PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS
MESTRADO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
UM OBJETO DE APOIO À APRENDIZAGEM AUTORREGULADA EM
PROBLEMAS DE MÁXIMO E MÍNIMO
Gilmer Jacinto Peres
Belo Horizonte
2009
Gilmer Jacinto Peres
UM OBJETO DE APOIO À APRENDIZAGEM AUTORREGULADA EM
PROBLEMAS DE MÁXIMO E MÍNIMO
Dissertação apresentada ao Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Matemática da
Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais,
como requisito parcial para obtenção do título de
Mestre.
Orientadora: Profa. Dra. Maria Clara Rezende Frota
Belo Horizonte
2009
FICHA CATALOGRÁFICA
Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
P437u
Peres, Gilmer Jacinto
Um objeto de apoio à aprendizagem autorregulada em problemas de
máximo e mínimo / Gilmer Jacinto Peres. Belo Horizonte, 2010
146f.
Orientadora: Maria Clara Rezende Frota
Dissertação (Mestrado) – Pontifícia Universidade Católica de Minas
Gerais, Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática
Bibliografia.
1. Cálculo – Ensino e aprendizagem. 2. Ensino superior. 3. Geometria. 4.
Aprendizagem - Regulação. 5. Tecnologia educacional. I. Frota, Maria Clara
Rezende. II. Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais. Programa de
Pós- Graduação em Ensino de Ciências e Matemática. III. Título.
CDU: 378:517.22
Em memória
Roseane Peres, irmã;
Vera Lúcia da Rocha, tia
AGRADECIMENTOS
- À minha orientadora e amiga, Maria Clara. Jamais esquecerei a imensa ajuda!
- À minha esposa, Eloise, pela atenção carinho e compreensão nos momentos de
ausência;
- Aos meus pais, Ondina e Geraldo;
- Aos meus irmãos, Gilberto e Paulo e suas esposas Alessany e Miriam;
- À minha segunda família: Eloísio, Edna, Paula, João Paulo e Gabriel;
- A todos os meus familiares;
- À profa. Dra. Elenice de Souza Lodron Zuin;
- Aos professores do Mestrado Eliane, Dimas, João Bosco, Agnela, Lidia e Amauri;
- À Ângela pelo imenso apoio;
- À Fernanda grande amiga e irmã do coração;
- Aos colegas do mestrado;
- Ao meu grande amigo Marcelo;
- À Silvana;
- Às amigas Cleusa e Daniela;
- Ao grande amigo Cristiano Ben Yosef e sua esposa Gisele;
- Ao Anderson;
- Ao prof. Dr. Oto Neri Borges;
- À família Galante (grandes amigos);
- Aos alunos que participaram da pesquisa;
- A todos aqueles que, de certa forma, contribuíram para o sucesso e realização do
meu trabalho.
RESUMO
A presente pesquisa investigou as possibilidades de incentivar o desenvolvimento da
autorregulação da aprendizagem dos alunos no estudo de problemas de máximos e
mínimos que envolvem conhecimentos geométricos, a partir de um Objeto de
Aprendizagem. Foram desenvolvidos estudos empíricos, em que esse Objeto de
Aprendizagem foi utilizado por alunos de um Curso de Licenciatura em Matemática.
A interpretação dos dados fundamentou-se, principalmente, nos conceitos de
metacognição propostos por John Flavell. Os resultados evidenciaram que os alunos
participantes da pesquisa empregaram diferentes estratégias na autorregulação de
seu processo de aprendizagem, ao interagirem com o Objeto de Aprendizagem.
Essa constatação sinalizou que, se devidamente estimulados pelo uso de objetos de
aprendizagem adequados, os alunos podem refletir sobre as atividades matemáticas
que executam, monitorando a sua aprendizagem em Cálculo.
Palavras-chave: Ensino de Cálculo; Geometria; Aprendizagem Auto-Regulada;
Objetos de Aprendizagem.
ABSTRACT
This study investigated the use of Learning Objects as a tool to promote selfregulation learning for undergraduate math students. The Learning Object was
maximum and minimum problems with geometry concepts. Undergraduate math
students were invited to participate in the use of a web based learning scheme. The
interpretation of the data was based mainly on the concepts of metacognition
proposed by John Flavell. The results showed that students used different strategies
in the autoregulation of their own learning process, as they interacted with the
Learning Objects. This finding indicates that, if properly stimulated by the Learning
Objects, students can successfully assist in their own learning of Calculus.
Keywords: Calculus Learning; Geometrics; Auto-regulation Learning, learning objects
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Ilustração do problema do livro de Stewart ...................................................... 19
Figura 2: Como exportar a construção para a linguagem HTML ................................... 71
Figura 3: Ponto D associado ao lado AC do triângulo ..................................................... 71
Figura 4: Reta r associada ao ponto D............................................................................... 72
Figura 5: Opção Esconder objetos ..................................................................................... 73
Figura 6: Diagrama da primeira estruturação do Objeto de Aprendizagem................. 80
Figura 7: Exemplo de link que não contribuía para a resolução do problema ............ 83
Figura 8: Perguntas que foram excluídas .......................................................................... 84
Figura 9: Diagrama da segunda estruturação do Objeto de Aprendizagem................ 86
Figura 10: Página em que os alunos solicitaram ajuda desnecessariamente ............. 88
Figura 11: Nova estrutura do Objeto de Aprendizagem .................................................. 90
Figura 12: Experimentação – Problema 1 ......................................................................... 93
Figura 13: Semelhança de triângulos – Problema 1 ........................................................ 94
Figura 14: Relações de semelhança – Problema 1 ......................................................... 95
Figura 15: Como escrever a função – Problema 1........................................................... 96
Figura 16: Modelagem da função – Problema 1............................................................... 97
Figura 17: Experimentação - Problema 2 .......................................................................... 98
Figura 18: Montagem da caixa – Problema 2 ................................................................... 99
Figura 19: Volume – Problema 2....................................................................................... 100
Figura 20: Folha de respostas Problema 1 - Márcia ...................................................... 119
Figura 21: Folha de respostas Problema 1 - Marcos ..................................................... 123
Figura 22: Folha de respostas Problema 3 - Natália ..................................................... 128
LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Problema de geometria que envolve otimização ........................................... 18
Quadro 2: Problema de otimização - Stewart ................................................................... 19
Quadro 3: Problemas de otimização – Balomenos .......................................................... 21
Quadro 4: Erros dos estudantes ao conceituarem derivada .......................................... 24
Quadro 5: Tarefa IV proposta por Ramos ......................................................................... 25
Quadro 6: Exemplos de problemas de otimização – Livro 1 .......................................... 30
Quadro 7: Análise do Livro 1 ............................................................................................... 32
Quadro 8: Exemplos de problemas de otimização – Livro 2 .......................................... 35
Quadro 9: Análise do Livro 2 ............................................................................................... 36
Quadro 10: Tentativas de respostas para o Problema 1 - Adriano ............................. 110
Quadro 11: Tentativas de respostas para o Problema 1 – Leila.................................. 113
Quadro 12: Ordem de escolha e tempo utilizado por link - Leila ................................. 115
Quadro 13: Tentativas de respostas para o Problema 1 – Márcia .............................. 118
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 1: Uso global do Objeto de Aprendizagem pelos alunos ................................ 105
Gráfico 2: Tempo de permanência em cada link - Adriano........................................... 108
Gráfico 3: Tempo de permanência segundo o link acessado nos primeiros vinte
minutos – Adriano ................................................................................................................ 109
Gráfico 4: Sequência de links acessados - Adriano....................................................... 110
Gráfico 5: Tempo de permanência segundo o link acessado – Leila ......................... 112
Gráfico 6: Sequência de links acessados – Leila – Destaque 1 .................................. 113
Gráfico 7: Sequência de links acessados – Leila – Destaque 2 .................................. 114
Gráfico 8: Tempo de permanência segundo o link acessado – Márcia. ..................... 117
Gráfico 9: Sequência de links acessados – Márcia ....................................................... 118
Gráfico 10: Tempo de permanência segundo o link acessado – Marcos................... 121
Gráfico 11: Sequência de links acessados – Marcos .................................................... 122
Gráfico 12: Tempo de permanência segundo o link acessado Problema 1-Natália . 125
Gráfico 13: Sequência de links acessados no Problema 1 – Natália.......................... 126
Gráfico 14: Sequencia de links acessados no Problema 2 – Natália.......................... 127
Gráfico 15: Tempo de permanência segundo o link acessado Problema 2-Natália . 127
LISTA DE SIGLAS E ABREVIATURAS
CAS
Computer Algebric System
CNPq
Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico
ENEM
Encontro Nacional de Educação Matemática
ENIBAM
Ensino Informatizado de Tópicos Básicos de Matemática
GEPEMNT
Grupo de Estudos e Pesquisa em Educação Matemática e Novas
Tecnologias
GPIMEM
Grupo de Pesquisa em Informática outras Mídias e Educação
Matemática
GT
Grupo de Trabalho
LabVir
Laboratório Virtual
LO
Learning Object
OA
Objeto de Aprendizagem
PUC
Pontifícia Universidade Católica
RIVED
Rede Interativa Virtual de Educação
SBEM
Sociedade Brasileira de Educação Matemática
SIPEM
Seminário Internacional de Pesquisa em Educação Matemática
SBMAC
Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional
TIC
Tecnologia da Informação e Comunicação
UFMG
Universidade Federal de Minas Gerais
UFRJ
Universidade Federal do Rio de Janeiro
UNESP
Universidade Estadual Paulista
UNICAMP
Universidade Estadual de Campinas
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 13
2. A GEOMETRIA COMO INSTRUMENTO NO ENSINO DE CÁLCULO ................ 18
2.1 A Geometria como instrumento no ensino-aprendizagem de Cálculo ......... 18
2.2 Como a geometria se insere nos livros de Cálculo ........................................ 26
2.3 Reflexões finais ................................................................................................. 38
3 AUTORREGULAÇÃO DA APRENDIZAGEM ....................................................... 40
3.1 Metacognição .................................................................................................... 40
3.2 Aprendizagem autorregulada ........................................................................... 45
4 OBJETOS DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA ................................................. 53
4.1 As TIC no ensino de Cálculo ............................................................................ 53
4.2 Os recursos da Geometria Dinâmica ............................................................... 60
4.3 Objetos de aprendizagem ................................................................................. 63
5. PERCURSO METODOLÓGICO ........................................................................... 69
5.2 Opções técnicas ................................................................................................ 70
5.3 Etapas na condução da pesquisa: os estudos empíricos ............................. 75
6. A CONSTRUÇÃO DO OBJETO DE APRENDIZAGEM ....................................... 79
6.1 Estudo Piloto I ................................................................................................... 80
6.2 Estudo piloto II .................................................................................................. 85
6.3 A estrutura final do objeto ................................................................................ 89
6.3.1 Engenharia do Objeto de Aprendizagem ..................................................... 91
7 REGULAÇÕES E AUTORREGULAÇÕES OBSERVADAS................................ 101
7.1 Proposta e condução do estudo principal .................................................... 101
7.2 Obstáculos no percurso ................................................................................. 104
7.3 Uma análise global .......................................................................................... 105
7.4 Os estudos de caso ........................................................................................ 107
7.4.1 Aluno Adriano............................................................................................... 107
7.4.2 Aluna Leila .................................................................................................... 111
7.4.3 Aluna Márcia ................................................................................................. 116
7.4.4 Aluno Marcos ................................................................................................ 120
7.4.5 Aluna Natália................................................................................................. 124
7.5 Algumas reflexões .......................................................................................... 129
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................ 132
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ....................................................................... 137
APÊNDICE A – Questionário aplicado aos alunos ............................................ 142
ANEXO A – Relatório de Acompanhamento Leila .............................................. 143
13
1. INTRODUÇÃO
Faço parte de uma geração cujos livros didáticos de Matemática eram
organizados de forma que os tópicos de Geometria integravam os últimos capítulos.
Consequentemente, por diversos motivos, raramente esses conteúdos se fizeram
presentes em sala de aula.
Da quinta série ao terceiro ano científico (hoje, ensino fundamental e médio),
foram poucos os momentos nos quais a Geometria foi trabalhada. Refletindo sobre a
minha escolaridade básica, poderia dizer que a qualidade das escolas onde estudei
deixou a desejar. Ao acompanhar os meus estudos, minha mãe sempre mencionava
a necessidade de se estudar Geometria e, portanto, uma escola boa era aquela em
que Geometria era ensinada aos alunos. Essa fala aguçou o meu olhar para esse
conteúdo, levando-me a estudá-lo.
Os estudos eram feitos a partir dos livros didáticos. Nesses livros, eu buscava
ler as definições, observar os exemplos e resolver os exercícios. E a busca por
estudar por conta própria levou-me a desenvolver, de forma autônoma, uma
estratégia que hoje compreendo ser de autorregulação da aprendizagem, pois
quando não era capaz de resolver algum exercício, fazia uma releitura da matéria e
procurava exemplos resolvidos no livro que fossem semelhantes àquele que não
estava conseguindo resolver.
Quando fiz o curso de Especialização em Educação Matemática, minha
monografia teve como foco o ensino de Geometria, ou melhor, a ausência desse
ensino. Indaguei acerca do nível de aprendizagem que os alunos do terceiro ano do
ensino médio apresentavam, constatando que eles possuíam poucos conhecimentos
sobre esse conteúdo. Trabalhando como professor no ensino superior, e ministrando
a disciplina de Geometria Plana, sempre iniciava o curso perguntando aos alunos
sobre como haviam sido suas experiências com essa área da Matemática. Os
poucos relatos confirmavam os resultados observados em meu estudo de caso
realizado na especialização.
Posteriormente, passei a lecionar a disciplina Cálculo Diferencial e Integral.
Pude então perceber que algumas das dificuldades apresentadas pelos alunos não
14
estavam relacionadas aos conceitos de Cálculo, mas sim a conceitos de Geometria
Plana. Algumas perguntas passaram então a me inquietar, como:
•
o curso de Geometria Plana deve instrumentalizar os alunos para
utilizá-la como ferramenta em outras disciplinas?
•
os alunos devem ser incentivados a perceber a presença da Geometria
nas várias disciplinas e sua importância como ferramenta para o
estudo das mesmas?
De modo particular, passaram a me interessar as relações entre os conceitos
da Geometria e o entendimento e a resolução de exercícios de Cálculo Diferencial e
Integral, que envolvem a maximização ou a minimização de funções. Tal interesse
levou-me a questionar se a resolução de problemas de máximos e mínimos pode ser
facilitada se a relação entre Geometria e Cálculo for incentivada.
O artigo de Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (2004), que destaca a
importância da Geometria nos problemas de otimização, confirmou as observações
realizadas ao longo da minha prática, uma vez que me via inserido nesse contexto
de alunos que haviam tido um contato com a Geometria, porém não eram capazes
de associá-la a outras disciplinas.
Os autores ressaltam que muitos problemas de aplicação de derivada, que
envolvem os conceitos de máximo ou mínimo, necessitam de conhecimentos sobre
Geometria. Esses problemas, em sua maioria, envolvem a maximização ou
minimização relacionada a áreas, perímetros, dimensões, etc. de figuras
geométricas. Por isso, Balomenos e colaboradores (2004) defendem que uma maior
ênfase nos estudos de Geometria permitirá ao aluno traduzir o enunciado do
problema que envolve conceitos geométricos, facilitando estabelecer o modelo
matemático na forma de uma função, de modo que o problema possa ser resolvido.
Outro importante momento ligado ao curso de especialização foi o contato
com o uso dos recursos computacionais no ensino de Matemática e, em particular,
com os softwares de Geometria Dinâmica. O estímulo recebido e o meu interesse
pelo assunto levaram-me a desenvolver uma habilidade na elaboração de applets1.
Applet é um software aplicativo que é executado no contexto de outro programa
(como, por exemplo, um web browser que habilita seus usuários a interagirem com
documentos virtuais da Internet). Applets executam funções bem específicas, sendo
1
Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Applet>. Acesso em 02 de mai. 2009.
15
aplicativos geralmente usados para adicionar interatividade a aplicações web que
não podem ser geradas pelos navegadores da internet2.
O desenvolvimento de tal habilidade muito contribuiu para a realização da
presente pesquisa, pois formas de interação, por meio das construções geométricas
dinâmicas, podem fornecer ao aluno uma nova visão de problemas, permitindo que
ele modele corretamente uma função, que poderá ser maximizada ou minimizada.
Acredito que incentivar um trabalho com Geometria, dentro dessa perspectiva, pode
ser um bom começo para que os alunos avancem na resolução dos problemas de
Cálculo que exigem a otimização.
Além disso, o aluno precisa ser incentivado a regular seu próprio processo de
aprendizagem. Frota (2002), ao mapear as estratégias de aprendizagem de alunos
de Engenharia que cursavam disciplinas de Cálculo, identificou que, entre outros
fatores, as atitudes metacognitivas dos estudantes eram determinantes na definição
dessas estratégias.
Assim, outras perguntas passaram a integrar o conjunto de minhas
indagações:
•
O uso dos recursos computacionais pode facilitar o entendimento e a
resolução de problemas de máximos e mínimos que envolvem conceitos
geométricos?
•
O uso dos recursos computacionais pode facilitar o processo de
autorregulação da aprendizagem de Cálculo?
Toda a problemática levantada e os estudos teóricos feitos inicialmente
permitiram elaborar a questão norteadora da pesquisa:
•
Como possibilitar a autorregulação da aprendizagem dos alunos no estudo de
problemas de Cálculo, que envolvem conhecimentos em Geometria, na
determinação de máximos e mínimos de funções reais de uma variável?
A interlocução com pesquisas sobre o uso dos recursos computacionais no
ensino de Cálculo levou a uma (re)elaboração da questão de pesquisa, que passou
a ter foco no uso de objetos de aprendizagem.
2
Chamarei de recursos computacionais as tecnologias ligadas apenas ao uso do computador, no
caso ao uso de softwares. Ao tratar de applets, os recursos computacionais ampliam-se para o que
hoje chamamos de TIC (Tecnologias de Informação e Comunicação), ou seja, tecnologias
relacionadas à internet.
16
O Objeto de Aprendizagem (OA)3 pode ser visto, em um sentido mais amplo,
como algo que vai de um simples texto a algo mais complexo. Assim, um livro
também é entendido como um Objeto de Aprendizagem, uma vez que permite a
interação com o objeto de conhecimento, embora não traga a potencialidade dos
objetos digitais. A partir do conceito de OA e suas potencialidades, a questão foi
mais uma vez reformulada e ampliada:
•
Como incentivar o desenvolvimento da autorregulação da aprendizagem dos
alunos no estudo de problemas de máximos e mínimos, que envolvem
conhecimentos geométricos, a partir de um Objeto de Aprendizagem4?
O trabalho conduzido consistiu, assim, no desenvolvimento de um objeto de
apoio à aprendizagem autorregulada a ser utilizado na resolução de problemas de
máximos e mínimos, com o objetivo de propiciar aos alunos um ambiente interativo
que estimule o aprender a aprender. O Objeto de Aprendizagem foi desenhado de
forma a destacar a importância de se ter um modelo geométrico dos problemas de
máximos e mínimos propostos e foi aplicado junto a alunos de um curso de
licenciatura, visando incentivá-los a fazer experimentações e monitorar o seu
processo de aprendizagem.
Os capítulos do trabalho aqui relatado estruturam-se de acordo com os vários
questionamentos levantados que possibilitaram definir a questão de pesquisa. São,
ao todo, oito capítulos, sendo a introdução o primeiro.
O segundo capítulo trata de uma discussão sobre o ensino de Cálculo e as
conexões existentes entre Geometria e Cálculo nos problemas de otimização. Essa
discussão foi realizada por meio da análise de dois livros de Cálculo de funções de
uma variável e dois livros utilizados em cursos de Introdução ao Cálculo. As
discussões a respeito das conexões existentes entre Geometria e Cálculo foram
fundamentadas nas pesquisas de Gorini (1997) e Balomenos, Ferrini-Mundy & Dick
(2004). O levantamento de algumas pesquisas sobre o ensino da derivada foi
realizado no sentido de indagar a presença ou não de uma ênfase nos conceitos
geométricos. Para o estudo desse tópico destaquei (DALL’ANESE, 2000;
D’AVOGLIO, 2002; GODOY, 2004 e RAMOS, 2009).
3
Optamos por usar a sigla OA para designar objetos de aprendizagem, como tradução da sigla LO,
associada a “Learning Object”.
4
O Objeto de Aprendizagem que desenvolvemos tem como característica possibilitar a
autorregulação da aprendizagem dos alunos na resolução de problemas de otimização e está
disponibilizado na internet em um site de uso restrito.
17
O terceiro capítulo trata dos conceitos de metacognição e aprendizagem
autorregulada. Estudos sobre como uma pessoa conhece sobre o seu próprio
processo de conhecer e sobre como monitorar a própria aprendizagem foram
centrais para o trabalho desenvolvido. (FLAVELL, 1979, 1987; FLAVELL, MILLER e
MILLER, 1999; FROTA, 2002, 2003, 2009; PIAGET, 1977; SHOENFELD, 1987).
O quarto capítulo aborda o uso dos recursos computacionais e das TIC na
educação matemática e no ensino de Cálculo, apresentando uma discussão sobre a
Geometria Dinâmica e a sua importância no desenvolvimento dos chamados
applets. O final desse capítulo apresenta um estudo sobre objetos de aprendizagem,
sua definição e utilização por meio de plataformas que foram desenvolvidas para
esse fim.
O quinto capítulo descreve o percurso metodológico da pesquisa, relatando
as etapas do estudo empírico desenvolvido com estudantes de um curso de
Licenciatura em Matemática, que compreenderam dois estudos piloto e um estudo
principal.
O sexto capítulo apresenta, detalhadamente, as etapas de elaboração do
Objeto de Aprendizagem desenvolvido, desde a sua estruturação inicial até a
terceira versão, utilizada no estudo principal. Cada etapa compreendeu momentos
de reflexão que permitiram novos olhares sobre quais os componentes e a estrutura
de um Objeto de Aprendizagem cujo foco é o estímulo à autorregulação.
O sétimo capítulo traz a análise dos resultados do estudo principal, sob a
ótica da Metacognição e Aprendizagem Autorregulada, identificando como o uso
desse Objeto de Aprendizagem possibilitou o desenvolvimento da autorregulação
dos alunos ao resolverem problemas de máximo e mínimo.
O último capítulo, que aqui consiste nas considerações finais, destaca os
resultados dessa pesquisa, discutindo as potencialidades e as limitações do Objeto
de Aprendizagem como instrumento de auxílio na resolução de problemas de
otimização e no desenvolvimento da autorregulação. Alguns aspectos que devem
orientar a condução dos cursos de Cálculo são apontados, bem como novas
questões para a pesquisa sobre o uso de Objetos de Aprendizagem na
autorregulação do processo de aprendizagem de Cálculo.
18
2. A GEOMETRIA COMO INSTRUMENTO NO ENSINO DE CÁLCULO
Este capítulo apresenta uma discussão sobre as conexões existentes entre a
Geometria e o Cálculo no estudo de problemas de máximo e mínimo, indagando
sobre a existência, ou não, de uma ênfase nessas relações, nas pesquisas em
ensino de Cálculo e em textos didáticos adotados em cursos de graduação.
2.1 A Geometria como instrumento no ensino-aprendizagem de Cálculo
Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (2004) destacam a importância que os
conhecimentos de Geometria têm na compreensão dos conceitos e resolução dos
problemas de Cálculo Diferencial, destacando que “são cada vez maiores os indícios
de que as dificuldades de nossos alunos em cálculo se devem a uma formação
deficiente em geometria” (p.241). Eles ainda ressaltam que muitos problemas de
aplicação de derivada, que envolvem a otimização, requerem conhecimentos em
geometria. Esses problemas, em sua maioria, envolvem a maximização ou a
minimização relacionada a áreas, perímetros, dimensões, etc. de figuras
geométricas.
Os autores defendem que uma melhor formação em Geometria permitirá ao
aluno utilizar esses conceitos para compreender as propriedades geométricas
pertinentes e modelar a função que deverá ser diferenciada. Como sugestão, listam
alguns exercícios que potencializam o olhar do aluno para problemas que envolvam
a determinação de valores de máximo ou mínimo, como exemplificado no Quadro 1.
1. Achar a área de um retângulo de perímetro L como função de sua largura.
Quadro 1: Problema de geometria que envolve otimização
Fonte: Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (2004, p. 246)
Eles apontam que exercícios dessa natureza antecipam os problemas de
máximo e mínimo do Cálculo. Nesse exemplo, essa antecipação pode ser mais bem
19
compreendida se observarmos que o conhecimento das propriedades e relações
geométricas do retângulo, como lados opostos paralelos e congruentes, área igual
ao produto entre a medida da base e a altura, perímetro igual ao dobro da adição
entre a medida da base e a altura, auxiliam na modelagem da função.
Considerando situações mais complexas que envolvem um conhecimento
mais apurado em geometria e a capacidade em estabelecer conexões entre essas
propriedades, torna-se imprescindível que o aluno possua a consciência dessa
conexão entre Geometria e Cálculo.
Para tornar mais clara essa ideia proposta por Balomenos, Ferrini-Mundy e
Dick (2004), consideremos, por exemplo, o seguinte problema encontrado em
Stewart (2001, p.330).
1. Um fazendeiro tem 2.400 pés de cerca e quer cercar um campo retangular
que está na margem de um rio reto. Ele não precisa de cerca ao longo do rio.
Quais são as dimensões do campo que tem maior área?
Quadro 2: Problema de otimização - Stewart
Fonte: Stewart (2001, p.330)
A resolução desse problema pode ser facilitada se o aluno esboçar uma figura
semelhante à apresentada na Figura 1.
Figura 1: Ilustração do problema do livro de Stewart
A representação figural da situação-problema pode facilitar o processo de
modelagem da função a ser maximizada. Determinada essa função, o aluno pode
utilizar os seus conhecimentos em Cálculo Diferencial para resolvê-lo.
A importância de se criar uma representação figural para auxiliar na resolução
20
de problemas é discutida por Frota (2004), que destaca o pouco uso de estratégias
gráfico-numéricas entre alunos de Cálculo de cursos de engenharia, bem como o
pouco incentivo dado pelos professores ao uso das várias formas de representação
em Matemática.
Um conjunto de fatores conspira para que a sala de aula continue a se
mover sob a batuta invisível de um maestro que define a priori como
melhor forma de representação a verbal-algébrica; a mais lógica,
seqüencial, analítica e, portanto, “matematicamente correta” ou
“circunstancialmente correta” face aos constrangimentos econômicosociais, dentre outros. Dessa forma os alunos, mais uma vez são podados
nas suas iniciativas de procurar formas visuais de representação de suas
idéias matemáticas. Representações visuais, ainda que não convencionais,
poderiam ser um bom começo para se avançar, com vistas a construções
de conceitos tão complexos quanto os de funções, limites, continuidade,
derivadas, integrais. (FROTA, 2004, p.17-18).
Com isso, se temos, de um lado, uma relação estreita geometria/cálculo nos
problemas de otimização e, do outro lado, professores que não evidenciam essa
relação, podemos ter, como consequência, uma maior dificuldade dos alunos na
resolução de problemas de otimização, que envolvem conceitos geométricos.
Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (2004) também destacam que os alunos
apresentam maior dificuldade em Geometria do que no Cálculo propriamente dito.
Eles exemplificam essa situação destacando que os estudantes têm maior
dificuldade na resolução de problemas que precisam ser modelados a partir das
relações da(s) figura(s) existente(s) no problema.
Áreas específicas do cálculo baseiam-se amplamente em representações
geométricas. Para traduzir o deslizamento de uma escada de mão, parede
abaixo, numa representação geométrica significativa ou para representar a
areia que se acumula formando um monte de forma cônica, o aluno deve
formular representações bidimensionais que expressem situações
dinâmicas tridimensionais. (BALOMENOS; FERRINI-MUNDY; DICK, 2004,
p.242).
Os autores acrescentam ainda que:
Todavia, muitas vezes eles [os alunos] acham os problemas de máximo e
mínimo muito difíceis. Em grande número desses problemas a dificuldade
dos alunos localiza-se na falta de habilidade mais para a geometria do que
para o cálculo. (BALOMENOS; FERRINI-MUNDY; DICK, 2004, p.243).
Os autores exemplificam essa situação por meios de dois exemplos
apresentados no Quadro 3.
21
1) Admitindo-se que x está no intervalo [0 , 3], ache o valor de x que
maximiza a quantidade V dada por:

x3 
V = π  9 + 3x − x 2 − 
3

2) Determinar as dimensões do cone circular reto de volume máximo
que pode ser inscrito numa esfera de raio 3 unidades.
Quadro 3: Problemas de otimização – Balomenos
Fonte: Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (2004, p.243)
E acrescentam que “os alunos em geral não acham o problema 1 muito difícil,
mas muitos encontram grande dificuldade para lidar com exercícios do tipo do
problema 2.” (BALOMENOS, FERRINI-MUNDY; DICK, 2004, p.243).
O segundo problema exige que o aluno modele a função que vai ser
maximizada. Para isso, os alunos precisam esboçar um gráfico, exibindo o cone
inscrito na esfera e estabelecer equações para o raio do cone e para a sua altura, a
partir de propriedades geométricas e algébricas. A função modelada que representa
o volume do cone para o problema 2 é definida no intervalo [0,3] e coincide com a
função V do primeiro problema. Os dois problemas são equivalentes apenas do
ponto de vista dos cálculos; o problema 2 demanda do aluno competências que vão
além do aprendizado de um conjunto de procedimentos. Problemas do tipo 2 são
realmente mais complexos e em nossa prática docente podemos comprovar a
afirmação de Balomenos e colaboradores quanto à maior dificuldade dos alunos em
resolver questões desse tipo.
Gorini (1997) destaca o papel fundamental das ferramentas de Geometria
Dinâmica nos estudos de Cálculo, de modo particular nos problemas de máximos e
mínimos e nos problemas de taxas de variação. Para a autora, o mais importante
para resolver problemas dessa natureza é que o aluno faça o esboço de uma figura
ou um diagrama, para entender o que está acontecendo. Na resolução desses
problemas, partimos de uma descrição verbal de uma situação física para então
expressá-la por meio de um modelo geométrico, derivando equações algébricas que
relacionam as variáveis. Feito isso, aplicamos as técnicas do Cálculo para obter a
resposta.
22
A partir de nossa prática docente, como professores de Cálculo, constatamos
que a grande dificuldade dos alunos é obter o modelo geométrico explicativo da
situação. Essa análise que fazemos é corroborada, por exemplo, por Menk (2005).
Esta autora desenvolveu sua pesquisa de mestrado tendo como objetivo investigar
as contribuições que um software de Geometria Dinâmica pode oferecer aos alunos
ao resolverem problemas de máximos e mínimos que, de alguma forma, envolvem
conteúdos geométricos. A autora parte da hipótese de que:
Embora a construção da figura possa facilitar a visualização da situação,
não se pode negar que essa construção se apresenta de maneira estática
e se o aluno quiser analisar mais de uma possibilidade, deverá fazer vários
desenhos ou então imaginá-los. (MENK, 2005, p.3).
Na sala de aula de Cálculo, trabalhando também com alunos de um curso de
Licenciatura em Matemática, encontramos as mesmas dificuldades. Levantamos,
então, uma série de questionamentos, indagando se a resolução de problemas de
máximos e mínimos poderia ser facilitada se os alunos fossem incentivados a
estabelecer melhor as relações entre Geometria e Cálculo e, ainda, se o uso de
recursos tecnológicos adequados poderia facilitar o entendimento e a resolução
desses problemas.
Um ponto importante estava claro: os estudos de Cálculo a serem
desenvolvidos demandariam uma nova abordagem metodológica, de forma a
estimular os alunos no processo de modelagem de situações-problema de
determinação dos máximos e mínimos de funções.
Fizemos uma análise de pesquisas que abordam o ensino de derivada para
avaliar se elas apontam para a relação existente entre Geometria e Cálculo, de
modo particular ao abordarem os problemas de otimização. Optamos por fazer uma
consulta às bibliotecas virtuais da PUC-Minas, UFMG, UNESP-Rio Claro, Unicamp e
PUC-São Paulo, considerando a facilidade de acesso ao acervo de dissertações e
teses.
Destacamos aqui as pesquisas de Dall’anese (2000), D’Avoglio (2002), Godoy
(2004) e Ramos (2009), considerando que, de todas as dissertações e teses
analisadas, estas apresentam maior afinidade com o trabalho que pretendemos
desenvolver.
23
Dall’anese (2000) desenvolveu uma sequência didática com o objetivo de
fazer com que os alunos construíssem o conceito de derivada (que ele chama
conceito científico) a partir do conceito de taxa de variação (que ele considera
conceito espontâneo). A sequência foi composta por 14 fichas de atividades e
desenvolvida com os alunos de um curso de Ciência da Computação que
trabalharam em duplas na realização das tarefas, discutidas posteriormente em uma
plenária. Partindo de um problema aplicado, cada nova ficha apresentava uma
ampliação dos conceitos vistos nas fichas anteriores. Apesar de a situação problema
proposta por ele abordar o desenvolvimento de uma cultura de bactérias quando
submetidas a certo tipo de antídoto e não um problema que demandasse
conhecimentos de geometria, mencionamos essa pesquisa considerando que a
meta era a de que os alunos atribuíssem um sentido ao estudo de taxas e variação e
derivação e não apenas se limitassem a memorizar algoritmos.
[...] os alunos tendem a decorar regras de derivação e a derivada parece
ter pouca significação. Ao resolver questões que envolvem a aplicação
desse conceito, eles recorrem a procedimentos-padrão. Exemplo disto é a
determinação de pontos de máximo e de mínimo, derivando a função dada
encontrando as raízes da função derivada, sem relacionar a posição da
reta tangente ao gráfico com o ponto em análise. (DALL’ANESE, 2000,
p.13).
Dall’anese (2000) destaca a dificuldade dos alunos na condução de atividades
que fogem aos padrões tradicionais, tendo considerado como positivo o resultado da
implementação da proposta metodológica em sala, principalmente no que diz
respeito à possibilidade de revisão e correção de erros, quando da realização das
plenárias.
Em sua pesquisa, D’avoglio (2002) analisou se o ensino do conceito de
derivada, a partir de situações que estejam diretamente relacionadas com o
cotidiano dos alunos, produziria efeitos para uma aprendizagem significativa desse
conceito. A pesquisa foi desenvolvida com alunos que estavam iniciando os estudos
em cursos superiores da área de exatas. Inicialmente, ele realizou um teste de
sondagem para diagnosticar as ideias de alunos que já haviam estudado derivada
sobre esse conceito, tendo constatado que alunos confundem:
24
a) derivada com reta tangente;
b) derivada num ponto com a função derivada;
c) derivada com regra para se achar a derivada;
d) reta tangente com coeficiente angular da reta tangente e, também,
que muitos apresentam dificuldades de expressão.
Quadro 4: Erros dos estudantes ao conceituarem derivada
Fonte: Montado a partir de D’Avoglio (2002, p.27)
Os resultados da sondagem inicial foram importantes na elaboração de uma
sequência didática que foi composta de sete atividades. Terminada a aplicação e
processadas as análises, verificou-se que
Esses resultados nos fazem acreditar, que a opção de introduzir o conceito
de derivada de uma função num ponto, a partir do conceito de velocidade,
bastante familiar aos alunos, fazendo parte de seus conhecimentos
prévios, contribuiu bastante para a sua aprendizagem, fazendo com que
eles vissem sentido no que estavam aprendendo e fosse despertado o seu
interesse em relacionar, de maneira substantiva e não arbitrária, o novo
conhecimento aos seus conhecimentos prévios, tornando assim, a sua
aprendizagem significativa. (D’AVOGLIO, 2002, p.60).
Atividades que apresentam formas de desenvolvimento diferentes daquelas
consideradas tradicionais parecem produzir uma aprendizagem significativa com
resultados positivos. Portanto, nossa expectativa neste estudo era a de que o Objeto
de Aprendizagem elaborado em nossa pesquisa, que apresenta uma estrutura
bastante diferenciada das abordagens tradicionais empregadas, contribuísse para a
melhor compreensão dos alunos sobre os problemas de máximos e mínimos de
funções reais de uma variável real.
Godoy (2004) investigou o conhecimento apresentado por alunos que já
estudaram Cálculo sobre a noção de derivada, tendo como foco os Registros de
Representação Semiótica de Raymond Duval. Na pesquisa deste autor, de caráter
diagnóstico, o foco foi investigar a relação das dificuldades dos alunos com as
questões de representação do conceito de derivada. Para isso foram aplicados dois
testes, envolvendo 169 estudantes, 78 cursando engenharia e os demais cursando a
Licenciatura em Matemática. Os resultados apontaram que as maiores dificuldades
se relacionam à necessidade de coordenar os vários tipos de registro (usando a
linguagem natural, simbólico e figural) com os significados da derivada em diferentes
situações.
25
Ramos (2009) investigou, junto a alunos que já desenvolveram estudos de
Cálculo, as dificuldades na resolução de problemas aplicados envolvendo o conceito
de derivada. Sua pesquisa compreendeu a realização de quatro tarefas pelos
alunos. Destacamos, na quarta tarefa, a questão dois que está diretamente
relacionada com a nossa pesquisa:
2) Uma caixa com base quadrada e sem tampa tem volume de 32.000cm3.
Determine:
a) uma possível representação geométrica dessa caixa;
b) as expressões algébricas que calculam área total e volume dessa caixa;
c) as dimensões da caixa que minimizam a quantidade de material usado para
montar a caixa.
Quadro 5: Tarefa IV proposta por Ramos
Fonte: Ramos, 2009, p.41
A análise dessa questão evidenciou que os alunos não apresentaram
dificuldades na resolução dos dois primeiros itens, porém, nenhuma dupla conseguiu
resolver o item c.
[...]três delas deixaram em branco; outras duas atribuíram valores
aleatórios para as dimensões, os quais errados; uma outra dupla
apresentou uma justificativa errada para o item, mas não apresentou os
cálculos que os validassem. (RAMOS, 2009, p.77).
Podemos perceber, nas três primeiras pesquisas, uma atenção em verificar
como o conceito de derivada é compreendido pelos alunos. Esses autores citam a
sua aplicabilidade por meio da resolução de problemas de otimização, no entanto,
não fazem referência à natureza geométrica de alguns problemas que apresentam.
A última pesquisa apresentada (RAMOS, 2009) aponta as dificuldades dos alunos
em encontrar as dimensões que minimizam a quantidade de material usado na
construção de uma caixa, porém, não focaliza a atenção em identificar quais as
possíveis dificuldades que esses alunos apresentam na modelagem da função a ser
minimizada.
Assim, entendemos ser importante discutir a respeito da maneira como a
Geometria Euclidiana se faz presente nos estudos de Cálculo, em particular nos
problemas de otimização. E uma das formas está em analisar como a geometria é
trabalhada nos livros de Cálculo.
26
2.2 Como a geometria se insere nos livros de Cálculo
Numa primeira análise dos exercícios propostos por Anton (2000), na seção
correspondente aos exercícios de aplicação de derivada, constamos que, dos 63
exercícios referentes a esse tópico, 42 necessitam de conhecimentos geométricos.
Como estamos discutindo os conceitos em Geometria Euclidiana necessários à
resolução de problemas que envolvem a otimização, essa quantidade considerável
de exercícios motivou-nos a desenvolver o trabalho de pesquisa aqui relatado, no
sentido de investigar estratégias adequadas para incentivar os alunos a tomarem
consciência da importância de revisar conceitos geométricos para lidar com
problemas de otimização.
Consideramos assim relevante proceder a uma análise mais sistematizada de
alguns livros que são utilizados em disciplinas de Cálculo Diferencial em cursos de
graduação.
Para efeitos dessa análise, decidimos considerar como aspectos a investigar
os seguintes: verificar se existe uma preocupação do autor em destacar conceitos
geométricos necessários para a resolução dos problemas propostos; verificar a
maneira como o autor estimula o estudo autônomo e a busca por conceitos prévios;
verificar se os exemplos apresentados focalizam conceitos geométricos e verificar se
os exercícios propostos demandam conhecimentos de geometria.
Assim, consideramos importante analisar em cada texto:
•
a proposta do autor para o ensino de Cálculo;
•
a forma de apresentação do conceito de derivada e suas aplicações,
bem como os exemplos utilizados;
•
os conhecimentos de geometria exigidos nos exercícios;
•
a existência de orientações para o aluno no sentido de fazer uma
revisão de conceitos da Geometria Euclidiana.
Os livros escolhidos foram aqueles utilizados nas disciplinas de Cálculo nas
instituições em que o professor-pesquisador leciona.
Apresentamos, a seguir, as análises desenvolvidas para cada um dos textos
selecionados.
27
Livro 1: Cálculo
Autor: James Stewart
Editora/Ano: Thomson Learning, 2002
Proposta do autor
No início do prefácio desse livro há uma citação de um trecho de George
Polya sobre descobertas matemáticas e o estímulo ao desafio que um problema
pode oferecer ao aluno, culminando no prazer do triunfo gerado por elas. Essa
citação, no início do prefácio, leva-nos a entender que uma das propostas de
Stewart, para o ensino de Cálculo, está relacionada à resolução de problemas, bem
como ao estímulo às descobertas e pesquisas, uma vez que ele destaca que ensinar
está associado a tomar parte em descobertas. Ele acrescenta que sua obra tem o
objetivo de transmitir aos estudantes um sentido de utilidade do cálculo e
desenvolver competência técnica, acrescentando, ainda, que a ênfase na
compreensão dos conceitos deve ser a meta principal no ensino de Cálculo.
Para conseguir estabelecer esses objetivos, ele destaca que os tópicos de
Cálculo devem ser apresentados de forma geométrica, numérica, algébrica e sob o
ponto de vista verbal ou descritivo, o que ele denomina como Regra de Quatro.
Como característica do livro, ele cita que os exercícios conceituais exigem a
explicação dos significados, incluindo seções de revisão e verificação conceitual,
existindo, ainda, uma progressão nos exercícios, indo dos conceitos básicos a
problemas desafiantes que apresentam dados do mundo real.
Existem apêndices que tratam de assuntos específicos na forma de uma
revisão: intervalos, desigualdades e valores absolutos; coordenadas geométricas e
retas; gráficos das equações do segundo grau; trigonometria; notação somatória (ou
notação sigma) e números complexos.
No canto esquerdo de cada página existe um espaço que o autor destinou
para colocar notas, observações e comentários que servem para melhor direcionar o
estudo dos alunos. Nessas notas ele destaca, em alguns momentos, a necessidade
de se consultar os apêndices.
28
O conceito de derivada e suas aplicações
Antes de iniciarmos a análise do capítulo que trata da aplicação de derivadas,
destacaremos como o autor constrói o conceito de derivada ao longo dos capítulos
precedentes.
No primeiro capítulo, trata do estudo de funções que, segundo o autor, é o
objetivo fundamental do Cálculo. Após apresentar a definição de função, ele utiliza
seis exemplos para melhor esclarecer o aluno sobre conceitos, propriedades e
aplicações de uma função. Destes, apenas no quinto destaca o custo de produção
associado à construção de uma caixa de volume conhecido.
Nesse exemplo são fornecidos o volume da caixa e a informação de que a
medida do comprimento da base é o dobro da largura. Além disso, é informado o
custo do material utilizado para a confecção da base e da altura, solicitando, então,
que se expresse uma função para o custo total do material a ser utilizado na
construção dessa caixa.
Na solução apresentada pelo autor, é destacada a necessidade de se
desenhar uma figura que represente essa situação. Entretanto, não observamos um
destaque para as propriedades geométricas da figura. Ele apenas apresenta como
estabelecer a área da base e o volume da caixa.
Analisando os 64 exercícios desse capítulo, observamos que 7 demandam o
uso de conceitos geométricos:
•
expressar a área de um retângulo como função do comprimento de um de
seus lados;
•
expressar o perímetro do retângulo como função do comprimento de um de
seus lados;
•
expressar a área de um triângulo equilátero como função de um dos lados;
•
expressar a área da superfície de um cubo como função de seu volume;
•
expressar a área da superfície da caixa como função do comprimento de um
dos lados da base;
•
expressar a área de uma janela que tem o formato de um retângulo com um
semicírculo em cima como função de sua largura;
29
•
expressar o volume de uma caixa, que deve ser construída a partir de um
pedaço retangular de papelão, como função da medida do lado do quadrado
que será cortado nos quatro cantos desse retângulo.
Em dois desses exercícios o autor apresenta figuras relacionadas. Neles é
possível identificar uma relação com os exercícios de otimização, que serão
propostos posteriormente. Entretanto, o autor não estabelece a conexão ao
apresentá-los no capítulo sobre funções e no capítulo que trata dos problemas de
otimização. Essa conexão aparece quando ampliamos o exercício, de forma a
determinar as dimensões da figura que maximizam ou minimizam a área, o
perímetro ou o volume.
Percebemos, ainda, no primeiro capítulo, uma preocupação do autor em
discutir a construção de modelos matemáticos. Nele é definido o que seja um
modelo matemático, destacando os processos envolvidos na modelagem e
apresenta também quatro exemplos de situações para se criar um modelo. Todos
esses quatro exemplos não abordam conhecimentos em geometria.
Nesse tópico, entendemos ser de bastante relevância uma discussão sobre
as possibilidades de modelagem de uma função a partir de propriedades
geométricas de figuras apresentadas, uma vez que o conhecimento dessas
propriedades permitirá o estabelecimento de conexões para a correta modelagem da
função. Chamamos a atenção para o foco no estudo dos conceitos de geometria.
Se, nesse espaço utilizado pelo autor para a revisão de alguns tópicos importantes
para o estudo de Cálculo, fosse também abordada ou mesmo recomendada uma
revisão em geometria, acreditamos que os alunos poderiam perceber melhor a
importância de estarem atentos a essas conexões.
No capítulo dois, o autor introduz o conceito de derivada definindo-a como
taxa de variação e como inclinação da reta tangente à curva.
Merece destaque o exemplo da página 1645, que ilustra uma situação em que
se busca associar os pontos de máximo e mínimo (locais ou absolutos) aos pontos
que tornam nula a derivada da função. Nesse exemplo, é apresentado o gráfico de
uma função y=f(x), sendo destacados os pontos A, B e C, que são os pontos de
máximo e mínimo (locais ou absolutos). Logo a seguir é apresentado outro gráfico
5
Nesse exemplo, ele apresenta o gráfico de uma função y=f(x) com os seus máximos e mínimos
locais e relativos. Logo após, ele apresenta o gráfico da função derivada y=f’(x).
30
y=f’(x), que representa o gráfico da função derivada de y=f(x). Nesse gráfico y=f’(x),
temos em destaque os pontos A’, B’ e C’, que são os pontos que tornam f’(x) =0. Os
pontos A, B e C e A’, B’ e C’ possuem, respectivamente, o mesmo valor para as
abscissas.
Entendemos que, nesse momento, o autor poderia indicar essa relação, uma
vez que ele utiliza esse gráfico para anunciar a análise do crescimento e
decrescimento de uma função a partir do estudo de sinal de sua derivada primeira.
No capítulo três, Stewart apresenta regras de diferenciação de funções
polinomiais.
No capítulo quatro são tratados problemas de otimização. O autor inicia o
assunto destacando seis passos para a resolução dos problemas, que são:
•
compreender o problema;
•
fazer um diagrama;
•
introduzir uma notação;
•
expressar a função;
•
reduzir a função para uma função de uma variável;
•
usar os conceitos de cálculo para encontrar os valores que maximizam
ou minimizam a função.
Depois de apresentar esses passos, o autor utiliza cinco exemplos, dos quais
quatro demandam conhecimentos geométricos. Os exercícios investigam:
1. as dimensões de um retângulo que maximizam a sua área;
2. as dimensões de uma lata cilíndrica que minimizam o seu custo de
produção;
3. a direção que maximiza o tempo de travessia de um rio com correnteza;
4. a área do maior retângulo inscrito em um semicírculo.
Quadro 6: Exemplos de problemas de otimização – Livro 1
Fonte: Stewart (2001, p. 330 – 334)
E, em relação ao primeiro exemplo, ele apresenta a ideia de testar diferentes
valores para as dimensões da figura relacionada ao problema, uma vez que ele
apresenta três diferentes retângulos com suas respectivas dimensões e área para,
depois, apresentar um retângulo genérico de dimensões x e y e, a partir de então,
modelar a função estabelecendo os intervalos de variação para as variáveis.
31
Novamente, não percebemos a atenção direcionada para uma revisão dos
conceitos e propriedades em Geometria; o autor apenas apresenta a fórmula que
expressa a área do retângulo, assim como a fórmula que expressa o seu perímetro.
Outro ponto importante que poderia ser mais bem explorado está nas relações que
são estabelecidas entre a função área e o perímetro desse retângulo para expressar
a função área com apenas uma variável.
Dentre os 58 exercícios referentes a esse capítulo, 39 envolvem ideias
geométricas e os 4 primeiros, apesar de não fazerem uma referência direta a figuras
geométricas, também podem ser resolvidos sob essa ótica. Esses problemas
relacionam o perímetro de triângulos e retângulos; a área de triângulos, retângulos e
circunferências; o ângulo interno de polígonos e o volume de paralelepípedos e
cilindros.
Após a análise dessa obra, podemos perceber que esse autor não aborda de
maneira satisfatória os conceitos geométricos. As poucas referências feitas à
geometria plana encontram-se no final do livro e apresentam apenas fórmulas que
determinam a área do triângulo, círculo e setor circular.
A estratégia Regra de Quatro, apresentada por Stewart no prefácio do livro,
aponta a necessidade de uma abordagem geométrica de alguns problemas, mas
não observamos, no decorrer dos capítulos analisados, uma orientação para que o
aluno revisite conceitos de Geometria. A seção que discute a modelagem
matemática não enfatiza a necessidade de utilizar os conceitos e propriedades das
figuras geométricas na modelagem dos problemas propostos. A existência de
apêndices sugere uma preocupação do autor em garantir que o aluno possa
recuperar, ou mesmo revisitar, vários conceitos que são necessários ao
entendimento do Cálculo Diferencial, porém, essa mesma preocupação não existe
em relação à geometria.
No Quadro 7 está sintetizada a análise que fizemos do livro para o estudo de
nossa dissertação:
32
ITEM AVALIADO
Proposta
Capítulo Aplicação
de derivada
ANÁLISE
Compreender os conceitos de Cálculo a partir de descobertas e
de um sentido de utilidade.
Focaliza a resolução dos exercícios a partir de seis passos, que
vão da compreensão do problema à utilização dos conceitos de
Cálculo Diferencial para a otimização.
Conceitos
geométricos
presentes
Perímetro: retângulo; triângulo e quadrado;
Área: retângulo, triângulo, quadrado e circunferência.
nos exercícios
Orientações para
uma revisão
Não existe
em geometria
Quadro 7: Análise do Livro 1
Fonte: Dados de pesquisa
A seguir, apresentamos a análise do segundo livro.
Livro 2: Cálculo: um novo horizonte
Autor: Howard Anton
Editora/Ano: Bookman, 2000.
Proposta do autor
Nesse livro o autor destaca que a proposta de ensino está alinhada com as
atuais tendências para o ensino do Cálculo Diferencial e Integral na graduação,
tendo o foco na compreensão textual e a aplicabilidade dos conceitos. Destaca que
o desenvolvimento do conteúdo abordado no texto deu-se a partir de múltiplos
aspectos, fornecendo abordagens mais recentes para aqueles que pretendem dar
novos rumos para as aulas de Cálculo.
Para nossa análise, destacamos apenas os aspectos que estão diretamente
relacionados com nossa pesquisa. São eles: tecnologia, módulo horizonte,
modelagem matemática, aplicabilidade do Cálculo e Regra dos Quatro.
Na abordagem tecnológica, ele destaca o uso de calculadoras gráficas e dos
sistemas algébricos de computação e relata que o livro foi estruturado de forma a
33
ser utilizado em cursos nos quais os recursos tecnológicos são bastante usados ou,
mesmo, em cursos em que não há essa ênfase.
Os Módulos Horizonte, localizados ao final dos capítulos, têm o objetivo de
expandir o conhecimento que os alunos possuem, apresentando propostas de
atividades opcionais que podem ser desenvolvidas em sala, como projetos.
A respeito da modelagem matemática, é enfatizado o seu papel na resolução
dos problemas e verificamos que ela é empregada de forma bastante intensa nos
capítulos do livro. No final do capítulo cinco, existe uma atividade do Módulo
Horizonte que aborda a maneira de se obter modelos matemáticos a partir de dados
experimentais.
A aplicabilidade do Cálculo é destacada, procurando-se conectar o conteúdo
do Cálculo a situações do nosso mundo. A Regra dos Quatro é igualmente
destacada, da mesma forma que no livro de Stewart.
Nesta obra, o autor chama a atenção dos estudantes para os apêndices
existentes, dos quais alguns abordam conteúdos de pré-cálculo, como números
reais, intervalos e desigualdades; valor absoluto; retas e planos coordenados;
distância, círculos e equações quadráticas; revisão de trigonometria e resolução de
equações polinomiais. Novamente percebemos que conceitos geométricos não
integram os apêndices.
Como introdução, é apresentado um resumo sobre a história e as origens do
Cálculo e seus principais personagens. Nesse momento é feita uma menção à
Geometria Euclidiana por meio dos processos infinitos utilizados na determinação da
área de uma circunferência a partir do cálculo da área de polígonos regulares nela
inscritos.
O conceito de derivada e suas aplicações
No primeiro capítulo aborda-se o estudo de funções que, segundo o autor, é
“a ideia básica subjacente a quase todas relações matemáticas e físicas, não
importando como elas são expressas” (p.15). Ele começa esse capítulo destacando
a necessidade de coleta, organização e análise de dados provenientes de
experiências, e apresenta tabelas e gráficos como forma de exemplificação.
Dos
doze
exercícios
conhecimentos em geometria:
referentes
à
primeira
seção,
três
abordam
34
•
cercar um terreno retangular de 1.000 m de área com a menor quantidade de
muro possível;
•
estimar o maior volume de uma caixa feita a partir de uma folha retangular;
•
determinar o raio e a altura de um cilindro circular reto.
Ainda no primeiro capítulo existe um tópico que destaca o domínio e a
imagem de funções em problemas aplicados. Nele, o autor aponta que
considerações físicas acarretam restrições ao domínio e à imagem de uma função.
Para exemplificar essa situação, ele retoma, como exemplo, a determinação do
maior volume possível de uma caixa feita a partir de uma folha retangular.
Entretanto, não estabelece uma relação com as propriedades geométricas da figura.
Em relação aos exercícios relativos a esse tópico, dos 23 exercícios propostos,
apenas 3 necessitam de conhecimentos em geometria para a resolução. São eles:
•
expressar o comprimento da corda de uma circunferência em função do
ângulo central;
•
determinar o volume de uma caixa a ser criada a partir de uma folha
retangular, em função da medida dos quatro quadrados que devem ser
cortados nos cantos dessa folha;
•
determinar a medida de hipotenusa e de um cateto de um triângulo retângulo.
Em outra seção presente nesse capítulo, Modelos Matemáticos Lineares,
discute-se o que é modelo matemático e modelagem matemática, destacando que
os modelos matemáticos podem ser expressos a partir das relações existentes entre
as variáveis do problema e discutindo a obtenção de modelos lineares a partir de
proporção direta, dados gráficos e dados numéricos. Nesse tópico, percebemos o
foco do autor em trabalhar com a obtenção de modelos matemáticos, entretanto,
não vemos presente o uso das relações geométricas das figuras e como essas
relações contribuem na obtenção dos modelos.
Em relação aos exercícios desse tópico, não encontramos exercícios que
necessitam da utilização de conceitos de Geometria. Nos exercícios suplementares
encontramos apenas um exercício que aborda conhecimentos de geometria; trata-se
do mesmo exercício que pede a determinação do volume de uma caixa a partir dos
35
quatro quadrados que devem ser cortados nos cantos de uma folha de papel, visto
anteriormente.
No terceiro capítulo é trabalhado o conceito de derivada, apresentando-o a
partir da situação problema de determinação de uma reta tangente a uma curva e da
determinação da velocidade instantânea. Em seguida, apresenta a definição de
derivada e as técnicas de diferenciação. No quarto tópico desse capítulo discute-se
a derivada das funções trigonométricas. Nele é trabalhado um exemplo que envolve
as relações trigonométricas em um triângulo retângulo. Novamente não percebemos
um destaque às relações geométricas da figura. Dos 43 exercícios referentes a esse
tópico, apenas 4 possuem abordagem geométrica.
No capítulo cinco, tem-se uma análise das funções e de seus gráficos. Nele
são trabalhadas as relações entre a derivada de uma função e o seu gráfico e
discute-se sobre máximos e mínimos relativos e absolutos a partir dos testes da
derivada primeira de uma função.
No capítulo seis, que trata de problemas aplicados na determinação de
máximos e mínimos, temos sete exemplos, entre os quais cinco estão relacionados
a conceitos geométricos.
Esses exemplos propõem:
1) a determinação das dimensões de um retângulo de perímetro conhecido
que maximiza a sua área;
2) o volume máximo de uma caixa, feita a partir de uma folha retangular em
que devem ser cortados quadrados iguais nos quatro cantos dessa folha;
3) a minimização no custo para estabelecer linhas de transmissão entre dois
pontos estabelecidos;
4) a determinação das dimensões de um cilindro circular reto inscrito em um
cone circular reto que maximizam o seu volume;
5) a minimização do custo de produção de uma lata cilíndrica.
Quadro 8: Exemplos de problemas de otimização – Livro 2
Fonte: Anton (2000)
Dos 63 exercícios desse capítulo, 42 demandam a utilização de conceitos
geométricos.
A análise feita está sintetizada no Quadro 9.
36
ITEM AVALIADO
Proposta
Capítulo Aplicação de derivada
Conceitos geométricos
presentes
nos exercícios
ANÁLISE
Foco na compreensão conceitual e aplicabilidade
dos assuntos.
Resolução de sete exemplos, dos quais um tem três
formas diferentes de resolução.
Perímetro: retângulo, triângulo e quadrado;
Área:
retângulo,
triângulo,
quadrado
e
circunferência.
Orientações para uma revisão
em geometria
Não existe
Quadro 9: Análise do Livro 2
Fonte: Dados de pesquisa
Como os livros de Cálculo Diferencial e Integral avaliados contemplam muito
superficialmente a ideia que defendemos de uma orientação para os alunos no
sentido de que retomem conceitos de geometria como uma estratégia para facilitar a
resolução de alguns problemas aplicados, optamos por fazer um estudo de livros
que são utilizados nas disciplinas de pré-cálculo, com o objetivo de verificar se existe
neles a intenção de revisão ou aprimoramento dos conhecimentos em geometria
necessários aos estudos em Cálculo.
Não iremos fazer uma análise detalhada das obras escolhidas, como fizemos
com os dois livros de Cálculo já analisados. Apenas iremos analisar a proposta
presente no prefácio e verificar a existência de conteúdos geométricos ou, mesmo,
uma indicação para a revisão desses.
Livro 3: Introdução ao Cálculo
Autor: Eliot Mendelson
Editora/Ano: Bookman, 2007
A partir da leitura do prefácio desse livro, podemos perceber que os alunos,
ao ingressarem no ensino superior, têm na Matemática uma fonte de desestímulo,
uma vez que possuem deficiências em álgebra e cálculos aritméticos. Por esse
motivo, eles se sentem despreparados e inseguros em relação a essa disciplina.
37
O ensino médio, em geral, não apresenta esses conceitos de maneira
que se forme, na mente do aluno, um único corpo de conhecimento
que deve visar a um propósito bem definido. (MENDELSON, 2007,
p.7).
A obra foi concebida na tentativa de resolver esse problema, pois aborda a
matemática básica que é o fundamento para o Cálculo sem, no entanto, ser
excessivamente rigoroso.
O livro é recomendado para referenciar o estudo de pré-cálculo, servindo
também como material suplementar para cursos mais avançados. Já no prefácio, o
autor destaca que o objetivo do livro é o de preparar o estudante para o Cálculo
Diferencial e Integral.
Dos 39 capítulos presentes nesse livro, apenas 2 abordam o estudo dos
conceitos de geometria: no capítulo seis, trata-se do estudo de simetria e no capítulo
25 são abordados os conceitos de medida de ângulo. Dos seis apêndices presentes,
o terceiro traz as fórmulas geométricas para o cálculo da área de um triângulo, um
trapezóide, um paralelogramo e do círculo, assim como o volume da esfera, do
cilindro e do cone.
Livro 4: Cálculo A
Autoras: Diva M. Flemming e Miriam B. Gonçalves
Editora/Ano: Pearson Prentice Hall, 2006.
No prefácio, as autoras destacam apenas as mudanças que foram feitas na 6a
edição.
Nenhum dos oito capítulos aborda conceitos geométricos. Dos dois apêndices
presentes, o primeiro destaca o estudo das identidades trigonométricas, as tabelas
de derivadas, as tabelas de integrais e as fórmulas de recorrência; no segundo
encontram-se as respostas dos exercícios.
Essas autoras indicam um site de apoio ao professor e estudantes, que
apresenta, para os professores, apenas um manual de soluções dos exercícios
propostos e, para os alunos, as respostas dos exercícios.
Nesse livro percebemos, ao analisar a seção que faz uma revisão dos
conceitos de Cálculo, que o foco está no estudo de números reais e de funções.
38
2.3 Reflexões finais
Após a análise desses quatro livros, pudemos perceber que não existe uma
preocupação, por parte dos autores, em orientar os alunos para que procedam a
uma revisão dos conceitos geométricos, tão necessários para a resolução de alguns
problemas de otimização, nem tampouco sobre a necessidade do desenvolvimento
de estudos autônomos com esse objetivo.
O olhar dirigido à Geometria por esses autores leva-nos a entendê-la apenas
como um emaranhado de fórmulas a serem decoradas e utilizadas em momentos
específicos. No entanto, compreendemos, é claro, que um livro de Cálculo não tem,
necessariamente, que abordar conceitos e propriedades geométricas. Além disso,
esses dois livros foram elaborados por autores norte-americanos, e inserem-se em
uma realidade em que o ensino de geometria é eficaz, dispensando assim a
necessidade de uma revisão. Entretanto, ambos explicitam uma preocupação com
os processos de modelagem. Entendemos que, em diversas situações aplicadas, é
indispensável uma melhor análise das relações geométricas na obtenção de
modelos.
Os dois livros de pré-cálculo analisados parecem seguir as mesmas
concepções dos livros de Cálculo, não apresentando uma ênfase ou, mesmo,
pontuando a necessidade de uma revisão em Geometria. Esses dois livros
elaborados por autores brasileiros, que vivem a nossa realidade educacional,
poderiam chamar a atenção para os estudos de Geometria.
Possivelmente, essa falta de atenção aos conceitos geométricos, por parte do
livro texto, pode acarretar que os professores não destaquem nas aulas de Cálculo a
importância de estabelecer relações geométricas e algébricas para a modelagem
dos problemas sobre aplicações de derivada. Com isso, podemos nos deparar com
um cenário semelhante ao relatado por Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (2004),
evidenciando, assim como esses autores, lacunas em Geometria que dificultam e,
muitas vezes, inviabilizam a resolução de problemas de otimização pelos alunos.
Os estudos desenvolvidos neste capítulo sinalizam que a presente pesquisa
pode contribuir para ao ensino-aprendizagem de Cálculo.
39
Nos dois capítulos seguintes apresentamos uma síntese dos estudos teóricos
conduzidos sobre Autorregulação da aprendizagem e sobre as Tecnologias de
Comunicação e Informação. Esses estudos visaram o desenvolvimento de um
Objeto de Aprendizagem para o estudo de problemas aplicados de máximos e
mínimos que envolvem conceitos geométricos.
40
3 AUTORREGULAÇÃO DA APRENDIZAGEM
A pesquisa aqui relatada foi realizada com o intuito de desenvolver um Objeto
de Aprendizagem que estimulasse a autorregulação na aprendizagem de Cálculo.
Para isso, foi necessário o desenvolvimento de estudos teóricos relativos aos
conhecimentos que uma pessoa tem sobre as suas capacidades e limitações no
aprender e sobre o monitoramento que exerce sobre a sua aprendizagem. Se um
aluno é capaz de monitorar a sua aprendizagem, ou tem consciência disso, é
também capaz de perceber quando não aprende ou não possui os conhecimentos
necessários para resolver alguma tarefa matemática que foi proposta.
Esses estudos integram o campo da pesquisa em Metacognição, tópico
abordado na primeira seção. A segunda seção desse capítulo tem como foco a
Aprendizagem Autorregulada, discutindo as estratégias de aprendizagem e a
regulação das mesmas pelos alunos.
Antes de apresentar os estudos teóricos, vale lembrar que o foco desta
pesquisa é o monitoramento da aprendizagem de Cálculo, em especial do estudo de
aplicações da derivada na determinação de máximos e mínimos de funções reais de
uma variável real.
3.1 Metacognição
Flavell (1979), em seu estudo sobre a consciência que os alunos apresentam
acerca da aquisição de conceitos, evidencia diferenças entre os estudantes que
acreditam ter aprendido, mas, na verdade, não aprenderam, e aqueles que
efetivamente aprenderam. A esse conhecimento de uma pessoa sobre como
aprende Flavell denominou Metacognição. Ao discutir sobre o conhecimento
metacognitivo, este autor destaca que sua essência está associada a “[...]
conhecimentos e crenças sobre quais e de que maneira fatores ou variáveis agem e
41
interagem de modo a afetar o desempenho e o resultado de ações cognitivas.”
(FLAVELL, 1979, p.2, tradução nossa) 6.
A Metacognição pode ser definida como cognição acerca da cognição, ou
seja, o conhecimento que o sujeito possui sobre qualquer iniciativa cognitiva que ele
realiza (FLAVELL, MILLER E MILLER, 1999). Conhecimento metacognitivo é aqui
entendido num sentido mais amplo. Consiste não apenas em conhecer sobre os
processos de aprender e compreender, mas também sobre as emoções e
motivações (FLAVELL,1987).
Frota (2002) ressalta que o conhecimento não pode ser considerado apenas
como conhecimento de um determinado conteúdo, matemático, por exemplo.
Conhecer é ”Conhecer num sentido metacognitivo, isto é, integrar conhecimentos
científicos, empíricos, emocionais, afetivos, entre outros.” (p.60).
Quando falamos em cognição, há dois aspectos a considerar: o conhecimento
sobre o próprio processo de conhecer e a gestão desse conhecimento. (LESTER e
GAROFALO, apud, FERNANDES, 1989).
Para Shoenfeld (1987), a pesquisa em metacognição tem abordado três
categorias relacionadas, mas distintas, que são: conhecimento sobre o próprio
processo de pensamento; controle e autorregulação do processo; crenças e
intuições sobre Matemática e formas de fazer Matemática.
Fernandes (1989), ao discutir sobre a resolução de problemas cotidianos de
matemática, destaca quatro tipos de conhecimento demandados no processo de
resolver problemas, que foram apontados por Schoenfeld 1985)7. São eles:
1) Conhecimento de factos, de algoritmos, e de matemática em geral que
um indivíduo possui; 2) Conhecimento de estratégias de resolução de
problemas, também identificadas por muitos autores como estratégias
heurísticas; 3) Conhecimento de estratégias de verificação (ou de controlo),
que têm a ver com a forma como um indivíduo utiliza e gera a informação
que está ao seu alcance; 4) Pré-conceitos ou percepções (...) que se
relacionam com a visão que cada um tem de si próprio, da matemática, dos
problemas, e do mundo em geral. (FERNANDES, 1989, p.3).
Desses quatro aspectos, Fernandes ressalta que três têm relação direta com
a metacognição: o conhecimento das estratégias, ou heurísticas relacionadas à
resolução de problemas, pode indicar ao aluno o caminho a ser seguido e, nesse
6
“[…] Knowledge or beliefs about what facts or variables act and interact in what ways to affect the
course and outcome or cognitive enterprises”.
7
Citado em Fernandes, 1989.
42
caso, a resolução correta é mais provável. O conhecimento de estratégias de
verificação ou controle está relacionado à forma como o aluno utiliza as informações.
No caso do uso do Objeto de Aprendizagem, as informações presentes podem
ajudá-lo na recuperação de conceitos para a resolução dos problemas propostos. A
visão que cada aluno tem de si próprio em relação às capacidades para a resolução
dos problemas pode ajudá-lo em uma busca mais precisa em relação às ajudas
disponibilizadas no Objeto de Aprendizagem.
Para Flavell, a Metacognição está relacionada com a modificação do
comportamento cognitivo. O autor destaca que o monitoramento de uma ação
cognitiva integra quatro classes de fenômenos: conhecimento metacognitivo,
experiência metacognitiva, metas (ou tarefas) e ações (ou estratégias).
Buscaremos, a seguir, caracterizar os dois primeiros fenômenos apontados
por Flavell (1979) e, ao fazer isso, falaremos também sobre tarefas e estratégias.
O conhecimento metacognitivo consiste no conhecimento sobre as variáveis
ou fatores que afetam o curso das iniciativas cognitivas, ou seja, o conhecimento
que as pessoas possuem sobre o que fazem para aprender ou facilitar a
aprendizagem.
O
conhecimento
metacognitivo
compreende
três
categorias
principais dessas variáveis: pessoa, tarefa e estratégia.
A categoria pessoa engloba os pensamentos de uma pessoa sobre ela
mesma e sobre outras pessoas como agentes cognitivos. Compreende, entre outros,
os conhecimentos que uma pessoa tem sobre suas próprias habilidades e
preferências para estudar e aprender. Por exemplo, alguns alunos de Cálculo
acreditam que aprendem mais facilmente ouvindo as explicações do professor ou
dos colegas, para depois ler e fazer suas anotações.
A categoria tarefa está relacionada à informação que está disponível para a
pessoa enquanto realiza uma ação cognitiva. Para Flavell, ter o conhecimento dessa
subcategoria resulta na compreensão sobre de que forma as variações dos tipos
dessas informações influenciam o gerenciamento das estratégias para alcançar um
objetivo. Por exemplo, diante de duas questões de cálculo de máximos e mínimos,
um aluno pode avaliar uma questão como mais difícil do que a outra porque uma
delas exige recordar algumas propriedades geométricas para modelar a função que
vai ser minimizada ou maximizada e o aluno tem uma avaliação de suas dificuldades
naquele assunto.
43
A categoria estratégia diz respeito a conhecimentos sobre quais as
estratégias mais adequadas para realizar a contento determinada tarefa. Como
exemplo, citamos um problema de Cálculo que envolve a determinação do seguinte
x 2 − 5x + 6
. Um aluno, sabendo que a função só não está definida para
x → −3
x−3
limite: lim
x=3, opta por fazer x=-3 para calcular o limite, em vez de fatorar o numerador dessa
função e simplificar, antes de substituir o valor de x. A estratégia de fatoração seria a
mais adequada se pretendesse determinar o limite da função racional dada, quando
a variável x tendesse para x=3.
Flavell destaca, ainda, que as três categorias, pessoa, tarefa e estratégias,
ocorrem normalmente de modo integrado.
Finalmente, o conhecimento metacognitivo pode envolver interações ou
combinações entre dois ou três destes tipos de subcategorias. Para ilustrar
uma combinação envolvendo todas as três, você poderia acreditar que (ao
contrário de seu irmão), deveria utilizar uma estratégia A (e não a
estratégia B) na tarefa X (que contrasta com a tarefa Y). (FLAVELL, 1979,
8
p. 907, tradução nossa) .
Para resolver um problema de otimização em Cálculo envolvendo
conhecimentos em geometria, um aluno pode utilizar a estratégia de verificar se já
resolveu um exercício similar (diferentemente de seu colega), em vez da estratégia
de primeiro revisar os conceitos de geometria, sabendo que aquela tarefa é diferente
de outra que havia acabado de resolver.
Além do conhecimento cognitivo, o outro fenômeno que Flavell (1979) aponta
diz respeito às experiências metacognitivas. “Experiências metacognitivas são
experiências conscientes, que são cognitivas e afetivas” (FLAVELL, 1987, p.24,
tradução nossa)9. O que torna a experiência uma experiência metacognitiva é o fato
de dizer respeito a uma ação cognitiva, mais frequentemente uma ação que está
acontecendo. Como exemplo, o autor coloca que, se alguém sente uma angústia
porque não está entendendo algo que necessita compreender, esse sentimento
poderia ser uma experiência metacognitiva. Uma pessoa pode também ter uma
experiência metacognitiva quando percebe que uma coisa está difícil de ser
8
Finally, most metacognitive knowledge actually concerns interactions or combinations among two or
three of these three types of variables. To illustrate a combination involving all three, you might believe
that you (unlike your brother) should use Strategy A (rather than Strategy B) in Task X (as contrasted
with Task Y).
9
Metacognitive experiences are conscious experiences that are cognitive and affective.
44
compreendida, lembrada ou resolvida. As seguintes situações revelam também
experiências metacognitivas: se há o sentimento da pessoa que está longe do
objetivo cognitivo a ser atingido, ou então que está alcançando determinada meta,
se tem a capacidade de julgar se a matéria em estudo está ficando mais fácil ou
mais difícil do que estava anteriormente. Experiências metacognitivas podem ser de
vários tipos, sendo experiências conscientes, cognitivas ou afetivas pertinentes para
a conduta da vida intelectual. (FLAVELL, 1987).
Por exemplo, um aluno pode começar resolvendo uma integral de uma função
utilizando substituições trigonométricas e perceber, no decorrer da resolução, que
acabou chegando a uma nova função e que não consegue resolvê-la utilizando
aquela técnica, ou seja, está longe de alcançar o objetivo pretendido.
Em relação às experiências metacognitivas, Flavell (1979) destaca que elas
podem ser breves ou, mesmo, de longa duração, assim como simples ou mesmo
complexas, dependendo do conteúdo abordado. O autor acrescenta que essas
experiências podem ocorrer a qualquer momento: antes de uma ação cognitiva;
durante essa ação ou, mesmo, após a realização da ação. Por exemplo, ficamos por
vezes batalhando muito tempo com um problema difícil e, durante esse processo,
nos lembramos, de repente, de outro problema, mais fácil, que já resolvemos antes
e então continuamos a agir no sentido de resolver o desafio que nos atormenta.
Esse é um tipo de experiência metacognitiva que acontece comumente.
Experiências metacognitivas têm um efeito muito importante sobre nossas
metas ou ações cognitivas, levando-nos a estabelecer novas metas ou, mesmo, a
abandonar modelos antigos. Essas experiências metacognitivas são capazes de
levar a pessoa a ativar estratégias destinadas a um dos dois tipos de objetivos:
cognitivos ou metacognitivos. (FLAVELL, 1979). Buscando compreender esses dois
tipos de objetivos, vejamos um exemplo. Suponha que um professor explicite para
os seus alunos que determinada questão poderá ser utilizada na próxima prova. Um
aluno passa, então, a estudar a resolução desse exercício, tendo um objetivo
cognitivo. Outro aluno, entretanto, procura estudar esse mesmo exercício, buscando
estabelecer variações do mesmo, imaginando se saberia resolvê-lo com um objetivo
metacognitivo de monitorar sua aprendizagem, ampliando seus conhecimentos.
Flavell (1979) busca explicar, por meio de exemplos, que uma ação cognitiva
integra estratégias que podem ser cognitivas ou metacognitivas e experiências
metacognitivas. Se um aluno percebe (tem uma experiência metacognitiva) que
45
ainda não tem conhecimento a respeito do capítulo de um texto que será utilizado
em um exame no dia seguinte, irá lê-lo repetidas vezes, ou seja, lançar mão de uma
estratégia cognitiva, com o objetivo cognitivo de melhorar o seu conhecimento sobre
o capítulo. A seguir, imagina (experiência metacognitiva) se entendeu o capítulo
tanto quanto necessário para passar no exame e, então, tenta formular questões
sobre o capítulo, que ele mesmo responde. Avalia, então, se respondeu bem, ou
seja, lança mão de uma estratégia metacognitiva, que tem o objetivo de acessar seu
próprio conhecimento, tendo então uma nova experiência metacognitiva.
Ao evidenciar a importância de estudos metacognitivos na resolução de
problemas, Fernandes (1989) ressalta a necessidade de um ensino em que os
alunos não sejam limitados à memorização de procedimentos, mas que se tornem
capazes de escolher conscientemente os mecanismos necessários à resolução de
problemas.
Em nosso trabalho, uma meta é proporcionar ao estudante uma experiência
metacognitiva da aprendizagem de Cálculo, incentivando-o a monitorar sua
aprendizagem. Percebemos, assim, a necessidade de aprofundar os estudos sobre
as estratégias de aprendizagem e de regulação da aprendizagem, tema que
passamos a discutir.
3.2 Aprendizagem autorregulada
Para compreender o que significam as estratégias de aprendizagem, nos
fundamentamos em Frota (2002). Em sua pesquisa, esta autora investigou as
estratégias de aprendizagem matemática de alunos de engenharia que cursavam
disciplinas de Cálculo e quais os fatores influenciavam essas estratégias por eles
adotadas.
Frota (2002) destaca que o conceito de estratégias de aprendizagem depende
da concepção que se adota sobre aprendizagem. Por exemplo, aos olhos daqueles
que estabelecem uma relação de semelhança entre mente e computador, temos:
46
uma visão tecnicista do ensino, em que a ênfase está no método que
favorece a aquisição da informação, está no produto, que é a informação
processada, sem qualquer questionamento da pertinência ou não da
informação a ser armazenada, da importância da informação
(re)significada. (FROTA, 2002, p.39).
Assim, em algumas definições de estratégias de aprendizagem podem
transparecer uma concepção limitada do processo de aprendizagem, uma vez que
essas estratégias são, por vezes, entendidas apenas como técnicas que precisam
ser memorizadas, o que depende de treino. A aprendizagem deixa de “incorporar a
transformação, a criação e a novidade.” (p. 39).
O conceito de estratégias que adotamos é proposto pela mesma autora, que
define: “Estratégias de aprendizagem são elementos de um processo ativo de
conhecimento, elementos desenvolvidos continuamente pelo sujeito ao interagir com
os objetos, com os outros indivíduos e com o meio ambiente” (FROTA, 2002, p.40).
O entendimento de estratégias para a autora incorpora movimento, pois estratégias
se modificam e renovam. As estratégias de aprendizagem são dinâmicas, flexíveis e,
em função dos objetivos propostos, são modificáveis.
Frota (2002) destaca, ainda, que um aluno, a partir de suas próprias
capacidades ou, mesmo, interesses e motivações, utiliza uma mesma estratégia de
maneira diferenciada, podendo “incorporar a uma estratégia uma certa dose de
individualidade ditada por características próprias.” (p.41). Esse modo particular de
utilizar uma estratégia de aprendizagem constitui, por vezes, um estilo de
aprendizagem.
Entender essas estratégias próprias, ou estilos de aprendizagem particulares
que os alunos apresentam, pode contribuir para a melhor estruturação da pesquisa,
uma vez que nosso objetivo é a elaboração de um instrumento, no caso, um Objeto
de Aprendizagem para ser usado como apoio ao estudo de máximos e mínimos de
funções reais de uma variável, visando estimular ou, mesmo, aperfeiçoar a
autorregulação da aprendizagem pelo aluno.
Frota (2002) identificou três estilos de aprendizagem: teórico→ prático;
prático→ teórico e incipiente. O estilo teórico→ prático é caracterizado por um
movimento dos alunos que partem da teoria em direção à prática, ou seja, ao lidar
com uma situação matemática, por exemplo, resolver uma integral, primeiro
recorriam a sínteses teóricas para classificar o tipo de integral e as técnicas
possíveis de resolução, ou aquelas que não eram adequadas. O estilo
47
prático→ teórico é caracterizado por um movimento que parte da prática,
caminhando, algumas vezes, em direção à teoria. Nesse caso, os alunos, ao
resolverem os exercícios, partiam de considerações práticas relacionadas à
facilidade ou semelhança identificada com outros exercícios. Alunos cujo estilo foi
classificado como incipiente não demonstraram o desenvolvimento de um método
próprio no estudo de Cálculo.
Frota (2002) investigou os fatores que influenciam a opção de uma estratégia
de aprendizagem ou a caracterização de um aluno quanto a um estilo de
aprendizagem. Os resultados da pesquisa, que mesclou estudos quantitativos e
qualitativos, apontaram que, entre esses fatores, as concepções, as motivações e o
autocontrole do processo de aprendizagem são os mais importantes. As estratégias
metacognitivas utilizadas pelos estudantes constituem o foco dos trabalhos da
autora. (FROTA, 2002, 2003, 2009).
Atitudes metacognitivas foram importantes para caracterizar a existência de
um estilo de aprendizagem e foram mais comuns entre alunos com um dos estilos
teórico → prático ou prático→ teórico.
De um modo geral os alunos foram capazes de explicitar o seu método de
estudo, analisando a sua eficácia, ou não, justificando a superficialidade de
seus procedimentos, decorrentes, às vezes de opções circunstanciais,
como, por exemplo, falta de tempo, por terem de estudar e trabalhar.
(FROTA, 2002, p.239).
A autora destaca, ainda, que um ensino de Matemática por meio da resolução
de
problemas
é
capaz
de
provocar
o
desenvolvimento
de
estratégias
metacognitivas, que exigem o automonitoramento do aluno sobre o seu processo de
aprender.
Concordamos com essa ideia e acreditamos que, uma vez que se verifique a
existência de dificuldades por parte dos alunos, no caso da nossa pesquisa, na
resolução de problemas de otimização que apresentem conceitos geométricos, o
estímulo à resolução desses problemas, dentro de um contexto que privilegie
também estudos em geometria, pode contribuir para um melhor monitoramento da
aprendizagem desses alunos objetivando a resolução dos problemas propostos e
também para a melhor compreensão dos conceitos matemáticos envolvidos.
48
Ribeiro
(2003)
pesquisou
sobre
as
estratégias
metacognitivas
na
potencialização da aprendizagem e na sua melhora, enfatizando que é preciso ter,
além do conhecimento sobre estratégias, saber como utilizá-las, uma vez que a
prática da metacognição conduz a uma melhoria da atividade cognitiva e
motivacional.
Retomando o trabalho de Flavell (1979), podemos notar que os alunos que
demonstraram um melhor conhecimento sobre os seus processos de aprendizagem
foram os mais velhos.
Resultados como estes tem sugerido que as crianças são bastante
limitadas no seu conhecimento sobre cognição e sobre fenômenos
cognitivos, ou na sua metacognição, e fazem um uso relativamente
pequeno no monitoramento da sua própria memória, compreensão
cognitiva e outros empreendimentos. (FLAVELL, 1979, p.1, tradução
10
nossa) .
Assim, entendemos que maior conhecimento e experiência podem contribuir
para o melhor monitoramento das atividades cognitivas e a definição de estratégias
mais adequadas para lidar com tarefas matemáticas.
Como alunos universitários nem sempre revelam o hábito de estudo e
também não conseguem estabelecer uma estratégia de aprendizagem eficaz
(RIBEIRO; SILVA, 2007), entendemos que o estímulo aos processos de
autorregulação na resolução de problemas e, no nosso caso, de máximos e mínimos
de funções, pode melhor capacitá-los em seus processos de autorregulação.
Shoenfeld (1987) relata as estratégias que seus alunos utilizaram na
resolução de uma prova em que, na primeira questão, era solicitada a resolução da
integral
∫x
2
x
dx . Para o autor, esse problema daria confiança aos seus alunos,
−9
uma vez que ele pode ser resolvido fazendo-se simplesmente a substituição
u = x2 – 9. Sua expectativa era a de que os alunos resolvessem esse problema bem
rápido, o que lhes daria uma maior confiança para o desenvolvimento do resto da
prova, pois essa é uma das técnicas mais básicas da integração e, certamente, os
alunos saberiam como usá-la.
10
Results such as these suggested that young children are quite limited in their knowledge and
cognition about cognitive phenomena, or in their metacognition, and do relatively little monitoring of
their own memory, comprehension, and other cognitive enterprises.
49
Entretanto, Shoenfeld relata que, para sua surpresa, apenas metade da turma
se comportou da forma como ele previu; a outra parte da turma utilizou a técnica
conhecida como “frações parciais” ou a técnica de “substituição trigonométrica”. Por
ser uma técnica que demanda mais cálculos, os alunos que utilizaram essa técnica
não tiveram um bom desempenho na prova devido ao tempo dispensado na
resolução dessa questão.
O autor chama a atenção, a partir desse exemplo, para o fato de que os
alunos que utilizaram as técnicas mais sofisticadas apresentaram maior domínio de
conteúdos mais complexos do que aqueles que utilizaram a substituição, e destaca
que se eles procurassem analisar a situação questionando a si mesmos se haveria a
possibilidade de uma maneira mais fácil para resolver o problema, isso poderia
evitar muito trabalho desnecessário. Percebe-se que nem sempre os caminhos
empregados pelos alunos são aqueles que os professores pensaram.
Os resultados da pesquisa de Schoenfeld (1987) reforçam a importância de
ensinar os alunos a desenvolverem estratégias para lidar com situações
matemáticas e controlarem o seu processo de estudo e aprendizagem.
Nessa linha, pretendemos desenvolver o Objeto de Aprendizagem de apoio
aos estudos de problemas aplicados de Cálculo Diferencial. Objetivamos estimular o
aprender a aprender e o controlar, pelo aluno, do próprio aprendizado das
aplicações das derivadas na resolução de problemas para a determinação de
máximos e mínimos de funções de uma variável real, que dependem de relações
com a Geometria Euclidiana.
Pretendemos estimular o monitoramento da aprendizagem pelo aluno. Cabe,
então, uma reflexão sobre o processo de aprendizagem e o papel das regulações
nesse processo, à luz da teoria de Piaget.
Piaget (1977) afirma que o sujeito, a partir da ação e do pensamento, sempre
apresenta uma tendência a aproximar-se de um equilíbrio que é atingido apenas
provisoriamente, quando novo desequilíbrio desencadeia os processos de
assimilação e acomodação, sempre buscando uma melhoria dos equilíbrios, ou seja,
uma equilibração majorante. O desenvolvimento cognitivo de um sujeito está
relacionado aos processos internos a ele, que o levam a transformar as suas formas
de conhecimento. (MONTANGERO; MAURICE-NAVILLE, 1998).
Frota (2002), ao discutir os conceitos de assimilação e acomodação
propostos por Piaget, explica que o sujeito, diante de uma nova situação, incorpora
50
esse novo conceito presente no mundo externo às suas estruturas internas
(assimilação), mas essa novidade não é incorporada imediatamente de forma
passiva, pois o sujeito ajusta os seus pensamentos e esquemas mentais e
estabelece uma negociação com esse novo conhecimento (acomodação).
Montangero e Maurice-Naville (1998), estudiosos de Piaget, caracterizam a
assimilação como a atividade que o sujeito tem no processo do conhecimento e a
acomodação como fonte de mudança que leva ao desenvolvimento cognitivo. E
destacam:
Ainda que a assimilação e a acomodação sejam complementares e que
seu equilíbrio caracterize a atividade inteligente, Piaget privilegia o primeiro
desses mecanismos, afirmando que a assimilação é o fato primeiro: não
poderia haver, aí, acomodação sem assimilação prévia. (p.118).
Ao relatarem esse modelo de funcionamento cognitivo proposto por Piaget,
Flavell, Miller e Miller (1999) consideram a cognição como uma forma específica de
adaptação biológica entre organismos e ambientes complexos. O sistema cognitivo
humano é ativo, uma vez que seleciona e interpreta a informação; ele não a copia
passivamente e nem a ignora, mas considera a estrutura desse ambiente. Podemos
perceber uma ideia de ciclo na reconstrução e reinterpretação desse ambiente, que
é “encaixado” em seu próprio referencial mental. A cognição exibe a assimilação e a
acomodação, que são aspectos simultâneos e complementares no processo de
aprendizagem.
Esses processos podem ser entendidos como as ferramentas que atuam na
mente quando ela se depara com novos conhecimentos. Na assimilação, o novo
conhecimento é captado pelas estruturas mentais já existentes e, na acomodação,
esse conhecimento é adaptado à mente. É claro que a mente humana simplesmente
não copia o conhecimento que está externo a ela passivamente, mas também não o
ignora totalmente; a mente transforma esse conhecimento, adaptando-o às suas
próprias estruturas. (FLAVELL, MILLER e MILLER, 1999).
O que você já sabe vai modelar e limitar em grande parte quais
informações ambientais você pode detectar e processar, assim como o que
você pode detectar e processar vai oferecer o motor essencial para a
ativação do conhecimento presente e a geração do novo conhecimento.
(FLAVELL, MILLER e MILLER, 1999, p.12).
51
Os autores falam da associação-acomodação como um modelo do
desenvolvimento cognitivo. Colocam que a mente, em algum nível arbitrário do seu
desenvolvimento, possibilita assimilações e acomodações específicas e se
transforma, atingindo algum nível mais alto, ou seja, quando se depara com um novo
conhecimento, utiliza os processos mentais de acomodação e assimilação. Após
esse processo, essa nova mente será transformada, possuindo um maior
conhecimento. Os autores classificam como mente 1 o nível de desenvolvimento da
mente antes de se deparar com o novo conhecimento e mente 2 o nível após a
interação com o novo conhecimento, destacando que esse é um processo contínuo.
A tendência ao equilíbrio, ou reequilibração, apresentada por Piaget,
compreende três grandes formas: o equilíbrio das relações entre o sujeito e os
objetos; o equilíbrio das coordenações entre esquemas ou entre subsistemas de
esquemas e o equilíbrio geral entre o todo e as partes.
Ora, é esta terceira exigência que, dominando as outras duas, embora
sempre menos satisfeita ainda, ou precisamente porque mais exposta às
faltas de acabamento, parece orientar a finalidade das ações; de fato, é
sempre quando há uma lacuna e em função das perturbações que são a
sua origem ou resultado que se inicia uma busca nova cuja finalidade está
ligada, portanto, ao conjunto do sistema no seu estado atual de
inacabamento e tende a completá-lo diferenciando-o enquanto as relações
do sujeito com os objetos e as coordenações entre esquemas ou
subsistemas do mesmo grau, proporcionarão os meios com os seus
objetivos particulares subordinados ao primeiro. (PIAGET, 1977, p. 207).
E acrescenta:
A melhoria da equilibração resulta então de que o sistema superior é a
sede de regulações novas, porque a sua construção compreende um jogo
mais complexo de assimilações e acomodações e porque qualquer
esquema ou subsistema de qualquer nível que apresente esta bipolaridade
é formador de regulações. (PIAGET, 1977, p.208).
Para Piaget, as regulações são instrumento da equilibração majorante e de
construção de novas formas cognitivas. As regulações podem ser simples, a
princípio, depois regulações de regulações, até chegar às autorregulações.
Segue-se daqui uma hierarquia de regulações de regulações que conduzem
à auto-regulação e à auto-organização, por extensão dos ciclos iniciais e
multiplicação das coordenações diferenciadas, que exigem uma integração
de grau superior. (PIAGET, 1977, p.208).
52
Por exemplo, diante de um problema para ser resolvido com recursos de
Geometria Dinâmica, o aluno precisa fazer regulações simples para movimentar os
elementos das figuras, testando e experimentando. A seguir, o aluno faz regulações
de regulações, coordenando o comando de mover com outros comandos de
transladar, girar, por exemplo, para novamente resolver o problema proposto.
Finalmente, o aluno realiza uma autorregulação quando analisa os movimentos
feitos e procura, por exemplo, repetir, melhorando.
Os
referenciais
teóricos
apresentados
nesse
capítulo
contribuíram
significativamente na concepção do Objeto de Aprendizagem, uma vez que o
objetivo principal foi propiciar aos alunos um instrumento capaz de estimular a
autorregulação do processo de aprendizagem de máximos e mínimos.
Para a construção do Objeto de Aprendizagem foi necessário aprofundar
sobre o assunto, o que é feito a seguir.
53
4 OBJETOS DE APRENDIZAGEM MATEMÁTICA
No presente capítulo, inicialmente, situamos o trabalho que desenvolvemos
no campo da pesquisa sobre o uso de recursos computacionais no ensino de
Cálculo. A segunda seção é dedicada à Geometria Dinâmica, considerando que o
trabalho desenvolvido envolve o uso de applets que integram um Objeto de
Aprendizagem elaborado como suporte na resolução de problemas de máximos e
mínimos. Na última seção, abordamos os objetos de aprendizagem, destacando as
definições encontradas na literatura e explicitando a concepção de objetos de
aprendizagem aqui adotada.
4.1 As TIC no ensino de Cálculo
Compreendemos tecnologias, no seu amplo sentido, como sendo recursos
variados, como o lápis, o papel, a régua, o livro didático, calculadoras etc., além
disso, há aquelas que intitulamos de novas tecnologias relacionadas aos recursos
computacionais e aos usos das TIC.
Destacamos aqui o papel importante que o livro didático tem desempenhado
ao longo da História, como uma tecnologia para o ensino-aprendizagem de Cálculo.
Hoje ele tem um desenho renovado e, na sua forma de instrumento de comunicação
impressa em papel, apresenta um grande número de figuras e gráficos, construídos
computacionalmente. À forma de comunicação impressa somam-se outras em
decorrência do avanço tecnológico, e o livro didático encontra, hoje, a possibilidade
de ser um texto viabilizado on-line ou, ainda, um hipertexto que remete a outros
textos e recursos.
No segundo capítulo de nosso trabalho, realizamos uma análise de alguns
livros didáticos, identificando a proposta dos autores e verificando se neles havia
uma orientação explícita para o aluno, para que fizesse uma revisão dos conteúdos
da geometria importantes para a modelagem de funções a serem maximizadas.
54
Destacamos agora outro aspecto desses livros, relativo à incorporação de recursos
tecnológicos.
Uma análise dos livros de Stewart (2001) e Anton (2000) evidencia que sua
diagramação é feita de forma a incorporar de maneira forte os recursos
computacionais. Os vários gráficos que integram os textos foram desenhados a
partir de softwares adequados, obtendo-se uma impressão de qualidade e
permitindo a visualização gráfica das funções tanto de uma quanto de duas
variáveis.
Esses dois livros apresentam ainda algumas orientações para o aluno, no
sentido de utilizar recursos digitais nos seus estudos de Cálculo. Em Stewart (2001),
na seção que trata sobre os problemas de otimização, encontramos apenas um
exercício que indica o uso de um sistema algébrico computacional (CAS) para a sua
resolução e dois exercícios que indicam o uso de calculadoras gráficas. Apesar de,
nessa seção, a quantidade de exercícios que indicam o uso desses recursos ser
pequena, Stewart não exclui a possibilidade de resolução dos outros exercícios com
esse recurso e as sugestões aparecem em maior frequência em outras seções do
livro.
Anton (2000) apresenta também a indicação para o uso de recursos
computacionais e gráficos em alguns exercícios, mas vai além, recomendando o
acesso a um site11, que possibilita utilizar alguns applets dinâmicos. Um desses, por
exemplo, aborda a determinação da inclinação da reta tangente a uma curva. O
aluno pode selecionar funções previamente disponibilizadas, cujos gráficos
representam curvas. É possível movimentar um ponto sobre essa curva, indicando
qual é o valor da inclinação da reta tangente em um ponto previamente selecionado
e um campo disponível permite que o aluno verifique se o valor encontrado está
correto ou não.
Os aspectos destacados buscam evidenciar que, como tecnologia, o livro
didático está em contínuo desenvolvimento, passando a ser um instrumento
importante de mudança, possibilitando que os recursos computacionais sejam
incorporados aos cursos de Cálculo.
O uso dos recursos computacionais e das TIC pode transformar a prática
educativa, conforme destacam Borba e Penteado (2007). Complementamos
11
www.wiley.com/college/anton
55
afirmando que o livro didático também pode ter papel fundamental para essa
transformação.
Meyer e Souza Júnior (2002), ao discutirem a respeito da utilização do
computador no processo de ensino-aprendizagem de Cálculo, apresentam um
histórico a respeito das pesquisas brasileiras relacionadas ao tema. Os autores
destacam que, até 1990, as iniciativas de uso do computador nesses casos eram
isoladas, restritas a um número muito pequeno de pesquisadores e universidades.
Acompanhando as produções que ocorreram nas universidades brasileiras,
destacam a importância da Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM)
na promoção de encontros de Educação Matemática no Brasil, congregando grupos
de pesquisadores interessados na pesquisa sobre o uso das TIC no ensino12.
Hoje, a Sociedade Brasileira de Educação Matemática tem onze grupos de
trabalho (GT) que reúnem pesquisadores de diversas áreas relacionadas ao ensino
de Matemática. O GT6 discute temas relacionados às novas tecnologias e à
educação a distância na educação matemática e constitui um campo para
divulgação e discussão de pesquisas desenvolvidas com essa temática e o GT4
discute as questões específicas da educação matemática no ensino superior. O
relatório elaborado pelo GT413 apresenta a trajetória do grupo, a dinâmica de
trabalho e as ações futuras. Esse grupo se reúne regularmente no Seminário
Internacional de Pesquisa em Educação Matemática (SIPEM) e no Encontro
Nacional de Educação Matemática (ENEM). Uma análise dos títulos dos 17
trabalhos apresentados no III SIPEM, e destacados nesse relatório, indicou apenas
um trabalho voltado para o uso das novas tecnologias no ensino de Cálculo. A
inexistência do relatório do GT6 impossibilita esse mesmo tipo de análise.
Dos encontros promovidos pela SBEM e pela Sociedade Brasileira de
Matemática Aplicada e Computacional (SBMAC) nasceram grupos de pesquisa, hoje
reconhecidos no interior das instituições e que integram o Diretório de Grupos de
Pesquisa
no
Brasil,
projeto
desenvolvido
pelo
Conselho
Nacional
de
Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq) desde 1992. Uma consulta à base
de dados14, feita em agosto de 2009, indicou 20 grupos de pesquisa que apresentam
como uma de suas linhas de investigação o uso de TIC no ensino de Matemática.
12
Para maiores detalhes, ver Meyer e Souza Júnior (2002).
Disponível em http://www.sbem.com.br/files/RelatorioGT4.pdf acesso em 15 de julho de 2009.
14
A expressão que utilizamos foi: Pesquisa em Informática e Matemática.
13
56
Dentre os grupos de pesquisa interessados na pesquisa sobre o uso das TIC,
destacam-se o Grupo de Pesquisa em Informática, outras Mídias e Educação
Matemática (GPIMEM), coordenado por Marcelo de Carvalho Borba e o Grupo de
Estudos e Pesquisa em Educação Matemática e Novas Tecnologias (GEPEMNT),
coordenado por Jussara de Loiola Araújo e Márcia Maria Fusaro Pinto.
Borba e Penteado (2007) relatam três experiências de utilização da
informática na sala de aula que podemos chamar de pioneiras, como experiências
desenvolvidas já desde 1993 e sistematizadas no interior do GPIMEM. A primeira
experiência foi desenvolvida com o uso de uma calculadora gráfica acoplada a um
detector sônico de movimento que mede distâncias, velocidade e aceleração; a
segunda, a partir da análise de gráficos gerados na calculadora e em softwares
gráficos a partir de mudanças em seus parâmetros e a terceira na modelagem de
gráficos e tabelas.
Nos relatos dessas atividades, observamos que os recursos não foram
utilizados apenas como ferramenta auxiliar na realização de cálculos, mas com o
objetivo de levar à reflexão e à análise dos resultados encontrados, uma vez que
esses alunos experimentaram o uso da calculadora, geraram conjecturas e
discutiram a sua validade.
Ao discutirem o que chamam de uma reorganização do pensamento os
autores colocam da seguinte maneira:
Entendemos que uma nova mídia, como a informática, abre possibilidades
de mudanças dentro do próprio conhecimento e que é possível haver uma
ressonância entre uma dada pedagogia, uma mídia e uma visão de
conhecimento. (BORBA; PENTADO, 2007, p.45).
Borba e Penteado (2007) destacam, ainda, que as possibilidades existem,
mas, não necessariamente, uma determinada mídia determina a prática pedagógica.
As experiências desenvolvidas no GPIMEM buscam uma harmonia entre o enfoque
pedagógico e a mídia utilizada, sendo possibilidades de “rompimento com as
práticas tradicionais.
Dentre as pesquisas do GPIMEM, tem-se o trabalho de Barbosa (2009) a
respeito do uso das TIC no ensino de Cálculo, tendo como foco a aprendizagem da
função composta e a regra da cadeia. A autora analisou o modo de produção de
conhecimento do coletivo, formado pelos estudantes, tecnologias intelectuais e pela
57
pesquisadora, acerca da função composta e da regra da cadeia, utilizando o software Winplot.
A produção do conhecimento dos alunos acerca desse conhecimento ocorreu por meio da
elaboração de conjecturas, a partir da visualização potencializada pelas TIC, num processo
interativo desse coletivo de gerar e validar ou refutar tais conjecturas, interligando múltiplas
representações.
Em seu trabalho, a autora fez um levantamento histórico sobre o uso das TIC
no ensino superior. As pesquisas abordam temas diversos, como caracterização dos
processos e pensamentos dos alunos em um ambiente computacional; o ensino de
tópicos específicos, como o Teorema Fundamental do Cálculo, a partir de
investigações com o uso de uma calculadora gráfica; as possibilidades relacionadas
ao ensino e à aprendizagem na introdução dos conceitos de equações diferenciais
ordinárias auxiliadas pelas TIC e atividades exploratórias sobre a continuidade e
derivada de uma função a partir do uso dos softwares Winplot e Maple15, entre
outros.
Segundo Barbosa,
As pesquisas apresentadas, até aqui, têm analisado questões sobre o
ensino e aprendizagem de alguns conceitos fundamentais do Cálculo
utilizando as TIC. Além disso, têm indicado que as relações entre os
aspectos algébricos, gráficos e numéricos podem ser enfatizadas na
produção e compreensão de conceitos e suas aplicações, sugerindo que o
papel das habilidades algorítmicas seja deixado a cargo dessas TIC.
(BARBOSA, 2009, p.59).
Kawasaki (2008) pesquisou, na formação continuada de professores, a
relação entre resistência e mudança de professores de Matemática ao inserirem o
uso do computador em sua prática docente. Essa autora integra o GEPEMNT, grupo
que tem desenvolvido projetos, entre os quais um denominado “Ensino
informatizado de tópicos básicos de Matemática/Programa temático multiinstitucional em Ciência da Computação (ENIBAM/ProTeM-CC)”, decorrente de uma
parceria entre a Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) e Universidade
Federal do Rio de Janeiro (UFRJ). Os trabalhos desenvolvidos localmente no
Departamento de Matemática da UFMG tiveram como foco o desenvolvimento de
applets que foram utilizados como recursos no ensino-aprendizagem de Cálculo.
Esse projeto teve como objetivo o desenvolvimento desses applets para uso como
material de apoio ao ensino-aprendizagem de estudantes de Matemática, bacharéis
58
e licenciados, assim como instrumento para o aperfeiçoamento de professores da
rede pública.
Esses applets foram projetados para abordar alguns conceitos de Cálculo
Diferencial e Integral e como, nesses applets, os resultados imediatos de sua
manipulação e a diversificação de representações permitem que o aluno fique mais
livre, ele pode melhor desenvolver a intuição, sendo incentivado a criar hipóteses e
testá-las. (PINTO e KAWASAKI, 2002).
A incorporação das TIC na sala de aula de Cálculo depende da concepção do
professor sobre o papel das tecnologias no processo de aprendizagem.
Frota e Borges (2004) apontam dois movimentos paralelos indispensáveis ao
efetivo uso das TIC na escola. Um deles é o movimento do professor como sujeito
que busca se formar para uma incorporação tecnológica e o outro, o do sistema
educacional no sentido de oferecer condições para essa incorporação tecnológica
na escola, de forma que essas ferramentas adquiram a condição de instrumentos
cognitivos. O movimento que o professor realiza compreende três etapas,
correspondentes a uma evolução do entendimento desse professor sobre as
concepções do uso das TIC na Educação Matemática, uma atitude de consumir a
tecnologia, para incorporar a tecnologia e, então, matematizar a tecnologia.
Frota e Borges (2004) analisaram os níveis que professores da educação
básica apresentam em relação ao seu entendimento sobre o uso da tecnologia na
Educação Matemática. Os dados de pesquisa revelaram que os argumentos usados
pelos professores evidenciam o entendimento da concepção de consumir tecnologia:
consumir tecnologia para automatizar as tarefas e consumir tecnologia para mudar o
foco das tarefas. A incorporação da tecnologia exige maior domínio da tecnologia
para mudar a forma de fazer matemática. As queixas mais frequentes dos
professores pesquisados são as dificuldades relacionadas a lacunas na formação
inicial e na aprendizagem para o uso da tecnologia.
Marin (2009) analisou a compreensão de professores de Cálculo sobre o uso
das TIC e apresenta um estudo baseado em dez perfis de análise desses
professores para poder compreender como eles utilizam as TIC em suas aulas de
Cálculo. Como instrumentos para identificar esse perfil o autor analisou: tempo de
trabalho no ensino superior, tempo de uso das TIC, formação, instituição de
15
As referências das pesquisas podem ser encontradas em Barbosa (2009).
59
trabalho, regime de trabalho, motivação para o uso das TIC, preparação para o uso
das TIC e atualização. Como resultado da pesquisa ele apresenta duas justificativas
relacionadas aos motivos pela escolha no uso das TIC: uma justificativa de nível
pragmático (manutenção do emprego) e a outra, na visão de educação que os
professores apresentam (ampliação das abordagens pedagógicas).
Valente16 discute o processo de mudança na escola a partir do auxílio
computacional e apresenta duas abordagens relacionadas ao seu ensino:
instrucionista e construcionista. A abordagem instrucionista caracteriza-se como uma
ferramenta que ensina, a partir dos métodos tradicionais, as informações que são
transmitidas por um tutorial, exercício-e-prática ou, mesmo, um jogo. Já na
abordagem construcionista (defendida por ele), Valente cita Papert para caracterizála como aquela em que o aluno constrói o seu conhecimento a partir da interação
com o computador. O autor finaliza a discussão apresentando algumas implicações
relacionadas com o construcionismo na mudança da escola, destacando que o
computador pode ser utilizado na elaboração de ambientes de aprendizagem,
apresentando vários desafios, pois essa prática deve ser vista como uma nova
maneira na representação do conhecimento.
Valente e Almeida (1997) além de apresentarem programas governamentais
relacionados à criação de ambientes de aprendizagem cujo foco seja a construção
do conhecimento, também discutiram a formação do professor no uso da
informática. Esses autores fizeram um levantamento histórico da informática na
educação brasileira, relatando a influência de outros países. Para isso,
demonstraram o desenvolvimento desse ensino no Brasil, relatando que, na
educação brasileira, a informática foi influenciada pelos acontecimentos na França e
nos Estados Unidos, apresentando uma caminhada muito particular. Os mesmos
autores ainda destacam que não obtivemos maiores êxitos devido a problemas
como a falta de equipamento e pessoal especializado.
Para Meyer e Souza Júnior (2002,) a presença do computador no ensino
superior é decisiva na geração de novos saberes e proporciona novas possibilidades
de trabalho, ao mesmo tempo em que gera novas responsabilidades para o
professor.
16
Disponível em: http://www.nte-jgs.rct-sc.br/
60
Miranda e Laudares (2007) realizaram uma pesquisa cujo objetivo era o de
discutir o ensino de Matemática auxiliado pelo uso da tecnologia computacional em
cursos de engenharia. Esses autores discutem a respeito dos ambientes
informatizados de aprendizagem e destacam que:
Com nova postura do professor e ambiente propício à mudança, a ação
docente não permanece mais no centro do processo do ensinar/aprender.
O professor é impelido a converter-se em mediador, a mostrar aos alunos
os caminhos para atingir a autonomia em relação ao conhecimento. Assim,
ambiente e professor integrados são constituintes de um espaço escolar
adequado ao desenvolvimento da didática, na perspectiva de mais
formação e não apenas informação. (MIRANDA e LAUDARES, 2007, p.74).
Concluíram o trabalho evidenciando a necessidade de uma atuação mais
renovada do professor que precisa preparar atividades didáticas que sejam capazes
de estimular a criatividade do aluno.
A atuação do professor em face de novas tecnologias depende de um
movimento no sentido de conhecer esses recursos. Fizemos esse movimento com o
objetivo de conhecer sobre a pesquisa em Geometria Dinâmica e sua utilização
como recurso para a aprendizagem matemática.
4.2 Os recursos da Geometria Dinâmica
A
incorporação
do
movimento
no
estudo
da
Geometria
ampliou
possibilidades, introduzindo uma visão dinâmica dos objetos matemáticos.
Os ambientes de geometria dinâmica são ferramentas informáticas que
oferecem régua e compasso virtuais, permitindo a construção de objetos
geométricos a partir das propriedades que os definem. São micromundos
que concretizam um domínio teórico, no caso a geometria euclidiana, pela
construção de seus objetos e de representações que podem ser
manipuladas diretamente na tela do computador. (GRAVINA, 2001, p.82).
Gravina e Santarosa (1998) identificaram as possibilidades que os ambientes
informatizados trazem para o ensino e destacam que a aprendizagem da
Matemática, nesse contexto, possibilita que o aluno desenvolva ações sobre o
objeto, levando-o a fazer matemática de forma menos passiva.
61
Essas autoras chamam a atenção para os cuidados que devemos ter com o
uso dessa tecnologia para que não utilizemos esses recursos para criar situações
que em nada diferem dos métodos já utilizados.
Se almeja-se uma mudança de paradigma para a educação, é necessário
ser crítico e cuidadoso neste processo de uso da informática. A informática
por si só não garante esta mudança, e muitas vezes se pode ser enganado
pelo visual atrativo dos recursos tecnológicos que são oferecidos, mas os
quais simplesmente reforçam as mesmas características do modelo de
escola que privilegia a transmissão do conhecimento. (GRAVINA e
SANTAROSA, 1998, p.2).
Destacam, ainda, algumas características que devem ter os ambientes
informatizados que apresentam uma linha construtivista: meio dinâmico, meio
interativo e meio para modelagem ou simulação. No meio dinâmico, é destacada a
vantagem que existe em um ambiente que permite a manipulação sobre um modelo
estático, uma vez que o aluno poderá, por exemplo, ver um objeto matemático e
perceber que certas características não mudam quando esse mesmo objeto sofre
transformações isométricas ao ser manipulado por ele no computador. No meio
interativo, o próprio ambiente permite a realização das ações dos alunos, uma vez
que, de acordo com as essas ações, o ambiente corresponderia com ações
específicas. E o modelo interativo permite, por meio do dinamismo, compreender as
características analíticas dos objetos e das relações entre as variáveis que estão
relacionadas com o objeto analisado. Elas concluem que as ações dos alunos por
meio das propostas dos ambientes auxiliam na formação e na consolidação de
conceitos matemáticos pelos alunos.
Menk (2005) pesquisou as contribuições que o software Cabri-Géomètre II
pode trazer ao desenvolvimento de atividades que explorem problemas de
otimização, enfatizando a importância de se integrar novas ferramentas ao ensino de
Cálculo da seguinte forma:
É a constituição desses sistemas [homem – computador] que provoca uma
verdadeira reorganização no “pensar” humano, pois permite que o
computador se transforme em uma ferramenta que não seja utilizada
apenas para auxiliar a execução de uma atividade, mas sim para
transformar essa atividade, o que permite que um conhecimento já
construído possa ser transformado e não simplesmente trocado. (MENK,
2005, p.32).
62
A mesma autora investigou a interação dos alunos com o software CabriGéomètre e de que forma essa interação acarretaria benefícios para a resolução de
problemas de otimização.
E acrescenta:
(...) creio que o Cabri tenha proporcionado situações por meio das quais os
alunos puderam interpretar com mais facilidade o enunciado, testar
hipóteses, além de levantar outras, o que parece ter ajudado a encontrar a
função. (MENK, 2005, p.226).
Brandão e Isotani (2003) discutem as possibilidades de ensino de matemática
por meio da utilização de um software livre, o iGeom, destacando o seu potencial de
interação com o aluno e relatando as diferenças existentes entre essa forma de
ensino e o ensino tradicional17.
Os autores afirmam que o termo Geometria Dinâmica,
Hoje é largamente utilizado para especificar a Geometria implementada em
computador, a qual permite que objetos sejam movidos mantendo-se todos
os vínculos estabelecidos inicialmente na construção. Este nome pode ser
melhor entendido como oposição à geometria tradicional de régua e
compasso, que é “estática”, pois após o aprendiz realizar uma construção, se
ele desejar analisá-la com alguns dos objetos em outra disposição terá que
construir um novo desenho. (BRANDÃO e ISOTANI, 2003,p.1).
Eles destacam uma relação bem interessante que diferencia a construção
com régua e compasso (uma construção: um teste) e a construção em geometria
dinâmica (uma construção: n testes), sendo esta a grande vantagem que a
geometria dinâmica apresenta, se comparada com a geometria tradicional.
Zulatto (2002) pesquisou o perfil dos professores que utilizam a geometria
dinâmica e também destacou as perspectivas e as potencialidades relacionadas ao
seu uso. A autora discute a inserção do computador no ensino, apontando os
cuidados que devemos ter evitando o uso do computador apenas como substituto do
lápis e papel. Ao discutir sobre as possibilidades do arrastar em geometria dinâmica,
Zulatto aponta essa característica presente nos softwares e as potencialidades que
elas apresentam no ensino de Matemática, uma vez que:
17
Como ensino tradicional, os autores entendem aquele em que o aluno apenas ouve e não é
incentivado a ter uma postura ativa.
63
No que tange à exploração, o aluno pode formular suas próprias
conjecturas e tentar verificar se elas são válidas. Ou seja, o próprio aluno
irá realizar a verificação e validação da conjectura que formulou. Isso é
possível devido aos recursos dos softwares, como o arrastar, que
possibilita a simulação de diferentes casos da figura, como se o aluno
estivesse verificando “todos” os casos possíveis de uma mesma família de
configuração. (ZULATTO, 2002, p.21).
Entendemos que o uso da Geometria Dinâmica para auxiliar na apropriação
de conceitos matemáticos por parte dos alunos pode ter vários benefícios, uma vez
que permite que ele exerça a ação sobre os objetos. E essa ação também se dá
com o uso dos applets, que permitem a interação do aluno em um ambiente com
estrutura pré-estabelecida, independentemente de terem acesso a softwares de
Geometria Dinâmica.
Na pesquisa aqui relatada, applets de geometria dinâmica foram criados e
passaram a integrar o Objeto de Aprendizagem que desenvolvemos como apoio à
resolução de problemas de otimização. Objetos de aprendizagem são, assim, o
tópico abordado na seção seguinte.
4.3 Objetos de aprendizagem
Borba, Malheiros e Zulatto (2007), ao discutirem algumas concepções de
Educação a Distância (EaD), destacam as vantagens dessa modalidade de ensino
relacionadas à interação e à aproximação de pessoas geograficamente distantes.
As propostas de EaD apresentam desenhos variados. Em algumas, o material
é disponibilizado na forma de livros, para que o aluno estude individualmente –
“proposta um-para-um”. Outras propostas são desenhadas de forma semelhante à
sala de aula presencial: as atividades são apresentadas para os alunos que
retornam as perguntas e dúvidas – “proposta um-para-muitos”. Outro tipo de
proposta – “muitos para muitos”- pretende uma interação mais intensa por meio de
atividades síncronas e assíncronas, com a comunicação entre professores e alunos
e dos alunos entre si (BORBA, MALHEIROS, ZULATTO, 2007).
Ora, se a EaD pode se apropriar de estratégias do ensino presencial, por que
o contrário não pode ocorrer?
64
Não vemos o ensino, e em particular o ensino de Matemática, como um
sistema estático e imutável, em que suas estruturas jamais sofrerão alterações.
Entendemos que as constantes discussões a respeito do ensino nunca cessarão,
pois estamos em uma sociedade em constante evolução, e essas evoluções
certamente acarretarão alterações na adaptação e na reorganização das bases
educacionais.
A associação das potencialidades e estratégias do ensino que fazem parte da
EaD ao ensino presencial poderá complementar a formação dos alunos. Dessa
forma, recursos como os Objetos de Aprendizagem também podem ser usados no
auxílio a atividades presenciais ou semipresenciais. Cabe, então, uma discussão
sobre o que são esses objetos de aprendizagem.
Os OA podem ser entendidos como entidades digitais que estão
disponibilizadas na internet, possibilitando uma nova forma de ensino que permite o
acesso simultâneo, em diferentes lugares (WILLEY, 2000). O autor destaca, ainda,
que os objetos de aprendizagem se fundamentam no paradigma de orientação a
objetos da ciência da computação. A ideia central na elaboração de OAs é a do
desenho de pequenos componentes, que podem ser utilizados e reutilizados em
diferentes contextos de aprendizagem que utilizam a tecnologia computacional.
Assim, “Objetos de aprendizagem podem ser definidos com entidades, digitais
ou não digitais, que pode ser usadas, reutilizadas ou referenciadas durante a
aprendizagem com suporte tecnológico.” (IEEE/LTSC, 2004, tradução nossa)18.
Silva (2006) pesquisou o uso de OAs por alunos da graduação em Sistemas
de Informação e realiza uma discussão bastante ampla em relação ao que seja um
Objeto de Aprendizagem, destacando que o seu conceito ainda não está
plenamente definido, devido às diversas formas de apresentação e às diferentes
definições encontradas na literatura.
O OA pode ser visto, em um sentido mais amplo, como algo que vai de um
simples texto a algo mais complexo, como um curso. (BARRIT, 2004)19.
Concordamos
com
essa
proposta,
destacando
que
um
Objeto
de
Aprendizagem esteja associado a estruturas que permitam e facilitem o aprender.
Assim, um livro também é entendido como um Objeto de Aprendizagem, uma vez
18
Learning Objects are defined here as any entity, digital or non-digital, which can be used, re-used or
referenced during technology supported learning.
19
Citado em SILVA (2005, p.51).
65
que permite a interação com o objeto de conhecimento, embora não traga a
potencialidade dos objetos digitais.
Entendemos que a enorme abrangência e as controvérsias a respeito da
definição do que seja um Objeto de Aprendizagem sejam decorrentes das inúmeras
possibilidades de aplicação e formas que um OA possa ter.
Assumimos aqui um olhar mais amplo sobre esses objetos, entendendo-os
como instrumentos para a aprendizagem.
Como espaço para elaboração, divulgação e uso de trabalhos com objetos de
aprendizagem, a Universidade de São Paulo (USP) desenvolveu o projeto
Laboratório Virtual (LabVir), que permite o acesso a diversas simulações nas quais
os alunos podem interagir. Atualmente, o LabVir apresenta trabalhos desenvolvidos
nas áreas de Física e Química20.
Em conexão com essas propostas de uso dos OA, a Secretaria de Educação
a Distância do Ministério da Educação teve a iniciativa estimular a produção de
recursos educacionais que utilizem o recurso computacional como uma alternativa
para melhorar a aprendizagem dos alunos e, principalmente, dos licenciandos,
levando-os ao abandono de uma postura “consumista de tecnologia”. Assim, criou o
projeto de Rede Interativa Virtual de Educação (RIVED), com o objetivo de produzir
materiais que possam ser utilizados pelos professores.
O RIVED é disponibilizado na internet21 e apresenta atividades em diversas
áreas do conhecimento, como Ciências, Biologia, Física, Matemática, Química,
Português, História, Artes, Geografia e Biologia, e essas atividades consistem na
resolução de algum problema específico. Consultando o material do RIVED que
aborda conteúdos matemáticos, podemos perceber que há nelas a possibilidade de
interação do aluno com os OA. Esses OA apresentam, ainda, a possibilidade de
verificação dos resultados encontrados e fornecem tópicos de ajuda relacionados ao
conteúdo a que se refere o OA. De modo geral, como último recurso, é possível
acessar a resolução do problema.
Souza Júnior e Lopes (2007) realizaram um estudo sistemático sobre como
os objetos de aprendizagem poderiam contribuir de forma a criar uma comunicação
que seja produtiva entre professores e alunos. Para isso, elaboraram três OAs. Ao
descreverem os processos utilizados na construção desses três objetos, eles
20
21
Para maiores detalhes, acesse: http://www.labvirt.fe.usp.br/
Disponível em: <http://rived.mec.gov.br/>
66
chamam a atenção para os cuidados na escolha da abordagem pedagógica e
relatam as necessidades de reformulações a partir das primeiras ideias propostas.
Como continuidade de seus estudos sobre objetos de aprendizagem, eles
publicaram um livro22 no qual apresentam um conjunto de artigos que discutem o
assunto. Nesse livro, relatam as dificuldades relacionadas à introdução de aspectos
pedagógicos em ferramentas computacionais e aquelas que consideram as
melhores estratégias para facilitar a aprendizagem do aluno mediada pela atuação
do professor.
Nascimento (2007) relata que, na elaboração de um OA, é necessário que a
equipe envolvida nesse processo combine conhecimentos específicos sobre o
conteúdo utilizado no objeto, assim como conhecimentos relacionados aos
processos de aprendizagem. A autora apresenta uma crítica em relação ao
desenvolvimento de alguns OAs, como se observa no trecho a seguir.
Autores e equipes de produção muitas vezes deixam-se influenciar mais
pelo potencial lúdico que pelo potencial de aprendizagem de seus
produtos, resultando em atividades que entretêm o aluno, mas com as
quais ele não aprende. Outras vezes criam situações monótonas e que não
aproveitam o potencial de programação do computador para obter níveis
altos de interatividade, visualização e manipulação. Alguns objetos de
aprendizagem mostram que não houve preocupação dos autores com o
perfil do público-alvo, criando contextos inadequados e sem atrativos, o
que nada contribui para prender a atenção do aluno nas atividades.
(NASCIMENTO, 2007, p.137).
Por isso, é importante que seja estabelecida uma filosofia para o uso de um
OA e uma metodologia na sua elaboração. Em nosso caso, entendemos um OA
como uma ferramenta que possibilita o aprender a aprender. Dessa forma, o OA que
desenvolvemos
tem
como
característica
possibilitar
a
autorregulação
da
aprendizagem dos alunos na resolução de problemas de otimização.
Gomes (2005) realizou um trabalho em que os objetos de aprendizagem
foram construídos de forma a permitir interação entre tecnologias e esses objetos e
acrescentou a ideia de objetos inteligentes de aprendizagem como agentes capazes
de propiciar experiências de aprendizagem.
Ramos e colaboradores (2006) relatam uma experiência relacionada ao uso
de objetos de aprendizagem no ensino da Matemática. Os autores relatam as
dificuldades relacionadas à aprendizagem de Cálculo Diferencial e Integral,
22
Informática na Educação: elaboração de objetos de aprendizagem. EDUFU, 2007.
67
apresentando uma análise da evasão de alunos em uma universidade brasileira.
Segundo essa análise, os cursos com os maiores índices de evasão são aqueles
que envolvem a Matemática. Os autores sugerem que as dificuldades relacionadas
ao ensino e à aprendizagem de Cálculo podem ser minimizadas com o uso dos OAs
e acrescentam que “O uso de objetos de aprendizagem tanto na educação a
distância quanto no ensino presencial, pode significar uma diminuição do tempo de
produção, diminuição de custo e melhoria de qualidade no processo de criação dos
cursos e disciplinas.” (p.7).
Kessler (2008) relata, em seu trabalho, a introdução de objetos de
aprendizagem no processo de ensino e aprendizagem de Cálculo. A autora analisa o
perfil dos alunos que ingressam no ensino superior e aponta algumas dificuldades
prévias relacionadas à Matemática, discutindo sobre a produção de objetos de
aprendizagem direcionados à melhoria da aprendizagem do Cálculo.
Abar (2009) realizou um trabalho com o uso de objetos de aprendizagem
relacionados aos conceitos básicos de Matemática, destacando que as tecnologias
possibilitam uma ampliação nas formas de ensino, cabendo aos professores refletir
sobre essas possibilidades.
Na elaboração de um Objeto de Aprendizagem, existem discussões a respeito
dos objetivos educacionais que esses objetos devem ter e a forma como eles devem
ser apresentados aos alunos.
Em nossa pesquisa, no processo de construção do Objeto de Aprendizagem,
percebemos essa necessidade de refletir sobre as propostas que apresentamos, de
forma a permitir que o aluno passe a melhor monitorar os processos utilizados por
ele na resolução dos problemas.
Nascimento (2007) destaca que as tecnologias da computação proporcionam
possibilidades de melhora na aprendizagem e que o uso dessa tecnologia requer
uma revisão nos métodos de ensino tradicionais, e relata:
Um Objeto de Aprendizagem deve oferecer ao aluno todas as condições e
acessos aos recursos importantes para que ele conclua a atividade
proposta. Esses recursos consistem em: instruções claras e completas,
textos suplementares, glossários, calculadoras, instrumentos de medidas,
fórmulas,
gráficos,
diferentes
formatos
de
visualização,
etc.
(NASCIMENTO, 2007, p.139).
68
Com isso, entendemos que um OA, quando elaborado dentro de uma
estrutura que privilegia a aprendizagem a partir da interação, pode contribuir com o
processo de aprendizagem dos alunos.
Assim, concebemos a ideia de um OA construído de forma a permitir a
autorregulação, de modo que o aluno seja convidado a refletir sobre o enunciado do
problema proposto, utilizando applets de geometria dinâmica para melhor entender
as propriedades geométricas e rever conceitos de cálculo diferencial. Enfatizamos
assim o uso do AO, de modo a possibilitar ao aluno monitorar o seu estudo.
No capítulo seguinte apresentamos o caminho percorrido na elaboração
desse Objeto de Aprendizagem.
69
5. PERCURSO METODOLÓGICO
No
presente
capítulo
apresentamos,
de forma
sucinta, o percurso
metodológico da pesquisa, conduzida a partir da seguinte questão:
•
Como possibilitar a autorregulação da aprendizagem dos alunos no
estudo de problemas de Cálculo que envolvem conhecimentos de
geometria na determinação de máximos e mínimos de funções reais de
uma variável?
O tópico matemático abordado é o Calculo Diferencial de funções de uma
variável, com foco nos problemas de máximos e mínimos, envolvendo conteúdos de
geometria. Assim, consideramos importante fazer, inicialmente, uma investigação
em alguns textos didáticos de Cálculo, acerca da forma como esses problemas são
apresentados e até que ponto os textos incentivam o aluno a retomar conceitos de
geometria na solução desses problemas. Esse estudo integrou o capítulo dois do
trabalho aqui relatado.
No desenvolvimento dessa pesquisa, realizamos também estudos teóricos
sobre metacognição e autorregulação da aprendizagem, apresentados no terceiro
capítulo.
Buscando respostas para a questão central da pesquisa, decidimos investigar
a possibilidade de utilizar recursos computacionais para incentivo às estratégias de
autorregulação do processo de aprendizagem dos alunos. Desenvolvemos, então,
estudos teóricos sobre as Tecnologias da Informação e Comunicação no Cálculo,
sobre os recursos de Geometria Dinâmica e sobre os Objetos de Aprendizagem, que
foram abordados no capítulo quatro.
Todos esses estudos conduziram a um novo desenho da questão de
pesquisa:
•
Como
incentivar
o
desenvolvimento
da
autorregulação
da
aprendizagem dos alunos no estudo de problemas de máximos e
mínimos que envolvem conhecimentos geométricos, a partir de um
Objeto de Aprendizagem?
70
Assim, optamos por elaborar um Objeto de Aprendizagem como apoio aos
estudos de Cálculo, tendo como foco os problemas de máximo e mínimo de funções
reais de uma variável que exigem conhecimentos em Geometria.
O desenvolvimento do OA demandou ações continuadas de elaboração e
reelaboração, de forma que o objetivo pretendido pudesse ser atingido.
Apresentamos, a seguir, as opções técnicas tomadas na construção do
Objeto de Aprendizagem e apresentamos também, de forma resumida, as três
etapas de desenvolvimento da pesquisa, que compreendem três estudos empíricos,
que correspondem à elaboração e à utilização de três versões do OA. Cada uma
dessas etapas e versões será detalhada no capítulo seis.
5.2 Opções técnicas
Na construção do Objeto de Aprendizagem, com o objetivo de possibilitar aos
alunos o desenvolvimento da autorregulação na aprendizagem de problemas de
máximo e mínimo, nos orientamos por duas perguntas que foram:
•
Como permitir ao aluno retomar conceitos de geometria necessários à
modelagem e à resolução de problemas de cálculo de máximo e mínimo de
funções, integrando recursos de geometria dinâmica?
•
Como disponibilizar o Objeto de Aprendizagem para o aluno?
Com relação a agregar recursos de geometria dinâmica, optamos por
desenvolver pequenos applets. O software escolhido para a criação dos applets foi o
R.e.C.23, escolhido devido à sua característica de possibilitar que uma construção
feita nele possa facilmente ser exportada para o ambiente em linguagem html, que
pode ser utilizada pelos navegadores da internet. O objetivo foi permitir que o aluno
possa realizar a atividade sem a necessidade de ter o software instalado em seu
computador. Na Figura 2 está ilustrada essa opção presente no R.e.C.:
23
Em inglês, C.a.R., Compass and Ruler. Software desenvolvido por R. Grothmann e utilizado em
sua versão 2.15.
71
Figura 2: Como exportar a construção para a linguagem HTML
Após executar essa ação, o software cria um arquivo de extensão html que
pode ser aberto em um browser.
A construção desses applets de geometria dinâmica parte da ideia de
evidenciar transformações geométricas nas figuras a partir do movimento de pontos.
Associações que o software permite fazer com objetos construídos podem limitar,
por exemplo, os movimentos de um ponto. Nos softwares de geometria dinâmica,
um ponto criado de “forma livre” pode ser deslocado para qualquer lugar. Já um
ponto que é criado sob um objeto (um segmento, por exemplo), ficará “preso” a ele,
não podendo ser “arrastado” para além dos limites desse segmento.
A forma como essa característica foi explorada na construção dos applets que
foram utilizados no desenvolvido do OA está ilustrada na Figura 3.
Figura 3: Ponto D associado ao lado AC do triângulo
O ponto D em destaque foi construído com a característica “ponto sobre
objeto” e, nesse caso, seus movimentos ficaram limitados ao cateto AC do triângulo
72
ABC. Outro uso que fizemos das opções presentes no R.e.C. foi o de associar
outros objetos a pontos específicos. Assim, no nosso exemplo (Figura 4), ao
“arrastarmos” o ponto D sobre o segmento AC , os outros objetos que foram
associados ao ponto D também teriam sua posição modificada.
Figura 4: Reta r associada ao ponto D
Na Figura 4, a reta r foi construída tendo as seguintes características: paralela
ao segmento BC e passando pelo ponto D. Assim, ao “arrastarmos” o ponto D,
teremos também o movimento dessa reta r. O ponto E, em vermelho nessa figura, é
a interseção entre a reta r e o segmento AB .
Para deixarmos a construção “mais limpa”, é possível “esconder” quaisquer
objetos construídos. Embora esses objetos não fiquem mais visíveis, o software
continua considerando esse elemento que foi ocultado. Essa ideia está ilustrada na
Figura 5.
73
Figura 5: Opção Esconder objetos
Na Figura 5, em destaque, no interior do retângulo vermelho, está o botão que
permite “esconder” determinados objetos. Se compararmos essa figura com a
anterior (Figura 4), percebemos que a reta r foi ocultada. Entretanto, o software
continua considerando essa reta, bem como as relações para ela estabelecidas.
Estes programas oferecem o recurso de “estabilidade sob ação de
movimento”: feita uma construção mediante deslocamentos (dragging)
aplicados aos elementos inicias determinadores do objeto geométrico, o
desenho na tela do computador – instância de representação do
componente figural – transforma-se, mas preserva, nas novas instâncias,
as relações geométricas impostas inicialmente à construção, bem como as
relações delas decorrentes. (GRAVINA, 2001, p. 83).
Como estamos trabalhando com o uso de tecnologias no ensino de
Matemática, iniciamos uma discussão a respeito de propiciar a resolução da
atividade pelos alunos no OA. Começamos, então, a busca e a análise de alguns
editores matemáticos, para que o aluno pudesse resolver a questão, e a solução
fosse salva e encaminhada. Porém, percebemos, nos editores avaliados, que o seu
uso requeria um treinamento que automatizasse o emprego pelos alunos. Assim,
optamos por agregar, para a realização da atividade com apoio do OA, folhas de
74
papel, para que os alunos registrassem o desenvolvimento matemático dos
problemas.
Com relação à forma de disponibilizar o OA para os alunos, tínhamos como
primeira proposta que ele integrasse um CD que os alunos pudessem acessar em
outros locais, além da faculdade. Entretanto, dessa forma, não teríamos um canal de
comunicação com esses usuários, o qual permitisse acompanhar suas ações.
Uma segunda forma de apresentação foi pensada, de forma que o OA fosse
disponibilizado nos computadores dos laboratórios das instituições de ensino, lócus
da pesquisa. Entretanto, essa proposta, mais uma vez, restringia o uso do Objeto de
Aprendizagem, embora fosse possível um acompanhamento presencial dos alunos,
utilizando o material desenvolvido.
Ao final, optamos por disponibilizar o OA em um site da internet. Dessa forma,
ficou mais fácil estabelecer as opções de controle e registro das informações, por
meio da criação de um banco de dados para o armazenamento das informações de
uso do OA pelos alunos.
Este OA está disponibilizado na internet em um site24 de uso restrito e foi
disponibilizado apenas para os alunos participantes da pesquisa, através de uma
senha eletrônica. Optamos por restringir o acesso ao OA para evitar que outros
estudantes o fizessem, pois essa ação ficaria registrada, dificultando a busca pelos
relatórios para análise. Outro motivo de restrição ao acesso livre é a necessidade de
resguardar a proposta do OA e os dados coletados, tendo em vista as questões
autorais de elaboração dessa dissertação de mestrado.
A seguir, apresentamos as etapas de elaboração do OA, a partir da condução
dos estudos empíricos que compreenderam três momentos: desenvolvimento de
dois estudos piloto e de um estudo principal.
24
www.gilmer.com.br
75
5.3 Etapas na condução da pesquisa: os estudos empíricos
Primeiro momento: Estudo piloto I
Na primeira versão, a estruturação do OA foi concebida a partir de uma
sequência de páginas, disponibilizadas em um site na internet. Essa concepção foi
baseada nas discussões de Flavell, Miller e Miller (1999), que evidenciam o
desenvolvimento da mente humana a partir das interações com o mundo. Em nosso
caso, essa interação se dá com o OA na resolução do problema de otimização
proposto.
Essa primeira versão foi testada e avaliada por apenas um aluno voluntário,
no primeiro semestre de 2008. A opção por realizar a atividade com apenas um
aluno permitiu uma interlocução intensa com o mesmo. O aluno relatava os
problemas que encontrava, fazia perguntas, fazendo uma análise mais voltada para
a usabilidade do OA. Este, inicialmente, agregava apenas um problema, uma vez
que a ideia era definir uma estrutura básica do objeto. Se a estrutura fosse
adequada, outros problemas poderiam ser acrescentados.
Feita a análise dos resultados do Estudo piloto I, constatamos a necessidade
de reestruturar a primeira proposta e elaborar uma nova versão do OA.
Segundo momento: Estudo piloto II
A segunda versão do OA foi utilizada no desenvolvimento de um segundo
estudo piloto, desenvolvido com 18 alunos do sexto período de um curso de
licenciatura plena em Matemática, no segundo semestre de 2008, e incorporou as
modificações sugeridas no primeiro Estudo piloto I, buscando corrigir e sanar falhas
apontadas com relação à primeira versão.
As alterações apontavam a necessidade de rever a concepção do OA, de
forma a incentivar a autorregulação. Para isso, seria importante, por exemplo,
possibilitar ao aluno a escolha livre dos links a serem consultados.
Nesse momento, começamos a perceber a dificuldade em reestruturar o OA
de maneira que ele tivesse uma concepção mais clara de incentivo à
autorregulação. Essa dificuldade estava relacionada com a forma de construir um
OA que, em vez, por exemplo, de apresentar a resposta do problema para aqueles
76
alunos que não tivessem êxito na resolução da atividade, permitisse a reflexão e a
autorregulação da aprendizagem durante o processo de resolução dos problemas
propostos.
Após o desenvolvimento da atividade com essa turma, foi disponibilizado um
espaço para a realização de uma plenária. Nesse momento, os alunos relataram
suas dificuldades, levantando críticas e sugestões para melhorar as atividades que
integravam a segunda versão do OA.
O protocolo de observações da condução dos trabalhos, feito pelo professor
pesquisador, foi um instrumento importante na análise da condução do
Estudo piloto II.
Terceiro momento: O estudo principal
Os dois estudos piloto conduzidos e as análises feitas permitiram uma
mudança na estrutura do OA, que passou a oferecer as opções de ajuda, de forma
que a escolha dos links a acessar fosse feita pelo aluno.
Nesse momento, como já tínhamos a estrutura pronta para o primeiro
problema, acrescentamos um segundo problema, nos mesmos moldes do primeiro.
No intuito de que os alunos desenvolvessem um método de tratar problemas da
natureza dos dois primeiros – que exigiam utilizar recursos de geometria e álgebra
para modelar uma função e, então, determinar o máximo ou o mínimo - decidimos
que o terceiro problema que seria acrescentado ao objeto seria resolvido pelos
alunos sem que fosse disponibilizado um “Applet” próprio. Continuavam disponíveis
para o aluno os links de Geometria e Cálculo.
O estudo principal foi realizado também com alunos de um curso de
licenciatura em Matemática que cursavam o sexto período na disciplina Cálculo
Diferencial e Integral IV, no primeiro semestre de 2009.
Os alunos receberam folhas para a realização da atividade, por meio de
procedimentos usuais do cálculo que, recolhidas ao final da atividade, passaram a
compor o conjunto de dados de pesquisa.
Foi elaborado e distribuído um questionário (APÊNDICE A), instrumento
respondido pelos alunos para avaliação do trabalho desenvolvido com o Objeto de
Aprendizagem.
77
Os dados relativos às informações de acesso dos alunos podem ser
consultados em um endereço específico dentro do próprio site do OA e o relatório
gerado apresenta as informações individuais desses alunos. Esses relatórios (ver
exemplo no ANEXO A) foram “copiados” e “colados” em editores de texto e planilhas
eletrônicas. Nessas planilhas, programações prévias permitiram o tabelamento e o
tratamento das informações, possibilitando a emissão de relatórios mais pontuais e
também a elaboração de gráficos, para melhor visualização e interpretação dos
resultados.
Observações
A concepção de objetos de aprendizagem pressupõe reutilizações e
readaptações contínuas. Nesta pesquisa, essas atualizações foram feitas para
permitir que o OA estimule a autorregulação dos alunos.
Optamos por apresentar detalhadamente a engenharia de construção do OA
no capítulo seis, no qual descrevemos os estudos piloto desde a sua elaboração,
aplicação e análise dos resultados, até à versão do OA utilizada no estudo principal.
O foco é a concepção filosófica e pedagógica do objeto e não a sua
elaboração do ponto de vista de objeto computacional. Quanto a isso, temos certeza
das limitações do objeto e consideramos uma meta posterior ajustá-lo aos padrões e
recomendações, por exemplo, do Institute of Electrical and Eletronics Engineers
(IEEE) para catalogação dos OA, por meio da proposta Learning Object Metadados
(LOM). Essa catalogação especifica atributos de um objeto educacional de forma
que, armazenado em um repositório de objetos de aprendizagem, o OA possa ser
recuperado por sistemas de busca e reutilizado na composição de outros objetos
mais complexos ou unidades de aprendizagem (TAROUCO, DUTRA, 2007).
Na
análise dos dados, utilizamos como referenciais principais as pesquisas de
Flavell (1979, 1987) e Frota (2002, 2003, 2009), que discutem sobre metacognição e
aprendizagem autorregulada.
78
Após a realização dos estudos piloto e do estudo principal (interrompido por
questões circunstanciais25), pudemos perceber algumas limitações e a necessidade
de reformulações, que serão tratadas no capítulo de considerações finais.
Propomos o uso do OA como um apoio às aulas presenciais, uma vez que
não foram realizadas pesquisas com o objeto para a EaD.
No próximo capítulo apresentamos com maiores detalhes os três estudos
realizados com o OA.
25
Devido a problemas administrativos, as aulas nessa instituição foram interrompidas no meio do
primeiro semestre de 2009, impossibilitando o contato com os alunos para a finalização dos
trabalhos.
79
6. A CONSTRUÇÃO DO OBJETO DE APRENDIZAGEM
No presente capítulo detalhamos as etapas de elaboração do Objeto de
Aprendizagem como apoio aos estudos de Cálculo Diferencial, especificamente,
para a resolução de problemas aplicados de máximos e mínimos de funções reais,
cujo modelamento demanda conhecimentos de Geometria.
O processo demandou uma série de análises e discussões a respeito de sua
estrutura e das ferramentas que deveriam ser disponibilizadas para propiciar aos
alunos uma melhor regulação na resolução dos exercícios propostos. Apresentamos
os caminhos percorridos na evolução da proposta até chegarmos a uma estrutura
que, na nossa concepção, possa estimular a experimentação e forneça subsídios
para a resolução dos problemas de otimização pelos alunos.
O OA foi concebido a partir das ideias de metacognição e aprendizagem
autorregulada discutidas no segundo capítulo. Nele relatamos pesquisas que
apontam diferenças entre alunos que evidenciam uma regulação dos seus
processos de aprendizagem e, por isso, apresentam melhor desempenho, e alunos
que não exercem a regulação desses processos. (FLAVELL, 1979; SHOENFELD,
1987; FROTA, 2002, 2009).
Propor uma metodologia de trabalho, a partir do uso de objetos de
aprendizagem de forma a estimular a autorregulação dos processos utilizados pelos
alunos, levando-os à consciência da relação existente entre a Geometria Euclidiana
e o Cálculo nos problemas de otimização, demandou a realização de estudos piloto,
e os resultados conduziram em atualizações do Objeto de Aprendizagem
desenvolvido.
As pessoas utilizam estratégias diferentes na resolução de um problema.
Partindo do pressuposto de que o aluno apresenta alguma lacuna que dificulte a sua
resolução ou, mesmo, que não consiga recordar conceitos já vistos, criamos o OA
no intuito de estabelecer um diálogo que ajude aos alunos, sem, no entanto,
apresentar as soluções.
Dessa forma, acreditamos que, com o uso do OA, os alunos possam
conhecer melhor os processos e conceitos necessários à resolução dos problemas e
monitorar sua aprendizagem.
80
6.1 Estudo Piloto I
Na primeira estruturação, o OA foi concebido a partir da ideia de uma
sequência de páginas hospedadas em um site na internet. Sua estrutura, baseada
em hiperlinks, permitia que o aluno pudesse navegar pelo site, percorrendo-o
completamente ou em partes. Como cada página propiciava mais de uma opção de
escolha, cada aluno poderia definir diferentes estratégias na sua utilização. E esse
percurso permitiria que observássemos, posteriormente, as opções escolhidas pelos
alunos.
Esse acompanhamento foi feito da seguinte maneira: para cada link clicado
pelo aluno era enviada uma mensagem para uma conta de e-mail criada para esse
fim. As mensagens apresentavam como assunto o título do link acessado e, no
campo para a mensagem, as respostas digitadas pelo aluno nos campos próprios.
Assim, nossa base de dados constava das mensagens recebidas nessa conta de
e-mail, informando o percurso percorrido pelo aluno e as respostas e observações
digitadas por ele nos campos próprios.
Na Figura 6 está ilustrada, na forma de um diagrama, a primeira forma com
que o OA foi concebido.
Figura 6: Diagrama da primeira estruturação do Objeto de Aprendizagem
81
Na Figura 6 podemos perceber uma estruturação do OA baseada em uma
sequência de páginas.
A proposta dessa estruturação teve como base a ideia presente na obra de
Flavell, Miller e Miller (1999), que discutem o desenvolvimento cognitivo. Os autores
destacam que a mente humana encontra-se em um determinado nível de
conhecimento. Quando se depara com algo novo, utiliza os processos de
assimilação e acomodação para incorporar novas informações. E, após esse
processo, teremos uma nova mente transformada e que tem um maior
conhecimento, o que eles classificam como mente 1 (antes de se deparar com o
novo conhecimento) e mente 2 (mente após a interação com o novo conhecimento).
Assim,
entendíamos
que,
após
ter passado
por
uma
das
ajudas
disponibilizadas, esse aluno deveria voltar novamente ao problema. Pretendíamos,
com isso, identificar o momento em que houve a aquisição dos conhecimentos
necessários à resolução do problema, uma vez que cada página de ajuda
apresentava um botão usado pelo aluno para ir para a página de resolução e envio
da resposta e outro botão usado para continuar a busca por mais ajudas.
Partindo do pressuposto de que o aluno precisaria de algum tipo de ajuda
para resolver o problema proposto, as páginas tinham a seguinte estrutura:
•
apresentação do problema (Mente 1);
•
ajuda apresentada (processos de assimilação e acomodação);
•
volta ao problema e capacidade de resolvê-lo (Mente 2).
Nesse momento inicial, optamos por realizar a atividade com apenas um
aluno voluntário que, no primeiro semestre de 2008, cursava a disciplina
Fundamentos de Cálculo, do primeiro período do curso de Engenharia de Produção
em uma universidade particular e já havia estudado, na disciplina de Cálculo, as
aplicações de derivada. A atividade foi realizada em horário extraclasse e o aluno
teve aproximadamente uma hora para o seu desenvolvimento. Com essa escolha,
poderíamos acompanhar diretamente as ações desse aluno, vendo como ele usaria
o OA e podendo detectar, de maneira mais fácil, as potencialidades e limitações.
Acompanhar a realização da atividade com apenas um aluno permitiu um
diálogo mais próximo com ele. A princípio, a postura do pesquisador foi de
observador. Entretanto, algumas solicitações e dúvidas apresentadas por esse aluno
foram discutidas e esclarecidas no momento da sua realização e a observação
assumiu o caráter de observação participante com o protocolo de observação feito
82
após a condução do trabalho. O esclarecimento das dúvidas desse aluno permitiu
que identificássemos no OA, o que necessitaria de reestruturação ou, mesmo,
reformulação.
Pela análise da forma como o aluno realizou a atividade e com base nas
dúvidas evidenciadas por ele, identificamos as seguintes falhas:
i) Os links de ajuda em geometria não apresentavam uma estruturação
dinâmica.
Como, em nosso trabalho, destacamos o uso dos applets de geometria
dinâmica para visualização e melhor compreensão dos problemas de otimização que
demandam conhecimentos em geometria, percebemos que ele poderia ser
estendido para as partes do OA que apresentam conceitos e definições geométricas.
Acreditamos que o uso de um applet de geometria dinâmica que possibilitasse a
experimentação e a visualização da situação proposta no problema, certamente
facilitaria uma melhor compreensão desses conceitos geométricos.
ii) A estrutura das páginas estava muito confusa, pois o aluno percorria
muitos links. Em consequência, ele acabava esquecendo ou, mesmo,
confundindo as relações já observadas.
Nossa ideia inicial era a de fornecer ajudas pontuais em cada página, ou seja,
pretendíamos que, a cada nova página, fosse apresentado para o aluno apenas um
assunto a ser abordado. Assim, em cada uma dessas páginas, procuramos
estimular os alunos a perceberem as relações que essa página possuía com o
problema. E essas relações existentes foram estimuladas a serem percebidas por
meio de perguntas e dicas disponibilizadas nas próprias páginas do OA.
iii) Foi constatado que alguns dos links criados não contribuíam para a
resolução do problema, como pode ser visto na Figura 7.
83
Figura 7: Exemplo de link que não contribuía para a resolução do problema
Essa ajuda exemplificada na Figura 7 foi elaborada para auxiliar o processo
de modelagem da função, com o objetivo de mostrar para o aluno que as
propriedades e as relações das figuras geométricas podem ser expressas
algebricamente.
Entretanto,
após
a
realização
do
primeiro
estudo
piloto,
constatamos que essa ajuda estava fazendo com que o aluno consultasse conceitos
que não estavam diretamente relacionados ao problema proposto inicialmente.
iv) A estrutura de algumas perguntas nos links não era muito clara,
levando o aluno a diversas interpretações, como pode ser visto na
Figura 8.
84
Figura 8: Perguntas que foram excluídas
Na Figura 8 temos em destaque duas perguntas: 1) Escreva os lados do
retângulo em função dos respectivos lados do triângulo e 2) O número máximo de
triângulos que você encontra nessa figura é.
Percebemos, após a realização do primeiro estudo piloto, que essas
perguntas em nada contribuíam para a resolução do problema, uma vez que os
alunos poderiam escolher um dos triângulos presentes no applet, o que poderia
dificultar o processo de modelagem e a resolução do problema.
Como a proposta era a de um Objeto de Aprendizagem que tivesse como
característica o estímulo à autorregulação, era necessário que a estrutura do OA
propiciasse esse estímulo.
v) Foi constatada a inexistência de uma ajuda focada no Cálculo.
85
Em relação ao Cálculo, percebemos que uma ajuda conceitual também
poderia contribuir para um melhor desempenho dos alunos no uso do OA. Embora
considerássemos que o maior problema dos alunos estaria relacionado com a
modelagem da função a ser maximizada, fato decorrente das lacunas em geometria,
a disponibilização de ajuda sobre conceitos de Cálculo Diferencial e Integral, seria
importante para que o aluno fosse monitorando seu processo de resolução da
questão proposta.
Uma reflexão sobre os pontos destacados despertou a importância de um
maior investimento nos estudos teóricos, uma vez que o protótipo do Objeto de
Aprendizagem elaborado não traduzia a concepção pretendida de que o mesmo
fosse um objeto de autorregulação da aprendizagem daquele conteúdo matemático
pelos alunos.
6.2 Estudo piloto II
Em virtude da análise da versão do OA utilizada no Piloto I, foram pensadas
as seguintes alterações na sua estrutura:
•
criação de uma Central de Ajuda, para diminuir o número de links que o
aluno irá percorrer. Essa central também permite que o aluno escolha,
de forma autônoma, os tópicos que ele julgar necessários à resolução
do problema. Espera-se, com essa central, a identificação dos
processos de escolha do aluno na resolução do problema;
•
reformulação nos textos de orientação;
•
criação de applets dinâmicos para as ajudas em geometria;
•
criação de ajudas em Cálculo.
A segunda versão seguiu ainda a estrutura de páginas, de acordo com a
Figura 9.
86
Figura 9: Diagrama da segunda estruturação do Objeto de Aprendizagem
O segundo estudo piloto foi realizado com dezoito alunos do sexto período de
um curso de Licenciatura Plena em Matemática. A atividade ocorreu no horário de
aula da disciplina de Cálculo Diferencial IV, no laboratório de informática da
instituição em que eles estudam, com o tempo de realização da atividade de cem
minutos. Os dezoito alunos que participaram nessa etapa trabalharam em duplas.
Ao término da atividade, realizamos uma plenária para que eles fizessem
suas considerações sobre a atividade realizada e sobre o OA.
A seguir, descreveremos as observações feitas durante a realização da
atividade. Essas observações foram redigidas a partir do protocolo de observação
feito pelo professor-pesquisador.
Das observações feitas, percebemos uma preocupação dos alunos em
solucionar o problema. No entanto, alguns se limitaram a rascunhar possibilidades
de solução na folha que foi entregue para esse fim, não utilizando as potencialidades
presentes no objeto. Com relação a esse fato, chama a atenção a postura de dois
alunos que, apesar de demonstrarem interesse na resolução do problema, utilizaram
apenas a folha de respostas, não explorando efetivamente os recursos do OA. Esse
87
fato pôde evidenciar uma situação que os alunos enfrentam durante todo o processo
de formação. De modo geral, eles não são estimulados a refletir e explorar,
autonomamente, as situações que lhes são apresentadas. Nesse caso, acredita-se
que a inserção de atividades que estimulem os alunos na exploração dos recursos
interativos que a informática oferece pode ajudar a prepará-los para a realização da
atividade.
Em configurações geométricas mais complexas, é no dinamismo da figura
que se revelam muitos dos fatos estáveis implícitos, ao mesmo tempo em
que os fatos aparentes, provenientes de instância particular de desenho
expressão do componente figural, tornam-se irrelevantes na exploração. E
mais: este dinamismo evidencia a função heurística do desenho, colocando
em cena as apreensões operativas necessárias a reinterpretações /
reconstruções / extensões que concorrem para o fluir da argumentação
dedutiva. (GRAVINA, 2001. p.91).
Outro problema apontado no protocolo de observação é a falta de leitura das
informações do OA. Alguns alunos, durante a atividade, chamaram o professor
fazendo perguntas cujas respostas estavam presentes na própria tela do
computador.
Exemplifica essa situação um fato acontecido nesse estudo: os alunos
solicitaram a presença do professor-pesquisador para que este os ajudasse no uso
do applet que estavam consultando. Percebe-se, nesse caso, um foco de atenção
dos alunos apenas na resolução e não nos processos necessários à resolução do
problema. As informações solicitadas estavam disponibilizadas, bastando uma
leitura atenta.
A página que os alunos estavam acessando no momento em que solicitaram
a presença do professor-pesquisador está ilustrada na Figura 10.
88
Figura 10: Página em que os alunos solicitaram ajuda desnecessariamente
Polya (1995) discute exatamente essa situação, destacando que o aluno deve
desenvolver a habilidade de trabalho autônomo quando for possível, desenvolvendo
capacidades que permitam a exploração do problema e, em consequência, sua
resolução. Essa resolução passa, então, a ser feita de forma independente. O fato
de os alunos solicitarem desnecessariamente a presença do professor ilustra, talvez,
o pouco hábito no desenvolvimento de trabalhos de uma forma autônoma, que se
configura na falta de iniciativa demonstrada na busca, por conta própria, pelas
informações que estavam disponibilizadas.
No momento destinado para a discussão sobre as impressões que os alunos
tiveram a respeito do uso do OA, observamos, pelos relatos, que eles consideraram
a proposta interessante, mas que tiveram dificuldades em realizá-la porque era a
primeira vez que trabalharam dentro da linha metodológica proposta através do OA.
Talvez o fato de os alunos se depararem com uma forma de ensino totalmente
diferente daquela com que estavam habituados tenha gerado uma postura mais
cautelosa sobre as próprias ações no objeto, o que justifica o pouco uso dos applets
e a pouca consulta a certas ajudas disponibilizadas. Diante desse fato,
reelaboramos a estrutura do OA, com a finalidade de melhor permitir a
navegabilidade pelo aluno.
89
6.3 A estrutura final do objeto
Tanto no Piloto I quanto no Piloto II, a estrutura do OA apresentava a mesma
concepção: a ideia de navegar sempre em frente como em um rio, não sendo
possível ao aluno voltar para rever pontos que ele julgasse importantes. A
quantidade de links que o aluno era obrigado a acessar era ainda excessiva e isso
dificultava o processo, fazendo com que ele se concentrasse em outros pontos,
desviando a atenção do problema proposto.
Ao fazermos, hoje, uma análise do OA nas suas versões iniciais, percebemos
que os protótipos foram elaborados de forma bastante experimental, sem a
fundamentação teórica adequada sobre a pesquisa em objetos de aprendizagem,
tendo apenas uma ajuda técnica para a disponibilização do OA na internet e para o
envio e armazenamento das respostas.
Realizados os dois estudos piloto, percebemos que a estrutura de páginas do
OA apresentava um erro conceitual, uma vez que admitia, por parte dos usuários,
sequências de ações linearmente encadeadas, como se fosse possível definir a
priori todas as opções e reações dos alunos.
A estrutura final do OA foi então reformulada, buscando corrigir os problemas
detectados.
Nesse sentido, as opções de ajuda foram concentradas em um menu fixo no
canto esquerdo da página. O enunciado do problema foi disposto na parte superior,
ficando a parte central da tela em branco para a exibição dos tópicos escolhidos pelo
aluno e também a interação com os applets.
Como a modelagem correta da função é um passo importante para a
resolução do problema, acrescentamos um campo no qual o aluno poderá verificar a
validade da função modelada por ele. Outro ponto de destaque está no fato de o
aluno poder verificar se a resposta encontrada está correta. No terceiro capítulo,
discutimos sobre a pesquisa de Flavell (1979), que apresenta o conhecimento
metacognitivo como o conhecimento sobre as variáveis que afetam o curso das
iniciativas cognitivas.
No caso da inserção dessas opções de verificação, acreditamos que os
alunos possam usá-las de forma a verificar se as estratégias utilizadas estavam
90
corretas ou, então, precisavam ser revistas, permitindo um melhor conhecimento
sobre essas estratégias.
Retomar estudos teóricos na área de programação e construção de sites foi
importante para facilitar um diálogo com o técnico que assessorou a elaboração do
Objeto de Aprendizagem. Embora as questões computacionais não sejam o foco do
trabalho aqui relatado, uma melhor compreensão das estruturas envolvidas na
programação e criação de sites permitiu um novo olhar sobre o OA, possibilitando
uma melhor visão acerca da estruturação do mesmo.
A seguir, apresentamos, na Figura 11, a página principal do site com a nova
estrutura do objeto de apoio à aprendizagem autorregulada em Cálculo.
Figura 11: Nova estrutura do Objeto de Aprendizagem
Fonte: Dados da Pesquisa
A partir dessa nova estrutura, entendemos que os alunos podiam ter uma
visão de todas as ajudas disponíveis para a realização da atividade. Partindo da
possibilidade de opção das ajudas para pesquisar, buscamos respeitar diferenças
individuais dos alunos, oferecendo uma diversidade de caminhos e não mais
91
direcionando uma trajetória linear. A estrutura foi pensada ainda de forma a
possibilitar o acompanhamento dos alunos, verificando as estratégias escolhidas no
processo de resolução dos problemas. Dessa forma, foi possível conhecer mais
sobre as estratégias de aprendizagem que cada um julgou relevantes para lidar com
aquela situação matemática, conhecimento este importante para o professor,
conforme destacamos no capítulo 3, na perspectiva colocada por Frota (2002).
A seguir, detalhamos a engenharia do Objeto de Aprendizagem desenvolvido
e nossas expectativas em relação a cada componente do mesmo, do ponto de vista
do desenvolvimento de estratégias metacognitivas de aprendizagem dos alunos.
6.3.1 Engenharia do Objeto de Aprendizagem
O primeiro problema trata da inscrição de um retângulo em um triângulo
retângulo de catetos 3 e 4 cm, de forma que os lados do retângulo estejam contidos
nos catetos desse triângulo e a área do retângulo seja máxima.
Com o problema sempre presente na parte superior da página, o aluno
poderia, sempre que quisesse, tornar a lê-lo, sem perder a conexão com a ajuda que
estava utilizando. Apesar de não ser possível criar um mecanismo de controle que
nos mostrasse posteriormente o número de vezes que o aluno consultou o texto do
problema, consideramos ser de primordial importância ter o texto sempre presente.
Assim, o aluno poderia, a partir do enunciado do problema, monitorar qual (ou quais)
dificuldade(s) ele apresenta na resolução do mesmo, buscando, no Objeto de
Aprendizagem, os instrumentos necessários.
Retomamos aqui a ideia apresentada e discutida no capítulo dois sobre as
estratégias que os alunos utilizam na resolução de um problema e, no nosso caso,
os problemas de otimização. Essas estratégias serão destacadas com o uso do OA,
uma vez que cada clique feito pelo aluno, no seu uso, ficará registrado em um banco
de dados, tornando possível gerar relatórios para posterior análise.
Entendemos que a resolução de problemas de otimização que abordam
conceitos geométricos compreende as etapas de: compreensão textual; criação de
uma ou mais figuras relacionadas ao problema; determinação de uma função a partir
92
das relações geométricas e algébricas presentes na figura e uso dos conceitos de
Cálculo para a otimização e verificação dos resultados encontrados. Fizemos aqui
uma adaptação das propostas apresentadas por Stewart (2001) e Anton (2000),
quando discutem as estratégias para a resolução de problemas de otimização.
Todas as ajudas ficaram agrupadas em quadros situados à esquerda da
página e abordam quatro áreas: 1) compreensão do enunciado do problema; 2)
tópicos de geometria que utilizam recursos da geometria dinâmica, possibilitando
experimentação e simulação; 3) revisão de conceitos e propriedades do Cálculo e 4)
ajuda para digitar corretamente a função.
Em relação à ajuda que enfatiza a compreensão textual, foram elaboradas
perguntas que estimulassem os alunos na compreensão de partes específicas do
texto.
Abaixo
dessa
ajuda,
disponibilizamos
tópicos
em
geometria,
que
apresentavam uma relação direta com o problema.
A
seguir,
apresentamos
detalhadamente
cada
tópico,
relatando
as
expectativas que temos para cada um.
O link Experimentação tem como objetivo permitir que o aluno visualize, por
meio dos recursos da geometria dinâmica, as diferentes variações para o retângulo
inscrito no triângulo retângulo. Com isso, esperávamos que eles compreendessem a
natureza do problema que envolve a determinação das dimensões desse retângulo
inscrito que maximizam a sua área. Como o software permite a exibição de
operações aritméticas entre alguns objetos construídos, disponibilizamos a
visualização da área dos retângulos e exibimos uma nota destacando que, apesar
de o valor da área máxima já ser conhecido, ainda não era possível determinar as
dimensões do retângulo, conforme solicitava o problema. Essa parte do OA está
ilustrada na Figura 12.
93
Figura 12: Experimentação – Problema 1
Fonte: Dados de pesquisa
No capítulo 3 destacamos que a metacognição está relacionada com a
modificação do comportamento cognitivo. Entendemos que a visualização dinâmica
das possíveis variações para o retângulo inscrito no triângulo propicia ao aluno uma
nova visão em relação à Geometria, que antes era vista de uma forma estática. Essa
nova forma de ver a geometria aciona os processos de assimilação e acomodação,
de forma que o aluno agregue às estruturas anteriores a concepção de variabilidade,
imprescindível nos estudos de cálculo, de modo particular na determinação de
máximos e mínimos.
O link Triângulo: Semelhança traz, de forma dinâmica, a visualização de dois
triângulos retângulos semelhantes, as medidas de suas dimensões e a razão entre
os lados homólogos. Como dica, ressaltamos que essas observações podem ser
estendidas para os lados do retângulo, uma vez que dois de seus lados estão
contidos nos catetos do triângulo. Essa ajuda foi pensada caso algum aluno não
tenha percebido que, no problema, o uso dessa propriedade é importante no
processo de obtenção da função. Acreditamos que, após o uso desse link, os alunos
percebessem essa relação, podendo, então, melhor estruturar suas estratégias na
resolução do problema. Essas características estão ilustradas na Figura 13.
94
Figura 13: Semelhança de triângulos – Problema 1
Fonte: Dados de pesquisa
Como, para conhecer, na perspectiva de conhecimento metacognitivo, é
necessário ter conhecimento dos fatores que influenciam as iniciativas cognitivas,
procuramos propiciar o contato dinâmico com o conceito geométrico de semelhança
de triângulos, uma vez que, ao perceber que esse conceito está relacionado à
resolução do problema, o aluno poderá melhor avançar na resolução do mesmo.
O link Retângulo traz a definição de retângulo e a expressão matemática que
determina a sua área. Consideramos que a interação com esse applet pode ajudar o
aluno na melhor compreensão do que seja determinar a área de um retângulo.
Na pesquisa de Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (2004), temos uma
discussão sobre as dificuldades que alunos apresentam ao resolverem exercícios
em que eles precisam modelar uma função a partir de relações de figuras
geométricas do problema. Com isso, elaboramos o link Relações de Semelhança,
que apresenta essa relação. Como dica, chamamos a atenção para as
possibilidades de se estabelecer relações algébricas entre os triângulos e os lados
do retângulo, conforme apresentado na Figura 14.
95
Figura 14: Relações de semelhança – Problema 1
Fonte: Dados de pesquisa
Como a determinação da função a ser analisada é um passo importante do
problema, criamos um campo no qual os alunos poderiam verificar a validade da
função modelada. A linguagem que utilizamos para a escrita matemática é a mesma
presente nos softwares gráficos. Para eliminar a possibilidade de dúvidas,
elaboramos o link Como escrever a função. Nele, apresentamos exemplos de como
a função deveria ser digitada, conforme pode ser visto na Figura 15.
96
Figura 15: Como escrever a função – Problema 1
Fonte: Dados de pesquisa
Os conceitos de Cálculo Diferencial que disponibilizamos foram colocados no
quadro Resolvendo o problema, que compreende os seguintes tópicos: definição de
derivada, regra para determinar a derivada de uma função potência, a definição de
máximo e mínimo de uma função, a definição de número crítico de uma função, o
teste para saber se um número pode ser o máximo ou mínimo de uma função e dois
teoremas relacionados ao problema.
Abaixo desse quadro, disponibilizamos um campo no qual os alunos poderiam
verificar se a resposta encontrada por eles estava correta ou errada. Como essas
informações são salvas em um banco de dados, é possível determinar o momento
em que o aluno conseguiu encontrar a resposta do problema.
No último quadro de ajuda do OA, disponibilizamos um campo para que o
aluno relatasse as dificuldades encontradas por ele, caso não consiga resolver o
problema. Logo abaixo, colocamos o link Modelagem da Função, que relembra
algumas propostas presentes no OA e destaca a importância da relação de
semelhança de triângulos para a modelagem da função que é apresentada no final,
conforme se observa na Figura 16.
97
Figura 16: Modelagem da função – Problema 1
Fonte: Dados da Pesquisa
A estrutura do OA para o segundo problema segue as mesmas ideias
propostas para o primeiro. Nele, é solicitado que se construa uma caixa aberta a
partir de uma folha de metal, cortando-se quadrados congruentes nos quatro cantos
dessa folha, de forma que o volume da caixa seja o maior possível.
O link Experimentação traz uma visão plana dessa folha que deve ser
cortada. A interação com o applet permite a visualização das diversas possibilidades
de dimensões para os quadrados a serem cortados, assim como a área da base
dessa caixa e o seu volume.
98
Figura 17: Experimentação - Problema 2
Fonte: Dados da pesquisa
O link Montagem da Caixa trata da construção dessa caixa a partir da folha de
papel plana. A inclinação utilizada nessa construção traz a ideia de visualização do
plano para três dimensões.
99
Figura 18: Montagem da caixa – Problema 2
Fonte: Dados da Pesquisa
Como estratégia para estimular o aluno a estabelecer uma conexão entre
esse applet e o problema, elaboramos uma pergunta, disponibilizada nesse link,
sobre a montagem da caixa, que indaga sobre a relação existente entre o lado do
quadrado a ser cortado e a altura dessa caixa.
O link Volume permite, de forma dinâmica, a visualização de uma caixa com
suas dimensões para comprimento, largura e altura, assim como os valores para a
área da base dessa caixa e do seu volume. Ele foi elaborado para que o aluno
pudesse visualizar, a partir de interações dinâmicas, a ideia de área e volume.
100
Figura 19: Volume – Problema 2
Fonte: Dados da pesquisa
Com essa nova estrutura acreditamos que o OA possa possibilitar aos alunos
a regulação dos seus procedimentos na resolução dos problemas de otimização
propostos, embora tenhamos a ciência de que um objeto nunca é finalizado, pois
sua característica admite reestruturações.
A seguir, no capítulo sete, apresentamos os resultados do desenvolvimento
do estudo principal quando foi utilizado o Objeto de Aprendizagem na versão
considerada final para efeitos do trabalho aqui relatado.
101
7 REGULAÇÕES E AUTORREGULAÇÕES OBSERVADAS
Nesse capítulo apresentamos os resultados do estudo principal. A primeira
seção relata o desenvolvimento do trabalho, caracterizando os alunos, apresentando
os instrumentos de coleta de dados e as opções metodológicas adotadas na
condução. Na segunda seção são apresentados os obstáculos ocorridos no decorrer
da pesquisa. Na terceira seção apresentamos um estudo global em relação ao uso
do objeto de apoio à aprendizagem autorregulada em problemas de máximo e
mínimo. Na quarta seção, apresentamos estudos de caso, analisando a forma como
cinco alunos utilizaram o objeto, destacando as regulações e as autorregulações que
realizaram ao lidarem com o Objeto de Aprendizagem e, na última seção,
apresentamos algumas reflexões a respeito do uso desse Objeto de Aprendizagem.
7.1 Proposta e condução do estudo principal
O estudo principal foi realizado em meados do primeiro semestre de 2009,
com quatorze alunos do sexto período de um curso de Licenciatura em Matemática,
de uma faculdade situada na região metropolitana de Belo Horizonte.
As atividades foram desenvolvidas no laboratório de informática da instituição,
durante as aulas de Cálculo Diferencial e Integral IV, tendo um aluno por
computador. Os alunos já haviam cursado outras disciplinas de Cálculo, tendo
estudado as derivadas de funções de uma variável real e suas aplicações a
problemas de determinação de máximos e mínimos. A disciplina de Cálculo IV
compreende o estudo das funções de várias variáveis. O objetivo de propor aos
alunos o trabalho com o Objeto de Aprendizagem para autorregulação em Cálculo
foi o de permitir que os alunos revisassem os estudos já desenvolvidos, como forma
de facilitar o estudo dos máximos e mínimos de funções de mais de uma variável.
Os alunos tiveram cem minutos para utilizar os recursos do Objeto de
Aprendizagem na resolução de dois problemas:
102
1) um retângulo deve ser inscrito em um triângulo com lados de
comprimento 3 cm, 4 cm e 5 cm. Ache as dimensões do retângulo
com a maior área;
2) uma caixa aberta deve ser feita com uma folha de metal de 3 cm por
8cm, cortando-se quadrados iguais dos quatro cantos e dobrando-se
os lados. Determine a medida do lado desses quadrados, de forma
que o volume da caixa seja o máximo possível.
Para a resolução desses problemas, os alunos dispunham de recursos
variados que integravam o OA, incluindo applets para experimentação.
Um terceiro problema foi ainda proposto, que não integrava o OA:
3) encontre as dimensões do retângulo com área máxima que pode ser
inscrito em um círculo de raio 10cm.
Esperávamos, com isso, que os alunos pudessem ter dois tipos de
experiência: 1) resolver problemas, tendo como ferramenta auxiliar o objeto e 2)
resolver um problema sem acesso aos recursos do Objeto de Aprendizagem, por
exemplo, sem acesso a applets de simulação dinâmica da situação.
No início da atividade, os alunos foram esclarecidos sobre a natureza da
mesma e sobre como deveriam proceder: resolver os problemas propostos e, num
segundo momento, avaliar se o OA trazia contribuições para o entendimento e a
solução dos mesmos.
A primeira folha que os educandos receberam continha: o endereço do site, a
senha de acesso e o primeiro problema a ser resolvido. Essa folha poderia ser
utilizada por eles para a realização de registros no percurso de resolução do
problema.
Ao término do primeiro problema, o aluno poderia passar para o segundo,
recebendo a respectiva folha para a resolução do mesmo. Terminado o segundo, ele
receberia a folha de resolução do terceiro problema e, posteriormente, uma ficha de
avaliação do Objeto de Aprendizagem.
Essa ficha de avaliação continha sete questões (Apêndice A). A primeira
questão perguntava a respeito da resolução de cada um dos três exercícios
propostos e a segunda procurava investigar sobre a utilidade do objeto na resolução
103
dos problemas. A terceira questão solicitava uma nota variando de zero a dez para
avaliar o OA quanto aos seguintes aspectos: ajuda na compreensão textual do
problema, ajuda em Geometria, ajuda em Cálculo e estruturação global. A quarta
questão analisava a opinião dos alunos com relação à navegabilidade do site e a
quinta questão teve como propósito identificar o grau de dificuldade atribuído aos
exercícios propostos, numa escala de cinco categorias, de muito fácil a muito difícil.
A sexta questão perguntava sobre a influência ou não do uso do OA na motivação
em relação aos estudos de Cálculo. A sétima questão deixava livre para o aluno
uma descrição sobre o Objeto de Aprendizagem, esperando que ele relatasse com
maiores detalhes o processo de interação vivenciado.
Na estrutura do site foi criado um espaço (banco de dados) para o
armazenamento das informações de acesso dos alunos. Os registros informavam: a
sequência de links acessados; a data e hora em que cada link foi acessado e as
observações digitadas pelos alunos. Dessa forma, qualquer ação realizada pelo
aluno ao usar o OA ficava registrada, permitindo emitir relatórios para posterior
análise.
As informações disponíveis nos relatórios foram salvas em planilhas
eletrônicas.
Nessas planilhas, programações prévias, realizadas a partir de relações
estabelecidas entre suas células26, permitiram a organização dos dados em tabelas.
Isso permitiu a elaboração e a emissão de novos relatórios e gráficos, objetivando o
tratamento das informações, de forma a facilitar a melhor compreensão e
interpretação do processo referente ao uso do Objeto de Aprendizagem pelos
alunos.
26
Célula é o elemento indicado pelo cruzamento entre uma linha e uma coluna nessa planilha
eletrônica, sendo o seu componente elementar. Toda a informação, como valores e fórmulas, deve
ser
digitada
em
alguma
célula
para
poder
ser
utilizada.
Fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/Planilha_eletr%C3%B4nica.
104
7.2 Obstáculos no percurso
À exceção da aluna Natália27, que resolveu os três exercícios, os demais
alunos utilizaram praticamente todo o tempo da atividade na resolução do primeiro
problema proposto. Assim, decidimos que eles fariam a avaliação do OA em relação
ao primeiro problema e que, na próxima aula, os vinte primeiros minutos seriam
destinados à realização de uma reflexão sobre as propostas desse objeto e os
oitenta minutos restantes seriam disponibilizados para a resolução do segundo
problema e, se possível, o terceiro.
No entanto, devido a problemas administrativos, as aulas nessa instituição
foram interrompidas no meio do primeiro semestre de 2009, impossibilitando o
contato com os alunos para a finalização dos trabalhos.
Esses problemas ocorridos comprometeram a condução de todas as etapas
da pesquisa inicialmente projetadas para o estudo principal, que tinha como objetivo
acompanhar os estudantes trabalhando com o Objeto de Aprendizagem para
autorregulação em Cálculo já na versão atualizada, que incorporava as alterações
apontadas com o desenvolvimento dos Estudos Piloto I e II. A limitação das etapas
exigiu que os dados considerados para análise se restringissem àqueles da primeira
aula conduzida.
As análises a seguir apresentadas foram feitas a partir dos dados obtidos por
meio de folhas de apoio para a resolução, entregues ao término dos trabalhos;
relatórios computacionais, gerados para cada aluno, que permitiam acesso às
respostas dadas na interação com o objeto, as informações sobre os links
acessados e o tempo de permanência em cada link.
Optamos por fazer primeiro uma análise global do trabalho, considerando o
grupo de quatorze alunos como um todo. Dentre esses, foram selecionados cinco,
adotando como critério o fato de o aluno ter resolvido por escrito o problema na folha
de apoio. Cada um desses alunos constituiu um estudo de caso, aqui descrito,
relatando a interação de cada aluno com o Objeto de Aprendizagem, procurando
interpretar a forma como cada um agiu, efetuando regulações e autorregulações no
processo de resolver as tarefas de Cálculo, monitorando o seu processo de
aprendizagem.
105
Para facilitar a análise, dois tipos de gráficos foram gerados, com o objetivo
de permitir uma melhor visualização das ações realizadas pelos alunos. Os gráficos
construídos permitem visualizar: 1) o tempo de permanência do aluno em cada link
por ele utilizado e 2) a sequência dos links e quantidade de vezes que cada link foi
acessado.
7.3 Uma análise global
Nesta seção apresentamos as informações gerais sobre o uso do OA pelos
quatorze alunos que participaram do estudo principal.
No total de 624 links consultados, a média aproximada foi de 44 acessos por
aluno, e o tempo médio de 59’5” por aluno na utilização do OA, para a realização
das tarefas propostas.
O número de vezes que cada link foi acessado pelo total dos quatorze alunos
está representado no Gráfico 1.
Gráfico 1: Uso global do Objeto de Aprendizagem pelos alunos
Fonte: Dados de pesquisa.
Nesse gráfico, cada coluna representa um link e a ordem de disposição
obedece à sequência em que aparecem no objeto.
27
Os alunos que participaram da pesquisa autorizaram que seus nomes fossem utilizados.
106
Podemos ver que os links mais acessados foram: teste da função,
semelhança de triângulos e como escrever a função.
Uma procura mais detalhada nos links evidencia uma atenção maior às
relações de semelhança de triângulos, o que sugere uma percepção desses alunos
a respeito das relações existentes entre essa ajuda e o problema. A grande procura
pelo campo que verifica a validade da função modelada sugere uma atenção desses
alunos na obtenção da função a ser maximizada, passo imprescindível para a
resolução matemática do problema.
Os tópicos de ajuda menos acessados foram: relações de semelhança;
número crítico e relato das dificuldades, com apenas dez acessos em cada um. No
geral, todas as ajudas que discutiam conceitos de Cálculo Diferencial foram as
menos acessadas, sugerindo duas interpretações possíveis: 1) os alunos não viam a
necessidade de rever ou consultar conceitos de Cálculo ou 2) a forma de
apresentação “não dinâmica” dos conceitos que foi utilizada pode ter causado uma
resistência em consultá-los.
A primeira interpretação, no caso dos alunos que participaram da pesquisa,
era, de certa forma esperada, pois eles já haviam desenvolvido estudos sobre a
determinação de máximos e mínimos de funções e os alunos sentiam que eram
capazes de relembrar aquela teoria, sem necessidade do acesso ás caixas de ajuda.
Entretanto, os registros de poucos alunos na folha de resolução da atividade
podem evidenciar algumas dificuldades desses alunos em relação aos estudos
sobre derivada ou, mesmo, os que não rascunharam alguma tentativa de resolução
na folha podem indicar uma resistência a esse tipo de atividade.
A segunda interpretação decorre da opção de não utilizar recursos dinâmicos
para as componentes de ajuda em Cálculo. Essa opção foi tomada em decorrência
da própria proposta do Objeto de Aprendizagem, como apoio no processo de
compreensão e resolução dos problemas de otimização, que envolvem conceitos
geométricos. A proposta foi desenhada a partir dos estudos relatados no capítulo 2,
quando procedemos à análise de alguns livros didáticos de Cálculo, constatando a
pouca ênfase dada pelos autores à revisão de conceitos de Geometria, passando,
então, a ser esse o nosso foco na elaboração dos componentes de ajuda do Objeto
de Aprendizagem. Com esse objetivo estabelecido, entendemos que a visualização
da figura geométrica e a experimentação de movimento da mesma, viabilizadas por
meio dos applets de geometria que integraram o objeto, seriam relevantes na
107
compreensão do problema pelo aluno e no seu equacionamento. Applets com as
ajudas em Cálculo poderiam ter sido desenvolvidos e integrados como componentes
do Objeto de Aprendizagem, mas acreditávamos que a estruturação dinâmica em
Cálculo poderia gerar um acesso excessivo aos links que contivessem applets,
levando os alunos a não se ocuparem com a resolução dos problemas.
Um Objeto de Aprendizagem é reutilizável e modificável e, assim, ajudas em
Cálculo com recursos de animação podem ser facilmente agregadas ao objeto que
desenvolvemos, em função de uma replicação de sua utilização no desenvolvimento
de cursos de Cálculo, tanto na modalidade presencial como na modalidade a
distância.
7.4 Os estudos de caso
Conforme mencionado, os cinco alunos que apresentaram algum registro na
folha de resolução do problema foram selecionados para uma análise mais
minuciosa em relação ao uso do Objeto de Aprendizagem.
7.4.1 Aluno Adriano
O aluno Adriano começou a atividade clicando na ajuda que trata da
compreensão textual do problema, gastando 2’29” para responder às três perguntas.
As respostas apresentadas por ele evidenciam um entendimento sobre o que
significa inscrever um retângulo em um triângulo, o que significa determinar as
dimensões do retângulo com maior área e qual deve ser a função a ser
maximizada28. A segunda ajuda escolhida por ele foi a de buscar informações que
tratam de semelhança de triângulos. O tempo gasto, 2’48”, evidencia o uso do
applet, bem como a leitura das dicas propostas. Na terceira ajuda escolhida, ele
28
O aluno não apresenta uma função como resposta, ele apenas indica que a área a ser maximizada
é a do retângulo.
108
procurou por como escrever a função. Novamente, o tempo gasto, 1’03”, evidencia a
leitura e a análise desse tópico. A quarta ajuda escolhida, que trata da apresentação
dos dois teoremas sobre máximo e mínimo absoluto de uma função contínua em um
intervalo fechado, também foi muito explorada por ele, uma vez que gastou 3’38”
nesse link.
A julgar por esses movimentos, podemos entender que, após refletir sobre o
que é solicitado no problema, esse aluno compreendeu que as relações de
semelhança de triângulo estão relacionadas à sua resolução. Assim, ele passou a
pesquisar como se deve escrever a função e, em seguida, buscou, no quadro do OA
que apresenta os conceitos de cálculo, o link que traz dois teoremas sobre máximo e
mínimo absoluto de uma função real.
O tempo que esse aluno gastou em cada link e o respectivo link acessado são
mostrados no Gráfico 2.
Gráfico 2: Tempo de permanência em cada link - Adriano
Fonte: Dados de pesquisa
Nesse gráfico, uma unidade no eixo do tempo representa um período de dez
minutos. Dessa forma, uma menor distância horizontal entre dois pontos
consecutivos representa pouco tempo gasto no acesso ao link correspondente e
maior distância entre os pontos representa maior uso do respectivo link. A ordem
estabelecida para esses links, dispostos no eixo das ordenadas, foi a mesma em
que eles aparecem no OA.
Uma primeira análise evidencia que esse aluno exerce a regulação do seu
processo de aprendizagem, demonstrando saber o que se pede e o que deve ser
feito.
109
Flavell (1987) descreve como uma experiência metacognitiva o momento em
que uma pessoa percebe que algo está difícil de ser resolvido ou compreendido.
Adriano encontra-se nessa situação de experiência metacognitiva, percebendo que
não possui, ou mesmo não se recorda, das estratégias que deve utilizar para
prosseguir resolvendo o problema. Entendemos que essa percepção parece ter lhe
causado um desequilíbrio, pois começou um novo movimento, percorrendo as
ajudas disponibilizadas no OA, mas com uma diferença: ele passou a gastar pouco
tempo em cada ajuda consultada, uma vez que acessou, na sequência apresentada,
os dez links: Triângulo: Semelhança; Compreendendo o texto; Como escrever a
função; Triângulo: Semelhança; Definição de derivada; Derivada da potência;
Máximo e mínimo; Número crítico; Verificar máximo e mínimo e Teoremas
importantes, gastando, em média, 22,5” por ajuda consultada. Ele parecia procurar
algo no OA que o ajudasse a reequilibrar suas estruturas, o que Piaget (1977)
descreve como uma tendência a aproximar-se de um equilíbrio. Esse momento de
desequilíbrio, em que ele acessa por pouco tempo os links de ajuda, é apresentado
no Gráfico 3.
Gráfico 3: Tempo de permanência segundo o link acessado nos primeiros vinte minutos – Adriano
Fonte: Dados da pesquisa.
O gráfico destaca o uso do OA do décimo ao vigésimo minuto de utilização,
período que representa o momento em que o aluno apresenta esse desequilíbrio,
acessando vários links em um curto período de tempo. Em destaque, o intervalo
compreendido entre 1,3 a 1,8, que corresponde a um período de tempo
compreendido do décimo terceiro ao décimo oitavo minuto no período de uso do OA.
110
E, como segunda estratégia na busca por esse equilíbrio, Adriano passou a
testar valores para as dimensões do retângulo, na busca pela solução do problema,
conforme apresentado no Quadro 10.
Tentativas
1
2
3
4
5
6
O que verificou Altura Altura Base Altura Altura Altura
Valor testado
6
3
1,5
3
2,5
2
Quadro 10: Tentativas de respostas para o Problema 1 - Adriano
Fonte: Dados de Pesquisa
Como encontrou a solução do problema por meio de tentativa e erro, ele
parece ter encontrado o equilíbrio e retoma a forma de usar o OA como no início,
mas agora em um movimento de revisão das ações, uma vez que ele volta a
percorrer os mesmos caminhos feitos no primeiro momento, apresentando, inclusive,
as mesmas respostas.
Esse comportamento é descrito por Flavell (1987) ao relatar que o propósito
que uma pessoa tem, ao refazer suas ações, não é o de atingir o objetivo (estratégia
cognitiva), mas para se sentir plenamente certo de que tenha alcançado o objetivo
(estratégia metacognitiva).
Para melhor visualizarmos a sequência de links acessados pelo aluno e
identificarmos a ocorrência de padrões, elaboramos um outro tipo de gráfico que
apresenta a ordem de acessos e o respectivo link acessado.
Gráfico 4: Sequência de links acessados - Adriano
Fonte: Dados de pesquisa
111
Neste gráfico está em destaque o primeiro momento de uso do OA e o
momento em que ele refaz suas ações. A sequência de links visualizados nos três
primeiros acessos é a mesma no vigésimo, vigésimo primeiro e vigésimo segundo,
sendo esse o momento em que o aluno Adriano refaz o percurso no OA.
Verificamos que a folha de respostas foi pouco utilizada na resolução desse
problema, uma vez que apenas anotou as respostas. Esse fato indica que Adriano
julgou suficiente ter chegado à solução do problema por tentativa e erro, não vendo
a necessidade de efetuar qualquer registro.
Percebemos que, no princípio de resolução dessa atividade, o aluno procurou
resolver o problema estabelecendo uma leitura analítica das ajudas procuradas por
ele. Entretanto, ao perceber essa dificuldade, ele mudou sua estratégia de ação,
evidenciando que as estratégias de aprendizagem são dinâmicas, flexíveis e
modificáveis em função dos objetivos propostos (FROTA, 2002). E, no caso de
Adriano, o seu objetivo era o de encontrar a resposta, sendo por compreensão e
resolução própria ou mesmo com a ajuda do OA, como foi o caso.
No questionário, Adriano assinalou que conseguiu resolver o primeiro
problema e não conseguiu o segundo. Isso reforça a nossa tese de que ter
encontrado a solução do problema, mesmo sem saber como, é suficiente para
entender que ele foi resolvido. Ele ainda ressaltou que o ambiente contribuiu
ajudando-o a resolver o problema, relatando que a navegabilidade no site foi feita
com naturalidade e classificando os dois primeiros problemas como muito difíceis.
Porém, relatou não apresentar uma mudança em relação ao ensino de Cálculo após
o uso do ambiente, e concluiu: A ajuda do Cálculo foi interessante, porém, é uma
linguagem muito difícil, poderia estar mais detalhada (ADRIANO).
7.4.2 Aluna Leila
A aluna começou a atividade clicando na ajuda que trata da compreensão
textual do problema, gastando 7’39”, lendo as informações e respondendo às três
perguntas. Das três respostas apresentadas, a última evidencia que ela não teve um
entendimento completo em relação ao que deveria ser feito. Na resposta para a
112
primeira questão, seus relatos indicam um entendimento do que significa inscrever
um retângulo em um triângulo, apesar de não apresentar uma linguagem dentro dos
padrões geométricos. Na resposta para a segunda pergunta, ela apresentou a
observação de que, a partir da determinação para as dimensões desse retângulo,
teremos a determinação da maior área: Encontrar os lados maiores do retângulo,
assim sua área será maior. (LEILA).
Já para a terceira pergunta: “qual deveria ser a função a ser maximizada”, que
destaca a natureza do problema que envolve a maximização de uma função, a
resposta foi: Não tenho a mínima ideia. (LEILA).
Leila parece não perceber a relação existente entre as duas últimas
perguntas, uma vez que assumiu não ter ideia sobre o que fora perguntado.
A próxima opção escolhida por ela foi a ajuda sobre semelhança de
triângulos. O grande tempo gasto, 11’59”, permite duas possibilidades de
interpretação: ela gastou todo esse tempo interagindo com o applet na busca por
uma melhor regulação de suas estratégias ou, então, interagiu com o applet e
passou a tentar solucionar o problema na folha recebida.
Independente de qual seja a interpretação correta, nesse momento a aluna já
se julgava sem condições para resolver o problema.
O tempo de utilização em cada link acessado por Leila está representado no
Gráfico 5.
Gráfico 5: Tempo de permanência segundo o link acessado – Leila
Fonte: Dados de pesquisa
Pelo gráfico podemos visualizar que, no início da atividade, Leila demonstra
maior interação com os links, gastando um tempo maior em cada acesso. Ao
113
perceber que não tem condições para resolver o problema, parte para a busca do
conhecimento necessário, mas agora utilizando pouco tempo em cada acesso
consultado.
Flavell (1979) discute a consciência que um aluno possui sobre suas
condições para realizar uma tarefa e sobre quais fatores ou variáveis afetam o seu
desempenho. Leila apresentou essa consciência sobre o seu conhecimento, uma
vez que declarou não apresentar as condições para realizar a tarefa cognitiva
proposta. Assim, utilizou como estratégia testar valores para a base e para a altura,
na busca pela solução do problema.
No Gráfico 6, em destaque, observa-se a sequência que ela seguiu ao
procurar as respostas por tentativa e erro, acessando os links.
Gráfico 6: Sequência de links acessados – Leila – Destaque 1
Fonte: Dados de pesquisa
Nesse gráfico, temos do terceiro ao duodécimo acesso o momento em que
essa aluna passou a buscar a solução no OA por meio de estratégias de tentativa e
erro. E, em relação aos valores testados, as opções utilizadas por Leila são
mostradas no Quadro 11.
Tentativas
1
2
3
4
5
6
7
8
9
O que verificou Base Altura Altura Base Base Altura Altura Base Base
Valor testado
0,86
2,85
2,85
1,53
1,50
Quadro 11: Tentativas de respostas para o Problema 1 – Leila
Fonte: Dados de Pesquisa
2,47
2,00
1,50
3
114
Observando a variação na sequência de opções para a base e a altura,
podemos perceber que a aluna vai ajustando os valores escolhidos até chegar aos
resultados. E, nesses ajustes, nota-se um crescimento para a medida da base e
uma diminuição para a medida da altura. Essa estruturação lógica sugere um padrão
de comportamento, evidenciando uma estratégia na escolha das opções.
Após ter descoberto as dimensões do retângulo que maximizam a sua área
(estratégia cognitiva), ela apresentou o mesmo comportamento que o aluno Adriano,
ao retornar a atividade (estratégia metacognitiva). Entretanto, ela não teve a mesma
postura, uma vez que apresentou uma autorregulação no seu processo de
aprendizagem.
Em primeiro lugar, ela retomou a análise da compreensão textual do
problema, interagiu com a ajuda sobre semelhança de triângulos e, em seguida,
confirmou a solução encontrada, verificando novamente a resposta.
Como segunda ação, ela passou a fazer um movimento de ida e volta nas
ajudas sobre semelhança de triângulos e sobre como modelar a função. A ajuda
sobre semelhança de triângulos apresentou uma dica, informando a sua relação
com a modelagem da função. A aluna Leila parece ter percebido essa relação e
iniciou um movimento de ida e volta entre esse link e o de como modelar a função.
Percebemos, a partir dessa ação, a atenção voltada para a compreensão de como
se chegar à modelagem da função, de forma a não reproduzi-la, mas com o objetivo
de compreender as estruturas e relações que levam à correta modelagem, uma vez
que o link como modelar a função apresenta o processo para se chegar à mesma.
No Gráfico 7, em destaque, observa-se o momento em que a aluna apresenta
essa ação de autorregulação no seu processo de aprendizagem.
Gráfico 7: Sequência de links acessados – Leila – Destaque 2
Fonte: Dados de pesquisa
115
Para uma melhor compreensão de como ela regulou esse processo,
apresentamos o Quadro 12, que mostra o tempo gasto em cada tópico de ajuda.
Ordem
1
2
3
4
5
6
Semelhança
Problema de
Semelhança
Problema de
Semelhança
Problema de
de triângulo
modelagem
de triângulo
modelagem
de triângulo
modelagem
6’34”
2’12”
2’08
42”
1’48”
2’27”
de
Escolha
Opção
Tempo
utilizado
Quadro 12: Ordem de escolha e tempo utilizado por link - Leila
Fonte: Dados de Pesquisa
Entendemos que Leila começa a apresentar uma melhora nas suas
estratégias, caminhando da regulação para a autorregulação, uma vez que
demonstrou controle sobre suas ações, percorrendo os tópicos de ajuda com um
objetivo estabelecido: entender como resolver o problema.
Após essa ação, ela procurou entender como deveria escrever a função,
verificando a sua validade, ajustando a sua forma de escrita até chegar à função:
A( x) = 4 x −
4x 2
.
3
Essa aluna continuou apresentando autorregulação do processo de
aprendizagem, uma vez que, tendo chegado à função que deve ser otimizada,
passou a consultar os links sobre conceitos de Cálculo e reproduziu, na folha de
resolução do problema, os conceitos e as propriedades consultadas nas ajudas
correspondentes aos conceitos de Cálculo.
Após essas consultas, a aluna foi capaz de resolver o problema, chegando às
mesmas respostas encontradas anteriormente por tentativa e erro.
Analisando o comportamento de Leila, percebemos que, em um primeiro
momento, ela não se via em condições de resolver o problema e passa, então, a
procurar a solução para o problema por meio de estratégias de tentativa e erro. Após
ter encontrado a resposta, não se sente satisfeita com o resultado obtido. No caso
dessa aluna, ter encontrado a resposta por meio de estratégias de tentativa e erro
levou-a à busca pela compreensão de quais processos deveria ter realizado para
chegar à resposta (estratégia metacognitiva).
116
Em relação à ficha de avaliação, essa aluna relatou que o Objeto de
Aprendizagem para autorregulação na resolução de problemas de máximo e mínimo
contribuiu ajudando-a a resolver o problema. Além disso, classificou o primeiro
problema com grau de dificuldade médio e acrescentou que sua motivação para os
estudos em Cálculo aumentou após o uso desse OA.
E acrescentou em seu relato final: Facilitou a resolução, pois temos todos os
conceitos. (LEILA).
A aluna referia-se ao fato de as potencialidades do OA disponibilizar todas as
ajudas necessárias à resolução do problema, num mesmo espaço. Na realidade,
todos os componentes do OA foram importantes no processo que ela vivenciou de
monitorar a resolução daqueles problemas, avançando em conhecimentos não
apenas sobre o tópico matemático, mas sobre as estratégias metacognitivas para
lidar com os mesmos.
7.4.3 Aluna Márcia
A aluna começou a atividade clicando na ajuda que trata da compreensão
textual do problema, gastando 3’38”. Porém, nesse acesso, não respondeu às três
questões que indagavam: o que significa inscrever um retângulo em um triângulo;
ache as dimensões do retângulo com maior área e qual deve ser a função a ser
maximizada. A segunda opção escolhida por ela foi acessar o link Como escrever a
função. O pouco tempo visitado neste tópico, 11”, sugere que ela pode ter entendido
que esse tópico, para ela, abordou um assunto diferente daquele que esperava
encontrar. Em seguida, ela optou por acessar a ajuda que aborda o assunto
Semelhança de triângulos. O tempo gasto, 3’46”, sugere a interação com o applet
presente nesse tópico e a leitura das dicas apresentadas.
No Gráfico 8 apresentamos o tempo de uso gasto em cada link pela aluna
Márcia.
117
Gráfico 8: Tempo de permanência segundo o link acessado – Márcia.
Fonte: Dados de pesquisa.
Pelo Gráfico 8, podemos perceber vários intervalos em que essa aluna
consulta os links propostos em um curto intervalo de tempo, sugerindo pouca
reflexão e análise a respeito dos tópicos consultados, o que pode ter influenciado as
dificuldades relatadas por ela. Fernandes (1989) ressalta a necessidade do ensino
direcionado ao desenvolvimento na escolha de mecanismos necessários à
resolução de problemas. No caso dessa aluna, não percebemos essa característica,
visto que os diversos links acessados e o curto espaço de tempo gasto em cada link
sugerem uma espécie de “busca cega”, em que ela parece procurar algo que lhe
ajude na resolução do problema, não conseguindo perceber qual o tipo de ajuda que
necessita.
Como segundo movimento, ela percorreu três tópicos sobre ajudas
conceituais em Cálculo, porém o pouco tempo gasto, 12”, em média, por tópico,
sugere pouco uso das informações presentes.
Ter percorrido os tópicos de ajuda em Cálculo pode ter sido um fator que
evidenciou, para essa aluna, que ela não tinha condição de resolver o problema.
Confirmou essa afirmação o próximo movimento, que foi a busca pela solução do
problema por tentativa e erro, uma vez que ela alternou entre consulta aos tópicos
de semelhança de triângulos e verificação das respostas.
Esse momento está destacado no Gráfico 9.
118
Gráfico 9: Sequência de links acessados – Márcia
Fonte: Dados de pesquisa
No Quadro 13 apresentamos as tentativas utilizadas pela aluna na resolução
do problema.
Tentativas
1
2
3
4
5
O que verificou Base Base Base Altura Base
Valor testado
0,86
1,86
1,5
2
1,50
Quadro 13: Tentativas de respostas para o Problema 1 – Márcia
Fonte: Dados de pesquisa
De posse do resultado, Márcia pareceu refazer os caminhos percorridos no
primeiro momento, na tentativa de conseguir perceber como confirmar a resposta
por ela encontrada, apresentando uma estratégia cognitiva. (FLAVELL, 1987).
Percebemos que ela ainda não assimilou os procedimentos necessários à
resolução do problema. Por isso, resolveu mudar a estratégia utilizada nos dois
primeiros momentos. Frota (2002) discute o dinamismo, a flexibilidade e as
modificações nas estratégias utilizadas pelas possibilidades de mudança na escolha
das estratégias pelos alunos e isso é apresentado por Márcia que, regulando o seu
processo de aprendizagem, resolveu mudar a estratégia de uso do OA, percorrendo,
agora, outros tópicos ainda não consultados.
Fernandes (1989) refere-se a quatro tipos de conhecimentos metacognitivos
apontados por Shoenfeld (1987) na resolução de problemas. O segundo aspecto
trata do conhecimento sobre as estratégias relacionadas à resolução do problema,
conhecimento este que pode indicar para o aluno um caminho a ser seguido. Márcia
119
não demonstrou ter conhecimento desse caminho a ser seguido, mas está
consciente de que não sabe como percorrê-lo.
Assim, na busca de encontrar esse caminho que a levasse à resolução do
problema, ela retornou ao tópico de ajuda sobre a compreensão textual do
problema, respondendo às três perguntas, apresentando ainda algum receio.
Percebemos, por essas respostas, que Márcia, como encontrou a solução do
problema por tentativa e erro, passou à busca de como chegar à resolução do
problema por seus próprios métodos (estratégia metacognitiva). Entretanto, ela
pareceu não ter uma referência em suas estruturas cognitivas que a ajudasse a
regular o seu processo, na busca pela solução, gerando uma incerteza, conforme
apresentado nas respostas.
A análise da folha com os registros de Márcia evidencia que ela caminhou em
direção à resolução do problema, entretanto, não foi capaz de perceber tal situação.
Na Figura 20 identificamos os registros feitos por essa aluna.
Figura 20: Folha de respostas Problema 1 - Márcia
Fonte: Dados de pesquisa
Esses foram os únicos registros de Márcia, sugerindo um caminhar dessa
aluna em relação à resolução do problema, utilizando como estratégia o Cálculo
120
Diferencial e Integral. Mas, o fato de não ter concluído pode indicar uma incerteza
em saber se realmente estava “trilhando o correto caminho” na resolução desse
problema.
Com isso, ela utilizou o OA, recorrendo mais às ajudas em geometria, sem
consultar as ajudas conceituais em cálculo e declara ao final da atividade: Consegui
achar o resultado por dedução, tenho dificuldade na parte de Cálculo para o ponto
máximo e mínimo da função. (MÁRCIA).
Na ficha de avaliação do OA, Márcia considerou que o seu uso contribuiu
para a resolução do problema. Entretanto, relatou que a navegabilidade foi feita com
dificuldade, confirmando nossa análise sobre o gráfico de tempo de permanência
aos links. Ela classificou o grau de dificuldade do Problema 1 como médio e concluiu
destacando que sua motivação para o ensino de Cálculo aumentou.
7.4.4 Aluno Marcos
Dos cinco alunos selecionados para uma análise mais detalhada, esse foi o
único que não conseguiu resolver o problema.
Como os alunos anteriores, ele também começou a atividade procurando
compreender a estrutura textual do problema. Os 13’7” gastos nesse tópico
indicariam uma reflexão a respeito das três perguntas elaboradas. Entretanto, o
aluno não respondeu às perguntas. Podemos interpretar que ele encontrou certa
dificuldade na compreensão das propostas presentes nesse tópico. Com isso, ele
parece não ter entendido o que deveria fazer, o que o levou a percorrer o OA na
tentativa de se apropriar dos conceitos necessários à resolução do problema.
Porém, nessa busca, não identificamos uma estruturação consciente, uma
vez que ele acessou diversos links em um pequeno espaço de tempo, conforme se
observa na representação do Gráfico 10.
121
Gráfico 10: Tempo de permanência segundo o link acessado – Marcos
Fonte: Dados de pesquisa
Analisando esse gráfico, percebemos que Marcos apresentou, inicialmente,
um momento de reflexão, consultando o link de ajuda na compreensão textual e, no
intervalo de 1 a 2, entre o décimo e o vigésimo tempo de uso do OA, começou uma
busca por informações, não refletindo sobre as mesmas, uma vez que a
permanência em cada link é de muito pouco tempo: visualizou 14 links, com a média
de 28” por link acessado. Então, voltou novamente a um período de reflexão,
intervalo de 2 a 3,8, ou seja, nos 18 minutos seguintes. Em seguida, passou
novamente, a consultar vários links em um curto período de tempo. Acreditamos que
essas ações tenham confundindo esse aluno, que não soube regular seus
procedimentos, evidenciando pouco controle de suas estratégias metacognitivas.
Os momentos em que Marcos se permitiu analisar e refletir sobre as
propostas do link acessado parecem não ter contribuído para a realização da
atividade, o que o leva a breves acessos aos tópicos de ajuda presentes no OA.
Flavell (1979) discute que alunos mais experientes apresentam melhor
desenvolvimento metacognitivo. Acreditamos que Marcos, em sua trajetória escolar,
tenha tido poucos estímulos que o levassem a melhor entender o seu próprio
processo de aprendizagem.
No terceiro capítulo discutimos sobre as variáveis que afetam o curso das
iniciativas cognitivas sobre o que as pessoas fazem para aprender ou, mesmo,
facilitar a sua aprendizagem. Marcos parece não conseguir autorregular suas ações
cognitivas, uma vez que as estratégias experimentadas não o ajudaram na
resolução do exercício.
122
Na busca pelo equilíbrio, ele desenvolveu uma estratégia, consultando, um
maior número de vezes, as últimas opções do OA, conforme apresentado no
Gráfico 11.
Gráfico 11: Sequência de links acessados – Marcos
Fonte: Dados de pesquisa
Nesse gráfico, a região em destaque representa os momentos que o aluno
utilizou as três últimas opções do OA. A análise desse gráfico evidencia preferência
maior em consultar os últimos tópicos do OA, que tratam de como escrever a função,
verificação da base e da altura e relato das dificuldades, uma vez que, dos 41
tópicos consultados, 20 correspondiam aos links de 13 a 17, os últimos
disponibilizados na caixa geral de ajuda.
Esse aluno parece não ter conseguido estabelecer uma estruturação lógica
na resolução do problema e apresentou pouca capacidade para regular suas ações.
Apenas no último acesso que faz no OA, Marcos foi capaz de apresentar uma
resposta que evidenciasse a compreensão do que era solicitado no problema. E, ao
relatar as suas dificuldades, faz o seguinte comentário:
Quando me deparei com a atividade fiquei desnorteado, mas não procurei olhar do
colega [a atividade], só pra ver se eu conseguia, mas foi em vão; não entendia nada,
pois não me lembrava da relação de cálculos, então fui no conceito básico de
geometria e identifiquei as medidas de acordo com o que entendi. Portanto, não
consegui montar a função adequada para a resolução do exercício. Mas anotei os
passos que fiz na folha, dividindo a figuras em três partes. (MARCOS).
123
A análise do registro ao qual Marcos se refere evidencia a busca de uma
solução geométrica para o problema. Marcos não pensou em modelar a função
área. Parece que se aproximou da modelagem da função utilizando o conceito de
relação de semelhança, porém não apresentou esse modelamento, conforme se
observa na Figura 21.
Figura 21: Folha de respostas Problema 1 - Marcos
Fonte: Dados de pesquisa
Marcos, na tentativa de resolver o problema, optou por utilizar estratégias
geométricas, utilizando as relações de semelhança. Percebemos, pela análise dos
seus registros, que ele teve uma boa ideia para o modelo geométrico, faltando
utilizar corretamente as relações para, enfim, chegar à função.
Apenas em seu último acesso ao OA, Marcos parece ter compreendido o que
é solicitado no problema, respondendo às três perguntas.
À primeira pergunta, sobre o que é inscrever um retângulo em um triângulo,
ele respondeu: Seria construir um retângulo dentro do triângulo. (MARCOS).
124
Para a segunda pergunta, sobre o que é encontrar as dimensões do retângulo
com maior área, obtivemos como resposta: Seria identificar primeiro os lados da
figura geométrica b=base e h=altura, depois identificar quanto cada lado mede, em
seguida saber que a área de um retângulo é base vezes altura. (MARCOS).
Para a terceira questão, sobre qual função deve ser maximizada, ele
apresentou como resposta: Não entendi bem a questão, mas eu acho que é a
função do cálculo da área total da figura. (MARCOS).
Apesar de não ter conseguido resolver o problema, Marcos relatou que o uso
do OA contribuiu para a compreensão do que o problema propõe, destacando que a
navegabilidade foi feita com naturalidade. Ele classificou o problema como muito
difícil e relatou que sua motivação para o ensino de cálculo aumentou após o uso do
OA, concluindo: Apesar de ter muita dificuldade, esse tipo de aula despertou sim
maior interesse no conteúdo. Porém, preciso me adaptar mais com essas novas
atividades, mas é muito válido sim. (MARCOS).
Em relação a esse aluno chama a atenção o fato de, embora esteja cursando
uma disciplina de Cálculo IV, apresentar tantas dificuldades na resolução do
problema. Será que ele não fez uma sistematização dos seus estudos? Como anda
o ensino de Cálculo nessa instituição? Esse resultado confirma as pesquisas citadas
no capítulo dois em relação aos estudos sobre derivada, em que os pesquisadores
indicam dificuldades de aprendizagem dos alunos.
É interessante analisar que, apesar das dificuldades encontradas, Marcos
esboçou, na ficha de avaliação, o estímulo gerado pelo uso do OA.
7.4.5 Aluna Natália
Dentre os alunos e alunas que realizaram a atividade, essa foi a única que
resolveu os três problemas propostos. Apesar de a quantidade de links que ela
acessou no primeiro problema, 10 ao todo, ter sido bem menor que a dos outros
colegas, o tempo que ela utilizou para resolver o primeiro exercício foi próximo da
média geral. As respostas apresentadas para os três itens constantes no link
125
compreensão textual do problema evidenciam uma compreensão sobre o que é
solicitado no problema.
Em relação à primeira pergunta, sobre o que é inscrever um retângulo em um
triângulo, ela respondeu: É desenhar um retângulo no interior de um triângulo, sendo
que os vértices do retângulo estão sobre os lados do triângulo. (NATÁLIA).
A segunda pergunta, sobre o que se entende por achar as dimensões do
retângulo com maior área, ela destacou: É encontrar as dimensões do retângulo em
que o cálculo de sua área seja o maior possível. (NATÁLIA).
A terceira pergunta, sobre qual função deve ser maximizada, ela apresentou
como resposta: Função área. (NATÁLIA).
Essa aluna demonstrou ler e analisar os tópicos de ajuda presentes no OA,
uma vez que gastou bastante tempo na consulta a cada um deles, conforme
apresentado no Gráfico 12.
Gráfico 12: Tempo de permanência segundo o link acessado Problema 1-Natália
Fonte: Dados de pesquisa
O Gráfico 12 evidencia que essa aluna procurou compreender as propostas
de cada ajuda, bem como buscou uma interação com os applets.
Flavel, Miller e Miller (1999) discutem metacognição como o conhecimento
que uma pessoa possui sobre as iniciativas cognitivas que realiza. Natália
demonstrou apresentar esse conhecimento sobre suas próprias estratégias, uma
vez que fez uso racional e objetivo do OA. Ela pareceu ter escolhido de forma
consciente o conhecimento necessário para a resolução do problema.
Natália acessou principalmente os links que disponibilizam ajudas em
geometria e sobre como escrever a função, como se observa no Gráfico 13.
126
Gráfico 13: Sequência de links acessados no Problema 1 – Natália
Fonte: Dados de pesquisa
No segundo capítulo, discutimos as dificuldades dos alunos em relação aos
conceitos geométricos necessários à compreensão dos problemas de otimização.
Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick (2004) relatam que os alunos apresentam maior
dificuldade nesses problemas em relação aos conceitos geométricos que nos do
cálculo propriamente dito.
Podemos entender que, para essa aluna, uma revisão em geometria
contribuiu para a correta modelagem da função e resolução do problema, uma vez
que não viu a necessidade em rever conceitos de cálculo.
A aluna apresentou domínio dos conhecimentos que possui sobre suas
próprias habilidades, o que Flavell (1979) classifica como categoria que integra o
conhecimento metacognitivo.
Ao usar o OA para resolver o segundo problema, percebemos que Natália
lançou mão das mesmas estratégias utilizadas na resolução do primeiro problema.
Novamente, a aluna consultou apenas os tópicos em geometria e não acessou as
ajudas relacionadas ao cálculo.
As estratégias dessa aluna estão ilustradas no Gráfico 14.
127
Gráfico 14: Sequencia de links acessados no Problema 2 – Natália
Fonte: Dados de pesquisa
O tempo de uso do OA no segundo problema foi menor, mas, mesmo assim,
Natália parece refletir sobre as informações presentes e interagir com os applets,
conforme pode ser observado no Gráfico 15.
Gráfico 15: Tempo de permanência segundo o link acessado Problema 2-Natália
Fonte: Dados de pesquisa
Já em relação ao terceiro problema, percebemos que essa aluna estabeleceu
a relação existente entre geometria e cálculo, uma vez que, na resolução do mesmo,
registrou uma figura, estabelecendo as relações geométricas entre os elementos,
para, então, modelar a função, como apresentado na Figura 22.
128
Figura 22: Folha de respostas Problema 3 - Natália
Fonte: Dados de pesquisa
Esses registros evidenciam que a aluna conseguiu interpretar o problema
criando uma figura geométrica relacionada, demonstrando ser capaz de utilizar as
relações geométricas da figura na modelagem da função.
Em relação à ficha de avaliação, essa aluna considerou que o objeto de apoio
à aprendizagem autorregulada contribuiu para a resolução do problema, avaliando
com nota máxima os quatro itens sobre: ajuda na compreensão do texto do
problema, ajuda em geometria, ajuda em cálculo e estrutura global do OA. Como ela
não acessou as ajudas em cálculo presentes no OA, acreditamos que essa nota por
ela atribuída tenha sido influenciada pela visão que ela teve do objeto.
Ela considerou que a navegabilidade no site foi feita com naturalidade e
classificou os três problemas como fáceis.
129
7.5 Algumas reflexões
Um estudo de caso visa conhecer uma entidade bem definida como
uma pessoa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema
educativo, uma política ou qualquer outra unidade social. O seu
objectivo é compreender em profundidade o “como” e os “porquês”
dessa entidade[...]. (PONTE, 2006).
Em nossa pesquisa, realizamos um estudo com um grupo específico, dentro
de um contexto e características próprias, analisando suas ações. Embora os fatos
aqui relatados possam indicar grande relação com pesquisas mais abrangentes, as
considerações que serão feitas nessa seção compreendem esse grupo, e não o
ensino de cálculo, de forma geral.
Fazendo uma reflexão sobre o trabalho dos alunos interagindo com o objeto
de apoio à aprendizagem autorregulada em problemas de máximo e mínimo,
chamam a atenção os quatro primeiros casos relatados: Adriano, Leila, Márcia e
Marcos.
Por serem alunos do sexto período cursando a disciplina Cálculo Diferencial e
Integral IV, entendíamos que eles deveriam apresentar um bom desempenho na
realização da atividade, de forma a contribuir para os estudos de máximo e mínimo
de funções de duas variáveis reais, uma vez que a atividade que foi proposta
abordou conceitos iniciais do Cálculo Diferencial e Integral. Caso não se
lembrassem desses conceitos, o próprio uso do OA serviria como ferramenta para a
recuperação dos mesmos.
Flavell (1979), ao esclarecer o que sejam experiências metacognitivas,
destaca que uma pessoa, quando não consegue resolver, repetidas vezes, um
problema bastante difícil, repentinamente recorda de outro problema mais fácil que
esteja relacionado com o primeiro.
Entendemos que, para se recordar de algo em particular, é necessário que o
tenhamos visto em algum momento de nossa vida. E, como os alunos não
evidenciaram essa experiência metacognitiva, podemos supor que esse conceito
não foi trabalhado com esses alunos de forma a propiciar um desenvolvimento
cognitivo.
130
O fato de os alunos apresentarem dificuldades relacionadas a estudos
anteriores evidencia uma similaridade em relação às pesquisas sobre o ensino de
derivada, relatadas no segundo capítulo.
Se existem problemas no processo ensino-aprendizagem de cálculo, significa
que algo não está funcionando bem, evidenciando a necessidade de se estruturar
ações na tentativa de reverter esse quadro. Por isso, os Objetos de Aprendizagem
podem ser uma nova estratégia para contribuir em uma melhor aprendizagem dos
alunos. E, em nossa proposta para o uso desses objetos, a ênfase nos processos
de aprender a aprender pode tornar os alunos melhores em relação ao
desenvolvimento de estratégias.
Em relação às dificuldades em geometria para a resolução dos problemas de
máximo e mínimo, retornamos às discussões de Balomenos, Ferrini-Mundy e Dick
(2004). O fato de quatro alunos não terem conseguido usar adequadamente as
propriedades geométricas no modelamento da função, à exceção da aluna Leila,
confirma os estudos desses autores.
Em relação ao uso do OA por esses quatro alunos, entendemos que eles
procuraram interagir com o objeto, utilizando as ajudas, de forma a monitorar a sua
aprendizagem.
Analisando o desempenho da aluna Natália, podemos levantar a hipótese de
que, se os três problemas tivessem sido apresentados para resolução sem o uso do
Objeto, ela talvez tivesse resolvido todos eles sem maiores dificuldades. Dentre os
cinco alunos, Natália foi a única que demonstrou ter conhecimentos em geometria e
em cálculo, independentemente da interação com o OA. Entretanto, a aluna avaliou
de forma positiva o objeto, afirmando que sua motivação para os estudos de cálculo
aumentou após o seu uso.
Entre as estratégias de aprendizagem que esses alunos apresentaram,
destacamos três: tentativa de ensaio e erro, aprendizagem do processo e
autorregulação.
Os alunos Adriano, Márcia e Marcos utilizaram a estratégia tentativa de
ensaio e erro, não conseguindo utilizar as propostas do OA, de forma a desenvolver
um crescimento cognitivo. Ou seja, eles ficaram na mente 1 (ideia descrita no
terceiro capítulo).
131
A aluna Natália já exibe uma autorregulação dos seus processos, uma vez
que usou o OA para revisitar conceitos geométricos já estudados na resolução dos
problemas.
A aluna Leila apresentou desenvolvimento bastante interessante ao usar o
OA. Identificamos que ela percorreu essas três estratégias destacadas, utilizando,
inicialmente, tentativas de ensaio e erro na resolução do problema. Em seguida, ela
passou a aprender o processo de modelagem da função utilizando as ajudas
constantes no OA e exibiu uma autorregulação quando consultou os links sobre os
conceitos de cálculo, assimilando e acomodando esse conhecimento às suas
estruturas cognitivas.
Assim, entendemos que o uso do Objeto de Aprendizagem permitiu avanços
desses alunos em relação ao seu processo de aprender, evidenciando um resultado
positivo em relação à proposta de um instrumento desenhado com o objetivo de
incentivar a aprendizagem autorregulada em Cálculo.
132
8. CONSIDERAÇÕES FINAIS
A presente pesquisa apresenta as contribuições relacionadas à elaboração e
ao uso de um Objeto de Aprendizagem no processo de aprender a aprender,
processo esse que envolveu a resolução de problemas de otimização que
necessitam de conceitos geométricos.
Para isso, analisamos como esses conceitos geométricos são abordados em
dois livros de cálculo e, posteriormente, em dois livros utilizados nas disciplinas de
pré-cálculo. Constatamos que a atenção dada a esses conceitos não é suficiente.
Realizamos também o levantamento de algumas dissertações que tinham como foco
o ensino de derivada. A análise dessas dissertações confirmou a pouca atenção
dada às relações geométricas necessárias ao modelamento da função. A aplicação
dos problemas propostos em nosso Objeto de Aprendizagem também nos
possibilitou perceber dificuldades no uso adequado das propriedades geométricas
no modelamento da função que deveria ser otimizada. Tal fato acaba gerando uma
situação preocupante. Como essas relações existentes entre geometria e cálculo
não são explicitadas, temos um cenário em que os alunos, provavelmente, não se
preocupam em revisitar esses conceitos, quando necessário. Em consequência,
percebemos essa grande defasagem na resolução de simples problemas. Assim, se
ações direcionadas a esse “resgate da geometria” não forem concretizadas,
teremos, provavelmente, a continuação desse cenário.
Nossa pesquisa se restringe aos conceitos geométricos nos problemas de
máximo e mínimo. Como não identificamos esse enfoque nos problemas de
otimização, qual será, então, o destaque à geometria nas outras áreas do cálculo? A
análise das pesquisas sobre derivada evidenciou dificuldades de aprendizagem dos
alunos. Será que se, nesses estudos, fossem realizadas ações para trabalhar a
geometria, os alunos não apresentariam melhor aprendizado do cálculo?
Após a realização dessa pesquisa, continuamos a defender maior atenção
aos estudos de geometria euclidiana direcionados ao ensino de cálculo, no que diz
respeito aos problemas de otimização. Entendemos que esses estudos podem ser
ampliados, pois acreditamos que outras áreas do cálculo também necessitam de
conceitos de geometria.
133
Um professor que fundamenta suas aulas somente no material disponibilizado
em um desses livros que analisamos, e que, dessa forma, não delega maior atenção
à geometria e aos conceitos necessários para a compreensão de um determinado
conteúdo, contribui, certa forma, para um cenário de “abandono da geometria no
cálculo”.
Na tentativa de propor uma mudança nesse cenário, adotamos a estratégia
de enfatizar essa importância da geometria por meio da resolução de problemas de
otimização, tendo como ferramenta auxiliar um Objeto de Aprendizagem.
Desenvolvemos esse Objeto de Aprendizagem tendo como foco principal o destaque
à autorregulação. Para a proposta pedagógica desse OA, utilizamos como
referencial os estudos em metacognição e autorregulação da aprendizagem, que
nortearam todo o processo de construção do Objeto. Tais estudos também se
constituíram base para a identificação das estratégias que os alunos envolvidos na
pesquisa utilizaram para resolver os problemas propostos. As pesquisas de Flavell
(1979, 1987) e Frota (2002, 2004, 2009) nos levaram à compreensão do processo
de “aprender a aprender”, o que nos possibilitou a identificação desse processo, por
parte dos alunos, através do uso dos links disponibilizados no Objeto.
A elaboração do OA demandou uma atenção muito grande de nossa parte, de
forma a garantir que esse objeto efetivamente propiciasse um ambiente favorável à
autorregulação, bem como incentivasse revisitar os conceitos geométricos. Para
isso, realizamos estudos pilotos para, a partir de experimentações, identificar as
potencialidades e limitações do OA, chegando a uma estruturação adequada em
função dos objetivos pretendidos.
Na construção do OA, demos ênfase aos conceitos geométricos que
evidenciam a sua relação com os problemas de otimização.Os espaços que foram
disponibilizados no OA para a verificação dos resultados não são vistos como o fim
do processo em caso de um resultado negativo, pois permitem ao aluno verificar se
a solução do problema está correta ou não; e, caso, a solução não esteja correta, o
aluno não tem o uso do objeto finalizado, ele pode continuar utilizando os recursos
do objeto para rever suas ações podendo então identificar o seu erro. Como
pretendo estimular o desenvolvimento da autorregulação, entendo que, se
um aluno pode verificar sua resposta, ele perceberá que errou e assim
fará uma revisão de suas ações. Entram aqui os diversos links de ajuda
134
disponibilizados nesse OA. Seu uso apresenta as relações que consideramos
necessárias ao processo de resolução dos problemas propostos e, por isso,
contribuem para a autorregulação da aprendizagem. Vemos a possibilidade de uso
do OA como instrumento auxiliar nas aulas presenciais de cálculo, uma vez que sua
utilização pode possibilitar aos alunos o conhecimento e aprimoramento de suas
estratégias
na
resolução
dos
problemas
de
otimização
que
demandam
envolve
constantes
conhecimentos geométricos.
A
construção de
um
Objeto de
Aprendizagem
reformulações. Assim, entendemos que o OA pode ser ampliado, oferecendo uma
estrutura que dê suporte a uma quantidade maior de exercícios de otimização.
As observações resultantes do uso do OA, realizadas no estudo principal de
nossa pesquisa, evidenciam a necessidade de reformulações na parte destinada às
ajudas em cálculo de forma a torná-la mais dinâmica, agregando estratégias de
comunicação diferentes das apresentadas nos livros. A estruturação dinâmica em
Cálculo permite uma melhor interação dos alunos ao consultar um conteúdo. Como
no caso apresentado, a interação com o OA proporcionou uma melhor
aprendizagem.
Outra área que necessita de reformulação está no diálogo estabelecido com a
obtenção de modelos algébricos a partir das propriedades das figuras geométricas.
Em relação aos conhecimentos em geometria para a modelagem da função,
percebemos que os alunos, em sua maioria, não conseguiram identificar como
proceder nesse processo de modelamento. Maiores estudos sobre modelagem
precisam ser realizados, de forma a integrar as propostas que melhor orientem os
alunos no processo de modelamento da função.
Um dos pontos mais importantes da nossa pesquisa está relacionado à
estruturação dinâmica dos tópicos de ajuda, o que possibilitou uma maior interação
dos alunos com o OA, acarretando, assim, na compreensão dos conceitos
geométricos
abordados
no
objeto.
Percebemos
que
o
OA
estimula
o
desenvolvimento da autorregulação dos alunos no processo de aprendizagem, uma
vez que, mesmo encontrando a solução do problema por tentativa e erro, os quatro
primeiros alunos analisados, cujos estudos de caso são relatados no capítulo
anterior, não passaram para a resolução do segundo problema; eles continuaram
instigados a destinar sua atenção no uso do OA para o primeiro problema,
evidenciando uma estratégia metacognitiva. Chama a atenção o caso da aluna Leila.
135
Essa aluna apresentou, inicialmente, uma postura limitada na tentativa de encontrar
a resposta do problema, por meio da estratégia de tentativa e erro. Sua interação
com o objeto permitiu que mudasse de postura, chegando, assim, à autorregulação
do seu processo de aprendizagem.
Realizar esse trabalho compreendeu uma etapa importante em minha
formação acadêmica, pois foi possível perceber que muitos conhecimentos
adquiridos desde a graduação foram utilizados na elaboração do OA.
Criar um Objeto de Aprendizagem foi um trabalho bastante árduo, mas
gratificante. Os processos envolvidos na construção desse objeto ampliaram minha
visão sobre o uso dos recursos computacionais e das TIC no ensino, bem como de
que forma os OAs devem ser explorados, levando os alunos a uma maior interação
com os seus vários componentes.
Como professor da disciplina de geometria, vejo, hoje, a necessidade de rever
alguns pontos em minha prática, tais como uma maior utilização dos recursos da
geometria dinâmica e estimulação dos alunos na elaboração de applets, identifico
também a necessidade de estimular os alunos a estabelecerem conexões entre a
geometria e outros conteúdos matemáticos, mostrando como eles podem modelar
problemas a partir das relações geométricas das figuras.
Como professor da disciplina de Cálculo, vejo que os recursos da informática,
utilizados de maneira mais interativa e reflexiva, podem ampliar a visão do aluno,
permitindo melhor compreensão dos conceitos. É necessário estar atento aos
conceitos prévios necessários ao andamento dos cursos que ministro, uma vez que
os alunos podem não tê-los compreendido satisfatoriamente.
Os imprevistos decorrentes no desenvolvimento de nossa pesquisa limitaram
a continuidade do trabalho com os alunos. Se um primeiro contato com o OA
permitiu tantas reflexões sobre as possibilidades desse desenvolvimento da
autorregulação, o que outros encontros não fariam?
Assim, esse estudo abre a possibilidade para novas questões:
• Como
o
abandono
da
Geometria
Euclidiana
tem
comprometido
a
aprendizagem de cálculo e como reverter esse quadro?
• Além da geometria, que outros conceitos matemáticos podem ser relevantes
na modelagem de problemas de cálculo?
• Interações entre Geometria e Cálculo, mediadas por um Objeto de
Aprendizagem, podem potencializar a aprendizagem do aluno, melhorando
136
suas estratégias de solução na resolução de outros problemas em cálculo,
envolvendo, por exemplo, taxas de variação ou o cálculo de áreas e volumes
por meio de integrais?
Percebo, ao finalizar este trabalho, que um professor deve sempre estar
aberto a mudanças, sempre pronto a adquirir novos conhecimentos e a assumir
novas posturas, reformulando sempre a sua prática.
137
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Educação Matemática) - Universidade Estadual Paulista, Rio Claro.
142
APÊNDICE A – Questionário aplicado aos alunos
Nome: ________________________________________________________
1) Você conseguiu resolver os problemas?
Problema 1 ( ) SIM ( ) NÃO
Problema 2 ( ) SIM ( ) NÃO
Problema 3 ( ) SIM ( ) NÃO
2) Nesta atividade, você pode resolver dois problemas de otimização tendo,
como auxílio, um Objeto de Aprendizagem estruturado para esse fim, assim
como resolver outro problema sem esse tipo de auxílio. Na sua opinião:
(
(
) O objeto NÃO contribuiu para me ajudar a resolver os problemas.
) O objeto CONTRIBUIU, ajudando-me resolver os problemas.
3) Em uma escala de zero a dez, avalie os seguintes itens:
a)
b)
c)
d)
Ajuda para compreender o texto do problema: _______
Ajuda em geometria: _______
Ajuda em cálculo: ________
Estrutura global do objeto: ______
4) Para você, a navegabilidade no site foi feita:
a) (
b) (
c) (
d) (
) Com dificuldade
) Sem dificuldade
) Com naturalidade
) Outros ___________________________________________________
5) Em relação aos problemas propostos, você os classificaria como:
Problema 1 ( ) muito fácil ( ) fácil ( ) médio ( ) difícil ( ) muito difícil
Problema 2 ( ) muito fácil ( ) fácil ( ) médio ( ) difícil ( ) muito difícil
Problema 3 ( ) muito fácil ( ) fácil ( ) médio ( ) difícil ( ) muito difícil
6) Após a utilização desse Objeto de Aprendizagem, sua motivação em relação
ao ensino de cálculo diferencial e integral:
( ) Aumentou
( ) Diminuiu ( ) Não mudou
7) Se desejar, descreva sua opinião sobre o ambiente.
143
ANEXO A – Relatório de Acompanhamento Leila
Encontrado 39 respostas
Resultado do teste: Compreendendo o Texto - Data: 11/05/2009 - horário:
21:16:07
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Resultado do teste: Compreendendo o Texto - Data: 11/05/2009 - horário:
21:23:17
• colocar o retângulo dentro do triangulo
• encontrar os lados maiores do retângulo assim sua area sera
maior
• não tenho a mínima ideia
Resultado do teste: Triângulo Semelhança - Data: 11/05/2009 - horário:
21:23:46
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Resultado do teste: Verificou Base - Data: 11/05/2009 - horário: 21:35:40
• 0,86
Resultado do teste: Verificou Altura - Data: 11/05/2009 - horário: 21:35:45
• 2.85
Resultado do teste: Verificou Altura - Data: 11/05/2009 - horário: 21:36:02
• 2.85
Resultado do teste: Verificou Base - Data: 11/05/2009 - horário: 21:37:47
• 1,53
Resultado do teste: Verificou Base - Data: 11/05/2009 - horário: 21:37:55
• 1,50
Resultado do teste: Verificou Altura - Data: 11/05/2009 - horário: 21:38:12
• 2,47
Resultado do teste: Verificou Altura - Data: 11/05/2009 - horário: 21:38:21
144
• 2,00
Resultado do teste: Verificou Base - Data: 11/05/2009 - horário: 21:38:27
• 1,50
Resultado do teste: Verificou Base - Data: 11/05/2009 - horário: 21:38:59
• 3
Resultado do teste: Como escrever a função - Data: 11/05/2009 - horário:
21:39:29
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Resultado do teste: Triângulo Semelhança - Data: 11/05/2009 - horário:
21:39:58
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Resultado do teste: Verificou Altura - Data: 11/05/2009 - horário: 21:43:40
• 3
Resultado do teste: Verificou Altura - Data: 11/05/2009 - horário: 21:43:57
• 2
Resultado do teste: Verificou Altura - Data: 11/05/2009 - horário: 21:44:16
• 3
Resultado do teste: Verificou Base - Data: 11/05/2009 - horário: 21:44:25
• 1,5
Resultado do teste: Triângulo Semelhança - Data: 11/05/2009 - horário:
21:45:00
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Resultado do teste: Problema Modelagem - Data: 11/05/2009 - horário:
21:51:34
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Resultado do teste: Triângulo Semelhança - Data: 11/05/2009 - horário:
21:53:46
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145
Resultado do teste: Problema Modelagem - Data: 11/05/2009 - horário:
21:55:54
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Resultado do teste: Triângulo Semelhança - Data: 11/05/2009 - horário:
21:56:36
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Resultado do teste: Problema Modelagem - Data: 11/05/2009 - horário:
21:58:24
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Resultado do teste: Como escrever a função - Data: 11/05/2009 - horário:
22:00:51
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Resultado do teste: Testou fórmula - Data: 11/05/2009 - horário: 22:01:32
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Resultado do teste: Testou fórmula - Data: 11/05/2009 - horário: 22:02:00
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Resultado do teste: Testou fórmula - Data: 11/05/2009 - horário: 22:03:03
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Resultado do teste: Verificação Máximo e Mínimo - Data: 11/05/2009 - horário:
22:06:15
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Resultado do teste: Teoremas - Data: 11/05/2009 - horário: 22:06:54
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Resultado do teste: Pontos Máximo e Mínimo - Data: 11/05/2009 - horário:
22:07:03
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Resultado do teste: Definição de Derivada - Data: 11/05/2009 - horário:
22:13:47
146
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Resultado do teste: Derivada da Potência - Data: 11/05/2009 - horário:
22:14:44
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Resultado do teste: Pontos Máximo e Mínimo - Data: 11/05/2009 - horário:
22:15:46
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Resultado do teste: Número Crítico - Data: 11/05/2009 - horário: 22:15:48
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Resultado do teste: Definição de Derivada - Data: 11/05/2009 - horário:
22:16:03
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Resultado do teste: Derivada da Potência - Data: 11/05/2009 - horário:
22:18:01
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Resultado do teste: Verificação Máximo e Mínimo - Data: 11/05/2009 - horário:
22:19:23
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Resultado do teste: Verificação Máximo e Mínimo - Data: 11/05/2009 - horário:
22:24:45
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