O ÍNDICE DE CONFIABILIDADE NA
AVALIAÇÃO DA SEGURANÇA ESTRUTURAL
DE PRODUTOS DE MADEIRA
Amazoneida Sá Peixoto Pinheiro
[email protected]
Linda Lee Ho
[email protected]
Universidade de São Paulo – Departamento de Engenharia de Produção
Av. Prof. Almeida Prado, 128 – sala 229 – 05508-900 – São Paulo/SP – Brasil.
Área Temática: Qualidade
ABSTRACT
Probabilistic methods to predict structural failure are analysed as measure of product safety. Wooden
products which have high variability in their mechanical proprieties and durability incertainties are
studied, in this paper, as na example of the use of the safety index or reliability index..
KEYWORDS: safety index, reliability, timber structural
RESUMO
Métodos probabilísticos na predição de falha são discutidos como medidas de avaliação da segurança
estrutural de produtos. Produtos de madeira por apresentarem alta variabilidade nas suas propriedades
mecânicas e incertezas quanto à sua durabilidade são considerados neste trabalho como exemplo de
aplicação do índice de confiabilidade.
1. INTRODUÇÃO
A madeira é um dos mais completos materiais gerados pela natureza.
Possui um conjunto de
características técnicas e econômicas dificilmente encontradas em outros materiais, sendo
provavelmente um dos poucos materiais de construção renováveis.
Entretanto, há vários problemas que têm limitado o seu emprego na construção civil e naval, entre os
quais os relacionados com a durabilidade. Os produtos de madeira são mais vulneráveis a incêndios e
de menor expectativa de vida se comparados a outros constituídos de materiais mais tradicionais, como
os materiais metálicos (aço, ferro e algumas ligas) e concreto.
A confiabilidade é uma das formas de se estudar a durabilidade de produtos, dentro de um enfoque
probabilístico.
A
função de confiabilidade ou sobrevivência, é uma das principais funções
probabilísticas usadas para descrever dados provenientes de testes de vida. É a probabilidade de um
produto desempenhar sem falha uma função especificada, sob determinadas condições de uso e durante
um certo tempo (Lewis, 1994). Considerando a variável de interesse T, tempo até a ocorrência da
falha ou tempo de falha, pode-se representar a função de confiabilidade R(t) como:
R(t ) = P(T ≥ t )
A teoria da confiabilidade foi desenvolvida, inicialmente, com o objetivo de estimar a ocorrência de
falhas catastróficas, em situações de alto risco para o ser humano. O emprego desta técnica aumentou
consideravelmente depois da segunda guerra mundial, com aplicações principalmente na indústria
aeronáutica, aeroespacial e nuclear.
Atualmente, os efeitos da análise de confiabilidade podem ser observados mais diretamente pelos
consumidores através de produtos cujos tempos de garantia contra defeitos são estabelecidos, assim
como a previsão da expectativa média de vida (MTTF), tempo de prateleira, o tempo entre falhas ou
defeitos (MTBF), o tempo de reposição de peças ou componentes, tempo entre reparos ou
manutenções (MTTR).
Construir confiabilidade em produtos é uma necessidade, e tem impulsionado empresários e
construtores a reconhecer sua importância na produção de bens de melhor qualidade, principalmente,
quando se considera fatores como: o rápido desenvolvimento tecnológico, a grande competição em
escala mundial, a sofisticação dos padrões de consumo e novos instrumentos de proteção dos
consumidores (Borges et al, 1996).
Para que a qualidade possa assumir um papel estratégico, não é suficiente o interesse dos gerentes mas
é essencial um melhor entendimento do termo “qualidade”. Neste sentido, Garvin (1992) analisa uma
definição de qualidade de produto, as quais passam a constituir a base do uso da qualidade como arma
de concorrência. Dentro do conceito multidimensional de qualidade, a confiabilidade é colocada como
uma das oito categorias básicas que definem a qualidade de um produto. Portanto, confiabilidade é uma
característica de qualidade e medidas como MTTF, MTBF, MTTR, disponibilidade, e previsão de
falhas são medidas da qualidade de um produto (Ramirez Pongo, 1996).
Toda esta teoria foi incorporada, também, na avaliação da segurança estrutural de projetos da
construção civil e naval, passando a ser conhecida, a partir da década de setenta, como Confiabilidade
Estrutural.
Houve nesta época profundas transformações nos códigos internacionais que regulamentam as
construções, recomendando delineamentos probabilísticos no dimensionamento de estruturas, como
por exemplo as normas canadenses (National Buiding Code of Canada), as normas americanas através
dos comitês de segurança e confiabilidade da Sociedade Americana de Engenheiro Civis, do Instituto
Americano do Aço de Construção e do Instituto Americano do Concreto.
As normas européias também se modificaram na direção de métodos probabilísticos dos estados limites,
como os Eurocodes. Inspirada no Eurocode No. 5 (a norma européia para projetos em madeiras,
1991) e nos trabalhos de Freitas (1978; 1984) a atual norma brasileira NBR-7190 (1997) trouxe
profundas alterações nos conceitos relativos ao projeto de estruturas de madeira. De uma norma de
tensões admissíveis passa-se a uma norma probabilística de estados limites. O projeto de madeira passa
a seguir os mesmos caminhos trilhados pelo aço e concreto para projeto de estrutura.
Este trabalho tem por objetivo discutir alguns métodos probabilísticos para análise de falhas em projetos
cujo componente estrutural principal é a madeira, enfocando principalmente o índice de confiabilidade
como medida de segurança do estado limites e sua aplicação em uma peça estrutural de madeira.
2. INDICADORES DE CONFIABILIDADE DAS MADEIRAS
Resistência e rigidez são algumas das propriedades mecânicas mais importantes na predição da
confiabilidade de produtos de madeira. Entende-se por resistência a capacidade ou aptidão dos corpos
de suportar tensões e por rigidez aquelas medidas relacionadas com a elasticidade do material. No caso
das madeiras, as propriedades de resistência e rigidez são muito afetadas por fatores ambientais, entre
os quais, condições de origem como umidade, temperatura e densidade do povoamento.
As propriedades são condicionadas, também, por sua estrutura anatômica, devendo-se distinguir os
valores correspondentes à tração dos valores correspondentes à compressão, bem como os valores
correspondentes à direção paralela às fibras dos valores correspondentes à direção normal às fibras.
Também devem distinguir-se os valores correspondentes às diferentes classes de umidade.
Entre as principais características mecânicas das madeiras, estão:
f c,0 - resistência à compressão paralela as fibras;
f c,90 - resistência à compressão perpendicular às fibras;
E c,0 - módulo de elasticidade longitudinal em ensaio de compressão paralela;
f t ,0 - resistência à tração paralela às fibras;
f t ,90 - resistência à tração perpendicular às fibras;
Et ,0 - módulo de elasticidade longitudinal em ensaio de tração paralela;
ff
- módulo de ruptura à flexão ou resistência à flexão;
Ef
- módulo de elasticidade longitudinal obtidos no ensaio de flexão;
f s,0 - resistência ao cisalhamento paralelo às fibras.
A grande diversidade de espécie das florestas brasileiras tem impulsionado, cientistas e engenheiros a
investigarem, nos últimos 30 anos, as características das mais diferentes espécies madeireiras com
objetivo de melhor empregá-las, manejá-las e preservá-las.
3. CONSIDERAÇÕES SOBRE A VARIABILIDADE
PROPRIEDEDES DE RESISTÊNCIA DAS MADEIRAS
DAS
Incertezas quanto a durabilidade, e a alta variabilidade das propriedades mecânicas têm comprometido
significativamente a comercialização de empreendimentos que se utilizam de produtos de madeira como
elementos estruturais principais.
Freitas (1978; 1984) estudando a variabilidade presente nas propriedades mecânicas de 23 espécies
lenhosas, propôs modelos de regressão considerando o agrupamento dessas espécies em classe de
resistência com objetivo de minimizar o efeito dessa variabilidade nos projetos que envolvam
procedimentos probabiísticos.
Trabalhando com espécies crescidas no Brasil e com os dados publicados por vários autores, Lahr
(1990) obteve uma estimativa da variabilidade, através do coeficiente de variação, para cada uma das
principais propriedades de resistência e elasticidade da madeira verde e seca.
Concluiu, também,
que estas propriedades mecânicas podem ser melhor explicadas pelas distribuições de Gauss e Weibull.
A Tabela 1 mostra os valores dos coeficientes de variação do referido trabalho
Tabela 1: Coeficientes de Variação para algumas propriedades das madeiras
Propriedades
Coeficiente de
Variação
Mecânicas
Madeira Verde
Madeira Seca
f c,0
0.16
0.20
Ec,0
0.20
0.24
f t ,0
0.25
0.28
f s,0
0.25
0.30
ff
0.15
0.20
Et ,0
0.16
0.20
Fonte: Lahr (1990)
4. MÉTODOS PROBABILÍSTICOS
CONFIABILIDADE ESTRUTURAL
NA
ESTIMAÇÃO
DA
Resumidamente, o problema consiste em determinar a probabilidade de falha no tempo t, Pf(t) ou seu
complemento a probabilidade de sobrevivência R(t), em uma peça estrutural de madeira qualquer, com
um certa resistência (R) e sujeita a carregamentos que provocam solicitações (S) ou tensões internas.
O evento falha pode, então, ser definido como a probabilidade das solicitações serem maiores do que a
capacidade da peça (resistência) em suportar essas tensões (Fusco, 1993). Conseqüentemente, esta
medida reflete o grau de segurança associada a um produto. Pode ser simbolizada por:
R(t ) = P(T ≥ t ) = 1 − Pf (t )
R(t ) = P[ R(T ) ≥ S (T ) / 0 < T < t ]
A confiabilidade de uma peça normalmente decresce com o tempo, devido ao desgaste, danos
cumulativos e aumento na chance de ocorrência de carregamentos mais pesados.
Na década de setenta foram publicados vários trabalhos indicando a necessidade de métodos de
verificação da segurança que possibilitasse a estimativa de incertezas contidas em projetos de madeira.
A maioria desses trabalhos, segundo Goodman & Criswell (1982), defendiam
os pressupostos da
análise de confiabilidade como ferramentas importantes na predição de risco de colapso estrutural.
Houve, nesta época, profundas transformações nos códigos internacionais, que passaram a recomendar
delineamentos probabilísticos no dimensionamento das estruturas, como por exemplo o NBCC (Código
canadense de construção), o EUROCODE No. 5 - Código europeu de construção em madeiras (1991).
Vários métodos probabilísticos têm sido propostos para determinação de R(t), entre os quais o método
probabilístico puro ou método de nível 3 e o método probabilístico aproximado ou método de nível 2,
também conhecido com FOSM (First order, second moment).
4.1. MÉTODO PROBABILÍSTICO PURO
Este método estima a probabilidade (chance) da violação de um dado estado limite ao longo da vida
prevista para a estrutura, considerando:
i. todas as variáveis envolvidas no processo de colapso são independentes e aleatórias, isto é,
não são constantes fixas;
ii. a falha pode ocorrer em qualquer parte da peça, não apenas no ponto correspondente a maior
solicitação.
iii. vários mecanismo de colapso, tais como; escoamento, desgaste.
De uma forma mais simplificada, desconsiderando falhas de desgaste, ou seja resistências (R) e
solicitações (S) como não variantes no tempo, r(t)=R e s(t)=S podendo ser descritas pelas suas
respectivas densidades de probabillidade f r (r ) e
f s ( s) .
Considere, então, um item retirado aleatoriamente de uma população com certa resistência média e
desvio padrão. Suponha que a resistência tenha valor r 0 . Este item será submetido à aplicação de uma
única solicitação, por sua vez originada aleatoriamente de uma distribuição com certa média e desvio
padrão.
A confiabilidade do item, segundo Melchers (1987), origina-se portanto de dois eventos:
A. a resistência do item tenha o valor r0 , e
B. a solicitação aplicada seja inferior a r0 .
A probabilidade de A pode ser representada por: P( A) = f r (r0 )dr e a probabilidade de B dada por:
r0
P ( B) = ∫ f s ( s)ds .
0
Como tais probabilidades são independentes, pode-se multiplicá-las para poder obter a conjunta:
r0
P(S<r0)= f r (r0 )[ ∫ f s ( s)ds]dr
0
Somando-se para todos os possíveis valores de resistência, obtêm-se a confiabilidade do item (peça)
quando submetido à aplicação de uma carga:
∞
R = (R>S) =
∫
0
r
f r (r )[ ∫ f s (s )ds ]dr
0
A complexidade deste procedimento concentra-se no conhecimento e na forma das densidades. Na
prática, essas funções probabilísticas raramente são conhecidas, e quando conhecidas, a distribuição
conjunta f r , s (r , s) , assume forma que muitas vezes torna difícil e complexo o cálculo da confiabilidade
( R ).
4.2. MÉTODO PROBABILÍSTICO APROXIMADO
Neste método a probabilidade de falha Pf(t) está condicionada a critérios determinísticos, ou seja, a
falha acontecerá no ponto onde a estrutura é mais solicitada. A suposição de independência entre
resistência - r e solicitações -s é considerada e suas respectivas funções de densidade de probabilidade
fr e
f s podem ser estimadas através de dados experimentais.
O FOSM (First Order , Second Moment) necessita apenas do primeiro e segundo momento da função
de falha ou colapso da estrutura, ou seja média e desvio padrão para a estimação da segurança do
projeto sem qualquer referência a forma específica das funções f r e
fs .
Seja H a função de falha ou colapso da estrutura ou componente para um especificado estado limite e
sejam µH = E[ H ]
o valor central (média ) e σ H = {VAR[ H ]}1 / 2 o desvio padrão da referida função.
Define-se β - índice de confiabilidade (safety index) como a razão entre a média e o desvio padrão da
função associada a falha na estrutura H, isto é
β = µH / σ H
Pode ser interpretada como uma medida de avaliação da segurança de peças, componentes e produto
para fins estruturais. Carter (1986), a descreveu como uma ferramenta importante no cálculo da
probabilidade de falhas em situações onde houver impossibilidade de se implementar o método
probabilístico nível 3.
A relação de β com a probabilidade de falha pode ser, assim determinada:
Pf = P(λ ≤ −
µH
µ
H − µH
) = P(
< − H ) = P( H < 0)
σH
σH
σH
Pf = Fλ (− µ H / σ H ) = Fλ (− β )
onde FH é a função acumulada da variável aleatória H e λ = (H − µH ) / σ H .
O índice de confiabilidade dependerá, portanto, de como será escrita a função falha e o respectivo
estado limite .
Há várias maneiras de se escrever H, as mais simples estão apresenta na tabela 2.
Tabela 2: Algumas funções de falha
Número
1
2
3
Função de falha H
Evento falha
H =r−s
H = ln(r / s)
H = (r / s)
H≤0
H≤0
H ≤1
Valor de H
correspondente a falha
0
0
1
Aplicando este índice na avaliação de falhas em madeiras, Freitas (1978) estudou vários
comportamentos das tensões admissíveis para H, supondo
Fλ = Φ λ , onde Φ λ é a função acumulada
da normal padrão.
O mesmo procedimento já havia sido adotado por Zahn (1977) e Sexsmith & Fox (1978) quando
estudaram delineamentos probabilísticas em estruturas de madeiras.
Esses autores mostram o comportamento de β em situações, nas quais as seguintes suposições são
admitidas:
i. conhecimento dos valores médios de resistências e solicitações, respectivamente µr
seus correspondentes valores Ω r
e
µs e
e Ω s - coeficientes de variação.
ii. a função de falha H como v.a normal com comportamento igual a equação de no. 2 mostrada
na tabela 1.
Logo, se µH = ln(
µr
) e σ H = Ω r 2 + Ω s 2 então o índice de confiabilidade β , pode ser escrito
µs
como:
β=
µH
µr / µs
=
2
2
σH
Ω r +Ω s
padronizando-se H de forma a obter a probabilidade de falha
Pf = P (R≤ S) = P (H ≤0) = FH (0)
como Fλ = Φ λ então Pf = Φ λ (− β ) = 1 − Φ λ ( β ) .
A condição de segurança pode ser obtida da seguinte forma:
µr
≥ exp(β Ω r 2 + Ω s 2 )
µs
µr ≥ µs
exp(β Ω r 2
+ Ωs 2 )
A tabela 3 apresenta os valores para β , sugeridos por Zahn (1977) e sua relação com um específico
estado limite .
Tabela 3: Alguns valores prescritos para β ,
Estado limite
Conseqüência
da falha
β
Flexão excessiva
Ruptura de único membro
Colapso da estrutura
desconforto
danos
perda de vidas
1.5
3.0
4.5
5. APLICAÇÃO
Apesar da atual norma que regulamenta a construção em Madeiras - NBR-7190/97 (1997) admitir que
as resistências das madeiras tenham variabilidade e que a distribuição normal é a função probabilística
que melhor as descreve, o referido código não recomenda o uso do índice de confiabilidade no
tratamento da segurança de projetos. Portanto, quaisquer procedimentos de construção em madeira
que o adote, não estará amparado legalmente, podendo, assim, o profissional responsável, sofrer as
penalidades da lei.
O problema consiste em dimensionar uma viga (peça)
considerando-se:
estado limite: deformação excessiva;
R e S como variáveis aleatórias e independentes;
para assoalho de uma sala residencial,
espécie: Dipterix odorata Willd - Cumaru
Dados das propriedades mecânicas dessa espécie obtidos no cadastro do IPT.
Considerando-se, os pressupostos da Resistência dos materiais para o estado limite de flexão excessiva,
a resistência R será representada pela resistência à flexão, enquanto as solicitações serão representadas
pela carga distribuía sobre a viga Pl .
Dada a deformação efetiva < L/200 segundo NBR 7190/97, a condição de verificação é:
5 Pll L4
384 EI
≤ L / 200
onde:
L= 300 cm, o comprimento do vão
Em - módulo de elaasticidade médio - 158000 Kgf/cm2 e
I - momento de inércia da peça e
P – a carga distribuída sobre a viga.
Dado o evento falha:
R < S, e
R=
384 EI
≤ Pl = S
5 X 200 L3
Supondo L, I fixos (variabilidade quase nula) e E como v.a com média Em e coeficiente de variação Ω E,
tem-se
µR ≥
384 Em I 0.384 X 158000 I
=
≅ 0.674 I
1000 L3
(300) 3
Considerando-se o trabalho de Lahr (1990) adota-se o coeficiente de variação Ω r= Ω E=0.2 para o
Cumaru.
Para as solicitações em um assoalho cuja expectativa de vida útil é 10 anos, adota-se as mesmas
referências estabelecidas por Zahn (1977), ou seja , µs = 885 Kgf/cm2 e Ω s = 0.24
Sendo a condição de segurança estabelecida por
µr = µs exp[β Ω r 2 + Ω s 2
pela tabela 2, para flexão excessiva, β= 1.5, assim
0.674 I ≥ 885 exp[1.5 0.2 2 + 0.24 2 ]
0.678 I ≥ 885 exp(0.468615)
0.678 I ≥ 885 * 1.6
0.678 I ≥ 1416
1416
I≥
0.674
I ≥ 2100,9cm 4
6. CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES
Uma peça retangular de cumaru (10 X 15 cm) fornece um momento de inércia I= 2812,5 cm4,
satisfazendo a condição de segurança, com uma probabilidade de falha de aproximadamente 6,67% e
conseqüentemente uma confiabilidade de 93,33% para uma expectativa de 10 anos de vida útil deste
produto.
Através deste resultado pode-se concluir que:
i.
o índice de confiabilidade β, é uma ferramenta importante nos delineamentos que envolvam a
estimação da falha ou colapso associada a um componente, peça ou produto estrutural;
ii.
com emprego do índice de confiabilidade β, não há necessidade do emprego dos tradicionais
coeficientes de segurança fixos e nem os parciais;
iii. as incertezas presentes nas solicitações (S) e nas resistências (R) podem ser quantificadas.
Apesar de demonstrar ser um poderoso método alternativo, algumas pesquisas são necessárias para se
estudar o comportamento de β em situações onde a função de falha ou colapso H não for explicada por
um modelo normal de probabilidade
7. REFEERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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