MOVIMENTO ONDULATÓRIO
 Ondas
 Tipos de ondas
 Pulso
 Onda mecânica
 Tipos de propagação de ondas
 Representação matemática da propagação de um pulso
 Onda sinusoidal
 Representação matemática do modelo de onda
 Velocidade de ondas transversais em cordas
 Reflexão e transmissão de ondas
 Ondas sonoras
 Intensidade e nível sonoro
 Efeito doppler
 Princípio da sobreposição
 Ondas estacionárias
1
MOVIMENTO ONDULATÓRIO
ONDAS
As perturbações num sistema em equilíbrio que
provocam um movimento oscilatório podem
propagar-se no espaço à sua volta sendo
percebidas noutros pontos do espaço
Animations courtesy of Dr. Dan Russell, Kettering University
2
Exemplos de movimento ondulatório
3
TIPOS DE ONDAS
ONDAS MECÂNICAS  precisam de um
meio físico para se propagarem
Exemplos:
• ondas sonoras
• ondas na água provocada por uma pedra
que foi atirada na água
• sísmicas
• corda
ONDAS ELETROMAGNÉTICAS  não
precisam de um meio físico para se
propagarem
Exemplos
• ondas de rádio
• luz
• raios X
• raios laser,
• ondas de radar
4
PULSO DE UMA ONDA
O pulso de uma onda é a
propagação da pertubação
através do meio
ONDA MECÂNICA
Caracterizamos
as
ondas
mecânicas
periódicas pela oscilação dos átomos e
moléculas que compõe o meio, onde a onda
se propaga.
Fonte: http://www.if.ufrj.br/teaching/fis2/ondas1/ondulatorio.html
5
TIPOS DE PROPAGAÇÃO DE ONDAS
Ondas Transversais  a direção de propagação da onda é perpendicular a direção de
oscilação das partículas:
Ondas Longitudinais  a direção de propagação da onda coincide com a direção de
oscilação das partículas:
Ondas mistas  possuem partículas
transversalmente, ao mesmo tempo.
que
oscilam
longitudinalmente
e
6
Exemplos:
Ondas Transversais 
Ondas Longitudinais 
Ondas mistas 
7
Outros exemplos
Ondas Transversais
Ondas eletromagnéticas
Ondas Longitudinais
8
Somente as ondas transversais podem ser polarizadas
9
PROPAGAÇÃO DA ONDA ELETROMAGNÉTICA (FOTÃO)
10
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DA PROPAGAÇÃO DE UM PULSO
Um pulso de onda unidimensional numa corda, se desloca para a direita com uma
velocidade v
O pulso move-se ao longo do eixo x e o deslocamento transversal (para cima e para
baixo) da corda e é medido pela coordenada y
y ( x)  f ( x)
(a) A forma do pulso em t = 0 pode ser representada por
(b) Num momento posterior t, o pulso viajou uma distância vt.
modificou.
A forma do pulso não se
y( x, t )  f ( x  vt,0)
E o deslocamento vertical de qualquer ponto P da corda é dado por
y
também é chamada função de onda:
y( x, t )
y( x)  f ( x  vt )
11
O MODELO DE ONDA: ONDA SINUSOIDAL
Uma onda contínua é criada agitando-se a extremidade da corda num movimento
harmónico simples
 ao fazermos isso a corda tomará a forma de uma onda sinusoidal
12
Características físicas principais na descrição de uma onda sinusoidal:
comprimento de onda, frequência e velocidade
v

O comprimento de onda,
idênticos numa onda.
,
é a distância mínima entre quaisquer dois pontos
A frequência, f é o nº de oscilações que a partícula do meio executa por unidade de
tempo (é a mesma definição do MHS). Unidade: hertz (Hz).
As ondas se deslocam através do meio com velocidade de onda,
depende das propriedades do meio que está sendo perturbado.
v,
específica, que
13
ONDAS SINUSOIDAIS
A distância A é chamada amplitude da onda e
corresponde ao deslocamento máximo de uma
partícula do meio com relação à posição de
equilíbrio.
O período T é o tempo mínimo que uma partícula do
meio leva para realizar uma oscilação completa (é a
mesma definição do MHS). Unidade : segundo (s)
O período é igual ao inverso da frequência:
1
T
f
14
ONDAS TRANSVERSAIS EM CORDAS
A extremidade de uma corda é ligada à uma lâmina que é colocada em vibração
15
Uma partícula P do meio move-se apenas na vertical
16
Uma partícula P do meio move-se apenas na vertical
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17
REPRESENTAÇÃO MATEMÁTICA DO MODELO DE ONDA
ONDA PROGRESSIVA
A figura mostra uma onda sinusoidal se
deslocando para a direita com uma velocidade v:
A curva castanha representa um instantâneo duma
onda sinusoidal em t=0  é descrita
matematicamente como
y  A sin(
O valor de
y

Como a onda se desloca para direita com uma velocidade
tempo posterior t é
2


x)
é o mesmo quando
múltiplo inteiro de
y  A sin[
2
v,
x aumenta de um
a função de onda num
( x  vt)]
A onda sinusoidal se desloca de uma distância
instantâneo duma onda sinusoidal num t≠0
vt
 a curva azul representa um
18
Num período T a onda desloca de  
v

T
Substituíndo na função y
y  A sin[
2

(x 

T
t )]

x t
y  A sin[ 2 (  )]
 T
Podemos expressar a função de onda utilizando as grandezas
numero de onda angular (ou número de onda) 
2
frequência angular 

 2f
T
2x 2t
Assim:
y  A sin[(

)] 

T

2 f
Podemos escrever:
v
k
ou
v
2
Expressão geral da função de onda 
onde  é denominada de constante de fase
k
2

yx, t   A sin kx  t 

v  f
yx, t   A sin kx  t   
19
A EQUAÇÃO DA ONDA LINEAR
O ponto P (ou qualquer outro ponto da
corda) move-se apenas verticalmente e
assim a coordenada x permanece constante
yx, t   A sinkx  t 
Velocidade transversal do ponto P
dy
vy 
 A coskx  t 
dt
Aceleração transversal do ponto P
ay 
dv
  2 A sin kx  t 
dt
Estas equações serão derivadas em relação a “x” e a “t
2 y 1 2 y
 2 2
2
x
v t
“
obtemos
 a equação de onda linear
Essa equação descreve com sucesso ondas em cordas, ondas sonoras, e
ondas electromagnéticas (y  E ou B)
20
VELOCIDADE DE ONDAS TRANSVERSAIS EM CORDAS
A velocidade da onda depende das características
físicas da corda e da tensão a que a corda está sujeita
Força resultante na direcção x é zero, porque
T cos  T cos  0
Força resultante na direção y é
s

T
F  2T sin    T 2 

T

F
 na aproximação de ângulo pequeno
sin    
a altura do pulso « comprimento da corda
m  s  R2



T

T
y
é a massa por unidade de comprimento  m/L
mv 2
F
R
x

assim
T  v
2

s  2R
 força centrípeta
mv 2
 2T
R
v
T


R 2v 2
R
 2T
Aplicável a um pulso que tenha
qualquer forma
21
Exemplo 1
Onda sinusoidal
Uma onda que se desloca ao longo de uma corda é descrita pela equação:
yx, t   0.00327 sin 72.1x  7.1t 
em que todos os valores se encontram em unidades SI.
1. Qual é a amplitude, comprimento de onda, o período e velocidade de propagação
desta onda?
yx, t   A sin kx  t   
k
Comprimento de onda:
Período:

Amplitude:
2

 72.1   
A  0.00327 m
2
 0.0871 m
k
2
2
 7.1  T 
 0.885 s
T

Velocidade de propagação:
v

T


k
 0.0985 ms -1
22
Exemplo 1
Onda sinusoidal (continuação)
2. Qual será a força de tensão aplicada na corda se esta tiver uma massa de 0.500
kg e um comprimento de 0.5 m?
v
T
T

 T  v 2 
m 2
v
L
v  0.0985 ms -1
0.500
0.09852  0.0097 N
0.5
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REFLEXÃO DE ONDAS
Reflexão dum pulso na extremidade fixa
de uma corda esticada 
Reflexão dum pulso na extremidade livre
de uma corda esticada 
24
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REFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ONDAS
Pulso deslocando-se para a direita
numa corda leve ligada a uma corda
mais pesada
Pulso deslocando-se para a direita
numa corda pesada ligada a uma corda
mais leve
25
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ONDAS SONORAS
São ondas longitudinais  as partículas do meio realizam deslocamentos paralelos ao
sentido do movimento da onda.
As ondas sonoras no ar são os exemplos mais importantes de ondas longitudinais
Pulso
Onda longitudinal
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A onda sonora pode ser considerada uma
onda deslocamento
A vibração provoca uma série periódica de
sucessivas compressões e rarefações
sx, t   smáx sinkx  t 
ou uma onda de pressão
px, t   pmáx coskx  t 
pmáx  vsmáx
26
27
28
ESPECTRO SONORO
29
INTENSIDADE E NÍVEL SONORO
A intensidade do som, I está relacionada com a energia transportada pela onda sonora  indica o
fluxo da potência acústica sobre uma dada área
No SI, a unidade para a medida de I é dada por :
W/m2
(watt por metro quadrado)
Para medirmos o nível de intensidade sonora usamos uma escala logarítmica chamada de decibel,
dB  o decibel (dB), que corresponde a um décimo de bel (B)
Esta a unidade é definida em termos de uma escala logarítimica, porque a intensidade absoluta dos
sons varia numa escala muito grande .
A equação para decibel é dada por :
  10 log
onde I
0
I
dB
I0
é a intensidade do som no limiar da audibilidade ( o som audível mais baixo):
I 0  10 12 W/m2
 valor de referencia
3030
NÍVEIS SONOROS DE ALGUMAS FONTES
Fonte
I/Io dB Descrição
Respiração normal
100
0
Limite de audição
Biblioteca
103
30
Muito silencioso
Conversação normal
105
50
Calmo
Camião pesado
109
90
Exposição prolongada provoca
danos no ouvido
Concerto rock (a 2 m) 1012 120 Limite de dor
Jato na descolagem
1015 150
Motor de foguetão
1018 180
31
Reverberação 
Eco 
32
O som propaga-se em diversos meios sólidos, líquidos ou gasosos, mas a sua
velocidade de propagação varia de meio para meio e até com a temperatura
Velocidade de propagação do som: no ar é de 340 m/s (à temperatura ambiente)
na água é de 1 500 m/s
no granito é de 6 000 m/s.
A velocidade de uma onda sonora no ar para temperaturas em torno da temperatura
ambiente
v  331 m/s  (0.6 m/s O C)TC
TC  é a temperatura em graus celsius
331m/s  é a velocidade do som a 0 C 33
EFEITO DOPPLER
Emissor e recetor de ondas sonoras imóveis
frequência
f’ do recetor = frequência f
f ' f 
do emissor
v

Quando um veículo tem a sirene ligada durante o seu deslocamento numa estrada, a
frequência do som que se ouve por um observador parado é mais elevada quando o
veículo se aproxima do que quando o veículo se afasta  efeito Doppler
vF  v
v v
'    x   F 
f f
f '
f’ → frequência aparente
f → frequência real
v → velocidade do som
v F → velocidade da fonte
v
v
f
'
v  vF
v v
'    x   F 
f f
f '
v
v
f
'
v  vF
34
EFEITO DOPPLER  quando o observador (ou o detetor) se aproxima ou se
afasta da fonte emissora que está parada
Em a o detetor se aproxima da fonte
f
vrel
v  vD 
 f

v
Em b o detetor se afasta da fonte
Quando o detetor se afasta da fonte
vrel

v  vD 
f
 f

v
Quando o detetor e o emissor estiverem em movimento 
f f
v  vD
v  vF
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ONDAS DE CHOQUE
Na equação
f ' f
v
v  vF
quando
vF  v

f ' 
vF  v
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VELOCIDADE SUPERSÓNICA
vF  v
No momento em que um avião atravessa a barreira do som, forma-se uma enorme
nuvem à sua volta. A grande variação de pressão na onda de choque faz com que a
água presente no ar se condense sob a forma de gotículas. Chama-se "cone de Mach".
Ao voar, a uma velocidade supersónica, um avião cria, no seu rasto, um fenómeno
chamado «estampido sónico»? Ou seja, um barulho parecido com o ribombar de um
trovão
Se o avião voar bem baixo, o barulho pode até partir os vidros das janelas das
habitações! No entanto, ao contrário do que se possa pensar, quando um avião
ultrapassa a velocidade supersónica, o voo passa a ser suave, porque se passa a voar
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mais rápido do que as ondas de pressão
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PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO
Dois pulsos ondulatórios, vindo de direções opostas, que se propagam numa corda
esticada e se combinam num dado ponto. O deslocamento resultante é a soma dos
deslocamentos individuais.
A sobreposição de ondas não afeta de nenhum modo a progressão de cada uma
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INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA E INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA
Interferência construtiva  As cristas das ondas individuais ocorrem nas mesmas posições
Interferência destrutiva  O máximo de uma onda coincide com o mínimo da outra
Para duas ondas com a mesma amplitude e a mesma frequência angular
yx, t   A sinkx  t 
Ondas que se propagam na mesma direção
Ondas que se propagam em direções opostas
nodo
antinodo

2
ondas estacionárias
yx, t   2 ym sin kxcos t
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ONDAS ESTACIONÁRIAS
 é um padrão de oscilação que resulta de duas ondas que se propagam em sentidos
opostos
 matematicamente esta equação se parece mais
como um oscilador harmónico simples do que
y x, t  2 A sin kx cost
com o movimento ondulatório para ondas
progressivas
  

amplitude
Cada partícula oscila com frequência
A amplitude máxima do MHS tem valor 2A 
como
2

k
x
2
2
2

kx 
 3 5
2
,
2
,
2
,...
as posições de máxima amplitude (antinodos) são

 3 5
,
amplitude da onda estacionária
sin kx  1
A amplitude máxima ocorre quando

,
2
,... 
x
 3 5
4
,
A amplitude mínima ocorre quando
4
,
4
,... 
n
4
onde

sin kx  0
n  1, 3, ...
kx   , 2 , 3 ,...
Da mesma forma as posições de mínima amplitude (nodos) são
2

x   , 2 , 3 ,... 
x

2
, ,
3
n
,... 
2
2
onde
n  1, 2, 3, ...
40
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS
Uma corda é esticada entre dois suportes rígidos
V
Onda incidente
V
Onda refletida
V
Onda estacionária
V
41
ONDAS ESTACIONÁRIAS EM CORDAS
Numa corda presa por ambas as extremidades para certas frequências formam-se
ondas estacionárias transversais
L
A corda tem vários padrões naturais de vibração  modos normais
42
L
MODOS NORMAIS
Modo fundamental ou primeiro
harmónico
2L
v
 f1  1
1
2L
v
 lembrar que v  f  f 
n  1  1  2 L 

Segundo harmónico
n  2  2  L 
2L
v
 f2  2
2
2L
Terceiro harmónico
n  3  3 
No geral temos n  2 L
n
e
fn  n
v
n T
 nf1 ou f n 
2L
2L 
2L
v
 f3  3
3
2L
onde n  1, 2, 3, ...
43
EXEMPLOS
44
45