272
PARTE IV – FÍSICA MODERNA
Tópico 2
1
γ
0,000 c
1,000
0,100 c
1,005
0,200 c
1,021
0,400 c
1,091
0,600 c
1,250
0,800 c
1,667
0,900 c
2,294
0,998 c
15,82
0,999 c
22,37
c
⬁
(UFMG) Observe esta figura:
Priscila
Nave
Plataforma
Paulo Sérgio, viajando em sua nave, aproxima-se de uma plataforma
espacial, com velocidade de 0,7 c, em que c é a velocidade da luz.
Para se comunicar com Paulo Sérgio, Priscila, que está na plataforma,
envia um pulso luminoso em direção à nave.
Com base nessas informações, é correto afirmar que a velocidade do
pulso medida por Paulo Sérgio é de:
a) 0,7 c
c) 0,3 c
b) 1,0 c
d) 1,7 c
Resolução:
Na Teoria da Relatividade Restrita, Einstein postulou que a velocidade da luz no vácuo, em relação a qualquer referencial inercial, é
igual a c.
Resposta: b
2
(UFPE) Um astronauta é colocado a bordo de uma espaçonave e enviado para uma estação espacial a uma velocidade constante
v = 0,8 c, em que c é a velocidade da luz no vácuo. No referencial da
espaçonave, o tempo transcorrido entre o lançamento e a chegada na
estação espacial foi de 12 meses. Qual o tempo transcorrido no referencial da Terra, em meses?
Resolução:
• Δt’ = 12 meses; v = 0,8 c.
• Δt =
V
Δt’
2
1 – v2
c
=
12
= 12
1 – 0,64 0,6
Segundo este modelo, pede-se:
a) qual a velocidade, em m/s, que deve ser atingida pelo objeto para
que a dilatação do tempo seja de apenas 0,5%? Comente como
esse resultado explica por que as pessoas não percebem os efeitos
da dilatação do tempo no seu dia-a-dia.
b) se para o objeto passaram-se 10 minutos, quantos minutos se passaram para um observador no referencial inercial que vê o objeto se
movimentando à velocidade de 0,600 c?
Resolução:
a) • Δt = Δt’ + 0,005 Δt’ = (1,005) Δt’
γ
• Da tabela:
γ = 1,005 → v = 0,100 c
v = 0,100 · 3,0 · 108 → v = 3,0 · 107 m/s
No dia-a-dia, as pessoas lidam com corpos de velocidades desprezíveis em relação a 3,0 · 107 m/s.
b) v = 0,600 c → γ = 1,250
Δt = γ Δt’ = 1,250 · 10 min
Δt = 12,5 min
Respostas: a) 3,0 · 107 m/s; no dia-a-dia as pessoas lidam com corpos
de velocidades desprezíveis em relação a esse valor; b) 12,5 min
4
Δt = 20 meses
Resposta: 20 meses
3 (Unesp-SP) Instituído pela Organização das Nações Unidas,
2005 foi o Ano Mundial da Física, em que se comemorou o centenário dos trabalhos revolucionários publicados por Albert Einstein,
o mais importante cientista do século XX (segundo a revista norte-americana Time). Na Teoria da Relatividade Especial, de Einstein,
objetos que se movem com velocidade v em relação a um referencial inercial têm o tempo dilatado por um fator γ, para um observador em repouso nesse referencial. A tabela mostra valores de γ para
diversos módulos da velocidade v, representados em múltiplos da
velocidade da luz, c (ou 3,0 · 108 m/s).
(UFC-CE) A figura abaixo mostra uma nave espacial em forma de
cubo que se move no referencial S, ao longo do eixo x, com velocidade
v = 0,8 c (c é a velocidade da luz no vácuo). O volume da nave, medido
por um astronauta em repouso dentro dela, é V0.
Calcule o volume da nave medido por um observador em repouso no
referencial S.
S
y
v
x
z
Tópico 2 – Noções de teoria da relatividade
Resolução:
Sendo ᐉ a aresta da nave, medida pelo astronauta, temos:
V0 = ᐉ3
Para um observador em repouso no referencial S, ocorre contração da
aresta da nave na direção em que ela se move (direção do eixo x). Para
ele, a aresta contraída mede ᐉ’ e o volume da nave mede V:
0,64 c2
v2
ᐉ’ = ᐉ 1 – 2 = ᐉ 1 – 2 = 0,6 ᐉ
c
c
V = ᐉ · ᐉ · ᐉ’ = ᐉ2 · 0,6 ᐉ = 0,6 ᐉ3 ⇒ V = 0,6 V0
Resposta: 0,6 V0
5
(UFRN) Enquanto a nave Enterprise viajava pelo espaço interestelar, foi danificado o sistema de determinação automática da sua velocidade. O capitão Picard decidiu estimar tal velocidade em relação à estrela Vega, da constelação de Lira, por meio de medidas do espectro do
hidrogênio emitido pela estrela. Abaixo, estão reproduzidas duas séries
de frequências registradas pelo espectrômetro da nave: as emitidas por
átomos de hidrogênio no laboratório da nave e aquelas emitidas pelas
mesmas transições atômicas do hidrogênio na superfície da estrela.
Hα
Hα
Hβ
Hβ
Hγ
Espectro do hidrogênio
emitido no laboratório
da nave.
Espectro emitido pelo
f (Hz) hidrogênio da estrela,
conforme registrado
Hγ
pelo espectrômetro
da nave.
O princípio físico que fundamenta essa determinação da velocidade é:
a) o efeito Doppler da luz, que mostra que a Enterprise está aproximando-se de Vega.
b) o efeito de dispersão da luz, que mostra que a Enterprise está afastando-se de Vega.
c) o efeito Doppler da luz, que mostra a Enterprise afastando-se de Vega.
d) o efeito de dispersão da luz, que mostra que a Enterprise está aproximando-se de Vega.
Resolução:
A luz de Vega é recebida na nave com frequências aumentadas.
Pelo efeito Doppler, isso significa que existe um movimento relativo de
aproximação entre ambas.
Resposta: a
6 (ITA-SP) Einstein propôs que a energia da luz é transportada
por pacotes de energia h f, em que h é a constante de Planck e f é a
frequência da luz, num referencial no qual a fonte está em repouso.
Explicou, assim, a existência de uma frequência mínima f0 para arrancar
elétrons de um material, no chamado efeito fotoelétrico. Suponha que
a fonte emissora de luz está em movimento em relação ao material.
Assinale a alternativa correta.
a) Se f = f0, é possível que haja emissão de elétrons desde que a fonte
esteja se afastando do material.
b) Se f ⬍ f0, é possível que elétrons sejam emitidos, desde que a fonte
esteja se afastando do material.
c) Se f ⬍ f0, não há emissão de elétrons, qualquer que seja a velocidade da fonte.
d) Se f ⬎ f0, é sempre possível que elétrons sejam emitidos pelo material, desde que a fonte esteja se afastando do material.
e) Se f ⬍ f0, é possível que elétrons sejam emitidos, desde que a fonte
esteja se aproximando do material.
273
Resolução:
Mesmo com f ⬍ f0, se a fonte luminosa estiver se aproximando do
material, ele poderá receber a luz com frequência maior ou igual
a f0, devido ao efeito Doppler. Satisfeita essa condição, ocorrerá o efeito fotoelétrico.
Resposta: e
7 (UEL-PR) Até o início do século XX, matéria e energia eram consideradas entidades distintas. A primeira caracterizaria uma das propriedades intrínsecas dos corpos e a segunda, o estado dinâmico dos
corpos em relação a um determinado meio. A partir dos trabalhos de
A. Einstein, ficou claro que tal separação não deveria existir; matéria e
energia poderiam transformar-se uma na outra. Essa nova visão dos
conceitos de massa e energia celebrizou-se pela relação E = m c2, em
que E é a energia, m é a massa e c é o módulo da velocidade da luz
no vácuo (300 000 km/s). Assim, ao gerar energia, observa-se um equivalente desaparecimento de massa. Considere a queima de 1 litro de
gasolina que libera 5 · 107 joules de energia e indique a massa desaparecida (transformada em energia) nesse processo.
5
5
d) 3 · 10–1 kg
a) 9 · 10–9 kg
5
5
b) 3 · 10–9 kg
e) 9 · 10–3 kg
5
c) 9 · 109 kg
Resolução:
E = m0 c2
5 · 107 = m0 (3 · 108)2
5
m0 = 9 · 10–9 kg
Resposta: a
8
(UFC-CE) Um acelerador de partículas Síncroton é usado para
fazer uma partícula atingir uma velocidade v, próxima de c. Em um experimento foram medidas a energia relativística total E e a energia de
repouso E0. Determine o valor da razão v em função de E e E0.
c
Resolução:
E = m c2 =
m0
E0
· c2 =
2
1 – v2
c
2
1 – v2
c
2
E
E2
2
1 – v2 = 0 ⇒ 1 – v2 = 20
E
c E
c
2
v2 = 1 – E 0 ⇒
E2
c2
Resposta:
v =
c
1–
E0
E
1–
2
E0
E
2
274
PARTE IV – FÍSICA MODERNA
9
(PUC-RS) A energia de um fóton é diretamente proporcional a
sua frequência, com a constante de Planck, h, sendo o fator de proporcionalidade. Por outro lado, pode-se associar massa a um fóton, uma
vez que ele apresenta energia (E = mc2) e quantidade de movimento.
Assim, o módulo da quantidade de movimento de um fóton de frequência f propagando-se com velocidade de módulo c se expressa
como:
hf
hf
c
cf
c2
a)
b) 2
c) c
d)
e) h
hf
c
hf
11 (UFRN) Em alguns programas de televisão apresentam-se pessoas que dizem se alimentar apenas de luz. Para muitos, a palavra alimento está associada a uma boa porção de massa e a palavra luz, ao
conceito de energia. Os conceitos de massa e energia dentro da Física
Moderna estão relacionados a duas constantes fundamentais: h, constante introduzida por Planck (em seu trabalho sobre radiação de corpo
negro), e c, que é a velocidade da luz no vácuo.
O quadro abaixo exemplifica, com duas equações, a presença dessas
constantes, tanto na Teoria Quântica como na Teoria da Relatividade
de Einstein.
Resolução:
E=Qc ⇒ hf=Qc ⇒
Q=
hf
c
Resposta: c
10 (Fuvest-SP) O ano de 2005 foi declarado o Ano Internacional
da Física, em comemoração aos 100 anos da Teoria da Relatividade,
cujos resultados incluem a famosa relação E = Δm · c2. Num reator
nuclear, a energia provém da fissão do urânio. Cada núcleo de urânio, ao sofrer fissão, divide-se em núcleos mais leves, e uma pequena
parte, Δm, de sua massa inicial transforma-se em energia. A Usina de
Angra II tem uma potência elétrica de cerca de 1 350 MW, que é obtida
a partir da fissão de urânio-235. Para produzir tal potência, devem ser
gerados 4 000 MW na forma de calor Q. Em relação à Usina de Angra II,
estime:
a) quantidade de calor Q, em joules, produzida em um dia;
b) quantidade de massa Δm que se transforma em energia na forma
de calor, a cada dia;
c) massa MU de urânio-235, em kg, que sofre fissão em um dia, supondo que a massa Δm, que se transforma em energia, seja aproximadamente 0,0008 (8 · 10–4) da massa MU.
E = Δm · c2
Essa relação indica que massa e energia podem se transformar uma
na outra. A quantidade de energia E que se obtém está relacionada
à quantidade de massa Δm, que “desaparece” por meio do produto
dela pelo quadrado da velocidade da luz (c).
Note e adote:
Em um dia, há cerca de 9 · 104s
1MW = 106W
c = 3 · 108 m/s
Resolução:
a) Pot = Q ⇒ Q = Pot Δt = 4 000 · 106 · 9 · 104
Δt
Q = 3,6 · 1014 J
14
b) E = Δm c2 = Q ⇒ Δm = Q2 = 3,6 · 108 2
c
(3 · 10 )
Δm = 4 · 10–3 kg
c) Δm = 8 · 10–4 MU ⇒ 4 · 10–3 = 8 · 10–4 MU
MU = 5 kg
Respostas: a) 3,6 · 1014 J; b) 4 · 10–3 kg; c) 5 kg
Teoria Quântica
(modelo corpuscular da luz)
Teoria da Relatividade
E = mc2
E = hf
E: energia de um fóton associado E: é o equivalente em energia da
massa m de um objeto;
a uma radiação de frequência f;
h ⯝ 6 · 10–34 unidades do Sistema c = 3 · 108 m/s (velocidade da luz
Internacional (SI).
no vácuo).
Tendo como referência as informações acima e considerando uma radiação de frequência 6 · 1014 hertz, obtenha:
a) a quantidade de fótons, N, que produziria um equivalente energético de uma massa igual a 0,4 kg;
b) a unidade para a constante de Planck, h, a partir de uma análise
dimensional, representada em função das grandezas: massa (kg),
comprimento (m) e tempo (s).
Resolução:
a) N h f = m c2 ⇒ N · 6 · 10–34 · 6 · 1014 = 0,4 · (3 · 108)2
N = 1035
b) h = E
f
unidade de h = J–1 = J s = N m s = kg · m2 · m s
s
s
Unidade de h = kg m2 s–1
Respostas: a) 1035; b) kg m2 s–1
12 (Olimpíada Paulista de Física) Calcule o momento linear de um
fóton de comprimento de onda 780 nm, típico de diodos laser empregados na leituras de CDs.
Dado: constante de Planck (h) = 6,63 · 10–34 Js
d) 8,5 ·10–28 J · s/m
a) 2,5 ·10–27 J · s/m
e) 9,5 ·10–29 J · s/m
b) 3,5 ·10–28 J · s/m
–26
c) 4,5 ·10 J · s/m
Resolução:
E=Qc ⇒
–34
h
hc
= Q c ⇒ Q = = 6,63 · 10–9 Js
λ
λ
780 · 10 m
Q = 8,5 · 10–28 J s
m
Resposta: d
Tópico 2 – Noções de teoria da relatividade
13 (ITA-SP) No modelo proposto por Einstein, a luz se comporta
como se sua energia estivesse concentrada em pacotes discretos, chamados de quanta de luz, e atualmente conhecidos por fótons. Estes
possuem momento p e energia E relacionados pela equação E = pc, em
que c é a velocidade da luz no vácuo. Cada fóton carrega uma energia
E = h f, em que h é a constante de Planck e f é a frequência da luz.
Um evento raro, porém possível, é a fusão de dois fótons, produzindo
um par elétron-pósitron, sendo a massa do pósitron igual à massa do
elétron. A relação de Einstein associa a energia da partícula à massa
do elétron ou pósitron, isto é, E = mec2. Assinale a frequência mínima de
cada fóton, para que dois fótons, com momentos opostos e de módulo
iguais, produzam um par elétron-pósitron após a colisão:
d) f = (mec2)/2h
a) f = (4mec2)/h
2
e) f = (mec2)/4h
b) f = (mec )/h
2
c) f = (2mec )/h
14 (ITA-SP) Experimentos de absorção de radiação mostram que a
relação entre a energia E e a quantidade de movimento p de um fóton
é E = p c. Considere um sistema isolado formado por dois blocos de
massa m1 e m2, respectivamente, colocados no vácuo e separados entre si de uma distância L. No instante t = 0, o bloco de massa m1 emite
um fóton que é posteriormente absorvido inteiramente por m2, não
havendo qualquer outro tipo de interação entre os blocos (ver figura).
Suponha que m1 se torne m’1 em razão da emissão do fóton e, analogamente, m2 se torne m’2 devido à absorção desse fóton. Lembrando que
esta questão também pode ser resolvida com recursos da Mecânica
clássica, assinale a opção que apresenta a relação correta entre a energia do fóton e as massas dos blocos.
m1
Fóton
E = hfmín
E = hfmín
Elétron
em repouso
Pósitron
em repouso
E = me · c2
E = me · c2
Observe, nesse fenômeno, a conservação do momento.
Pela conservação da energia, temos:
h fmín + h fmín = me c2 + me c2 ⇒ 2h fmín = 2me c2 ⇒ fmín =
Resposta: b
me c2
h
t=0
m2
Fóton
Resolução:
A frequência mínima dos fótons (energia mínina) corresponde à situação em que o elétron e o pósitron são produzidos em
repouso:
Fóton
275
L
a) E = (m2 – m1)c2
b) E = (m’1 – m’2)c2
c) E = (m’2 – m2)c2/2
d) E = (m’2 – m2)c2
e) E = (m1 + m’1)c2
Resolução:
A perda de massa (m1 – m’1) e o acréscimo de massa (m’2 – m2) equivalem à energia do fóton.
Então, temos:
ou
E = (m’2 – m2) c2
E = (m1 – m’1) c2
Resposta: d