CPV O cursinho que mais aprova na fGV
FGV – economia – 1a Fase – 29/novembro/2009
MATEMÁTICA
01. Uma empresa desconta do salário anual de seus funcionários
certa porcentagem para um plano de previdência privada.
O desconto é de p% sobre R$ 28.000,00 de renda anual,
mais (p + 2)% sobre o montante anual do salário que excede
R$ 28.000,00. João teve desconto total de (p + 0,25)% do
seu salário anual para o plano de previdência privada. O
salário anual de João, em reais, sem o desconto do plano
de previdência é
Por exemplo, se o número é 142, então x = 7 e y = 8.
Sabendo-se que N é um número natural de dois dígitos
tal que N = x + y, o dígito da unidade de N é
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
N = ab, com 1 £ a £ 9 e 0 £ b £ 9, são os dígitos de N.
Então: N = 10 a + b
Do enunciado, temos que:
x=a+b
y=a.b
Portanto:
N = x + y Þ 10 a + b = a + b + ab
9a – ab = 0 Û a (9 – b) = 0
2.
3.
6.
8.
9.
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Chamando de S o salário anual de João e de D o desconto anual,
temos:
D = 28000 . p% + (p + 2)% (S – 28000)
Como D = (p + 0,25)% S
(p + 0,25)% S = 28000 . p% + (S – 28000)(p + 2)%
p . S + 0,25S = 28000 p + S . p + 2S – 28000p – 56000
S = 32000
de onde resulta:
O salário anual de João é R$ 32000,00
a = 0 (não convém) ou
b=9
O dígito da unidade de N é 9.
CPV
28.000,00.
32.000,00.
35.000,00.
42.000,00.
56.000,00.
02. Sejam x e y a soma e o produto, respectivamente, dos
dígitos de um número natural.
fgv091fnoveco
resulta:
Alternativa B
Alternativa E
1
2
fgv – 29/11/2009
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
03. Em um quadrado mágico, como o indicado na figura, a
soma dos números em cada linha, em cada coluna e em
cada diagonal assume o mesmo valor. Se as letras A, B,
C, D e E representam números, então D+E é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
43.
44.
45.
46.
47.
Resolução:
Do quadrado da figura, temos que:
A + 18 + 25 = A + 24 + B (I)
A 24 B
18 C D
25 E 21
04. Deslocando-se a vírgula 4 posições para a direita na
representação decimal de um número racional positivo,
o número obtido é o quádruplo do inverso do número
original. É correto afirmar que o número original encontrase no intervalo real
 1
3 

,
a) 
 10000 10000 
 1
3 

,
b) 
 1000 1000 
 1
3 

,
c) 
 100 100 
A + C + 21 = A + 18 + 25 (II) (diagonal principal = 1a coluna)
1 3
d)  , 
 10 10 
De (I), obtemos B = 19.
e) [1,3]
De (II), obtemos C = 22.
Resolução:
Na diagonal secundária:
B + C + 25 = Soma Þ Soma = 66
Chamando o número original de x,
o novo número obtido será 10000 x.
Logo, temos:
Assim podemos obter D = 26 e E = 20.
10000 x = 4 .
Portanto: D + E = 46
pois x é racional positivo.
Desta forma,
(1a coluna = 1a linha)
Alternativa D
1
4
2
Þ x2 =
Þx=
,
x
10000
100
1
2
3
1
3
<
<
⇒
<x<
100 100 100
100
100
Alternativa C
CPV
fgv091fnoveco
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
05. A soma dos 100 primeiros termos de uma progressão
aritmética é 100, e a soma dos 100 termos seguintes dessa
progressão é 200. A diferença entre o segundo e o primeiro
termos dessa progressão, nessa ordem, é
10–4.
10–3.
10–2.
10–1.
1.
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
(a1 + a100 ) 100
S100 =
Portanto a1 + a100 = 2
S'100 =
= 100
2
(a101 + a 200 ) 100
2
Portanto a101 + a200 = 4
a1 + a100 = 2
= 200
Þ
a101 + a200 = 4
Portanto r =
1
Logo: a2 – a1 = r =
100
r = 10–2
2a1 + 99 r = 2
2a1 + 299 r = 4
1
100
fgv091fnoveco
3
x −1
x−k
,
=
x−2
x−6
na variável x, k é um parâmetro real.
O produto dos valores de k para os quais essa equação
não apresenta solução real em x é
06. Na equação
a)
b)
c)
d)
e)
10.
12.
20.
24.
30.
Resolução:
x −1
x−k
Þ (x – 1) (x – 6) = (x – k) (x – 2)
=
x−2
x−6
x2 – 7x + 6 = x2 – (k + 2) x + 2k Þ (k – 5) x = 2k – 6 (I)
Se k = 5, a equação (I) não tem solução.
Pela equação inicial, temos CE: x ¹ 2 e x ¹ 6
Substituindo x = 2 em (I), resulta (k – 5) . 2 = 2k – 6 Þ –10 = –6
Portanto, não existe k para x = 2.
Substituindo x = 6 em (I), temos (k – 5) . 6 = 2k – 6 Þ k = 6
Para k = 5 ou k = 6 a equação não tem solução.
Produto = 5 . 6 = 30
Alternativa E
Alternativa C
CPV
Fgv – 29/11/2009
4
fgv – 29/11/2009
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
07. A representação gráfica da equação (x + y)2 = x2 + y2 no
sistema cartesiano ortogonal é
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
(x + y)2 = x2 + y2 Û x2 + 2xy + y2 = x2 + y2 Û 2xy = 0
de onde resulta: x = 0 ou y = 0
No plano cartesiano, x = 0 ou y = 0 representa um par de
retas perpendiculares.
Alternativa B
CPV
o conjunto vazio.
um par de retas perpendiculares.
um ponto.
um par de pontos.
um círculo.
fgv091fnoveco
08. A figura indica a planificação da lateral de um cone circular
reto:
O cone a que se refere tal planificação é
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
A área lateral do cone é igual ao setor circular dado, portanto:
p.r.g=
de onde resulta r = 7.
252 . p . g 2
252 . p . (10)2
Þ p . r . 10 =
360
360
Alternativa B
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
09. Os pontos A, B, C, D, E e F estão em AF e dividem esse
segmento em 5 partes congruentes. O ponto G está fora de
AF, e os pontos H e J estão em GD e GF, respectivamente.
Se GA, HC e JE são paralelos, então a razão
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
5
.
3
3
.
2
4
.
3
5
.
4
6
.
5
HC
é
JE
3 2
.
p
b)
3 3
.
p
c)
3.
d)
6
.
p
e)
p 3
.
2
Resolução:
Chamemos de a a medida do lado do triângulo equilátero AB.
Chamemos de R o raio AO.
k
B
k
C
k
D
k
E
k
Temos AG // CH Þ DADG ~ DCDH
HC
k
GA
=
⇒ HC =
GA 3k
3
F
Da mesma forma, temos AG // EJ Þ DAFG ~ DEFJ
JE
k
GA
=
⇒ JE =
GA 5k
5
GA
Portanto HC = 3 = 5
3
JE
GA
5
Alternativa A
fgv091fnoveco
a)
A
B
Na figura, consideremos AB = BC = CD = DE = EF = k.
CPV
G
Assim, o raio do círculo mencionado mede, em cm,
a
O
A
R
J
5
10. O perímetro de um triângulo equilátero, em cm, é
numericamente igual à área do círculo que o circunscreve,
em cm2.
a
H
Fgv – 29/11/2009
H
C
Na figura, O é o circuncentro e o baricentro do triângulo ABC.
R
.
Portanto, se AO = R, então OH =
2
De onde resulta AH = 3R (I).
2
AH é também a altura do triângulo equilátero: AH =
Igualando as equações (I) e (II), temos:
3R
a 3
Þa=R 3
=
2
2
Do enunciado, temos: p . R2 = 3a Þ R =
a 3
(II).
2
3 3
p
Alternativa B
6
CPV o
fgv – 29/11/2009
cursinho que mais aprova na fGV
11. Dados os números reais positivos x e y, admita que
x y = xy.
Se 2 (x + y) = 16
igual a
(x – y), então
log x - log y
é
2
3 7
.
7
2 5
log
.
5
2 3
.
log
5
2
log
.
3
3
log
.
4
12. Um dado possui seis faces numeradas de 1 a 6. As
probabilidades de ocorrências das faces com os números
1 1 1 1
1
.
2, 3, 4, 5 e 6 são, respectivamente, , , ,
e
6 12 18 27 36
Lançando duas vezes esse dado, a probabilidade de que a
soma dos números obtidos em cada lançamento seja 3 é
a)
b)
c)
d)
a) log
1
.
3
13
.
54
15
.
69
17
.
81
1
.
6
b)
c)
d)
e)
Resolução:
e)
Do enunciado, temos que:
Resolução:
Seja x a probabilidade de ocorrência da face com o número
1.
Assim, temos que:
X+
(x+y) = 16
2
(x–y) Þ
2
x+y
= 16 x–y Þ
 1 x + y
x−y

Þ 2 2 
Þ
= ( 24 )
1
(x + y) = 4x – 4y Þ x + y = 8x – 8y Þ
2
Þ
Þ 9y = 7x Þ
Logo:
x
9
=
y 7
17
1
1
1
1
1
+
+
+
+
=1 Þ X =
27
6
12
18
27
36
10
27
A probabilidade pedida é a de ocorrência do par (2; 1) ou do par
(1; 2) nos lançamentos desse dado.
Desta forma, tal probabilidade é dada por
Psoma 3 = P(2) . P(1) + P(1) . P(2) =
1
 x 2
9
3 7
log x − log y 1
x
= log
= log = log   = log
 y 
2
2
7
7
y
Alternativa A
CPV
fgv091fnoveco
1 17
17 1 17
.
.
. =
+
6 27
27 6
81
Alternativa D
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
13. A média aritmética dos elementos do conjunto
{17, 8, 30, 21, 7, x} supera em uma unidade a mediana
dos elementos desse conjunto.
Se x é um número real tal que 8 < x < 21 e x ≠ 17,
então a média aritmética dos elementos desse conjunto
é igual a
a)
b)
c)
d)
e)
16.
17.
18.
19.
20.
Resolução:
Seja MA a média aritmética e MD a mediana.
17 + 8 + 30 + 21 + 7 + x 83 + x
MA =
=
6
6
Organizando os elementos em ordem crescente, e sabendo que
8 < x < 21, o elemento x deve ocupar a 3a ou 4a posição:
{7, 8, x, 17, 21, 30}.
Então:
x + 17
MD =
2
Do enunciado, temos MA = MD + 1
Portanto: x + 17 + 1 = 83 + x Þ x = 13
2
6
Logo MA =
96
= 16
6
fgv091fnoveco
7
14. Sorteados ao acaso 3 dentre os 9 pontos marcados no plano
cartesiano indicado na figura, a probabilidade de que eles
estejam sobre uma mesma reta é
1
.
21
1
.
14
2
.
21
1
.
7
2
.
7
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
No total, há
C9,3 = 84 maneiras de escolhermos 3 dos 9 pontos dados e
8 maneiras dessas retas conterem 3 pontos, com a seguinte
distribuição: 3 nas horizontais, 3 nas verticais e 2 nas diagonais.
Portanto, a probabilidade pedida é P =
2
8
=
84 21
Alternativa C
Alternativa A
CPV
Fgv – 29/11/2009
8
fgv – 29/11/2009
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
15. Os anos N–1, e N têm 365 dias cada um. Sabendo-se que
o 300.º dia do ano N é uma terça-feira, o 100.º dia do ano
N–1 foi uma
a)
b)
c)
d)
e)
segunda-feira.
terça-feira.
quarta-feira.
quinta-feira.
sexta-feira.
Resolução:
Desde o 100o dia de um ano (N – 1) até o 300o dia do ano seguinte
(n), passaram-se 265 + 300 = 565 dias.
Como esse número não é múltiplo de 7, é claro que esses dias
não podem cair em dias da semana iguais.
Entretanto, como ao dividir 565 por 7, sobra um resto 5,
podemos perceber que há uma defasagem de 5 dias de semana
entre a primeira e a segunda datas.
Assim, para que a segunda data ocorra numa 3a feira, é necessário
e suficiente que a primeira data tenha ocorrido numa 5a feira.
Alternativa D
CPV
fgv091fnoveco
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
7 3
2
e BP = 3, em que BP é a altura do triângulo ABC pelo
vértice B.
16. Seja ABC um triângulo retângulo em B tal que AC =
Fgv – 29/11/2009
9
17. A figura indica uma circunferência de diâmetro AB = 8 cm,
um triângulo equilátero ABC e os pontos D e E pertencentes
à circunferência, com D em AC e E em BC.
^
A menor medida possível do ângulo ACB tem aproximação
inteira igual a:
Dados:
a) 25º.
b) 35º.
c) 41º.
d) 43º.
e) 49º.
Em cm2, a área da região hachurada na figura é igual a:
a) 64.
b) 8.

c) 8 3 −

π 
.
3 

d) 4 3 −

π 
.
3 

e) 4 3 −

π 
.
2 
Resolução:
DABC é equilátero
Resolução:
Observe a figura a seguir, em que x é a medida do segmento PC.
B
3
A
P
7 3
-x
2
x
C
Pelas relações métricas no triângulo retângulo ABC, temos:
7 3

(BP)2 = (AP) . (PC) Þ 9 = 
− x  . x

 2
3 3
De onde resulta que x = 2 3 ou x =
2
4
O
60º
60º
60º
^
Como queremos a menor medida para o ângulo ACB,
3
também deve ser mínima.
sua tangente
x
3
3
^
=
Portanto, x = 2 3 e tg (ACB) =
.
2
2 3
^
Observando a tabela fornecida, temos ACB @ 40,9º @ 41º
Alternativa C
CPV
4
fgv091fnoveco
SADO = SEOB = S
SDEC = SABC – 2S – SDOE
SDEC =

π
64 3 2 . 16 3 1
- p . 16 = 8  3 − 
3
4
4
6

Alternativa C
10
fgv – 29/11/2009
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
18.
A soma
cos20º + cos22º + cos24º + cos26º + ... + cos2358º + cos2 360º
é igual a
a) 316.
b) 270.
c) 181.
d) 180.
e) 91.
sen
Resolução:
Se 0 < a < 90º, temos:
cos a = cos (360º – a)
cos a = – cos (180º – a)
cos a = – cos (180º + a)
180º – a
a
180º + a
360º – a
Então:
cos2a = cos2 (180º – a) = cos2 (180º + a) = cos2 (360º – a)
Logo
 cos2 2º = cos2 178º = cos2 182º = cos2 358º
 2
2
2
2
 cos 4º = cos 176º = cos 184º = cos 356º
2
2
2
 cos 6º = cos 174º = cos 186º = cos2 354º
 ..
 .
 cos2 88º = cos2 92º = cos2 268º = cos2 272º
Portanto:
cos2 0º + cos2 2º + cos2 4º + cos2 6º +...+ cos2 358º + cos2 360º =
= cos2 0º + cos2 90º + cos2 180º + cos2 270º + cos2 360º +
+ 4 . (cos2 2º + cos2 4º + cos2 6º +... + cos2 88º) (I)
Como cos a = sen (90º – a), temos:







cos 2º = sen 88º
cos 4º = sen 86º
cos 6º = sen 84º
..
.
cos 44º = sen 46º



 22 igualdades



Então, a soma (I) pode ser escrita como: 1
S = 1 + 0 + 1 + 0 + 1 + 4 (sen288º + sen286º +...+ cos286º + cos288º)
S = 3 + 4 . 22 = 91
CPV
1
fgv091fnoveco
\
Resolução:
2
1

1
1
1
Temos que  x +  = x2 + 2x +
= x2 + 2 + 2
2
x
x

x
x
Como x2 +
3
1

1
1
1
Temos que  x +  = x3 + 3x2 + 3x
+ 3
2
x

x
x
x
cos
1
19. Sendo x um número positivo tal que x2 + 2 = 14,
x
1
o valor de x3 +
é:
x3
a) 52.
b) 54.
c) 56.
d) 58.
e) 60.
S = 91
Alternativa E
2

1
1
= 14 então  x +  = 14 + 2 \ x +
=4
2
x
x


x
1

1
1
43 = x3 + 3  x +  +

x  x3
1
64 = x3 + 3(4) + 3
x
\
x3 +
1
= 52
x3
Alternativa A
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
20. Os pontos A (–1; 4), B (2; 3) e C não são colineares.
O ponto C é tal que a área do triângulo ABC é 5 .
Nas condições dadas, o lugar geométrico das possibilidades
de C é representado no plano cartesiano por um(a):
Fgv – 29/11/2009
21. Um número real x, 10 ≤ x ≤ 110, é tal que (x – 10)% da
diferença entre 14 e x, nessa ordem, é igual ao número real y.
Nessas condições, o valor máximo que y pode assumir é:
a)
1
.
20
a) par de pontos distantes 2 5 um do outro.
 10 
b) reta perpendicular a AB que passa por 1,  .
 3 
b)
1
.
21
1
c) reta perpendicular a AB que passa por  ,
 2
c)
1
.
24
d) par de retas paralelas distantes
d)
1
.
25
e) par de retas paralelas distantes 2 2 uma da outra.
e)
1
.
27
Resolução:
Resolução:
Pelas informações do enunciado, temos:
( x − 10)
⋅ (14 − x ) = y
100
As raízes de y = 0 são x = 10 e x = 14.
Portanto, o valor máximo de y será obtido para x = 12:
7 
.
2 
3 uma da outra.
2
2
Observe a figura a seguir, em que AB = 1 + 3 = 10 e
2h é a distância entre as retas paralelas r e s.
C4
C1
A
10
r
h
B
h
C2
s
Todo triângulo ABC com C pertencente a r ou s tem mesma área.
Como essa área deve ser 5 , temos
Assim, o lugar geométrico das possibilidades de C são duas retas
10 . h
= 5 Þ 2h = 2 2 .
2
paralelas, distantes 2 2 uma da outra.
Alternativa E
11
y=
(12 − 10)
100
⋅ (14 − 12) =
1
4
=
100 25
Alternativa D
2 x + (k !) y = 2

22. Para que o sistema linear 
(1 + k !) x + 21y = 3

de solução (x; y) não seja possível e determinado,
o parâmetro k Î  tem de ser igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
O sistema linear dado não é possível e determinado se
2
k!
=0
1 + k ! 21
2.
3.
4.
5.
6.
Fazendo k! = t, com k! > 0, temos:
2
t
= 0 Û – t2 – t + 42 = 0 Û t = 6 ou
1
+
t
21
t = –7 (não convém)
CPV
fgv091fnoveco
Portanto k! = 6 = 3 . 2 . 1 = 3!
Logo, k = 3
Alternativa B
12
fgv – 29/11/2009
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
23. Fatorando completamente o polinômio x9 – x em
polinômios e monômios com coeficientes inteiros,
o número de fatores será:
7.
5.
4.
3.
2.
25. Sendo i a unidade imaginária,
então (1 + i)20 – (1 – i)20 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
(1 + i)20 – (1 – i)20 = [(1 + i)2]10 – [(1 – i)2]10 =
–1024.
–1024i.
0.
1024.
1024i.
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Utilizando as propriedades de fatoração, temos que:
= [2i]10 – [(–2i)]10 =
= 210i10 – 210i10 = 0
x9 – x = x (x8 – 1) =
= x (x4 + 1) (x4 – 1) =
= x (x4 + 1) (x2 + 1) (x2 – 1) =
= x (x4 + 1) (x2 + 1) (x + 1) (x – 1)
que tem 5 fatores.
26. Se m, n e p são raízes distintas da equação algébrica
Alternativa B
24. Considere o gráfico das funções reais f (x) = 2 log x e
g(x) = log 2x, nos seus respectivos domínios de validade.
A respeito dos gráficos de f e g, é correto afirmar que:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Para saber o número de pontos nos quais os gráficos de
f (x) = 2 log x e g(x) = log 2x se interceptam,
devemos saber o número de soluções da equação f (x) = g(x).
Assim: 2 log x = log 2x (CE: x > 0)
não se interceptam.
se interceptam em apenas um ponto.
se interceptam em apenas dois pontos.
se interceptam em apenas três pontos.
se interceptam em infinitos pontos.
x=2
Portanto, como há apenas uma solução para a equação f (x) = g(x),
os gráficos de f (x) e de g(x) interceptam-se apenas num ponto.
Alternativa B
CPV
fgv091fnoveco
x3 – x2 + x – 2 = 0, então m3 + n3 + p3 é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Inicialmente, equacionamos as relações de Girard:
m + n + p = 1

mn + mp + np = 1

mnp = 2
log x2 = log 2x Þ x2 = 2x Þ x = 0 (não convém) ou Alternativa C
–1.
1.
3.
4.
5.
Na equação original, isolamos x3 e substituímos as raízes:
x3 – x2 + x – 2 = 0
x3 = x2 – x + 2
 3
2
m = m − m + 2

n 3 = n 2 − n + 2 (+)

p3 = p 2 − p + 2

m3 + n3 + p3 = (m2 + n2 + p2) – (m + n + p) + 6
m3 + n3 + p3 = (m + n + p)2 – 2 (mn + mp + np) – (m + n + p) + 6
m3 + n3 + p3 = m3 + n3 + p3 = 4
12
– 2 . 1 –1
+6
Alternativa D
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
27. A caderneta de poupança teve rendimento de 0,68%
e 0,54% nos meses de janeiro e fevereiro de 2009,
respectivamente.
Um índice de preços ao consumidor, nesses mesmos
meses, foi de 0,46% e 0,27%, respectivamente.
Ao final de fevereiro de 2009, o ganho real de uma
aplicação em caderneta de poupança (ganho da poupança
descontando-se a inflação medida pelo índice de preços
ao consumidor) acumulado desde janeiro de 2009 foi de:
Fgv – 29/11/2009
13
28. A figura indica o gráfico da função f, de domínio [–7; 5],
no plano cartesiano ortogonal.
(100,68 . 1,0054 – 100,46 . 1,0027)%.
(100,68 . 100,54 – 100,46 . 100,27)%.
(1,0068 . 1,0054 – 1,0046 . 1,0027)%.
(0,0068 . 0,0054 – 0,0046 . 0,0027)%.
(0,68 . 0,54 – 0,46 . 0,27)%.
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
O ganho real da caderneta (ganho nominal menos inflação)
pode ser obtido por meio de cálculos com juros compostos:
i = (1 + 0,0068) . (1 + 0,0054) – (1 + 0,0046) . (1 + 0,0027)
i = 1,0068 . 1,0054 – 1,0046 . 1,0027
Vertendo para porcentagem, temos:
i = (1,0068 . 1,0054 – 1,0046 . 1,0027) . 100%
i = (100,68 . 1,0054 – 100,46 . 1,0027) %
Alternativa A
O número de soluções da equação f(f(x)) = 6 é:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
Observe que, segundo o gráfico, há somente dois valores para
os quais a função retorna o valor y = 6:
2.
4.
5.
6.
7.

 k = –2
f(k) = 6 Þ 
 ou
 k = 1

CPV
fgv091fnoveco
Assim, devemos ter:
 k = –2 Þ f (x) = –2
 ou
 k = 1 Þ f (x) = 1
® há duas raízes
® há outras quatro raízes
Portanto, temos um total de 6 raízes no domínio considerado.
Alternativa D
14
fgv – 29/11/2009
CPV o
cursinho que mais aprova na fGV
29. Uma matriz 4 x 4 que admite inversa é:
1

4
a) 
2

5

1

1
b) 
2
5

2
3
4
6
1

2
c) 
3
4

1
2
3
4
4

1
8
8
3
2
6
7
2 3 4

4 5 16 
6 8 20
6 11 8 
30. Em um DABC, o lado AC e a mediatriz de BC interceptam-se
^
no ponto D, sendo que BD é bissetriz do ângulo ABC.
Se AD = 9 cm e DC = 7 cm, a área do DABD (em cm2) é:
a)
b)
c)
d)
e)
Resolução:
a
C
No DBCD, a altura relativa ao vértice D coincide com sua mediana.
Portanto, o DBCD é isósceles com base BC.
^
^
^
^
AD AB DB
ADB º ABC
=
=
Þ DADB ~ DABC Þ
AB AC BC
^
^
ABD º ACB (por AA)
9
y
7
28
=
= , donde y = 12 e x =
.
y 16 x
3
Substituindo valores:
Aplicando a Lei dos Senos no DABD, resulta:
9
y
9
12
2
=
⇒
=
⇒ cos α =
sen α sen 2α
sen α
2 sen α cos α
3
2
3
4
6
1
4
det A =
2
5
1
1
det B =
2
5
2 3 4
4 5 16
. Como L1 + L2 = L3 Þ det B = 0
6 8 20
6 11 8
1
2
det C =
3
4
1
2
3
4
Como L3 = 2 . L1 Þ det A = 0
x
ADB é externo ao DBCD Þ ADB = 2a.
sen2 a + cos2 a = 1 Þ sen α =
A área do DABD será:
S=
5
3
5
12 . 7 . sen α 12 . 7 . 3
=
= 14 5 2
2
Alternativa E
COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Como L2 = 2 . L1 Þ det C = 0
1 2 3 4
1 2 3 4
5 6 7 8
L2 – L1 4 4 4 4
det D =
9 10 11 12
9 10 11 12
=
13 14 15 16 L – L 4 4 4 4
4
3
Como L2 = L4 Þ det D = 0
Como as matrizes das alternativas a, b, c e d não admitem inversa,
por exclusão o gabarito é E.
Alternativa E
fgv091fnoveco
a
Uma matriz M admite inversa quando det M ¹ 0.
CPV
7
1
2
.
3
4
7
B
Resolução:
4
1
.
8
8
D
a
 −1
2
3
4


 5 −6

7
8

e) 
12 
 9 10 −11
 13 14
15 −16

1
2
3
4
2a
y
 1 2 3 4


 5 6 7 8


d) 

9
10
11
12


 13 14 15 16


3
2
6
7
A
9
1

2
3
4
1
2
3
4
12.
14.
21.
28.
14 5
Na avaliação da equipe de Matemática do CPV, o Vestibular para
ingresso em Economia FGV 2010 apresentou uma boa distribuição
de temas, cobrindo o programa proposto com adequação e mantendo
o grau de exigência das provas anteriores.
Esperava-se do candidato – além de domínio ferramental extenso –
capacidade de leitura, interpretação e modelagem, habilidades úteis
a alunos de graduação para a área.
Consideramos a prova de boa qualidade e adequada a uma seleção eficaz.
Destacamos ainda que algumas questões poderiam ser resolvidas
contornando cálculos extensos, como as questões 7, 12, 15, 17, 20,
21, 28 e 29, que dependiam mais de percepção de propriedades do
que de trabalho algébrico.