UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
PAULO CÉSAR FREIRE
UMA JORNADA POR DIFERENTES MUNDOS DA MATEMÁTICA
INVESTIGANDO OS NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA
FRACIONÁRIA
SÃO PAULO
2011
PAULO CÉSAR FREIRE
MESTRADO EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
UMA JORNADA POR DIFERENTES MUNDOS DA MATEMÁTICA
INVESTIGANDO OS NÚMEROS RACIONAIS NA FORMA
FRACIONÁRIA
Dissertação apresentada como exigência
parcial
à
Banca
Examinadora
da
Universidade Bandeirante de São Paulo –
UNIBAN, para obtenção do título de
MESTRE em Educação Matemática, sob
a
orientação
da
Professora
Rosana Nogueira de Lima.
SÃO PAULO
2011
Doutora
UNIVERSIDADE BANDEIRANTE DE SÃO PAULO
Paulo César Freire
Uma Jornada por Diferentes Mundos da Matemática Investigando
os Números Racionais na Forma Fracionária
Dissertação apresentada como requisito parcial para obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, na Universidade Bandeirante de São Paulo – UNIBAN, à
seguinte banca examinadora:
Profa. Dra. Rosana Nogueira de Lima (Orientadora)
Doutorado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
(PUC/SP) em 2007.
__________________________________________________________________
Profa. Dra. Márcia Maria Fusaro Pinto (Membro Titular Externo - UFRJ)
Doutorado em Educação Matemática pela University of Warwick em 1998.
Profa. Dra. Angélica Garcia da Silva (Membro Titular Interno – UNIBAN)
Doutorado em Educação Matemática pela Pontifícia Universidade Católica de São Paulo
(PUC/SP) em 2007.
UNIBAN
SÃO PAULO
2011
Dedico esse trabalho a todos os
profissionais da educação que
exercem a profissão com amor
AGRADECIMENTOS
À Deus, por ter colocado na minha vida pessoas especiais que possibilitaram
momentos como este.
À Professora Rosana, pela enorme dedicação e pelo profissionalismo com que me
orientou neste trabalho, preocupando-se antes de tudo em ensinar.
Às professoras Angélica e Márcia, membros da banca de qualificação, pelas
enormes contribuições a este trabalho.
Aos meus pais, Sebastião e Iracema, pelo apoio e incentivo incondicionais, e por
terem me ensinado que vale a pena estudar.
A minha esposa e ao meu filho, Samantha e Mateus, pelo apoio e pela paciência
que tiveram durante essa jornada.
A minha família e amigos que sempre torceram por mim.
A todos os professores do curso, pelo apoio, incentivo e contribuição ao trabalho, em
especial aos professores Alessandro, Angélica, Lulu e Vera.
Aos colegas do curso, companheiros de todas as horas, Cátia, Dario, Leonardo,
Marcelo, Norberto, Olga e Rosineide.
Aos “irmãos” Josias e Rosangela e a Rosana, pelo imenso carinho que me
dedicaram e pelo apoio nas horas em que as coisas pareciam que não iam dar
certo.
Ao Josias Badaró, pelas longas conversas, pelo incentivo e pela ajuda na coleta de
dados.
Aos amigos Cristiano e Edith, pelo apoio na pesquisa e pelas longas conversas,
fazendo sacrifícios profissionais para dar esse apoio.
Ao meu grande amigo Cláudio Guerrero, pelas traduções e incentivos e à Maria, sua
esposa, pelos vários cafezinhos, amigos para todas as horas.
Aos meus colegas de trabalho, em especial aos professores Cristiano, Lucia, Edith,
Kátia, Monica, Najla e João Tomaz e as minhas Diretoras Maria Cecília e Ana de
Liso, pela paciência e incentivos.
“Pesquisar é ver o que outros viram, e
pensar o que nenhum outro pensou.”
(Albert Szent-Gyorgyi)
RESUMO
A finalidade da pesquisa que realizamos foi a de verificar quais mudanças de
raciocínio de alunos de 5ª série sobre números racionais na forma fracionária foram
acarretadas pelo estudo desse conteúdo nessa série. Para isso, elaboramos um
questionário, contendo treze questões, envolvendo seis subconstrutos dos números
racionais na forma fracionária: parte-todo, quociente, operador, medida, razão e
probabilidade; e considerando o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática.
Esse questionário foi aplicado a duas turmas de 5ª série em uma escola pública
estadual situada na Zona Sul da cidade de São Paulo, num total de 41 alunos. A
coleta de dados foi efetuada em três fases: na primeira fase, aplicamos o
questionário aos alunos, no início do ano letivo, antes de efetivamente iniciar-se a
aprendizagem do conteúdo destinada à 5ª série. Na segunda fase, reaplicamos o
mesmo questionário, aos mesmos alunos, logo após ter sido ensinado o conteúdo
dos números na forma fracionária na referida série. Na terceira fase, foram
realizadas entrevistas com seis desses alunos, para procurarmos entender o
raciocínio feito pelo aluno ao elaborar aquele tipo de resposta. Essas entrevistas
foram realizadas após o levantamento das características de cada um dos Três
Mundos da Matemática apresentadas pelos alunos nas respostas para as questões
do questionário. Foram, também, feitas entrevistas com os professores das duas
turmas para sabermos quais das questões do questionário eram familiares aos
alunos. A análise dos dados coletados foi elaborada à luz do quadro teórico dos Três
Mundos da Matemática, e os resultados obtidos indicam que muitos dos alunos que,
antes de estudarem o conteúdo na 5ª série, utilizavam características do mundo
corporificado, depois da aprendizagem do conteúdo na referida série passaram a
utilizar características do mundo simbólico. Essa mudança não nos pareceu positiva,
pois a maioria dos alunos que conseguia acertar ou pelo menos desenvolver um
raciocínio válido utilizando características do mundo corporificado, não foi bem
sucedido ao utilizar características do mundo simbólico.
Palavras-chave: Educação Matemática, Número Racional na Forma Fracionária,
Três Mundos da Matemática, Imagem de Conceito, “Já-encontrado”; “A-encontrar”.
ABSTRACT
The purpose of the research study we conducted was to verify what changes in
reasoning 5th grade students had by studying rational numbers in fractional form in
this grade. For such, we developed a questionnaire, with thirteen questions, involving
six subconstructs of rational numbers in fractional form: part-whole, quotient,
operator, measurement, ratio and probability; and considering the theoretical
framework of the Three Worlds of Mathematics. This questionnaire was administered
to two 5th grade groups, 41 students, in a public school located in the southern area
of São Paulo. The data collection was carried out in three phases: in the first phase,
we administered the questionnaire to the students at the beginning of the school
year, before starting the actual teaching of 5th grade contents. In the second phase,
we re-administered the same questionnaire to the same students, right after the
content on numbers in fractional form was taught in this grade. In the third phase, six
of these students were interviewed in order to understand their reasoning in
developing that kind of responses. These interviews were conducted after we had
raised the characteristics of each of the Three Worlds of Mathematics presented by
students in their responses to the questions in the questionnaire. We also
interviewed those two groups‟ teachers in order to know which of the questions in the
questionnaire were familiar to these students. The analysis of collected data was
carried out in the light of the theoretical framework of the Three Worlds of
Mathematics, and results show that many of the students, who used characteristics
of the embodied world before studying the 5th grade contents, started using
characteristics of the symbolic world after learning this grade contents. This change
seemed not to be a positive one, since most students who gave correct answers or at
least developed a valid reasoning by using characteristics of the embodied world,
were not successful when using symbolic world.
Keywords: Mathematics Education, Rational Number in Fractional Form, Three
Worlds of Mathematics, Concept Image, "Met-Before"; "Met-After”.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Exemplo de uma questão apresentada na prova do SARESP ________ 16
Figura 2: Figura geométrica plana dividida em partes de mesma área __________ 34
Figura 3: Figura geométrica plana dividida em partes de mesma área e tendo três
partes pintadas _____________________________________________________ 34
Figura 4: Classificação dos números racionais na forma fracionária, juntamente com
o subconstruto probabilidade (adaptado de BEHR et al., 1983, p.10, tradução nossa)
__________________________________________________________________ 42
Figura 5: Figura geométrica plana dividida em partes de mesma área e destacadas
duas partes ________________________________________________________ 44
Figura 6: Conjunto de bolinhas de gude representando quantidade discreta _____ 44
Figura 7: Posicionamento de números na reta real _________________________ 46
Figura 8: Figura geométrica plana dividida cinco em partes de mesma área _____ 48
Figura 9: Figura geométrica plana dividida em cinco partes de mesma área, com três
partes pintadas _____________________________________________________ 48
Figura 10: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado
no subconstruto razão ________________________________________________ 50
Figura 11: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado
no subconstruto operador _____________________________________________ 52
Figura 12: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado
no subconstruto quociente ____________________________________________ 54
Figura 13: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado
no subconstruto medida ______________________________________________ 56
Figura 14: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado
no subconstruto probabilidade _________________________________________ 57
Figura 15: Questão 1 do questionário de coleta de dados ____________________ 62
Figura 16: Questão 2 do questionário de coleta de dados ____________________ 62
Figura 17: Questão 3 do questionário de coleta de dados ____________________ 63
Figura 18: Questão 4 do questionário de coleta de dados ____________________ 64
Figura 19: Questão 5 do questionário de coleta de dados ____________________ 64
Figura 20: Questão 6 do questionário de coleta de dados ____________________ 65
Figura 21: Questão 7 do questionário de coleta de dados ____________________ 66
Figura 22: Questão 8 do questionário de coleta de dados ____________________ 66
Figura 23: Questão 9 do questionário de coleta de dados ____________________ 67
Figura 24: Questão 10 do questionário de coleta de dados ___________________ 68
Figura 25: Questão 11 do questionário de coleta de dados ___________________ 69
Figura 26: Questão 12 do questionário de coleta de dados ___________________ 70
Figura 27: Questão 13 do questionário de coleta de dados ___________________ 70
Figura 28: Resposta do aluno (9A) para a Questão 1 na primeira coleta ________ 82
Figura 29: Resposta do aluno (1A) para a Questão 1 na primeira coleta ________ 83
Figura 30: Resposta do aluno (5B) para a Questão 1 na primeira coleta ________ 83
Figura 31: Resposta do aluno (21B) para a Questão 1 na primeira coleta _______ 84
Figura 32: Resposta do aluno (11A) para a Questão 1 na primeira coleta _______ 84
Figura 33: Resposta do aluno (12A) para a Questão 1 na segunda coleta ______ 85
Figura 34: Resposta do aluno (14A) para a Questão 3 na primeira coleta _______ 91
Figura 35: Resposta do aluno (6A) para a Questão 3 na primeira coleta ________ 91
Figura 36: Resposta do aluno (19B) para a Questão 3 na segunda coleta _______ 92
Figura 37: Resposta do aluno (1A) para a Questão 3 na primeira coleta ________ 92
Figura 38: Resposta do aluno (17A) para a Questão 3 na primeira coleta _______ 93
Figura 39: Resposta do aluno (6A) para a Questão 12 na primeira coleta _______ 98
Figura 40: Resposta do aluno (17B) para a Questão 12 na primeira coleta ______ 98
Figura 41: Resposta do aluno (19B) para a Questão 12 na primeira coleta ______ 99
Figura 42: Resposta do aluno (15A) para a Questão 12 na primeira coleta ______ 99
Figura 43: Resposta do aluno (18A) para a Questão 12 na primeira coleta _____ 100
Figura 44: Resposta do aluno (12A) para a Questão 12 na primeira coleta _____ 100
Figura 45: Resposta do aluno (9A) para a Questão 13 na segunda coleta ______ 104
Figura 46: Resposta do aluno (18B) para a Questão 13 na primeira coleta _____ 104
Figura 47: Resposta do aluno (4B) para a Questão 13 na primeira coleta ______ 105
Figura 48: Resposta do aluno (12A) para a Questão 13 na primeira coleta _____ 105
Figura 49: Resposta do aluno (1A) para a Questão 13 na primeira coleta ______ 106
Figura 50: Resposta do aluno (18A) para a Questão 13 na segunda coleta _____ 107
Figura 51: Resposta do aluno (6B) para a Questão 4 na segunda coleta _______ 111
Figura 52: Resposta do aluno (11A) para a Questão 4 na primeira coleta ______ 112
Figura 53: Resposta do aluno (13B) para a Questão 4 na primeira coleta ______ 112
Figura 54: Resposta do aluno (9A) para a Questão 4 na primeira coleta _______ 113
Figura 55: Resposta do aluno (4B) para a Questão 4 na primeira coleta _______ 114
Figura 56: Resposta do aluno (12A) para a Questão 4 na primeira coleta ______ 114
Figura 57: Resposta do aluno (11B) para a Questão 4 na primeira coleta ______ 116
Figura 58: Resposta do aluno (11B) para a Questão 4 na segunda coleta ______ 116
Figura 59: Resposta do aluno (11B) para a Questão 11 na primeira coleta _____ 118
Figura 60: Resposta do aluno (10A) para a Questão 11 na primeira coleta _____ 118
Figura 61: Resposta do aluno (7A) para a Questão 11 na primeira coleta ______ 119
Figura 62: Resposta do aluno (15A) para a Questão 11 na primeira coleta _____ 120
Figura 63: Resposta do aluno (17B) para a Questão 6 na segunda coleta ______ 126
Figura 64: Resposta do aluno (11A) para a Questão 6 na primeira coleta ______ 127
Figura 65: Resposta do aluno (17B) para a Questão 6 na primeira coleta ______ 128
Figura 66: Resposta do aluno (9A) para a Questão 6 na primeira coleta _______ 129
Figura 67: Resposta do aluno (17B) para a Questão 8 na primeira coleta ______ 133
Figura 68: Resposta do aluno (1A) para a Questão 8 na segunda coleta _______ 133
Figura 69: Resposta do aluno (6B) para a Questão 8 na primeira coleta _______ 134
Figura 70: Resposta do aluno (11B) para a Questão 8 na primeira coleta ______ 135
Figura 71: Resposta do aluno (1A) para a Questão 8 na primeira coleta _______ 135
Figura 72: Resposta do aluno (3B) para a Questão 8 na segunda coleta _______ 136
Figura 73: Resposta do aluno (20B) para a Questão 8 na segunda coleta ______ 138
Figura 74: Resposta do aluno (7A) para a Questão 2 na primeira coleta _______ 140
Figura 75: Destaque da resposta do aluno (7A) para a Questão 2 ____________ 141
Figura 76: Destaque da resposta do aluno (7A) para a Questão 2 ____________ 141
Figura 77: Resposta do aluno (6A) para a Questão 2 na primeira coleta _______ 142
Figura 78: Resposta do aluno (7A) para a Questão 2 na segunda coleta _______ 142
Figura 79: Resposta do aluno (8B) para a Questão 2 na primeira coleta _______ 142
Figura 80: Resposta do aluno (11B) para a Questão 2 na primeira coleta ______ 143
Figura 81: Resposta do aluno (15B) para a Questão 2 na primeira coleta ______ 144
Figura 82: Resposta do aluno (20B) para a Questão 2 na primeira coleta ______ 144
Figura 83: Resposta do aluno (19A) para a Questão 2 na primeira coleta ______ 145
Figura 84: Resposta do aluno (7A) para a Questão 2 na primeira coleta _______ 146
Figura 85: Resposta do aluno (7A) para a Questão 2 na segunda coleta _______ 146
Figura 86: Resposta do aluno (13B) para a Questão 2 na primeira coleta ______ 147
Figura 87: Resposta do aluno (13B) para a Questão 2 na segunda coleta ______ 148
Figura 88: Resposta do aluno (11A) para a Questão 10 na primeira coleta _____ 150
Figura 89: Resposta do aluno (17B) para a Questão 10 na primeira coleta _____ 151
Figura 90: Resposta do aluno (1A) para a Questão 10 na primeira coleta ______ 151
Figura 91: Resposta do aluno (16A) para a Questão 10 na primeira coleta _____ 152
Figura 92: Resposta do aluno (9A) para a Questão 10 na primeira coleta ______ 152
Figura 93: Resposta do aluno (16A) para a Questão 10 na primeira coleta _____ 154
Figura 94: Resposta do aluno (16A) para a Questão 10 na segunda coleta _____ 155
Figura 95: Resposta do aluno (1A) para a Questão 10 na primeira coleta ______ 156
Figura 96: Resposta do aluno (1A) para a Questão 10 na segunda coleta ______ 156
Figura 97: Resposta do aluno (4A) para a Questão 7 na primeira coleta _______ 159
Figura 98: Resposta do aluno (9A) para a Questão 7 na primeira coleta _______ 159
Figura 99: Resposta do aluno (1A) para a Questão 7 na primeira coleta _______ 160
Figura 100: Resposta do aluno (1A) para a Questão 7 na primeira coleta ______ 161
Figura 101: Resposta do aluno (1A) para a Questão 7 na segunda coleta ______ 161
Figura 102: Resposta do aluno (7A) para a Questão 9 na primeira coleta ______ 163
Figura 103: Resposta do aluno (1A) para a Questão 9 na primeira coleta ______ 163
Figura 104: Resposta do aluno (11B) para a Questão 9 na primeira coleta _____ 164
Figura 105: Resposta do aluno (16B) para a Questão 9 na primeira coleta _____ 165
Figura 106: Resposta do aluno (11A) para a Questão 9 na primeira coleta _____ 165
Figura 107: Resposta do aluno (17B) para a Questão 5 na primeira coleta _____ 170
Figura 108: Resposta do aluno (12A) para a Questão 5 na primeira coleta _____ 170
Figura 109: Resposta do aluno (9A) para a Questão 5 na primeira coleta ______ 171
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Índice de acertos, por subconstrutos, dos alunos nas pesquisas ______ 32
Tabela 2: Características dos mundos e subconstrutos envolvidos nas questões _ 61
Tabela 3: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 1 ____________ 81
Tabela 4: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 3 ____________ 90
Tabela 5: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 12 ___________ 97
Tabela 6: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 13 __________ 103
Tabela 7: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 4 ___________ 110
Tabela 8: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 11 __________ 117
Tabela 9: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 6 ___________ 126
Tabela 10: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 8 __________ 132
Tabela 11: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 2 __________ 140
Tabela 12: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 2 __________ 149
Tabela 13: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 7 __________ 158
Tabela 14: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 9 __________ 162
Tabela 15: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 5 __________ 169
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO _____________________________________________________ 15
CAPITULO 1: REVISÃO DE LITERATURA _______________________________ 20
Apresentação das classificações dos números racionais ___________________ 20
Pesquisas sobre ensino e aprendizagem dos números racionais na forma
fracionária _______________________________________________________ 24
CAPITULO 2: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA _____________________________ 33
Os Três Mundos da Matemática ______________________________________ 33
“Já-encontrados” e “a-encontrar” ______________________________________ 37
Classificação de números racionais na forma fracionária a ser usada nesta
pesquisa _________________________________________________________ 41
Relação entre os Três Mundos da Matemática e os seis subconstrutos _______ 47
CAPÍTULO 3: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS _____________________ 60
Descrição do questionário de coleta de dados ___________________________ 61
Entrevista semi-estruturada com o aluno _______________________________ 74
Entrevista semi-estruturada com o professor ____________________________ 74
Entrevistas com os Professores ________________________________________ 76
CAPITULO 4: ANÁLISE DOS DADOS ___________________________________ 80
Questões envolvendo o subconstruto parte-todo _________________________ 81
Análise das respostas para a Questão 1 ______________________________ 81
Análise das respostas para a Questão 3 ______________________________ 90
Análise das respostas para a Questão 12 _____________________________ 96
Análise das respostas para a Questão 13 ____________________________ 103
Questões envolvendo o subconstruto razão ____________________________ 110
Análise das respostas para a Questão 4 _____________________________ 110
Análise das respostas para a Questão 11 ____________________________ 117
Questões envolvendo o subconstruto operador _________________________ 125
Análise das respostas para a Questão 6 _____________________________ 125
Análise das respostas para a Questão 8 _____________________________ 131
Questões envolvendo o subconstruto quociente _________________________ 139
Análise das respostas para a Questão 2 _____________________________ 139
Análise das respostas para a Questão 10 ____________________________ 149
Questões envolvendo o subconstruto medida __________________________ 157
Análise das respostas para a Questão 7 _____________________________ 157
Análise das respostas para a Questão 9 _____________________________ 162
Questões envolvendo o subconstruto probabilidade ______________________ 168
Análise das respostas para a Questão 5 _____________________________ 168
CONCLUSÃO _____________________________________________________ 174
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ____________________________________ 185
APÊNDICE 1 ______________________________________________________ 188
Questionário de coleta de dados _____________________________________ 188
APÊNDICE 2 ______________________________________________________ 193
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido ___________________________ 193
15
INTRODUÇÃO
A preocupação com questões relacionadas ao ensino e à aprendizagem de
Matemática esteve presente em toda minha1 vivência profissional. Lecionando
Matemática nas séries finais do ensino fundamental, observei que a escola em que
trabalho recebe alunos, para matrícula na 5ª série do ensino fundamental, que
apresentam
diferentes
níveis
de
dificuldades
envolvendo
conhecimentos
matemáticos. Constatei, também, o quanto algumas deficiências dificultam o
aprendizado nas séries que leciono, daí a motivação para pesquisar os fatores que
podem interferir na aprendizagem de Matemática.
Como foco de estudo, utilizaremos os números racionais na forma fracionária. A
escolha do tópico deve-se ao fato de que o trabalho escolar com este tema inicia-se,
em geral, nas séries iniciais do ensino fundamental (3ª e 4ª séries), é retomado nas
duas séries subseqüentes (5ª e 6ª séries) de forma mais sistemática, e revisto em
diferentes momentos nas demais séries dos ensinos fundamental e médio.
Ao trabalhar com os números racionais, os alunos acabam tendo que enfrentar
vários problemas de aprendizagem, como, por exemplo, a idéia de que cada número
racional pode ser representado por diferentes escritas fracionárias. Tal fato pudemos
comprovar observando os resultados obtidos nas últimas versões divulgadas do
Sistema de Avaliação de Rendimento do Estado de São Paulo (SARESP 2005, 2007
e 2008)2.
Para exemplificar, na prova SARESP 2008, resolver uma das questões que
envolveu números racionais na forma fracionária para avaliar a habilidade de fazer
1
2
O texto aparece na primeira pessoa do singular quando tratar da minha própria experiência
profissional
SARESP é o sistema de avaliação da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo – SEE/SP.
Segundo o projeto de criação desta avaliação, o SARESP tem por objetivo obter indicadores
educacionais que possam subsidiar a elaboração de propostas de intervenção técnico-pedagógica no
sistema de ensino, visando a melhorar a sua qualidade e a corrigir eventuais distorções detectadas.
Em Matemática, essa avaliação é feita a partir da aplicação de provas para medir o desempenho dos
alunos, constituída de questões objetivas envolvendo habilidades preestabelecidas tanto no Ensino
Fundamental (3.ª a 8.ª séries) quanto no Ensino Médio.
16
cálculos envolvendo adição e subtração desses números
numa situação
apresentada, os alunos da 6ª série obtiveram resultados considerados insatisfatórios
de acordo com a análise feita pelo SARESP. Por exemplo, na questão a seguir:
Figura 1: Exemplo de uma questão apresentada na prova do SARESP
3
Tal situação apresentou um índice muito baixo de acertos, 24%, fato que pode ser
agravado se observarmos que 60% dos alunos indicaram, nas respostas, frações
em quartos ou quintos; o que mostra que estes alunos provavelmente não fizeram a
redução dos números racionais na forma fracionária ao mesmo denominador.
No que se refere às questões relacionadas ao ensino da Matemática, consideramos
que o papel da pesquisa sobre a aprendizagem é de fundamental importância na
organização do trabalho pedagógico, principalmente na 5ª série, na qual há um
processo de adaptação. Nesta série, ocorre a mudança de um único professor da
classe para um professor para cada disciplina. Além disso, os professores têm um
tempo mais curto de permanência na sala de aula, aproximadamente 50 minutos
cada um.
Iniciando nossos estudos sobre as dificuldades dos alunos em lidar com números
racionais na forma fracionária, notamos que é necessária investigação sobre a
imagem de conceito (TALL; VINNER, 1981) que os alunos possuem e desenvolvem
durante o estudo do número racional na forma fracionária na 5ª série, dado o caráter
de transição que essa série representa para os alunos.
3
Fonte:itens da prova de matemática 6ª série EF:
http://saresp.edunet.sp.gov.br/2008/pdf/ItensProvas/MAT/Itens_Parametros_6EF_MAT.pdf
17
Assim, a presente pesquisa tem como objetivo verificar quais as mudanças de
raciocínio que os alunos tiveram depois de estudarem os números racionais na
forma fracionária na 5ª série. Tal análise será feita à luz do quadro teórico dos Três
Mundos da Matemática (TALL, 2004a, 2004b).
Para isso, procuraremos responder a questão de pesquisa; “Quais mudanças de
raciocínio de alunos de 5ª série sobre números racionais na forma fracionária foram
acarretadas pelo estudo desse conteúdo nessa série?
Por raciocínio estamos entendendo a maneira que o aluno resolve uma questão.
A fim de analisarmos as mudanças na maneira de resolução de algumas situações
envolvendo números racionais na forma fracionária, utilizadas por alunos de 5ªs
séries, antes e depois do aprendizado desse número nesta série, faremos uma
coleta de dados em uma escola pública estadual de ensino fundamental e médio
situada na capital paulista.
Para a coleta de dados, utilizamos um questionário, contendo questões sobre
números racionais na forma fracionária, elaborado à luz do quadro teórico dos Três
Mundos da Matemática e de seis subconstrutos, inspirados na classificação dos
números racionais na forma fracionária elaborada por Behr et al.(1983). O
questionário foi aplicado em dois momentos: no início do primeiro semestre de 2010,
a um grupo de 41 alunos cursando a 5ª série do ensino fundamental, e no início do
segundo semestre de 2010, aos mesmos alunos. Esses alunos pertencem a duas
turmas, com professores diferentes, que chamamos, para referência, 5ª série A e 5ª
série B. Após uma pré-análise dos questionários respondidos pelos alunos, fizemos
entrevistas com
deles para procurarmos entender os seus pensamentos ao
responderem as questões.
Também foi feita uma entrevista com os professores de Matemática desses alunos,
a fim de entendermos como foi fundamentado o ensino dos alunos das referidas 5ª
série A e 5ª série B sobre o conteúdo dos números racionais na forma fracionária.
Essa entrevista foi necessária para sabermos quais tipos de perguntas do
questionário são familiares aos alunos, isto é, se as dificuldades por eles
18
apresentadas não são, por exemplo, por não terem conhecimento do conteúdo
envolvido na questão.
Para a elaboração do questionário e para a análise dos dados, usamos um quadro
teórico novo, os Três Mundos da Matemática (TALL, 2004a, 2004b), que são o
Mundo Conceitual Corporificado, Mundo “Proceitual” Simbólico e Mundo Formal
Axiomático.
A escolha desse quadro teórico deve-se ao fato que entendemos que justamente na
passagem da 4ª para a 5ª série, observamos que há uma lacuna no entendimento
do aluno, dificultando a aprendizagem dos números racionais na forma fracionária.
Acreditamos que tal lacuna se dê pelo fato de o aluno deixar de aprender com
exemplos manipuláveis, pertencentes ao Mundo Conceitual Corporificado, e passar
a aprender efetuando ações com símbolos para representar conceitos, que
pertencem ao Mundo “Proceitual” Simbólico.
Para entendermos as dificuldades enfrentadas por alunos na aprendizagem do
conceito de número racional na forma fracionária, fizemos um estudo de trabalhos
de pesquisas envolvendo esse número. Tal estudo ocorreu com pesquisas que
envolviam o ensino e outras a aprendizagem desse número. Também nessas
pesquisas, observamos as classificações dos números racionais na forma fracionária
apresentadas por Kieren (1976;1988), Behr et al. (1983), Nunes et al. (2008) e
Romanatto (1997). Essa análise será apresentada no Capítulo 1: Revisão de
Literatura.
No Capítulo 2, Fundamentação Teórica, apresentamos o quadro teórico dos Três
Mundos da Matemática. Nesse capítulo ainda apresentamos a classificação dos
números racionais na forma fracionária que usamos para elaboração do questionário
e para a análise dos dados, contendo seis subconstrutos; parte-todo, quociente,
operador, medida, razão e probabilidade, e a definição de cada subconstruto; os “jáencontrados”; os “a-encontrar”; e imagem de conceito.
No Capítulo 3, Procedimentos Metodológicos, apresentamos os sujeitos dessa
pesquisa, a caracterização da unidade escolar onde ocorrerá a coleta de dados,
uma descrição do questionário e da entrevista utilizados na coleta de dados.
19
Também serão detalhados os procedimentos utilizados durante a coleta de dados e
as entrevistas.
No Capítulo 4, Análise dos Dados, apresentamos a análise dos dados
propriamente dita. Para isso, analisamos as respostas apresentadas pelos alunos na
resolução do questionário, analisando, principalmente, o modo de resolução
apresentado pelos alunos e as interferências dos “já-encontrados”, ”a-encontrar” e
mudanças de características dos Três Mundos da Matemática. Para isso, foram
elaborados quadros comparativos entre os questionários da primeira e da segunda
coleta de dados.
Para finalizar, apresentamos nossas conclusões das análises ocorridas durante a
execução desse trabalho. Para isso, voltamos a nosso objetivo e à questão de
pesquisa.
20
CAPITULO 1: REVISÃO DE LITERATURA
A revisão de literatura elaborada nesse trabalho justifica-se pela necessidade de
conhecermos estudos sobre os números racionais na forma fracionária, as
classificações desses números elaboradas por pesquisadores, bem como para a
elaboração do questionário de coleta de dados.
Foram elaboradas algumas classificações para os números racionais na forma
fracionária. Kieren (1976) foi o primeiro a elaborar uma classificação para esse
número, e o trabalho dele mostrou que são necessárias várias interpretações para a
compreensão do conceito dos números racionais. Depois de Kieren, outros
pesquisadores elaboraram classificações. Vamos, neste capítulo, apresentar as
classificações elaboradas por Kieren (1976, 1988), Behr, Richard, Post e Prata
(1983), Nunes, Bryant, Pretzlik, Bell, Evans e Wade (2008) e Romanatto (1997), com
o intuito de analisar os elementos dessas classificações, e como eles podem
contribuir com a nossa pesquisa.
Também apresentamos, neste capítulo, algumas pesquisas sobre o ensino e a
aprendizagem dos números racionais na forma fracionária, algumas das quais
serviram de suporte para a elaboração do nosso instrumento de coleta de dados.
Apresentação das classificações dos números racionais
Os números racionais na forma fracionária vêm sendo objeto de estudo de vários
pesquisadores. Desses estudos, surgiram algumas classificações desse número.
Kieren (1976) foi o primeiro a elaborar uma classificação dos números racionais,
que abrange sete subconstrutos: parte-todo, razão, taxa, quociente, coordenada
linear, decimal e operador.
O subconstruto parte-todo está associado à partição de uma quantidade contínua ou
um conjunto de objetos discretos. Este subconstruto, além de sua própria
21
interpretação, está diretamente ligado aos outros subconstrutos, e é considerado por
Kieren (1981), como um importante gerador de construção de linguagem.
O subconstruto razão do número racional expressa uma relação entre duas
quantidades, enquanto o subconstruto taxa define uma nova quantidade como uma
relação entre duas outras. O subconstruto quociente interpreta um número racional
como a operação de divisão, ou seja,
é interpretado como a ÷ b; e o subconstruto
coordenada linear é interpretado como pontos da reta real, ressaltando que os
números racionais na forma fracionária formam um conjunto numérico.
Por outro lado, o subconstruto operador impõe ao número racional uma função de
transformação, ou seja, gera uma nova quantidade. Por fim, o subconstruto decimal
do número racional enfatiza as propriedades associadas com os números na forma
fracionária com denominador sendo uma potência de 10.
Mais tarde, Kieren (1988) reelaborou sua classificação dos números racionais na
forma fracionária em quatro subconstrutos: medida, quociente, número proporcional
e operador. Esta classificação é diferente da anterior porque considera o
subconstruto medida (que não aparecia anteriormente) como sendo a divisão, em
partes iguais, de um objeto ou um conjunto de objetos; e o subconstruto número
proporcional como uma relação que sugere uma comparação entre duas
quantidades, aparentemente substituindo os subconstrutos razão e taxa. Os
subconstrutos quociente e operador não sofreram modificações.
A partir da classificação de Kieren (1976), Behr et al. (1983) elaboraram uma
classificação dos números racionais na forma fracionária em cinco subconstrutos
sendo: parte-todo, razão, operador, quociente e medida.
O subconstruto parte-todo, para os autores, assim como para Kieren (1976),
representa um conceito fundamental para o número racional na forma fracionária, e
também para o desenvolvimento do conceito. Além disso, por estar diretamente
ligado aos outros, é um ponto de partida para a aprendizagem que envolve os outros
subconstrutos. Pode-se definir o subconstruto parte-todo como uma situação em que
22
uma quantidade contínua4 ou uma quantidade discreta5 é dividida em partes iguais e
é representada com número de partes destacadas do objeto ou do conjunto e a
quantidade de partes em que o todo, objeto ou conjunto, foi dividido. Podemos
entender, a partir deste ponto de vista, que, nesse subconstruto, o numerador do
número racional na forma fracionária é menor ou igual ao denominador.
Subconstruto razão: nesse subconstruto, assim como para Kieren (1976), o número
racional na forma fracionária representa comparação entre duas quantidades,
portanto, é considerado índice comparativo. Nesse caso, a representação
está
associada à relação entre quantidades, em que lemos “a está para b”.
Para os autores, assim como para Kieren (1976), é característica do subconstruto
operador a ação do número fracionário
sobre uma quantidade, transformado-a, e,
assim, gerando uma nova quantidade. Essa “manipulação” pode ser entendida como
a atuação do operador fracionário que, ao agir em uma quantidade, a modifica,
produzindo um resultado final.
Subconstruto quociente: os autores, assim como Kieren (1976), definem esse
subconstruto como a distribuição de grandezas, na qual
representa uma divisão.
Existe, nesse subconstruto, a associação entre as representações, na qual a ação
de dividir “a” em “b” em partes iguais
é entendida com a ÷ b.
Subconstruto medida: diferentemente da classificação elaborada por Kieren (1976),
os autores entendem que o subconstruto medida representa duas situações. Em
uma, ele é considerado simplesmente como um número, o qual pode ser
representado no intervalo da reta real. Na outra situação, esse subconstruto é
4
As quantidades contínuas são aquelas divididas exaustivamente sem necessariamente perderem
suas características. (NUNES et al. 2003)
5
As quantidades discretas dizem respeito a um conjunto de objetos idênticos, que representa um
único todo, e o resultado da divisão deve produzir subconjuntos com o mesmo número de unidades
(NUNES et al. 2003)
23
associado à divisão de uma unidade de medida, podendo gerar novas unidades de
medida, como resultado da subdivisão, na divisão .
Em seguida à classificação de Behr et al. (1983), e com base nela e na de Kieren
(1976), outro grupo de pesquisadores trabalhou com a classificação dos números
racionais na forma fracionária. Em publicação recente, Nunes et al. (2008)
apresentam uma classificação dos números racionais na forma fracionária em quatro
significados: parte-todo, quociente, operador e medida.
Para Nunes et al. (2008), assim como para Kieren (1976) e Behr et al. (1983), o
significado parte-todo significa que um todo, quantidade discreta ou contínua, foi
dividido em partes iguais, sendo que o denominador representa o total de partes
iguais em que o todo foi dividido, e o numerador representa as partes do todo que
foram destacadas. Como Kieren (1976;1988) e Behr et al. (1983), Nunes et al.
(2008) definem que o significado quociente do número racional na forma fracionária
traz a operação de divisão. O numerador representa o total a ser dividido e o
denominador representa o número de beneficiários da divisão.
Também como Kieren (1976;1988) e Behr et al. (1983), os autores definem o
significado operador, como aquele em que o número racional na forma fracionária
modifica o todo, ou seja, o número
opera sobre uma quantidade, modificando-a.
Nesse significado, o numerador significa uma multiplicação e o denominador uma
divisão.
Já no significado medida, diferentemente das classificações de Kieren (1976;1988) e
Behr et al. (1983), para Nunes et al. (2008) o número racional na forma fracionária
traz a idéia de probabilidade ou de proporção. Nesse significado, há alteração de
quantidades somente em relação à outra quantidade, e cada uma delas é
representada no numerador e no denominador.
A última classificação da qual tomamos conhecimento é a de Romanatto (1997),
que, aparentemente baseando-se nas classificações anteriores, classificou os
números racionais na forma fracionária em seis contextos: medida, quociente, razão,
operador multiplicativo, probabilidade e reta numérica.
24
Como Kieren (1976;1988) e Behr et al. (1983), Romanatto (1997) define contexto
quociente como um conjunto de objetos que precisa ser dividido igualmente em um
determinado número de grupos. O contexto razão, assim como para Kieren (1976) e
Behr et al. (1983), consiste na idéia de proporção em que existe a relação de
comparação multiplicativa entre duas quantidades de mesma medida. Da mesma
forma que as classificações apresentadas anteriormente, Romanatto (1997) define
contexto operador multiplicativo como a idéia de máquina, na qual um todo é
transformado, e essa transformação está relacionada ao número racional na forma
.
No contexto medida, as idéias de quantidade e medida estão presentes. Esse
contexto consiste em dividir o todo, uma unidade ou um conjunto, em partes iguais.
No contexto reta numérica, assim como no subconstruto coordenada linear
elaborado por Kieren (1976), o número racional na forma fracionária é visto como
um número e como a necessidade de representação e de localização desse número
na reta numérica.
Por fim, o contexto probabilidade envolve a idéia de comparação entre ocasiões
favoráveis e ocasiões prováveis, ou seja, calcula as chances possíveis em um
determinado evento.
Considerando essas classificações, pesquisadores investigaram a aprendizagem e
o ensino dos números racionais na forma fracionária. Apresentaremos, na próxima
seção, algumas dessas pesquisas que tiveram como sujeitos alunos do ensino
fundamental e do curso de licenciatura em Matemática, e utilizaram como
fundamentação teórica as classificações dos números racionais na forma fracionária
elaboradas por Behr et al. (1983) e por Nunes et al. (1988).
Pesquisas sobre ensino e aprendizagem dos números racionais na forma
fracionária
Em sua pesquisa, Garcia Silva (2007) teve como objetivo analisar fatores que
podem interferir no desenvolvimento profissional de professores das séries iniciais
25
do ensino fundamental, como resultado de uma formação continuada, cuja finalidade
foi a de discutir questões relacionadas à abordagem da representação fracionária
dos números racionais e seus significados.
A coleta de dados foi realizada em uma escola pública estadual localizada na
periferia da cidade de Franco da Rocha/SP; teve como sujeitos 17 professores de
ensino fundamental 16 e 77 alunos, 35 de 3ª série e 42 de 4ª séries do ensino
fundamental, e foi dividida em três partes: duas com os professores e uma com os
alunos.
Para a primeira parte, foi elaborado um questionário com o intuito de verificar o perfil
dos professores, e uma auto-avaliação sobre o trabalho deles com os números
racionais na forma fracionária em anos anteriores. Na segunda parte, foi aplicado
um questionário envolvendo problemas com esses números, para analisar as
competências do professores sobre os significados parte-todo, quociente, medida,
operador e número. Na terceira parte da pesquisa, foi solicitado aos alunos que
respondessem o mesmo questionário aplicado aos professores, para verificar as
competências dos alunos sobre a resolução daqueles problemas.
Para analisar os dados em relação às questões didáticas associadas ao objeto
matemático, a autora utilizou a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud (1990,
apud Garcia Silva, 2007), a classificação proposta por Nunes et al. (2003) para os
significados dos números racionais na forma fracionária, as idéias de Kieren (1988)
sobre os construtos dos números racionais e as interpretações sugeridas por
Ohlsson (1987, apud Garcia Silva, 2007).
Os resultados obtidos na pesquisa mostram que os professores apresentam
razoável domínio dos números racionais na forma fracionária quando se refere ao
significado parte-todo, com índice de acerto de 76,5%; um pouco menos de domínio
com os significados quociente e operador multiplicativo, com acertos de 64,7% para
ambos. Quando se refere ao significado medida, o índice de acerto é bem menor
31,36%, mas o significado com menor índice de acerto, 14,7%, é a localização do
número na reta numérica (significado de número).
6
No Estado de São Paulo, ensino fundamental 1 refere-se da 1ª à 4ª série (ensino fundamental de
8 anos) e ensino fundamental 2 refere-se da 5ª a 8ª série.
26
Já os alunos pesquisados tiveram melhor aproveitamento no significado quociente
57,1%. No significado parte-todo, eles tiveram um aproveitamento de 28,6%,
seguido pelos significados medida e operador multiplicativo, 11,9% e 6,5%
respectivamente. Com o menor índice de acertos está o significado número (1,95%).
A pesquisa de Garcia Silva (2007) foi parte de um projeto do qual também
resultaram os trabalhos de Merlini (2005) e de Moutinho (2005). Merlini (2005) teve
como objetivo investigar quais as estratégias utilizadas por alunos de 5ª e de 6ª
séries do ensino fundamental na resolução de problemas que abordam o conceito
de números racionais na forma fracionária.
Realizou um estudo diagnóstico com 120 alunos, sendo 60 de 5ª e 60 de 6ª série do
ensino fundamental, com idades variando entre 10 e 14 anos. Tais alunos
pertenciam a duas escolas públicas estaduais, situadas na Zona Leste do município
de São Paulo. Para a coleta de dados, foi utilizado o mesmo questionário da
pesquisa de Garcia Silva (2007).
As questões envolvendo o significado número foram aquelas nas quais os alunos de
5ª e 6ª séries apresentaram o pior desempenho, 2,5% e 3,33% respectivamente.
Nas questões com o significado medida, tanto os alunos da 5ª série como os da 6ª
série tiveram o segundo pior desempenho, 14,58% e 17,5%, respectivamente. Nas
questões que envolviam o significado operador multiplicativo, os alunos da 6ª série
apresentaram o segundo melhor desempenho, sendo 17,5% para 5ª série e 25%
para 6ª. Os alunos da 6ª série tiveram melhor desempenho que os alunos da 5ª
série nas questões com significado quociente. Vale salientar que, embora os alunos
tenham tido o melhor desempenho no significado quociente, o índice foi somente
23,75%, as 5ª séries tiveram um desempenho de 21,67%. O melhor desempenho foi
das questões envolvendo o significado parte-todo, sendo um índice de acerto de
32,8% para a 5ª série e 35,42% para a 6ª série.
Também Moutinho (2005), em sua pesquisa, teve como objetivo identificar quais as
estratégias utilizadas por alunos de 4ª e 8ª séries do Ensino Fundamental para
resolver problemas que abordam o conceito de número racional na forma
fracionária.
27
Para isso, trabalhou com alunos de duas escolas públicas estaduais localizadas na
região central da cidade de São Paulo. Uma das escolas, denominada pelo autor
como escola A, funcionava com alunos de 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental, das
quais foram selecionados 65 alunos, com idades entre 10 e 13 anos, divididos em
duas 4as séries. A outra escola, denominada pelo autor como escola B, funcionava
com alunos matriculados de 5ª a 8ª série do ensino fundamental e com ensino
médio. Desta escola, fizeram parte da pesquisa 58 alunos que estudavam na 8ª
série, na faixa etária de 14 a 16 anos.
Considerando os cinco significados do número racional na forma fracionária
apresentados por Nunes et al. (2003), a pesquisa mostrou um índice de acertos,
com alunos de 4ª série, nas questões que envolviam os significados parte-todo, igual
a 60,31%; medida, 31,28%; quociente, 27,31%; operador multiplicativo, 26,92%; e
0,38% de acertos no significado número.
Avaliando os cincos significados do número racional na forma fracionária, os alunos
da 8ª série tiveram índices de acertos em relação aos significados parte-todo
40,68%, quociente 32,33%, operador multiplicativo 29,31%, medida 21,55% e
número 3,88%.
O autor conclui que os alunos da 4ª série demonstraram possuir a concepção partetodo como central para resolução dos problemas; já os das 8ª, além desta,
buscaram resolver os problemas com um uso mais intenso de operações sem,
contudo, atingir um índice de acerto favorável, o que resultou em um desempenho
geral menor na 8ª do que na 4ª série.
Damico (2007), em sua pesquisa, teve como foco a investigação da formação inicial
de professores de Matemática, no que se refere à preparação do futuro professor
para o ensino dos números racionais no ensino fundamental. Para isso, trabalhou
com alunos e professores do curso de Licenciatura em Matemática de duas
instituições de nível superior situadas no ABC Paulista. Em uma das instituições, a
qual o autor denominou de α, o curso de Licenciatura em Matemática tinha duração
mínima de 4 anos. A outra instituição, denominada β pelo autor, era maior que a
primeira, possuía mais cursos de graduação e pós-graduação, e o curso de
Licenciatura em Matemática tinha duração mínima de 3 anos.
28
Os sujeitos da pesquisa foram 21 professores da instituição α e 20 da instituição β,
do curso de licenciatura em Matemática, lecionando disciplinas que envolviam os
números racionais na forma fracionária. Esses professores tinham idades entre 30 e
49 anos. Também foram sujeitos da pesquisa 346 alunos do curso, dos quais 189
eram alunos do primeiro ano, desses 113 pertenciam à instituição α e 76 à β, e 157
eram alunos do último ano, sendo 75 da instituição α e 82 da β.
A coleta de dados para a pesquisa foi realizada por intermédio de cinco fases: na
primeira, foi solicitado aos alunos concluintes que criassem oito problemas
envolvendo frações, a fim de avaliar alunos do ensino fundamental. Na segunda
fase, foi solicitado aos mesmos alunos que resolvessem os oito problemas que
criaram. Na terceira fase, todos os alunos, iniciantes e concluintes, foram
submetidos a uma avaliação contendo vinte questões que versavam sobre
conhecimentos relativos a números racionais na forma fracionária, contendo
questões que contemplassem os cinco subconstrutos desse número, sendo: partetodo, quociente, medida, operador e coordenada linear, (esse último refere-se à
concepção de número). A quarta fase foi uma entrevista interativa com 10% dos
alunos concluintes. Na quinta fase, foi feita uma entrevista com os 41 professores.
A fundamentação teórica da pesquisa foi baseada na classificação do número
racional na forma fracionária de Behr et al. (1983), em cinco subconstrutos; partetodo, quociente, medida, operador e razão.
De acordo com Damico (2007), o subconstruto operador foi o que apareceu com
maior freqüência na primeira fase. Na terceira fase, os exercícios contendo esse
subconstruto tiveram o maior número de acertos, 75% para os formandos e 55%
para os iniciantes. Considerando que os formandos tiveram índice de acertos
superior ao dos iniciantes nesse subconstruto, 20% a mais, o autor conclui que isso
mostra um amadurecimento relacionado aos aspectos algébricos envolvidos nesse
subconstruto, por parte dos alunos formandos.
Na primeira fase, o subconstruto parte-todo foi o segundo mais presente, sendo que
metade dos estudantes concluintes utilizou espontaneamente as características
desse subconstruto na criação dos exercícios. Na terceira fase, concluiu-se que
esses estudantes de licenciatura em Matemática, só resolvem corretamente
29
exercícios com subconstruto parte-todo em modelos contínuos (divisão de barras de
chocolate, pizzas, bolos, etc.). Vale salientar que o índice de acertos, nesse
subconstruto, dos alunos iniciantes foi de 59% e dos alunos concluintes 68,2%.
Na primeira fase, do total de problemas criados pelos alunos concluintes, 34% foram
relativos ao subconstruto quociente. Na terceira fase, entre os alunos iniciantes,
41,8% erraram ou não responderam as questões que envolviam esse subconstruto;
o mesmo aconteceu com 31,8% dos alunos concluintes.
A investigação do autor mostrou que, em sua pesquisa, os alunos concluintes não
fizeram espontaneamente uma associação do número racional na forma fracionária
com o subconstruto medida. Apenas 4% das questões elaboradas pelos sujeitos no
primeiro instrumento apresentavam tal conceito. Quanto à resolução dos problemas,
os alunos apresentaram 70% de acertos, não havendo diferenciação significativa
entre iniciantes e formandos.
O subconstruto coordenada linear não foi valorizado na elaboração das questões
pelos alunos concluintes. Apesar disso, eles e os alunos iniciantes não
apresentaram
dificuldades
na
resolução
dos
problemas
relativos
a
esse
subconstruto, a não ser quando a fração apresentava-se como número misto.
Damico (2007) concluiu ainda que esses alunos se formam com boa habilidade no
que se refere à aplicação de algoritmos para a resolução de problemas envolvendo
números racionais na forma fracionária, contudo, sem conhecer os conceitos
envolvidos nos subconstrutos desses números.
Segundo a análise do autor, com as entrevistas realizadas com os professores dos
cursos de licenciatura das instituições α e β, constatou-se que, dos 41 professores
das instituições, somente dois demonstraram ter uma visão ampla e atualizada dos
números racionais na forma fracionária.
No tocante aos demais professores (33), constatamos que as
concepções sobre ensino dos números racionais se mostraram
bastante restritas do ponto de vista do conhecimento matemático e
metodológico aplicado a esse assunto. No que concerne aos aspectos
metodológicos e psicológicos, verificamos uma visão sobre ensinoaprendizagem predominantemente tradicional, ou seja, estes
formadores de professores acreditam que no Ensino Fundamental os
30
professores devem trabalhar com as propriedades dos números
racionais, exercitá-las exaustivamente, resolvendo muitos exercícios.
(DAMICO, 2007, p.238)
Charalambous e Pitta-Pantazi (2005), em sua pesquisa, tiveram o objetivo de
compreender as construções do conceito de fração por parte dos alunos de 5ª e 6ª
série. O estudo procurou respostas para três questões de pesquisa:
(1) Há alguma diferença no desempenho dos alunos em cada
um dos cinco subconstrutos de fração considerados?;
(2) Em que extensão o desempenho dos alunos com frações
reflete a estrutura do modelo teórico delineado, e
especialmente as associações entre os diferentes
subconstrutos de frações?;
(3) Em que extensão o entendimento que os alunos têm dos
diferentes subconstrutos de fração explicam o desempenho
deles em operações com frações e equivalências de
frações?
(Charalambous; Pitta-Pantazi, 2005, p. 301, tradução nossa)7
A coleta de dados foi realizada em Chipre, com 646 alunos das 5ª e 6ª séries. Foram
aplicadas aos alunos 50 questões, sendo divididas de acordo com a classificação
elaborada por Behr et al. (1983), parte-todo, medida, quociente, razão e operador, e
as operações de equivalência e multiplicação e adição. O teste foi aplicado a 340
alunos da 5ª série e 306 alunos da 6ª série.
Para a análise dos dados coletados, foram utilizadas técnicas de modelagem. Para
verificar o desempenho dos alunos, foram examinadas as associações, feitas pelos
alunos, entre os diferentes subconstrutos, bem como em que medida estes
subconstrutos interferem no desempenho dos alunos sobre as operações
envolvendo números racionais na forma fracionária e equivalência entre esses
números.
7
(1) Are there any differences in students‟ performance on each of the five subconstructs of fractions
under consideration?
(2) To what extent does students‟ performance on fractions reflect the structure of the theoretical
model delineated above, and especially the associations between the different subconstructs of
fractions?
(3) To what extent do students‟ understandings of the different subconstructs of fractions explain
their performance on fraction operations and equivalence of fractions?
31
Como resposta para a primeira questão de pesquisa, o estudo mostrou que o
desempenho dos alunos foi melhor nas questões relacionadas com o subconstruto
parte-todo, com índice de acerto de 75%, e com menor índice de acertos, 25%, nas
questões que envolviam o subconstruto medida. O desempenho dos alunos nos
subconstrutos
razão,
quociente
e
operador
foi
de
64%,
55%
e
45%,
respectivamente.
Respondendo a segunda questão de pesquisa, os autores concluíram que os
resultados do estudo sugeriram que o conceito de fração não inclui um único
subconstruto, porém todo o conjunto dos subconstrutos, ou seja, para o aprendizado
dos números racionais na forma fracionária, é necessário o estudo de todos os
subconstrutos.
Segundo os autores, ao interpretar este resultado, é necessário levar em
consideração o contexto em que o conhecimento dos alunos em relação ao número
racional na forma fracionária foi construído, e particularmente a construção do
currículo em Chipre, já que um dos requisitos para o desenvolvimento do teste foi o
seu alinhamento com o currículo seguido naquele país.
Apresentadas as pesquisas, organizamos os resultados que envolviam alunos como
sujeitos da pesquisa, na Tabela 1. Notamos que a maior dificuldade, por parte dos
alunos do ensino fundamental, é em questões envolvendo o número racional na
forma fracionária como número. Os alunos, independente da série pesquisada,
mostraram grande dificuldade na resolução dos problemas envolvendo tal
significado. Na pesquisa de Charalambos e Pitta-Pantazi (2005), o significado
número está contido no subconstruto medida, subconstruto esse também com o
menor índice de acertos naquela pesquisa.
Frente aos resultados apresentados nesse capítulo, vemos a necessidade de um
olhar diferente para a aprendizagem dos alunos sobre o número racional na forma
fracionária. Buscamos, então, uma teoria nova para averiguarmos essa situação. No
Capítulo 2, Fundamentação Teórica, apresentamos o quadro teórico dos “Três
Mundos da Matemática” (Tall, 2004a, 2004b), a classificação dos números racionais
na forma fracionária que usaremos em nossa pesquisa, bem como o olhar das
características de cada um dos Mundos da Matemática em cada subconstruto.
ÍNDICE DE ACERTOS, POR SUBCONSTRUTOS, DOS ALUNOS NAS PESQUISAS
Garcia Silva
Merlini
Moutinho
Damico
Charalambos
e Pitta-Pantazi
Alunos
Parte-todo
Quociente
Operador
Medida
Número
Razão
3ª e 4ª série
28,6%
57,1%
6,5%
11,9%
1,95%
*
5ª série
6ª série
5ª série
6ª série
5ª série
6ª série
5ª série
6ª série
5ª série
6ª série
*
*
32,8%
35,42%
23,75%
21,67%
17,5%
25%
14,58%
17,5%
2,5%
3,33%
*
*
4ª série
8ª série
4ª série
8ª série
4ª série
8ª série
4ª série
8ª série
4ª série
8ª série
*
*
60,31%
40,68%
27,31%
32,33%
26,92%
29,31%
31,28%
21,55%
0,38%
3,88%
*
*
I
C
I
C
I
C
I
C
I
C
*
*
59%
68,2%
58,2%
68,2%
55%
75%
70%
70%
*
*
*
*
5ª e 6ª série
4ª e 8ª série
Licenciatura
em
Matemática
5ª e 6ª série
75%
55%
45%
25%
*
64%
Tabela 1: Índice de acertos, por subconstrutos, dos alunos nas pesquisas
I- alunos iniciantes
C- alunos concluintes
*Subconstruto não pesquisado pelo autor.
32
33
CAPITULO 2: FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Neste capítulo, apresentamos o quadro teórico elaborado por David Tall (2004a,
2004b), intitulado Os Três Mundos da Matemática, do qual fizemos uso para a
elaboração do questionário de coleta de dados e para a análise dos dados coletados
com o questionário e com as entrevistas, em nossa pesquisa, com o intuito de
responder a questão de pesquisa:
Quais mudanças de raciocínio de alunos de 5ª série sobre números racionais na
forma fracionária que foram acarretados pelo estudo desse conteúdo nessa série?
Também mostramos as características de cada um dos mundos da Matemática
presentes em cada subconstruto usado em nossa pesquisa, ou seja, a relação entre
os mundos corporificado, simbólico e formal com cada um dos subconstrutos do
número racional na forma fracionária, parte-todo, quociente, operador, medida,
razão e probabilidade.
Os Três Mundos da Matemática
Apresentamos o quadro teórico desenvolvido por David Tall (2004a, 2004b),
intitulado os Três Mundos da Matemática, sendo: Mundo Conceitual Corporificado,
Mundo “Proceitual” Simbólico e Mundo Formal Axiomático.
A escolha desse quadro teórico deve-se ao fato de que ele retrata a existência de
pelo menos três diferentes tipos de conceitos matemáticos,
(...) Os objetos corporificados, tais como, os elementos da Geometria,
gráficos e outros, podem, inicialmente, ser fisicamente manipulados e,
posteriormente, concebidos como objetos mentais. Os “proceitos”
simbólicos são conceitos matemáticos que necessitam de símbolos
para serem representados, como números ou equações algébricas.
Por fim, os conceitos axiomáticos são axiomas, definições, teoremas,
usados para servir de base para o sistema axiomático com o qual
desenvolvemos a Matemática formal.
(LIMA, 2007, p. 70, grifo da autora)
34
Além disso, ele também visa explicar como se dá o aprendizado da Matemática.
Vale salientar que o indivíduo pode realizar sua jornada pelos Três Mundos da
Matemática cada vez que aprende um novo conteúdo.
Mundo Conceitual Corporificado
O Mundo Conceitual Corporificado é o das observações, ações e reflexões sobre
objetos. É característica desse mundo o indivíduo fazer uso dos objetos,
descrevendo-os, agindo e refletindo sobre eles, física ou mentalmente, pois se refere
a objetos físicos e também a experiências mentais. O sujeito não precisa,
necessariamente, fazer manipulações físicas do objeto, pois pode manipulá-lo em
seu pensamento, levantando conjecturas sobre as propriedades do objeto ou a
respeito de uma ação sobre ele.
Podemos exemplificar características do mundo corporificado nos números racionais
na forma fracionária com a divisão de uma figura geométrica plana em partes de
mesma área.
Figura 2: Figura geométrica plana dividida em partes de mesma área
Com isso, o indivíduo poderá perceber que o número racional na forma fracionária
se refere a divisões em partes iguais, e, posteriormente se destacarmos uma ou
mais partes, a figura poderá ser representada, como no exemplo apresentado na
Figura 3, e o indivíduo, perceber e aprender o conceito da representação desse
número.
Figura 3: Figura geométrica plana dividida em partes de mesma área e tendo três partes pintadas
Mundo “Proceitual” Simbólico
O Mundo “Proceitual” Simbólico é o mundo do uso dos símbolos matemáticos. A
necessidade do uso dos símbolos se dá pela capacidade que eles têm de compactar
35
informações; o símbolo tem a função de representar as ações e as percepções
existentes no mundo corporificado. Também é no mundo simbólico que é possível
efetuar cálculos matemáticos.
Uma característica do mundo simbólico no conceito dos números racionais na forma
fracionária é a própria forma
, sendo “a” a quantidade de partes destacadas de um
objeto ou de um conjunto de objetos, e “b” o número total de partes em que o objeto
foi dividido ou a quantidade total de objetos no conjunto. Outro exemplo são as
operações envolvendo tais números. Com o uso de símbolos, conseguimos efetuar
operações matemáticas como
entre outras.
Após o indivíduo adquirir o “conceito”, é necessário conhecer um ou mais
procedimentos que permitem a ele fazer um cálculo específico. A repetição de algum
desses procedimentos leva o indivíduo a fazê-lo de uma forma automática,
entendendo-o como um todo, não precisando, assim, ficar observando o passo
anterior para seguir, tornando-o um “processo”. Temos, assim, uma dualidade entre
o “conceito e o “processo”. Essa dualidade é definida por Gray e Tall (1994) como
um “proceito”.
Mundo Formal Axiomático
O mundo formal axiomático é baseado em linguagem formal, em definições formais
e axiomas, que são usados para formar as estruturas matemáticas, fazer deduções
e demonstrações. Apesar de este mundo, em sua totalidade, ser trabalhado
principalmente no ensino superior, o aluno da educação básica se depara com
características do mundo formal quando aprende e faz uso de demonstrações,
teoremas, propriedades para demonstrar os teoremas, entre outros.
Podemos citar como exemplo de características formais para os números racionais
na forma fracionária a própria definição apresentada aos alunos ainda no ensino
fundamental,
{
}. Traços do mundo formal também aparecem
quando é apresentado ao aluno qualquer um dos subconstrutos. Essas
36
características emergem, por exemplo nas situações em que há a generalização, tal
como, na apresentação da escrita da forma
, e a generalização, que “a” representa
o número de partes destacadas e “b” o número em que o todo foi particionado.
De acordo com Tall (2004a, 2004b), existem diferentes tipos de desenvolvimento
cognitivo apresentados nos Três Mundos da Matemática. Dessa forma, buscaremos
verificar
algumas
das
diferentes
imagens
de
conceitos
desenvolvidas
e
apresentadas pelos alunos, sujeitos da pesquisa, na aprendizagem dos números
racionais na forma fracionária. Isso servirá para buscarmos o entendimento de
dificuldades de aprendizagem desses números por parte desses sujeitos.
Imagem de Conceito
Muitas vezes, os conceitos com os quais os alunos se deparam já foram
encontrados por eles em outras situações, antes de serem definidos formalmente.
Acreditamos que já existem, na mente de cada indivíduo,
conhecimentos
produzindo uma variedade de imagens mentais, quando um novo conceito é
solicitado.
Na teoria desenvolvida por David Tall e Shlomo Vinner (1981), imagem de conceito
é definida como sendo:
(...) a estrutura cognitiva total associada ao conceito, que inclui todas
as figuras mentais, processos e propriedades associados. Ela é
construída ao longo dos anos, por meio de experiências de todos os
tipos, mudando enquanto o indivíduo encontra novos estímulos e
amadurece.
(TALL & VINNER, 1981, p.152, tradução nossa8)
A imagem de conceito é individual, ou seja, varia de indivíduo para indivíduo, de
acordo com sua experiência escolar e/ou cotidiana, não necessariamente associada
ao que está sendo estudado, podendo acrescentar novas características a uma
imagem de conceito já existente.
8
“... the total cognitive structure that is associated with the concept, which includes all the mental
pictures and associated properties and processes. It is built up over the years through experiences of
all kinds, changing as the individual meets new stimuli and matures.”
37
No processo de amadurecimento, ao conceito é dado um símbolo ou nome, o qual
permite que o indivíduo associe e manipule mentalmente os objetos matemáticos
por ele adquiridos. Por exemplo, ao número racional na forma fracionária é dado o
símbolo . Porém, durante os processos mentais, de recordar e de manipular um
objeto matemático, muitos outros processos são incluídos, como a aplicação das
características dos subconstrutos que podem afetar o significado e o uso das
características presentes naquela imagem de conceito.
Em nosso trabalho, usaremos o termo imagem de conceito para descrever a
estrutura cognitiva que está associada com o conceito do número racional na forma
fracionária, que pode incluir todas as imagens mentais associadas a cada
subconstruto desse número. Verificaremos, com a análise dos dados coletados e
com as entrevistas com os alunos, a imagem de conceito que os alunos,
participantes como sujeitos da pesquisa, possuem e como elas influenciam na
aprendizagem do conceito investigado.
“Já-encontrados9” e “a-encontrar10”
De acordo com pesquisas como as de Moutinho (2005) e de Garcia Silva (2007), e
com os Parâmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL MEC, 1988) nota-se que
o conhecimento anterior, que o aluno tem, seja do cotidiano ou escolar, pode
interferir no novo aprendizado de qualquer conceito, no nosso caso, do número
racional na forma fracionária. Cada aluno possui seu próprio conhecimento anterior,
fazendo um paralelo com o quadro teórico dos Três Mundos da Matemática é
importante salientar que
A percepção e o entendimento de características de cada um dos
mundos variam de indivíduo para indivíduo. Nem todos fazem a
mesma jornada pelos mundos da Matemática. Cada um passa por
caminhos diferentes, enfrentam dificuldades diferentes, de acordo
com experiências que tiveram anteriormente, seja na escola ou fora
dela, desenvolvendo sua própria imagem de conceito.
Lima (2007, p.86)
9
Em inglês met-befores.
Em inglês met-after.
10
38
Concordamos com Lima (2007) que as percepções e o entendimento variam de
indivíduo para indivíduo, de acordo com as imagens de conceito adquiridas por cada
um.
Cada indivíduo possui sua própria construção das estruturas mentais, conforme
suas experiências, cotidianas e/ou escolares. Com isso, cada aluno possui
diferentes conhecimentos anteriores, e esses conhecimentos com diferentes
características de cada um dos mundos da Matemática, são denominados “jáencontrados”.
Os “já-encontrados” podem interferir no aprendizado do aluno de maneira positiva ou
negativa. No caso dos números racionais na forma fracionária, os PCN indicam
algumas situações nas quais o conjunto dos números naturais como “já-encontrado”
para o número racional na forma fracionária, atrapalha o aprendizado do novo
conhecimento:

cada número racional pode ser representado por diferentes (e
infinitas) escritas fracionárias: por exemplo, são diferentes
representações de um mesmo número;
...

a comparação entre racionais: acostumados com a relação 3 > 2,
terão de compreender uma desigualdade que lhes parece
contraditória, ou seja,
(BRASIL MEC, 1988, p.101)
O primeiro item da citação está relacionando a uma possível interferência dos
números naturais, os quais possuem uma única forma de escrita para representar
uma quantidade (um valor é representado por um único símbolo matemático), o que
entendemos ser um “já-encontrado”, e pode interferir no entendimento dos números
racionais na forma fracionária, que possuem escritas diferentes para expressar o
mesmo valor, por exemplo,
(equivalência).
No segundo item, o número natural como “já-encontrado” pode interferir no
aprendizado, quando o aluno que está acostumado com a relação de ordem entre os
naturais tiver dificuldade em entender uma desigualdade que lhe parece
contraditória, ou seja, 3 > 2, mas
.
39
Os “já-encontrados” também podem interferir de modo positivo no novo aprendizado
do indivíduo. Podemos citar como exemplo, quando um aluno aprende adição de
números racionais na forma fracionária com denominadores diferentes; nesse caso,
o cálculo do número equivalente, o cálculo do mínimo múltiplo comum, a
multiplicação e a divisão de números inteiros, como “já-encontrados”, ajudam e dão
suporte para o novo aprendizado, já que esses conhecimentos são adquiridos
anteriormente e interferem na nova aprendizagem.
É possível também que um novo conhecimento interfira em um aprendizado anterior.
Para caracterizar tais experiências
”(...) usamos o termo „a-encontrar‟ para denotar uma experiência
encontrada posteriormente que pode afetar a memória de
conhecimentos anteriores.”
(LIMA ; TALL, 2008, p.6, tradução nossa11)
Podemos citar como exemplo, quando o aluno aprende a multiplicação entre
números racionais na forma fracionária, em que, para o cálculo do produto, deve-se
multiplicar o numerador de um pelo numerador do outro e multiplicar o denominador
de um pelo denominador de outro. O aluno pode, ao ter que efetuar uma soma,
utilizar a mesma técnica, ou seja, somar os numeradores e os denominadores entre
si.
Os “a-encontrar” também podem interferir de uma forma positiva em aprendizados
anteriores. Isso acontece quando o aluno, ao aprender um novo conceito, reflete
sobre
os
conhecimentos
anteriores,
agregando
novos
conhecimentos
ao
aprendizado anterior, superando dificuldades existentes e modificando-os, fazendo
com que eles se tornem “já-encontrados” (LIMA, 2007, p. 89).
Procuramos analisar essa interferência nos dados por nós coletados, pois é de
fundamental importância para a nossa pesquisa a verificação das mudanças
ocorridas nas imagens de conceito dos alunos, que terão interferência dos “jáencontrados”. O conteúdo dos números racionais na forma fracionária começou a
ser ensinado nas séries anteriores à que se encontram os sujeitos de nossa
11
(…) We use the term „met-after‟ to denote an experience met at a later time that affects the
memories of previous knowledge.
40
pesquisa, então, o novo conhecimento agregará novos “já-encontrados” no
aprendizado anterior. Entendemos que, verificar essa interferência será possível já
que coletamos dados anterior e posteriormente à aprendizagem dos números
racionais na forma fracionária na 5ª série.
Com o estudo da fundamentação teórica, adquirimos novos conhecimentos, e nosso
olhar para as questões envolvendo os subconstrutos dos números racionais na
forma fracionária, objeto de nosso estudo, mudou. Com isso, nos deparamos com a
necessidade de reformularmos nossa questão de pesquisa, para adaptá-la ao
quadro teórico que estamos usando.
“Quais mudanças de raciocínio de alunos de 5ª série sobre
números racionais na forma fracionária que foram acarretadas
pelo estudo desse conteúdo nessa série?”
Então procuraremos, com a análise dos dados, responder as questões:
Quais “já-encontrados” e “a-encontrar” interferem no aprendizado do conceito
dos números racionais na forma fracionária antes e depois dos alunos
estudarem o conteúdo na 5ª série?
Quais características dos Três Mundos da Matemática os alunos utilizam na
resolução de situações que abordam o conceito do número racional na forma
fracionária, antes e depois de estudarem o conteúdo na 5ª série?
Qual a interferência provocada por possíveis mudanças de uso de
características dos Três Mundos da Matemática utilizadas por alunos na
resolução de situações que abordam o conceito de números racionais na
forma fracionária?
Na próxima seção, apresentamos a classificação do número racional na forma
fracionária que usamos em nossa pesquisa, escolhida após o estudo das
classificações de Kieren (1976, 1988), Behr et al. (1983), Nunes et al. (1988) e
Romanatto (1997).
41
Classificação de números racionais na forma fracionária a ser usada nesta
pesquisa
Comparando as classificações apresentadas no Capítulo 1, Revisão de Literatura,
entendemos que uma classificação contendo seis subconstrutos, parte-todo,
quociente, operador, medida, razão e probabilidade, é a mais adequada para a
nossa pesquisa, pois entendemos que, com essa classificação, ficarão mais
evidentes as características dos Três Mundos da Matemática que procuramos e
para a análise dos dados coletados.
Entendemos que a divisão entre dois pontos da reta numérica para a localização dos
números racionais na forma fracionária gera uma nova medida, isso quando está
localizado na reta o conjunto dos números inteiros. Assim, para nossa coleta de
dados, na qual solicitamos aos sujeitos de pesquisa que localizassem dois números
racionais na forma fracionária na reta, Questão 9 (veja Apêndice 1, p.188), é
adequado que entendamos o “número” como o subconstruto medida, apresentado
na classificação apresentada por Behr et al. (1983).
Além disso, embora a probabilidade seja estudada somente no ensino médio,
acreditamos que alunos da 5ª série poderão responder a uma situação relacionada a
ela de maneira intuitiva. Na Questão 5 do questionário (veja Apêndice 1),
apresentamos uma situação para essa verificação, e acreditamos ser necessário
que a analisemos separadamente do subconstruto razão, então decidimos incluir, na
classificação dos números racionais na forma fracionária que usaremos em nossa
pesquisa, o subconstruto probabilidade apresentado na classificação de Romanatto
(1997).
No diagrama da Figura 4, apresentamos uma classificação dos números racionais na
forma fracionária em seis subconstrutos, parte-todo, razão, operador, quociente,
medida e probabilidade. Ele foi adaptado da figura apresentada por Behr et al.
(1983), com a inclusão do subconstruto probabilidade.
42
Parte-todo
Razão
Operador
Equivalência
Multiplicação
Quociente
Medida
Resolução de problemas
Probabilidade
Adição
Figura 4: Classificação dos números racionais na forma fracionária, juntamente com o subconstruto
probabilidade (adaptado de BEHR et al., 1983, p.10, tradução nossa)
O diagrama apresenta a divisão do número racional na forma fracionária em seis
subconstrutos, sendo que há uma ligação do subconstruto parte-todo com os
demais. Com isso, entendemos que existem características do subconstruto partetodo em todos os outros subconstrutos, além de cada um deles possuir suas
próprias características. O diagrama também apresenta uma ligação dos
subconstrutos com as operações matemáticas e com a resolução de problemas.
O subconstruto razão está conectado com a equivalência, o que sugere que, para a
resolução de problemas envolvendo equivalência entre números racionais na forma
fracionária, utilizam-se as características do subconstruto razão
.
O subconstruto operador está conectado com a operação de multiplicação,
sugerindo, para a resolução de problemas envolvendo multiplicação de um número
racional na forma fracionária por outro número, o uso das características do
subconstruto operador, ou seja, a multiplicação
, ou ainda a multiplicação de dois números racionais na forma fracionária,
com
e
sendo
.
O subconstruto medida está interligado com a operação de adição. Algumas vezes,
precisamos calcular a soma de medidas para resolver uma situação problema. Ou
seja, após escolhermos uma unidade de medida, a qual servirá para verificarmos
43
quantas vezes ela cabe dentro da outra (a ser medida), fazemos uma comparação
entre duas grandezas de mesma espécie. Na maioria dos casos, consiste na
necessidade de verificar quantas vezes essa medida cabe na outra. Para isso,
somamos as vezes que uma unidade cabe na outra (CARAÇA, 1951, p. 30).
Ainda analisado o diagrama da Figura 4, verificamos que todos os subconstrutos são
utilizados para a resolução das mais diversas situações, e que existem situações
nas quais teremos que utilizar características de um ou mais subconstrutos para a
resolução.
Apresentaremos mais detalhadamente as definições de cada subconstruto e
exemplos de situações envolvendo-os, com isso procuramos mostrar como
entendemos cada um dos subconstrutos e a utilização das características de cada
um deles para a análise dos dados coletados. Vale salientar que as definições
apresentadas dos subconstrutos parte-todo, razão, operador, quociente e medida
são baseadas nas definições apresentadas por Behr et al. (1983) e a definição do
subconstruto probabilidade baseada na definição apresentada por Romanatto
(1997).
Subconstruto Parte-Todo
Pode-se definir o subconstruto parte-todo como uma situação em que uma
quantidade contínua ou uma quantidade discreta é dividida em partes iguais. Desse
modo, representa o parte-todo uma comparação entre o número de partes tomadas
da unidade e o número total de partes em que o todo, objeto ou conjunto de objetos,
foi dividido. Podemos entender, a partir desta perspectiva, que nesse subconstruto,
o numerador do número racional na forma fracionária é menor ou igual ao
denominador.
A divisão de uma figura geométrica em partes iguais é um exemplo do subconstruto
parte-todo com quantidade contínua.
44
Figura 5: Figura geométrica plana dividida em partes de mesma área e destacadas duas partes
Pode-se ter um exemplo do subconstruto parte-todo com quantidade discreta com a
divisão de uma coleção de bolinhas de gude de várias cores, em que dois terços
delas são vermelhas,
de todo o conjunto é formado de bolinhas vermelhas.
Figura 6: Conjunto de bolinhas de gude representando quantidade discreta
Subconstruto Razão
Nesse subconstruto, o número racional na forma fracionária é entendido como uma
relação que sugere uma comparação entre duas quantidades. Portanto, é
considerado índice comparativo, ao invés de um número. Nesse caso, a
representação
está associada à relação entre quantidades, em que lemos, “a
está para b”.
Como exemplos, podemos citar a situação na qual é comparada a quantidade de
meninas de uma turma em relação à quantidade de meninos dessa mesma turma.
Ou ainda as escalas de mapas geográficos, nos quais são indicadas proporções,
como 1:100000, ou seja, foi utilizada a escala de um centímetro no desenho para
cada 100000 centímetros de medida real.
Subconstruto Operador
É característica deste subconstruto a ação do número fracionário
sobre uma
quantidade, modificando-a, e, assim, produzindo uma nova quantidade. Essa
45
“manipulação” pode ser entendida como a ação do operador fracionário que, ao
atuar sobre uma quantidade, modifica o estado inicial dela, produzindo um resultado
final.
Em tarefas que envolvem esse subconstruto, a representação
atua sobre um
número, modificando-o. Sua aplicação se dá quando necessitamos de uma nova
quantidade a partir de uma quantidade inicial. Por exemplo, para rebocar todas as
paredes em uma determinada construção, são necessários 20 sacos de cimento.
Para efetuar o cálculo da quantidade de sacos de cimento suficiente para rebocar
das paredes, multiplicamos o número
pela quantidade total de sacos necessários
para rebocar todas as paredes.
Subconstruto Quociente
Podemos definir esse subconstruto como uma distribuição, na qual
representa
uma divisão. Existe, nesse subconstruto, a associação entre as representações,
sendo que a ação de dividir “a” em “b” em partes iguais
é associada com a ÷ b.
Geralmente, o subconstruto quociente é associado a grandezas discretas; por
exemplo, a necessidade de armazenar um conjunto de 160 figurinhas em 4
envelopes, cada um contendo quantidades iguais de figurinhas, a solução seria a
divisão da quantidade total do conjunto (160) em partes iguais (4 envelopes), ou
seja, a representação
se refere a 160 ÷ 4, e a solução é o quociente.
Subconstruto Medida
O subconstruto medida representa duas situações. Em uma, ele é considerado um
número, que pode ser representado em um intervalo na reta numérica. Na outra
46
situação, esse subconstruto é associado à divisão de uma unidade de medida,
podendo, na divisão , originar uma nova unidade como resultado da subdivisão.
Existem vantagens em subdividir uma unidade de medida, criando uma nova
unidade para que possamos efetuar a medida necessária ou simplesmente nos
expressar para solicitar algo. Exemplos dessas situação podem ser visto a seguir.
Seria incoerente solicitar a um vendedor de uma loja de frios
de uma
tonelada de queijo prato, como seria também impróprio uma cooperativa informar
que a produção de soja em certa cidade foi de 150000000 gramas. Observando
essas condições, notamos que, para expressar uma quantidade de massa,
precisamos de mais de uma unidade de medida, ou seja, uma nova unidade de
medida surge da divisão de uma unidade existente, por exemplo, o grama surgiu da
unidade quilograma,
de quilograma. (CARAÇA, 1951, p. 30)
Como exemplo em que o subconstruto medida é considerado um número,
localizamos
números racionais na forma fracionária em intervalos da reta real.
Entendemos, ainda, que o posicionamento do número racional na forma fracionária
mostra uma divisão de unidade de medida, justificando, assim, a representação do
número nesse subconstruto.
0
1
2
3
4
5
Figura 7: Posicionamento de números na reta real
Subconstruto Probabilidade
Outro tipo de situação em que o número racional na forma fracionária é apresentado
é quando trabalhamos com probabilidade. Nesse caso, o número racional mostra
uma relação entre o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis, ou
seja, a probabilidade ou a chance de que um evento em particular venha a ocorrer.
47
Como exemplo, podemos citar a situação em que se calcula a probabilidade de uma
bola vermelha ser retirada ao acaso de uma caixa contendo vinte bolas, sendo sete
delas de cor vermelha. Nesse caso, dizemos que a probabilidade é de
, ou seja, a
probabilidade é de sete em vinte.
Relação entre os Três Mundos da Matemática e os seis subconstrutos
Revisitando nossas questões de pesquisa,
 Quais “já-encontrados” e “a-encontrar” interferem no aprendizado do conceito
dos números racionais na forma fracionária antes e depois dos alunos
estudarem o conteúdo na 5ª série?
 Quais características dos Três Mundos da Matemática os alunos utilizam na
resolução de situações que abordam o conceito do número racional na forma
fracionária, antes e depois de estudarem o conteúdo na 5ª série?
 Qual a interferência provocada por possíveis mudanças de uso de
características dos Três Mundos da Matemática utilizadas por alunos na
resolução de situações que abordam o conceito de números racionais na
forma fracionária?
vemos a necessidade de relacionar características de cada um dos Três Mundos da
Matemática, corporificado, simbólico e formal, existentes em cada um dos
subconstrutos, parte-todo, razão, operador, quociente, medida e probabilidade, para
analisarmos a resolução apresentada pelo aluno ao se deparar com cada questão.
Cada aluno pode utilizar uma maneira diferente para resolver as questões,
dependendo dos “já-encontrados” que possui, e cada uma elas pode ter
características de qualquer um dos Três Mundos da Matemática, pois existem
características de cada mundo em todos os subconstrutos. Procuraremos mostrar
essas características e exemplos delas em cada relação entre os subconstrutos e
os Três Mundos da Matemática
48
Subconstruto parte-todo
Mundo Corporificado
Esse subconstruto geralmente é o primeiro a ser introduzido na aprendizagem dos
números racionais na forma fracionária, pois está presente na maioria dos itens a
ser aprendido sobre os outros subconstrutos (FERREIRA DA SILVA, 2005, p. 106).
Podemos caracterizar a relação entre o subconstruto parte-todo e o mundo
corporificado usando a característica desse subconstruto de divisão de um todo em
partes de mesma área.
Figura 8: Figura geométrica plana dividida cinco em partes de mesma área
Com isso, pode-se perceber que o número racional na forma fracionária se refere a
divisões em partes de áreas iguais, destacando uma ou mais dessas partes.
Posteriormente, o indivíduo poderá fazer uma relação da figura com a representação
simbólica desse número.
Figura 9: Figura geométrica plana dividida em cinco partes de mesma área, com três partes pintadas
É importante citar que, mesmo o sujeito fazendo uso de um símbolo matemático, ,
ainda se trata de uma relação com o mundo corporificado, pois este símbolo é obtido
pelo uso de uma corporificação, isto é, pela contagem da quantidade de partes em
que o todo foi dividido e da quantidade de partes pintadas, o que chamamos de
dupla contagem.
Mundo Simbólico
Características do mundo simbólico no subconstruto parte-todo fazem-se presentes
com o uso dos símbolos matemáticos para representar uma situação na qual um
49
objeto ou um conjunto de objetos foi dividido em partes iguais, sem a necessidade
de fazer uso de corporificações físicas ou mentais.
A necessidade do uso dos símbolos se dá pela capacidade que esses símbolos têm
de compactar informações; os símbolos têm a função de representar as ações e as
percepções existentes no mundo corporificado. Também com o uso das
características do mundo simbólico, é possível efetuar cálculos matemáticos
envolvendo números racionais na forma fracionária.
A compressão se faz necessária, pois existem situações em que as características
do mundo corporificado já não são mais suficientes. Como exemplo, quando a
situação exige um número racional na forma fracionária com denominador de uma
grandeza maior, tal como
, o que torna inviável uma representação com objetos.
Vale salientar que, mesmo considerando as frações com denominadores de menor
grandeza, o uso dos símbolos compacta informações, tornando possível efetuar
operações matemáticas ou a simples representação de uma ou mais partes de um
todo.
Mundo Formal
Características do mundo formal estão presentes no subconstruto parte-todo, como
por exemplo, na definição do subconstruto parte-todo, na qual o número racional na
forma fracionária , tem a e b
N, b ≠ 0 e a ≤ b, sendo que as partes divididas
devem ser iguais. Essa definição do subconstruto é característica do mundo formal
no subconstruto parte-todo.
50
Subconstruto razão
Mundo Corporificado
A comparação entre quantidades discretas ou contínuas, com o uso de
representações, físicas ou mentais, de figuras ou conjuntos de objetos é
característica do mundo corporificado nesse subconstruto.
Podemos citar, como exemplo dessas características, a situação na qual existem
dois meninos para cada três meninas em uma turma, e se quer saber o total de
meninas, sabendo que, nessa turma, estão matriculados doze meninos.
Meninos
6 grupos de 2 meninos,
total de 12 meninos
Meninas
6 grupos de 3 meninas,
total de 18 meninas
Figura 10: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado no subconstruto
razão
A situação foi resolvida com a observação, agindo sobre as figuras, dividindo os
doze meninos em seis grupos de dois meninos, como apresentado na
Figura 10, chegando a um total de seis grupos; e formando também seis grupos de
três meninas cada um, e contando o total de meninas, chegamos ao resultado, ou
seja, dezoito meninas. Esse pensamento, manipulando e observando objetos para
se chegar à resolução, tem características do mundo corporificado no subconstruto
razão.
51
Mundo Simbólico
Os símbolos matemáticos que representam os números racionais na forma
fracionária são, entre outros, utilizados para o cálculo da razão entre números que
representam quantidades de objetos ou conjunto de objetos. O uso desses símbolos
se faz necessário, pois, o símbolo tem a função de representar os índices
comparativos presentes nesse subconstruto. Também é no mundo simbólico que
cálculos matemáticos são efetuados.
Exemplos de características do mundo simbólico no subconstruto razão aparecem
no mesmo contexto anterior, porém, nesse contexto, para efetuarmos os cálculos
das razões, utilizamos o cálculo da proporção entre as quantidades de meninos e
meninas. Assim, com a resolução focada no uso de símbolos matemáticos, ou seja,
para efetuar a resolução do problema da quantidade de meninas relacionada com a
quantidade de meninos, podemos resolver da seguinte maneira:
Total de 18 meninas
O modo escolhido para a resolução foi o uso somente de símbolos matemáticos,
característica do mundo simbólico no subconstruto razão.
Mundo Formal
A própria definição do subconstruto razão é um exemplo de características do
mundo formal nesse subconstruto.
52
Com uma linguagem formal, conseguimos mostrar características do subconstruto
razão, que altera uma quantidade proporcionalmente.
Subconstruto operador
Mundo Corporificado
São características do mundo corporificado no subconstruto operador a ação sobre
um conjunto de objetos gerando uma nova quantidade. Exemplos dessas
características do mundo corporificado no subconstruto operador são apresentadas
na situação em que o número racional na forma fracionária atua sobre outro número
(quantidade). Por exemplo, para fazer meia receita de um bolo que leva, entre outros
ingredientes, duas xícaras de farinha de trigo, 4 ovos,
de tablete de manteiga e
xícara de leite, multiplicam-se as quantidades, chegando à solução da situação
apresentada na Figura 11.
Ovos
Farinha
4 ovos
2 xícaras
Precisamos de 2 ovos
Precisamos de 1 xícara
de farinha
Leite
Manteiga
xícara
Precisamos de
do
tablete de manteiga
Precisamos de
de
xícara de leite
Figura 11: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado no subconstruto
operador
53
O número racional na forma fracionária atuou sobre as quantidades, criando novas.
Porém, o processo que foi utilizado para a resolução foi a ação e observação sobre
os objetos, características essas do mundo corporificado no subconstruto operador.
Mundo Simbólico
Características do mundo simbólico no subconstruto operador são apresentadas na
operação de multiplicação envolvendo números racionais na forma fracionária.
Podemos citar como exemplo das características do mundo simbólico no
subconstruto operador a mesma situação anterior, porém, para a resolução da
situação, são usados símbolos matemáticos.
Farinha
Ovos
Precisamos de 1 xícara
de farinha
Precisamos de 2 ovos
Manteiga
Precisamos de
Leite
do
tablete de manteiga
Precisamos de
de
xícara de leite
A resolução da situação foi alcançada somente com a utilização de símbolos
matemáticos, característica do mundo simbólico no subconstruto operador.
54
Mundo Formal
Características do mundo formal estão presentes no subconstruto operador, pois, na
definição: sendo k a quantidade inicial e
o número racional na forma fracionária,
com a ação do número racional sobre a quantidade k, k
temos:
, gerando uma nova quantidade.
Essa definição é característica do mundo formal no subconstruto operador.
Subconstruto quociente
Mundo Corporificado
Características do mundo corporificado presentes no subconstruto quociente estão
na distribuição de um conjunto de objetos em partes iguais.
Podemos citar como exemplo a situação em que são distribuídas 30 figurinhas em 5
envelopes. A resolução com características do mundo corporificado aparecerá
quando pensarmos, por exemplo na resolução da seguinte maneira.
Figurinhas
Envelopes
Figura 12: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado no subconstruto
quociente
Se separarmos as figurinhas, dividas igualmente em cinco partes iguais, cada uma
dessas partes em um envelope, teremos a resolução da situação, ou seja,
verificaremos quantos cinco cabem dentro do 20. E a maneira com a qual foi
55
efetuada a resolução de divisão, manipulando e agindo sobre os objetos, é
característica do mundo corporificado no subconstruto quociente.
Mundo Simbólico
A operação de divisão com o uso de símbolos matemáticos é característica do
mundo simbólico presente no subconstruto quociente. Um exemplo dessas
características pode ser mostrado com a mesma situação da divisão das figurinhas
em envelopes.
figurinhas
O modo que se realizou a resolução da situação proposta, utilizando-se de símbolos
matemáticos, é característica do mundo simbólico no subconstruto quociente.
Mundo Formal
A definição do subconstruto é característica do mundo formal no subconstruto
quociente.
A definição usando uma linguagem formal define o subconstruto quociente, o uso
dessa linguagem é uma característica formal.
Subconstruto medida
Mundo corporificado
Características do mundo corporificado presentes no subconstruto medida são vistas
na manipulação de uma nova unidade de medida quando manipulamos, agimos ou
56
observamos quantidades continuas ou discretas criando uma nova unidade de
medida.
1
2
3
Figura 13: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado no subconstruto
medida
Algumas vezes, precisamos de novas unidades de medidas. Por exemplo, se
precisarmos efetuar alguma medição e o comprimento a ser medido não é possível
com unidade que temos, podemos criar uma nova unidade dividindo o intervalo de
uma unidade em partes iguais. A Figura 13 mostra uma régua em que a unidade de
medida centímetro foi dividida em dez partes iguais, criando uma nova unidade de
medida, o milímetro. A divisão realizada nos intervalos entre as unidades de medida
na régua, por meio da ação da divisão de uma medida, é característica do mundo
corporificado no subconstruto medida.
Mundo simbólico
Características
do
mundo
simbólico
no
subconstruto
medida
podem
ser
apresentadas em duas situações. Em uma situação, o próprio número racional na
forma fracionária (símbolo matemático) é uma característica marcante do mundo
simbólico nesse subconstruto. Em outra situação, a operação de divisão, presente
no subconstruto medida, envolvendo um número racional na forma fracionária para
gerar uma nova medida, são características do mundo simbólico no subconstruto
medida.
Para criar uma nova medida, dividimos a unidade existente em partes iguais. Por
exemplo, 1 centímetro dividido em dez partes iguais.
de centímetro é igual a 1
milímetro. Essa operação de divisão com símbolos matemáticos é característica do
mundo simbólico no subconstruto medida.
57
Mundo Formal
A definição do subconstruto medida pode ser apresentada de duas maneiras, a
subunidade , ou seja, a unidade foi dividida em b partes iguais gerando uma nova
medida, e o número racional na forma fracionária
que representa um número na
reta real. Esta definição é característica do mundo formal.
Subconstruto Probabilidade
Mundo Corporificado
Características do mundo corporificado no subconstruto probabilidade são
apresentadas quando observamos as quantidades, total e parcial, de objetos, para
verificarmos a probabilidade de um evento acontecer.
Podemos citar como exemplo, a situação em que se deve calcular a probabilidade
de uma bola vermelha ser retirada ao acaso de uma caixa contendo vinte bolas,
sendo duas azuis, três pretas, sete vermelhas e oito verdes.
Figura 14: Exemplo de situação envolvendo características do mundo corporificado no subconstruto
probabilidade
Podemos resolver a situação representando as bolas com suas respectivas cores,
formando um conjunto com todas as bolas. Formamos outro conjunto, agora só com
as bolas vermelhas. Para apresentarmos a solução, contamos o total de bolas, 20, e
o total de bolas vermelhas, 7. Temos
, ou seja, a probabilidade é sete em vinte.
58
Mundo Simbólico
Características do mundo simbólico existentes no subconstruto probabilidade são
apresentadas no cálculo de um evento acontecer, com o uso de símbolos
matemáticos.
Podemos, também, resolver a mesma situação com características do mundo
simbólico no subconstruto probabilidade. Precisamos simplesmente destacar a
informação de que existe na caixa um total de vinte bolas e que sete delas são
vermelhas.
bolas vermelhas : 7
probabilidade :
total de bolas : 20
A situação foi resolvida sem a necessidade de observar, agir ou manipular figuras.
As informações apresentadas foram retiradas no enunciado, e o resultado foi
representado com símbolos matemáticos.
Mundo Formal
Características do mundo formal no subconstruto probabilidade são apresentadas na
definição de probabilidade, ou seja, em um espaço equiprovável, por exemplo, a
probabilidade da ocorrência de um evento E, indicada por P(E), é a razão entre o
número de elementos do conjunto do evento e o número de elementos do espaço
amostral (U).
( )
( )
( )
Entendemos que, para a análise dos dados de nossa pesquisa, na qual procuramos
analisar as características dos Três Mundos da Matemática em cada subconstruto,
59
bem como a interferência dos “já-encontrados” e dos “a-encontrar”, necessitamos de
algumas características apresentadas nas definições de cada subconstruto. No
capítulo 4, Procedimentos Metodológicos, apresentamos os subconstrutos e as
características dos mundos envolvidos em cada questão.
60
CAPÍTULO 3: PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Para analisarmos a aprendizagem de números racionais na forma fracionária na 5ª
série do ensino fundamental, fizemos uma coleta de dados em uma escola pública
estadual de ensino fundamental e médio, situada na capital paulista e funcionando
em três períodos, com aproximadamente 1800 alunos. No período da manhã,
período em que coletamos os dados de nossa pesquisa, a escola funciona com sete
5as e nove 6as séries.
Dividimos a coleta de dados em duas fases. A primeira, a que denominamos
“primeira coleta de dados”, foi feita com alunos de 5ª série, antes que eles tivessem
contato com o conteúdo de número racional na forma fracionária com o professor da
5ª série. A segunda coleta, denominada por nós “segunda coleta de dados”, foi feita
após os alunos aprenderem o conteúdo com o professor da 5ª série.
A escolha da 5ª série justifica-se por ser nela a primeira vez que o aluno tem a
aprendizagem de um conteúdo mais sistematizado e com um professor específico
da disciplina de Matemática.
Para ambas as coleta de dados, foi elaborado um questionário, contendo 13
questões sobre números racionais na forma fracionária, esse questionário foi
elaborado à luz do quadro teórico dos Três Mundos da Matemática, e considerando
a classificação das frações apresentada por Behr et al. (1983), bem como o
subconstruto probabilidade de Romanatto (1997). Para a elaboração desse
questionário, tivemos a contribuição de pesquisas anteriores citadas na revisão de
literatura, Capítulo 1 desse trabalho, que deram suporte para a seleção e divisão das
questões dentro do questionário.
Apresentamos, a seguir, as questões contidas no questionário de coleta de dados
que serviram para analisarmos a imagem de conceito dos sujeitos da pesquisa.
Serão detalhadas todas as questões, apresentados os objetivos de cada uma,
relacionando-as com os subconstrutos e os Três Mundos da Matemática. O
questionário de coleta de dados, como foi apresentado aos alunos, encontra-se no
Apêndice 1.
61
Descrição do questionário de coleta de dados
Para facilitar o entendimento do questionário de coleta de dados, apresentamos, na
Tabela 2, para cada uma das questões do questionário, os subconstrutos e
características dos Três Mundos da Matemática que, ao elaborarmos a questão,
consideramos que o aluno poderia utilizar para a resolução.
Questão
Subconstruto envolvido
Características do mundo
1
Parte-todo
Corporificado e simbólico
2
Quociente
Corporificado e simbólico
3
Parte-todo
Corporificado
4
Razão
Simbólico
5
Probabilidade
Corporificado
6
Operador
Simbólico
7
Medida
Simbólico
8
Operador
Simbólico
9
Medida
Formal
10
Quociente
Simbólico
11
Razão
Simbólico
12
Parte-todo
Corporificado
13
Parte-todo
Corporificado e formal
Tabela 2: Características dos mundos e subconstrutos envolvidos nas questões
É importante salientar que, na Tabela 1, apresentamos o subconstruto e as
características dos Três Mundos da Matemática que consideramos ao elaborar as
questões, não significando que todos os alunos deverão resolver pensando nesses
subconstrutos e nessas características. Na seqüência, iremos detalhar cada questão
separadamente.
A Figura 15 apresenta a Questão 1 do questionário de coleta de dados. Nosso
intuito, ao elaborar esta questão, foi averiguar como os sujeitos de nossa pesquisa
resolvem uma situação na qual é necessário observar um objeto (figuras
geométricas) e apresentar uma resposta utilizando símbolos matemáticos (números
racionais
na forma fracionária).
Essa questão servirá para
averiguarmos
62
características do mundo corporificado e do mundo simbólico no subconstruto partetodo, com quantidade contínua.
Figura 15: Questão 1 do questionário de coleta de dados
A observação das figuras remete o sujeito ao uso de características do mundo
corporificado no subconstruto parte-todo e, ao indicar a resposta com o número
racional na forma fracionária, como pede o enunciado, estarão sendo utilizadas as
características do mundo simbólico.
Ao elaborar a questão, pensamos que o sujeito poderia responder com os seguintes
números racionais na forma fracionária:
, respectivamente, para cada figura
geométrica apresentada. Poderia, também, na terceira figura, hexágono, responder
com outra representação do mesmo número racional na forma fracionária, ou seja,
·.
A Questão 2 é apresentada na Figura 16. Ao elaborar essa questão, nosso intuito foi
de que ela fosse resolvida utilizando características do mundo simbólico ou do
mundo corporificado no subconstruto quociente.
Figura 16: Questão 2 do questionário de coleta de dados
Esta questão apresenta características do subconstruto quociente, e pode ser
resolvida com características dos mundos corporificado ou simbólico. Se, para a
63
resolução da questão dividirmos cinco por quatro, o mundo simbólico estará em
jogo. Se houver manipulação física ou mental de algum objeto, estarão sendo
usadas características do mundo corporificado.
A Figura 17 apresenta a Questão 3 do questionário. Essa questão foi preparada com
o intuito de apurarmos o conhecimento do aluno na resolução de situações
envolvendo características do mundo corporificado no subconstruto parte-todo.
Figura 17: Questão 3 do questionário de coleta de dados
Diferente da Questão 1, nessa questão, verificaremos o subconstruto com
quantidades discretas, ou seja, em um conjunto de objetos. A visualização das
figuras efetuando a dupla contagem para a representação do número racional na
forma fracionaria é um exemplo de características do mundo corporificado. Vale
salientar que mesmo a representação da resposta ser apresentada com símbolos
matemáticos, para a resolução, foram utilizadas características do mundo
corporificado.
A Questão 4 é apresentada na Figura 18. Essa questão foi extraída de Projeto Buriti
(2007, p.145), e foi escolhida para verificarmos o conhecimento do aluno em
questões nas quais, para a resolução, utilizam-se características do mundo
simbólico no subconstruto razão e também números racionais iguais escritos na
forma fracionária.
64
Figura 18: Questão 4 do questionário de coleta de dados
Acreditarmos que possa também ocorrer o uso de características do mundo
corporificado para a resolução dessa questão, utilizando figuras ou mesmo
separando e comparando os objetos citados no texto da questão.
O subconstruto razão traz a idéia de comparação e, para a resolução dessa
questão, espera-se que o sujeito escreva os números racionais na forma fracionária
correspondentes às doações das 5as séries A e B, perceba a igualdade entre esses
números e os compare para saber se foi o asilo ou o orfanato que recebeu mais
sacos de arroz.
A Figura 19 apresenta a Questão 5 do questionário. Ao elaborar essa questão,
tínhamos como objetivo verificar o conhecimento dos sujeitos da pesquisa sobre
questões envolvendo características do mundo corporificado no subconstruto
probabilidade.
Figura 19: Questão 5 do questionário de coleta de dados
65
Para a resolução dessa questão, o aluno poderá efetuar dupla contagem, contar a
quantidade total de bolinhas contidas na caixa e a quantidade de bolinhas
vermelhas, para verificar a chance de o evento acontecer. As características
apresentadas quando observamos as quantidades, total e parcial, das bolinhas para
averiguarmos a probabilidade do evento acontecer nos remetem às características
do mundo corporificado.
A Questão 6 do nosso questionário é apresentada na Figura 20. Essa questão foi
inspirada em uma apresentada em Projeto Buriti (2007, p.157). Nosso intuito foi o de
observar o conhecimento do sujeito em questões remetidas ao subconstruto
operador com características do mundo simbólico, apesar de também ser possível
resolvê-la com características do mundo corporificado.
Figura 20: Questão 6 do questionário de coleta de dados
Nessa questão, uma nova quantidade é produzida com atuação do operador
fracionário
em duas quantidades apresentadas por números naturais e duas com
números racionais na forma fracionária,
ou seja,
poderemos verificar o
conhecimento do aluno no uso desse subconstruto dos dois conjuntos numéricos.
A Questão 7 do questionário é apresentada na Figura 21. Essa questão foi
elaborada com a finalidade de apurarmos o conhecimento do aluno na resolução de
problemas que remetem às operações de adição e subtração de números racionais
na forma fracionária.
66
Figura 21: Questão 7 do questionário de coleta de dados
Para a resolução da questão, há a necessidade de uma comparação entre medidas
de massas, como mostra a figura presente na questão, para equilibrar os pratos da
balança. Acreditamos que a resolução do problema será efetuada por meio das
operações matemáticas, adição e subtração, características essas do mundo
simbólico.
A Figura 22 apresenta a Questão 8 do questionário de coleta de dados. Essa
questão foi elaborada com a finalidade de observar o conhecimento do sujeito sobre
questões envolvendo características do mundo simbólico no subconstruto operador.
Figura 22: Questão 8 do questionário de coleta de dados
O emprego desse subconstruto dá-se quando necessitamos alterar uma quantidade.
Nessa questão, a nova quantidade é determinada com ação do operador
no valor
67
inicial da bicicleta, R$300,00. A resolução possui o uso de características do mundo
simbólico, pois atuamos com símbolos matemáticos.
A Questão 9 do questionário é apresentada na Figura 23. Essa questão foi inspirada
em uma questão utilizada na pesquisa de Moutinho (2005, p. 111).
Figura 23: Questão 9 do questionário de coleta de dados
A questão foi incluída no questionário pela necessidade de apurarmos o
conhecimento do sujeito no que se refere ao subconstruto medida, nesse caso,
entendendo o número racional na forma fracionária como um número. Remetendo
às pesquisas relacionadas em nossa revisão de literatura, elas mostram que o
indivíduo tem dificuldade de entender que a representação na forma fracionária
também é um número.
A questão traz a necessidade de localizar dois números racionais na forma
fracionária em uma reta, na qual estão apresentados números naturais. A reta real é
uma representação do conjunto dos números reais, cada número representa um
ponto nessa reta, ou seja, representa um elemento do conjunto dos números reais.
Entendemos que o aluno, para a resolução desta questão, trabalhará com
características do mundo formal já que a reta real é uma definição formal do
conjunto numérico.
Para a resolução, o sujeito também poderá fazer uso de características do mundo
corporificado no subconstruto medida, agindo na figura da reta numérica, dividindo o
segmento do número zero até o número um em três partes iguais para localizar o .
Também dividir em quatro partes iguais o segmento do número um ao dois para
localizar o
68
Como a questão traz a necessidade de entendimento e localização de um número
racional na forma fracionária na reta real, também o sujeito estará trabalhando com
características do mundo simbólico no subconstruto medida.
A Figura 24 apresenta a Questão 10 do questionário. Essa questão foi extraída de
Projeto Buriti (2007, p.143), com a finalidade de analisar o conhecimento desses
alunos em questões que possuem características do mundo simbólico relacionadas
ao subconstruto quociente.
Figura 24: Questão 10 do questionário de coleta de dados
A questão traz a necessidade de o indivíduo perceber que o número racional na
forma fracionária,
equivale à divisão “8 † 8” o que é igual a uma unidade, ou seja,
do bolo equivale ao bolo todo.
Embora seja feito o uso de símbolos matemáticos para a resolução dessa questão,
acreditamos que pode ocorrer a utilização de uma figura, ou mesmo do desenho do
bolo e dividi-lo para fazer a comparação entre a fala dos dois meninos. Com isso, o
indivíduo estará trabalhando com características do mundo corporificado.
A Questão 11 do nosso questionário é apresentada na Figura 25. Essa questão foi
extraída de Projeto Buriti (2007, p.147), com a finalidade de examinar o
conhecimento do indivíduo em questões que se referem ao uso de características do
mundo simbólico existentes no subconstruto razão, bem como o entendimento de
números racionais na forma fracionária iguais.
69
Figura 25: Questão 11 do questionário de coleta de dados
A questão traz a necessidade do aluno escrever os números racionais na forma
fracionária, utilizando o conhecimento do subconstruto razão, e de compará-los,
fazendo uso do conhecimento de números racionais equivalentes escritos na forma
fracionária.
Queremos analisar se o aluno utiliza os símbolos matemáticos para efetuar essa
comparação, resolvendo a questão de modo a apresentar os números racionais na
forma fracionária iguais às razões, e comparando-os para verificar quais são
equivalentes, trabalhando, assim, com características do mundo simbólico. Também
o aluno poderá efetuar essa comparação, por exemplo, desenhando figuras para
representar as meninas e o total de alunos e comparando os conjuntos; nesse caso,
efetuaria a resolução com características do mundo corporificado no subconstruto
razão.
A Figura 26 apresenta a Questão 12 do questionário. Essa questão foi elaborada
com a finalidade de analisarmos o conhecimento do aluno no que se refere à adição
de números racionais na forma fracionária, na qual as duas figuras são divididas em
quantidades de partes diferentes. A resolução dessa questão pode ser realizada
com características do mundo corporificado.
70
Figura 26: Questão 12 do questionário de coleta de dados
A questão apresenta a necessidade de que o aluno perceba que será preciso
efetuar uma nova divisão em uma das figuras, para que as torne equivalentes, e
depois elabore uma nova figura, com as mesmas divisões, pintando a soma das
partes pintadas. Haverá observação e ação sobre as figuras, características essas
do mundo corporificado no subconstruto parte-todo.
A Questão 13 do questionário é apresentada na Figura 27. Essa questão foi
elaborada e incluída no questionário com o intuito de analisarmos o conhecimento
do aluno sobre o número racional na forma fracionária com características do mundo
corporificado e do mundo formal. Para a resolução da questão o aluno terá que
realizar ação sobre o objeto, efetuando novas divisões, para que as partes fiquem
com a mesma área.
Figura 27: Questão 13 do questionário de coleta de dados
Fazendo essas novas divisões para deixar as partes com a mesma área, e, ao
escrever o número racional na forma fracionária correspondente à figura, conforme
solicitado no enunciado, o aluno pode mostrar seu conhecimento em uma questão
71
que se refere ao subconstruto parte-todo. Como a questão trata de manipulação,
ação e observação sobre o objeto, entendemos que a resolução tenha
características do mundo corporificado.
Salientamos que, apesar de termos indicado em cada questão, quais as
características de cada mundo existentes, o indivíduo pode efetuar a resolução
utilizando as características de um outro mundo, dependendo dos “já-encontrados”
presentes em sua imagem de conceito.
A Primeira Coleta de Dados
A primeira coleta de dados foi realizada com 41 alunos de duas 5as séries do ensino
fundamental, as quais denominamos, 5ª A e 5ª B, sendo 20 alunos da 5ª série A e
21 alunos da 5ª série B. As duas turmas possuem professores diferentes, que serão
referenciados como professor A, o professor da 5ª A, e professor B, o professor da
5ª B.
Antes do início das coletas de dados, foi solicitada autorização por escrito da
Direção da Unidade Escolar, para a realização desta pesquisa. Também foi enviado
aos responsáveis legais dos alunos participantes o “Termo de Consentimento Livre
e Esclarecido” (Apêndice 2, p.193), que foi assinado e arquivado com este
pesquisador, e uma cópia assinada deixada com os responsáveis pelos alunos.
Esses alunos, apesar de já estarem matriculados e freqüentando a 5ª série, até o
momento da primeira coleta de dados, não tinham tido nenhum contato com o
conteúdo de número racional na forma fracionária com um professor específico de
Matemática, pois todos freqüentaram a 4ª série no ano anterior.
A coleta de dados foi realizada em dois dias consecutivos. No primeiro dia, na 5ª
série B, e no segundo dia, na 5ª série A. As aplicações do questionário foram feitas
somente com a presença do pesquisador na sala com os alunos. Foi solicitado aos
professores de Matemática das turmas que não permanecessem na sala, para que
não tivessem nenhum contato com o questionário de coleta de dados, pois esse
72
contato poderia influenciar as aulas deles ao ensinar o conteúdo aos alunos,
modificando o resultado da nossa pesquisa.
A aplicação do questionário foi feita em uma seção de 100 minutos em cada uma
das duas turmas. O questionário, contendo treze questões, foi dividido em quatro
folhas, a primeira contendo as questões de 1 a 4, a segunda de 5 a 7, a terceira de 8
a 10, e a quarta folha as questões de 11 a 13. Essa divisão foi feita porque
acreditamos que a distribuição das questões de uma forma fracionada seria mais
dinâmica e menos cansativa para os alunos.
Para não atrapalhar a dinâmica de funcionamento da escola,
alunos que não
quiseram participar da pesquisa permaneceram na sala de aula, e a eles foi dada
uma atividade diferente, relacionada ao conteúdo de Matemática que estavam
aprendendo naquele momento do ano letivo.
Em ambas as turmas, antes da entrega da primeira folha, foi solicitado aos alunos
que, se fizessem um rascunho ao resolver as questões contidas no questionário,
que o fizessem na própria folha do questionário. Tal solicitação deve-se ao fato que,
para analisarmos o raciocínio do sujeito da pesquisa, à luz do quadro teórico dos
Três Mundos da Matemática, seria necessário analisarmos o modo de resolução
utilizado pelo sujeito para a resolução do problema proposto. Com essa análise, e
com as entrevistas semi-estruturadas com os alunos, analisamos se o sujeito utiliza
características dos mundos corporificado, simbólico e formal para a resolução das
questões contidas no questionário.
Efetuada a distribuição da primeira folha, foi realizada uma leitura das questões
contidas nela, a pedido dos alunos, por ser uma prática comum dos professores
daquela escola em sala de aula de 5ª série. Algumas perguntas como “posso
desenhar?”, “é para usar frações?”, por parte dos alunos, foram freqüentes no início
da atividade. A eles foi respondido que fizessem o que achassem necessário para a
resolução das questões, lembrando que não apagassem nada.
O mesmo processo foi realizado ao ser entregue a segunda folha. Uma pequena
pausa foi dada entre a segunda e a terceira folha, para que todos concluíssem a
segunda. Com isso, tivemos um melhor controle da entrega e recolhimento das
73
folhas. Após a pausa, foi entregue a terceira, e depois a quarta folhas, repetindo o
mesmo procedimento das primeiras.
A Segunda Coleta de Dados
A segunda coleta de dados foi realizada em dois dias. No primeiro dia, com 21
alunos da 5ª série B, e, no segundo dia, com 20 alunos da 5ª série A.
Antes do início da aplicação, depois que os alunos avistaram o questionário a ser
aplicado,
perguntaram
se
era
o
mesmo
da
primeira
coleta.
Diante
do
questionamento, informamos aos alunos que sim.
Diferentemente da primeira coleta de dados, os professores das turmas foram
autorizados a permanecer na sala com os alunos e o pesquisador, já que tal fato não
traria nenhum prejuízo para nossa pesquisa.
Novamente foi solicitado aos alunos que fizessem todos os rascunhos na própria
folha do questionário e que não apagassem, pois uma das coisas que iríamos
analisar era esse rascunho, para entender o modo de resolução utilizado para
responder as questões.
A exemplo da primeira coleta, o questionário foi dividido em quatro folhas, sendo
entregue aos alunos uma folha de cada vez. A folha seguinte somente era entregue
ao aluno após ele ter terminado a folha anterior.
O tempo reservado aos alunos para responderem o questionário foi de 100 minutos,
porém, diferentemente da primeira coleta, os alunos, tanto da 5ª série A como os da
5ª série B, utilizaram aproximadamente 80 minutos para concluírem a resolução das
questões contidas no questionário.
alunos comentaram que, dessa vez, o
questionário estava mais fácil.
Solicitamos aos professores que também respondessem o questionário, porém
pensando na maneira que utilizaram para ensinar o conceito dos números racionais
na forma fracionária a esses alunos.
74
Entrevista semi-estruturada com o aluno
Depois de separarmos as respostas apresentadas pelos 41 alunos participantes nos
questionários de coleta de dados, primeira e segunda coleta, em grupos de
categorias de respostas, destacamos seis alunos que abrangiam essas categorias
para participarem de uma entrevista. Isso foi feito para procurarmos uma melhor
compreensão do raciocínio do aluno ao responder as questões e também para
certificarmos que nossas análises dos protocolos estavam coerentes, na busca da
relação do raciocínio do aluno com as características dos Três Mundos da
Matemática e também com os subconstrutos.
Esses alunos foram entrevistados separadamente, em um único dia. O tempo gasto
para a entrevista dos seis alunos foi de seis horas, porém o tempo gasto com cada
aluno foi variado dependendo das categorias separadas para o questionamento na
entrevista. Participaram da entrevista os alunos por nós denominados 1A, 7A, 9A,
11B, 13B e o 17B, nessa ordem, este pesquisador e um observador, que também
participou de
questionamentos aos alunos. Vale salientar que os alunos
identificados com a letra A eram alunos que pertenciam à 5ª série A, e os
identificados com a letra B, pertencentes à 5ª série B.
As entrevistas foram áudio-gravadas e transcritas para a análise. Partes dessas
entrevistas foram detalhadas no Capítulo 4, Análise dos Dados, durante a
apresentação e análise dos dados.
Entrevista semi-estruturada com o professor
Elaboramos algumas perguntas para os professores das duas turmas, numa
tentativa de entender como foi fundamentado o ensino dos alunos das referidas 5ª
série A e 5ª série B sobre o conteúdo dos números racionais na forma fracionária, e
como isso interferiu na formação da imagem de conceito produzida pelos alunos.
Essas perguntas são necessárias para sabermos quais tipos de perguntas do
questionário são familiares aos alunos.
Relacionamos, a seguir, as perguntas a serem feitas aos dois professores das
turmas que participaram da pesquisa. Vale salientar que não faremos uma análise
75
detalhada dessas entrevistas. Elas servirão somente como subsídio para a análise
dos dados coletados com os alunos.
Perguntas das entrevistas com professores
1)
Qual foi o material usado para o planejamento das aulas sobre o número
racional na forma fracionária?
2)
Como foi essa utilização?
3)
Os exercícios que os alunos fizeram sobre o conteúdo foi retirado de algum
local específico?
4)
Como foi o trabalho dos alunos com as atividades propostas?
5)
Lembra de algo interessante/importante que aconteceu durante as
explicações ou durante o tempo que os alunos resolviam os exercícios?
6)
Como foi o desempenho dos alunos no conteúdo trabalhado?
7)
Para elaborar as avaliações, o senhor baseou-se em algum material
específico?
8)
Como os alunos se saíram nas suas avaliações sobre o conteúdo?
9)
Houve manipulação de objeto, réguas, figuras durante a aprendizagem dos
números racionais na forma fracionária? Por que?
10) Das questões contidas no questionário de coleta de dados, existe alguma
que contém algum conteúdo que não foi trabalhado com os alunos? Por
que?
11) Existe, no questionário, alguma questão que o senhor acha que seus alunos
não seriam capazes de responder? Por que?
As perguntas de 1 a 4 foram elaboradas para que consigamos verificar se o
professor, ao planejar suas aulas, fez uso de algum material específico, e caso
afirmativo, por que fez uso desse material.
As perguntas 5 e 6 foram preparadas para verificarmos o desempenho do aluno
durante o aprendizado do conteúdo dos números racionais na forma fracionária.
76
As perguntas 7 e 8 foram elaboradas para averiguarmos como os alunos se
comportaram frente às atividades propostas na avaliação elaborada pelo professor,
bem como, se houve algo interessante no momento da execução da avaliação.
O intuito da pergunta 9 é apurarmos se houve o uso de manipulações e observações
de outros objetos e figuras, para avaliarmos os trabalhos com características do
mundo corporificado realizados pelos alunos.
Com as perguntas 10 e 11, queremos verificar quais dos subconstrutos usados por
nós não foram trabalhados pelo professor durante o ensino dos números racionais
na forma fracionária na 5ª série.
Entrevistas com os Professores
As entrevistas foram realizadas após uma pré-análise dos dados coletados, para
sabermos exatamente o que perguntar aos professores. Eles foram entrevistados
separadamente para a resposta de um professor não interferir na resposta do outro.
Professor A:
O professor é licenciado em Matemática e Mestre em Educação Matemática. Possui
mais de dez anos de experiência, e já havia trabalhado com 5as séries anteriormente.
É importante ressaltar que o tema da dissertação desse professor foi sobre os
números racionais na forma fracionária, tendo ele conhecimento dos subconstrutos
utilizados em nossa pesquisa.
A entrevista durou aproximadamente uma hora, período esse em que o professor
explicou como trabalhou com seus alunos o conteúdo dos números racionais na
forma fracionária, como elaborou suas aulas e avaliações, e analisou as questões do
questionário, dizendo quais questões, segundo sua opinião, seus alunos teriam
condições de responder.
77
O professor disse que gostaria de ter trabalhado o conteúdo partindo da
manipulação de objetos para chegar ao uso de símbolos, porém não foi possível por,
segundo o professor, tratar-se de uma turma indisciplinada e numerosa, 40 alunos.
Então trabalhou mais os procedimentos para chegar à resolução dos exercícios.
O professor, na entrevista, disse que, para o planejamento das aulas, utilizou o
material fornecido pela Secretaria Estadual de Educação do Estado de São Paulo
(SEE)12 e o livro didático “Tudo é Matemática: ensino fundamental 6ª série”, autor
Luiz Roberto Dante, livro esse escolhido por ser o disponível para os alunos na
unidade escolar. Também usou esse material para a elaboração das avaliações. Um
conteúdo que trabalhou bastante foi a igualdade entre os números racionais na
forma fracionária, utilizando figuras feitas com cartolina para a manipulação por
parte dos alunos. De um modo geral, trabalhou focando mais o mundo simbólico,
apesar de acreditar que tem que partir de situações concretas. Os exercícios feitos
pelos alunos foram extraídos do material da SEE e do livro didático.
Esse professor disse, ainda, que o desempenho dos alunos na aprendizagem do
número racional na forma fracionária foi “fraco”, e que eles chegaram com pouco
conhecimento na 5ª série. Falou também que, durante o ensino do conteúdo,
trabalhou o número racional na forma fracionária como parte-todo, razão e
quociente.
Foi pedido ao professor que avaliasse as questões para dizer quais ele acreditava
terem os alunos condições de responder e quais os alunos não conseguiriam
elaborar uma resposta. O professor A, após verificar as questões contidas no
questionário de coleta de dados, disse que os alunos teriam, com o aprendizado da
5ª série, condições de responder as Questões 1, 2, 3, 5, 8, 10, 11 e 12. E que não
conseguiriam responder as Questões 4, 6, 7, 9, 13, pois esses tipos de situações
não foram trabalhadas.
12
A SEE elaborou um material didático, lançado em 2008, dividido em “Caderno do Professor”, que
possui sugestões de trabalho para o professor desenvolver o conteúdo previsto, e “Caderno do
Aluno”, contendo exercícios. Esse material foi distribuído para uso na rede pública estadual de ensino
do Estado de São Paulo, e é dividido em quatro volumes por série, um por bimestre.
78
Vale a pena comentar que, durante a entrevista, o professor disse que os alunos
chamam qualquer “pedaço” de “meio”.
Professor B
O professor B é licenciado em Matemática, possui mais de dez anos de experiência
e já tinha trabalhado com 5as séries anteriormente.
A entrevista teve duração de aproximadamente uma hora, período esse em que o
professor respondeu as perguntas preparadas para a entrevista e analisou o
questionário de coleta de dados para dizer quais questões seus alunos teriam
facilidades nas respostas.
Respondendo as 11 perguntas, o professor disse que utilizou o material da SEE,
caderno do aluno e do professor, e o livro didático “Tudo é Matemática: ensino
fundamental 6ª série”, autor Luiz Roberto Dante, livro esse que estava disponível
para os alunos na escola, para elaborar o planejamento das aulas e as avaliações.
Utilizou a seqüência do conteúdo apresentada no livro didático, adaptando o
conteúdo com o material da SEE. Durante o aprendizado do conteúdo, os alunos
fizeram os exercícios contidos no caderno do aluno e do livro didático. O professor
ainda disse que, no começo, os alunos participavam mais das aulas, pois
“parti da representação geométrica, usava uma figura para
demonstrar a fração. Quando passei para o ensino das operações, os
alunos prestavam menos a atenção. Parei de utilizar o geométrico e
comecei a ensinar por algoritmos”.
(Trecho da entrevista com o Professor B)
Ao ser perguntado sobre o desempenho dos alunos, o professor falou que não
conseguiu que eles tivessem um bom desempenho, pois os mesmos chegaram na
5ª série sem base para o aprendizado. Falou ainda que, nas avaliações, os alunos
tiravam boas notas, porém esse bom aprendizado não era o que ele enxergava
durante as aulas. Contou que, durante as aulas, só houve manipulação de desenhos
e figuras, mas nenhum objeto, e que essa manipulação foi só no início, parou no
momento do aprendizado das operações.
79
Ao ser solicitado para verificar as questões, para avaliar quais delas seus alunos
conseguiriam responder, o professor afirmou que os alunos conseguiriam responder
as Questões 1, 3, 6, 10, 11 e 12 com facilidade. Teriam dificuldades em responder
as Questões 2, 5, 9, 13, pois não foi trabalhado esse tipo de situação, e que teriam
grandes dificuldades para responder as Questões 4, 7 e 8, pois essas questões
envolviam muitas operações matemáticas.
Apresentamos, no capítulo
Capitulo 4: Análise dos Dados, as respostas
apresentadas pelos alunos, comentadas e analisadas com o uso das informações
contidas nos protocolos e nas entrevistas, buscando relações do raciocínio do aluno
com as características dos Três Mundos da Matemática, os subconstrutos, os “jáencontrados” e os “a-encontrar”, as imagens de conceito e os comentários,
comparando as informações dadas pelos dois professores em cada questão.
80
CAPITULO 4: ANÁLISE DOS DADOS
Com o objetivo de responder as questões de pesquisa e analisar as resoluções
feitas pelos alunos para as questões do questionário, analisamos os dados
coletados na primeira e na segunda coleta, e confrontamos essas análises. Essa
comparação servirá para verificarmos se as imagens de conceito sobre os números
racionais na forma fracionária dos indivíduos foram alteradas. Analisaremos se
novos “já-encontrados” ou “a-encontrar” interferiram no modo de resolução das
questões apresentadas no questionário de coleta de dados de nossa pesquisa, e
quais características dos Três Mundos da Matemática e dos subconstrutos estavam
envolvidas nas resoluções apresentadas.
Ao selecionar cada uma das questões do questionário, analisamos quais
características dos Três Mundos da Matemática e também dos subconstrutos
poderiam estar envolvidas na resolução delas, as quais apresentamos na Tabela 2
(p. 32). Contudo, mostraremos na análise contida neste capítulo, que alunos fizeram
uso de características diferentes das que apontamos, dependendo de seus “jáencontrados”. Essas características variam do uso de outros subconstrutos para a
resolução da questão e dos Três Mundos da Matemática.
Inicialmente, apresentamos para cada questão, as resoluções divididas em
categorias de respostas, algumas resoluções encontradas nos protocolos das
coletas de dados, bem como o relato de alunos, coletados nas entrevistas, sobre a
resolução dada por eles e a interferência dos “já-encontrados” usados. Em um
segundo momento, apresentamos as diferenças encontradas da primeira para a
segunda coleta. Finalmente, faremos uma reflexão à luz dos Três Mundos da
Matemática.
Para a apresentação da análise das questões, as dividimos em grupos de
subconstrutos. Assim, não apresentamos as questões seguindo a seqüência
numérica na qual elas aparecem no questionário. A seqüência que usaremos:
Questões 1, 3, 12 e 13, subconstruto parte-todo; Questões 4 e 11, subconstruto
razão; Questões 6 e 8, subconstruto operador; Questões 2 e 10, subconstruto
81
quociente; Questões 7 e 9, subconstruto medida; Questão 5, subconstruto
probabilidade.
QUESTÕES ENVOLVENDO O SUBCONSTRUTO PARTE-TODO
Análise das respostas para a Questão 1
Tanto o Professor A quanto o Professor B, disseram, na entrevista, que acreditavam
que seus alunos não teriam dificuldades em responder a Questão 1, já que a
situação apresentada na questão foi trabalhada com intensidade durante as aulas.
De fato, vemos, na Tabela 3, que 21 dos 41 alunos tiveram sucesso nessa questão
na segunda coleta. Também afirmaram que esse tipo de situação foi trabalhado
usando folhas e recortes feitos de cartolina, para manipulação por parte dos alunos.
Segundo o quadro teórico dos Três mundos da Matemática, esses professores, ao
ensinar, usaram características do mundo corporificado.
QUESTÃO 1
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
3
8
8
13
11
21
Inverteu numerador com o denominador
1
3
0
0
1
3
Representou a parte pintada e não pintada
deixando maior natural no denominador
3
4
2
2
5
6
Representou a parte pintada no numerador
e a não pintada no denominador
1
0
4
2
5
2
Representou a parte não pintada no
numerador e a pintada no denominador
5
1
3
3
8
4
Apresentou a parte pintada com um
número natural
0
3
0
0
0
3
Não respondeu
0
0
1
0
1
0
Outros
7
1
3
1
10
2
20
20
21
21
41
41
Total
Tabela 3: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 1
Apresentamos, na Tabela 3, as categorias de respostas dadas pelos alunos para a
Questão 1. Analisamos essas resoluções para buscarmos as características dos
82
Três Mundos da Matemática e do subconstruto parte-todo presentes nelas, e os “jáencontrados” que interferiram nas resoluções apresentadas pelos alunos.
Como observamos na Tabela 3, as resoluções para essa questão foram divididas
em oito categorias. Consideramos como pertencente à categoria “Respondeu
corretamente” as respostas dos alunos que efetuaram a dupla contagem de forma
correta, o número de partes pintadas apresentado no numerador e o número de
partes em que o objeto foi dividido no denominador dos números racionais na forma
fracionária. Na Figura 28, há um exemplo de resposta classificada nessa categoria,
que foi apresentada de forma similar por 11 alunos na primeira coleta e por 21 na
segunda, dentre os 41 participantes da coleta de dados. Vale salientar que nenhum
aluno apresentou como resposta para o hexágono o número .
Figura 28: Resposta do aluno (9A) para a Questão 1 na primeira coleta
Na categoria “Inverteu o numerador com o denominador”, os alunos também
efetuaram a dupla contagem, porém, representaram o número de partes em que o
objeto foi dividido no numerador e o total de partes pintadas no denominador, como
pode ser visto na Figura 29.
83
Figura 29: Resposta do aluno (1A) para a Questão 1 na primeira coleta
Já a categoria “Representou a parte pintada e não pintada deixando maior
natural no denominador” representa as respostas dos alunos que efetuaram a
contagem das partes que estavam pintadas e não pintadas, e escreveram o número
que representava a menor quantidade no numerador e a maior no denominador,
como apresentado na Figura 30, com cinco ocorrências na primeira coleta e seis na
segunda, dentre os 41 questionários. No exemplo, o aluno (5B) representa com o
numerador e o denominador a quantidade de partes pintadas e não pintadas,
colocando o maior número sempre no denominador. Vale salientar que os alunos,
aparentemente, não perceberam que representaram situações diferentes com o
mesmo número racional na forma fracionária, ou seja, apresentaram a mesma
resposta para o quadrado e para o losango.
Figura 30: Resposta do aluno (5B) para a Questão 1 na primeira coleta
Na categoria “Representou a parte pintada no numerador e a não pintada no
denominador”, os alunos apresentaram os números racionais na forma fracionária
84
escrevendo, no numerador, a quantidade de partes pintadas e, no denominador, a
quantidade de partes não pintadas. Um exemplo disso pode ser visto na Figura 31,
resposta similar à utilizada por cinco alunos na primeira coleta e dois na segunda
dentre os 41 participantes.
Figura 31: Resposta do aluno (21B) para a Questão 1 na primeira coleta
Na categoria “Representou a parte não pintada no numerador e a pintada no
denominador”, os alunos efetuaram o mesmo tipo de contagem, porém escreveram,
no numerador, a quantidade de partes não pintadas e, no denominador, a
quantidade de partes pintadas. Esta categoria contém respostas como a
apresentada na Figura 32, realizadas por oito alunos na primeira coleta e quatro na
segunda, que escreveram o número racional na forma fracionária usando o
numerador para representar a parte branca e o denominador para representar a
parte colorida.
Figura 32: Resposta do aluno (11A) para a Questão 1 na primeira coleta
85
Na categoria “Apresentou a parte pintada com um número natural” estão as
respostas dos alunos que efetuaram a contagem das partes pintadas e as
representaram com um número do conjunto dos números naturais, como na Figura
33, o que foi feito por três alunos na segunda coleta de dados. Eles apresentaram a
resposta com o número natural correspondente às partes que estavam pintadas nas
figuras. Respostas nesta categoria apareceram somente na segunda coleta.
Figura 33: Resposta do aluno (12A) para a Questão 1 na segunda coleta
A categoria “Não respondeu” refere-se aos alunos que não apresentaram resposta
para esta questão.
alunos apresentaram respostas como pintar o espaço reservado para as respostas,
respostas rasuradas e os números
dentre outras, as quais classificamos como
categoria “Outros”. Vale destacar que a quantidade de alunos nessa categoria
diminuiu de sete na primeira para três na segunda coleta.
Diferenças entre as coletas
Se compararmos o número de acertos da segunda coleta com o número de acerto
da primeira, vemos que, provavelmente, houve melhora no entendimento dessa
situação por parte dos alunos, no que se refere à observação das características do
mundo corporificado, representando a resposta com características do mundo
simbólico do subconstruto parte-todo.
86
Porém, embora a quantidade de alunos que acertaram as questões tenha
aumentado de 11 para 21, alunos, aparentemente, não assimilaram o conceito da
representação do número racional na forma fracionária, pois, na análise das
entrevistas, os alunos que foram questionados sobre as respostas apresentadas na
primeira e na segunda coleta, aparentemente não concordam que a resposta dada
na segunda coleta está correta.
Na entrevista com o aluno (7A), ele foi questionado sobre as respostas dadas por
ele na primeira e na segunda coletas. Como as respostas foram diferentes,
perguntamos qual delas era considerada correta por ele.
P.
Qual você acha que está certo, esse ou esse? [referindo-se a
primeira e à segunda coleta].
7A.
Esse [mostrando o questionário da primeira coleta].
P.
O que você fez a primeira vez?
7A.
É.
P.
O numerador é?
7A.
A parte pintada e o denominador a parte não pintada.
Trecho de entrevista com aluno (7A)
Observando as respostas apresentadas pelo aluno (7A) nesse trecho da entrevista,
nota-se que, embora tenha respondido corretamente, a representação do número
racional na forma fracionária, aparentemente, não está clara para ele.
Já o aluno (13B), embora, nas figuras triângulo, hexágono e losango, tenha efetuado
a dupla contagem de forma correta, mostrou, na resposta apresentada para o
quadrado, que pode não ter compreendido completamente o conceito.
P.
Aqui na segunda vez você respondeu diferente. Que número
é esse aqui do quadrado?
13B.
Um quarto.
P.
Do triângulo?
13B.
Um dois (sic).
P.
Do hexágono.
13B.
Dois sextos.
P.
Do losango?
13B.
Um quarto.
P.
O que é esse um? [referindo ao numerador no quadrado].
13B.
A parte que não está pintada.
87
P.
E o quatro? [referindo ao denominador no quadrado].
13B.
As partes em que o quadrado foi divido.
P.
O triângulo?
13B.
Um a parte pintada e dois as partes que ele foi dividido.
P.
O hexágono?
13B.
Dois as partes pintadas e seis as partes em que foi dividido.
P.
O losango?
13B.
Um a parte pintada e quatro a que foi dividida?
P.
Por que nesses três você colocou no denominador as partes
pintadas e no quadrado você colocou a não pintada?
13B.
Acho que me confundi.
P.
Confundiu?
13B.
Espera aí, não me confundi, está certo.
P.
Está certo?
13B.
É, um a parte que não está pintada e quatro as partes que foi
dividida.
P.
Qual você acha que está certo? A resposta da primeira ou da
segunda vez?
13B.
Da segunda.
P.
Por que?
13B.
Por que no denominador tem que representar as partes em
que foi divida.
Trecho de entrevista com aluno (13B)
Na entrevista, o aluno (13B) mostra, com a resposta da figura quadrado, que pode
não ter compreendido completamente a representação do número racional na forma
fracionária para quantidades contínuas, pois ele representou, no numerador, a
quantidade de partes que não estavam pintadas, ao invés das partes que estavam
pintadas, como fez em relação às outras figuras. Entendemos que, como o quadrado
foi a única que o aluno errou, pode ter sido distração, mas talvez haja mesmo um
problema no conceito entendido pelo aluno.
Quatro alunos apresentaram respostas na segunda coleta que enquadramos na
categoria “Representou a parte não pintada no numerador e a pintada no
denominador”. Se compararmos as respostas apresentadas por esses alunos na
primeira coleta com as resposta na segunda, somente um deles apresentou a
mesma resposta nas duas coletas, os demais responderam de formas distintas.
Porém, vale salientar que somente um dentre esses alunos efetuou a dupla
88
contagem de maneira correta, mas representou numerador e denominador de forma
invertida, os outros cometeram erros que enquadramos na categoria “Outros”, como
respostas rasuradas e desenhos.
Na segunda coleta, seis alunos apresentaram respostas que encaixam na categoria
“Representou a parte pintada e não pintada deixando maior natural no
denominador”. Comparando com os protocolos da primeira coleta, notamos que os
cinco alunos que responderam dessa maneira na primeira repetiram a resposta na
segunda coleta. O aluno (8B) respondeu diferente na primeira, indicou a parte não
pintada no numerador e a parte pintada no denominador.
Na categoria “Representou a parte pintada no numerador e a não pintada no
denominador”, dois alunos apresentaram a resposta da mesma forma na primeira e
na segunda coleta. Dentre os cinco alunos que responderam dessa forma na
primeira coleta, três deles não apresentaram a mesma resposta na segunda coleta,
porém
continuaram
errando
a
questão,
pois
apresentaram
os
números
representando nos numeradores as partes não pintadas e nos denominadores as
partes pintadas.
Na primeira coleta, não houve resposta que se enquadrasse na categoria
“Apresentou a parte pintada com um número natural”, sendo esta a única
categoria que não apareceu em ambas as coletas. Os alunos que, na segunda
coleta, deram resposta nessa categoria, responderam, na primeira, apresentando as
partes não pintadas nos numeradores e a partes pintadas nos denominadores dos
números racionais na forma fracionária.
De uma forma geral, as respostas apresentadas para a Questão 1 nos levam a
sugerir que, sobre a representação do número racional na forma fracionária para
quantidades contínuas, as imagens de conceito desses alunos ficaram mais ricas,
ou seja, um número maior de alunos mostrou compreensão da dupla contagem e da
representação do número racional na forma fracionária.
89
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Para ilustrar o tipo de características dos Três Mundos da Matemática usados nessa
questão, tomaremos como exemplo o aluno (1A), que, na primeira coleta, inverteu o
numerador pelo denominador, ou seja, embora tenha efetuado a dupla contagem de
maneira correta, representou, no numerador, o total de partes em que o objeto foi
dividido, e no denominador, o total de partes destacadas.
P.
Leia esse número que você escreveu aqui para mim.
1A.
Quatro terços.
P.
E esse?
1A.
Dois.... eu não sei como lê esse daqui de baixo.
P.
E esse aqui?
1A.
Seis meios.
P.
E esse?
1A.
Não sei.
P.
O número que você não sabe ler é quando o um está
embaixo?
1A.
É.
P.
Por que você respondeu assim. Conta para mim.
1A.
Em cima eu contei quantos tinha e contei os pintados e
coloquei embaixo.
P.
A quantidade total que estava dividida a figura em cima?
1A.
E a parte pintada embaixo.
Trecho de entrevista com aluno (1A)
Após a observação e análise das respostas nos questionários e nas entrevistas com
os alunos, como o aluno (1A), entendemos que, embora tenham representado as
respostas com símbolos matemáticos, característica do mundo simbólico, os alunos
observaram e agiram sobre o objeto, figura. Assim entendemos que, nessa questão,
os alunos responderam utilizando características do mundo corporificado, efetuando
a contagem das partes pintadas, não pintadas e totais de partes das figuras. É
possível que falte, para alunos, entenderem as características do mundo formal no
subconstruto parte-todo, ou seja, efetuar a dupla contagem e escrever a
representação
indicando a situação apresentada em cada figura.
90
Observamos que, nessa questão, alunos já tinham a dupla contagem, quantidade
de partes destacadas e quantidade de partes em que o objeto foi dividido, com um
“já-encontrado”, e outros alunos o adquiram na 5ª série, pois vários alunos já tinham
efetuado a dupla contagem de uma forma correta na primeira coleta.
Análise das respostas para a Questão 3
Nas entrevistas, os Professores A e B disseram que acreditavam que seus alunos
teriam um bom desempenho nessa questão, pois a situação apresentada na
questão foi bastante trabalhada durante as aulas. Ainda afirmaram que esse tipo de
situação foi trabalhado usando material, folhas, cartolina, para manipulação por
parte dos alunos. Segundo o quadro teórico dos Três mundos da Matemática,
trabalharam com características do mundo corporificado.
Na Tabela 4, estão as categorias de respostas apresentadas pelos alunos para a
Questão 3. Analisamos estas respostas para buscarmos as características dos Três
Mundos da Matemática e do subconstruto parte-todo presente nelas, e os “jáencontrados” que interferiram nas resoluções apresentadas pelos alunos.
QUESTÃO 3
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
2
7
10
8
12
15
Respondeu a quantidade de copos de
cada cor com um número natural
8
5
4
4
12
9
Respondeu
1
2
1
4
2
6
Inverteu o numerador com o denominador
1
1
1
0
2
1
Respondeu
3
1
2
2
5
3
Não respondeu
0
2
1
1
1
3
Outros
5
2
2
2
7
4
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 4: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 3
91
As respostas para a Questão 3 foram divididas em sete categorias, como visto na
Tabela 4. Os alunos da categoria “Respondeu corretamente”, 12 na primeira e 15
na segunda coleta, o fizeram de maneira similar à apresentada na Figura 34,
aparentemente contando a quantidade de copos, e representando essa quantidade
no denominador e a quantidade da referida cor, representando no numerador.
Figura 34: Resposta do aluno (14A) para a Questão 3 na primeira coleta
Doze alunos na primeira coleta e nove na segunda, dos 41 participantes tiveram
suas respostas classificadas na categoria “Respondeu a quantidade de copos de
cada cor com um número natural”, pois não fizeram nenhuma relação entre a
quantidade de copos da cor com o total de copos, como no exemplo apresentado na
Figura 35.
Figura 35: Resposta do aluno (6A) para a Questão 3 na primeira coleta
92
Dois alunos na primeira coleta e seis na segunda escreveram o número racional na
forma fracionária indicando no denominador e no numerador a quantidade de copos
referentes a cada cor, como o apresentado no exemplo da Figura 36. Essa resposta
refere-se à categoria “Respondeu
”.
Figura 36: Resposta do aluno (19B) para a Questão 3 na segunda coleta
Dois alunos na primeira coleta responderam como na Figura 37, invertendo as
posições do numerador com o denominador, caracterizados na categoria “Inverteu
o numerador com o denominador”; na segunda coleta somente um aluno
respondeu dessa maneira.
Figura 37: Resposta do aluno (1A) para a Questão 3 na primeira coleta
93
A categoria “Respondeu
” engloba as respostas de cinco alunos
apresentadas na primeira coleta e três na segunda, dos 41 alunos participantes, e
são similares à apresentada na Figura 38, apresentando a quantidade de copos de
cada cor no denominador.
Figura 38: Resposta do aluno (17A) para a Questão 3 na primeira coleta
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu”.
Sete alunos na primeira coleta e quatro na segunda, apresentaram respostas como
mostrar a adição das quantidades de copos separados por cores, respostas
rasuradas e os números
dentre outras, as quais classificamos como categoria
“Outros”.
Diferenças entre as coletas
A quantidade de alunos da 5ª série A que efetuaram a dupla contagem de uma
forma correta, quantidade de objetos destacados e quantidade total de elementos do
conjunto, aumentou de três na primeira coleta para oito na segunda. O mesmo não
aconteceu na 5ª série B, na qual a quantidade na primeira coleta foi onze e na
segunda, oito. Salientamos que, nessa questão, a quantidade a ser analisada pelos
alunos era uma quantidade discreta. Além disso, somente oito alunos que acertaram
94
a questão na primeira coleta voltaram a acertá-la na segunda; os outros quatro
alunos que acertaram a questão na segunda coleta apresentaram, na primeira,
respostas variadas, como responder com um número natural e apresentar números
racionais na forma fracionária não correspondentes à situação. O mesmo aconteceu
com as respostas classificadas nas outras categorias, ou seja, a maioria dos alunos
apresentou respostas diferentes e variadas da primeira para a segunda coleta.
Os alunos que apresentaram respostas enquadradas na categoria “Respondeu a
quantidade de copos de cada cor com um número natural” fizeram a contagem
do total de copos de cada cor. Ao ser questionado, o aluno (7A), o qual respondeu
da mesma forma que o exemplo apresentado na Figura 35, disse que, nessa
primeira coleta, somente contou a quantidade de copos de cada cor reconhecendo
que deveria ter contado também a quantidade total de copos.
P.
O que você escreveu aqui?
7A.
Quatro copos do verde.
P.
E aqui?
7A.
Três copos do vermelho.
P.
E aqui?
7A.
Dois copos do amarelo.
P.
Por que você escreveu números assim?
7A.
É para mostrar, esses são quatro verdes está perguntando, é
só contar, então coloca quatro copinhos verdes, dois
amarelos e três vermelhos. Só que devia fazer assim, quatro
nonos. Devia ser né?
P.
Será?
7A.
Acho que sim.
P.
E aqui como ia ficar?
7A.
O amarelo? Dois nonos.
P.
E o vermelho?
7A.
Três nonos.
P.
O nono seria?
7A.
Eles todos, um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito, nove.
P.
E o três a quantidade?
7A.
Olhe, de nove quatro são pintados, então são quatro nonos.
Trecho de entrevista com aluno (7A)
95
O aluno 7A demonstrou que, depois do conteúdo estudado na 5ª série,
compreendeu a dupla contagem para quantidades discretas, e também a
representação
do
número
racional
na
forma
fracionária,
aparentemente
demonstrando domínio do subconstruto parte-todo para quantidades discretas.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
As respostas apresentadas na categoria “Respondeu corretamente” nos levam a
deduzir que os alunos dessa categoria observaram os objetos, características do
mundo corporificado, e responderam utilizando a representação simbólica do
número racional na forma fracionária. Entendemos, assim, que esses alunos
utilizaram características do mundo corporificado no subconstruto parte-todo para a
resolução, efetuando uma dupla contagem observando os objetos (copos)
representados na questão. Porém, também fizeram uma relação entre a contagem
do mundo corporificado e a representação do mundo simbólico, e essa
representação obedecendo as características do mundo formal no subconstruto
parte-todo.
Os dois alunos que tiveram as respostas enquadradas na categoria “Inverteu o
numerador com o denominador” na primeira coleta, apesar de conseguirem
analisar a situação proposta, efetuando a dupla contagem de uma forma correta,
inverteram o numerador com o denominador. Ao ser questionado na entrevista, um
deles respondeu:
P.
Na Questão 3, você escreveu esses números aqui. Leia para
mim os números. Copos verdes?
1A.
Nove quartos.
P.
Copos de cor vermelha?
1A.
Nove terços.
P.
E o de cor amarela?
1A.
Nove meios.
P.
Como você chegou a esse número? Por exemplo, o de copos
verdes, nove quartos.
1A.
Eu contei quantos copos tinha no total e peguei os verdes.
P.
A mesma coisa você fez nos outros?
96
1A.
É.
P.
Só que aqui na segunda vez você não fez a mesma coisa que
fez na Questão 1. Você colocou o quatro em cima e o nove
embaixo. Está vendo aqui você tinha invertido e aqui você
inverteu também. Você lembra por que você fez assim?
1A.
Eu não lembro.
P.
Mas qual dos dois você acha que está certo? Se eu pedisse
para você responder o questionário agora, como você
responderia?
1A.
Igual a esse [apontando para o questionário respondido na
primeira coleta].
P.
O nove em cima e o quatro embaixo?
1A.
É.
Trecho de entrevista com aluno (1A)
De acordo com a resposta apresentada pelo aluno (1A) na entrevista, ele já tinha
como “já-encontrado” a dupla contagem, anteriormente à 5ª série. Porém, apesar de
ter representado na segunda coleta o número racional na forma fracionária
corretamente, essa representação não se tornou um novo “já-encontrado”, pois, o
aluno ainda acha que a representação correta foi a apresentada na primeira coleta,
na qual representou no numerador o total de objetos contidos no conjunto e no
denominador o total de copos destacados pelas cores. Acreditamos que isso seja
porque o aluno não compreendeu as características do mundo formal no
subconstruto parte-todo.
Análise das respostas para a Questão 12
Durante as entrevistas com os professores, perguntamos como achavam que seus
alunos se saíram ao responderem a Questão 12. Os Professores A e B disseram
que, apesar de não terem trabalhado com seus alunos nada parecido com essa
questão, acreditavam que eles teriam um bom desempenho na questão, já que a
equivalência foi muito trabalhada durante as aulas e que as figuras apresentadas na
questão facilitariam o entendimento dos alunos. Disseram ainda que, para
ensinarem equivalência, utilizaram material concreto, folhas e figuras feitas com
cartolina.
97
A resolução da Questão 12 refere-se a características do mundo corporificado no
subconstruto parte-todo. Na Tabela 5, apresentamos as categorias de respostas
para esta questão.
QUESTÃO 12
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
5
8
6
4
11
12
Desenhou um círculo dividido em quatro
partes e pintou duas
5
0
4
4
9
4
Desenhou um círculo dividido em oito
partes e pintou duas
1
2
0
2
1
4
Desenhou um círculo dividido em seis
partes e pintou duas
Escreveu os números racionais na forma
fracionária correspondentes aos dois
círculos desenhados
3
1
5
4
8
5
3
1
0
2
3
3
Não respondeu
0
0
0
1
0
1
Outros
3
8
6
4
9
12
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 5: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 12
Verificando a Tabela 5, vemos que as respostas foram divididas em sete categorias.
Onze na primeira coleta e 12 na segunda, dentre os 41 alunos participantes,
apresentaram
respostas
que
classificamos
na
categoria
“Respondeu
corretamente”. Dividimos essa categoria em dois grupos; no primeiro, os alunos que
apresentaram a adição somente com características do mundo corporificado, e no
segundo grupo, os alunos que apresentaram a resposta com características do
mundo corporificado e do mundo simbólico.
No primeiro grupo, sete alunos na primeira coleta e nove na segunda apresentaram
a resposta como no exemplo da Figura 39, efetuando a adição das partes
destacadas nas figuras e representando essa soma com características do mundo
corporificado, ou seja, manipulando os objetos (figuras geométricas).
98
Figura 39: Resposta do aluno (6A) para a Questão 12 na primeira coleta
No segundo grupo, quatro alunos na primeira coleta e três na segunda
apresentaram a resposta conforme a Figura 40, apresentaram, além da figura, a
operação de adição com os números racionais na forma fracionária.
Figura 40: Resposta do aluno (17B) para a Questão 12 na primeira coleta
Nove alunos na primeira coleta e quatro na segunda apresentaram respostas à
questão como no exemplo da Figura 41, classificadas como categoria “Desenhou
um círculo dividido em quatro partes e pintou duas”. Eles somaram as partes
pintadas das duas figuras, parte pintada da primeira figura com a parte pintada da
segunda figura, desenhando uma figura dividida em quatro partes destacando duas.
99
Figura 41: Resposta do aluno (19B) para a Questão 12 na primeira coleta
A resposta do aluno (15A) foi a única na primeira coleta classificada na categoria
“Desenhou um círculo dividido em oito partes e pintou duas”, está apresentada
na Figura 42. Ele desenhou um círculo, dividiu-o em oito partes e pintou duas. Na
segunda coleta, quatro alunos apresentaram essa resposta.
Figura 42: Resposta do aluno (15A) para a Questão 12 na primeira coleta
Oito alunos na primeira coleta e cinco na segunda apresentaram a resposta à
questão na categoria “Desenhou um círculo dividido em seis partes e pintou
duas” como na Figura 43, isto é, somaram as partes divididas das duas figuras, um
total de seis partes, e as partes pintadas, um total de duas, desenhando uma figura
dividida em seis partes com duas pintadas.
100
Figura 43: Resposta do aluno (18A) para a Questão 12 na primeira coleta
Tanto na primeira como na segunda coleta, três alunos responderam como no
exemplo apresentado na Figura 44, categoria “Escreveu os números racionais na
forma fracionária correspondentes aos dois círculos desenhados”. Os alunos
escreveram os números racionais na forma fracionária, porém, de uma forma
incorreta, pois, no segundo círculo, representaram, no numerador, a parte pintada e
no denominador a parte não pintada, e não efetuaram a soma, conforme solicitado
no enunciado da questão.
Figura 44: Resposta do aluno (12A) para a Questão 12 na primeira coleta
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu”.
Nove alunos na primeira coleta e doze na segunda apresentaram respostas como
desenhar figuras e pintadas totalmente, respostas com números racionais na forma
fracionária diferente de
ou números inteiros, respostas rasuradas, dentre outras,
as quais classificamos como categoria “Outros”.
101
Diferenças entre as coletas
Houve pouca mudança nas respostas da primeira para a segunda coleta nessa
questão. Porém, o que nos chamou a atenção foram cinco alunos que haviam
acertado a questão na primeira coleta e não acertaram na segunda. Dentre os cinco,
quatro foram categorizados na categoria “Outros” e um na categoria “Não
respondeu”. Dez alunos na primeira coleta e dezesseis na segunda continuaram
demonstrando não compreender a dupla contagem, e, aparentemente, 30 alunos na
primeira coleta e 29 na segunda, não observaram que, comparando as duas figuras,
as partes tinham áreas diferentes. Somente houve, por parte de alunos, a mudança
do uso de características dos Três Mundos da Matemática que iremos detalhar na
próxima seção.
Dentre os quatro alunos que, para a segunda coleta, deram respostas pertencentes
à categoria “Desenhou um círculo dividido em oito partes e pintou duas”, na
primeira coleta, dois não responderam e dois estavam na categoria “Desenhou um
círculo dividido em seis partes e pintou duas”. Nas demais categorias, não houve
nenhuma mudança significativa além das já citadas.
Em entrevista com os professores, os mesmos disseram que não trabalharam esse
tipo de situação. O Professor A acreditava que os seus alunos responderiam usando
a adição dos números racionais na forma fracionária, apesar de as figuras estarem
em evidência, e achava que a maioria deles erraria a questão. O professor B afirmou
o contrário em relação a seus alunos, isto é, que seus alunos teriam facilidade em
responder essa questão, mesmo não sendo por ele trabalhada essa situação.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Mesmo o enunciado da questão sugerindo ao aluno o uso de características do
mundo corporificado para a resolução, três alunos a resolveram com características
do mundo simbólico. Perguntamos ao aluno (11B) sobre o uso dessas
características.
P.
Por que você dividiu em seis partes?
11B
Eu contei aqui [apontando para as duas figuras].
102
P.
E você pintou quantas partes?
11B
Duas.
P.
Por que?
11B
As pintadas.
P.
Será que você fez a mesma coisa na segunda? Você mudou
11B
Mudei.
P.
Agora você fez um círculo e dividiu em quatro. Por que?
11B
Por causa dessas contas.
P.
O que tem essas contas?
11B
Eu fiz aqui um sobre dois vezes dois.
P.
Para que?
11B
Para ficar igual a esse. [referindo-se ao outro número].
P.
E depois?
11B
Eu somei
P.
E?
11B
E deu esse, .
P.
O que você fez primeiro, o desenho ou a conta?
11B
A conta.
P.
Por que?
11B
Porque é mais fácil.
P.
E por que aqui você não fez conta? [apontando para a
.
primeira coleta].
11B
Eu ainda não sabia.
Trecho de entrevista com aluno (11B)
Entendemos que, nesse caso, o aluno (11B) se apropriou de um “a-encontrar”, a
adição de números racionais na forma fracionária com denominadores diferentes.
Esse “a-encontrar” interferiu no modo do aluno resolver a questão, ou seja, ao invés
de agir sobre a figura, redividindo o primeiro círculo para deixar equivalente ao
segundo e depois contar as partes pintadas, ele utilizou a adição dos números
correspondentes à figura e depois desenhou a figura correspondente à soma.
Entendemos que o aluno adquiriu entendimento das características do mundo formal
no subconstruto parte-todo, pois demonstrou ter entendido tais características ao
efetuar a resolução da situação com a operação de adição e a equivalência entre os
números racionais na forma fracionária.
103
Análise das respostas para a Questão 13
Ao serem questionados durante as entrevistas sobre a Questão 13, os Professores
A e B disseram que, provavelmente, seus alunos teriam dificuldades para responder
a referida questão, pois eles não trabalharam a situação apresentada na questão
durante suas aulas.
A resolução da Questão 13 refere-se a características do mundo corporificado no
subconstruto parte-todo. Na Tabela 6, apresentamos as categorias elaboradas para
esta questão.
QUESTÃO 13
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
0
4
0
0
0
4
Respondeu
11
4
9
3
20
7
Respondeu
3
3
5
14
8
17
Respondeu
2
0
0
0
2
0
Respondeu
1
0
0
0
1
0
Não respondeu
2
0
3
1
5
1
Outros
1
9
4
3
5
12
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 6: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 13
Na primeira coleta, nenhum aluno acertou esta questão. Já na segunda, quatro
alunos responderam de forma correta como o exemplo apresentado na Figura 45,
que classificamos na categoria “Respondeu corretamente”. Os alunos redividiram a
figura, de modo que as partes ficassem com a mesma área e apresentaram o
número racional na forma fracionária correspondente. Vale enfatizar que todos os
alunos que perceberam a necessidade de dividir a figura em partes de mesma área,
uma característica do mundo formal no subconstruto parte-todo, acertaram a
questão.
104
Figura 45: Resposta do aluno (9A) para a Questão 13 na segunda coleta
Vinte alunos na primeira coleta e sete na segunda apresentaram a resposta à
questão como no exemplo da Figura 46, que classificamos como “Respondeu ”.
Esses alunos indicaram a parte pintada no numerador e a parte não pintada no
denominador do número racional na forma fracionária, aparentemente não
observando que as partes divididas não eram de mesma área.
Figura 46: Resposta do aluno (18B) para a Questão 13 na primeira coleta
Oito alunos na primeira coleta e dezessete na segunda apresentaram a resposta à
questão como no exemplo da Figura 47, que classificamos “Respondeu
”.
Indicaram a parte destacada no numerador, e a quantidade de partes em que o
quadrado foi dividido no denominador do número racional na forma fracionária,
porém aparentemente não atentaram que as partes não eram de mesma área.
105
Figura 47: Resposta do aluno (4B) para a Questão 13 na primeira coleta
Dois alunos na primeira coleta responderam a questão como classificamos
“Respondeu ” o qual apresentamos no exemplo da Figura 48. Esses dois alunos,
na primeira coleta, indicaram a parte destacada no denominador e a parte não
destacada no numerador do número racional na forma fracionária, porém não
observaram que as partes divididas não eram de mesma área.
Figura 48: Resposta do aluno (12A) para a Questão 13 na primeira coleta
A resposta do aluno (1A) está apresentada na Figura 49 foi classificada como
“Respondeu
“. O aluno Indicou a parte pintada no denominador, e a quantidade de
106
partes em que o quadrado foi dividido no numerador do número racional na forma
fracionária, efetuando a dupla contagem, porém invertendo o numerador pelo
denominador e não observando que as partes não eram de mesma área.
Figura 49: Resposta do aluno (1A) para a Questão 13 na primeira coleta
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu”.
Cinco alunos na primeira coleta e doze na segunda apresentaram respostas como
desenhar figuras e pintadas totalmente, respostas com números racionais na forma
fracionária diferente das indicadas nas categorias ou números inteiros, respostas
rasuradas, dentre outras, as quais classificamos como categoria “Outros”.
Diferenças entre as coletas
Houve mudança significativa da primeira para a segunda coleta, se pensarmos na
dupla contagem, total de partes em que o objeto foi dividido e a quantidade de
partes pintadas, a quantidade de alunos que efetuou a dupla contagem passou de
oito na primeira coleta para 21 na segunda. Porém, somente quatro alunos na
segunda coleta, observaram que a figura estava dividida em partes de áreas
diferentes, ou seja, esses alunos efetuaram uma redivisão da figura para que as
partes ficassem com áreas iguais (veja Figura 45, página 104). Na primeira coleta,
aparentemente, nenhum aluno observou que as partes eram de áreas diferentes.
107
As outras categorias de respostas para essa questão tiveram uma queda em suas
quantidades, pois 27 alunos responderam efetuando a dupla contagem, apesar de
não levarem em conta que as partes tinham áreas diferentes. Vale salientar que o
número de alunos que apresentaram respostas da categoria “Outros” também
aumentou de cinco na primeira coleta para doze na segunda. Acreditamos que esse
número aumentou devido aos alunos buscarem efetuar divisões nas figuras, como o
exemplo apresentado na Figura 50. O aluno 18A efetuou uma redivisão da figura,
dividindo o retângulo maior formado na figura em duas partes, efetuando a dupla
contagem com a nova divisão. Não foram criadas novas categorias, pois as divisões
efetuadas na figura foram variadas.
Figura 50: Resposta do aluno (18A) para a Questão 13 na segunda coleta
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
É importante observar que todos os alunos que perceberam a necessidade de dividir
a figura em partes de mesma área acertaram esta questão. Os outros alunos,
aparentemente, não compreenderam as características do mundo formal do
subconstruto parte-todo, ou seja, a necessidade de o objeto estar dividido em partes
de mesma área.
Nessa questão, em que as partes de áreas diferentes estavam em uma única figura,
quatro alunos, na segunda coleta, entenderam que as partes devem ser de áreas
iguais para podermos representar com um número racional na forma fracionária. O
108
aluno (9A) que, utilizando características do mundo corporificado, e observando as
características do mundo formal, resolveu corretamente a questão na segunda
coleta, explicou o porque da divisão na entrevista.
?
P.
Por que
9A.
Porque tem uma pintada, e eu não sabia direito, eu contava a
parte pintada e as partes que não estavam pintadas.
P.
Agora aqui na segunda você mudou. Conta para mim o que
você fez.
9A.
Por que tinha dezesseis quadrinhos e só um pintado.
P.
E por que você resolveu dividir em mais partes?
9A.
Porque os quadradinhos tinham que ser do mesmo tamanho.
P.
Como que é?
9A.
Os quadrados tinham que ficar todos do tamanho desse, e aí
ficaram dezesseis e um pintado.
Trecho de entrevista com aluno (9A)
Vemos no trecho da entrevista que o aluno 9A observou que a figura estava dividida
em partes de áreas diferentes, e a redividiu para efetuar a dupla contagem, e para
depois representar a figura com um número racional na forma fracionária.
DIFERENÇAS ENTRE AS COLETAS NO SUBCONSTRUTO PARTE-TODO
Nas questões 1 e 13, as quais envolviam o raciocínio do aluno em uma única figura,
os alunos tiveram uma melhora significativa no entendimento da dupla contagem,
entendendo que devem contar o total de partes na qual o todo foi dividido e o total
de partes pintadas. Porém, na Questão 3, que envolvia quantidade discreta e na
Questão 12, que envolvia o confronto de duas figuras, os alunos não obtiveram o
mesmo sucesso. Aparentemente, dezenove alunos na primeira coleta e dezoito na
segunda observaram na Questão 3 um conjunto de copos de mesma cor e não o
conjunto de copos como um todo, ou seja, todos os copos juntos. Na Questão 12,
aparentemente, analisaram as figuras separadamente, ou seja, não perceberam que
os círculos estavam divididos em partes diferentes, em duas partes na primeira
figura e em quatro partes a segunda.
109
Entendemos que, mesmo que o número de acertos tenha sido maior na segunda
coleta do que na primeira, houve pouca melhora no entendimento da representação
do número racional na forma fracionária. Vimos, na análise da Questão 1, que o
aluno 7A, mesmo acertando na segunda coleta acha que a maneira como
respondeu na primeira está correta. Percebemos que o que falta para esses alunos
são as características do mundo formal do subconstruto, que iremos discutir na
próxima seção.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática no subconstruto parte-todo
Os alunos usaram características do mundo corporificado para a resolução das
questões, com exceção da Questão 12, na qual três alunos utilizaram características
do mundo simbólico, mesmo a questão sugerindo o uso de características do mundo
corporificado.
Vale salientar que, embora o número de alunos que efetuaram a dupla contagem de
uma forma correta tenha aumentado da primeira para a segunda coleta, nas quatro
questões que envolviam o subconstruto parte-todo, a representação do número
racional na forma fracionária aparentemente não foi compreendida pela maioria dos
alunos, pois tanto nas questões que envolviam quantidades contínuas quanto
discretas, a maioria dos alunos, embora tenham efetuado a dupla contagem,
apresentaram o número de uma forma incorreta. Também a situação na qual havia
divisões do objeto em partes com áreas diferentes e a de dois objetos divididos em
quantidades de partes distintas não foram bem compreendidas pelos alunos, ou
seja, eles aparentemente não observaram essas características nas situações
apresentadas. Entendemos que, para a maioria dos alunos, nas três situações
apresentadas, faltou a compreensão das características do mundo formal no
subconstruto parte-todo.
110
QUESTÕES ENVOLVENDO O SUBCONSTRUTO RAZÃO
Análise das respostas para a Questão 4
Ao ser perguntado na entrevista sobre a Questão 4, o Professor A afirmou que seus
alunos não teriam nenhuma condição de responder a questão, já que a avaliava
como muito difícil para eles. Já o Professor B acredita que, apesar de ter sido
trabalhado esse tipo de situação apresentado na questão durante suas aulas,
achava difícil para os alunos porque envolvia operações com os números racionais,
nas quais os alunos mostraram muita dificuldade durante as aulas.
Apresentamos, na Tabela 7, as respostas dadas pelos alunos para a Questão 4
separadas em categorias. Analisaremos essas resoluções para buscarmos as
características dos Três Mundos da Matemática e do subconstruto razão presentes
nelas, e os “já-encontrados” que interferiram nas resoluções apresentadas pelos
alunos.
QUESTÃO 4
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
0
1
1
4
1
5
Indicou grupos correspondentes a razão
5
0
3
0
8
0
Indicou o número racional na forma
fracionária correspondente a razão, porém
não respondeu a pergunta
0
2
1
0
1
2
Indicou o número racional na forma
fracionária correspondente a razão, porém
se atrapalhou com as operações
2
0
1
2
3
2
Indicou o número de sacos indicados na
razão com o total de sacos arrecadados
1
0
2
0
3
0
Respondeu que o orfanato recebeu três
sacos e o asilo quatro.
4
0
4
0
8
0
Não respondeu
1
4
1
3
2
7
Outros
7
13
8
12
15
25
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 7: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 4
111
A resolução da Questão 4 envolvia características do mundo simbólico no
subconstruto razão. Também envolvia a igualdade entre números racionais na forma
fracionária. Apresentamos, na seqüência, exemplos das respostas dos alunos.
A resposta do aluno 17B, categoria “Respondeu corretamente”, foi a única por nós
considerada como correta na primeira coleta de dados. Na segunda coleta, cinco
alunos acertaram a questão, entre eles, a resposta do aluno 6B, apresentada na
Figura 51. Eles apresentaram o número racional na forma fracionária usando a
quantidade de sacos doada a cada instituição e o total de sacos, isto é,
asilo e
para o
para o orfanato.
Figura 51: Resposta do aluno (6B) para a Questão 4 na segunda coleta
Oito alunos na primeira coleta, cujas respostas foram classificadas na categoria
“Indicou grupos correspondentes à razão”, responderam como no exemplo
apresentado na Figura 52, separando a quantidade total de sacos de arroz
arrecadados por cada turma em blocos de três sacos para 5ª série A, e em blocos
com quatro sacos para a 5ª série B. Porém não conseguiram chegar ao resultado
final. Na segunda coleta, nenhum aluno apresentou resposta classificada nessa
categoria.
112
Figura 52: Resposta do aluno (11A) para a Questão 4 na primeira coleta
Apresentamos, na Figura 53, a resposta proporcionada por um aluno na primeira
coleta e dois na segunda, classificadas na categoria “Indicou o número racional na
forma fracionária correspondente à razão, porém não respondeu a pergunta”.
Eles apresentaram as razões correspondentes às quantidades de sacos de arroz
doados pelas 5as séries, sem dar uma resposta final para a questão.
Figura 53: Resposta do aluno (13B) para a Questão 4 na primeira coleta
Três alunos na primeira coleta e dois na segunda apresentaram respostas que foram
classificadas na categoria “Indicou o número racional na forma fracionária
correspondente à razão, porém se atrapalhou com as operações”, como
apresentado na Figura 54. Assim como os outros o aluno (9A) apresentou dados
113
correspondentes à resolução da questão, porém não conseguiu dar seqüência aos
cálculos.
Figura 54: Resposta do aluno (9A) para a Questão 4 na primeira coleta
Três alunos, na primeira coleta, apresentaram respostas classificadas na categoria
“Indicou o número de sacos apontados na razão com o total de sacos
arrecadados”, como o exemplo apresentado na Figura 55. Eles indicaram uma
razão, porém, nos denominadores indicaram o total de sacos arrecadados por turma
e não o da razão apontada. Na segunda coleta, nenhum aluno apresentou resposta
classificada nessa categoria. Dos três alunos que responderam dessa maneira na
primeira coleta, dois deles tentaram efetuar operações envolvendo os números
naturais apresentados no problema sem apresentar qualquer resultado relacionado
à razão. O outro aluno apresentou os números racionais na forma fracionária
correspondentes as razões apontadas, porém, não apresentou uma resposta final à
questão.
114
Figura 55: Resposta do aluno (4B) para a Questão 4 na primeira coleta
Como parte da categoria “Respondeu que o orfanato recebeu três sacos e o
asilo quatro”, oito alunos, na primeira coleta, responderam como no exemplo
apresentado na Figura 56. No exemplo, o aluno (12A) apresenta como resposta a
quantidades de sacos de arroz citadas no segundo e terceiro itens do enunciado da
questão, não fazendo nenhuma referência às razões indicadas na questão. Na
segunda coleta, nenhum aluno apresentou resposta classificada nessa categoria.
Dos oito alunos que apresentaram respostas relacionadas nessa categoria na
primeira coleta, três não responderam a questão e cinco apresentaram respostas
classificada na categoria “Outros”.
Figura 56: Resposta do aluno (12A) para a Questão 4 na primeira coleta
115
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu”.
Quinze alunos na primeira coleta e 25 na segunda apresentaram respostas como
desenhar figuras sem qualquer relação com o problema, respostas com números
inteiros, respostas rasuradas, dentre outras, as quais classificamos como categoria
“Outros”.
Diferenças entre as coletas
O número de alunos que acertou a questão passou de um para cinco dentre os 41
que participaram da coleta de dados. Embora esse número seja pequeno em
relação ao total de alunos, 41, o que nos chamou a atenção foi a quantidade de
alunos que apresentaram respostas na categoria “Outros” ter passado de quinze na
primeira coleta para vinte e cinco na segunda. Isso, aparentemente, mostra que eles
não conseguiram relacionar as razões apresentadas no enunciado da questão.
Na primeira coleta, aparentemente, os alunos buscaram chegar a uma resposta
desenhando figuras para relacionar com as razões, efetuando operações ou
indicando quantidades encontradas no enunciado da questão. Na segunda coleta,
isso pouco se repetiu. Podemos verificar isso analisando a quantidade de alunos das
categorias “Indicou grupos correspondentes à razão” e “Respondeu que o
orfanato recebeu três sacos e o asilo quatro”, que passou de oito, cada uma, na
primeira coleta, para zero na segunda; e a categoria “Indicou o número de sacos
apontados na razão com o total de sacos arrecadados” passou de três na
primeira para zero na segunda coleta. A maioria dos alunos que apresentaram
respostas nessas categorias na primeira coleta, na segunda, apresentaram
respostas nas categorias “Outros” ou “Não respondeu”.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Nove alunos que procuraram resolver a situação problema com características do
mundo corporificado na primeira coleta, abandonaram essas características na
116
segunda, sendo que quase todos não tentaram resolver a questão. Como exemplo
de alunos que mudaram as características, temos o aluno 11B que respondeu como
apresentado na Figura 57 e na Figura 58.
Figura 57: Resposta do aluno (11B) para a Questão 4 na primeira coleta
Figura 58: Resposta do aluno (11B) para a Questão 4 na segunda coleta
Na primeira coleta, Figura 57, o aluno 11B buscou a solução da situação usando
características do mundo corporificado, ou seja, desenhou algumas figuras e agiu
sobre elas. Na segunda coleta, Figura 58, o aluno tentou resolver a questão com
características do mundo simbólico, buscou a solução efetuando operações
matemáticas com os números racionais na forma fracionária, não obtendo sucesso
na resposta em nenhuma das coletas.
117
Análise das respostas para a Questão 11
Tanto o Professor A quanto o Professor B, disseram, nas entrevistas, que,
entendiam que seus alunos não teriam dificuldades ao responderem a Questão 11,
já que a equivalência e a comparação entre os números racionais na forma
fracionário foi trabalhado durante o ensino do conteúdo. Entretanto, apenas três
alunos responderam corretamente esta questão na segunda coleta.
A resolução da Questão 11 refere-se a características do mundo simbólico no
subconstruto razão. Na Tabela 8, apresentamos as categorias nas quais as
respostas dadas pelos alunos foram classificadas.
QUESTÃO 11
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
0
1
0
2
0
3
Indicaram os números racionais na forma
fracionária correspondentes às razões,
porém não responderam a questão
9
5
7
8
16
13
Indicaram os números racionais na forma
fracionária correspondentes às razões,
porém, indicaram a resposta errada
1
5
4
2
5
7
Escreveram nomes de dois dos meninos
sem justificativa
2
2
1
2
3
4
Não respondeu
4
0
2
2
6
2
Outros
4
7
7
5
11
12
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 8: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 11
Nenhum aluno resolveu satisfatoriamente a questão na primeira coleta. Na segunda
coleta, três alunos apresentaram respostas adequadas que classificamos como
“Respondeu corretamente”. Os alunos verificaram o número racional equivalente
para averiguar quais meninos falavam a mesma coisa, conforme exemplo
apresentado na Figura 59.
118
Figura 59: Resposta do aluno (11B) para a Questão 11 na primeira coleta
Dezesseis alunos na primeira coleta e treze na segunda apresentaram respostas
classificadas como “Indicaram os números racionais na forma fracionária
correspondentes às razões, porém não responderam a questão” como no
exemplo apresentado na Figura 60. Como o aluno (10A), esses alunos responderam
fazendo uma relação entre a quantidade total de alunos e a quantidade de meninas,
porém não fizeram nenhuma comparação entre os números racionais na forma
fracionária para verificar a equivalência ou não entre eles.
Figura 60: Resposta do aluno (10A) para a Questão 11 na primeira coleta
119
A Figura 61 é um exemplo das resoluções apresentadas por cinco alunos na
primeira coleta e sete na segunda, classificadas como “Indicaram os números
racionais na forma fracionária correspondentes às razões, porém, indicaram a
resposta errada”. Esses alunos responderam fazendo uma relação entre a
quantidade de meninas e a quantidade total de alunos, porém erraram ao fazer
relação de equivalência entre os números racionais na forma fracionária.
Figura 61: Resposta do aluno (7A) para a Questão 11 na primeira coleta
O aluno 7A ao ser questionado sobre a resposta apresentada por ele na primeira
coleta de dados justificou:
P.
Aqui você escreveu? [mostrando a resposta dada pelo aluno
na primeira coleta].
7A.
Ivan quatro sextos e Juarez três quintos.
P.
Aqui você está dizendo que os dois são iguais, estão dizendo
a mesma coisa?
7A.
É.
P.
Por que você escolheu esses dois?
7A.
Por que não dá para dividir seis em quatro partes e nem cinco
em três partes.
P.
E esse daria para dividir? [mostrando a razão referente a
Denilson]
120
7A.
Também não.
P.
Por que você escolheu o Ivan e o Juarez.
7A.
Eu acho que eles são mais iguais, esses dois números são
menores.
P.
Eles são menores?
7A.
São. Os denominadores são menores.
Trecho de entrevista com aluno (7A)
O aluno, buscando fazer alguma relação entre os números racionais na forma
fracionária provenientes das razões, fez uma relação entre os números naturais que
estavam nos denominadores, e escolheu os dois menores para dizer que os
meninos, Ivan e Juarez diziam a mesma coisa.
Três alunos na primeira coleta e quatro na segunda apresentaram respostas como o
exemplo da Figura 62, classificadas como “Escreveram nomes de dois dos
meninos sem justificativa”. Eles escreveram o nome de dois dos meninos, porém
nenhum escreveu que eram Juarez e Denílson que estavam falando a mesma coisa
de forma diferente, ou seja, não reconhecerão que
é equivalente a
.
Figura 62: Resposta do aluno (15A) para a Questão 11 na primeira coleta
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu“.
121
Onze alunos na primeira coleta e doze na segunda apresentaram respostas como
desenhar figuras sem qualquer relação com o problema, respostas com operações
com números naturais, respostas rasuradas, dentre outras, as quais classificamos
como categoria “Outros”.
Diferenças entre as coletas
Ao compararmos as respostas apresentadas na primeira coleta com as
apresentadas na segunda, verificamos que, na primeira, nenhum aluno acertou a
questão; já na segunda coleta, três alunos acertaram. Os três alunos que acertaram
a questão fizeram, na segunda coleta, a equivalência de números racionais na forma
fracionária, conforme o exemplo apresentado na Figura 59 (página 118). Na primeira
coleta, esses alunos tinham indicado como resposta que estavam dizendo a mesma
coisa os meninos Ivan e Denilson. Ao ser questionado na entrevista, o aluno 11B
respondeu:
P.
O que você escreveu aqui? [apontando para a razão do
menino Ivan]
11B.
Quatro sextos que é do Ivan.
P.
E aqui?
11B.
Seis décimos que é do Denilson.
P.
E aqui você escreveu que eles estão falando a mesma coisa.
Por que você acha isso?
11B.
Por causa do número seis.
P.
Por causa do número seis?
11B.
É. Ele aparece nos dois.
P.
E por isso eles estão falando a mesma coisa?
11B.
Eu acho.
P.
Aqui na segunda vez que você respondeu está diferente. Por
que?
11B.
Porque aqui eu multipliquei três vezes o dois e cinco vezes o
dois. [referindo-se ao numerador e denominador do número
].
P.
Por que?
11B.
Para ficar igual a esse. [mostrando o número
].
Trecho de entrevista com aluno (11B)
122
Na primeira coleta, aparentemente, o aluno não sabia equivalência, então buscou
alguma relação entre os números. Já na segunda coleta, percebeu a equivalência
entre os números e encontrou a resposta correta.
Também diminuiu o número de alunos que apresentaram respostas na categoria
“Indicaram os números racionais na forma fracionária correspondentes às
razões, porém não responderam a questão”, de dezesseis na primeira coleta para
treze na segunda. Dos treze alunos que responderam dessa maneira na segunda
coleta, somente três não apresentaram a mesma resposta na primeira coleta.
Desses três alunos, dois na primeira coleta indicaram os números racionais na forma
fracionária não correspondentes às razões indicadas, e o outro não respondeu.
Vale salientar que, na categoria “Não respondeu”, a quantidade de alunos diminuiu
de seis para dois. Embora somente um dos quatro alunos acertou a questão,
entendemos como positivo o aluno procurar apresentar resposta à situação. Nas
demais categorias, não houve nenhuma mudança relevante.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Somente dois alunos apresentaram características do mundo corporificado nessa
questão na primeira coleta de dados, continuando na segunda. Os alunos que
utilizaram características do mundo simbólico também não mudaram da primeira
para a segunda coleta, sendo que três desses alunos acertaram a questão na
segunda coleta.
Entendemos que os alunos, ao apresentarem os números racionais na forma
fracionária correspondentes as razões indicadas, 21 na primeira coleta e 23 na
segunda, demonstraram conhecimento das características do mundo formal no
subconstruto razão, pois não apresentaram dificuldades ao indicar o número.
123
Diferenças entre as coletas no subconstruto razão
Ambas as questões que envolviam o subconstruto razão, Questão 4 e 11,
solicitavam que os alunos comparassem números racionais na forma fracionária
para verificar se eles indicavam quantidades iguais ou diferentes.
Entendemos que, embora o número de alunos que acertaram as questões
envolvendo o subconstruto razão tenha aumentado da primeira para a segunda
coleta, esse número continua não sendo expressivo se comparado com o total de
alunos que erraram a questão; e também se olharmos para o universo de alunos
participantes da pesquisa. Outro fator que deve ser destacado é que o número de
alunos que na Questão 4, não conseguiram efetuar nenhuma tentativa para chegar à
resposta da questão aumentou de dois para sete, e o número de alunos que
apresentaram respostas classificadas na categoria “outros” aumentou de 15 para 25.
Já na Questão 11, o número de alunos classificados nessa categoria passou de 11
para 12.
Com isso, entendemos que os alunos tiveram uma atuação menos satisfatória na
segunda coleta se comparada com a primeira.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática no subconstruto razão
Quinze alunos, na primeira coleta utilizaram características do mundo corporificado
para buscar a solução das questões, principalmente da Questão 4. Dentre esses
alunos, os oito que abandonaram as características do mundo corporificado no
subconstruto razão, aparentemente, não conseguiram entender as operações ou
comparações com os números racionais na forma fracionária, tendo interferência de
“já-encontrados”. Por exemplo, para o aluno (7A) a subtração com números naturais
como “já-encontrado” interferiu ao representar as razões enunciadas na Questão 11,
pois misturou as informações de dois dos meninos para apresentar uma razão. Na
entrevista, apresentou essa interferência.
P.
Aqui você escreveu?
7A.
Ivan quatro sextos e Juarez três quintos.
124
P.
Aqui você está dizendo que os dois são iguais, estão dizendo
a mesma coisa?
7A.
É.
P.
Por que você escolheu esses dois?
7A.
Por que não dá para dividir seis em quatro partes e nem cinco
em três partes.
P.
E esse daria para dividir? [apontando para o número
].
7A.
Também não.
P.
Por que você escolheu o Ivan e o Juarez?
7A.
Eu acho que eles são mais iguais, esses dois números são
menores.
P.
Eles são menores?
7A.
São. Os denominadores são menores.
P.
Aqui qual fração seria?
7A.
Dez sextos.
P.
O que significa o número quatro aqui?
7A.
Quatro? Quatro são as meninas.
P.
E seis?
7A.
São os meninos.
P.
Vamos ver na segunda o que você fez? Você mudou de idéia.
Por que?
7A.
Por que se de cada dez alunos seis são meninas não dá para
dividir.
P.
Aqui ao invés de colocar quatro quintos como você colocou
na outra você colocou cinco quartos. Por que?
7A.
Porque eu escolhi Juarez e Denílson.
P.
Mas da onde você tirou o quatro?
7A.
Das meninas desse. Eu separei os resultados.
P.
Você pegou uma informação do Ivan e uma do Juarez e falou
que é igual ao Denilson?
7A.
É.
P.
E pode fazer isso?
7A.
Acho que sim. Pegar emprestado.
P.
Por que pegar emprestado?
7A.
Por que se o número dois é menor eu pego emprestado.
P.
E onde você aprendeu esse negocio de pegar emprestado?
7A.
De algumas coisas assim, se o zero tem que tirar um eu pego
emprestado e fica dez.
P.
Lá da subtração?
125
7A.
É.
P.
E você usa esse tipo de coisa para resolver outros
problemas?
7A.
Se você tentasse resolver zero menos dez, como você faria?
P.
O que?
7A.
Teria que pegar emprestado.
P.
Você usa em outras situações?
7A.
As de subtração sim.
Trecho de entrevista com aluno (7A)
Entendemos que o aluno utilizou uma técnica do algoritmo da subtração pra resolver
a questão, ou seja, aplicou um “já-encontrado” em um universo não correspondente
ao algoritmo da subtração.
Aparentemente, a passagem do uso das características do mundo corporificado para
o mundo simbólico e as características do mundo formal não foram compreendidas
por esses alunos.
QUESTÕES ENVOLVENDO O SUBCONSTRUTO OPERADOR
Análise das respostas para a Questão 6
Na entrevista, o Professor A contou que, situações como a apresentada na Questão
6 não foram trabalhadas com seus alunos. Disse, ainda, que, a divisão de números
racionais na forma fracionária é um conteúdo ensinado na 6ª série. Já o Professor B
explicou que seus alunos teriam facilidade em responder a questão, pois trabalhou
questões parecidas com a Questão 6 durante suas aulas. Entretanto, os alunos de
ambas as turmas não foram bem sucedidos nessa questão.
Na Tabela 9, estão as respostas, separadas em categorias, apresentadas pelos
alunos para a Questão 6. A resolução da questão refere-se às características do
mundo simbólico no subconstruto operador.
126
QUESTÃO 6
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
0
0
0
1
0
1
Subtraiu uma unidade dos denominadores
dos números racionais na forma fracionária
13
9
7
7
20
16
Dividiu os denominadores por 2
0
0
3
0
3
0
Dividiu o numerador por 2, apresentando
números racionais na forma decimal no
numerador
1
0
1
0
2
0
Não respondeu
2
2
2
0
4
2
Outros
4
9
8
13
12
22
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 9: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 6
Nenhum aluno acertou tal questão na primeira coleta, e na segunda, apenas um
aluno acertou a questão. Vale ressaltar, que embora tenhamos considerado correta
a questão, a nova quantidade de manteiga está incorreta. Consideramos como
correta pois foi o único aluno que conseguiu acertar a quantidade de leite, além das
quantidades de farinha e ovos.
Figura 63: Resposta do aluno (17B) para a Questão 6 na segunda coleta
127
Na categoria “Subtraiu uma unidade dos denominadores dos números racionais
na forma fracionária” foram classificadas as respostas de vinte alunos na primeira
coleta e dezesseis na segunda, que responderam esta questão como apresentado
na Figura 64. Note que o aluno subtraiu 1 do denominador do número racional na
forma fracionária.
Figura 64: Resposta do aluno (11A) para a Questão 6 na primeira coleta
Não foram apresentadas muitas dificuldades por esses alunos quando as
quantidades estavam representadas por números naturais. Erros freqüentes na
operação aparecem quando as quantidades são apresentadas em números
racionais na forma fracionária. O aluno (1A) apresentou a mesma forma de
resolução em relação às quantidades expressas com número racional na forma
fracionária daquela apresentada na Figura 64. Ao ser questionado em entrevista, o
aluno respondeu que subtraiu uma unidade do denominador.
P.
Vamos ver as frações. Aqui você colocou meio tablete de
manteiga. Como você chegou nesse número dois?
1A.
Por causa que (sic) eu tirei um do três.
P.
E aqui?
1A.
Eu tirei um do dois.
P.
Então foi só do denominador que você tirou?
1A.
Foi.
Trecho de entrevista com aluno (1A)
128
Três alunos na primeira coleta responderam como o exemplo do aluno 17B,
apresentado na Figura 65, respostas estas categorizadas como “Dividiu o
denominador por 2”. O aluno (17B) dividiu os números inteiros e os denominadores
dos números racionais na forma fracionária por dois. Entendemos que ele pode
achar que o denominador representa a quantidade de ingredientes da receita.
Nenhum aluno respondeu dessa maneira na segunda coleta.
Figura 65: Resposta do aluno (17B) para a Questão 6 na primeira coleta
Dois alunos na primeira coleta e nenhum na segunda apresentaram resolução para
a Questão 5 como apresentado na Figura 66, pertencentes à categoria ”Dividiu o
numerador por 2, apresentando números racionais na forma decimal no
numerador”.
129
Figura 66: Resposta do aluno (9A) para a Questão 6 na primeira coleta
O aluno dividiu os números inteiros e também os numeradores e os denominadores
dos números racionais na forma fracionária por dois, inclusive apresentando, nos
numeradores e denominadores, números decimais. Ao ser questionado, em
entrevista, o aluno (9A) mostrou que a divisão tendo como resultado números
decimais como “já-encontrado” interferiu na resolução da questão, pois ele aplicou
no numerador e no denominador a técnica de divisão de números inteiros.
P.
Aqui tinha duas xícaras de farinha.
9A.
Era para fazer a metade, para fazer meia receita desse bolo.
Tinha duas xícaras de farinha de trigo e eu coloquei uma
xícara de farinha de trigo. Eu dividi. Olhe quatro ovos eu
coloquei dois ovos. Eu não sei ler esse aqui.
P.
Um terço.
9A.
Eu coloquei zero vírgula cinco (0,5) sobre um vírgula cinco
(1,5)
P.
Por que 0,5?
9A.
Porque é a metade de um.
P.
E o 1,5?
9A.
É a metade de três.
P.
Agora aqui no leite, como você fez?
130
9A.
Eu coloquei que a metade de um é 0,5 e a metade de dois é
1.
P.
Você tem que dividir em cima e embaixo, no numerador e no
denominador?
9A.
É.
P.
Para ser meia?
9A.
É.
P.
Onde você aprendeu fazer conta com vírgula assim?
9A.
Eu já sabia um pouco, em casa eu brincava de escolinha com
minha irmã.
P.
Você brincava de escolinha?
9A.
É. Ela me ensinava. Ela está em uma série mais avançada.
P.
Quantos anos tem a sua irmã?
9A.
Ela tem treze anos.
P.
E ela é dois anos mais velha que você?
9A.
É. Ela tem treze.
P.
E você tem onze?
9A.
É.
Trecho de entrevista com aluno (9A)
O aluno 9A aparentemente entende que a multiplicação de um número racional na
forma fracionária, que nessa situação representa uma quantidade, deve ser feito
com o numerador e o denominador separadamente, ou seja, considerando tanto o
numerador como o denominador como números distintos.
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu“.
Doze alunos na primeira coleta e 22 na segunda, apresentaram respostas
rasuradas, efetuaram a operação somente com as quantidades com números
inteiros, criaram novas receitas, dentre outras, as quais classificamos como
categoria “outros”.
Diferenças entre as coletas
Apesar de não ter diferenças significativas entre as duas coletas no número de
acertos, na primeira coleta ninguém acertou a questão, e na segunda somente um
131
aluno. Porém, vale enfatizar que, na primeira coleta esse aluno dividiu os
denominadores dos números racionais na forma fracionária, que representavam as
quantidades de manteiga e leite, por dois, acertando as quantidades que estavam
com números inteiros.
Outra situação que vale destacar é que na categoria “Dividiu o denominador por
2”, a quantidade de alunos caiu de três na primeira coleta para zero na segunda, e
na categoria ”Dividiu o numerador por 2, apresentando números racionais na
forma decimal no numerador”, a quantidade diminuiu de dois na primeira coleta
para um na segunda. Dos alunos que apresentaram respostas que estavam
enquadrados nessa categoria foram classificadas na categoria “outros”, exceto o
aluno citado no parágrafo anterior.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Dois alunos mostraram evidências de uso de características do mundo corporificado
na primeira coleta, como no exemplo apresentado na página 127, Figura 64, todos
os outros que responderam a questão o fizeram com características do mundo
simbólico. Na segunda coleta, todos os alunos que procuraram responder a questão
o fizeram utilizando características do mundo simbólico, porém com exceção do
aluno 17B, não tendo êxito nas respostas.
alunos dividiram as quantidades apresentadas com números racionais na forma
fracionária como se fosse um número natural, então provavelmente o “jáencontrado”, divisão com números naturais, interferiu na resolução da questão por
parte dos alunos.
Análise das respostas para a Questão 8
O Professor A disse na entrevista que acreditava que seus alunos acertariam a
Questão 8, pois a situação apresentada na questão foi por ele trabalhada em
exercícios. Já o Professor B disse que seus alunos teriam dificuldades em responder
a questão, pois durante suas aulas eles apresentaram grandes dificuldades em
132
resolver essas situações, tinham dificuldades em efetuar a multiplicação entre os
números racionais na forma fracionária. Como os professores previam, essa
operação foi de grande dificuldade para os alunos.
A resolução da Questão 8 refere-se a características do mundo simbólico no
subconstruto operador.
QUESTÃO 8
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
0
0
1
2
1
2
Respondeu R$ 200,00
0
3
0
1
0
4
Dividiu o valor inicial pelo denominador 5 e
respondeu R$ 60,00
0
2
6
3
6
5
Dividiu o valor inicial pelo numerador e
respondeu R$ 150,00
1
1
4
1
5
2
Respondeu R$ 250,00
4
2
3
2
7
4
Respondeu R$ 100,00
0
1
0
2
0
3
Não respondeu
4
2
0
0
4
2
Outros
11
9
7
10
18
19
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 10: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 8
Verificando a Tabela 10, nota-se que somente um entre os 41 alunos acertou a
questão na primeira coleta, e dois na segunda. Porém, outras resoluções, que
devem ser analisadas, foram apresentadas.
A resposta do aluno 17B é um exemplo de respostas da categoria “Respondeu
corretamente”, e está apresentada na Figura 67. O aluno apresentou uma
resolução com características do mundo simbólico, efetuando as operações de
divisão pelo denominador e, na seqüência, a multiplicação pelo numerador do
número racional na forma fracionária, características do subconstruto operador.
133
Figura 67: Resposta do aluno (17B) para a Questão 8 na primeira coleta
Quatro alunos responderam, na segunda coleta, como o exemplo apresentado na
Figura 68, deram como resposta R$200,00, classificadas na categoria “Respondeu
R$ 200,00”. Na primeira coleta, nenhum aluno apresentou essa resposta.
Figura 68: Resposta do aluno (1A) para a Questão 8 na segunda coleta
Nenhum aluno deixou evidências de como chegou a esse valor. Ao ser questionado
na entrevista, o aluno 1A respondeu:
P.
Vamos ver o que você fez aqui?
1A
Vamos.
P.
Mudou o preço. Você colocou que é duzentos. Você lembra
como você calculou que era duzentos
1A.
Essa aí eu chutei. Eu não soube responder essa não.
Trecho de entrevista com aluno (1A)
134
O aluno 1A disse que colocou qualquer valor, que “chutou”; os outros três alunos,
aparentemente, fizeram a mesma coisa, pois todos eles somente escreveram a
resposta, sem mostrar nenhum cálculo.
Seis alunos na primeira coleta e cinco na segunda responderam como no exemplo
apresentado na Figura 69. Tais respostas foram agrupadas na categoria “Dividiu o
valor inicial pelo denominador 5 e respondeu R$ 60,00”. Esses alunos, como o
aluno (6B), dividiram o valor de R$300,00 pelo denominador do número racional na
forma fracionária, porém não multiplicaram o resultado pelo numerador.
Figura 69: Resposta do aluno (6B) para a Questão 8 na primeira coleta
Cinco alunos na primeira coleta e dois na segunda responderam como no exemplo
apresentado na Figura 70, e suas respostas foram categorizadas como “Dividiu o
valor inicial pelo numerador e respondeu R$ 150,00”. Eles, da mesma forma que
o aluno (11B), Figura 70, dividiram o preço inicial da bicicleta pelo numerador do
número racional na forma fracionária.
135
Figura 70: Resposta do aluno (11B) para a Questão 8 na primeira coleta
Sete alunos na primeira coleta e quatro na segunda responderam a Questão 8 de
acordo com a categoria “Respondeu R$ 250,00” como o exemplo apresentado na
Figura 71.
Figura 71: Resposta do aluno (1A) para a Questão 8 na primeira coleta
Esses alunos, simplesmente responderam R$250,00, sem qualquer indício de
resolução. Ao ser questionado na entrevista, o aluno (1A) respondeu que entendeu o
número
como 25.
136
P.
Aqui a bicicleta era vendida a R$300,00 e ia cobrar dois
quintos do preço. Você respondeu que o Joaquim ia pagar
quanto?
1A.
R$250,00.
P.
Como você chegou a esse valor?
1A.
Eu só aumentei um zero aqui, aqui embaixo.
P.
Como assim? Explica para mim.
1A.
Aqui não tá vinte e cinco, dois quintos? Aí eu coloquei mais
um zero.
Trecho de entrevista com aluno (1A)
O aluno 1A, aparentemente, não entende que
representa um número. Ele
entendeu esse número como se o numerador e o denominador formassem um único
número do conjunto dos naturais, o 25.
Três alunos responderam, na segunda coleta, como o exemplo apresentado na
Figura 72, classificadas na categoria “Respondeu R$ 100,00” dividiram 300 por três
e deram como resposta R$100,00. Na primeira coleta nenhum aluno apresentou
essa resposta.
Figura 72: Resposta do aluno (3B) para a Questão 8 na segunda coleta
137
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu“.
Muitos alunos apresentaram várias respostas rasuradas, escreveram valores sem
qualquer significado, dentre outras, as quais classificamos como categoria “outros”.
Diferenças entre as coletas
Não houve diferenças significativas para esta questão em acertos entre as duas
coletas, sendo que somente dois alunos responderam corretamente a questão na
segunda coleta, um a mais que na primeira. Porém, vale salientar que duas
categorias “Respondeu R$200,00”, quatro alunos, e “Respondeu R$100,00” três
alunos, que não tinha aparecido na primeira coleta apareceram na segunda. Esses
alunos, na primeira coleta, tinham apresentado respostas enquadradas nas
categorias “Dividiu o valor inicial pelo numerador e respondeu R$ 150,00”,
“Respondeu R$ 250,00” e um aluno da categoria “Não respondeu”.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Somente um aluno na primeira coleta, e dois na segunda, utilizaram características
do mundo corporificado para tentar resolver a questão, como apresentado na Figura
73. Os demais alunos que responderam a questão, tanto na primeira como na
segunda coleta, fizeram uso de características do mundo simbólico para apresentar
uma resolução para a questão.
Acreditamos que os alunos não conseguiram entender as características formais do
subconstruto operador, necessário para resolver à questão. Aparentemente, a
maioria deles não sabia que, nessa situação, o número racional na forma fracionária
modifica as quantidades, gerando novas, definição do subconstruto operador.
O “já-encontrado” operações com números naturais, provavelmente, interferiu na
resolução da questão, pois a maioria dos alunos não efetuou a operação utilizando o
138
número racional na forma fracionária; eles utilizaram somente o numerador ou o
denominador, tratando-os como se fossem números naturais.
Figura 73: Resposta do aluno (20B) para a Questão 8 na segunda coleta
Diferenças entre as coletas no subconstruto operador
Nas questões envolvendo o subconstruto operador, houve pouco acerto tanto na
primeira como na segunda coleta, sendo que somente um aluno acertou a Questão
6 e dois a Questão 8, sendo que um deles havia errado essa questão na primeira
coleta.
Porém, houve mudança no raciocínio apresentado pelos alunos em relação à
resolução dessas duas questões, já que, na Questão 6, os alunos não
apresentaram, na segunda coleta, respostas classificadas em duas categorias
apresentadas na primeira coleta, “Dividiu o denominador por 2”, e ”Dividiu o
numerador por 2, apresentando números racionais na forma decimal no
numerador”. Para a Questão 8, duas categorias foram criadas na segunda coleta
“Respondeu R$200,00” e “Respondeu R$100,00”.
139
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática no subconstruto operador
Como vimos nas discussões das reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática em
cada questão, poucos alunos utilizaram características do mundo corporificado para
buscar a resolução das questões. A maioria deles buscou essa resolução com
características do mundo simbólico, porém sem conseguir chegar a uma resposta
correta. Entendemos que, para a resolução dessas situações, seria necessário o
conhecimento de características formais desse subconstruto, pois, nele, existe a
ação do número racional na forma fracionária sobre a quantidade, gerando uma
nova, definição do subconstruto operador. Essa ação aparentemente só foi
percebida por um aluno na Questão 6, e por dois na Questão 8.
Entendemos que, em ambas as questões, as operações envolvendo números
naturais como “já-encontrado”, interferiram na resolução dos exercícios, fazendo,
como mostrado na análise das questões, com que os alunos não chegassem à
resposta correta.
QUESTÕES ENVOLVENDO O SUBCONSTRUTO QUOCIENTE
Análise das respostas para a Questão 2
Na entrevista, o Professor A, sugeriu que seus alunos não teriam dificuldades em
responder a Questão 2. Afirmou ainda, que, a situação apresentada nessa questão
foi trabalhada em sala de aula usando folhas de sulfite. O Professor B afirmou que
seus alunos teriam grandes dificuldades em responder a questão, já que, quando foi
trabalhada tal situação, os alunos apresentaram dificuldades.
Analisando a Tabela 11, observamos as categorias de respostas apresentadas pelos
alunos para a Questão 2. Buscamos analisar as resoluções apresentadas para
entendermos as características dos Três Mundos da Matemática, do subconstruto
quociente e os “já-encontrados” que interferiram nas resoluções apresentadas pelos
alunos.
140
QUESTÃO 2
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
1
1
2
2
3
3
Distribuiu uma barra de chocolate para
cada amigo de Pedro e sobrou uma
5
8
5
4
10
12
Distribuiu uma barra de chocolate e um
pedaço para cada amigo de Pedro
2
0
3
3
5
3
Distribuiu uma barra de chocolate e uma
metade para cada amigo de Pedro
0
0
3
2
3
2
Distribuiu
0
2
1
0
1
2
2
0
3
0
5
0
Efetuou a divisão com características do
mundo simbólico e errou a conta
3
0
0
0
3
0
Não respondeu
2
2
0
0
2
2
Outros
5
7
4
10
9
17
20
20
21
21
41
41
de uma barra de chocolate
para cada amigo de Pedro
Efetuou uma divisão com características do
mundo corporificado e respondeu
Total
Tabela 11: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 2
A Questão 2 foi respondida corretamente somente por três alunos na primeira
coleta, e três na segunda, entre os 41 alunos que participaram. Essas respostas
foram categorizadas como “Respondeu corretamente”. Porém, cabe uma
observação sobre a resolução apresentada por dois alunos. Na Figura 74,
apresentamos a resolução de um deles, o aluno (7A).
Observando o desenho elaborado pelo aluno (Figura 74) para a resolução da
Questão 2, notamos que ele desenhou retângulos para representar as barras de
chocolate, e os dividiu primeiro em quatro partes. Como sobrou uma barra, dividiu-a
em quatro partes, distribuindo uma parte para cada uma das quatro divisões.
Figura 74: Resposta do aluno (7A) para a Questão 2 na primeira coleta
141
O aluno (7A) quando elaborou a resolução, como apresentada na Figura 75,
observou e agiu nas figuras (retângulos) que desenhou, divido-os em quatro partes
iguais, características essas do mundo corporificado no subconstruto quociente,
elaborando, assim, uma resposta que entendemos como correta.
Figura 75: Destaque da resposta do aluno (7A) para a Questão 2
Ambas as respostas da categoria “Respondeu corretamente” apresentam
resoluções em que os alunos efetuaram as divisões das barras de chocolate,
fazendo uso de características do mundo corporificado no subconstruto quociente,
como na Figura 75; porém, ao responderem a questão utilizando símbolos
matemáticos, ou seja, utilizando características do mundo simbólico,
não
conseguiram responder corretamente, como mostra a Figura 76.
O aluno (7A) não conseguiu responder corretamente quando utilizou características
do mundo simbólico partindo das observações no mundo corporificado. Respondeu
utilizando um número racional na forma decimal, 1,5 quando o correto seria 1,25.
Figura 76: Destaque da resposta do aluno (7A) para a Questão 2
Dez alunos na primeira coleta e doze na segunda, dentre os 41 participantes,
responderam da forma que classificamos na categoria “Distribuiu uma barra de
chocolate para cada amigo de Pedro e sobrou uma”. Eles dividiram as barras de
142
chocolate dando uma para cada amigo de Pedro, e nada fizeram com a barra que
sobrou. Seis deles tentaram resolver o problema com características do mundo
corporificado, como o exemplo da Figura 77 e os outros seis com características do
mundo simbólico, como o exemplo da Figura 78.
Figura 77: Resposta do aluno (6A) para a Questão 2 na primeira coleta
Figura 78: Resposta do aluno (7A) para a Questão 2 na segunda coleta
Cinco alunos na primeira coleta e três na segunda entenderam que, ao dividir 5
barras de chocolate entre os quatro amigos de Pedro, cada um desses amigos
ganharia na divisão uma barra e um “pedaço” da barra que sobrou. Porém, não
conseguiram representar esse pedaço usando um número racional na forma
fracionária. Essas respostas foram classificadas na categoria “Distribuiu uma barra
de chocolate e um pedaço para cada amigo de Pedro”.
Por exemplo, em sua resposta (Figura 79), o aluno (8B), escreveu “ele deu 1 para
cada e um pedacinho para os amigos dele” referindo-se a 1 inteiro mais
de uma
barra de chocolate. Utilizou características do mundo corporificado e do mundo
simbólico, porém não aparenta saber representar a resposta utilizando o número
racional na forma fracionária (note que o aluno deixa o resto na divisão efetuada).
Figura 79: Resposta do aluno (8B) para a Questão 2 na primeira coleta
143
Três alunos na primeira coleta e dois na segunda responderam uma barra e meia,
fazendo parte da categoria “Distribuiu uma barra de chocolate e uma metade
para cada amigo de Pedro”. Apresentamos, na Figura 80, um exemplo dessas
respostas, encontrado na primeira coleta.
Figura 80: Resposta do aluno (11B) para a Questão 2 na primeira coleta
O aluno (11B) apresentou uma resposta interessante, efetuou a divisão, primeiro
com características do mundo simbólico e depois dividiu a barra de chocolate que
sobrou utilizando características do mundo corporificado, dividiu um círculo em
quatro partes e escreveu em cada uma delas o número 25 (na entrevista o aluno
respondeu que 25 era R$ 0,25). No entanto, respondeu que cada um recebeu uma
barra e meia, se referindo ao número 25 como meia barra. Ao ser questionado na
entrevista sobre a divisão da barra que sobrou, o aluno respondeu:
P.
E esse outro que você fez aqui?
11B.
Vinte e cinco.
P.
O que é vinte e cinco?
O.
Não precisa ficar com vergonha. A gente achou legal,
por isso escolhemos você.
11B.
Aqui vinte cinco, vinte cinco, vinte e cinco, vinte e cinco,
aí eu somei e deu um (mostrando a figura)
P.
Vinte e cinco mais vinte e cinco mais vinte e cinco mais
vinte e cinco dá um?
11B.
Um real.
P.
Um real?
11B.
É.
P.
Esse vinte é vinte é cinco centavos?
11B.
É.
P.
Por que você escolheu vinte e cinco centavos?
11B.
É o que eu achei.
Trecho de entrevista com aluno (11B)
144
O aluno utilizou o “já-encontrado” “centavos” (divisão do Real), características do
mundo corporificado no subconstruto medida, pois pensou na manipulação de
moedas, para responder a questão.
Um aluno na primeira coleta e dois na segunda responderam que cada amigo de
Pedro receberia
de barra de chocolate, classificados na categoria “Distribuiu
de
uma barra de chocolate para cada amigo de Pedro”.
O aluno (15B), como mostra a Figura 81, efetuou a divisão com características do
mundo corporificado, aparentemente dividiu a barra que sobrou em quatro partes,
porém, ao responder utilizando o número racional na forma fracionária, respondeu
de uma forma equivocada.
Figura 81: Resposta do aluno (15B) para a Questão 2 na primeira coleta
As respostas na categoria “Efetuou uma divisão com características do mundo
corporificado e respondeu
” foram apresentadas por cinco alunos na primeira
coleta e por nenhum aluno na segunda.
Figura 82: Resposta do aluno (20B) para a Questão 2 na primeira coleta
O aluno (20B) (Figura 82) atuou sobre as figuras, dividindo-as em quatro partes,
características do mundo corporificado no subconstruto quociente. Ao apresentar o
resultado com o número racional na forma fracionária, respondeu
145
A Figura 83 representa um exemplo de resolução da categoria “Efetuou a divisão
com características do mundo simbólico e errou a conta” apresentada por três
alunos na primeira coleta e por nenhum na segunda, dentre os 41 participantes.
Figura 83: Resposta do aluno (19A) para a Questão 2 na primeira coleta
O aluno (19A) representou a divisão de quatro chocolates pelos cinco amigos de
Pedro, com características do mundo simbólico, mostrando que entendeu a situação
proposta, porém efetuou a divisão de uma forma incorreta.
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu“.
alunos apresentaram respostas como simplesmente desenhar figuras sem agir
sobre elas, respostas rasuradas, dentre outras, as quais classificamos como
categoria “Outros”.
Diferenças entre as coletas
Embora
o
número
de
respostas
classificadas
na
categoria
“Respondeu
corretamente” não ter mudado da primeira para segunda coleta, vale ressaltar que
apenas um aluno apresentou respostas corretas em ambas as coletas.
A quantidade de respostas apresentadas e classificadas nas categorias “Distribuiu
uma barra de chocolate e um pedaço para cada amigo de Pedro”, “Efetuou uma
divisão com características do mundo corporificado e respondeu ” e “Efetuou
a divisão com características do mundo simbólico e errou a conta” diminuiu da
primeira para a segunda coleta, porém a maioria desses alunos apresentou
respostas classificadas na categoria “Outros”, a qual aumentou de nove na primeira
coleta para dezessete na segunda.
146
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Figura 84: Resposta do aluno (7A) para a Questão 2 na primeira coleta
Figura 85: Resposta do aluno (7A) para a Questão 2 na segunda coleta
Observando a resposta elaborada pelo aluno (7A) na primeira coleta, representada
na
Figura 84, e verificando a resposta dada pelo mesmo aluno na segunda coleta
(Figura 85), para a resolução da Questão 2, notamos que ele abandonou as
características do mundo corporificado e trabalhou somente com características do
mundo simbólico, errando a questão. Na primeira coleta, ele soube o que fazer com
a barra de chocolate que restou; na segunda, a barra de chocolate ficou como resto
da divisão. Ao ser questionado na entrevista, o aluno respondeu que abandonou as
características do mundo corporificado porque “avançou”.
P.
Olhe aqui nesse segundo você abandonou o desenho. Lá no
primeiro você fez o desenho para dividir e aqui você fez
conta...
7A.
Acho que eu avancei. Do desenho para a conta.
P.
Você acha que isso foi um avanço?
7A.
É.
P.
Por isso que você abandonou o desenho?
7A.
É. Antes para contar eu fazia pontinhos, agora eu faço
números.
P.
Então você avançou, parou de fazer desenhos e agora faz
conta. Você se sente melhor assim?
7A.
Sinto.
147
P.
E quem te convenceu a abandonar os desenhos?
7A.
Eu mesmo.
P.
Você achou que agora você está aprendendo bastante e tinha
que abandonar os desenhos?
7A.
É. A gente tem que aprender um dia, né? Não pode ficar em
só uma coisa.
P.
Coisa que você está dizendo...
7A.
Deixa eu ver, se uma mulher gosta de brincar de boneca,
uma menina, quando ela crescer ela não vai ter tempo para
brincar. Tipo se for para uma faculdade e tiver tempo na
prova eu não vou ficar fazendo pontinho. Vai demorar, não
vai?
P.
Vai?
7A.
Eu prefiro usar os números mesmo.
Trecho de entrevista com aluno (7A)
O aluno (7A) entende que não deve usar mais características do mundo
corporificado porque tem que “avançar”. Porém, aparentemente, não consegue
ainda resolver a questão usando somente características do mundo simbólico, talvez
lhe falte conhecimento do mundo formal para o subconstruto quociente para
entender como proceder.
Da mesma forma, se observarmos as respostas elaboradas pelo aluno (13B) para a
Questão 2, representadas respectivamente na Figura 86 e na Figura 87, notamos
que o aluno (7A) abandonou as características do mundo corporificado e trabalhou
somente com características do mundo simbólico, errando a questão.
Figura 86: Resposta do aluno (13B) para a Questão 2 na primeira coleta
148
Figura 87: Resposta do aluno (13B) para a Questão 2 na segunda coleta
Porém, na entrevista, o aluno deu uma explicação diferente.
P.
Nessa Questão 2 [na primeira coleta] você fez um desenho.
Explique para mim o desenho.
13B.
É tipo uma caixa de bombom separada, separada para cada
um.
P.
Você colocou
números aqui no desenho, um, dois, três,
quatro...
13B.
Quatro pessoas. Eu fiz cinco, aqui ó, tipo, eu desenhei cinco
barras de chocolate, uma para cada um e a última eu dividia,
olhe o pedacinho.
P.
Esse que você dividiu em quatro era para dar um pedaço
para cada um?
13B.
Era.
P.
E que número você colocou aqui?
13B.
É que eu não sabia fazer.
P.
Leia para mim o número.
13B.
Um vírgula dois.
P.
Por que 1,2?
13B.
Porque deu para cada pessoa e um pedacinho, esse dois é o
pedacinho.
P.
Aqui na segunda vez, você respondeu diferente. O que é
essa divisão?
13B.
É quatro dividido por cinco.
P.
E o que são esses risquinhos?
13B.
São as barras de chocolate.
P.
E você deu uma barra para cada um?
13B.
Foi.
P.
E porque que ficou uma barra de fora?
13B.
Eu esqueci como fazia.
P.
Por que você não quis fazer um desenho para te ajudar?
13B.
Eu fiz, olhe os risquinhos.
Trecho de entrevista com aluno (13B)
149
O aluno 13B abandonou parcialmente as características do mundo corporificado,
pois continuou desenhando para entender o que fazer, mas não agiu da mesma
forma com as figuras. Provavelmente, se continuasse da mesma forma não teria
“esquecido como fazer”.
Análise das respostas para a Questão 10
Nas entrevistas, tanto o Professor A quanto o Professor B, disseram acreditar que
seus alunos conseguiriam resolver a Questão 10 sem dificuldades. Afirmaram,
ainda, que a situação apresentada na questão foi trabalhada em sala de aula, e que
acreditavam que a figura que ilustrava a questão ajudaria muito na solução da
mesma. Como eles previam, a quantidade de acertos na segunda coleta foi alta (24
alunos), mas não houve grande diferença entre as duas coletas, já que 20 alunos
acertaram a questão na primeira.
A resolução da Questão 10 refere-se a características do mundo simbólico no
subconstruto quociente.
QUESTÃO 10
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
8
12
12
12
20
24
Respondeu que era o magrinho
4
0
4
3
8
3
Respondeu que era o gordinho
3
6
3
4
6
10
Não respondeu
3
0
2
1
5
1
Outros
2
2
0
1
2
3
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 12: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 2
Verificando a Tabela 12, nota-se que 20 alunos na primeira coleta e 24 na segunda
apresentaram repostas à questão que consideramos corretas e categorizamos
“Respondeu corretamente”, porém dividimos esta categoria em três grupos.
150
No primeiro grupo, oito alunos na primeira coleta e cinco na segunda responderam
como apresentado no exemplo da Figura 88. Esses alunos fizeram o mesmo que o
aluno (11A), ou seja, escreveram que o “gordinho” estava certo, porém
reconhecendo que o número racional na forma fracionária
refere-se a um inteiro.
Figura 88: Resposta do aluno (11A) para a Questão 10 na primeira coleta
No segundo grupo, dez alunos na primeira coleta e cinco na segunda responderam
como apresentado no exemplo da Figura 89. Eles escreveram que o “magrinho”
estava certo, porém reconhecendo que o bolo todo refere-se ao número racional na
forma fracionária .
151
Figura 89: Resposta do aluno (17B) para a Questão 10 na primeira coleta
No terceiro grupo dois alunos na primeira coleta e quatorze na segunda
responderam, como no exemplo apresentado na Figura 90, que os dois meninos
estavam dizendo a mesma coisa, pois se comeu
ele comeu todo o bolo,
reconhecendo, assim, que o número racional na forma fracionária
representa o
mesmo valor que o número 1.
Figura 90: Resposta do aluno (1A) para a Questão 10 na primeira coleta
Oito alunos na primeira coleta e três na segunda responderam como o exemplo
apresentado na Figura 91, categorizada como “Respondeu que era o magrinho”.
152
Escreveram que quem estava certo era o “magrinho”, sem fazer nenhuma referência
ao número racional na forma fracionária.
Figura 91: Resposta do aluno (16A) para a Questão 10 na primeira coleta
A Figura 92 traz como exemplo a resposta apresentada por seis alunos na primeira
coleta e dez na segunda e categorizada “Respondeu que era o gordinho”.
Escreveram que quem estava certo era o “gordinho”, sem fazer nenhuma referência
ao número racional na forma fracionária.
Figura 92: Resposta do aluno (9A) para a Questão 10 na primeira coleta
153
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu“.
alunos apresentaram respostas rasuradas, as quais classificamos como categoria
“Outros”.
Diferenças entre as coletas
Analisando as respostas apresentadas na primeira coleta com as apresentadas na
segunda, notamos que quatorze alunos não sentiram a necessidade de escolher um
dos meninos como certo. Analisaram a situação e efetuaram a divisão, 8 8, como
indicado no número racional na forma fracionária
apresentado no enunciado da
questão, percebendo, assim, que os dois meninos falavam a mesma coisa.
Notemos, também, que, mesmo o aluno que simplesmente escolheu um dos
meninos na primeira coleta, aparentemente já tinha consciência que os dois estavam
falando a mesma coisa. Como mostra o relato do aluno (9A):
P.
O que você escreveu aqui? [apontando para a resposta da
primeira coleta].
9A.
Que era o gordinho.
P.
Por que você acha que o gordinho estava certo?
9A.
Porque é
P.
É o bolo todo?
9A.
É.
P.
Mas o magrinho não falou que tinha comido o bolo todo?
9A.
Mas é tudo a mesma coisa.
P.
Mas por que você escolheu o gordinho?
9A.
Eu não sei.
P.
Aqui na segunda você respondeu que os dois estavam
tudo.
falando a mesma coisa. Por que?
9A.
Uma coisa que tem o mesmo valor em cima e em baixo é
tudo a mesma coisa.
P.
A mesma coisa?
9A.
É. Como se fosse um inteiro.
Trecho de entrevista com aluno (9A)
154
O aluno 9A,
além de mostrar que tinha entendido a situação apresentada na
Questão 10, mostrou conhecimento de uma característica formal do número racional
na forma fracionária do subconstruto quociente, ou seja, o número representa a
divisão do numerador pelo denominador, sendo a divisão de dois números iguais é
igual a “um inteiro”.
Houve uma diferença entre as quantidades de respostas classificadas nas
categorias “Respondeu que era o magrinho”, a qual diminuiu de oito para três, e
“Respondeu que era o gordinho” a qual aumentou de seis para dez. Entendemos
que essa diferença deve-se ao fato de que esses alunos procuraram apenas se
posicionar e, já que tinham estudado recentemente os números racionais na forma
fracionária, escolheram o menino que apresentava a resposta com esse tipo de
número, conforme apresentado no exemplo da Figura 93, primeira coleta, e do
mesmo aluno apresentado na Figura 94, segunda coleta.
Figura 93: Resposta do aluno (16A) para a Questão 10 na primeira coleta
155
Figura 94: Resposta do aluno (16A) para a Questão 10 na segunda coleta
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Para a resolução dessa questão, alunos raciocinaram utilizando características do
mundo corporificado, como mostra o relato do aluno (1A).
P.
Na questão 10, você fez um desenho aqui. Que desenho é
esse?
1A.
Um bolo.
P.
Mas por que você desenhou o bolo?
1A.
Para mostrar que aqui era o bolo.
P.
Foi só para ilustrar ou você usou para contar os pedaços?
1A.
Para contar também.
P.
Você escreveu que os meninos estão falando a mesma coisa.
Como você chegou à conclusão?
1A.
Porque o bolo tinha oito pedaços e aqui não tinha nada.
P.
Mas o que você entendeu quando o gordinho falou 8/8?
1A
Que era o bolo todo.
Trecho de entrevista com aluno (1A)
O aluno desenhou uma figura e agiu sobre ela, contando as partes para entender e
apresentar uma resposta a questão, como mostra o relato do aluno e a resposta
apresentada por ele na segunda coleta, Figura 95.
156
Figura 95: Resposta do aluno (1A) para a Questão 10 na primeira coleta
Já na segunda coleta, o aluno não desenhou a figura, aparentemente abandonando
as características do mundo corporificado, utilizadas por ele na primeira coleta.
Figura 96: Resposta do aluno (1A) para a Questão 10 na segunda coleta
157
Diferenças entre as coletas no subconstruto quociente
Notamos uma diferença significativa entre as respostas para as duas questões
envolvendo o subconstruto quociente. Na Questão 2, principalmente na segunda
coleta, os alunos erraram ao tentar resolver a questão efetuando a divisão 5 4,
aparentemente porque o resultado dessa divisão não pertence ao conjunto dos
números naturais, ou seja, o “já-encontrado” divisão com números do conjunto dos
números naturais, que admite resto diferente de zero, interferiu na resolução da
situação.
Já na Questão 10, principalmente na segunda coleta, os alunos tiveram um maior
sucesso ao efetuar a divisão 8 8, já que esse quociente pertence ao conjunto dos
números naturais, e o resto é zero.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática no subconstruto operador
Como já foi mostrado na análise da Questão 2, alunos abandonaram o uso de
características do mundo corporificado, procurando efetuar a resolução do problema
com características do mundo simbólico, não tendo sucesso na resolução.
Acreditamos que isso não ocorreu na resolução da Questão 10 pela divisão com
características do mundo simbólico ser mais simples aos alunos, como relatado na
seção anterior, então o “já-encontrado” divisão com números do conjunto dos
números naturais interferiu de maneira distinta nas duas questões.
QUESTÕES ENVOLVENDO O SUBCONSTRUTO MEDIDA
Análise das respostas para a Questão 7
Os Professores A e B afirmaram na entrevista que seus alunos teriam muitas
dificuldades em resolver a Questão 7. Tais dificuldades seriam devidas às
operações de adição e de subtração com os números racionais na forma fracionária
contidas na resolução da questão.
158
A resolução da Questão 7 envolve características do mundo simbólico no
subconstruto medida. As respostas foram dividas em categorias e apresentadas na
Tabela 13.
Nenhuma resposta para essa questão foi por nós considerada correta. Porém,
encontramos algumas respostas que merecem nossa análise.
QUESTÃO 7
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
0
0
0
0
0
0
Retirou todos os pesos de um prato e
colocou pesos iguais ao do outro prato da
balança
1
1
0
1
1
2
Utilizou um raciocínio correto e errou nas
operações
1
2
1
2
2
4
Retirou o peso
1
1
0
2
1
3
Não respondeu
4
3
2
1
6
4
Outros
13
13
18
15
31
28
Total
20
20
21
21
41
41
de um dos lados e passou
para o outro
Tabela 13: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 7
A Figura 97 apresenta a resposta elaborada pelo aluno (4A) na primeira coleta e
similar a outros dois na segunda, classificada em “Retirou todos os pesos de um
prato e colocou pesos iguais ao do outro prato da balança”. O aluno desenhou
uma nova balança, e colocou novos pesos no prato esquerdo, iguais aos do prato
direito da balança.
159
Figura 97: Resposta do aluno (4A) para a Questão 7 na primeira coleta
A categoria “Utilizou um raciocínio correto e errou nas operações” representa as
respostas de dois alunos na primeira coleta e quatro na segunda que resolveram
essa questão por meio de operações matemáticas, de forma similar à apresentada
na Figura 98; isto é, com características do mundo simbólico no subconstruto
medida. Eles procuraram, por meio das operações de adição e subtração
envolvendo os números racionais na forma fracionária, calcularem o “peso” que
deveria ser colocado em um dos pratos da balança para que ela ficasse equilibrada.
Porém erraram o cálculo, pois somaram e depois subtraíram os numeradores e
denominadores.
Figura 98: Resposta do aluno (9A) para a Questão 7 na primeira coleta
A Figura 99 apresenta a resolução elaborada pelo aluno (1A) na primeira coleta, e
similarmente por três alunos na segunda, e foram categorizadas em “Retirou o peso
160
de um dos lados e passou para o outro”. O aluno procurou equilibrar os pratos
da balança retirando um dos pesos do prato esquerdo da balança e colocando-o no
prato direito.
Figura 99: Resposta do aluno (1A) para a Questão 7 na primeira coleta
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu”.
A maioria dos alunos, 31 na primeira coleta e 28 na segunda, apresentaram
respostas como desenhar figuras sem relação com a questão, respostas rasuradas,
dentre outras, as quais classificamos como categoria “Outros”. Entendemos que
essa questão talvez não tenha sido bem formulada levando os alunos a não
entenderem como resolvê-la.
Diferenças entre as coletas
Nossa avaliação é de que esta questão não foi formulada de forma a possibilitar que
os alunos pudessem apresentar resoluções coerentes. Mesmo assim, o número de
respostas classificadas nas categorias “Não respondeu” e “Outros” da primeira
para a segunda coleta diminuíram. Entendemos que mais alunos procuraram uma
forma para resolvê-la, o que discutiremos na seção posterior.
161
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Mesmo com a dificuldade no entendimento do enunciado da questão,
alunos
procuraram solucionar a situação proposta com características do mundo
corporificado na primeira coleta. Diferentemente das outras questões, eles não
abandonaram o uso dessas características na segunda coleta. Podemos verificar
isso no exemplo de resposta apresentado na Figura 100 e na Figura 101, pelo aluno
1A, que, como quatorze alunos, respondeu utilizando a mesma técnica de resolução
nas duas coletas, ou seja, procurou chegar à solução agindo sobre uma figura.
Entendemos que isso aconteceu devido à figura apresentada na questão, que
influenciou o aluno a esse uso, e também, aparentemente, por a maioria deles não
entender como resolver a questão com características do mundo simbólico.
Figura 100: Resposta do aluno (1A) para a Questão 7 na primeira coleta
Figura 101: Resposta do aluno (1A) para a Questão 7 na segunda coleta
162
Análise das respostas para a Questão 9
Nas entrevistas, os Professores A e B, disseram que seus alunos teriam dificuldades
em responder a Questão 9, pois a situação apresentada na questão não foi
trabalhada por eles em sala de aula. Afirmaram, ainda que essa situação faz parte
do conteúdo da 6ª série.
A resolução da Questão 9 refere-se a características do mundo simbólico no
subconstruto medida, em especial à localização do número racional na forma
fracionária na reta real.
QUESTÃO 9
5ª série A
Respondeu corretamente
Localizou
após o número 1 e
após o
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
0
2
0
1
0
3
6
3
3
2
9
5
número 5
Localizou
no número 1 e
no número 5
3
3
3
0
6
3
Localizou
no número 3 e
no número 4
0
3
6
7
6
10
Localizou
após o número 3 e
3
0
0
1
3
1
Não respondeu
3
3
0
1
3
4
Outros
5
6
9
9
14
15
Total
20
20
21
21
41
41
após o
número 4
Tabela 14: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 9
Nenhum aluno, dentre os 41, acertou a questão na primeira coleta. Na segunda, três
alunos acertaram parcialmente a questão, e foram por nós categorizados como
“Respondeu corretamente”. Eles responderam como no exemplo da Figura 102,
localizaram o número
localização do número
na reta real entre o zero e o um, porém se equivocaram na
. Observe que não houve a preocupação de localizar o
número racional na forma fracionária, , no ponto exato, ou seja, não fizeram uma
divisão do intervalo para localizá-lo, somente o posicionaram entre os números 0 e
1.
163
Figura 102: Resposta do aluno (7A) para a Questão 9 na primeira coleta
Nove alunos na primeira coleta e cinco na segunda responderam como no exemplo
apresentado na Figura 103, categoria “Localizou
após o número 1 e
após o
número 5”.
Figura 103: Resposta do aluno (1A) para a Questão 9 na primeira coleta
Os alunos localizaram o número
após o número 1 e o número
após o número 5.
O aluno (1A), ao ser questionado sobre esta resposta na entrevista, disse que se
lembrou da graduação de uma régua.
P.
Nessa questão, você tinha que posicionar
e
aqui nessa
reta numérica. Você entendeu que isso era uma reta
numérica?
1A.
Entendi.
P.
O
1A.
Aqui eu coloquei mais dois pontinhos para formar um terço.
P.
Mas por que depois do um?
1A.
Eu pensei que era aqui.
P.
Eo
você pôs depois do número 1. Por que?
você colocou depois do cinco?
164
1A.
Porque na régua às vezes está assim. Não tá? Tem aqueles
pontinhos. Então eu fiz assim.
P.
Então o cinco quartos é maior que o cinco?
1A.
É.
P.
E o um terço é maior que o um. É isso?
1A.
Acho que é.
P.
Você lembrou da régua?
1A.
Foi.
Trecho de entrevista com aluno (1A)
O aluno comparou a reta numérica com uma régua graduada; para ele, os
numeradores dos números
e
representam o centímetro da régua e os
denominadores a parte decimal, ou seja, os milímetros. Note que ele diz que para
localizar o número
ele desenha mais três pontinhos. Entendemos que buscou
características do mundo corporificado no subconstruto medida para tentar resolver
a questão.
A categoria “Localizou
no número 1 e
no número 5” engloba as respostas de
seis alunos na primeira coleta e três na segunda, que responderam com
características similares à anterior, como no exemplo apresentado na Figura 104.
Como o aluno (11B), eles localizaram o número
no número 1 e o número
no
número 5, utilizando o número natural da reta real como numerador do número
racional na forma fracionária.
Figura 104: Resposta do aluno (11B) para a Questão 9 na primeira coleta
Seis alunos na primeira coleta e dez na segunda responderam com características
similares à anterior, como no exemplo apresentado na Figura 105, e suas respostas
165
foram classificadas na categoria “Localizou
localizaram
no número 3, e
no número 3 e
no número 4”. Eles
no número 4, utilizando o número natural da reta real
como denominador do número racional na forma fracionária.
Figura 105: Resposta do aluno (16B) para a Questão 9 na primeira coleta
Três alunos na primeira coleta e um na segunda tiveram suas respostas
classificadas como “Localizou
após o número 3 e
após o número 4”
responderam como no exemplo apresentado na Figura 106.
Figura 106: Resposta do aluno (11A) para a Questão 9 na primeira coleta
Esses alunos localizaram
após o número 3 e
após o número 4, isso é,
localizaram após o número natural apresentado no denominador. O aluno (7A)
respondeu da mesma forma que o aluno (11A), e, ao ser questionado na entrevista,
respondeu que baseou-se na régua.
P.
Nessa questão, você tinha que posicionar o
e o
numérica. Você já tinha visto uma reta numérica?
7A.
Já.
P.
Onde você já tinha visto uma reta numérica?
7A.
Já tinha visto em uma régua.
na reta
166
P.
Você posicionou o
terço depois?
7A.
Três e pouquinho.
P.
Você posicionou depois?
7A.
Do três, como se fosse trinta, depois vem o trinta e um, por
isso que eu coloquei o ponto.
P.
Você tirou daí? Mas por que trinta? Não é três?
7A.
É como se fosse dois inteiros, por exemplo, se em cima, no
numerador, fosse dois, seria dois terços.
P.
E aí era depois do dois ainda?
7A.
Era mais um pouco.
P.
Eo
7A.
No meio. Que é o quatro. Então não são dez pontinhos? Eu
você colocou ele onde?
coloquei no meio do quatro.
P.
Por causa do cinco?
7A.
É. No meio não, um pouco mais para cá, no meio cabe o
cinco.
P.
Você está falando que tem dez pontinhos, dez divisões. Por
que dez?
7A.
Assim, do zero vai dez pontinhos para chegar no um.
Trecho de entrevista com aluno (7A)
Para esses alunos, os denominadores representam o centímetro da régua graduada
e os numeradores os milímetros. Note que o aluno 7A considera os milímetros como
unidade de medida, e confunde o número racional na forma fracionária com um
número natural, ou seja, ao partir do número três da reta, ele conta 31, 32 e 33 para
localizar .
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu“.
alunos apresentaram respostas como desenhar figuras sem qualquer ligação com o
exercício, respostas com localizações em outros pontos da reta, e muitas respostas
rasuradas, dentre outras, as quais classificamos como categoria “Outros”.
167
Diferenças entre as coletas
Para a resolução dessa questão, o aluno precisava possuir conhecimento de
características do mundo formal no subconstruto medida. Três alunos, na segunda
coleta, acertaram parcialmente a questão; na primeira coleta, nenhum aluno havia
acertado.
Também vale salientar que aumentou o número de alunos que apresentou respostas
classificadas na categoria “Localizou
no número 3 e
no número 4”, ou seja,
alunos que consideraram que o número apresentado na reta numérica relacionavase ao denominador do número racional na forma fracionária a ser posicionado na
reta.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática
Acreditamos que o número de respostas corretas apresentadas foi pequena devido
resolução dessa questão necessitar de características do mundo formal no
subconstruto medida, isto é, o aluno precisava ter conhecimento do conjunto dos
números racionais para posicionar os números na reta real, conhecimento esse que
será trabalhado com o aluno na série seguinte. Porém, vale ressaltar que o mesmo
erro, no qual o aluno considerou o numerador ou o denominador como um número
natural, foi apresentado na análise das questões que envolviam os outros
subconstrutos. Como exemplo, podemos citar a resolução apresentada por alunos
para a Questão 6, subconstruto operador, na qual os alunos entenderam o
numerador ou o denominar como o natural que representava a quantidade.
Apesar dessa questão trazer características do mundo formal, foram apresentadas
por alunos características do mundo corporificado, na tentativa de resolução da
questão. Com essa apresentação, apareceu a régua graduada como um “jáencontrado” que interferiu diretamente no posicionamento dos números na reta real,
pois os alunos relacionaram a régua graduada com a reta real e as divisões da reta
(em milímetros) com numerador ou denominador do número racional na forma
fracionária.
168
Diferenças entre as coletas no subconstruto medida
Comparando as respostas apresentadas nas duas coletas, tivemos uma pequena
melhora da primeira para a segunda coleta, no número de acertos da Questão 9,
sendo que na Questão 7, não houve nenhuma resposta correta em ambas as
coletas.
Também em ambas as coletas, tanto na Questão 7 como na Questão 9, tivemos um
número elevado de alunos que apresentaram respostas classificadas na categoria
“Outros”; isso aconteceu, possivelmente, pelo pouco conhecimento dos alunos nas
características do subconstruto medida. Vale ressaltar que nas pesquisas de Garcia
Silva (2007), Merline (2005) e Moutinho (2005), ao considerar o número racional na
forma fracionária como um número, o índice de acerto nas questões também foi
baixo.
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática no subconstruto medida
Diferentemente das questões dos outros subconstrutos, nas questões que envolviam
o subconstruto medida, os alunos que utilizaram características do mundo
corporificado na resolução na primeira coleta, também a utilizaram na segunda.
O uso de um objeto, a régua graduada, como “já-encontrado” também foi uma
novidade que apareceu apenas na resolução de questão desse subconstruto. A
régua graduada apareceu tanto na resolução da primeira como da segunda coleta
de dados sendo relacionada com a reta.
QUESTÕES ENVOLVENDO O SUBCONSTRUTO PROBABILIDADE
Análise das respostas para a Questão 5
O professor A acredita que seus alunos teriam facilidade em responder a Questão 5,
pois tal situação foi trabalhada em exercícios dados em sala de aula. O Professor B
disse que seus alunos teriam dificuldades em resolver a questão, pois a situação
apresentada na Questão 5 não foi trabalhada por ele durante as aulas. Os
169
resultados da Tabela 15 mostram a mesma quantidade de alunos nas duas turmas
resolvendo esta questão corretamente.
A Tabela 15 traz as respostas, divididas em categorias, apresentadas pelos alunos
para a Questão 5 na primeira coleta. A resolução desta questão envolvia
características do mundo corporificado e do mundo simbólico no subconstruto
probabilidade.
QUESTÃO 5
5ª série A
5ª série B
Total
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
1ª
coleta
2ª
coleta
Respondeu corretamente
7
6
6
7
13
13
Escreveu a quantidade de bolinhas
vermelhas com um número natural
1
3
5
5
6
8
Não respondeu
2
1
0
0
2
1
Outros
10
10
10
9
20
19
Total
20
20
21
21
41
41
Tabela 15: Categorias de respostas apresentadas para a Questão 5
Conforme apresentado na Tabela 15, treze alunos na primeira coleta e treze na
segunda responderam a Questão 5 de uma forma que categorizamos “Respondeu
corretamente”. Entre as respostas corretas, separamos duas resoluções diferentes
para apresentarmos.
Nove alunos na primeira coleta e seis na segunda acertaram a questão respondendo
como apresentamos na Figura 107. Representaram a razão existentes entre as
bolinhas vermelhas e o total de bolinhas contidas na caixa,
vermelhas para um total de 20 bolinhas existente na caixa.
, ou seja, 7 bolinhas
170
Figura 107: Resposta do aluno (17B) para a Questão 5 na primeira coleta
Na Figura 108, está um exemplo da resolução apresentada por quatro alunos na
primeira coleta e sete na segunda, cuja resolução também consideramos correta.
Apresentaram a resposta escrevendo a probabilidade de o evento acontecer, sem a
apresentação do número racional na forma fracionária, e sem dizer sete chances em
quantas.
Figura 108: Resposta do aluno (12A) para a Questão 5 na primeira coleta
A Figura 109 apresenta um exemplo da resposta classificada como “Escreveu a
quantidade de bolinhas vermelhas com um número natural” apresentada por
seis alunos na primeira coleta e oito na segunda. O aluno (9A) apresentou a
resposta à questão utilizando um número natural, ou seja, não efetuou dupla
contagem, bolinhas vermelhas e total de bolinhas, somente efetuou a contagem das
bolinhas vermelhas.
171
Figura 109: Resposta do aluno (9A) para a Questão 5 na primeira coleta
Os alunos que não apresentaram resposta para esta questão referem-se à categoria
“Não respondeu“.
alunos apresentaram respostas como desenhar figuras, respostas como a adição
com números naturais, respostas rasuradas, algumas frases como: “a bolinha
amarela”, “tirando de duas em duas”, “Porque tem mais vermelhas do as outras”,
”tem três juntas”, dentre outras, as quais classificamos como categoria “Outros”.
Diferenças entre as coletas no subconstruto probabilidade
Apesar de não ter havido nenhuma mudança entre os números de respostas
corretas entre a primeira e segunda coleta nesse subconstruto, houve um número
maior de alunos que apresentaram, na segunda coleta, respostas de uma forma
escrita “7 chances de tirar uma bolinha” e um número menor de alunos
apresentaram na segunda coleta o número racional na forma fracionária
como
resposta. Vale ressaltar que consideramos o número de respostas corretas
apresentadas como um bom índice, já que as características do subconstruto
probabilidade são trabalhadas apenas no ensino médio, provavelmente isso ocorreu
com os alunos efetuando a dupla contagem, características do subconstruto partetodo.
172
Reflexões
à
luz
dos
Três
Mundos
da
Matemática
no
subconstruto
probabilidade
Acreditamos
que,
como
o
subconstruto
probabilidade
só
é
ensinado
sistematicamente no ensino médio, os alunos que responderam corretamente o
fizeram de uma forma intuitiva. Provavelmente, o fizeram efetuando uma dupla
contagem com características do mundo corporificado, ou seja, contaram a
quantidade de bolinhas vermelhas e o total de bolinhas, características do mundo
corporificado, tendo pouca interferência das características do mundo simbólico,
provavelmente só na apresentação do número racional na forma fracionária
.
Porém, na entrevista, o aluno 17B, que acertou a questão, ao ser questionado sobre
a resposta que apresentou tanto na primeira como na segunda coleta respondeu:
P.
Leia o que você escreveu aqui. [apontando para a resposta
apresentada na primeira coleta].
17B.
Sete sobre vinte.
P.
Por que você escreveu
17B.
Eu contei as sete bolinhas vermelhas, que é o numerador,
?
como tem vinte, ela tem sete chances em vinte.
P.
O que você entende quando fala sete chances em vinte?
17B.
Eu entendo que ela tem vinte chances, mas sete delas é de
tirar a vermelha.
P.
Na segunda vez você respondeu a mesma coisa?
17B.
Respondi.
Trecho de entrevista com aluno (17B)
Para o aluno 17B, parece estar claro o conceito subconstruto probabilidade. O aluno
mostrou que possui conhecimento para resolver esse tipo de situação. Vale ressaltar
que o aluno 17B mostrou, nas respostas do questionário e na entrevista, que é
diferenciado dos demais alunos que participaram como sujeitos da pesquisa. Ele
respondeu com muita firmeza a todos os questionamentos durante a entrevista,
mostrando o seu conhecimento sobre o assunto.
173
Reflexões à luz dos Três Mundos da Matemática na primeira e na segunda
coleta de dados
Vamos iniciar essa análise comentando sobre os “já-encontrados”. Já esperávamos
a interferência dos números naturais como “já-encontrados” na resolução das
questões, mas também tivemos a interferência de um “já-encontrado” que não
esperávamos. Na Questão 9, questão que envolvia o subconstruto medida, dois
alunos entrevistados disseram que se lembraram de uma “régua graduada” para
responder a questão.
Em relação ao uso de características dos Três Mundos da Matemática, houve na
resolução da maioria das questões a mudança das características do mundo
corporificado para o mundo simbólico. Mudança essa que não trouxe um resultado
positivo na resolução das questões, já que a maioria dos alunos que decidiram por
essa mudança não apresentaram respostas corretas, mesmo os que tinham
acertado a questão na primeira coleta.
Porém, entendemos que nas questões, nas quais o índice de acerto foi baixo, faltou
aos alunos conhecimento das características do mundo formal, características essas
presentes nas definições dos subconstrutos. Os alunos aparentemente não sabiam
como proceder na resolução das situações propostas que buscavam esse
conhecimento.
Esses e outros resultados foram detalhados na conclusão desse trabalho.
174
CONCLUSÃO
Nesta pesquisa, nossa preocupação não foi apenas a de verificar os erros cometidos
pelos alunos que nela participaram ao resolver questões relacionadas a números
racionais na forma fracionária, mas, principalmente, buscar entender as dificuldades
apresentadas por eles na aprendizagem dos números racionais na forma fracionária.
Como entendemos que na fase na qual os alunos envolvidos em nossa pesquisa se
encontram, 5ª série, há uma transformação na maneira de resolução das situações
envolvendo os números racionais na forma fracionária, já que esse conteúdo é
aprofundado nessa série, escolhemos os Três Mundos da Matemática, um quadro
teórico que nos ajudaria a verificar a natureza dessas mudanças.
Nesta seção, apresentaremos essas dificuldades, relacionadas a cada um dos seis
subconstrutos, responderemos as questões de pesquisas e apresentaremos
possíveis mudanças nas imagens de conceito desses alunos em relação aos
números racionais na forma fracionária.
Os seis subconstrutos na pesquisa
As pesquisas apresentadas no Capítulo 1 apontam dificuldades em diferentes
subconstrutos. Apresentamos uma comparação dos índices levantados nessas
pesquisas com o que observamos na nossa.
Subconstruto Parte-todo
O subconstruto parte-todo foi o que apresentou maior índice de acertos, com
exceção da Questão 13, na qual os alunos deveriam observar que a figura estava
dividida em áreas diferentes, uma característica do mundo formal nesse
subconstruto. Pesquisas como as de Merlini (2005), Moutinho (2005) e Charalambos
e Pitta-Pantazi (2005) também evidenciaram que, dentre os subconstrutos, o partetodo é aquele no qual os alunos são mais bem sucedidos.
175
O erro mais comum nas questões que envolviam esse subconstruto foi na dupla
contagem. Os alunos relacionavam as partes destacadas e as não destacadas, ao
invés de efetuar a dupla contagem com a quantidade de partes destacadas e o total
de partes em que o todo foi dividido.
Subconstruto Razão
O índice de acertos das questões que envolviam o subconstruto razão não foi bom,
o número de alunos que acertaram a questão foi baixo. O erro mais freqüente foi
que, apesar de os alunos indicarem os números racionais na forma fracionária
correspondentes às razões solicitadas, eles não compararam as razões para
responder a pergunta em ambas as questões. Dessa forma, a principal dificuldade
apresentada por eles foi a comparação entre razões. Os alunos, na primeira coleta,
ainda tentaram resolver as questões envolvendo esse subconstruto utilizando
características do mundo corporificado, o que foi abandonado pela maioria deles na
segunda coleta.
Esse subconstruto também foi pesquisado por Charalambos e Pitta-Pantazi (2005),
os quais indicaram um resultado bem diferente do nosso. O índice de acertos do
subconstruto razão na pesquisa deles foi o segundo melhor, ficando atrás somente
do subconstruto parte-todo.
Subconstruto Operador
O subconstruto operador, ao lado do subconstruto medida, teve o pior índice de
acertos encontrado em nossa coleta de dados. As pesquisas realizadas por Garcia
Silva (2007) e Charalambos e Pitta-Pantazi (2005), também apresentaram esse
subconstruto como sendo o segundo pior índice de acertos.
O erro mais freqüente foi provocado pelo “já-encontrado” operações com números
naturais. Os alunos trataram o número racional na forma fracionária como se fosse
um número do conjunto dos números naturais, o que, provavelmente ocasionou um
176
índice de erros tão grande, talvez por 25 alunos entenderem o numerador ou o
denominador como o número que indicava a quantidade.
Subconstruto Quociente
Em nossa pesquisa, houve um índice diferente de acertos entre as duas questões
que apresentavam características do subconstruto quociente. A Questão 2 teve um
índice baixo de acertos, somente três alunos dentre os 41 acertaram a questão. Ao
dividir 5 barras de chocolate entre os quatro amigos de Pedro, os alunos deram uma
barra de chocolate para cada amigo de Pedro, aparentemente não sabendo o que
fazer com a barra que sobrou. Essa característica foi ainda mais marcante na
segunda coleta, na qual os alunos abandonaram características do mundo
corporificado para a resolução da questão, passando a trabalhar com características
pertencentes ao mundo simbólico. Outro motivo do alto índice de erros nessa
questão foi o “já-encontrado” operação no universo do conjunto dos números
naturais. A divisão nesse conjunto numérico admite resto diferente de zero; já no
universo do conjunto dos números racionais esse resto seria dividido, obtendo, no
caso da Questão 2, um quociente pertencente ao conjunto dos números racionais.
Já na Questão 10, talvez devido ao resto da divisão ser zero, o índice de acerto foi o
maior dentre todas as questões. Outro fator que pode ter influenciado tal resultado
foi que a situação favorece o uso de características do mundo corporificado, e não
fica difícil imaginar a divisão do bolo. O erro mais freqüente foi a necessidade,
explicitada na questão, de o aluno escolher um dos meninos. Em entrevista, um
aluno explicou que escolheu o “gordinho”, porém sabia que ambos os meninos
estavam falando do bolo todo.
Na pesquisa realizada por Garcia Silva (2007), esse subconstruto foi o que teve o
melhor índice de acertos. Também na pesquisa de Merlini (2005) os alunos tiveram,
nesse subconstruto, um bom índice de acertos, sendo o segundo melhor.
177
Subconstruto Medida
Os alunos apresentaram, no subconstruto medida, ao lado do subconstruto
operador, o pior desempenho entre as questões do questionário.
A Questão 7 teve o pior índice de acertos dentre todas as questões. Isso talvez
tenha sido acarretado pelo enunciado da questão, que, entendemos, não foi bem
elaborado. Além disso, os alunos cometeram erros devido ao “já-encontrado”
operação com números naturais. Mesmo indicando as operações correspondentes,
não conseguiram efetuar tais operações.
A Questão 9 também teve um índice de acertos insatisfatório. Somente três alunos
dentre os 41 acertaram tal questão, mesmo assim parcialmente. Essa questão trazia
o subconstruto medida com características do mundo formal, e a necessidade do
aluno enxergar o número racional na forma fracionária como um número pertencente
à reta real. Houve a interferência de um “já-encontrado”, a régua graduada, o que
auxiliou os alunos na localização, mesmo que incorreta. Nas pesquisas de Garcia
Silva (2007), Merlini (2005) e Moutinho (2005), que também pesquisaram essa
situação, o subconstruto medida, como número, foi o pior índice de aproveitamento
dentre todos os subconstrutos pesquisados.
Subconstruto Probabilidade
Apesar de a probabilidade ser um conteúdo a ser trabalhado sistematicamente
somente no ensino médio, o subconstruto probabilidade teve um índice de acertos
de 26 entre os 41 alunos participantes, e, se comparado com o índice de acerto dos
outros subconstrutos, este é considerado um bom aproveitamento. O erro mais
freqüente foi o aluno indicar a quantidade de bolinhas vermelhas com um número
natural. Os alunos também apresentaram respostas classificadas na categoria
“Outros”, provavelmente pela falta de conhecimento das características do mundo
formal referente ao subconstruto, ou seja, sua definição.
178
Respondendo as questões de pesquisa
Este trabalho iniciou-se com a seguinte questão de pesquisa: “Quais mudanças de
raciocínio de alunos de 5ª série sobre números racionais na forma fracionária que
foram acarretadas pelo estudo desse conteúdo nessa série?”. Após o estudo e o
aprofundamento da fundamentação teórica, nosso olhar para os subconstrutos dos
números racionais na forma fracionária, objeto de nosso estudo, mudou. Dessa
forma, da questão original surgiram três questões relacionadas ao quadro teórico
utilizado. Procuramos, então, após a análise dos dados, respondê-las.
A primeira questão de pesquisa está relacionada aos “já-encontrados” e aos “aencontrar”, e às interferências que eles têm na aprendizagem do número racional na
forma fracionária por alunos de 5ª série.
 Quais “já-encontrados” e “a-encontrar” interferem no aprendizado do
conceito dos números racionais na forma fracionária antes e depois
dos alunos estudarem o conteúdo na 5ª série?
“Já-encontrados”
“já-encontrados” interferiram na resolução das questões contidas no questionário de
coleta de dados. Entre esses “já-encontrados”, o mais freqüente foi a operação com
números naturais. A adição, a subtração e a divisão de números naturais foram
utilizadas pelos alunos para a resolução de várias questões, interferindo de uma
maneira negativa, pois, ao aplicarem o algoritmo dessas operações em um universo
fora do conjunto dos números naturais, esses alunos não foram bem sucedidos. Os
alunos, ao utilizarem o algoritmo, efetuaram as operações como se os numeradores
e denominadores fossem números naturais, entendendo que tanto um como o outro
indicavam uma quantidade.
O “já-encontrado” centavos ajudou na resolução da Questão 2, quando os alunos
dividiram a barra de chocolate que sobrou da divisão de cinco barras de chocolate
entre os quatro amigos de Pedro, pensando na divisão de um real em quatro
moedas de 25 centavos. Ressaltamos que esse “já-encontrado” somente foi utilizado
na resolução da questão na primeira coleta, os alunos não utilizaram novamente na
segunda, e erraram a questão.
179
Outro “já-encontrado” que verificamos na análise dos dados foi a régua graduada.
Verificamos que pelo menos doze alunos relacionaram a régua graduada à reta real
para a resolução da Questão 9. Eles entenderam o número natural que estava na
reta real como o número que indica o centímetro da régua graduada e fizeram novas
divisões na reta como se fossem os milímetros da régua. Os alunos que utilizaram
esse “já-encontrado” para a resolução da questão na primeira coleta voltaram a
utilizá-lo na segunda.
Também constatamos, na análise, que
alunos já tinham a dupla contagem,
quantidade de partes destacadas e quantidade de partes em que o objeto foi
dividido, como um “já-encontrado”, e, outros alunos o adquiriram somente na 5ª
série.
“A-encontrar”
Entendemos que o “a-encontrar” igualdade entre números racionais na forma
fracionária ajudou
alunos a resolverem as questões que envolviam adição ou
comparação entre esses números, quando tinham denominadores diferentes.
Cremos que é um a-encontrar, pois, após o aprendizado na 5ª série,
alunos
resolveram as questões que envolviam essas adições e comparações fazendo uso
da equivalência, o que não foi apresentado pelos alunos na primeira coleta.
Entendemos que esse “a-encontrar” interferiu de uma maneira positiva, pois os
alunos, ao aplicarem esse novo conhecimento, conseguiram resolver as questões
corretamente.
Nove alunos se apropriaram do “a-encontrar” adição de números racionais na forma
fracionária com denominadores diferentes. Exemplo da interferência desse “aencontrar” pode ser visto em resoluções para a Questão 12 na segunda coleta. Os
alunos, ao invés de agirem sobre a figura, redividindo, o primeiro círculo para deixar
equivalente ao segundo, e depois contarem as partes pintadas, utilizaram a adição
dos números racionais na forma fracionária correspondentes à figura e, só depois,
desenharam a figura correspondente à soma. Entendemos que a adição de números
racionais na forma fracionária com denominadores diferentes é um a-encontrar, pois
180
na primeira coleta os alunos apresentaram resoluções a Questão 12 de várias
formas, não apresentando o uso dessa adição, e também a própria questão levava o
aluno a não usar a adição dessa maneira.
A segunda questão de pesquisa está relacionada à averiguação de quais
características dos Três Mundos da Matemática foram usadas pelos alunos antes e
depois de estudarem o conteúdo na 5ª série, para resolver as questões contidas no
questionário de coleta de dados
 Quais características dos Três Mundos da Matemática os alunos
utilizam na resolução de situações que abordam o conceito do número
racional na forma fracionária, antes e depois de estudarem o conteúdo
na 5ª série?
De um modo geral, antes de estudarem o conteúdo na 5ª série, esses alunos
utilizaram características do mundo corporificado para a resolução das questões.
Um exemplo dessas características foi o uso de figuras. Elas foram usadas para a
dupla contagem nas questões que envolviam o subconstruto parte-todo; para efetuar
a divisão nas questões que envolviam o subconstruto quociente; para comparar
quantidades nas questões que envolviam o subconstruto razão; e para verificar
novas quantidades ou valores nas questões que abrangiam o subconstruto
operador. Outros exemplos de características do mundo corporificado foram o uso
da régua graduada nas questões que envolviam o subconstruto medida; bem como
a contagem para a verificação da chance da bolinha ser sorteada na questão que
abrangia o subconstruto probabilidade.
Após terem estudado o conteúdo na 5ª série, 21 alunos mudaram a maneira de
resolver as questões. De um modo geral, esses alunos utilizaram características do
mundo simbólico para a resolução das questões. Um exemplo do uso de
características simbólicas pode ser visto na resolução da Questão 2, na qual os
alunos, na segunda coleta, apresentaram o uso da operação de divisão para a
resolução da questão. Lembramos que, conforme apresentado na análise de dados,
esse uso levou alunos a responderem a questão de maneira incorreta, já que os
181
mesmos utilizaram o algoritmo empregado no conjunto dos números naturais. Na
Questão 4, também os alunos utilizaram características do mundo simbólico para
resolver a questão, na qual alunos obtiveram sucesso, e a maioria não conseguiu
concluir a resolução da questão. Já na Questão 7, os alunos tentaram resolver a
situação apresentada na questão, e não foram bem sucedidos ao efetuar a adição
dos números racionais na forma fracionária. Na Questão 8, os alunos também
utilizaram características desse mundo, sendo que somente dois alunos obtiveram
sucesso. Também na Questão 12, dois alunos dentre os 41, efetuaram a adição das
partes pintadas dos dois círculos e nesse caso obtiveram sucesso na resposta da
questão.
A terceira questão de pesquisa está relacionada à verificação das possíveis
mudanças de uso de características dos Três Mundos da Matemática entre a
primeira e a segunda coleta de dados, características essas que os alunos utilizaram
para a resolução das questões contidas no questionário de coleta de dados, e qual
foi a interferência dessa mudança.
 Qual a interferência provocada por possíveis mudanças de uso de
características dos Três Mundos da Matemática utilizadas por alunos
na resolução de situações que abordam o conceito de números
racionais na forma fracionária?
Vinte e um alunos que, antes de estudarem o conteúdo na 5ª série, utilizavam
características do mundo corporificado, depois da aprendizagem do conteúdo na
referida série, passaram a utilizar características do mundo simbólico. Essa
mudança não nos pareceu positiva, pois a maioria dos alunos que conseguiram
acertar ou pelo menos desenvolver um raciocínio utilizando características do
mundo corporificado, errou as questões ao utilizar as características do mundo
simbólico.
Exemplo desse ocorrido foi a troca do uso de características dos mundos da
Matemática na Questão 2, conforme apresentamos no capítulo 4, Análise de Dados.
Os alunos que acertaram a referida questão na primeira coleta, ao utilizarem
182
características do mundo corporificado, mas não foram bem sucedidos na segunda
coleta, quando utilizaram características do mundo simbólico para a resolução da
questão. Na Questão 4, dois dos 41 alunos trocaram as características do mundo
corporificado na primeira coleta para o mundo simbólico na segunda coleta, sendo
que a maioria que havia ao menos indicado alguma resolução, sequer esboçou
resposta para a questão.
Imagem de Conceito
A imagem conceito é individual, isto é, ela é própria do indivíduo. Entretanto,
percebemos, com a análise dos dados coletados, algumas características comuns a
muitos dos alunos que fizeram parte desta pesquisa. Dessa forma, procuramos
levantar as características marcantes das imagens de conceito desses alunos antes
e depois do estudo de números racionais na forma fracionária na 5ª série.
Realizamos a primeira coleta de dados, com a aplicação do questionário, para
levantarmos a imagem de conceito de um grupo de alunos que concluíram a 4ª
série. A maioria dos alunos não tinha como parte da imagem de conceito a dupla
contagem de uma forma correta, ou seja, eles não contavam o número de partes ou
objetos destacados, e o número total de partes ou elementos de um conjunto. Outra
característica da imagem de conceito levantada na primeira coleta foi a igualdade
entre números racionais na forma fracionária. Os alunos não sabiam comparar dois
números racionais na forma fracionária que estivessem escritos de um forma
diferente, porém indicando o mesmo valor. Além disso, a
adição dos números
racionais na forma fracionária como uma parte da imagem de conceito a ser
modificada foi percebida na primeira coleta. Os alunos, ao efetuarem a adição,
somavam os numeradores e os denominadores e também não levavam em
consideração se os denominadores eram iguais ou diferentes.
Ao realizarmos a segunda coleta de dados, reaplicando o questionário, e
entrevistando
alunos, pudemos perceber algumas mudanças na imagem de
conceito de um grupo desses alunos. Uma mudança foi em relação à dupla
contagem, ou seja, eles passaram a efetuar a dupla contagem adequadamente.
183
Outra mudança foi a igualdade entre os números racionais na forma fracionária, ou
seja, treze alunos, após a aprendizagem na 5ª série conseguiram comparar os
números racionais na forma fracionária que estavam escritos de uma forma
diferente, bem como transformá-los para que ficassem iguais. Também percebemos
que houve mudança na imagem de conceito em relação à adição de números
racionais na forma fracionária. Percebemos que vários alunos efetuaram a adição
entre os números de uma forma correta, ou seja, somaram os numeradores
mantendo os denominadores e quando os denominadores eram diferentes, faziam a
equivalência e depois efetuavam a adição dos números. Entendemos que todas
essas mudanças nas imagens de conceito foram positivas. Vale salientar que os “aencontrar” que levantamos fazem parte das mudanças dessas imagens de conceito.
Sugestões para outras pesquisas
Em toda pesquisa existem limitações, sejam pela existência de características
específicas, pela linha de pesquisa em que ela foi desenvolvida, pelo universo no
qual os dados foram coletados, dentre outras. No caso de nossa pesquisa não foi
diferente. Procuramos levantar, as dificuldades apresentadas pelos alunos no
aprendizado dos números racionais na forma fracionária.
Uma das limitações de nossa pesquisa foi o universo que escolhemos para a coleta
de dados, alunos de 5ª série. Fica como sugestão para uma próxima pesquisa,
verificar as características que alunos tanto de 6ª série quanto de ensino médio
utilizam para a resolução de questões envolvendo os subconstrutos, as
características dos Três Mundos da Matemática, as interferências dos “jáencontrados” e dos “a-encontrar”, bem como a mudança da imagem de conceito por
parte desses alunos, já que eles continuarão aprendendo nessas séries conceitos
dos números racionais na forma fracionária. Entendemos que a 6ª série e o ensino
médio são momentos adequados para novas pesquisas porque, na 6ª série, são
aprofundados com os alunos os subconstrutos quociente e operador. Já no ensino,
médio são trabalhados os subconstrutos razão e probabilidade.
184
Os alunos apresentaram muitas dificuldades nas questões que envolviam o
subconstruto medida, mais especificamente na questão que o aluno precisava
entender que o número racional na forma fracionária é um número, assim como os
números naturais também o são, então seria interessante uma pesquisa mais
aprofundada sobre a aprendizagem desse subconstruto.
Procuramos, em nossa pesquisa utilizando um quadro teórico relativamente novo,
mostrar, com um olhar diferente das outras pesquisas por nós estudadas, as
dificuldades da aprendizagem dos números racionais na forma fracionária.
Sugerimos que sejam elaboradas seqüências didáticas envolvendo o quadro teórico
os Três Mundos da Matemática para o ensino do conteúdo, levando em
consideração as dificuldades por nós apontadas, bem como aquelas apresentadas
por outros estudos.
Como dissemos na introdução desse trabalho, ao comentarmos sobre a questão do
SARESP, o índice de acertos desses alunos piora com o passar das séries, ou seja,
as mesmas questões que foram aplicadas aos alunos da 4ª série foram aplicadas
também a alunos de outras séries, e o índice de acertos foi menor quando a série é
mais avançada, chegando a um índice muito baixo no final do ensino médio. Depois
da análise da coleta de dados desse trabalho, entendemos que as dificuldades que
os alunos apresentam com o passar dos anos está ligada ao mundo simbólico, ou
seja, talvez seja interessante pesquisar a passagem do uso das características do
mundo corporificado para o mundo simbólico, para que isso não aconteça. Vinte e
um alunos que participaram da nossa coleta de dados não conseguiram resolver as
questões quando mudaram do uso das características do mundo corporificado, para
as características do mundo simbólico, aparentemente mostrando o porquê dos
alunos das séries mais avançadas apresentarem dificuldades em resolverem
situações que envolvam os números racionais na forma fracionária.
185
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188
APÊNDICE 1
Questionário de coleta de dados
189
1) Observe as figuras abaixo e indique a fração correspondente à parte pintada de
cada uma.
2) Pedro dividiu igualmente cinco barras de chocolate entre quatro amigos. Quanto
de chocolate cada amigo de Pedro recebeu?
3) Joãozinho possui uma coleção de copos coloridos. Escreva a fração
correspondente a cada cor de copo da coleção em relação ao total de copos.

Copos de cor verde:

Copos de cor vermelha:

Copos de cor amarela:
4) Duas salas do 5º ano participaram de uma gincana de arrecadação e
distribuição de alimentos a entidades carentes.
 As duas salas arrecadaram 12 sacos de arroz cada uma.
 De cada 3 sacos de arroz arrecadados pelo 5º ano A, 2 foram entregues a um
orfanato.
 De cada 4 sacos de arroz arrecadados pelo 5º ano B, 3 foram entregues a um
asilo.
O asilo e o orfanato receberam quantidades iguais de arroz?
Justifique usando frações.
190
5) A caixa abaixo possui 20 bolinhas coloridas. Gabriela retirou uma bola de dentro
da caixa. Qual a chance de Gabriela ter retirado uma bolinha vermelha?
6) Observe a receita para esse delicioso bolo.
2 xícaras de farinha de trigo
4 ovos
de tablete de manteiga
xícara de leite
Quanto será utilizado de cada um desses ingredientes se eu quiser fazer meia
receita desse bolo?
7) Analise a balança abaixo e responda qual é o valor do peso que deve ser
colocado para equilibrar a balança?
191
8) Joaquim estava no supermercado quando ouviu que teria uma super oferta.
Uma bicicleta seria vendida por
de seu preço. Sabendo que o preço da
bicicleta era de R$ 300,00 calcule o preço o pago por Joaquim.
PROMOÇÃO BICICLETA
POR SOMENTE
9) Posicione os números
0
1
DO PREÇO
na reta numérica abaixo.
2
3
10)
Qual dos dois meninos está certo? Por quê?
4
5
192
11) Ivan, Juarez e Denílson estudam na mesma sala. Dois deles estão dizendo a
mesma coisa sobre a quantidade de meninas da sala, só que de forma
diferentes. Quem são esses meninos? Justifique sua resposta usando
frações.
12) Desenhe uma figura que corresponda à soma das duas partes pintadas das
figuras e represente esta soma por uma fração.
13) Observe a figura e escreva a fração correspondente à parte pintada.
193
APÊNDICE 2
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
194
TERMO DE CONSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
O presente estudo, intitulado Uma jornada por diferentes Mundos da Matemática investigando os
Números Racionais na Forma Fracionária, tem por objetivo investigar as ações dos alunos da 5ª
série (6º ano) do Ensino Fundamental, quando se deparam com situações envolvendo os Números
Racionais na Forma Fracionária.
Para o bom desempenho desta pesquisa, contamos com sua colaboração no sentido de permitir a
participação de seu(sua) filho(a) como voluntário neste estudo, respondendo às questões do
questionário com números racionais na forma fracionária para entender o que ele(a) aprendeu sobre
os conceitos desse número. alunos serão posteriormente selecionados para participarem de
entrevistas com o pesquisador. A seleção dos alunos para a entrevista se dará pelo fato de não se ter
tempo hábil para entrevistar todos os alunos participantes. Os dados da pesquisa serão coletados da
seguinte forma: em um primeiro momento, pelos protocolos dos alunos, as respostas ao questionário.
Em um segundo momento, pelas entrevistas, que serão áudio-gravadas, filmadas e a produção
escrita do aluno recolhida.
Ao permitir que seu(sua) filho(a) participe deste estudo, você estará consentindo que os dados de
seu(sua) filho(a) sejam utilizados apenas para fins desta pesquisa. Ressalta-se que há garantia de
preservação de identificação. O nome da escola e o nome de seu(sua) filho(a) não serão divulgados.
Caso seja pedido que ele(a) se identifique em algum momento, será apenas para identificá-lo(a)
dentro do grupo de alunos pesquisados.
Desde já agradeço sua contribuição, a qual será de extrema importância para que os objetivos deste
trabalho sejam atingidos.
Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
Eu, _________________________________________________________________, portador do
RG ____________________, telefone ________________, abaixo assinado, dou meu consentimento
livre e esclarecido para que meu(minha) filho(a)___________________________________________
participe como voluntário(a) da pesquisa supracitada, sob a responsabilidade principal de Paulo
César Freire, aluno do curso de Mestrado em Educação Matemática da UNIBAN.
Assinando este Termo de Consentimento, estou ciente de que:
a) o objetivo da pesquisa é verificar as ações dos alunos quando se deparam com situações
envolvendo os Números Racionais na Forma Fracionária.
b) a realização desta pesquisa é fundamental para o progresso da Educação Matemática no Brasil,
para melhor entender as dificuldades de aprendizagem nesse conteúdo.
c) a participação do meu(minha) filho(a) no estudo será responder ao questionário e, eventualmente,
participar de entrevistas.
d) assim que a pesquisa terminar, terei acesso aos resultados globais do estudo.
e) estou livre para interromper, a qualquer momento, a participação do meu(minha) filho(a) nesta
pesquisa.
f) os dados pessoais do meu(minha) filho(a) serão mantidos em sigilo, e os resultados obtidos com a
pesquisa serão utilizados apenas para alcançar os objetivos do trabalho, incluindo a publicação na
literatura científica especializada e apresentação dos resultados em eventos nacionais e
internacionais.
g) poderei entrar em contato com o pesquisador Paulo César Freire pelo e-mail
[email protected] ou pelo telefone (11) 8296 3896 sempre que julgar necessário.
h) obtive todas as informações necessárias para poder decidir conscientemente sobre a participação
do meu(minha) filho(a) na referida pesquisa.
i) este Termo de Consentimento é feito em duas vias, de maneira que uma permanecerá em meu
poder e a outra com o pesquisador responsável.
São Paulo, _____ de ____________________ de 2010.
________________________________
Assinatura do responsável pelo participante
_____________________________________
Paulo César Freire