Radiação de Dipolo Magnético e de Quadrupolo Elétrico
Considerando apenas a zona de radiação, obtivemos uma expansão aproximada para o potencial vetorial,
supondo que o número de onda multiplicado pelo tamanho característico da distribuição localizada de corrente era muito menor do que a unidade:
ˆ
exp (ikr)
≈
d3 r′ Jc (r′ )
rc
V
ˆ
exp (ikr)
d3 r′ (r̂ · r′ ) Jc (r′ ) .
− ik
rc
V
Ac (r)
O primeiro termo, como descrito acima, dá a contribuição da radiação dipolar
elétrica. O segundo termo resulta no que se chama radiação dipolar magnética
e quadrupolar elétrica:
exp (ikr)
= −ik
rc
ADM QE (r)
ˆ
d3 r′ (r̂ · r′ ) Jc (r′ ) .
V
Para explicitar as contribuições de dipolo magnético e quadrupolo elétrico, reescrevamos o integrando da seguinte forma:
(r̂ · r′ ) Jc (r′ ) − (r̂ · Jc (r′ )) r′
2
(r̂ · r′ ) Jc (r′ ) + (r̂ · Jc (r′ )) r′
2
1 ′
[r × Jc (r′ )] × r̂
2
(r̂ · r′ ) Jc (r′ ) + (r̂ · Jc (r′ )) r′
.
2
(r̂ · r′ ) Jc (r′ ) =
+
=
+
Com essa separação do integrando em dois termos, escrevemos
ADM (r) =
ik
exp (ikr)
r̂ × mc ,
r
onde denimos o momento de dipolo magnético complexo como
mc
=
1
2c
e
AQE (r) =
−ik
exp (ikr)
rc
ˆ
d3 r′ r′ × Jc (r′ )
V
ˆ
d3 r′
V
(r̂ · r′ ) Jc (r′ ) + (r̂ · Jc (r′ )) r′
.
2
O campo indução magnética para a contribuição de dipolo magnético à radiação
é dado por
BDM (r) = ∇ × ADM (r)
1
]
[
exp (ikr)
= ik∇ ×
r̂ × mc
r
[
]
exp (ikr)
exp (ikr)
= ik ∇
∇ × (r̂ × mc )
× (r̂ × mc ) + ik
r
r
[
]
exp (ikr)
1
= ik −
r̂
+
∇
exp
(ikr)
× (r̂ × mc )
r2
r
(r
)
exp (ikr)
∇×
× mc
+ ik
r
r
k2
≈ − exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc )
r
[(
)
]
exp (ikr)
1
1
+ ik
∇
× (r × mc ) + ∇ × (r × mc )
r
r
r
k2
r
k2
−
r
k2
−
r
k2
−
r
k2
−
r
≈ −
=
=
=
≈
exp (ikr)
∇ × (r × mc )
r2
exp (ikr)
exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc ) + ik
∇ × (x̂n xn × mc )
r2
exp (ikr)
exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc ) + ik
(∇xn ) × (x̂n × mc )
r2
exp (ikr)
exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc ) + ik
x̂n × (x̂n × mc )
r2
exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc ) + ik
exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc )
e, portanto, podemos denir
Brad
DM (r) =
−
k2
exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc ) .
r
Na zona de radiação, podemos também calcular
EDM (r)
=
≈
=
≈
=
i
∇ × Brad
DM (r)
k
k
−i ∇ × [exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc )]
r
[r (r
)]
k
k
−i [∇ exp (ikr)] × [r̂ × (r̂ × mc )] − i exp (ikr) ∇ ×
×
× mc
r
r
r
r
k2
exp (ikr) r̂ × [r̂ × (r̂ × mc )]
[r 2
]
k
− exp (ikr) r̂ × (r̂ × mc ) × r̂
r
= Brad
DM (r) × r̂
k2
= − exp (ikr) (r̂ × mc )
r
2
e, portanto, denimos
EDM (r) =
=
k2
exp (ikr) (r̂ × mc )
r
Brad
DM (r) × r̂.
−
No caso da contribuição de quadupolo elétrico para a radiação, podemos
simplicar o integrando na expressão para AQE (r):
(r̂ · r′ ) Jc (r′ ) + (r̂ · Jc (r′ )) r′
1
[(r · r′ ) Jc (r′ ) + (r · Jc (r′ )) r′ ]
r
=
1
[(xm x′m ) (x̂n x̂n ) · Jc (r′ ) + (xm x̂m ) · Jc (r′ ) (x̂n x′n )]
r
1
x̂n [xm x′m x̂n · Jc (r′ ) + x′n xm x̂m · Jc (r′ )]
r
1
x̂n xm [x′m x̂n · Jc (r′ ) + x′n x̂m · Jc (r′ )]
r
[ (
)
]
1
x̂n xm x′m ∇′ x′n · Jc (r′ ) + x′n x̂m · Jc (r′ )
r
{
1
x̂n xm ∇′ · [x′m x′n Jc (r′ )] − x′n ∇′ · [x′m Jc (r′ )]
r
x′n x̂m · Jc (r′ )}
=
=
=
=
=
+
=
−
=
−
=
=
=
=
=
{
(
)
1
x̂n xm ∇′ · [x′m x′n Jc (r′ )] − x′n ∇′ x′m · Jc (r′ )
r
}
x′n x′m ∇′ · Jc (r′ ) + x′n x̂m · Jc (r′ )
{
1
x̂n xm ∇′ · [x′m x′n Jc (r′ )] − x′n x̂m · Jc (r′ )
r
}
x′n x′m ∇′ · Jc (r′ ) + x′n x̂m · Jc (r′ )
}
{
1
x̂n xm ∇′ · [x′m x′n Jc (r′ )] − x′n x′m ∇′ · Jc (r′ )
r
1
1
x̂n xm ∇′ · [x′m x′n Jc (r′ )] − x̂n xm x′n x′m ∇′ · Jc (r′ )
r
r
1
1 ′
′
′
′
′
x̂n xm ∇ · [xm xn Jc (r )] − r (r · r′ ) ∇′ · Jc (r′ )
r
r
1
′
′
′
′
x̂n xm ∇ · [xm xn Jc (r )] − r′ (r̂ · r′ ) ∇′ · Jc (r′ )
r
1
x̂n xm ∇′ · [x′m x′n Jc (r′ )] − r′ (r̂ · r′ ) iωρc (r′ ) .
r
3
Assim,
AQE (r)
ˆ
exp (ikr)
1
d3 r′ x̂n xm ∇′ · [x′m x′n Jc (r′ )]
2rc
r
ˆ V
exp (ikr)
d3 r′ r′ (r̂ · r′ ) iωρc (r′ )
ik
2rc
V
˛
exp (ikr)
1
d3 a′ x̂n xm x′m x′n n̂′ · Jc (r′ )
−ik
2rc
r
S(V )
ˆ
exp (ikr)
d3 r′ r′ (r̂ · r′ ) iωρc (r′ )
ik
2rc
V
˛
exp (ikr)
−ik
d3 a′ r′ (r̂ · r′ ) n̂′ · Jc (r′ )
2rc
S(V )
ˆ
exp (ikr)
ik
d3 r′ r′ (r̂ · r′ ) iωρc (r′ ) .
2rc
V
= −ik
+
=
+
=
+
Como
n̂′ · Jc (r′ )|S(V )
AQE (r)
=
0,
ˆ
exp (ikr)
d3 r′ r′ (r̂ · r′ ) iωρc (r′ )
2rc
V
ˆ
k 2 exp (ikr)
= −
d3 r′ r′ (r̂ · r′ ) ρc (r′ ) .
2
r
V
= ik
Para fazer conexão com o momento de quadrupolo elétrico, notemos que
ˆ
1
x̂n xm
r
d3 r′ r′ (r̂ · r′ ) ρc (r′ ) =
V
ˆ
d3 r′ x′m x′n ρc (r′ ) .
V
Mas, por denição, as componentes do tensor momento quadrupolar elétrico
complexo são dadas por
ˆ
Qmn
=
]
[
2
d3 r′ 3x′m x′n − δmn (r′ ) ρc (r′ )
V
e, portanto,
ˆ
V
d3 r′ x′m x′n ρc (r′ ) =
1
1
Qmn + δmn
3
3
4
ˆ
V
d3 r′ (r′ ) ρc (r′ ) .
2
Logo,
AQE (r)
ˆ
k 2 exp (ikr)
d3 r′ r′ (r̂ · r′ ) ρc (r′ ) .
2
r
V
ˆ
k 2 exp (ikr) 1
−
x̂n xm
d3 r′ x′m x′n ρc (r′ )
2
r
r
V
k 2 exp (ikr) 1
x̂n xm Qmn
−
6
r
r
ˆ
k 2 exp (ikr) 1
1
2
d3 r′ (r′ ) ρc (r′ )
x̂n xm δmn
2
r
r
3
V
[
]
ˆ
k 2 exp (ikr) 1
3 ′
′ 2
′
−
x̂n xm Qmn + r̂
d r (r ) ρc (r ) ,
6
r
r
V
= −
=
=
−
=
ou, usando uma notação mais compacta,
AQE (r)
[
]
ˆ
←
→
k 2 exp (ikr)
3 ′
′ 2
′
= −
r̂ · Q + r̂
d r (r ) ρc (r ) ,
6
r
V
onde denimos
←
→
Q = x̂m Qmn x̂n .
O termo proporcional ao versor r̂ não contribui para o campo indução magnética,
pois
∇ × r̂ =
0.
Assim, na zona de radiação,
BQE (r)
= ∇ × AQE (r)
[
]
→
exp (ikr) ←
k2
r̂ · Q
= − ∇×
6
r
[
←
→]
k2
≈ − ∇ × exp (ikr) r̂ · Q
6r
( ←
( ←
→) k 2
→)
k2
= − [∇ exp (ikr)] × r̂ · Q −
exp (ikr) ∇ × r̂ · Q
6r
6r
k3
6r
k3
−i
6r
k3
−i
6r
k3
−i
6r
k3
−i
6r
= −i
=
=
=
≈
(←
→ )
exp (ikr) r̂ × Q · r̂ −
(
←
→ )
exp (ikr) r̂ × Q · r̂ −
(
←
→ )
exp (ikr) r̂ × Q · r̂ −
(
←
→ )
exp (ikr) r̂ × Q · r̂ −
(
←
→ )
exp (ikr) r̂ × Q · r̂
k2
6r
k2
6r
k2
6r
k2
6r
5
)
· x̂m Qmn x̂n
r
(x
)
m
exp (ikr) ∇ ×
Qmn x̂n
r
[ ( x )]
m
exp (ikr) Qmn ∇
× x̂n
r
(
)
xm
x̂m
exp (ikr) Qmn − 2 r̂ +
× x̂n
r
r
exp (ikr) ∇ ×
(r
e, portanto, denimos
Brad
QE (r)
= −i
(
←
→ )
k3
exp (ikr) r̂ × Q · r̂ .
6r
Temos também, na zona de radiação,
EQE (r)
=
≈
=
=
=
≈
i
∇ × Brad
QE (r)
k
[
(
←
→ )]
k2
∇ × exp (ikr) r̂ × Q · r̂
6r
(
(
←
→ ) k2
←
→ )
k2
[∇ exp (ikr)] × r̂ × Q · r̂ +
exp (ikr) ∇ × r̂ × Q · r̂
6r
6r
(
←
→ ) k2
k3
i exp (ikr) r̂ × r̂ × Q · r̂ +
exp (ikr) ∇ × (r̂ × x̂m Qmn x̂n · r̂)
6r
6r
(
)
(
←
→ ) k2
k3
r × x̂m
i exp (ikr) r̂ × r̂ × Q · r̂ +
exp (ikr) Qmn ∇ ×
xn
6r
6r
r2
(
←
→ )
k3
i exp (ikr) r̂ × r̂ × Q · r̂
6r
e, portanto, denimos
Erad
QE (r)
(
←
→ )
k3
exp (ikr) r̂ × r̂ × Q · r̂
6r
(
←
→ )
k3
= −i exp (ikr) r̂ × Q · r̂ × r̂
6r
= Brad
QE (r) × r̂.
= i
6