Estatística Básica
Utilizando o Excel
Delamaro e Marins
5a. Aula – Distribuições de
Probabilidade - Contínuas
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
1
Tópicos
Maio2003

Distribuição Normal

Distribuição Normal Padronizada ou Reduzida

Avaliando a Normalidade dos Dados

Distribuição Exponential
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
2
Variável Aleatória Contínua

Maio2003
Uma Variável Aleatória Contínua é
uma variável que pode assumir
valores num intervalo definido.
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
3
Exemplos de Variáveis Aleatórias
Contínuas
Maio2003

Tempo para realizar uma tarefa

Taxas Financeiras

Pesos (volumes) de produtos

Distância entre dois pontos
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
4
Distribuição de Probabilidades
Contínuas

Maio2003
A Distribuição de Probabilidades de
uma Variável Aleatória Contínua é
representada por uma função
densidade de probabilidade f(X) que
define uma curva.
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
5
Função Densidade de
Probabilidade
Propriedades
Discretas
0  P(X=x)  1
f(X)  0, para todo X
Contínuas


f ( X )dx  1
 P( X  x)  1

x
b
b
P ( a  X  b) 

f ( X )dx
P ( a  X  b)   P ( X  i )
a
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
i a
6
Distribuição de Probabilidades
Discretas versus Contínuas
(a) Distribuição de
Probabilidades Discreta
(b) Função Densidade de
Probabilidade
f(X)
P(X)
x
Valores possíveis de X
Maio/2003
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2002 Prentice-Hall, Inc.
x
Valores possíveis de X
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
6 5-7
Chap
Distribuição Normal
“Em forma de Sino”
 Unimodal
 Simétrica
 Média, mediana e
moda são iguais
 Assintótica em relação
ao Eixo X
 Amplitude Interquartil
é 1,33 s

Maio2003
50%
f(X)
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
Q1

Q3
X
Média,
Mediana
Moda
8
Modelo Matemático
f X  




Maio2003
1
2s
2
e
-
1
2s
2

X



2
X: valores da variável aleatória (    X   )
F(X):função densidade probabilidade da variável
aleatória X
: média da população
s: desvio padrão da população
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
9
Distribuição Normal
Variando os parâmetros s e , obtém-se
diferentes formas de distribuições normal
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
10
Cálculo de Probabilidades
Probabilidade
é a área sob a
curva!
P c  X  d   ?
f(X)
c
Maio2003
d
X
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
11
Cálculo de Probabilidades
P(- < X < + )
Qual a área total
abaixo da curva?
f(X)
Área =
1
X
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
12
Qual Tabela usar?
Deveríamos ter disponíveis uma infinidade de
Tabelas, uma para cada par s e !
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
13
Solução: Distribuição Normal
Padronizada ou Reduzida
Distribuição Normal Padronizada
Tabela (Parte)
Z
.00
.01
Z  0 s Z  1
.02
0,5478
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
Probabilidades
0.3 .6179 .6217 .6255
Maio2003
0
Z = 0,12
Uma única Tabela basta!
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
14
Distribuição Normal
Padronizada
Valor da V. A. Normal Z Padronizada:

z
onde:
x
s
x = valor da V. A. Normal X
s = Desvio padrão da V. A. Normal X
 = Média da V. A. Normal X
z = valor padronizado de x (número de desvios
padrão com relação à Média)
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FEG/UNESP 7 CONFAB INDUSTRIAL
13 5-15
Chap
Exemplo
Z
X 
s
6.2  5

 0.12
10
Z: Distribuição
Normal Padronizada
X: Distribuição Normal
s  10
 5
Maio2003
sZ 1
6.2
X
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
Z  0
0.12
Z
16
Exemplo:
P  2.9  X  7.1  .1664
Z
X 
s
2.9  5

 .21
10
Z
X 
s
7.1  5

 .21
10
Z: Distribuição
Normal Padronizada
X: Distribuição Normal
s  10
.0832
sZ 1
.0832
2.9
 5
Maio2003
7.1
X
0.21
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
Z  0
0.21
Z
17
Exemplo:
P  2.9  X  7.1  .1664
(continuação)
Distribuição Normal
Z  0
Tabela (Parte)
Z
.00
.01
sZ 1
.02
0,5832
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0
0.2 .5793 .5832 .5871
Z = 0,21
0.3 .6179 .6217 .6255
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
18
Exemplo:
P  2.9  X  7.1  .1664
(continuação)
Distribuição Normal
Z  0
Tabela (Parte)
Z
.00
.01
.02
sZ 1
0,4168
-03 .3821 .3783 .3745
-02 .4207 .4168 .4129
0
-0.1 .4602 .4562 .4522
0.0 .5000 .4960 .4920
Maio2003
Z = -0,21
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
19
Exemplo:
P  X  8  .3821
Z
X 
s
85

 .30
10
Distribuição
Normal Padronizada
Distribuição Normal
s  10
sZ 1
.3821
 5
Maio2003
8
X
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
Z  0
0.30
Z
20
Exemplo:
P  X  8  .3821
(continuação)
Distribuição Normal
Z  0
Tabela (Parte)
Z
.00
.01
sZ 1
.02
0,6179
0.0 .5000 .5040 .5080
0.1 .5398 .5438 .5478
0
0.2 .5793 .5832 .5871
Z = 0,30
0.3 .6179 .6217 .6255
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
21
Encontrando Valores de Z
para Probabilidades conhecidas
Distribuição Normal
Qual é Z associado à
Probabilidade= 0,6217 ?
Z  0
sZ 1
Tabela (Parte)
Z
.00
.01
0.2
0.0 .5000 .5040 .5080
0,6217
0.1 .5398 .5438 .5478
0.2 .5793 .5832 .5871
0
Z  .31
Maio2003
0.3 .6179 .6217 .6255
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
22
Recuperando Valores de X
para Probabilidades Conhecidas
Distribuição
Normal Padronizada
Distribuição Normal
s  10
sZ 1
.1179
.3821
 5
?
X
Z  0
0.30
Z
X    Zs  5  .3010  8
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
23
Avaliando Normalidade

Maio2003
Na prática é importante saber
avaliar quanto (quão bem) um
conjunto de dados pode ser
adequadamente aproximado por
uma distribuição normal
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
24
Avaliando Normalidade
(continuação)

Construir gráficos



Para conjuntos pequenos ou moderados de dados, o
stem-and-leaf display e o box-and-whisker plot
apresentam simetria?
Para conjuntos com muitos dados, o histograma ou o
polígono apresentam a forma de sino?
Calcular medidas descritivas dos dados
Maio2003

A média, mediana e moda têm valores similares?

A amplitude interquartil é aproximadamente 1,33 s?
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25
Distribuição de
Probabilidades Uniforme
Uniform Probability Distribution
A Distribuição Uniforme é uma distribuição de
probabilidades na qual a probabilidade de
ocorrer um valor entre dois pontos, a e b, é a
mesma de ocorrer um valor entre dois outros
pontos, c e d, se a distância entre a and b é
igual a distância entre c e d.
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FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
Chap 24
5-26
Distribuição de
Probabilidades Uniforme
Distribuição de Probabilidades Uniforme
1
f ( x) 
if a  x  b
ba
f ( x)  0 c.c.
onde:
f(x) = Função Densidade de Probabilidade de X
a = Limite Inferior de intervalo de definição de X
b = Limite Superior de intervalo de definição de X
Parâmetros:  = (a+b)/2 e s2 = (b – a)2/12
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FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
Chap 25
5-27
Distribuição de
Probabilidades Uniforme
f(x)
1
1
f ( x) 
  0,33
52 3
para 2  x  5
1
1
f ( x) 
  0,20
83 5
para 3  x  8
f(x)
0,33
0,20
2
a
Maio2003
5
b
3
a
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
8
b
28
Cálculo de
Probabilidades na Uniforme
f(x)
1
1
f ( x) 
  0,33
52 3
para 2  x  5
P(3  X  5) = ?
P(3  X  5) =
0,50
(5 – 3)/(6 – 1) =
0,25
2/5 = 0,4
1
a
Maio2003
3
5
6
b
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29
Distribuição de
Probabilidades Exponencial
T: valores da variável aleatória contínua = intervalo
entre chegadas, com e = 2,71828
P(intervalo entre chegadas < t)= 1- e-t 
 : taxa média de chegadas
1/  : intervalo médio entre chegadas
Exemplos: Carros chegando num pedágio; Clientes chegando
num caixa eletrônico
Maio2003
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30
Distribuição de
Probabilidades Exponencial
(continuação)


Usada para estudos de Sistemas de Filas
Função densidade de probabilidade
f  x 

Maio2003
Parâmetros
1

e

x

  1
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s  1
31
Distribuição de
Probabilidades Exponencial
f(x)
Lambda = 3,0 (Média = 0,333)
Lambda = 2,0 (Média = 0,5)
Lambda = 1,0 (Média = 1,0)
Lambda = 0,50 (Média = 2,0)
Valores of X
Maio2003
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32
Exemplo
Ex.: Operários chegam no almoxarifado a
uma taxa de 30/h. Qual é a probabilidade
do intervalo entre chegadas consecutivas de
Operários ser maior que 5’ ?
 30 e intervalo = 5/60 = 0,0833 horas
P(intervalo entre chegadas > t) =
1 – P(intervalo entre chegadas  t) =
1 – (1 – e-30.0,0833) = 0,0821
Maio2003
FEG/UNESP & CONFAB INDUSTRIAL
33