao mundo
simbólico. E em relação a Vlassis (2002), as equações em que os alunos consigam
associar a um modelo concreto estão ligadas ao mundo corporificado e as equações
em que não há essa possibilidade, como as “equações algébricas”, estão
relacionadas ao mundo simbólico.
Lima e Healy (2010) conjecturam que, segundo sua classificação, se o corte
didático se manifestar, estará localizado na passagem das equações de avaliação
para as equações de manipulação, porque, segundo elas, essa passagem envolve a
conexões entre dois dos Mundos da Matemática, que estão ligados a esse tipo de
equação, o corporificado e o simbólico.
Para verificar essa conjectura, as pesquisadoras usaram dados referentes à
resolução de equações feitas por 68 alunos de primeiro e segundo anos do ensino
médio de duas escolas, uma pública e uma particular do Estado de São Paulo, bem
como entrevistas com 20 desses alunos.
Para equações lineares, foram analisadas as resoluções das equações
5t - 3 = 8 , 3x-1=3+x e 2m=4m; e para as quadráticas foram analisadas as resoluções
das equações a²-2a-3=0, r²-r=2, 3l²-l=0 e m²=9.
As autoras observaram que, nas resoluções das equações 5t-3=8 e 3x-1=3+x
os dados mostraram que não há uma grande diferença entre o número de respostas
corretas. Já a equação 2m=4m (que poderia ser resolvida por avaliação) poucos
alunos conseguiram resolver. Segundo as pesquisadoras, isso aparentemente
ocorre porque essa equação traz dificuldades conflitantes com o mundo
corporificado, pois é muito difícil para os alunos associarem o zero como valor da
incógnita. Por exemplo, o aluno se questiona como um número (que pode
representar alguma coisa física) multiplicado por 2 pode ter o mesmo valor do que
esse mesmo número multiplicado por 4.
45
A análise das atividades mostra que alunos resolveram todas as equações
lineares como se elas fossem de manipulação, ou seja, manipulando valores ou
incógnitas. Além disso, usaram técnicas desconectadas dos princípios algébricos,
que não condizem com o mundo simbólico. A maioria usou técnicas, como por
exemplo, “passar um termo para o outro membro da equação e mudar o sinal”
(LIMA; HEALY, 2010, p.10).
Assim, nas atividades realizadas com esses tipos de equações lineares, o
corte didático não é aparente, pois os alunos, mesmo ao resolverem as equações de
avaliação, procuraram usar técnicas de manipulação, não distinguindo um tipo de
equação da outra (avaliação e manipulação), contrariando, assim, a hipótese de
Filloy e Rojano (1989), quanto à existência do corte didático durante um momento de
transição entre os dois tipos de equações.
Considerando as equações quadráticas, as autoras diagnosticaram que, na
resolução da equação m²=9 (considerada como equação de avaliação), somente um
aluno obteve as duas raízes e o fez por meio da fórmula de Bhaskara. Os demais,
que procuraram respostas por meio de avaliação, só encontraram uma raiz m=3, a
raiz positiva, desconsiderando a raiz negativa. Na resolução da equação r²-r=2
(considerada de manipulação), alguns usaram resolução por avaliação, encontrando
o valor r=2 para a incógnita. Estes alunos perceberam que a incógnita é um número
que satisfaz a equação e, por meio dela, usaram uma estratégia, pensando em um
número que poderia substituir a incógnita.
Segundo Lima e Healy (2010), esse tipo de estratégia, resolver uma equação
considerada de manipulação como se fosse de avaliação, não foi utilizada pelos
alunos com as equações lineares. Além disso, a abordagem de avaliação, feita
neste caso, não é do mesmo tipo usado com as equações lineares de avaliação
(processo de desfazer as operações), uma vez que, para se achar o valor da
incógnita, os alunos deduziram, a partir da observação da equação, um valor que,
substituindo a incógnita geraria o resultado apresentado no segundo membro.
As pesquisadoras afirmam que os alunos que conseguem de alguma maneira
fazer uma avaliação das equações quadráticas parecem ter maior sucesso em sua
46
resolução. O fato da maioria só ter obtido a raiz positiva, talvez, seja em razão de
pensarem que não é necessário encontrar outras raízes, uma vez que aprenderam
em equações lineares a encontrar somente uma raiz. Os alunos que apresentaram
algum tipo de método de resolução diferente das usadas por avaliação ou da
fórmula de Bhaskara não foram bem-sucedidos. Em alguns casos, mostraram falta
de habilidade em lidar com equações quadráticas, tentando transformá-las em
equações lineares, excluindo o expoente da incógnita ou mesmo operando com
esses expoentes.
Assim, nas análises das resoluções das atividades com equações
quadráticas, as pesquisadoras observaram que os alunos apresentaram dificuldades
e falta de flexibilidade em utilizar os diferentes métodos algébricos de resolução de
equações quadráticas. Considerando essa análise, as pesquisadoras não afirmam
se o corte didático se manifesta ou não com equações quadráticas, mas que existe
uma dificuldade crescente em trabalhar com esse tipo de equações, principalmente
com equações quadráticas de manipulação.
Entendemos, dessa forma, que é importante que estudemos a aprendizagem
de equações quadráticas de avaliação e de manipulação e as dificuldades que
possam ser geradas pelos já-encontrados desenvolvidos no aprendizado de
equações lineares. Nesse sentido, o foco de nosso estudo será o uso de um
software de manipulação algébrica, o Aplusix. Por isso, fizemos também um
levantamento de resultados obtidos em pesquisas que também usaram tal software.
2.5 PESQUISAS COM O USO DO SOFTWARE APLUSIX
Para continuarmos nosso estudo, apresentaremos algumas pesquisas cujo
tema envolve o uso do software Aplusix ou pesquisas que fizeram uso desse
software para investigar o ensino e a aprendizagem de conteúdos da Álgebra; entre
elas, algumas foram desenvolvidas com alunos do ensino fundamental em diferentes
séries, explorando diversos conteúdos. Com o objetivo de aprofundar nossa
investigação sobre o software Aplusix destacaremos, principalmente, o que foi
47
diagnosticado com seu uso.
Em sua pesquisa, Burigato (2007) teve como objetivo investigar as
dificuldades que alunos apresentam para resolver atividades de fatoração. Para isso,
ela decidiu observar teoremas-em-ação (VERGNAUD, 1990, apud BURIGATO
2007).
Segundo Burigato (2007) teoremas-em-ação:
“São os conhecimentos que alunos consideram pertinentes, para tratar uma
situação proposta, contudo, em alguns casos eles podem não ser
adequados fazendo com que os alunos venham a cometer erros” (p.2)
Burigato (2007) aplicou a uma turma de 9º ano do ensino fundamental uma
seqüência didática envolvendo fatorações para serem resolvidas no papel&lápis e no
software Aplusix, com o objetivo de diagnosticar o uso de teoremas-em-ação. Em
suas conclusões, a pesquisadora constatou que muitos alunos têm dificuldades para
identificar, colocar em evidência, fatorar, dividir ou multiplicar os termos das
expressões por um fator comum. Essa dificuldade ela associa à formação do
conceito de fatoração, que também envolve outras dificuldades, como a fatoração de
um número inteiro e a utilização da propriedade distributiva da multiplicação. Na
fatoração de trinômios quadrados perfeitos e da diferença de quadrados. Foi
observado que as dificuldades abrangem desde a multiplicação de monômios até a
redução de termos semelhantes, assim como uso de falsos teoremas em ação, por
exemplo, x²+2ax+a²=(x+2a)². Além disso, outras dificuldades associadas à utilização
desses conceitos, como alunos que não conseguem extrair a raiz quadrada de
termos que são quadrados perfeitos.
Em relação ao software Aplusix, a pesquisadora destaca que “Apesar do
Aplusix nos possibilitar verificar várias resoluções dos alunos, temos apenas uma
visão parcial do raciocínio do aluno” (p.127) e, quando comparado o trabalho dos
alunos nas atividades desenvolvidas no papel&lápis e no software, foi observado
que os alunos mostravam-se mais motivados com o software devido às retroações
(feedbacks e a possibilidade de refazer) que ele oferecia.
48
Entre as funcionalidades do software, a pesquisadora destaca a ferramenta
videocassete, que foi utilizada para rever o desenvolvimento das atividades pelos
alunos e, por meio dela, foi possível ver que, apesar de alunos utilizarem os
teoremas-em-ação corretos nas respostas finais, eles tiveram muitas dificuldades e
usaram teoremas falsos no desenvolvimento dessas atividades. Com esta
ferramenta, percebe-se que os alunos, ao iniciarem as atividades, nem sempre
começavam com o teorema correto, mas como o feedback do software acusava
erros de equivalência entre as passagens, os alunos conseguiam chegar a
teoremas-em-ação corretos. No entanto, quando os alunos utilizavam o software em
um modo em que ele não fornecesse esses feedbacks, alguns alunos continuavam
utilizando teoremas-em-ação falsos, mostrando, assim, que essa dificuldade
persistia. Para a pesquisadora, essa dificuldade pode ter outra origem: além da
resistência, ela pode ter origem no fato dos alunos executarem tentativas sem muita
reflexão.
Burigato (2007) acredita que o software Aplusix, em um ambiente normal de
aprendizagem (em atividades cotidianas das aulas de Matemática), pode contribuir
para a construção do conhecimento, podendo integrar as atividades com o papel do
professor de mediar o desenvolvimento dessas atividades.
Gonçalves (2007) apresenta um estudo com oito alunos do 7º ano do ensino
fundamental utilizando o software Aplusix, para investigar como esses alunos
resolvem situações-problema envolvendo números inteiros e como eles fazem a
conversão do enunciado do problema no registro da língua natural para o registro
simbólico numérico (DUVAL, 2003, apud GONÇALVES, 2007). Gonçalves (2007)
observou que uma das maiores dificuldades apresentadas na resolução das
atividades estava nos cálculos das operações de adição e subtração envolvendo
números inteiros.
Diante do uso do software, o pesquisador ressalta como vantagem o interesse
dos alunos em utilizar Aplusix; eles se sentiram motivados a realizarem as atividades
e não apresentaram dificuldades no manuseio dos comandos do software. Entre as
funcionalidades do software, Gonçalves (2007) destaca a importância da
49
autocorreção (funcionalidade que permite rever e alterar de imediato ou
posteriormente todas as passagens das atividades desenvolvidas) nas resoluções
dos exercícios, a qual favoreceu maior independência do aluno em relação ao
professor. A ferramenta Videocassete também foi usada para analisar o raciocínio
dos alunos durante o desenvolvimento das atividades e a ferramenta AplusixEditor
proporcionou inserir as atividades no software.
Gonçalves (2007) destaca como desvantagem do software a falta de uma
ferramenta que permita construir desenhos e representações. Segundo a
pesquisadora, uma ferramenta desse tipo poderia ajudar o aluno a expor o seu
raciocínio. Também observou a falta de um ambiente em que os alunos pudessem
pesquisar, relacionar e comparar teorias junto com as propriedades dos conteúdos
que
estão
sendo
desenvolvidos.
Para
a
pesquisadora,
isso
ajudaria
o
desenvolvimento das atividades.
Em suas conclusões, Gonçalves (2007) ressalta que o software Aplusix
possui vantagens e também limitações e cabe ao professor o cuidado para observar
essas limitações ao utilizá-lo.
O estudo de Rodrigues (2008) investiga a aprendizagem de produtos notáveis
por alunos de 8º e 9º ano do ensino fundamental com o software Aplusix,
observando se o software pode contribuir para que alunos aprendam a fazer
conversões de registro de representações semióticas (DUVAL, 2003, apud
RODRIGUES, 2008).
Com base nas questões do SARESP 2005 e em livros didáticos analisados,
Rodrigues (2008) elaborou atividades com o objetivo de identificar se esses alunos
conseguiriam partir de uma representação de produtos notáveis e transformá-la em
outra representação. Para isso, a pesquisadora utilizou o software Aplusix como
ambiente para o desenvolvimento das atividades.
Nas análises do trabalho realizado por três alunos com as atividades,
Rodrigues (2008) observou que, nas transformações do registro de linguagem
natural para registro algébrico, dois alunos apresentaram uma evolução do
50
entendimento dos conceitos relacionados; nas habilidades de fazer transformações
do registro Figural para o registro numérico os três alunos apresentaram uma
evolução conceitual e não apresentaram dificuldades. Para a transformação do
registro algébrico para registro Figural as respostas dos alunos foram consideradas
como satisfatórias. No tratamento de registro algébrico em desenvolver os produtos
notáveis, a pesquisadora considerou que houve uma evolução significativa nos
resultados desses alunos em relação ao desenvolvimento das expressões que
envolvem conceitos de operações algébricas. No tratamento de registro algébrico
para fatorar as expressões, verificou-se que houve uma evolução conceitual desses
alunos, comparando os pré-testes com os testes finais.
Rodrigues (2008) afirma que essas melhoras ocorreram devido às retroações
do software Aplusix e os avanços foram possíveis em conjunto com as mediações
da pesquisadora. Ela também ressalta que o auxílio do software no desenvolvimento
do estudo favoreceu os resultados apresentados sobre a evolução dos alunos, pois
observou que os alunos se mostraram mais motivados em função do uso do
software.
Entre as funcionalidades do software, as atividades foram introduzidas no
Aplusix por meio da ferramenta Editor e suas resoluções foram gravadas com a
ferramenta Videocassete.
Rodrigues (2008) também destaca a necessidade de uma ferramenta para
construção de desenhos e que essa ferramenta poderia facilitar o aluno na
representação de determinadas atividades, juntamente com a inclusão de uma
ferramenta para pesquisa, para que os alunos possam relacionar e buscar
informações sobre os conteúdos estudados.
Em sua pesquisa, Trgalová (2009) aborda questões sobre o desenvolvimento
de conteúdos digitais para o ensino e para a aprendizagem de Matemática e o
impacto das representações de expressões algébricas na forma usual e na forma de
árvore, com o uso do software Aplusix.
Trgalová (2009) afirma que a representação do registro no formato de árvore
51
no software Aplusix foi inserida pela necessidade de ter vários registros diferentes à
disposição do usuário, para se representar o mesmo conceito matemático. Além
disso, para incluir esse tipo de registro no software, foi levado em consideração a
didática, opiniões de cientistas, de pesquisadores em educação matemática e
usuários (professores e alunos).
Quanto ao impacto das representações e do desenvolvimento de conteúdos
digitais, foi elaborado um cenário pedagógico com expressões algébricas. Tal
cenário envolveu três turmas de 9º e 10º grau de escolas da França (equivalentes ao
9º ano do ensino fundamental e 1º ano do ensino médio no Brasil). Segundo
Trgalová, nesta fase, esses alunos já estão familiarizados com expressões
algébricas, no entanto, pesquisas relatam as dificuldades desses alunos na
aprendizagem da Álgebra em manipular representações no registro natural, por
exemplo, fatorar ou substituir expressões equivalentes. Por essa razão, as
atividades desenvolvidas para esse cenário foram focadas nas dificuldades
relacionadas ao aspecto estrutural das expressões algébricas.
A aplicação das atividades teve o objetivo de ajudar os alunos a
compreenderem o aspecto estrutural das expressões, permitindo representá-las de
maneira usual e no formato de árvore como apresentado na Figura 7.
Figura 7 – Equação representada de maneira usual e na forma de árvore
fonte: Trgalová (2009)
52
“A expressão 2x ² +5 (x - 4), em representação usual na janela principal e a
segunda visão dessa expressão na forma de uma árvore” (TRGALOVÁ, 2009, p.11).
Das turmas em que a experiência foi aplicada, a primeira turma apresentou
melhoras, com a contribuição do registro de árvore, nas tarefas de conversão de
registros. No entanto, a terceira turma mostrou que a maioria dos alunos utilizou
estratégias erradas para converter os registros da forma usual para a representação
de árvore ou vice-versa.
Segundo Trgalová (2009), essas conclusões necessitam de uma análise mais
detalhada, pois, para esses alunos, não haviam informações se foi introduzido o
registro de árvore por seus professores. Para compreender esses resultados, outras
pesquisas estão sendo desenvolvidas com o software Aplusix e a representação de
árvore no projeto ReMath6.
A pesquisadora acredita que somente após a análise dessas pesquisas em
desenvolvimento do projeto ReMath será possível fornecer uma resposta sobre
essas conversões de registro.
No entanto, em Trgalová (2009), notou-se que os professores que
implementaram esse cenário puderam realizar adaptações do cenário inicial para o
contexto de suas aulas e de acordo com as limitações institucionais de suas escolas.
Para ela, isso poderia ser uma das razões que explicam os resultados inesperados
do experimento com a terceira turma, o professor ter se apropriado do cenário e o
fato da representação no formato de árvore não fazer parte dos currículos de
Matemática franceses. Com efeito, ficou claro que os alunos não tinham aprendido a
usar esse tipo de registro. Assim, a pesquisadora coloca que o contexto institucional
deve ser levado em conta na análise e interpretação dos resultados provenientes
dessas experimentações.
Até o momento, nossa pesquisa preocupou-se em apresentar os teóricos e os
principais estudos que ajudaram a fundamentar nosso trabalho, assim como as
6
Representação em Matemática com Media Digital (ReMath), http://remath.cti.gr/. Com parceria das
Universidade Joseph Fourier, na França, Universidade Consiglio Nazionale Delle Richerche, Itália,
Instituto de Educação de Londres, entre outras.
53
pesquisas relacionadas às equações e ao software Aplusix. A seguir apresentaremos
a metodologia selecionada para realizarmos essa pesquisa juntamente com as
ferramentas do software utilizadas para a elaboração do estudo.
54
CAPÍTULO 3:
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
3.1 METODOLOGIA
Escolhemos como metodologia para essa pesquisa o Design Experiments,
que veio ao encontro das nossas necessidades, ajudando-nos a responder a
questão de pesquisa sugerida neste trabalho. Os processos dessa metodologia são
iterativos, e envolvem diversas características e múltiplos elementos de diferentes
tipos e níveis (COBB et al. 2003), permitindo que o pesquisador reflita sobre suas
atividades e ações e, se necessário, reorganize-as, dentro do processo de
desenvolvimento da pesquisa.
3.1.1 Design Experiments
Segundo Steffe e Thompson (2000), essa metodologia começou a ser usada
na Educação Matemática para preencher lacunas nas formas de análise de práticas
de pesquisa e práticas de ensino e tentar aproximar as preocupações de ambas.
Para Cobb et al (2003), a metodologia de Design Experiments tem seus
propósitos voltados à construção e ao desenvolvimento de experimentos que
formam uma “engenharia”, para promover a aprendizagem de um determinado
conteúdo e, ao mesmo tempo, permitir o desenvolvimento de interpretações teóricas
sobre como se dá a aprendizagem deste domínio. Para os autores, tal metodologia
compõe-se de testes com sujeitos, revisões e interações que geram novos testes,
baseados no anterior e resultante do experimento.
Os autores esclarecem que cada ciclo de Design Experiments envolve os
pesquisadores no desenvolvimento, na realização e na análise de episódios de
55
ensino. A análise dos dados obtidos é a base para um próximo ciclo.
No planejamento de experimentos, a idéia central desta metodologia não é
apenas a de confirmação de uma conjectura, mas sim a de testá-la e desenvolver
novas conjecturas, sujeitando-as novamente a testes, caracterizando, assim, um
ciclo de testes com o fim de melhorar a conjectura inicial. Dessa forma, o
pesquisador está interessado no efeito de intervenção, criando um processo iterativo
de re-experimentação.
Na condução desta iteratividade com os estudantes durante a aplicação do
experimento, o professor deve saber como agir e como questionar quando depararse com uma situação inesperada, sendo que a interação com esses estudantes
pode interferir na elaboração do próximo passo da pesquisa.
Karrer (2006) coloca que:
Deste modo, o objetivo principal do professor pesquisador neste tipo de
metodologia é estabelecer modelos vivos da matemática dos estudantes, ou
seja, criar meios de interação que possam encorajar os estudantes a
modificar seus pensamentos atuais. Para isso, os alunos devem ser
entendidos como seres humanos capazes de oferecer contribuições
independentes. (KARRER, 2006, p.202)
Nesta metodologia, professores, estudantes e pesquisadores são todos vistos
como colaboradores do processo. As preocupações são com o sujeito durante a
aplicação e não só com as atividades. Cobb et al. (2003) identificaram cinco
características norteadoras da metodologia Design Experiments.
A primeira diz respeito tanto à aprendizagem de cada aluno, de uma sala de
aula, de um professor, ou de uma escola ou organização, quanto aos significados
que são entendidos para dar suporte a essa aprendizagem. Sua finalidade é
desenvolver grupos de teorias do processo de aprendizagem. A segunda
característica é que Design Experiments podem ser vistos como “ensaios” para
inovação. É uma metodologia altamente intervencionista, que tem como objetivo
investigar as possibilidades de melhorias educacionais e conduzir a novas formas de
aprendizagem, a fim de estudá-las.
56
Explicando a terceira característica, Cobb et al. (2003) descrevem como
Design Experiments visam criar condições para o desenvolvimento de teorias que se
confrontam com outras. Assim, eles têm duas faces: a prospectiva e a reflexiva. Na
primeira delas, designs são implementados usando como base trajetórias
elaboradas a partir de hipóteses sobre o processo de aprendizagem. A ideia é
possibilitar caminhos para apropriação de certos conceitos matemáticos. O segundo
aspecto refere-se ao refinamento das conjecturas iniciais a partir das realizações dos
experimentos em sala de aula. O design ou projeto inicial é uma conjectura sobre os
meios para apoiar uma forma particular de aprendizagem que, por sua vez, será
testada.
A quarta característica refere-se à natureza iterativa de Design Experiments:
conforme as conjecturas são geradas e, talvez, refutadas, novas conjecturas são
desenvolvidas e submetidas a teste. Essa fase resulta da terceira característica com
os aspectos prospectivos e reflexivos juntos e é relativa à forma cíclica de como o
design é conduzido. Portanto, essa característica foca-se nos ciclos de revisão e
intervenção necessários para o desenvolvimento da pesquisa.
Finalmente, a quinta característica de Design Experiments é sua preocupação
em desenvolver avanços teóricos; porém, dada sua conexão com a prática, esses
avanços são modestos em termos de sua abrangência, ligados diretamente a um
objeto particular de aprendizagem.
Com esta metodologia em mente, este estudo prevê o design de uma
sequência de atividades de ensino que visa contribuir para a aprendizagem
relacionada a equações quadráticas e sua resolução. Em particular, as atividades,
inicialmente, serão elaboradas a partir da literatura que trata das dificuldades dos
alunos, tanto em relação à resolução de equações lineares como quadráticas. A
conjectura que guiará o primeiro ciclo de design é que, para desenvolver estratégias
flexíveis para resolução de equações, é importante lidar com ambos os tipos de
equações de avaliação e de manipulação. Os resultados das pesquisas anteriores
sugerem que a passagem de uma para a outra não é uma transição feita
espontaneamente para a maioria dos alunos. Assim, pretendemos testar se as
ferramentas do software Aplusix podem ter um papel facilitador nesta passagem.
57
3.1.2 Local
Para realizar a coleta de dados, escolhemos uma escola localizada no
município de Francisco Morato, no Estado de São Paulo. Esta escola funciona em
três períodos, manhã, tarde e noite. No período da manhã, atende Ensino
Fundamental II (6º ao 9º ano); no período da tarde, atende Ensino Fundamental II e
Ensino Médio; e no período da noite, atende Ensino Médio e educação de jovens e
adultos (EJA – Fundamental II). O motivo da escolha dessa escola é porque o
professor-pesquisador
trabalha
nessa
unidade
e
leciona
para
as
turmas
consideradas como sujeitos da pesquisa.
Dentro do município, esta escola está localizada em um bairro carente de
estrutura de lazer e educação. Os alunos que a frequentam são de classe baixa
como toda a comunidade que a cerca e, segundo IDESP7 (Índice de
Desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo), o desempenho em
Matemática dos estudantes dessa escola foi considerado abaixo da média das
escolas do Estado de São Paulo.
3.1.3 Sujeitos de nossa pesquisa
Em nosso estudo, decidimos focar na aprendizagem de equações
quadráticas. Por este motivo, escolhemos para participarem como sujeitos desta
pesquisa alunos do 9º ano do Ensino Fundamental II (com idade entre 13 e 15 anos)
da escola pública descrita no item anterior, enfatizando que essa participação foi
voluntária. O consentimento deles foi obtido por meio do Termo de Consentimento
Livre e Esclarecido, reproduzido no Anexo D. Convidamos, em particular, alunos com
conhecimento sobre resolução de equações lineares. Esta escolha se deu para que
tenhamos, em nossa pesquisa, condições similares às de Filloy e Rojano (1989)
7
O IDESP é um indicador que avalia o desempenho dos alunos nas séries iniciais (1ª a 4ª séries) e
finais (5ª a 8ª séries) do Ensino Fundamental e do Ensino Médio. Para essa avaliação, ele considera
os exames do SARESP e o fluxo escolar dos alunos. Além disso, o IDESP estipula metas para serem
cumpridas nos anos seguintes, e também serve como sinalizador do desenvolvimento das unidades
de ensinos. http://www.educacao.sp.gov.br/
58
quando perceberam o corte didático em equações lineares, isto é, escolhemos os
alunos que sabem resolver equações lineares para que dificuldades em resolvê-las
não interfiram no trabalho de encontrarmos as dificuldades em resolver equações
quadráticas. Para essa seleção, os alunos responderam um questionário com
equações lineares (Anexo A, adaptado de KOCH, 2011).
Os alunos selecionados trabalharam em trio, porque acreditamos que, desta
maneira, possa existir, entre os alunos, um diálogo que favoreça o desenvolvimento
das atividades. Foi escolhido um grupo de 3 alunas que formaram um trio para
desenvolverem as atividades propostas no software Aplusix.
3.2 O SOFTWARE APLUSIX
Para desenvolvermos as atividades, procuramos escolher um software que
apresentasse uma aparência atraente, que fosse de fácil acesso para os alunos e
cuja interface não se tornasse um impedimento para a resolução das atividades com
equações.
Nessa procura de uma ferramenta tecnológica, decidimos pelo uso do
Software Aplusix que, a nosso ver, é de fácil utilização e seu ambiente de trabalho
não apresenta dificuldades que poderiam tirar o foco do aluno em relação ao
desenvolvimento das atividades. Além disso, o aluno pode resolver as atividades de
maneira similar à que ele resolve com papel&lápis.
Para utilizar o Software Aplusix, o aluno não precisa aprender todas as suas
funções para que consiga resolver as atividades de equações. São necessárias
somente poucas instruções. Por exemplo, a Figura 8 mostra uma equação linear
resolvida, os comandos necessários para se resolver foram basicamente criar novas
passagens e utilizar o teclado virtual para digitar os valores e para finalizar o
exercício clicar no botão “end of the exercise” na barra de ferramenta.
59
Figura 8 – Equação linear resolvida no software Aplusix.
Apesar de termos escolhido o software Aplusix por causa da sua interface,
outros fatores ajudaram nessa decisão, tal como, o software ter sido usado em
outras pesquisas que têm evidenciado as contribuições das novas tecnologias com
os processos de ensino e de aprendizagem, como apresentado no Capítulo 2.
O Aplusix8 foi desenvolvido por pesquisadores da equipe DidaTIC, do
Laboratório Leibniz, em Grenoble, França em 1988. Atualmente, o Aplusix é
distribuído pelo La société ARISTOD9 associada à Universidade Joseph Fourier.
Figura 9 - Tela principal do Aplusix.
8
9
http://aplusix.imag.fr
http://www.aristod.fr
60
O software Aplusix (Figura 9) foi concebido para ajudar os alunos a
aprenderem Álgebra. Ele possui um banco de dados com várias atividades: cálculo
numérico, expressões, equações lineares e quadráticas e sistemas de equações;
além de trazer algumas ferramentas para que o professor possa administrar o uso
do software e utilizá-lo durante suas aulas. Os alunos podem acessar esse banco de
dados e também atividades preparadas pelo professor. Essas atividades podem ser
salvas e revistas, com recursos de fácil familiarização para os alunos.
Neste estudo, optamos por apresentar somente os recursos que foram
utilizados em nossa pesquisa, pois o objetivo dessa descrição é uma apresentação
do software Aplusix, para compreensão do uso que dele foi feito. Mais detalhes dos
recursos do software pode ser conseguido no site do Aplusix.
O Aplusix apresenta
dois
modos
principais nos
quais podem
ser
desenvolvidas as atividades: o modo treinamento e o modo teste. Resolvendo as
atividades no modo treinamento, o software fornece dois tipos de feedback; ele
verifica a exatidão de cada passagem das atividades por meio das setas de
equivalência, e, no final das atividades, há possibilidade de verificar a resposta do
exercício. A Figura 10 mostra uma equação linear sendo desenvolvida no modo
treinamento. Resolvendo no modo teste, o professor pode estipular um tempo para
que seja realizada uma sequência de atividades e, neste modo, o Aplusix não
fornece nenhum feedback para o aluno. Nesta pesquisa, usamos somente o Aplusix
no modo treinamento.
Figura 10 – Atividades em modo treinamento.
61
Por meio de uma ferramenta de administração chamada de editor de
atividades, o software permite que o professor insira novas atividades ou uma
sequência de atividades que podem ser definidas para serem executadas no modo
treinamento ou no modo teste, como apresentado na Figura 10.
Figura 11 - Editor de atividades do Aplusix.
Com o Editor de atividade do Aplusix, (Figura 11) conseguimos inserir a
sequência de equações utilizadas em nossa pesquisa, organizando-as em Blocos.
O software permite dois tipos de entrada de informações: o teclado virtual e o
teclado do computador, sem que seja necessário alterar qualquer conFiguração e
pode-se começar com um e terminar com o outro. O teclado virtual aparece na tela
principal do Aplusix. Os alunos que participaram de nossa pesquisa preferiram
resolver as equações utilizando o teclado virtual ao invés de digitar diretamente no
teclado do computador.
Alguns recursos do teclado virtual (Figura 12) foram usados pela sua
facilidade: por exemplo, os sinais de frações, os expoentes, a raiz quadrada e o sinal
de “or” (que significa “ou”), que é usado para definir as raízes em equações
quadráticas. Por exemplo, a equação x(x+3)=0, que tem como respostas “x=-3 or
x=0”.
62
Figura 12 - Teclado Virtual.
Entre as funcionalidades do software, destacamos a interação dos alunos com
o feedback e a capacidade de informar aos alunos se os cálculos executados sobre
um exercício estão corretos ou não.
Entre as passagens de equivalência correta ou incorreta, o Aplusix pode
apresentar três situações indicadas por setas. A primeira é quando o aluno executa
uma passagem que não contém erros e o software mostra uma seta preta indicando
a equivalência entre a passagem que está acima e a nova passagem abaixo (Figura
13a). Uma seta vermelha com um X sobre ela indica que a nova passagem
executada pelo aluno não apresenta equivalência com a que está acima, ou seja,
contém erros nessa nova passagem em relação à anterior (Figura 13b). Uma
terceira seta de equivalência azul com um X sobre ela pode aparecer durante a
digitação de uma nova passagem, e indica que, até aquele momento, o aluno está
procedendo de maneira correta ou quando o software não reconhece algum símbolo
digitado (Figura 13c). Caso ele acerte a passagem, o Aplusix coloca a seta de
equivalência, mas caso ele erre o resultado da passagem, o Aplusix coloca a seta
vermelha com um X sobre ela, indicando que não há equivalência. A Figura 13
representa os três tipos de setas de equivalência:
A seta com duas pontas
apresenta equivalência entre
as passagens
Figura 13a
A seta com duas pontas
A seta azul com um X
vermelha com um X indica um
indicando que há possibilidade
erro de equivalência entre as
de equivalência entre as
passagens. Figura 13b
passagens. Figura 13c
Figura 13 - Setas de equivalência do Aplusix.
63
Destacamos essa funcionalidade porque, em nossas atividades, muitos
alunos se basearam nessas setas para desenvolver seu trabalho. Observamos que,
em cada passagem, as setas estimulavam os alunos a continuarem ou a se
questionarem sobre suas respostas.
Outra funcionalidade do software, que acreditamos ser importante para o
professor, é a possibilidade de gravar as ações dos alunos durante o
desenvolvimento dos exercícios. Esse recurso, chamado de Videocassete, permite
que, depois de terminada a atividade, o professor possa acessar o registro da
atividade e rever as ações que o aluno efetuou. O videocassete permite que sejam
revistas todas as passagens feitas passo a passo, inclusive as passagens que foram
apagadas. Com esse recurso, há possibilidade de rever no tempo proporcional ao
desenvolvimento da atividade ou de maneira contínua, todos os passos efetuados. A
Figura 14 mostra a tela de controle do videocassete.
Figura 14 – Controle do videocassete.
Por exemplo10, revendo as atividades dos alunos em nossa pesquisa
observamos que o Grupo 2 não resolveu o exercício (x - 3)² = 81 , como apresentado
na Figura 15.
Figura 15 – Revendo atividade.
10
Os dados detalhados serão apresentados no capítulo coleta de dados.
64
Porém, com o recurso do videocassete, observamos que o grupo tentou
resolver como apresentado na Figura 16.
Figura 16 – Desenvolvendo atividade.
O feedback do software apresentou erro, eles, então, apagaram a passagem
e tentaram novamente, como apresentado na Figura 17.
Figura 17 - Desenvolvendo atividade 1.
Novamente, o feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência e eles
apagaram.
Figura 18 - Desenvolvendo atividade 2.
Em seguida os alunos tentaram novamente com o sinal negativo.
65
e
Figura 19 - Desenvolvendo atividade 3.
Como o feedback do software Aplusix continuou acusando erro entre as
passagens, eles desistiram, e, talvez por não conseguirem sucesso na resolução do
exercício, eles preferiram apagar todas as respostas e deixar como se não tivessem
resolvido (Figura 15). Assim, o recurso videocassete torna-se importante tanto para o
professor como para o pesquisador, que podem saber que o aluno não deixou
simplesmente em branco, mas fez um esforço de resolução e não conseguiu
sucesso.
3.2.1 A representação da equação em formato de árvore
Um novo recurso inserido no software permite que uma expressão escrita
algebricamente seja representada em formato de uma árvore ou uma mistura entre a
escrita algébrica e a representação em árvore. Com um clique no botão direito do
mouse sobre a equação, podemos escolher qual representação desejamos
visualizar. Em qualquer representação, é possível resolver os exercícios, incluindo
alternar entre as visualizações.
A Figura 20 mostra uma equação representada no formato árvore, e as
opções que podemos escolher quando clicado sobre a equação com o botão direito
do mouse.
66
Figura 20 - Representação em árvore da equação x²=49.
Segundo Trgalová, a representação em árvore foi desenvolvida visando os
seguintes pontos:
Do ponto de vista epistemológico, as árvores são representações naturais
de expressões algébricas.
De um ponto de vista didático, a disponibilidade de um novo registro de
semiótica a representação permitiria conceber atividades pondo em jogo
uma conversão entre os registros (Duval, 1995), o que poderia favorecer a
aprendizagem de expressões algébricas, em particular o seu aspecto
estrutural
De um ponto de vista da ciência da computação, as árvores são objetos
fundamentais que servem para definir a maioria das estruturas de dados.
Por uma questão de fato, os objetos internos utilizados no Aplusix para
representar expressões algébricas e suas propriedades visuais são árvores
(TRGALOVÁ, 2009, p. 7)
Em nossa atividade com equações quadráticas, decidimos inserir uma
equação neste formato para observar se os alunos conseguiriam articular a
simbologia e resolver esta equação.
67
3.3 SESSÕES DE PESQUISA
As sessões da pesquisa foram organizadas da seguinte forma:
(1) Atividades Preliminares: Inicialmente, aplicamos uma atividade (Anexo A)
para duas turmas de 9º ano (total de 80 alunos), de maneira que os alunos
respondessem as questões sem o uso do computador (no papel). Com essa
atividade, procuramos selecionar os alunos que apresentaram maior número de
respostas corretas ao resolver equações lineares e também os alunos que
justificaram as passagens ao resolverem essas equações. Esta atividade serviu para
que pudéssemos selecionar os alunos que formariam o trio para participar da
pesquisa. A partir delas, formamos o trio que participou da familiarização e da
resolução das atividades no software Aplusix. Como essa atividade teve um caráter
de seleção, optamos por não apresentar as análises feitas.
(2) Sessão 1: Familiarização: Nesta primeira sessão, os alunos selecionados
a partir da atividade preliminar foram apresentados ao software Aplusix. O professor
mostrou como utilizar alguns dos recursos para resolver as atividades (Atividades
Bloco 1). Para esse primeiro contato com o software, foi elaborada uma atividade de
familiarização com os objetivos de explorar o software Aplusix e de observar se os
conhecimentos utilizados pelos alunos para representar de diferentes maneiras o
mesmo número seria reutilizado para fatorar equações quadráticas, o que poderia
facilitar a resolução delas.
Como essa atividade teve um caráter de familiarização e não envolveram
trabalhos com equação, optamos por não apresentar as interações dos alunos nas
análises.
68
Bloco 1 - Familiarização
Escreva o número representado de diferentes maneiras
a) 25
b) (3*3)
c) (-7) * (-7)
d) 49
e) 8 * (4+4)
Resolva a equação justificando cada passagem
f) 5 = 10 + 4w
Quadro 1 - Familiarização
(3) Sessão 2: O trio de alunos resolveram no Aplusix, no modo aprendizagem,
uma sequência de atividades (Atividades Bloco 2 - adaptada de KOCH, 2011),
gravadas por meio do recurso vídeo cassete do software, observadas e comentadas
por meio do recurso comentário do software. Estas atividades privilegiam equações
lineares
Bloco 2
Resolva as equações justificando cada passagem.
a) 3x + 2 = 8
b) 3x + 8 = 7x
c) 4k – 2 = 3k + 6
d) 2x + 5 = 6x – 7
e) 6x = 5x
f) 2m=0
g) x² = 49
Quadro 2 – Bloco 2
(4) Sessão 3: O trio de alunos resolveu no Aplusix uma sequência de
atividades centrando-se nas equações quadráticas (Atividades Bloco 3 - adaptada
de KOCH, 2011).
69
Bloco 3
Resolva as equações justificando cada passagem.
a) 27 = 3x²
b) 2y² - 242 = 0
c) (x – 4)² -144 =0
d) (x - 3)² = 0
e) x (x + 3) = 0
f) 8x² + 6x = 0
g) x² - 6x + 9 = 0
Quadro 3 – Bloco 3
(5) Sessão 4: Foram feitos ajustes nas Atividades do Bloco 3, baseados nas
resoluções dos alunos do Trio. Os alunos do Trio resolveram as atividades
modificadas e novamente suas interações foram gravadas usando o recurso
vídeocassete.
3.4 INSTRUMENTOS DA COLETA DE DADOS
Para realizarmos a aplicação das atividades com os alunos, utilizamos a
ferramenta administrativa videocassete do software Aplusix, que nos garantiu a
possibilidade de rever todo o desenvolvimento das atividades, inclusive as
passagens incorretas que foram desenvolvidas e, posteriormente, modificadas ou
apagadas para se chegar a um resultado. Os diálogos, expressões corporais e
gestos dos alunos e do professor foram obtidos por meio de gravações em vídeo,
realizadas por uma câmera posicionada para os alunos durante o desenvolvimento
das atividades.
3.5 PAPEL DO PROFESSOR-PESQUISADOR
A primeira função do professor-pesquisador foi elaborar as atividades no
70
software Aplusix.
Na primeira sessão, o professor-pesquisador apresentou o software aos
alunos, fez uma pequena introdução dos comandos do software, observou se os
alunos conseguiriam dar continuidade às atividades e saiu da sala.
Com essa atitude de deixar os alunos sozinhos, resolvendo as atividades,
esperava-se que em momentos de dúvida eles refletissem e discutissem entre si as
alternativas, à procura de solução.
Durante
o
desenvolvimento
das
atividades,
em
intervalos
de
aproximadamente 15 minutos, o professor-pesquisador retornava à sala para ver se
os alunos não haviam chegado a um impasse ou se eles tinham dúvidas que
impedissem o desenvolvimento das atividades. Nessas situações, o papel do
professor-pesquisador foi de questionar as atitudes dos alunos, buscando que
percebessem alternativas para continuar o desenvolvimento das atividades. Se
necessário, o professor-pesquisador poderia dar sugestões como alternativas.
Caso não houvesse tal momento de dúvida, o professor-pesquisador somente
observaria e sairia da sala, sem interferir no trabalho dos alunos.
71
CAPÍTULO 4:
ANÁLISE DE DADOS
Neste capítulo, descrevemos o desenvolvimento das atividades realizadas no
software Aplusix, assim como as narrativas e alguns diálogos relevantes no decorrer
das atividades. E, a partir desses dados, apresentamos algumas reflexões baseadas
na fundamentação teórica. Como descrito no Capítulo 3, não apresentaremos os
dados e a análise da Atividade Preliminar e da Sessão 1, que não envolveram
equações. Assim, passaremos à apresentação e análise dos dados da Sessão 2.
4.1 SESSÃO 2
Nesta sessão, os alunos trabalharam com uma sequência de atividades
envolvendo principalmente equações lineares. Descrevemos o desenvolvimento da
resolução do trio.
4.1.1 Trabalho com equações lineares
Para compor o trio, Daniele, Débora e Lívia foram selecionadas.
O professor preparou um computador em uma sala de aula vazia, para que as
alunas pudessem usar e iniciou as atividades Bloco 2 no Aplusix. Avisou as alunas
que estaria na sala dos professores e saiu da sala, deixando somente as três alunas.
Como elas já haviam feito a familiarização (Sessão 1), já sabiam como usar o
computador e o software Aplusix. Assim, a decisão do professor em deixá-las
sozinhas foi para não intervir no desenvolvimento das atividades. Como era somente
um computador para as três alunas, as mesmas sentaram da seguinte maneira:
72
Débora no meio, Lívia à sua direita e Daniele à sua esquerda.
Débora encarregou-se de digitar os comandos (cálculos) no software Aplusix
e as outras duas alunas foram falando o que era para ser digitado.
•
Elas começaram a resolver a equação 3x+8=7x
As três discutiram como iniciar a resolução da equação.
Débora: 3x...
Daniele: Fica 3x+...
Débora: Calma, calma, calma...
Débora: 3x = ...
Lívia: Não, 3x-7x, tem o 7x...
Débora: Desculpaaa...
Daniele: A Lívia sabe muito mais equações, sabe mais que nós duas juntas.
Daniele: Não, Débora! Tira esse sinal de igual daí!
Débora: Então vai colocar o quê? Criatura!
Daniele: 3x-7x
Débora; -7x ou + 7x ?
Daniele: Menos, Débora, igual a -8
Lívia sugeriu iniciar com a passagem 3x-7x. As outras alunas aceitaram, mas
Débora, ao digitar, teve dúvidas se deveria digitar -7x ou 7x. Daniele e Lívia
sugeriram que ela digitasse -7x, mas nenhuma das duas explicou porquê. Na
sequência, pediram para completar com o sinal de igual e o número -8, novamente
sem justificar a mudança de operação, deixando a equação neste formato: 3x-7x=-8.
O feedback fornecido pelo software, com a seta de equivalência, indicou que essa
transformação foi válida.
Abaixo, a Figura 21 apresenta a passagem realizada pelas alunas.
73
Figura 21 – Passagem válida, representando equivalência.
Continuando a resolução da equação, as alunas optaram por calcular o
primeiro membro da equação, 3x-7x.
Daniele: Agora 3x -7x vai dar 4x
Daniele: Se não aparecer o negócio vermelho já ta perfeito.
Daniele pediu para Débora digitar o resultado de 3x-7x e obteve como
resposta 4x, desconsiderando o sinal negativo. Ao digitar desse jeito, o Aplusix
acusou um erro, com a seta de equivalência vermelha com um x. A Figura 22 mostra
o erro de equivalência entre a segunda e terceira passagem realizada pelas alunas.
Figura 22 – Passagem representando erro de equivalência para 3x+8=7x.
Como as alunas já haviam feito a familiarização com o software, elas
conheciam as setas de equivalência as quais Daniele se refere no diálogo acima.
Suas expectativas estavam focadas nessas setas e quando o Aplusix acusava erro
entre as passagens, as alunas procuravam alternativas para resolver o problema. A
presença da seta vermelha provocou que Daniele pedisse à Débora que
reescrevesse essa passagem colocando 4x e tirando o sinal de negativo do número
8, assim: 4x=8. O feedback do Aplusix indicou que está passagem foi válida.
Daniele: Apaga o sinal do 8 [sinal negativo]
74
Observamos que em nenhum momento as alunas deram vestígios de
entender o motivo pelo qual o Aplusix validou tal passagem, porque a mudança do
sinal de –8 para +8 tornou a sentença verdadeira. Como mostra a Figura 23, o
feedback do Aplusix indicou a passagem como válida para a alteração de sinal do
número 8.
Figura 23 - Passagem válida 3x+8=7x.
A partir desse momento, a aluna Daniele assume os procedimentos do que
deve ser feito, dizendo para Débora o que deveria escrever.
Daniele: Fica x =8/4, x =2, é que 8 dividido por 4 é igual a 2.
Após isso, as alunas criaram uma nova passagem e fizeram x=8/4, e na
próxima passagem colocaram como resposta x=2. Dessa forma, as alunas
conseguiram a resposta da equação.
Nesta equação, quando uma alteração não resultou em uma passagem
correta, as alunas, sem reflexão aparente, mudam os sinais. Aparentemente elas
sabem que a mudança de sinais acarreta uma resposta correta, mas em um sentido
de “mágica”, não de lógica.
•
A próxima equação que elas resolveram foi 2x +5 =6x -7.
Débora continuou digitando e Daniele foi ditando os passos de cada
passagem:
75
Daniele: 2x -6x = -7 -5
Daniele: E aqui fica 8x = ai soma -12.
Nesse ponto o Aplusix acusou um erro de equivalência entre as passagens,
como mostra a Figura 24.
Figura 24 – Erro de equivalência para 2x +5 =6x -7
As alunas ficaram com dúvida se o número 12 era positivo ou negativo.
Depois de algumas tentativas alterando o sinal do número 12 entre positivo e
negativo, elas perceberam que o erro estava no primeiro membro, na soma de 2x
com –6x. Elas, então, apagaram o valor de 8x e resolveram 2x – 6x, obtendo não o
valor correto, -4x, mas o valor de 4x, ficando 4x=-12. O Aplusix continuou mostrando
a seta vermelha de equivalência com um x, indicando algum erro, como mostra a
Figura 25.
Figura 25- Equivalência para 2x +5 =6x -7 igual 4x=-12
Observando a Figura 24, percebemos que, num primeiro momento, as alunas
ignoraram a existência de todos os sinais e utilizaram um agrupamento de termos
semelhantes com o princípio aditivo e, posteriormente, acrescentaram os sinais.
76
Mantendo o 8x (positivo) e -12. Talvez elas tenham acrescentado o sinal de negativo
no número 12 porque esse sinal aparece nos dois números, -7 e -5.
Ao perceberem o erro de cálculo de 2x-6x, que consideraram como igual a 8x,
corrigiram (Figura 25), mas o cálculo ainda estava incorreto, pois não consideraram
o sinal. A partir desse erro, percebemos uma confusão de conceitos em relação às
propriedades de números inteiros. Observamos isso por meio da fala da aluna Lívia,
que perguntou para as outras alunas se “negativo com negativo não ficaria positivo”.
A aluna Daniele respondeu que isso só ocorre na multiplicação. Mas mesmo assim
aceitam a sugestão e colocam o número 12 como positivo: “4x =12”. Neste ponto, o
feedback do Aplusix indicou que está passagem foi válida e apresentou a seta de
equivalência entre as passagens.
Destacamos que, embora as alunas tenham dúvidas nos seus cálculos com
números inteiros, o erro feito por elas no cálculo do segundo membro da equação
compensou o erro efetuado no primeiro membro (nessas passagens, o software não
colaborou para que elas percebessem os erros). Assim, aparentemente, os erros
passaram despercebidos. Desta forma, sem darem vestígios de entenderem o
ocorrido entre as passagens que envolveram essas trocas de sinais, as alunas
continuam com a resolução dessa equação e a aluna Daniele ditou os próximos
passos:
Daniele: X=12/4, que dividido é igual a 3.
Daniele: X=3 aí acabou.
A Figura 26 mostra o registro da equação resolvida.
77
Figura 26 - Equação resolvida 2x +5 =6x -7
Resolvidos (graças à sorte) os problemas de sinais, as últimas duas
passagens foram efetuadas sem dificuldades, com a aluna Lívia fazendo o
comentário “Agora tá fácil”.
•
A próxima equação resolvida por elas foi 4k-2=3k+6.
Nesta equação, 4k-2=3k+6, as transformações feitas pelas alunas não
resultaram em valores negativos e, talvez por esta razão, a resolução foi construída
com mais facilidade (Figura 27). Vale a pena destacar dois comentários feitos pelas
alunas. Primeiro, o comentário de Débora sobre o uso da letra K ao invés de x como
incógnita. As outras duas alunas dizem instantaneamente para Débora - “finge que o
k é o x”. Débora aceita e, ao iniciar a resolução da equação, continua chamando a
incógnita de x.
O segundo comentário é a discussão que seguiu a avaliação da expressão
4k – 3k. Nesta passagem, Débora encontra como resultado 1k. Daniele fala para ela
colocar somente k e obter a resposta de k =8. Mas Débora ainda questiona sobre o
número 1 e quer somar com o número 8. As outras alunas dizem para ela que
acabou e afirmam “tem conta que é assim”. A aluna aceita (mas com dúvidas) e
78
apaga o novo passo que tinha criado para continuar, finalizando a equação.
A Figura 27 mostra duas passagens k=8 pois, na segunda, a aluna Débora
pretendia somar o número 8 com o número 1 que ela encontrou no início da
equação, resolvendo 4k-3k. Devido ao comentário das outras alunas, Débora
removeu a última passagem.
Figura 27 - Duas passagens k=8.
Observamos que, com a colaboração do software (feedback apresentados),
até esse ponto, as alunas tiveram sucesso e conseguiram resolver as equações.
Observando suas estratégias, vemos que elas nem sempre entendem o que estão
fazendo. E comparando esses procedimentos com os resultados encontrados em
outras pesquisas, acreditamos que elas estão aplicando regras que envolvem
mudança de símbolos como objetos corporificados, adicionado de um pouco de
mágica e que, em certos momentos, essa mágica é validada pelo software Aplusix.
Nesse tipo de estratégia, os princípios matemáticos ficaram ocultos. Na pesquisa de
Lima (2007) esse tipo de estratégia é chamada de corporificação procedimental, em
que os alunos, ao invés de buscarem significados no mundo simbólico, associaram
aos símbolos um movimento pertencente ao Mundo Corporificado.
O papel do software até o momento foi de validar essas corporificações. De
certa maneira o software validou as estratégias utilizadas pelas alunas. Por um lado,
isso possibilitou que elas tivessem sucesso ao resolver as equações; por outro lado,
impediu que elas tivessem momentos de reflexão sobre o que poderiam fazer ou
79
não para se obter o sucesso como, por exemplo, refletirem sobre os princípios
algébricos relacionados a equações.
A próxima equação, 6x=5x, dificilmente pode ser resolvida somente com o uso
de características do mundo corporificado, pois envolve o zero, que pode ser uma
possível dificuldade para se resolver essa equação, como apontado em Lima (2007)
e Freitas (2002).
•
A próxima equação foi 6x =5x
As alunas começaram eliminando o sinal de igualdade da equação, fazendo
6x + 5x. Neste ponto, O feedback do Aplusix indicou que está passagem não
apresentava equivalência e as alunas não sabiam como proceder para resolver esse
erro. A Figura 28 mostra a passagem que as alunas fizeram.
Figura 28- Erro de equivalência para 6x =5x .
As alunas não conseguiram perceber que eliminaram o sinal de igualdade dos
membros da equação. A discussão entre elas girava em torno da seta de
equivalência que indicava o erro. Talvez a seta tenha tirado a atenção da resolução
da equação, pois elas procuraram de várias maneiras de corrigir o erro.
Daniele: Vai dar errado [Referindo-se à seta de equivalência do Aplusix]
Débora: 6x+5x
Daniele: Se não for assim, não tem outro jeito
Débora: A mais fácil e a gente vai quebrar a cabeça
Débora: Vamos fazer assim, x = 5/6 [O feedback do Aplusix apresentou erro,
elas apagaram e tentaram somar 5+6]
Daniele: Coloca 11 (x =11)
80
Durante esse diálogo, elas digitavam o que sugeriam para ver se o software
acusava como correta alguma dessas sugestões. E, apesar de, inicialmente, elas
terem apagado o sinal de igual da equação, transformando a equação em uma
expressão algébrica, em alguns momentos, ao tentarem resolver, elas retomaram o
sinal de igualdade; mas, como em todas as passagens o feedback do Aplusix
apresentou erro, talvez elas não tenham percebido essa ligação.
Durante muitas tentativas feitas pelas alunas, o feedback do software não
indicou equivalência entre as passagens e, durante o diálogo, elas repetiam várias
vezes a frase – “A mais fácil e a gente tá quebrando a cabeça”.
Observamos, pelos diálogos que para essas alunas, pelo fato da equação ter
somente dois termos, seria mais fácil resolve-la do que outra equação com mais
termos, como, por exemplo: 4k-2=3k+6.
A Figura 29 mostra algumas das tentativas das alunas em descobrir o valor da
incógnita.
Figura 29 – Tentativa de descobrir o valor da incógnita para 6x =5x
Entre várias tentativas de encontrar uma equivalência entre as passagens, a
aluna Débora digitou (x=6)=5 e o feedback do software acusou erro, mas com a seta
azul de equivalência (devido aos sinais que igualdade). Com isso, Débora acredita
que essa equação não é para ser resolvida, somente representada pois, no primeiro
bloco de familiarização, elas fizeram uma atividade de representar o mesmo valor de
números inteiros de diferentes maneiras.
81
Figura 30 – Equação com a seta azul de equivalência para 6x =5x
A seta azul, que indica que, até aquele momento, há possibilidade de
equivalência entre as passagens, fez com que as alunas, que estavam quase
desistindo de tentar resolver a equação, retomassem a discussão.
Débora: Olha lá! Ele deu uma idéia!
Débora: Mas assim representa...
Daniele: Mas não é para representar, é para calcular.
A partir disso, elas tentam resolver no caderno, porém insistindo na mesma
situação: “6x+5x”. Elas voltam a tentar no software, repetindo a mesma operação,
“6x+5x...”. Como não conseguiram, decidem deixar do jeito que o software aceitou
parcialmente “(x=6)=5”, como mostra a Figura 30.
Neste momento, elas desistiram temporariamente dessa equação, e
passaram para a próxima “x²=49”. Após aproximadamente 7 minutos tentando
resolver sem sucesso a equação x²=49, elas retornam à equação, e tentam “6x-5x”
(sem o sinal de igualdade). Novamente o feedback do software não indicou
equivalência entre as passagens.
Entre as discussões, podemos observar que elas não pensaram que era
necessário permanecer com a igualdade e que o segundo membro seria igual à
zero. Podemos observar as dúvidas delas nos diálogos:
Daniele: O que eu não me conformo é que eu tô fazendo certo! Por que tá
dando errado?
Daniele: Tira o sinal de igual daqui [6x=5x] e coloca atrás [6x-5x=].
Débora: Igual a quanto?
Lívia: Coloca o igual, agora coloca x = 1 [o feedback do Aplusix apresentou
82
erro de equivalência]
Daniele: Coloca a setinha pra baixo [nova passagem do Aplusix]
Débora: Não gente! O resultado tem que ficar embaixo, mas tem que dar
aqui primeiro, em cima [na linha de cima], para depois dar embaixo.
Daniele: Vai coloca embaixo x.
Lívia: Mas agora, quem é x?
Nesse ponto, a equação está da seguinte maneira: 6x-5x=1, e, após muitas
“tentativas e erros” e “chutes”, elas procuram entender o que está gerando o erro,
mas acabam desistindo temporariamente dessa equação e tentam fazer outra.
Após aproximadamente 5 minutos, elas retornam para essa equação,
aparentemente sem saber o que fazer, e tentam descobrir o valor com “chutes”.
Débora: Faz alguma coisa com raiz quadrada.
Daniele: O que? [Débora não sabe responder]
Daniele: Você esta chutando Débora! Não é pra chutar.
Débora: Só eu chuto, vocês não?
Daniele: Eu tenho certeza que se o 5x tá aqui depois do sinal de igual, ele
tem que passar para o primeiro membro. [Referindo-se a 6x=5x para 6x-5x]
Daniele: Tenta assim x =6 -5 [O feedback do Aplusix apresenta o erro de
equivalência]
Débora: Gostou Daniele, você não estava chutando, não?
Daniele: Pior que pra mim tô fazendo do jeito certo.
Ao perceberem que não conseguiam descobrir como resolver a equação, elas
chamam o professor. Quando o professor chega, elas começam resolvendo, a fim de
explicar o que fizeram:
Daniele: Olha 6x-5x=, ai fica azulzinho. [referindo-se a seta de equivalência
do Aplusix]
Professor: Se você tira o 5x dali e coloca do outro lado, vai sobrar quem
aqui? [explicando na tela do computador]
Daniele: O 6!
Professor: Por exemplo, você tem 6x de um lado e “joga” o 5x para lá, vai
sobrar o que desse lado? [Novamente explicando e fazendo gestos na tela
do computador]
Daniele: O zero!
[O professor confirma acenando com a cabeça.]
83
Neste diálogo, observamos o momento em que o professor faz uma
intervenção “Por exemplo, você tem 6x de um lado e joga o 5x...”. O professor optou
por usar a mesma linguagem que as alunas estavam utilizando durante o
desenvolvimento das atividades, com o objetivo de intervir o mínimo possível nas
estratégias de resolução utilizadas pelas alunas, mas colaborar para que elas
pudessem avançar. Assim, as alunas conseguiram chegar ao resultado como mostra
a Figura 31.
Figura 31 – Equação 6x =5x resolvida
Observamos que, nesta equação, as alunas não sabiam como resolver e não
possuíam nenhuma estratégia para conseguir chegar ao resultado. Notamos
também que, durante a resolução, as alunas tentaram resolver esta equação no
caderno (papel&lápis), porém chegavam à mesma resposta apresentada no
software; “6x+5x” e, talvez pela dificuldade apresentada nesta equação, essa
passagem seja mais significativa para elas.
E talvez por terem que manipular somente com incógnitas, nesta equação, a
dificuldade esteja associada ao corte didático (FILLOY; ROJANO, 1989), pois, na
equação seguinte, em que a incógnita ocorre somente no primeiro membro, as
alunas conseguiram resolver sem dificuldades.
•
A próxima equação foi 2m=0
A equação que colocamos na sequência foi 2m=0. Para essa equação, as
alunas, aparentemente, não apresentaram dificuldades, apesar do comentário feito
durante a gravação – “que não dá pra dividir por zero” – que acreditamos ser
referente a m=0/2 e teriam a resposta m=0 pois, em outro momento da gravação,
84
elas comentam em dividir o número 0 pelo número 2, mas isso não ocorre na
resolução; elas colocam diretamente m=0 e como o feedback do Aplusix validou
como uma passagem correta, elas finalizam a equação e passam para a próxima.
4.1.2 Resoluções das equações lineares
Durante a resolução das equações, houve diversas discussões e divergências
por parte das alunas, como apresentado; em alguns momentos, as alunas chegaram
a impasses, sendo necessária a intervenção do professor para que conseguissem
continuar com as resoluções. Muitos desses impasses surgiram por dificuldades
associadas às propriedades dos números inteiros e procedimentos matemáticos
associados à resolução de equações.
•
Equações 3x+8=7x, 2x + 5 = 6x – 7 e 4k – 2 = 3k + 6.
As alunas resolveram as equações 3x+8=7x e 2x + 5 = 6x – 7 na forma
apresentada nas Figuras 23 e 24. Em ambas as equações, as alunas, apresentaram
dificuldades relacionadas às regras de sinais dos números inteiros, por exemplo, em
3x-7x deram como resposta 4x (positivo) e em 2x-6x deram como resposta 8x
(positivo). Outro tipo de estratégia usada nessas equações foram as “trocas” ou
inversão de sinais, para conseguir chegar a equivalências válidas entre as
passagens. Na equação 4k–2=3k+6, as alunas conseguiram resolver a passagem
4k-3k e encontrar o valor de 1k, como pode ser visto na Figura 27, não apresentando
maiores dificuldades com a regra de sinais.
Ao avaliarmos o desenvolvimento dessas equações, observamos que, apesar
das alunas utilizarem certo tipo de manipulação para organizar os valores numéricos
e os valores com incógnita em lados opostos da equação, suas estratégias são
derivadas de “pegar um valor e passar para outro lado”. Aparentemente elas sabem
que trocar ou mudar os sinais fazem parte desse processo e quando “passam” um
termo e o feedback do software apresenta a seta com erro de equivalência, elas
85
trocam o sinal, de maneira que quando uma coisa não dá certo, invertem a outra e
pronto, sem reflexão aparente, uma mágica de mudar o sinal.
A mágica de trocar sinais, nestes casos, parece relacionada com as
interações dos alunos com números inteiros – assim a ideia de trocar sinais parece
ser um já-encontrado relacionado com diferentes atividades, mas sem conexão com
princípios algébricos e sem significado no mundo simbólico.
Para essas alunas, vemos que entendem que quando os sinais são diferentes
(na adição), deve-se fazer a diferença entre eles e quando os sinais são iguais,
agrupam-se os valores; mas ao tentarem resolver as equações, elas ignoraram a
existência de todos os sinais e utilizaram um agrupamento de termos semelhantes
com o princípio aditivo e, posteriormente, acrescentaram os sinais, considerando os
sinais como se eles fossem entidades separadas retornando, assim, à “mágica” que
pode ser descrita como corporificação procedimental, evidenciando relações com o
mundo corporificado. E apesar das alunas utilizarem uma manipulação com os
símbolos, elas não dão significado simbólico às equações, apenas às operações
com números referentes à aritmética de números inteiros, que têm estreita relação
com o mundo corporificado.
• Para as equações 6x = 5x e 2m=0
Observamos que a equação 6x = 5x exigiria das alunas um pensamento
relacionado ao mundo simbólico, já que ao manipular o termo 5x, as alunas
deveriam representar o valor zero no segundo membro da equação, representando a
operação 6x-5x =5x-5x. Assim, ao analisarmos a resolução dessa equação, vimos
que as alunas manipulam o termo 5x, porém não representaram o valor zero no
segundo membro, situação que se assemelha à dificuldade dos alunos em
representarem equações do tipo ax+b=0 por meio de uma balança. Tal pensamento
de
manipulação parece
estar relacionado
a
técnicas
corporificadas,
cuja
manipulação está ligada a “pegar o termo e passar para o outro lado” envolvendo a
mágica de troca de sinais. Como elas “tiraram” o valor de um lado e passaram para
o outro, não sobraria nenhum valor no seu local.
86
Já para a equação 2m=0, as alunas não apresentaram dificuldades na
resolução, porque o zero já estava presente e foi tratado como um objeto de
referência que seria dividido pelo número 2, consolidando que os pensamentos
utilizados para resolver as equações estão ligados ao mundo corporificado.
4.1.3 Estratégia de resolução das equações de avaliação e manipulação.
Para essas equações lineares, observamos que as alunas fizeram algum tipo
de manipulação em todas e somente na equação 2m=0, as alunas fizeram a
avaliação do resultado, como valor zero.
4.1.4 Iniciando o trabalho com equações quadráticas
Em cada um dos blocos de exercícios, acrescentamos uma equação que faz
referência ao próximo bloco. No caso deste bloco a equação foi x² = 49.
•
A próxima equação foi x² = 49 em uma representação em árvore
Figura 32 - Representação em formato de árvore.
Num primeiro momento, elas olharam para a equação sem saber o que fazer;
então iniciaram a resolução por tentativa e erro.
87
Débora: acho que essa era do compasso. [referindo-se à forma da equação]
Daniele: Parece que sim
Daniele: acho que fica x
Débora: não estou entendendo mais nada. [primeira impressão sobre a
equação]
Daniele: coloca assim 7 e 7 [referindo-se a substituir o x por 7 e o 2 por 7. O
feedback do Aplusix acusou que não havia equivalência entre as
passagens]
Débora: vamos coloca 1 + 1 [novamente substituindo x²]
Como as primeiras tentativas de substituir a incógnita deram erradas, elas
abandonaram temporariamente a equação e, depois de aproximadamente 5
minutos, tentaram novamente.
Em suas discussões, chegam à conclusão que o resultado da equação é 49 e
que precisam descobrir um número que dê como resposta o número 49. Dessa
forma, elas fizeram várias tentativas para chegar a esse resultado.
2
Daniele: Eu acho que é 7 para dar 49
Débora: Ai vai dar vermelhinho [Referindo-se a seta vermelha, indicando
erro de equivalência]
Daniele: Tem que dar 49 então coloca 7 elevado ao quadrado, [substituindo
a incógnita por 7, novamente insistindo]
Daniele: Por que não dá azul? [referindo-se ao sinal de equivalência do
Aplusix]
Daniele: Eu tava aprendendo a fazer essa conta, como o professor pede pra
fazer uma conta que eu não sei? [esses tipos de equações já haviam sido
ensinados no formato usual, em sala de aula]
Débora: Mas já tentou...
Daniele: Não você colocou 7 e 7 [referindo-se à tentativa de substituir x por
7 e 2 por 7]
88
A Figura 33 mostra as tentativas das alunas.
Figura 33 - tentativa de substituir a incógnita para x² = 49.
Observamos, na Figura 33, que as alunas conseguiram encontrar uma das
raízes da equação, mas o software não validou como uma passagem parcialmente
correta, o que talvez pudesse ajudá-las a encontrar a segunda raiz. E sem saber o
que estava errado na equação, elas decidiram apagar e tentar outros valores como
descrito no diálogo abaixo.
Débora: Porque aqui o resultado é 49.
Débora: Então de 49 tira dois e coloca no lugar do x. [referindo-se a
substituir a incógnita por 47, manter o quadrado “2” igual a 49]
Débora: Então o x é igual a 47. Porque 47 + 2 é igual a 49
Lívia: Débora e seus chutes
Débora: Não é chute porque dá 49!
Daniele: Coloca 7*7
Débora: A gente já tentou
Daniele: Porque o resultado aqui é 49.
Débora: Ai nós erra (sic). [baseando sua resposta na seta vermelha de
equivalência do Aplusix]
89
A Figura 34 mostra a tentativa da aluna.
Figura 34– substituindo x por 47 para x² = 49
Nesta equação, elas fizeram várias tentativas para resolver. Como não
conseguiram, decidiram chamar o professor. Quando o professor chega, novamente
elas dizem que na equação mais fácil está dando errado “a gente tá se matando na
mais fácil”. O professor pergunta se elas entenderam a equação (o que ela
representava). A aluna Daniele responde que tem que ter dois números que a
resposta é igual a 49, em seguida ela explica para o professor suas tentativas de
inserir o número 7 no lugar da incógnita x.
O professor pede para elas apagarem as passagens e escreverem a equação
da maneira que estavam acostumadas a encontrar em sala de aula, de maneira
usual “x²=49” e pergunta se nesta representação elas conseguem resolver, elas
afirmam que sim. O professor sai da sala, deixando que elas continuem a resolver
as equações.
Novamente elas tentam substituir a incógnita x pelo número 7. Fazendo
substituição, o feedback do Aplusix continuava acusando erro de equivalência entre
as passagens. As alunas ficaram confusas pois, para elas, somente a raiz positiva
resolve a equação, mas o feedback do Aplusix só validaria como correto se
90
houvesse duas raízes.
Neste momento, o professor chega e as alunas explicam as tentativas de
resolução. A aluna Daniele diz - “Olha pra essa conta aqui, é 7! Porque não tá dando
certo?” -. Neste momento, o professor avisou para elas que estavam trabalhando
com uma equação quadrática e que possivelmente haveria mais uma raiz. Com essa
fala, as alunas percebem que a resposta pode ser x=7 “or” x = -7. Ao fazerem isso, o
Aplusix aceita a passagem, colocando a seta de equivalência entre as passagens. A
Figura 35 mostra a equação resolvida.
Figura 35 - Equação x² = 49 resolvida.
Para essa equação, acreditamos que as dificuldades encontradas sobre sua
representação no formato de árvore estão associadas às mesmas apresentadas por
Trgalová (2009), de que talvez estas alunas não estavam acostumadas com esse
tipo de representação. Também acreditamos que a dificuldade em resolver a
equação foi acrescida pelo software, quando as alunas descobriram que uma das
raízes era o número 7 e o software, ao invés de condicioná-la como uma possível
resposta verdadeira, ou uma resposta parcial, acusou como erro de equivalência,
fazendo com que as alunas desconsiderassem esse resultado, apagando e tentando
refazer várias vezes.
91
4.2 SESSÃO 3
O trio de alunas resolveu no Aplusix, uma sequência de atividades,
centrando-se nas equações quadráticas.
4.2.1 Resolvendo as atividades de Bloco 3
Este bloco de equações foi realizado pelas alunas seis dias após o Bloco
anterior. Neste período, elas não tiveram contato com o software Aplusix e, para
esse encontro, nenhum conhecimento novo sobre a utilização do software foi
passado para as alunas.
•
Neste encontro, a primeira equação a ser resolvida foi 27=3x²
As alunas, inicialmente, inverteram os membros da equação, colocando
3x²=27. Feito isso, observamos, em seus diálogos, as tentativas de resolver a
equação:
Daniele: Tem que descobrir o valor de X
Daniele: 9x..., apaga... [a aluna pediu para apagar quando observou que o
feedback do software acusava erro de equivalência]
Lívia : x² = 27 sobre 3
Daniele: agora fica 27 sobre 3
Lívia: tem que tirar o 3 dali...
Débora: 27 sobre 3
Daniele: x² = 9
Durante essas passagens, a aluna Débora, que estava digitando as
informações no software, apresentou algumas dificuldades, por exemplo, ao ser dito
pela aluna Lívia “x² = 27 sobre 3”, Débora digitou 3x²=27/3. Esses erros geralmente
foram corrigidos pelas outras alunas, ou quando o software apresentava a seta
vermelha com um X sobre a seta, indicando erro de equivalência. Apesar de um
92
pouco de confusão entre as passagens, as alunas conseguiram chegar até x²=9,
como apresentado na Figura 36.
Figura 36 – equação 27=3x²
Neste ponto, observamos, no diálogo, as discussões que ocorrem envolvendo
equações resolvidas no bloco anterior:
Débora: Olha, lembra, esse daqui a gente ficou... essa daqui foi igual àquela
lá que a gente se matou, se matou, se matou...
Daniele: aquela que é 7 ... [Débora confirma a afirmação da Daniele]
Daniele: e a gente não apreendeu.. 7x7= 49... [referindo-se a equação no
formato de árvore, Figura 35]
Débora: será que é ?
Daniele e a Lívia: 7² = 49..
Débora: Não...
Daniele: ai, você tinha colocado “ou”
Débora: é mesmo né... 49...né...
Lívia: é.. onde insere o “ou”
Débora: 7 x 7
Daniele: Negativo ? “or” era negativo, lembra que a gente colocava positivo
e negativo...
Débora: então é menos 7
Lívia: Por que vai ser menos 7 ?
Daniele: então coloca 7 or – 7
Daniele: ou menos 7 ²
93
Daniele: Não, esse aqui já é positivo, porque não tem sinal, ai você coloca
“or”- 7²
Débora: deu não... nada a ver [observando o erro de equivalência
apresentado no software]
As alunas nesta equação tentaram colocar x =7 ou x= -7 sem observar o valor
que estava na passagem anterior da resolução x²=9, como mostra a Figura 37.
Figura 37 – valor 7 e -7 para 27=3x²
A partir do erro de equivalência entre as passagens, houve grande discussão
entre as alunas. Inicialmente, elas acreditavam que os valores deveriam ser os
mesmos da equação representada em forma de árvore (ver Figura 35). A justificativa
da Daniele era a de que deveriam existir duas respostas:
Daniele: Pula para próxima, depois a gente tenta.
Débora: esqueci como fazer
Daniele: eu não esqueci, eu lembro que tem sinal negativo e outro positivo...
Após ficarem sem saber como proceder com essa equação, devido ao erro de
equivalência, desistiram de tentar encontrar o valor das raízes e foram para a
94
próxima equação.
•
A próxima equação foi 2y²-242=0
As alunas procederam da mesma maneira até o mesmo ponto da equação
anterior e deixaram a equação na forma y²=121, conforme mostra a Figura 38
abaixo.
Figura 38 - Equação 2y² - 242 = 0
Ao chegar neste ponto, elas se depararam com a mesma dificuldade
apresentada na equação anterior. Assim, não tentaram criar conjecturas para
resolvê-la e decidiram passar para a próxima equação.
•
A próxima equação foi (x-3)²=81
Nesta equação, as alunas fizeram várias tentativas, aplicando a propriedade
distributiva da multiplicação em relação à adição ou a extração da raiz quadrada do
segundo membro; nenhuma delas resultando em valores equivalentes à equação
inicial e, em cada passagem que o feedback do Aplusix não validava como
equivalência, as alunas apagavam e tentavam novamente. Em seus diálogos,
ressaltamos os momentos de maiores dificuldades ao desenvolver a equação.
95
Débora: x – 3 = 81...... x ..... x -3 = 1
Lívia: igual 3x sobre 2 negativo.... menos 3x... [o feedback do Aplusix
apresentou erro de equivalência entre as passagens]
Daniele: coloca 9x...
Débora: coloca 9x... 9x²?
Daniele: 9x = 81..
Daniele: Coloca 9x ali negativo... , deu vermelho! [ela pediu para alterar o
sinal porque o feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência]
Débora: não deu... vou fazer x-3 =81
Daniele: tira dos parênteses.
Lívia: põem vezes... [dizendo para digitar 3*3]
Daniele: Pior que não to chutando, porque aqui vai dar 9 porque 3²
[apontando para tela do computador]
Débora: Então coloca assim X - 3 = 9
Daniele: e o 81 vai colocar onde?
Débora: Coloca assim (81) entre parênteses [como mostra a Figura 39]
A Figura 39 - Duas tentativas de resolução da equação (x-3)²=81.
Em cada uma das tentativas, quando o software acusava erro de equivalência
entre as passagens, as alunas apagavam e tentavam novamente (Informações
conseguidas por meio da ferramenta administrativa do software chamada
videocassete). Em suas falas, observamos que a aluna Daniele tentou várias vezes
calcular o valor de 3² resultando em 9 isoladamente dos outros termos, como mostra
o trecho do diálogo de alguns dos momentos dessa discussão:
Daniele: Essa conta não faz assim, o certo na conta é tirar dos parênteses...
tira dos parênteses!!
Daniele: coloca assim 3x²
Lívia: igual a 81²
96
Débora: Coloca assim 3 x, você já colocou 3 x² .
Daniele: tem que dá, porque o 3² dá 9
Lívia: põem 3 x entre parênteses
Débora: X – 9 ... 81
Daniele: Não tem que isolar o x ? Isolar o x e passar o quadrado [referindose a passar o expoente 2 para o segundo membro da equação]
Débora: Mas se a gente isolar o x igual...
Daniele: x = ... 81
Débora: Você não falou para isolar o x ?
Daniele: x = 81 + 3² [como mostra a Figura 40]
Figura 40 – calculando 3² independente da distributiva para (x-3)²=81.
Débora: Não vai dar igual a 9!
Daniele: O 81 tem que ter - Tira os parênteses
Daniele: apaga isso... Não é melhor perguntar pro professor, senão a gente
vai errar, todas que tem parênteses... mas ele não vai responder vai ficar
como errada – coloca x + 9
Débora: Uff, cala a boca! [brigando com o computador, porque o software
apresentou erro de equivalência entre as passagens]
Daniele: é 9x = 81 sempre
Lívia: mas a gente já não colocou isso?
Daniele: Tenta
Débora: 9 ... tem que dividir de todo o jeito
A Figura 41 mostra outras tentativas discutidas no diálogo
A Figura 41 - tentativas de resolução da equação (x-3)²=81.
97
Após essas várias tentativas, as alunas decidem chamar o professor. Duas
alunas saíram para chamar o professor e, neste intervalo de tempo, a aluna Daniele
ficou olhando para a equação quando o professor chegou a aluna tinha pensado em
uma estratégia para resolver. Ela tentou explicar o que havia pensado:
Daniele: Aqui tem que repetir duas vezes esse né... agora que eu lembrei...
Débora apaga esse aqui e coloca X – 3 você não ta prestando atenção no
que eu to falando [chamando a outra aluna para digitar os comandos no
software]
O professor, sem a intenção de intervir muito na resolução das atividades,
confirmou (acenando com a cabeça) e saiu da sala novamente. Daniele tentou
explicar para as outras alunas o que havia pensado e pede para Débora digitar os
comandos conforme mostra o diálogo abaixo:
Daniele: Agora coloca de novo... vezes, coloca vezes.. [referindo-se (x – 3) *
(x – 3)]
Daniele: x – 3... Abre parênteses de novo e coloca igualzinho em cima, é o
sinal de vezes [dando ênfase ao sinal porque anteriormente elas tinha
digitado (x – 3) + (x – 3)]
Daniele: = 81
Débora: Não, é mais... não é também [questionando Daniele sobre o sinal
que deveria ser colocado dentro do segundo parênteses (x + 3) ]
Daniele: Não é menos 3, e igual a 81! E o sinal de igual... é igual a 81?
[Débora ao digitar tinha esquecido de inserir o sinal de igual]
Débora: Vou colocar agora!... é menos!
Daniele: Nossa lembrei.. adorei.... ai caramba [a expressão de satisfação da
aluna se refere ao software ter aceito como correta a equivalência entre as
passagens]
98
A Figura 42 apresenta a passagem feita pelas alunas
A Figura 42 - apresenta a passagem feita pelas alunas na equação (x-3)²=81.
Porém para as próximas passagens as alunas não sabiam como resolver, e,
para a aluna Daniele, o resultado deveria ser x² + 9 =81. Como mostra o diálogo
abaixo.
Débora: agora o X = 81 [pensando no próximo passo para resolução da
equação]
Daniele: Não Débora vai dar errado, tem que resolver esse aqui [apontando
para tela do computador]
Daniele: ela não ta entendendo [falando para a aluna Lívia sobre as
tentativas da aluna Débora]
Daniele: é 2x fora dos parênteses +9 = 81 [O feedback do Aplusix
apresentou erro de equivalência entre as passagens]
Débora: nada a vê Daniele
Daniele: lembrei, assim x vezes x. fica x² e – 3 vezes – 3 fica + 9 igual a 81
Daniele : x² +9 [A aluna tenta várias vezes explicar esse resultado, para ela
esta correto assim]
Débora: o ideal é pegar um papel e caneta parece que é melhor.
Daniele: tinha que dar assim x² +9 =81 e depois dividir 81 por 9, e o 9 é
positivo porque menos com menos é mais. [Como mostra a Figura 43]
Figura 43 – distributiva feita pelas alunas na equação (x-3)²=81.
99
Elas ficaram discutindo sobre essa equação, mas sem estratégias para
resolvê-la, as alunas sempre voltavam à mesma conclusão de x²+9=0. Então
decidiram novamente chamar o professor. Quando ele chega, as alunas explicaram
o que fizeram até o momento. O professor sugeriu que eliminassem o quadrado
antes de chegar nesse ponto. Elas perguntaram como e o professor, fazendo uso
das falas das alunas, sugeriu passar o quadrado para o outro lado da equação, a
aluna Lívia percebeu a intenção do professor e fala para Débora digitar como raiz
quadrada. O professor ao ouvir a resposta de Lívia, sai da sala. Ao fazerem tal
passagem o feedback do Aplusix não validou como equivalência, neste momento as
alunas se mostraram desmotivadas com o resultado.
Nesse momento, consideramos que o software interviu significativamente no
desenvolvimento do raciocínio das alunas. A intenção do professor era somente dar
meios para que não chegassem a um impasse, oferecendo uma alternativa para que
tentassem chegar à solução. Mas acreditamos que as alunas, ao seguirem os
passos sugeridos pelo professor, dentro do contexto de que o professor conhece o
software e sabe como resolver a equação, tiveram a sensação ou acreditaram que o
professor estava ensinando como resolver e, quando o feedback do software
apresentou erro de equivalência, não entenderam o que aconteceu. É possível que
elas pensem que essa equação seja de um grau de dificuldade mais elevado do que
as demais, ou no software as respostas são diferentes das que se encontrem no
papel.
Neste caso, acreditamos que a dificuldade foi aumentada pelo uso do Aplusix
Talvez se o software apresentasse a seta de equivalência azul com um X sobre ela,
indicando a possibilidade de se chegar à resposta correta, interpretada assim pelas
alunas, poderia ter estimulado que elas continuassem a procura da resposta. Como
observado, nas gravações em vídeo, quando o feedback apresentou erro de
equivalência entre as passagens as alunas ficam paradas sem saber como proceder
para chegar a uma solução, pois, para elas, o professor disse para fazer dessa
maneira. Como não deu certo, não houve uma reflexão, elas procuram outras
estratégias e tentaram fazer no papel para comparar com o software.
100
Daniele: Pra mim é assim x²-9 =81 [Fala da aluna, lendo o que escreveu no
caderno]
As atividades foram interrompidas nessa equação, neste último momento,
embora as alunas tivessem mais tempo para tentar resolver as equações, pois neste
dia, outro professor da Unidade Escolar havia reservado a sala que estávamos
utilizando e por desencontro entre professor e direção, não havíamos sido avisados.
Assim, foi agendado outro dia para as alunas realizarem novamente esse bloco de
atividades. A Figura 44 mostra a última tentativa das alunas.
Figura 44 - última passagem realizada pelas alunas na equação (x-3)²=81.
4.2.2 Resolvendo novamente as atividades de Bloco 3
A data agendada para as alunas refazerem os exercícios ocorreu 10 dias
após o último episódio relatado e, durante esse período, essas alunas não tiverem
contato com o software ou outras orientações do professor sobre como resolver as
equações. Para realizar esse bloco de exercícios, ficou decidido que elas deveriam
fazer novamente todos os exercícios.
•
As alunas começaram com a equação 2y²-242=0
O professor iniciou a atividade e Daniele, ao ver a equação, já perguntou ao
professor se tinha que passar para o outro lado e dividir. O professor afirma com a
cabeça e sai da sala.
101
Nesse ponto, as alunas, principalmente Daniele, sabem desenvolver até a
passagem y²=242/2.
A resolução basicamente seguiu os passos das resoluções anteriores. A maior
parte das estratégias utilizadas foi pelo método de tentativa e erro. No diálogo
abaixo, mostramos alguns trechos dessas passagens:
Daniele: Débora passa o 242 para o outro lado
Daniele: 2y² igual a 0
Débora: Não Daniele eu fiz assim lá na sala, tava menos fica mais 242 -0 [o
Aplusix aceitou a passagem] as alunas observam que o Aplusix aceitou a
passagem e criam uma nova.
Débora: vai ficar 242
Daniele: Tem que tirar a raiz dele. [As alunas criaram uma nova passagem e
tentaram a operação
2y² = 242 , tentam fazer a raiz quadrada do número
242 e o feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência nessa
passagem]
A Figura 45 mostra como se encontrava a equação até esse momento
Figura 45 – equação 2y²-242=0
Daniele: ta dando errado por causa do 2 [referindo-se ao número 2 que
multiplica y². O erro acusado pelo Aplusix nesta passagem levou as alunas a
pensarem em uma nova maneira para tentar resolver e fez com que elas
percebessem o coeficiente 2]
Débora: Daniele, mas o 2 está junto com o y.
Lívia: tem que tirar o 2 dali.
Débora: tirei e aí?
Daniele: tem que tirar o 2 daí , passa pra lá.
102
Débora: o que eu coloco + 2 ou -2 ?
Daniele: +2
A aluna Daniele argumenta que, se não tivesse esse 2, ela saberia como
resolver.
Então Débora perguntou para as outras alunas qual o valor da raiz
quadrada de 242. Nesse ponto as alunas começam a discutir como usar a raiz
quadrada.
Daniele: diz que se não tivesse esse 2 aqui era só fazer a y² igual a raiz
quadrada de 242.
Lívia: mais esse 2 vai parar onde?
Lívia e se fizesse y²=242/2.
As alunas decidem fazer a raiz quadrada de 242 dividido por 2, ou seja,
segundo seu diálogo o valor que elas encontrassem ao resolverem a raiz de 242
dividiriam por 2. Então a aluna Débora quando digitou a passagem sugerida pela
Lívia, acrescentou a raiz quadrada e novamente o feedback do software indicou que
não havia equivalência entre as passagens, como mostra a Figura 46
Figura 46 – raiz quadrada na equação 2y²-242=0
A aluna Daniele sugere para retirar a raiz quadrada, o feedback do Aplusix
validou a passagem como correta, a aluna Daniele efetuou o cálculo mentalmente
encontrando o valor da divisão de 242/2 como 121.
Nesse ponto, as alunas discutiram em acrescentar o “or”, mas não sabiam
103
como. Elas argumentaram que, “quando tem raiz quadrada tem uma resposta
positiva e uma negativa”, e, apesar de saberem dessa possibilidade de encontrar a
raiz quadrada, decidem deixar a equação como apresentado na Figura 47, e
partiram para resolução da próxima equação.
Figura 47 – equação 2y²-242=0 desenvolvida
•
A próxima equação foi 27=3x²
Ao ver a equação, elas dizem ser fácil e começam a resolver. Primeiramente
as alunas inverteram os membros da equação deixando 3x²=27. Em seguida
dividiram 27 por 3 e encontraram como resultado x²=9. Nesse ponto, tentaram
colocar a raiz quadrada no número 9, o feedback do Aplusix apresentou erro de
equivalência entre as passagens, decidiram apagar a última passagem e deixar a
equação x²=9. Nos seus diálogos, observamos que Lívia questionou a decisão das
amigas ”vai deixar assim? E o quadrado?”. Com esse comentário Daniele sugere
colocar “x=9 or -9”, argumentando que nesta equação são duas respostas, porém
Débora não aceita e as outras duas alunas tentaram convencê-la dizendo que “o
professor disse que sempre que for raiz quadrada vai dar um resultado positivo e um
104
negativo”. A Figura 48 mostra a tentativa sugerida pela aluna.
Figura 48 – equação 27=3x²
Como o feedback do Aplusix apresentou erro, resolveram parar na última
passagem correta da resolução, como mostra a Figura 49 e depois perguntar para o
professor.
Figura 49 – equação 27=3x² desenvolvida
•
A próxima equação foi x²=49
Com o objetivo de verificar diferenças ou similaridades entre resolver
equações no formato normal e no formato de árvore, acrescentamos a equação
x²=49 na forma usual, conhecida pelas alunas.
As alunas, ao verem a equação, fizeram a “avaliação do valor da incógnita”,
perceberam que a incógnita era um número que deveria resultar em 49.
105
Débora: duas vezes 49 vai ficar 7 vezes 7, fica 7² , Mais não vai dar certo, a
deu certo [o feedback do Aplusix validou como correta a equivalência entre
as passagens]
Daniele: fica x igual raiz quadrada de 49 [O feedback do Aplusix apresentou
erro de equivalência entre as passagens]
Lívia: tem que tirar o 2 do x .
A aluna Débora retira o expoente 2 do x, mas o Aplusix continuou acusando
erro de equivalência entre essas passagens. Daniele falou para as outras alunas que
nessa conta tem que dar um resultado positivo e um negativo. Elas comentam sobre
uma atividade parecida que fizeram em sala de aula, em que, ao responder o
exercício, a professora coloca +/- 5 como respostas. Observamos que a aluna
comparou as atividades feitas na sala de aula e no Aplusix durante seu diálogo.
Débora: então, mas a gente fez no caderno, mas aqui ta dando errado.
Daniele: mas o professor disse que aí a gente tem que colocar um x e outro
x. [referindo-se a escrever as respostas da seguinte maneira; x= 7 or x= - 7]
Débora novamente apaga as passagens enquanto Daniele falava o que
deveria ser digitado na próxima passagem, acrescentando duas respostas, x=7 or
x=-7, como mostra a Figura 50.
Figura 50 – equação x²=49
Nesta equação destacamos dois momentos; o primeiro quando o feedback do
Aplusix não apresentou erro de equivalência na passagem de x²=7². Esperávamos
que o software acusasse erro entre as equivalências, porque dessa maneira
apresentada os alunos podem acreditar que somente o número 7 é a resposta da
106
equação. Em testes posteriores com esse tipo equação, o Aplusix aceitou a variação
como mostra a Figura 51.
Figura 51 – avaliação de valores para equação x²=49
Porém não aceitou as seguintes variações como mostra a Figura abaixo
Figura 52 – avaliação de valores para equação x²=49 b
Nesse caso, em que o Aplusix validou como correto esse tipo de equivalência,
nós questionamos: O software também deveria aceitar a raiz quadrada de 49 como
equivalente a x²=49? Como mostra a Figura 53
ou
Figura 53 – avaliação de valores para equação x²=49 c
O segundo momento refere-se à passagem desenvolvida pelas alunas no
seguinte passo: sem utilizar a raiz quadrada, conseguiram encontrar os valores das
raízes, x=7 or x=-7, talvez por lembrarem da equação com representação em árvore
ou por concluírem que o número 7² é igual a 49, e o -7 apareceu na resposta apenas
para validar como equivalente à resposta no software, porém sem muito significado
107
para as alunas.
•
A próxima equação foi (x-4)²-100=44
As alunas, ao verem a equação, argumentam que é igual à que a professora
explicou. Posteriormente, observando o vídeo, questionamos as alunas sobre esse
comentário e elas falaram que uma professora, ao substituir o professor, passou
alguns exercícios que deveriam ser resolvidos por meio de uma fórmula, que
entendemos ser a fórmula de Bhaskara, que as alunas chamavam de “fazer o Delta”.
Porém, ao tentarem resolver a equação, elas não utilizaram a fórmula de Bhaskara.
A resolução do exercício foi desenvolvida da seguinte maneira pelas alunas:
Débora: esse aqui é igual a aquela lá que a professora explicou pra nós
Daniele: essa tem que aplicar a distributiva, x vezes x , coloca x²
Daniele: coloca parênteses (x-4)+ (x-4)
Como mostra a Figura 54
Figura 54 – equação (x-4)²-100=44
Como o feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência entre as
passagens, as alunas ficaram em dúvida sobre como desenvolver a equação. A
aluna Lívia sugeriu fazer x² -16 -100=44, mas novamente o feedback do software
apresentou erro de equivalência. As alunas discutiram se a professora tinha passado
um exercício semelhante a esse e decidiram pegar o caderno para ver. A aluna
Débora, ao chegar com o caderno, percebeu que as equações do seu caderno são
somente do primeiro grau e que, apesar da professora ter explicado o uso da
fórmula de Bhaskara, ela não tinha essas anotações.
108
Daniele: a professora disse para gente aplicar a distributiva.
Lívia : se fazer x-4
Daniele : no papel a gente ia fazer assim (x-4)+(x-4) assim vem x vezes x, x²
depois 4 vezes 4, 16 fica desse jeito e tinha 4+4 , 8 ficava desse jeito.
Como as alunas sentiram dificuldades em continuar com a resolução,
decidiram chamar o professor. Quando o professor chega, tentaram explicar o que
haviam feito e o professor, entendendo as dificuldades e as dúvidas das alunas em
fazer a distributiva, explica como elas poderiam iniciar.
Professor: crie uma nova passagem, os valores que estão nos parênteses
vocês têm que repetir.
Daniele: a gente já fez isso, mas não deu certo
Professor: faz então para que eu possa ver
Ao refazerem, as alunas colocaram (x-4)+(x-4), o professor pediu para elas
trocarem o sinal de adição pelo da multiplicação. Feito isso, ao terminarem de digitar
a equação, o Aplusix aceitou como correta a equivalência entre as passagens. O
professor explicou, com gestos na tela do computador, que se deve multiplicar todos
os termos que estão dentro do primeiro parênteses pelos termos que estão dentro
do segundo parênteses. Elas falaram que, a partir desse ponto, já sabiam como
continuar a resolução e o professor saiu da sala, deixando as alunas continuarem a
resolução do exercício.
Ao tentarem fazer a distributiva, as alunas erraram o sinal durante a
multiplicação. O feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência entre as
passagens. As alunas ficaram nervosas com o erro de equivalência, afirmando umas
para as outras que a distributiva estava certa. A Figura 55 mostra a maneira como as
alunas aplicaram a distributiva.
109
Figura 55 – distributiva na equação (x-4)²-100=44
As alunas, vendo o erro de equivalência, tentaram modificar a passagem para
ver se o software acusava como correta a passagem,
Daniele: Ta certo a distributiva, x vezes x , x² , x vezes 4 , 4x.
Débora: 4x de novo tira um 4x
Daniele: vai dar errado, então tira um 4x [aceitando a sugestão da Débora]
Daniele: 4x² [O feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência, como
mostra a Figura 56]
Figura 56 – erro de distributiva na equação (x-4)²-100=44
A aluna Daniele tentou outra estratégia colocando x²+16. Nesse momento, o
professor retornou à sala e perguntou se elas conseguiram e elas falaram que não
estava dando certo.
110
Daniele: a gente ta fazendo a distributiva e ainda tá dando errado, apesar de
a gente fazer certo, dá errado.
O professor pede para elas refazerem a passagem. Ao ver as alunas
digitarem “+4x”, o professor pergunta o que elas estavam multiplicando para dar +4x.
Elas respondem x vezes 4, o professor pergunta se o x é negativo ou positivo. Ao
fazer essa pergunta, as alunas observaram que a incógnita x era positivo e o número
4 era negativo e assim elas conseguem desenvolver a equação como mostra a
Figura 57.
Figura 57 – distributiva na equação (x-4)²-100=44 sem resposta
Durante essas passagens, as alunas não apresentaram maiores dificuldades,
porém, ao chegarem a x²-8x=128, não sabiam como resolver, então pararam e
decidiram resolver a próxima equação.
Quando o professor retornou à sala, elas perguntaram o que deveria ser feito
para resolver x²+8x=128. O professor, com foco na investigação, sem a intenção de
111
utilizar a fórmula Bhaskara que causaria uma intervenção que poderia influenciar os
próximos exercícios, preferiu dizer para elas que talvez para resolver essa equação
fosse mais fácil completar quadrados. Aparentemente, as alunas não entenderam o
que o professor quis dizer, discutiram entre si o que fazer com o 8x e decidiram
continuar a resolução.
Daniele; agora tem que ver o 8x
Lívia: põem o 8x do outro lado com menos [referindo-se passar o valor de
8x para o segundo membro]
Débora: vai ficar 128 sobre 8 [O feedback do Aplusix apresentou erro de
equivalência entre as passagens]
Figura 58 – tentativa de resolução da equação (x-4)²-100=44
Lívia: tenta colocar x³
Daniele: a gente vai tão bem, ai chega uma parte e erra tudo, [ela pensa um
pouco e pergunta] e a raiz quadrada? Cadê a raiz quadrada?
Débora: a raiz quadrada de 8 é quanto.
Daniele: quando o x² passa para raiz quadrada some o quadrado, não
some?
Elas tentaram encontrar o valor da raiz quadrada de 128, mas novamente o
feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência entre as passagens. Suas
justificativas para não conseguirem chegar ao resultado era devido ao número 8,
como mostra a Figura 59.
112
Figura 59 – tentativa de resolução da equação (x-4)²-100=44 b
Como a última passagem não resultou em equivalência, as alunas decidiram
pedir ajuda ao professor. Ao ver a equação, o professor percebeu que não havia
como ajudá-las sem intervir muito nas próximas equações, assim, sugeriu que
deixassem essa equação do jeito que estava e tentassem resolver o próximo
exercício da sequência.
•
A próxima equação foi (x-3)²=81
O início desta equação foi desenvolvido antes delas conseguirem fazer a
distributiva na equação anterior (Figura 57), assim as primeiras tentativas das alunas
foram de resolver como x² -3² =81 e posteriormente x ² − 9 = 81 . Durante essas
passagens, o feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência; então, pararam
e tentaram resolver outra equação. Ao retornarem a esta equação, já tinham
conseguido desenvolver a distributiva na equação anterior e aplicaram o mesmo
processo nesta, como mostra a Figura 60.
Figura 60 – distributiva na equação (x-3)²=81
113
Ao perceberem que essa equação iria ficar no mesmo impasse que a anterior,
decidiram pedir a ajuda do professor.
Débora: a gente não vai conseguir tirar esse 6x daqui, igual à outra com 8x.
Diante disso, o professor, observando que as alunas não conseguiriam
encontrar uma estratégia para continuar a resolver a equação, sugeriu que elas
apagassem todas as passagens e começassem pelos seguintes passos:
Professor: coloca x-3 igual a raiz de 81 [Até esse momento o Aplusix
acusava como erro de equivalência]
Professor: agora coloca “ou” x-3 =
− 81 .
O professor perguntou para as alunas se entenderam o que foi feito. Elas
confirmaram que sim e falaram que são duas contas, uma com 9 positivo e outra
com 9 negativo. O professor falou para elas não esquecerem do valor -3 que estava
no outro membro. O professor esperou que as alunas dessem continuidade a
equação e saiu da sala. As alunas continuaram a resolver até chegar no resultado
como mostra a Figura 61.
Figura 61 – equação (x-3)²=81 resolvida
114
Ao conseguirem resolver essa equação, as alunas comentaram que são duas
contas, uma com positivo e outra com negativo depois do “ou” e quando o professor
retornou, perguntaram se a outra equação [equação anterior (x-4)²-100=44] poderia
ser resolvida como a esta, o que o professor confirma com a cabeça que sim. Elas
perguntaram se era necessário refazer novamente a equação (x-4)²-100=44 e o
professor sugeriu que elas continuassem com as próximas.
•
A próxima equação foi (x-2)²=0
Nesta equação, como na anterior, as alunas já tinham tentado resolver sem
uma estratégia definida. Em síntese, o que foi feito se relacionou com as
dificuldades apresentadas na equação (x-3)²=81, em aplicar a distributiva da
multiplicação. Nesta equação, as alunas desenvolveram até a representação
x² -4=0, e a principal dificuldade, descritas nas falas das alunas, estava relacionada
ao sinal dos termos. Após conseguirem resolver a equação anterior com a ajuda do
professor, elas seguiram o mesmo raciocínio para esta equação.
Daniele: coloca a raiz quadrada de 0, essa é igual a outra, só que em vez
de 81 é 0.
A aluna Débora, ao digitar a nova passagem, colocou somente uma raiz
quadrada igual a 0. O feedback do Aplusix aceitou como correta a passagem, assim
Débora criou outra passagem. Daniele, ao ver isso, disse que estava errado e pediu
para Débora voltar à anterior para ver onde estava o erro. Débora argumentou que
não havia erro, mostrando a seta de equivalência do Aplusix. Nesse momento,
observamos que a aluna Daniele não se referia à raiz quadrada do número zero,
mas sim a de desenvolver a equação como a anterior, colocando o sinal “or” e
desenvolver duas equações. Ao ver que o feedback validou a passagem, Daniele
aceitou e deu continuidade à resolução, falando que agora era necessário tirar dos
parênteses e resolver, como mostra a Figura 62.
115
Figura 62. – equação (x-2)²=0 resolvida
As alunas, ao conseguirem resolver essa equação, sozinhas e sem maiores
dificuldades, ficaram mais animadas e decidiram continuar antes de voltar na
equação (x-4)²-100=44.
Observamos que as alunas, motivadas com a resolução da equação anterior
[(x-3)²=81], seguiram o mesmo procedimento. E talvez, se a aluna Débora digitasse
segundo as instruções da aluna Daniele, as equações seriam desenvolvidas
semelhantemente, com o símbolo “or” e duas equações para encontrar duas raízes.
Destacamos a passagem na qual as alunas colocam a raiz quadrada do zero, com o
objetivo de eliminar o expoente 2 do primeiro membro. Em nenhum momento elas
observaram que o valor da raiz quadrada de 0 resultaria em 0. Acreditamos que ao
resolverem dessa maneira, as alunas estão seguindo procedimentos “mecânicos”,
efetuando exatamente o que foi feito na equação anterior, sem refletir sobre as
passagens, somente observando o feedback do software. Tal pensamento pode ser
traduzido como um já-encontrado que está sendo reutilizado, seguindo os passos,
relacionados com as corporificações procedimentais.
•
A próxima equação foi x(x+3) =18
As alunas já tinham tentado resolver esta equação antes que o professor
116
interagisse com elas na equação (x-3)²=81 e, em síntese, conseguiram desenvolver
o produto, obtendo x²+3x=18. A partir disso, não tinham uma estratégia para se
chegar ao resultado, passando a utilizar “tentativa e erro”, em busca de possíveis
equivalências entre as passagens, como mostra a Figura 63.
Figura 63. – equação x(x+3) =18
Primeiramente, elas tentaram colocar x²=18/3 e como o feedback do Aplusix
apresentou erro, elas tentaram novamente alterando o expoente 2 para 3,
justificando que haviam 3x por isso o expoente 3, chegando à Figura 63.
Daniele: coloca x³ porque tem 3 x ai.
Como não deu certo, fizeram várias tentativas.
117
Figura 64. – várias tentativas para equação x(x+3) =18
Durante as tentativas de resolver o exercício, observamos que as alunas
tinham como estratégia separar as incógnitas dos números.
Daniele: tem que separar os números das letras
Ao retornarem a esta equação, após ter conseguido resolver as equações (x3)²=81 e (x-2)²=0, as alunas viram que essa equação não era igual às anteriores,
dificultando a reutilização da estratégia. Constatamos que as alunas ficaram
desanimadas, procurando sempre uma resolução a partir de x²+3x=18, tentando
encontrar a raiz quadrada de 18 ou dividir o número 18 por 3. Quando o professor
retornou à sala, já havia decorrido uma hora e 15 minutos do início das atividades, e
as alunas já estavam desmotivadas. O professor decidiu parar as atividades e
agendar outra data, para que continuassem com as equações restantes.
4.2.3 Finalizando as atividades do Bloco 3
Essa última fase ocorreu 12 dias após a sessão anterior. Nesta sessão,
compareceram duas alunas, Débora machucou o pé e ficou de licença médica, sem
poder vir à escola. Como durante todos os blocos anteriores as alunas trabalharam
em trio, para essas duas alunas foi perguntado se necessitavam de outra aluna para
ajudá-las na resolução dos exercícios e elas decidiram que não. Assim, demos
118
continuidade aos exercícios só com essas duas alunas.
O professor iniciou o Bloco 3 de exercícios com todas as equações para que
elas pudessem resolvidas, inclusive as que já tinham resolvido anteriormente, porém
as alunas poderiam optar em refazer as equações ou fazer somente aquelas
equações que ainda não haviam feito.
•
A primeira equação que as alunas decidiram refazer foi (x-3)²=81
As alunas haviam conseguido resolver essa equação com a ajuda do
professor na sessão anterior. Porém ao iniciarem a resolução, começaram com a
distributiva, até a passagem x² - 3x - 3x = 81 – 9, como mostra a Figura 65.
Figura 65 – equação (x+3)² =81
Observamos, nas falas das alunas que, até este ponto, estavam seguras do
que deveria ser feito. As dificuldades enfrentadas na sessão anterior, em aplicar a
propriedade distributiva da multiplicação, não apareceram nesta equação; mas,
apesar de já terem passado por uma situação semelhante na resolução dos
exercícios, as alunas não sabiam o que fazer depois de terem feito a distributiva e
tentaram lembrar como tinham resolvido anteriormente.
119
Daniele: Lembra que a gente fez desse jeito e não deu certo?
Daniele: o professor disse que tinha desse jeito e do outro.
Daniele: era essa mesmo, que a gente fez e deu errado [referindo-se a
equação]
Daniele: apaga tudo
Daniele: aqui vai ficar um positivo e um negativo
Lívia: Tem que apagar tudo?
Elas apagaram tudo e recomeçaram a equação, primeiramente tentando
apresentar duas resposta como mostra a Figura 66.
Figura 66 – duas respostas equação (x+3)² =81
Como o feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência, tentaram trocar
os sinais de dentro dos parênteses, na esperança de conseguirem corrigir a
equivalência. A próxima tentativa foi eliminar os parênteses, trocar o sinal do número
81 para negativo. Como nenhuma das alternativas apresentou equivalência,
decidiram apagar tudo novamente e tentar fazer pela distributiva, como apresentado
na Figura 66.
Ao chegar à última passagem da Figura 66, subtraíram 3 de 81 e decidiram
encontrar a raiz quadrada do número 72, como mostra a Figura 67.
120
Figura 67 – distributiva, duas respostas equação (x+3)² =81
Ao fazerem isso, as alunas pensaram que, na passagem como mostra a
Figura 66, esqueceram de elevar ao quadrado. Novamente apagaram tudo e
refizeram as passagens e acrescentaram raiz quadrada ao número 81 e alteraram o
sinal dentro do parênteses, como mostra a Figura 68.
Figura 68 – duas respostas corretas, equação (x+3)² =81
Como o Aplusix aceitou como correta a equivalência entre os termos,
continuaram e conseguiram resolver a equação como mostra a Figura 69.
121
Figura 69 – equação (x+3)² =81 resolvida
•
A próxima equação foi x(x + 3) =0
Para essa equação, as alunas não apresentaram nenhuma estratégia
diferente da de tentativa e erro; desenvolveram o primeiro termo da equação para
x² + 3x = 0 e, posteriormente, ficaram testando resultados, como mostra a Figura 70.
Figura 70 - 3 tentativas de juntar a incógnita x(x + 3) =0
Após tentarem somar as incógnita x² e 3x e o feedback do Aplusix apresentar
erro de equivalência, as alunas tentaram outras maneiras de “juntar” as incógnitas
para ter somente uma na equação, mas nenhuma das alternativas resultou em
equivalência com a passagem anterior, como visto na Figura 70. E como em outras
equações anteriores. A aluna Débora utilizou raiz quadrada, tentou aplicar a raiz
quadrada, sem “juntar” os valores da incógnita e o feedback do Aplusix apresentou
122
equivalência entre as passagens, pois 0 (zero) ou a raiz quadrada de 0 (zero) não
alteram a equação, como mostra a Figura 71.
Figura 71 – raiz quadrada de zero na equação x(x + 3) =0
Para as alunas, toda equação quadrática tem duas raízes, uma positiva e
outra negativa. Assim, como a passagem anterior apresentou equivalência,
utilizaram esse pensamento de duas raízes e fizeram x+3=0 e x-3=0. O feedback do
Aplusix apresentou erro de equivalência; então, as alunas foram testando
alternativas, mudando valores até que a seta de equivalência validasse suas
respostas e por sorte, conseguiram descobrir os valores x=0 e x=-3. Após
encontrarem a equivalência, as alunas apagaram as passagens anteriores e
colocaram as raízes da incógnita como mostra a Figura 72.
Figura 72 – equação x(x + 3) =0 resolvida
Seus comentários foram “não acredito que era isso”, “Deu certo deixa assim”.
Aparentemente, conseguiram chegar a um resultado sem entender os princípios
123
matemáticos envolvidos no exercício. Talvez neste momento o Aplusix facilitou a
resolução, mas não o entendimento do conteúdo matemático envolvido.
Observamos que as alunas continuam enfatizando o sinal de equivalência
entre as passagens e poucas vezes refletem sobre os princípios matemáticos
envolvidos
•
A próxima equação foi x²-6x + 9 =0
A aluna Daniele, ao ver essa equação, disse para Lívia que essa era um
quadrado perfeito. Ela ficou olhando para a tela do computador fazendo cálculos
(murmurando valores) e depois disse para Lívia que a resposta teria que ser 3 e a
outra 0. Apesar da aluna ter uma noção de qual seria o resultado, elas tentaram
resolver de várias maneiras como mostra a sequência de Figuras abaixo.
Figura 73 – equação x²-6x + 9 =0
Durante a resolução da equação, Daniele afirmou várias vezes que a resposta
teria que ser 3 e 0, mas não sabia como resolver. Em todas as passagens
apresentadas na Figura 73 o feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência,
porém em uma das tentativas o Aplusix mostrou a seta azul com um X indicando
uma possível equivalência correta, como mostra a Figura 74.
124
Figura 74 – raiz quadrada de zero na equação x²-6x + 9 =0
Ao ver essa seta azul com um X, as alunas falaram que seria desse jeito mas
estavam esquecendo alguma coisa.
Daniele: Ai eu não disse que uma dá 0 [referindo-se a primeira parte da
resposta x²-6x =
0
Lívia: a outra não tem que dar 3, então tira a raiz de 9 que da 3 [referindo-se
a segunda parte da resposta
9
Ao pensar assim, as alunas acharam que, para conseguir resolver a equação,
bastaria descobrir o valor da raiz de 9 e acertar o sinal no número como positivo ou
negativo, como mostra a Figura 75.
Figura 75 – testando valores na equação x²-6x + 9 =0
125
Como ainda o Aplusix estava acusando erro de equivalência entre as
passagens, mas com a seta azul com um X, as alunas pensaram que o erro
continuava nesse ponto.
Daniele: Por que fica azul [referindo-se à seta de equivalência]
Lívia: Daniele você tem que repetir toda a conta.
A aluna escreveu novamente a equação após o sinal de “or” como mostra a
Figura 76.
Figura 76 – testando valores na equação x²-6x + 9 =0 b
Porém o feedback do Aplusix apresentou erro de equivalência com a seta
vermelha. Isso fez com que as alunas pensassem que não deveriam reescrever toda
a equação. Assim decidiram que era só necessário colocar a incógnita, como mostra
a Figura 77.
Figura 77 – testando valores na equação x²-6x + 9 =0 c
126
Como novamente o feedback do Aplusix apresentou erro com a seta azul com
um X, indicando que a digitação estava parcialmente correta, as alunas acreditaram
que a resposta estava em descobrir a raiz quadrada de 9. Decidiram colocar primeiro
a resposta da raiz quadrada de 9 como 3 e depois colocar a resposta do 0. Ao
digitar, as alunas tentaram colocar os valores -3 e 0, mas o feedback do Aplusix
apresentou erro na seta de equivalência, então, tentaram -3 e 3 e novamente
apresentou erro e decidiram colocar primeiro o valor de x = 3 e o feedback do
Aplusix validou como correta a resposta. Como mostra a Figura 78.
Figura 78 – equação x²-6x + 9 =0 resolvida
Como o feedback do software validou como correta a resposta, as alunas não
questionaram e foram para a próxima equação. Nesse momento, o professor chegou
e perguntou se estava tudo bem; as alunas o chamaram para ver a resolução da
equação x(x+3)=18. O professor, percebendo que essa equação talvez fosse mais
fácil de resolver pela fórmula de Bhaskara, pediu para as alunas pularem essa e
irem para a próxima equação, 8x²+6x =0. Vendo que as alunas tentaram resolver
como mostra a Figura 79, separando valores da incógnita, o professor decidiu
intervir porque não sabia quanto tempo elas perderiam para tentar resolver essa
equação, e com a preocupação de que ficassem sem alternativas para resolver os
exercícios seguintes.
127
Figura 79 –valores separado da incógnita equação 8x²+6x =0
O professor sugere que elas dividam toda a equação por x (colocando em
evidência) e diz que após isso, elas terão duas respostas, porque elas podem passar
tudo dividindo 0 (explicando fazendo gestos na tela do computador) e depois
acrescentar o “or” e repetir o processo.
Daniele: tem que dividir isso aqui [referindo-se a segunda resposta da
equação, 8x=-6]
Daniele: depois é só colocar a resposta.
O professor confirma com a cabeça e fica observando o desenvolvimento do
exercício. Como mostra a Figura 80.
Figura 80 – equação 8x²+6x =0 resolvida
128
Ao tentar finalizar o exercício, o feedback do Aplusix apresentou um erro
indicando que o exercício ainda não estava terminado. Como o professor estava
presente pediu para as alunas simplificarem a resposta -6/8 e salvarem novamente,
assim o feedback do software validou a resposta como correta.
Ao concluir a resolução desta equação, as alunas terminaram a sequência de
exercícios e decidiram não retomar a equação x(x+3)=18, finalizando, assim, a
sequência de atividades propostas.
4.2.4 Resoluções das equações quadráticas
Para as equações quadráticas, decidimos seguir o modelo apresentado para
as lineares, ou seja, procuramos organizá-las em blocos, de modo que as
resoluções fossem semelhantes para as equações, em estratégias, procedimentos
ou falas dos alunos ao resolver essas equações.
Assim
como nas equações
lineares, houve
diversas
discussões e
divergências por parte dos alunos, como apresentado anteriormente, porém
aparentemente com maiores dificuldades para encontrar as raízes das equações.
Em alguns momentos, os alunos chegavam a impasses, sendo necessária a
intervenção do professor, que muitas vezes fez uso das falas dos próprios alunos
para possibilitar avanços. Muitos desses impasses surgiram por dificuldades
associadas à propriedade distributiva dos números inteiros e procedimentos
matemáticos associados à resolução de equações quadráticas.
Algumas equações foram resolvidas, aparentemente, “por auxílio do software
Aplusix”, outras, por tentativas e erro, em que foram adotadas técnicas
desconectadas dos princípios matemáticos, provavelmente por esse tipo de equação
exigir uma ligação maior com o mundo simbólico.
129
• Para a equação x²=49 em formato de árvore, x²=49 na forma usual e
27= 3x².
Observamos na equação quadrática x²=49 que as alunas fizeram uma
avaliação do valor da incógnita, porém admitindo somente um valor para as raízes.
As alunas tentaram substituir esse valor (7) na equação, contudo o software recusou
o valor (como descrito anteriormente, esperávamos uma resposta condicional). Isto
dificultou a resolução do exercício, fazendo com que elas pedissem auxílio para o
professor.
Além dessa dificuldade, destacamos a representação em formato de árvore,
que acreditamos ter sido o primeiro contato das alunas com esse tipo de
representação, pois essa não é cobrada, assim no ensino fundamental no Brasil,
como apresentado na pesquisa de Trgalová (2009). Esperávamos que as alunas
identificassem a equação e fizessem uma mudança de registro, caracterizando um
pensamento ligado ao mundo formal; porém, durante os diálogos, identificamos um
pensamento ligado ao mundo corporificado e não podemos afirmar, como na
pesquisa de Gray e Thomas (2001)11, que a representação da equação quadrática
apresentou um resultado insatisfatório a respeito das habilidades de resolver
equações quadráticas.
Para a equação x²=49 na forma usual, conhecida pelas alunas, vemos que
elas avaliaram o valor de uma das raízes e, como o feedback do software
apresentava erro de equivalência, elas fizeram uma reflexão comparando com
atividade parecida que fizeram em sala de aula, em que, ao responder o exercício, a
professora colocou +/- 5 como resposta. Acreditamos que, para essas alunas, a
resposta +/- 5 não representa os valores +5 e -5 e sim uma resposta com dois sinais
em que o valor 5 não estava conectado. Ao utilizarem o software, talvez a condição
de duas raízes separadas traga mais significado, “x=7 or x= -7”; porém, ao
resolverem a equação, identificamos a seguinte passagem válida como equivalente:
x²=49 para x²=7², esperávamos que tal passagem resultasse erro de equivalência
como em outras passagens como x²=49 para x = 49 . Também observamos que as
11
Ver capítulo 2: A resolução de equações: O que dissem as pesquisas?
130
alunas não utilizaram a estratégia de raiz quadrada, como utilizada em outras
equações, transformando o expoente 2 da incógnita em raiz quadrada do outro
membro. As alunas, a partir da resposta apresentada x²=7² concluíram que x=7 or
x = −7 . Talvez tal resposta seja resultado de reflexões sobre a equação em formato
de árvore.
As estratégias utilizadas para a resolução da equação x² = 49, reutilizadas
para resolver 27 = 3x² até determinado momento, em que as alunas se depararam
com uma reflexão sobre a equação x² = 49, utilizaram as respostas dessa equação
como resultado da equação 27 = 3x². Aparentemente envolvendo um já-encontrado
relacionado com a estratégia de resolução, em que ao chegar a determinada
situação resultaria na resposta x=7 or x = -7 sem reflexões sobre os valores.
Acreditamos que isso pode ser um corporificação procedimental que surgiu quando
as alunas desenvolveram a primeira equação x²=49 em formato de árvore.
• Para a equação 2y² - 242 = 0
Observamos que as alunas reutilizaram o procedimento usado na equação
27=3x², mas até a passagem y²=121 acreditamos que as alunas utilizaram os
conhecimentos usados nas equações lineares e, quando precisaram, dos
conhecimentos relacionados às quadráticas.
•
Para a equação (x - 3)² = 81
Nessa equação, as alunas fizeram várias tentativas, a maioria aplicando a
propriedade
distributiva
da
multiplicação
em
desenvolverem suas tentativas, resultavam em
relação
à
x² - 3² = 81
adição;
mas,
ao
e posteriormente
x ² − 9 = 81 . Durante essas passagens, o feedback do Aplusix apresentou erro de
equivalência e somente com a ajuda do professor conseguiram fazer a distributiva,
porém, para resolver a equação, não utilizaram esse procedimento e novamente
com a intervenção do professor resolveram a equação encontrando duas raízes
x=12 or x = -6. Para elas, foi perguntado se entenderam tais passagens e a resposta
obtida foi que “existem duas contas”. Após um período de 12 dias, as alunas
131
refizeram esta equação; inicialmente, seguiram a mesma estratégia anterior, de
desenvolver com a propriedade distributiva. Observamos que, até a passagem
x ² − 3 x − 3 x + 9 = 81 , elas estavam seguras do que deveria ser feito, mas depois as
alunas não sabiam como deveria ser resolvido, então elas fizeram uma reflexão
sobre a estratégia e decidiram apagar e refazer como haviam feito anteriormente,
com a estratégia de “duas contas” na Figura 81.
Figura 81 – duas contas equação x² -3² =81
Como o feedback do software apresentou erro de equivalência, as alunas
refletiram sobre a equação e posteriormente conseguiram resolver.
Destacamos dessas resoluções feitas que; aparentemente, ao ver uma
equação, as alunas a tratam como uma conta e procuram desenvolver para chegar a
um resultado. Acreditamos que tal procedimento, que também foi apresentado por
Vaiyavutjamai e Clements (2006)12, mostra que procuram desenvolver a equação
antes de aplicar qualquer estratégia, o que pode ser um já-encontrado derivado de
estratégias relacionadas às operações aritméticas e que estão relacionadas com o
mundo corporificado. Se inicialmente as alunas percebessem a relação da equação
(x - 3)² = 81 com as raízes (x - 3) = 81 e (x - 3) = - 81 , isso poderia ser um indício
de que estão relacionando a equação com o mundo simbólico, pois estariam
manipulando símbolos que inicialmente estavam “comprimidos” em uma equação de
maneira separada; mas isto não ocorreu. As alunas trataram as equações com
estratégias que aprenderam anteriormente, sem observar a estrutura da equação.
12
Ver capítulo 2
132
•
Para a equação (x-2)²=0 , x(x + 3) =0 e x²-6x + 9 =0 e 8x²+6x =0
Na equação ( x − 2)² = 0 as alunas, inicialmente, aplicaram a distributiva de
maneira incorreta resultando na equação x ² − 4 = 0 . A mesma estratégia ocorreu
com a equação x( x + 3) = 0 . Porém, em nenhum dos casos as alunas conseguiram
obter sucesso. Após essas tentativas, as alunas utilizaram a mesma estratégia
aplicada na equação (x - 3)² = 81 incluindo a passagem com raiz quadrada. Na
equação ( x − 2)² = 0 as alunas transformaram o expoente 2 em raiz quadrada do
valor 0 e na equação x( x + 3) = 0 , mesmo não tendo o expoente, as alunas fizeram
uma passagem com raiz quadrada do valor 0. Acreditamos que as estratégias
utilizadas para as equações são corporificações procedimentais, pois em nenhum
momento observamos a reflexão das alunas sobre o valor da raiz quadrada de 0 ou
se era necessário fazer essa raiz. Em ambos os casos as alunas conseguiram
chegar ao resultado, porém de maneira mecânica, aparentemente sem reflexão
sobre os conceitos matemáticos envolvidos.
Na equação x² - 6x + 9 = 0 , a aluna Daniele conseguiu reconhecer como um
quadrado perfeito e identificou os números 0 e 3 como raízes da equação. Contudo,
a estratégia inicial para resolver a equação foi “passar” o número 9 para o outro
membro e encontrar o valor da raiz quadrada. Em nenhum momento as alunas
pensaram em fatorar a equação para chegar a (x - 3) ⋅ (x - 3) = 0 , e encontrar as
raízes. Acreditamos que as técnicas usadas estão relacionadas a isolar a incógnita
para descobrir o valor, como usado em equações lineares e que a passagem
“descobrir a raiz quadrada” esteja associada a procedimentos mecânicos. Como
elas a usaram em outras equações e foram bem sucedidas, procuram empregar o
mesmo procedimento para todas as equações, como visto nas equações em que
procuram descobrir a raiz quadrada do valor 0.
Na equação 8x² + 6x = 0 , as alunas tentaram resolver separando valores da
incógnita com o objetivo de isolar os termos com a incógnita para descobrir seu
valor. As alunas só conseguiram resolver a equação com a intervenção do professor,
que pediu para elas colocarem x em evidência. Assim, as alunas conseguiram
resolver seguindo o mesmo procedimento utilizado em outras equações com a
133
estratégia de “duas contas”.
Nessas duas últimas equações, esperávamos que as alunas utilizassem a
fatoração para chegar ao resultado, o que indicaria uma ligação com o mundo
simbólico, mas aparentemente a fatoração não é vista como meio de resolução. Os
procedimentos utilizados parecem estar mais ligados com a resolução de equações
lineares, dando mais atenção em desfazer as operações sobre a incógnita, na
maioria das vezes isolando a incógnita, do que em fatorar.
O fato de encontrar a raiz quadrada de um número chamou-nos bastante
atenção, porque as alunas usaram em várias passagens, inclusive com o valor 0,
sem uma reflexão. Elas pareciam usar a raiz quadrada como uma técnica ligada ao
expoente 2 da incógnita, porém observamos que muitas vezes elas aplicavam a raiz
quadrada, mas não eliminavam o expoente 2 do outro membro. Neste caso,
acreditamos que a maioria das vezes as alunas sabiam que a passagem raiz
quadrada está relacionado à resolução de equações quadráticas e a utilizavam
esperando que o feedback do software Aplusix validasse como correta a passagem.
4.2.5 Estratégia de resolução das equações de avaliação e manipulação.
Considerando as equações quadráticas apresentadas, montamos um quadro
destacando em quais as alunas fizeram algum tipo de manipulação ou de avaliação.
134
Equação
Avaliação
Manipulação
x² = 49 em forma de Sim, conseguiram encontra uma das
árvore
raízes
x² = 49
Sim, de maneira correta
Sim, de maneira incorreta
27 = 3x²
Sim com valores errados para incógnita
Sim, até chegar na passagem
x²=9
Sim, mas não descobriram as
2y² - 242 = 0
raízes da equação
Sim,
(x - 3)² = 81
mas
inicialmente
descobriram
equação,
as
raízes
somente
com
não
da
a
intervenção do professor
Sim, mas não descobriram as
x(x - 3) = 18
raízes da equação
Sim, mas não descobriram as
(x - 4)² - 144 = 0
raízes da equação
Sim, mas não descobriram as
(x - 4)² - 100 = 44
raízes da equação
Sim,
(x - 2)² = 0
conseguiram
resolver
corretamente
x(x + 3) = 0
Sim, testando valores
Sim,
tentando
eliminar
o
expoente da incógnita
x² - 6x + 9 = 0
Sim, a aluna conseguiu avaliar duas
raízes, 0 e 3, porém somente 3 é
correta
Sim,
8x² + 6x = 0
mas
inicialmente
descobriram
equação,
as
raízes
somente
com
não
da
a
intervenção do professor
Quadro 4 – Equações quadráticas de avaliação e manipulação
Ao analisarmos as equações quadráticas, vimos que, na maioria, as alunas
fizeram algum tipo de manipulação, Contudo, essa manipulação era derivada de
técnicas desconectadas dos princípios matemáticos e também por técnicas usadas
para resolver equações lineares dificultando, assim, que as alunas, que
aparentemente têm maior relação com o mundo corporificado, estabelecessem
relação com o mundo simbólico.
135
Aparentemente elas têm maior conhecimento para resolver as equações
lineares e utilizam estratégias de “passar para o outro lado” para encontrar o valor
da incógnita. Como as equações quadráticas foram aplicadas após as lineares,
essas estratégias refletiram na resolução das equações quadráticas, fazendo com
que as alunas pensassem em aplicar uma manipulação, sem refletir sobre a
equação que esta sendo resolvida.
Neste capítulo, buscamos identificar e compreender a resolução das
atividades associadas aos Três Mundos da Matemática. Nas análises, usamos as
falas dos alunos, os gestos e a resolução dos exercícios, que se manifestaram
durante as atividades junto com papel do software Aplusix, que pode ter ajudado ou
dificultado, na construção de significados matemáticos sobre o tema equações.
Procuramos, também, observar os já-encontrados observados durante a
coleta de dados e percebemos que os alunos, a maioria das vezes, não têm
estratégias para conseguir resolver as equações. Observamos que, mesmo
conseguindo resolver uma equação com sucesso, a estratégia utilizada nem sempre
é reutilizada em uma próxima equação e quando conseguem aplicar uma estratégia
e se deparam com um erro, tentam desfazer todas as passagens anteriores ou ficam
com foco no erro, como em (x-3)² = x²+9 e repetindo-o várias vezes. Acreditamos
que esse tipo de erro é um “já-encontrado”, em que os alunos estão desenvolvendo
os termos separadamente, por exemplo, (x)² = x.x = x² como (-3)² = (-3).(-3) = 9 e
posteriormente juntando os resultados como x²+9 como visto nos exercícios.
Observamos que, apesar das alunas encontrarem em algumas equações
quadráticas duas raízes, uma positiva e uma negativa, a raiz negativa parece não ter
significado para essas alunas, pois em nenhum momento as observamos avaliarem
uma equação com uma possível raiz negativa ou relacionarem a resolução ao valor
negativo encontrado. Talvez nas equações quadráticas as respostas negativas só
foram apresentadas por exigência do software, como condição para validar como
correta a resolução.
136
Acreditamos que o uso dessas estratégias desconectadas dos princípios
algébricos parecem estar ligados à corporificação procedimental.
Nas Considerações Finais, retomamos a questão norteadora da nossa
pesquisa, com o objetivo de respondê-la com base nos resultados obtidos nas
análises e nas características da fundamentação utilizada.
137
CONSIDERAÇÕES FINAIS
5.1 INTRODUÇÃO
O objetivo desta pesquisa foi investigar as dificuldades envolvendo a
passagem de resolução de equações quadráticas de avaliação para as equações
quadráticas de manipulação; especificamente, qual o papel do software Aplusix
nessa transição. Nosso olhar voltou-se para a análise de como alunos de 9º ano do
ensino fundamental desenvolvem equações quadráticas, antes de aprenderem a
utilizar a fórmula de Bhaskara. Para isso, utilizamos o software Aplusix como
ambiente para que esses alunos desenvolvessem as atividades propostas. Para nos
guiar em nossas análises, buscamos como fundamentação o quadro teórico dos
Três Mundos da Matemática, proposto por Tall (2004; 2008) que conjectura a
existência de três diferentes mundos da Matemática, e adotamos as diferentes
visões da Álgebra propostas por Tall e Thomas (2001), e a classificação de
equações em equações de avaliação, equações de manipulação e os jáencontrados discutidos por Lima (2007).
Junto com esse quadro teórico, que serviu para organizar e entender os
resultados de pesquisas existentes, também destacamos pesquisas que apresentam
as dificuldades relacionadas às equações quadráticas e também às equações
lineares que, para nós, têm relação direta com muitas das dificuldades encontradas
nas quadráticas. Relatamos, também, pesquisas que utilizaram o software Aplusix
como ambiente para desenvolvimento de atividades e pesquisa.
A metodologia escolhida para a aplicação das atividades e a coleta de dados
foi o Design Experiment (COBB et al, 2003), que tem seus propósitos voltados à
construção e ao desenvolvimento de experimentos que formem uma “engenharia”,
pois permitem promover a aprendizagem de um determinado conteúdo e, ao mesmo
tempo, o desenvolvimento de interpretações teóricas sobre como se dá a
aprendizagem deste domínio, o que envolve diversas características e múltiplos
138
elementos de diferentes tipos e níveis: sujeitos, pesquisadores, atividades e o
ambiente em que a pesquisa foi realizada.
O experimento foi desenvolvido com alunos do 9º ano do Ensino Fundamental
II (com idade entre 13 e 15 anos) de uma escola pública, em particular alunos com
conhecimento sobre resolução de equações lineares. Para a seleção dos sujeitos da
pesquisa, esses alunos foram convidados, voluntariamente, a responder um
questionário com equações lineares (Anexo A, adaptado de KOCH, 2011) dos quais
selecionamos um trio de alunos que foram convidados a resolver equações lineares
e quadráticas, usando os recursos do software Aplusix.
5.2 VOLTANDO À QUESTÃO DE PESQUISA
Nossa proposta de trabalho foi aplicar atividades envolvendo equações
lineares e quadráticas para serem desenvolvidas com a ajuda do software Aplusix.
Com isso, procuramos observar as estratégias utilizadas e as dificuldades
encontradas, tanto na resolução dessas atividades, quanto no uso do software,
assim como os benefícios que o software pudesse proporcionar para o
desenvolvimento dessas atividades.
A partir disso, por meio das narrativas dos alunos, obtidas pelas gravações
realizadas, e dos protocolos obtidos com o desenvolvimento das atividades no
software, conseguimos subsídios para responder nossa questão de pesquisa:
“Qual o papel do Software Aplusix na transição de equações
de avaliação para equações de manipulação?”
A partir da interação das alunas durante a realização das atividades, pudemos
perceber que elas fizeram algum tipo de manipulação simbólica em várias equações,
139
inclusive nas equações quadráticas consideradas de avaliação. Pudemos observar
que, aparentemente, com o objetivo de resolvê-las, as alunas acabaram
manipulando os valores por meio de técnicas corporificadas. Acreditamos que o
software Aplusix teve um papel de influenciar esse tipo de manipulação e, muitas
vezes, não permitiu que as alunas avaliassem os valores das raízes, principalmente
nas situações em que descobriram somente uma das raízes, pois o software não a
validou como uma resposta parcial e sim como incorreta, fazendo com que as alunas
apagassem sua resposta, acreditando que ela estava errada. Além disso, em muitos
momentos, identificamos passagens em que o software pouco contribuiu, permitindo
que as alunas fizessem passagens como um “toque de mágica”, sem relação com
princípios matemáticos. Às vezes, essa mágica surgiu por parte das alunas, outras
porque o software mascarou algumas passagens.
Acreditamos, também que, para esse tipo de análise, envolvendo a passagem
de equações de avaliação para equações de manipulação, o feedback do software
pouco ajudou a identificar possíveis erros relacionados à manipulação.
Em relação à utilização do software Aplusix, consideramos que nos ajudou a
realizar essa pesquisa e que sua interface (mesmo utilizando a versão em inglês)
não apresentou dificuldades para nossos alunos, pois a maioria dos feedbacks
fornecidos pelo software é apresentada por meio de símbolos ao invés de
mensagens de texto.
Fizemos uso da ferramenta Editor, que nos permitiu inserir as atividades e
reorganizá-las durante o desenvolvimento da pesquisa. A ferramenta videocassete
possibilitou-nos ver o desenvolvimento das atividades feitas pelos alunos e, em
muitos casos, “entender” o raciocínio dos alunos. Destacamos que essas duas
ferramentas (Editor e Videocassete) foram essenciais para o desenvolvimento de
nossa pesquisa, e acreditamos que são ótimos acessórios tanto para o professor
como para o pesquisador, pois a possibilidade de rever as atividades desenvolvidas
pelos alunos permite analisar avanços ou impasses.
Em relação ao desenvolvimento cognitivo das alunas, o software Aplusix
pouco ajudou. Na maior parte das atividades, o software reforçou o pensamento
140
corporificado, como apresentado no Capítulo 4, em que as alunas, por sorte,
conseguiram chegar a respostas corretas. Além de procedimentos em que as alunas
utilizaram falas como “passar para outro lado e trocar o sinal” e executaram dessa
maneira no software. Acreditamos que, neste caso, o Aplusix não apresentou
nenhuma informação ou questionamento para validar o pensamento formal do aluno,
que deveria entender que os termos são acrescentados em ambos os membros da
equação, se queremos executar uma operação inversa.
Deixamos como sugestão, para que o software seja utilizado no o ensino de
equações que, em seu banco de dados, haja uma organização por série de
escolaridade e, ao serem selecionadas as primeiras séries do ensino fundamental
(nas quais são fundamentados os primeiros conceitos algébricos), para se resolver
equações, sejam obrigatórias executar a operação em ambos os membros da
equação. Por exemplo, na equação 3x+4=16 o aluno deveria, inicialmente, subtrair 4
em ambos os membros 3x+4-4=16-4, e ao resolver essa passagem, o aluno deveria
dividir ambos os membros pelo número 3, 3x/3 = 12/3 obtendo o resultado de x =4.
Outra sugestão seria que o conteúdo de equações selecionado fosse formal, por
meio de ferramentas que permitissem ao professor escolher que tipo de resolução
os alunos podem seguir, além de poder acrescentar uma opção que seja obrigatório
o aluno verificar a solução correta da equação, antes de concluir o exercício.
Nesta versão do Aplusix, sentimos falta de uma ferramenta que pudesse ser
usada pelos alunos como ajuda sobre o conteúdo, uma ferramenta de pesquisa,
como sugerida por Burigato (2007) e Rodrigues (2008), talvez ajudasse os alunos
em momentos de dúvidas e impasses, na resolução de equações.
Sentimos também falta de uma ferramenta que chamaremos de “rascunho”
porque, durante nossa pesquisa, observamos que as alunas recorriam ao uso de
papel&lápis para expressar seu raciocínio uma para a outra, em momento de
discussão. Se o software tivesse essa ferramenta “rascunho”, que seria um espaço
acionado durante a resolução das atividades, poderia ser útil para as alunas e para o
professor/pesquisador, pois seria mais um registro gravado e anexado à atividade
que está sendo resolvida.
141
5.3 CONSIDERAÇÕES PARA NOVOS ESTUDOS
Durante o desenvolvimento deste trabalho, deparamos-nos com outras
perguntas que exigiriam mais tempo e uma continuidade para que pudessem ser
respondidas. Assim, deixamos como sugestão de pesquisa situações que envolvem
o ensino e a aprendizagem de equações quadráticas por meio de um ambiente
informatizado.
Seria interessante investigar se esses resultados se repetiriam com alunos
que já aprenderam todas as estratégias de resolução de equações quadráticas,
incluindo a fórmula de Bhaskara; e se esses resultados se repetiriam com alunos
que resolvessem somente equações quadráticas tanto no papel&lápis quanto no
software; e dentro do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, se os alunos
do ensino médio desenvolvem equações com estratégias similares aos alunos do
ensino fundamental.
Também no desenvolvimento dessa pesquisa deparamos-nos com a situação
em que a aluna conseguiu reconhecer a equação como um quadrado perfeito
( x² - 6x + 9 = 0 ) e a estratégia inicial para se resolver a equação foi “passar” o
número 9 para o outro membro e encontrar o valor da raiz quadrada. Em nenhum
momento a aluna pensou em fatorar a equação para chegar a (x - 3) ⋅ (x - 3) = 0 , e
para encontrar as raízes. Assim acreditamos ser interessante uma pesquisa
relacionada à resolução de equações quadráticas a partir da fatoração.
Outra sugestão que deixamos é a aplicação das atividades em modo “teste”
(sem o feedback do software) podendo ser parte de uma nova sessão de pesquisa,
com o objetivo de comparar os resultados com dessa pesquisa.
Finalizando esse trabalho, esperamos que essa pesquisa contribua para o
desenvolvimento do software Aplusix e incentive outros trabalhos relacionados às
equações quadráticas de avaliação e de manipulação.
142
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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fatoração nos ambientes: Papel e lápis e no software Aplusix. Dissertação de
Mestrado. UFMS/ MS, 2007.
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matemática do ensino fundamental. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC,
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FREIRE, R. S.; Castro Filho, J. A. Desenvolvendo conceitos algébricos no ensino
fundamental com o auxílio de um Objeto de Aprendizagem. Campo Grande.
Proceedings of XXVI Congresso da SBC, 2006. p. 156-163.
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erros no ensino médio. Pontifícia Universidade Católica de São Paulo - PUC/SP.
São Paulo. 2002.
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Aplusix com alunos de 6ª série do ensino fundamental. Dissertação de
Mestrado. São Paulo: PUC, 2007.
143
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Simple Arithmetic, The Journal for Research in Mathematics Education, NCTM,
v.26, n.2, 1994. p.115 – 141.
KARRER, M. Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: um estudo sobre as
transformações lineares na perspectiva dos registros de representação
semiótica. Tese de Doutorado. São Paulo: PUC, 2006.
KIERAN, C. Concepts associated with the equality symbol. Educational Studies
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KOCH, R. M. Uma introdução ao estudo de equações quadráticas à luz dos três
Mundos da Matemática. 2011. Dissertação de Mestrado. Universidade Bandeirante
de São Paulo, São Paulo, 2011.
LIMA, R. N. de. Equações Algébricas no Ensino Médio: Uma jornada por
diferentes mundos da Matemática. 2007. Tese de Doutorado. São Paulo. PUC,
2007.
LIMA, R. N. de; HEALY, L. Revisitando o Corte Didático em Álgebra: Uma
questão de conexão entre os mundos corporificado e simbólico?. Boletim
GEPEM. 2010.
NICAUD, J. et al. Developing interactive learning environments that can be used
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auxílio do programa Aplusix. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC, 2008.
144
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equations with one unknow. Educational Studies in Mathematics. The Netherlands,
v. 49, 2002. p. 341 – 359.
145
Anexo A- Equações Lineares
Nome:______________________________________________________série:____
____
Resolva as equações justificando cada passagem, não deixando nenhuma sem
responder.
a) 2b - 30 = 0
b) 6x = 5x
c) 10 + 4w = 5
d) 8 = 6 - c
e) 4k – 2 = 3k + 6
f) 2d + 10 = 60
g) m + 6 = 5
h) w² = 9
i) 2n + 5 = 6n – 7
j) -3x + x = -5
4 3 6
k) (m + 1)² = 4
l) 4y – 13 = 9 - 5y
146
Anexo B - Equações Quadráticas
Trabalhando com todas as operações que você conhece, escreva várias maneiras
de representar os números sem repetir a operação mais que 3 vezes
a) 25
b) (3*3)
c) (-7) * (-7)
d) 49
e) 8 * (4+4)
Resolva as equações justificando cada passagem.
a) 5 = 10 + 4w
b) 4k – 2 = 3k + 6
c) 2x + 5 = 6x – 7
d) 6x = 5x
e) X² = 49
f) 2y² - 242 = 0
g) 27 = 3x²
h) x (x + 3) = 0
i) 8x² + 6x = 0
j) x (x + 2) = 15
k) x² + 2x + 1 = 0
l) x² + 10x + 25 = 0
m) x² = x+1
n) (x – 4)² -144 =0
o) (x - 3)² = 0
p) x² - 6x + 9 = 0
q) x² - 2x -3 = 0
r) (x-4) . (x-7) = 0
s) ( k+ 32) . (k-7) =9
t) 3x + 2 = 8
u) 3x + 8 = 7x
147
Anexo C - Carta de Autorização da Escola
CARTA DE AUTORIZAÇÃO DA ESCOLA
Prezado Senhor Diretor da E. E. Jardim das Rosas.
Queremos convidar os alunos de duas 8as séries a participarem de um estudo
sobre a aprendizagem de Matemática. Tal estudo faz parte de nossa Dissertação de
Mestrado, que está ligada à linha de pesquisa Tecnologias Digitais e Educação
Matemática, da Universidade Bandeirante de São Paulo–UNIBAN-SP.
Nosso objetivo é investigar o papel do Software Aplusix na transição de
equações de avaliação para equações de manipulação, concentrando-nos, em
particular, nas equações quadráticas.
O estudo ocorrerá durante o 2º semestre letivo de 2010. Faremos entrevistas,
fora do horário de aula, com alunos selecionados, que serão realizadas com duplas
de alunos, com algumas perguntas objetivas. Estas entrevistas serão gravadas,
acompanhadas por um observador neutro e, eventualmente, filmadas, para
esclarecimento posterior de alguma resposta apresentada.
Consideramos a colaboração desses alunos muito importante, para que
possamos estudar e avaliar abordagens diferentes, que permitam aprimorar o ensino
e a aprendizagem de equações quadráticas. As entrevistas poderão ser áudiogravadas e filmadas, mas as gravações e as imagens somente serão utilizadas por
nós como forma de análise dos resultados obtidos. Caso façamos qualquer
apresentação pública de nosso trabalho, em nenhum momento será possível
identificar a escola ou o participante.
Os alunos não são obrigados a participar e podem desistir a qualquer
momento ao longo do estudo. Os menores de idade deverão trazer o Termo de
Consentimento Livre e Esclarecido assinado pelo pai ou responsável.
Não deve haver preocupação de sua parte com relação a possíveis
dificuldades com os tópicos pesquisados. O objetivo da pesquisa é o de discuti-los e
observar como o aluno os associa os conhecimentos já conhecidos. Os resultados
obtidos não afetarão notas ou conceitos nem da escola e nem do participante. A
participação
deve,
inclusive,
caracterizar-se
como
mais
uma
forma
de
aprendizagem.
Como pesquisador responsável por este estudo, prometemos guardar e
manter em segredo todos os dados pessoais e acrescentamos que as informações
148
obtidas só serão publicadas de maneira global, seja em eventos científicos nacionais
e internacionais, seja em revistas científicas da área, sem que seja possível qualquer
reconhecimento tanto da escola como do aluno participante.
Acredito ser viável e interessante que, ao final da pesquisa, eu retorne à
escola para divulgar os resultados.
Se estiver claro para o senhor, pedimos que assine conosco este documento,
autorizando a pesquisa nessa Escola. Caso tenha alguma dúvida, ficamos à
disposição:
Ricardo
Pedroso
dos
Santos,
telefone
(11)4489-0578,
e-mail
[email protected] aluno do Mestrado Acadêmico em Educação Matemática
da UNIBAN-SP, orientando da Profa Dra Rosana Nogueira de Lima, e-mail
[email protected] e Profª Dra. Lulu Healy, e-mail [email protected]
__________________________
Ricardo Pedroso dos Santos
___________________
Diretor da Escola
149
Anexo D - Termo Livre e Esclarecido
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
Título do Projeto: O papel do Software Aplusix na transição de equações de
avaliação para equações de manipulação: o caso das equações quadráticas
Pesquisador: Ricardo Pedroso dos Santos sob a orientação da Profª Dra. Rosana
Nogueira de Lima e Profª Dra. Lulu Healy.
Instituição a que pertence os Orientadores: Universidade Bandeirante de São
Paulo (UNIBAN)
Telefones para contato: (11) 2972-9008 - (11) 2972-9025
As informações a seguir estão sendo fornecidas para sua participação neste estudo,
o qual tem como objetivo analisar a passagem de equações lineares para equações
quadráticas e aprendizagem desse tipo de equações com a possibilidade de uso de
um ambiente computacional (software Aplusix) pode influenciar no ensino e na
aprendizagem do conceito de equações quadráticas, bem como o impacto delas na
motivação e na atitude desses alunos perante a Matemática, perante a utilização
desse ambiente.
Os dados do projeto serão obtidos por meio de atividades desenvolvidas no
software, as quais envolvem atividades com equações. O material coletado durante
o projeto, as atividades realizadas, as gravações de áudio e vídeo, as transcrições e
os registros escritos, serão de uso exclusivo do grupo de pesquisa, e servirão como
base para procurar entender melhor a relação entre os processos de aprendizagem
e o dinamismo proporcionado pelo software.
Os participantes terão seus nomes trocados por pseudônimos, preservando a
identidade dos sujeitos. Menção às instituições onde as entrevistas serão realizadas
será feita somente mediante a autorização das mesmas. O cronograma das
atividades será organizado de modo que não prejudique outras atividades escolares,
sendo realizadas de acordo com o cronograma de cada turma. Assim, esperamos
que sua participação resulte em avanços de conhecimentos, sendo positivo não
150
apenas para os participantes como, também, para a comunidade que eles
pertencem.
Os resultados dessa pesquisa poderão ser utilizados pelos pesquisadores em
publicações em periódicos, livros, eventos científicos, cursos e outras divulgações
acadêmico-científicas. A veiculação de imagem dos sujeitos em divulgações
científicas só será realizada com consentimento dos envolvidos.
Em qualquer etapa do estudo, o sujeito participante da pesquisa terá acesso aos
responsáveis pela pesquisa. Para eventuais dúvidas ou esclarecimentos sobre os
procedimentos ou a ética da pesquisa entre em contato com a pesquisadora
responsável na UNIBAN – Campus de Marte, sito à Av. Braz Leme, 3.029 - São
Paulo - SP, telefones (11) 2972-9008 - (11) 2972-9025
A qualquer participante é garantida a liberdade da retirada de seu consentimento
para participação da pesquisa, quando lhe convier.
Não há despesas pessoais para o participante em qualquer fase do estudo, assim
como não há compensação financeira relacionada à sua participação.
151
Eu,___________________________________,RG nº _______________________,
responsável
legal
por
____________________________________,
RG
nº
_____________________ declaro estar suficientemente informado a respeito das
informações que li acima, ou que foram lidas para mim, a respeito do projeto O
papel do Software Aplusix na transição de equações de avaliação para
equações de manipulação: o caso das equações quadráticas. Ficaram claros
para mim quais são os propósitos do estudo, os procedimentos, as garantias de
confidencialidade e autorizo a veiculação dos resultados para os usos mencionados.
Está claro também que minha participação é isenta de qualquer tipo de despesas.
Assim sendo, concordo em participar deste estudo e poderei retirar o meu
consentimento a qualquer momento, antes ou durante o mesmo, sem penalidades
ou prejuízo para mim e sem prejuízo para a continuidade da pesquisa em
andamento.
São Paulo, _____ de ____________ de _______
Assinatura do sujeito de
pesquisa/representante legal
Assinatura da pesquisador
responsável
Assinatura da testemunha
Assinatura da testemunha
Declaro que obtive de forma apropriada e voluntária o Consentimento Livre e
Esclarecido deste sujeito de pesquisa ou representante legal para a participação
neste estudo.
Assinatura do responsável pelo estudo
Data ____/_____/_____
152
AUTORIZAÇÃO DO USO DAS IMAGENS
Declaro meu consentimento para a veiculação de minha imagem para fins de
divulgação científica, nas condições do TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E
ESCLARECIDO, que li acima, ou que foram lidas para mim, a respeito do projeto O
papel do Software Aplusix na transição de equações de avaliação para
equações de manipulação: o caso das equações quadráticas.
São Paulo, _____ de ____________ de _______
Assinatura do sujeito de
pesquisa/representante legal
Assinatura da pesquisador
responsável
Assinatura da testemunha
Assinatura da testemunha