O FUNCIONAMENTO COGNITIVO E SEMIÓTICO DAS REPRESENTAÇÕES
GRÁFICAS: PONTO DE ANÁLISE PARA A APRENDIZAGEM
MATEMÁTICA
FLORES, Cláudia R. – UFSC
MORETTI, Méricles T. – UFSC
GT: Educação Matemática / n.19
Agência Financiadora: FAPESC – CNPq
Introdução
Saber ler e interpretar dados e informações representadas graficamente vêm
tomando um lugar de destaque na educação e, particularmente, na educação matemática.
Isso porque a quantificação da diversidade de informações é cada vez mais necessária
na sociedade atual. Neste sentido, vê-se que conteúdos tais como os de estatística, de
probabilidade e de combinatória são solicitados ao ensino, fato este que é reforçado
pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997), já nas séries iniciais do
Ensino Fundamental.
Algumas pesquisas1, na área de educação matemática, têm se pautado em tal
problemática procurando trazer para o ensino, de modo concreto, a relação entre o
conhecimento matemático e o tratamento da informação. A construção de gráficos,
tabelas e o envolvimento de alunos em pesquisas de campo, tornou-se, portanto, uma
opção metodológica que, além de outras, possibilita a compreensão da concepção do
número em contextos significativos.
Contudo, para além da introdução de conceitos e métodos estatísticos para
auxiliar a coleta, a organização, a interpretação e a análise de dados, é preciso o
desenvolvimento de habilidades que envolvam desde a leitura como o julgamento de
informações semiotizadas. Neste sentido é que LOPES (2004) fala numa “literacia
estatística”, ou seja, a capacidade de reconhecer e de classificar dados como quantitativos
ou qualitativos, discretos ou contínuos e, ainda, a desenvoltura para ver que cada tipo de
organização de dados conduz a um tipo específico de representação, por exemplo,
gráficos, tabelas, diagramas.
Ora, mesmo que se considere, na educação matemática, o desenvolvimento de
tal capacidade, é preciso ver que a própria estrutura representacional levanta
complexidades de leitura e de interpretação que exige, de nossa parte, uma certa
desenvoltura visual e um empenho cognitivo. Portanto, o interesse aqui, neste estudo, é
1
Ver por exemplo, BARRETO (2003), LOPES (2003), CORDANI (2003).
2
o de ver como as representações gráficas servem de suporte para a comunicação de
dados, por exemplo, de estatística, de probabilidade e, para além disso, ver como estes
modos de representação possuem linguagem própria. O que significa analisar como as
representações gráficas, em particular, possuem regras, códigos instituídos para a sua
composição e requerem um tratamento específico no sistema de representação
semiótica.
Sabe-se que ler uma tabela, um diagrama não é tarefa tão imediata. A leitura
exige por parte do leitor certa intimidade, e também domínio, do modo de representação
utilizado. Ler, interpretar, analisar e julgar, ou organizar dados em gráficos e tabelas
significa, antes de tudo, dominar o próprio funcionamento representacional. Mas, então,
como compreender a complexidade da organização visual da informação e da
comunicação em representações gráficas? E qual o interesse desta compreensão para a
educação matemática? São estas as questões que permeiam o trabalho neste texto.
O trabalho desenvolvido aqui é pautado nos estudos sobre “registros de
representação semiótica para a aprendizagem matemática”, de Raymond Duval2,
particularmente sobre a organização semiótica e cognitiva das representações gráficas.
Então, primeiramente, discutiremos sobre as funções cognitivas das representações
semióticas, que possibilitam a aprendizagem matemática; depois, destacaremos as
representações gráficas, enquanto suporte representacional de dados e informações, no
ensino da matemática para, enfim, empreenderemos uma análise das implicações
cognitivas e das complexidades de organização representacional das representações
gráficas do tipo tabelas. Com isso, pretendemos contribuir para a compreensão da
diversidade e das especificidades de uso das representações gráficas na, e para,
educação matemática.
As funções das representações na aprendizagem matemática
Ensinar matemática, sob o ponto de vista de Raymond Duval, é antes de tudo
possibilitar o desenvolvimento geral das capacidades de raciocínio, de análise e de
visualização. A atividade matemática, neste caso, é caracterizada pela dependência das
representações semióticas, bem como pela grande variedade destas representações. Isso
porque as representações semióticas, no domínio da matemática, assumem um papel
2
É filósofo e psicólogo de formação, autor de muitos trabalhos envolvendo a psicologia cognitiva e o
papel dos registros de representação semiótica para a apreensão do conhecimento matemático. Sua
principal obra é Sémiosis et pensée humaine (1995).
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considerável já que os objetos matemáticos, não sendo acessíveis pela percepção, só
podem sê-lo por suas representações, lembrando que um mesmo objeto matemático
poderá ter representações diferentes, dependendo da necessidade e do uso. Há, portanto,
uma diversidade de representações semióticas que DUVAL (2003) agrupa em quatro
grandes registros: a língua natural, as escritas algébricas e formais, as figuras
geométricas e as representações gráficas.
O interesse pelo conhecimento da existência deste mundo das representações
semióticas não se dá, tão somente, pela possibilidade de entendimento cognitivo para a
aprendizagem matemática, mas pelas funções cognitivas que estas representações
preenchem e que, portanto, auxiliam no processo da educação matemática.
Segundo DUVAL (1999) são quatro as funções que as representações podem
preencher: função de comunicação, função de tratamento, função de objetivação e
função de identificação. A primeira é a função de transmissão de uma mensagem ou de
uma informação entre indivíduos, ela requer a utilização de um código comum aos
indivíduos. A segunda, é a função que transforma uma representação em uma outra,
utilizando unicamente as possibilidades de funcionamento do sistema de representação
mobilizado. A terceira, é a função que permite a um sujeito de tomar consciência
daquilo que até então ainda não o tinha feito. É o trabalho de exteriorização. Esta função
é, às vezes, confundida com a função de comunicação porque ela dá lugar a uma
produção de modo vocal ou gráfico, quando se trata de uma produção que é por si e não
por outra. De uma certa maneira, a objetivação corresponde a um uso estritamente
privado de um registro de representação, mesmo se a produção é materialmente
acessível a outra e pode parecer em uma produção para fins de comunicação ou às vezes
de tratamento. Estas três primeiras funções são, para Duval, fundamentais para o
funcionamento cognitivo.
Enfim, a função de identificação que permite encontrar, ou reencontrar, um dado ou
uma informação dentre muitas outras. A identificação é, portanto, o trabalho cognitivo
que permite a recuperação da memória, seja ela humana ou de um sistema informático,
ou seja, é concernente a organização das informações da memória. Esta função se faz
importante, aqui, por ser imediatamente solicitada quando é preciso ler e analisar um
quadro de dados, por exemplo. Dentre os muitos dados, e informações, contidos num
quadro é preciso identificar, ou encontrar, aquele que é o solicitado na análise de um
problema envolvendo dados estatísticos.
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A representação gráfica: contribuição cognitiva e funcionamento representacional
A representação gráfica constitui-se num importante recurso para a análise de dados e
tratamento da informação. Basta olharmos os meios de comunicação, sejam eles virtuais
ou impressos, para vermos a impregnação de quadros, tabelas, gráficos, ou seja, de uma
linguagem semiotizada que permite a comunicação de dados e informações. As noções
de estatística, probabilidade e problemas de contagem são, portanto, noções
matemáticas que fazem parte do cotidiano atual de nossa sociedade. Isso fez com que
tais noções passassem a ser objetos de ensino de matemática3. Porém, lidar com tais
noções significa, antes de tudo, lidar com tabelas, gráficos, diagramas, para organizar e
comunicar dados e informações, o que implica numa análise do funcionamento
representacional destes modos de representação.
Assim, para além de um estudo das possibilidades de aprendizagem e das formas
metodológicas de ensino de noções de estatística, contabilidade e contagem na educação
matemática, é preciso verificar as diversas formas de representação gráfica que
constituem o suporte representacional para tais noções matemáticas, ou melhor, é
preciso uma análise das características visuais, representacionais e cognitivas que
acarretam cada uma das representações gráficas.
Faz-se importante ressaltar o fato de que as representações gráficas preenchem
as quatro funções cognitivas do pensamento. A identificação, como já foi dito aqui, é
uma função fundamental para o tratamento destas representações. Em relação,
particularmente, à comunicação basta abrirmos um jornal qualquer para sentirmos essa
importância. Não menos importante, percebemos o papel de destaque que é dado à
representação gráfica nos livros didáticos, uma vez que há um interesse crescente pelo
recurso às novas tecnologias da informação. Há, portanto, uma inserção, no cotidiano do
aluno, de representações gráficas tais como, quadros, tabelas, gráficos cartesianos,
gráficos de barras, gráficos com três dimensões, diagramas circulares. Nesse caso, a
representação deverá preencher não só o papel de comunicação, como é o caso
principalmente dos jornais, mas de objetivação e tratamento. Para o aluno, não é
suficiente que ele saiba “ler” um gráfico, é necessário também que ele saiba organizar e
operar de forma objetiva sobre os dados contidos neste modo de representação. Assim
sendo, consideramos necessária uma análise do funcionamento tanto cognitivo como
semiótico nas representações gráficas na educação matemática.
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Ver, por exemplo, o que pregam os Parâmetros Curriculares Nacionais para a Matemática.
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Há uma forma de representação gráfica que parece simples e direta. Por isso, o
recurso a ela é comum e freqüente no ensino de matemática. Trata-se das representações
gráficas do tipo tabelas, ou seja, daqueles cuja disposição é feita sobre linhas e colunas;
do tipo gráficos cartesianos; ou ainda, dos gráficos de barras. Porém, esta simplicidade
de acesso às informações, a homogeneidade visual e a forma organizada de distribuição
de dados, só são aparentes. Fatores diversos como, por exemplo, aqueles requeridos na
organização representacional e visual, bem como aqueles ligados aos processos
cognitivos, podem interferir tanto na leitura e análise dos dados dispostos neste tipo de
representação, como na própria construção e organização dos dados.
Particularmente, para as representações gráficas do tipo tabela, devemos
considerar que elas possuem determinadas vantagens, como por exemplo, o fato de que
permitem a visualização dos dados de forma separada preenchendo assim,
explicitamente, a função cognitiva de identificação. Será, portanto, sobre estes tipos de
representações, as tabelas, que nossa análise irá se deter. Isso permitirá uma extensão
para a análise de outros tipos de representações gráficas.
Segundo DUVAL (2002), para analisar a contribuição cognitiva das tabelas, e
suas diferentes utilizações, é preciso distinguir dois importantes pontos: a própria
organização representacional, ou seja, a composição semiótica das tabelas, e as funções
cognitivas que elas preenchem.
No que diz respeito a organização representacional das tabelas é visível a
disposição dos dados, ou informações, em linhas e em colunas. Porém, esta não é uma
característica exclusiva das tabelas, a utilização de uma forma quadriculada aparece,
igualmente, nas representações cartesianas, e histogramas-gráficos de barra. Portanto,
tal característica, diz DUVAL (2002), não é suficiente para descrever o funcionamento
representacional das tabelas, sendo necessário discernir a especificidade das tabelas em
relação as outras representações gráficas. Vejamos, por exemplo, as imagens a seguir:
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Figura 14
Figura 25
Na tabela que vemos na figura 1, os dados e as informações distribuídas pelas
casas não desenham uma forma qualitativa enquanto que, no gráfico cartesiano que
vemos na figura 2 uma forma é configurada. Assim, os gráficos cartesianos, bem como
os gráficos de barra, são representações gráficas que possibilitam o aparecimento de
formas visuais tais como retas, curvas, contornos de superfícies. Este fato não ocorre
nas tabelas pois não é possível reagrupar, ou fusionar, os dados de cada casa de modo
que se tenha o desenho de uma forma. Isso porque nenhuma ligação contínua pode ser
traçada entre os conteúdos de cada casa. “Dispor os dados em linhas e em colunas não
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Atividade retirada de GIOVANNI & GIOVANNI JR. Matemática Pensar & Descobrir: o +novo. 6a
série, p.47. Coleção pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2002.
5
Atividade retirada de GIOVANNI & GIOVANNI JR. Matemática Pensar & Descobrir: o +novo. 5a
série, p.111. Coleção pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2002.
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faz, portanto, aparecer nenhuma forma visual interpretável como num diagrama ou
numa imagem.” (DUVAL, 2002, p.11).
Há, ainda, um diferencial importante entre as tabelas e os gráficos cartesianos.
Segundo DUVAL (2002), uma tabela é essencialmente finita, enquanto que um gráfico
cartesiano não é. A título de exemplo, veja como o gráfico da figura 2 é plausível de
muitas inferências para além dos dados categoricamente registrados, sendo que o
mesmo não ocorre na tabela da figura 1.
Notar essa diferença é importante uma vez que estes dois tipos de representação
mobilizam tratamentos diferentes. “Os gráficos cartesianos se prestam a operações de
interpolação e extrapolação, mas não as tabelas que se prestam somente a uma
operação de permutação de linhas ou de colunas ...” (Idem, p.11). Portanto, num
gráfico cartesiano as escalas das unidades podem ser mudadas, mas não a permutação
das posições sobre um eixo, pois isso levaria a destruição da representação. Este fato
leva DUVAL a concluir que a
“... diferença entre a característica finita das tabelas e a característica
potencialmente infinita dos gráficos cartesianos diz respeito aos objetos
representados e não ao princípio sobre o qual o sistema de representação se
funda. Este princípio repousa sobre uma disposição espacial bi-dimensional em
vista de separar e de localizar os dados.” (Ibidem)
A unidade elementar representacional de uma tabela constitui-se, portanto, num
dos elementos desse sistema de representação. A título de exemplo, tomemos a figura 1.
Para responder os itens a e b, por exemplo, basta adentrar na tabela e identificar o dado
correspondente a informação desejada. Assim, para responder qual a maior temperatura
registrada e em qual cidade, é preciso dirigir-se a coluna Max e associar o maior valor
de temperatura a Cidade correspondente. Trata-se do uso da função de identificação, ou
seja, uma consulta rápida à tabela permite encontrar a resposta quase que
imediatamente. Esta é uma forma de utilização bastante familiar das tabelas, ou seja, a
leitura pontual da tabela permite encontrar a informação desejada. Neste sentido, a casa
correspondente a solução, que é identificada pela interseção de uma linha e de uma
coluna, será a unidade elementar representacional, se a tabela apresenta a característica
de ser para consultas rápidas.
Mas, nem sempre uma tabela se presta unicamente para fins de consulta rápida.
As tabelas podem apresentar-se com características de classificação ou de variação,
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exigindo assim não mais uma leitura exclusivamente pontual, mas uma leitura global da
tabela. Por exemplo, para responder o item e na tabela da figura 1 é preciso apreender
globalmente as informações das linhas e das colunas, fazendo emergir um conceito que
possibilite um tratamento na tabela. Isso significa que, além de analisar a tabela em seu
conjunto comparando dados já elaborados, é preciso realizar operações que permitam
encontrar a variação de temperatura, ou melhor, é preciso adentrar no conceito de
variação de temperatura. Para DUVAL (2002), trata-se de um passo de “apreensão
global”. “A passagem de um passo pontual a um passo de interpretação global na
‘leitura’ das tabelas representa um salto do ponto de vista cognitivo.” (p. 12).
Então, para analisar o funcionamento representacional de todos os tipos de
tabelas, não é a casa que deve ser considerada como unidade elementar da tabela, mas
uma enumeração feita segundo uma relação de ordem (ordem alfabética, ordem
numérica, ordem das posições sobre um trajeto... que são as ordens de referência usadas
mais freqüentemente.). A unidade elementar que constitui o sistema de representação
das tabelas é, segundo DUVAL (2002), uma Lista Ordenada, quer dizer, uma lista
estrutural que irá determinar a distribuição bi-dimensional em casas, em contraposição
as enumerações de levantamento de dados sistemáticos, como por exemplo, os
inventários.
Contudo, mesmo que todas as tabelas se pareçam iguais elas não funcionam
todas da mesma maneira, quer dizer, elas não implicam nos mesmos empreendimentos
cognitivos, tampouco, nas mesmas possibilidade de tratamentos. Portanto, não se
aprende a ler tabelas de modo geral, mas somente um tipo particular de tabela. Sendo
assim, DUVAL (2002) fornece dois grandes grupos de classificação para a análise
semiótica e cognitiva das tabelas:
- Tabelas que se constituem apenas como uma apresentação sinóptica, como um “banco
de dados”, servindo apenas para uma consulta rápida o que implica num custo
cognitivo bastante baixo. A leitura deste tipo de tabela é dada a partir de uma
exploração vertical, ou horizontal, de uma ponta a outra, com parada sobre a casa
correspondente ao dado indicado na questão que motiva a exploração.
- Tabelas que permitem aparecer novos dados, inferir a existência de relações ou de
elementos não ainda conhecidos, ou ainda mostrar a necessidade de distinções que até
então não tinham sido levados em conta. A leitura deste tipo de tabela implica numa
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dupla exploração, vertical e horizontal e, além disso, essa exploração deve ser
simultânea.
Com isso pode-se compreender, enfim, que a organização semiótica de uma
tabela não se reduz a uma simples disposição de linhas e de colunas. Sua organização
depende das listas estruturais, e da maneira como elas são colocadas em
correspondência. As regras de formação de uma tabela dependem, então, de um lado da
possibilidade de se colocar em correspondência casa com casa, ou colunas, ou entre
linhas. E, por outro lado, o conteúdo de cada casa deve ser uma unidade de informação
identificável, sem que seja preciso nenhum trabalho inicial, por exemplo, de
segmentação de expressões amontoadas. Este fato é essencial pois é isto que vai
permitir a exploração global da tabela.
A análise do sistema semiótico das tabelas nos remete, portanto, aos níveis de
apreensão deste modo de representação, quer dizer, aos passos e procedimentos de
leitura de uma tabela que geram implicações cognitivas. Como bastante já foi discutido
aqui, a função cognitiva mais evidente e requerida na leitura de tabelas é a de
identificação. A distribuição bi-dimensional de informações em linhas e em colunas
permite separar visualmente as informações e localizá-las rapidamente.
Contudo, há uma grande diversidade de tabelas, de modos de representar
graficamente, logo há uma diversidade de funções cognitivas que elas podem preencher.
Isso implica, também, na diversidade e riqueza de tarefas possíveis requeridas a partir
de uma mesma tabela. E, segundo Duval (2002), “... o simples fato de mudar de tarefa
para o mesmo tipo de tabela pode acarretar uma mudança no nível de apreensão e,
portanto, nos passos de leitura.” (p.28). Tomemos o exemplo dado na figura 3.
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Figura 36
Para resolver a tarefa solicitada, a função cognitiva de identificação seria aquela
requerida automaticamente. Agora, se fosse pedido que se analisasse a correspondência
entre uma outra forma de representação (veja a figura 4) como representante das
informações e dos dados já registrados na tabela dada na figura 3, o modo de ler e de
apreender a tabela iria além da simples identificação de dados e informações. Seria
preciso uma leitura global que apreendesse todas as informações no seu conjunto e,
mais ainda, o entendimento do sistema semiótico do outro modo de representação (no
caso, do gráfico de barras da figura 4). Este fato, muitas vezes, não é levado em conta
no ensino, pensa-se que transitar de um registro a outro é tarefa natural e simples.
Figura 47
Há que se considerar, ainda, outra função cognitiva requerida no uso de tabelas:
o tratamento. Ora, nem sempre é suficiente a identificação imediata de uma informação,
ou de um dado, mas a modificação de uma representação em uma outra, a partir das
possibilidades de funcionamento do sistema semiótico em questão. É preciso, portanto,
realizar procedimentos diversos, tais como, comparações entre linhas ou colunas,
operações entre dados, inclusões ou permutações de dados....
Enfim, compreender os processos cognitivos requeridos no uso de tabelas,
gráficos, no ensino de matemática, significa entender o funcionamento representacional
que gera apreensões de leitura e tratamentos específicos. Assim, usar tabelas na
educação matemática significa não somente usá-las no seu modo mais freqüente, ou
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Atividade retirada de GIOVANNI & GIOVANNI JR. Matemática Pensar & Descobrir: o +novo. 6a
série, p.25. Coleção pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2002.
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seja, para situações de comunicação, que preenchem apenas a função cognitiva de
identificação. Além disso, o ensino deveria possibilitar, e privilegiar, outras tarefas
possíveis que não seja só a de leitura de tabelas, de gráficos. Outras tarefas tais como,
construir uma tabela, interpretar e preencher a tabela, reunir todos os dados ou
informações para serem organizados em outra tabela (como no caso do exemplo da
figura 3 e 4), deveriam ser igualmente valorizadas e, sobretudo, tratadas como objeto de
estudo e de aprendizagem.
Considerações Finais
As representações gráficas no ensino da matemática, e mesmo de uma maneira geral,
estão longe de se constituir num meio de representação simples e evidente, como se
supõem geralmente. Particularmente, no ensino, privilegia-se muito mais a tarefa de
leitura e identificação de dados retirados de representações gráficas para fins de
comunicação em detrimento de outras atividades, tais como a própria construção destas
representações. No caso das tabelas, vimos que elas não são representações autônomas,
como aliás todas as representações que privilegiam a visualização. Isto quer dizer que
elas se articulam de maneira explícita, ou implícita, com representações num outro
registro. Esta articulação, que diz respeito a interação entre a tabela e o enunciado
verbal do problema, ou a escritura algébrica, é essencial já que será essa possibilidade
que comandará a maneira de ler uma tabela. É a conversão entre os registros que
possibilitará uma leitura global das representações gráficas.
Há que se considerar, ainda, a grande diversidade de representações gráficas e a
riqueza de tarefas que se pode explorar em cada uma destas representações.
Normalmente, este fato é negligenciado no ensino. Contudo, o simples fato de mudar de
tarefa para o mesmo tipo de representação gráfica pode provocar mudanças de
apreensão e, portanto, nos passos de leitura. Esta estratégia implica na elaboração
cognitiva, associando pensamento e registro de representação, fato este importante para
a aprendizagem matemática.
Enfim, podemos destacar dois elementos importantes para analisar os
movimentos de leitura de representações gráficas na educação matemática. O primeiro,
diz respeito a leitura cartesiana, aquela que busca a identificação rápida da resposta à
questão solicitada, implicando na associação do que é pedido com a identificação do
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Imagem retirada de GIOVANNI & GIOVANNI JR. Matemática Pensar & Descobrir: o +novo. 6a série,
p.25. Coleção pensar e descobrir. São Paulo: FTD, 2002.
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dado, ou da informação, correspondente na representação, ou representada. O outro, é a
leitura global da representação, o que implica numa apreensão global da situação que é
dada mediante a articulação dos muitos registros envolvidos.
O papel das representações gráficas no ensino da matemática vai além, portanto,
de ser aquele ligado a comunicação e organização de dados. O uso deste modo de
representação implica num estudo do funcionamento semiótico e cognitivo a fim de se
destacar os procedimentos metodológicos que geram aprendizagens matemática.
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