CURSO ON-LINE – PROFESSOR: VÍTOR MENEZES
Caríssimos.
Recebi muitos e-mails pedindo ajuda com eventuais recursos para as provas do
BACEN.
Em raciocínio lógico, eu não vi possibilidade de recursos, apesar de achar que algumas
questões tiveram o enunciado um tanto quanto “mal escrito”/ confuso. Mas, no geral,
foi uma prova boa. Avaliou bem o raciocínio do candidato, fugindo um pouco daquele
modelo de prova que se limitava à cobrança de proposições.
Em estatística eu acho que cabem alguns recursos. Coloquei abaixo alguns comentários
a respeito. Eu vou me limitar a explicar o que foi que achei das questões. Não vou
redigir o recurso propriamente dito.
Primeira questão:
A variável aleatória contínua x tem a seguinte função de densidade de probabilidade:
f ( x) =
x
− k se 0 ≤ x ≤ 3
12
f ( x) = 0 , caso contrário [esta parte acabou ficando omissa no enunciado original]
Sendo k uma constante, seu valor é igual a:
a) 1
b) 3/4
c) 2/3
d) 5/24
e) 1/12
Comentários
Esta questão foi copiada da prova do BACEN/2005, feito pela FCC. Naquele concurso,
x
a função dada foi f ( x) =
+ k (observe o sinal de “+” em vez de “-“). Naquela prova,
12
o gabarito indicava, corretamente, a resposta 5/24.
Na prova desse ano, houve a troca do sinal “+” por “-“.A resposta passa a ser, portanto,
-5/24, que não consta de nenhuma das alternativas. A questão deve ser anulada por falta
de alternativa correta.
Para quem fez algum dos cursos dados aqui no site, a questão original (lá da prova da
FCC) está resolvida na aula 5 – exercício 31 (curso dado antes do edital, no fim do ano
passado) ou na aula 2 – exercício 15 (curso dado após o lançamento do edital).
A propósito, uma função densidade nunca pode assumir valores negativos. A área
abaixo da curva, referente a um dado intervalo, está associada à probabilidade daquele
intervalo. Admitir valores negativos para a função densidade seria equivalente a termos
probabilidades negativas.
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Para valores de x muito próximos de zero e positivos, temos que a função seria negativa,
para qualquer um dos valores de k apresentados nas alternativas. Só este fator já é
suficiente para solicitar a anulação da questão.
Segunda questão.
A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um automóvel é 3/4. Para um
indivíduo de classe B, essa probabilidade é 1/6, e para um indivíduo de classe C, ela é
de 1/20. A probabilidade de um indivíduo de classe A comprar um Fusca é 1/10,
enquanto que, para um indivíduo de classe B, essa probabilidade é 3/5, e para um
indivíduo de classe C, é de 3/10. Sabendo-se que a revendedora XPTO vendeu um
Fusca, a probabilidade de o comprador pertencer à classe B é
(A) 0,527
(B) 0,502
(C) 0,426
(D) 0,252
(E) 0,197.
Comentários.
Para chegar à resposta fornecida, seria necessário supor que, dentro do universo de
pessoas analisado, há igual quantidade de pessoas de cada classe.
Mas, do jeito que a questão está escrita, não podemos supor isso. Ao meu ver, faltariam
dados para resolver a questão e ela deveria ser anulada.
Vamos criar um exemplo numérico, para melhor entendimento.
A primeira interpretação cabível seria a de que todos os percentuais incidem sobre o
total de indivíduos de cada classe. Esta interpretação, apesar de ser a que melhor
corresponde ao que está de fato escrito, apresenta problemas.
Considere que o universo de pessoas em análise seja composto por:
- 120 pessoas da classe A
- 120 pessoas da classe B
- 120 pessoas da classe C.
Na classe A, 90 pessoas compram carro. E, destas 90, 12 compram fusca. Com isso,
estão satisfeitas as seguintes probabilidades informadas no enunciado:
- ¾ dos indivíduos de A compram carro
- 1/10 dos indivíduos de A compram fusca.
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Na classe B, 20 pessoas compram carro. Destas, 72 compram fusca. E aqui é que deu o
problema: o número de pessoas da classe B que compram fusca é maior que o número
de pessoas desta classe que compram carro, o que não é possível.
Vamos então para uma segunda interpretação. Vou supor que os percentuais referentes
àqueles que compram fusca devem incidir sobre o número de pessoas de cada classe que
compra automóvel.
Vamos criar outro exemplo.
Considere que o universo de pessoas em análise seja composto por:
- 600 pessoas da classe A
- 600 pessoas da classe B
- 600 pessoas da classe C
Em A, 450 pessoas compram carro e 45 compram fusca. Com isso, temos:
- ¾ dos indivíduos de A compram carro; destes, 10% compram fusca
Em B, 100 compram carro e, destes, 60 compram fusca. Com isso:
- 1/6 dos indivíduos de B compram carro; destes, 3/5 compram fusca
Em C, 30 compram carro e, destes, 9 compram fusca. Com isso:
- 1/20 dos indivíduos de C compram carro; destes, 3/10 compram fusca.
Pede-se a probabilidade de o indivíduo em análise der da classe B, dado que comprou
um fusca. Os casos possíveis seriam:
45 + 60 + 9 = 114.
Os casos favoráveis seriam:
60
A probabilidade ficaria:
P=
60
= 0,526
114
que seria bem próximo do que consta na alternativa “a”, dada como correta.
Mas só obtivemos este valor porque consideramos 600 pessoas em cada classe. Ou seja,
trabalhamos com a hipótese de que todas as classes abrigam a mesma quantidade de
pessoas. Mas isso não foi dito pelo enunciado.
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Se fossem, por exemplo, 200 pessoas da classe A, 100 da classe B e 600 da classe C, aí
teríamos:
- em A 15 pessoas compram fusca
- em B 10 pessoas compram fusca
- em C 9 pessoas compram fusca.
A probabilidade procurada ficaria:
P=
10
= 29,4%
15 + 10 + 9
Ou seja, a probabilidade é bastante afetada pela informação faltante. Precisamos saber
qual a proporção de indivíduos em cada uma das classes.
Terceira questão
Analisando a tabela ANOVA acima, considere as conclusões a seguir.
I - A análise de variância (ANOVA) testa se várias populações têm a mesma média;
para tanto, são comparadas a dispersão das médias amostrais e a variação existente
dentro das amostras.
II - ANOVA da tabela indica que:
H0: μ 1= μ 2= μ 3
Ha: as médias das três populações são diferentes.
III - A estatística F, calculada com a informação da tabela acima, é 2,651 e deve ser
comparada com o valor tabelado de F(2, 29) para um grau de significância escolhido.
É correto APENAS o que se conclui em
(A) I.
(B) III.
(C) I e II.
(D) I e III.
(E) II e III.
Comentários.
Foi dada como correta a letra C (itens I e II verdadeiros).
O item I, de fato, está correto. O item III está errado, pois indicou incorretamente os
graus de liberdade associados.
Mas o item II, ao meu ver, está errado. Com isso a alternativa correta seria a letra “A”.
Nesse tipo de teste de hipóteses, queremos testar se todas as médias são iguais entre si
(hipótese nula).
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A hipótese alternativa ocorre justamente quando descartamos a hipótese nula. Ou seja,
quando as médias não são todas iguais entre si.
Isso pode ser escrito assim:
“Ha: as médias não são todas iguais entre si”.
Ou ainda:
“Ha: há pelo menos uma média diferente das demais”.
Mas isso é muito diferente de afirmar que as médias são todas diferentes entre si.
Vamos exemplificar.
Considere que o consumo médio de três tipos diferentes de gasolina, num determinado
carro, seja de: 15 km/l, 15km/l e 10 km/l.
Mas tem um detalhe. Nós não sabemos disso. Pra gente, estes valores são
desconhecidos. Vamos fazer um experimento para testar se os diferentes tipos de
gasolina resultam no mesmo consumo.
A hipótese nula será:
H0: as médias de consumo para as três gasolinas são iguais entre si.
Se conseguirmos fazer um experimento bem feito, com amostras bem representativas,
iremos rejeitar a hipótese nula. Ou seja, concluiremos que as médias não são todas
iguais entre si.
Isso permite concluir que elas sejam todas diferentes entre si?
Não, não permite. Pode ser que apenas uma seja diferente das demais, como, neste caso,
de fato era (15 = 15, que é diferente de 10). Por isso a hipótese alternativa deve ser
formulada da maneira que indicamos acima.
Deste modo, creio que cabe alteração de recurso (para a letra A).
Por fim, recebi alguns e-mails questionando a questão 35 da prova da tarde para a área
3.
Alguns alunos reclamaram que processos estocásticos não estavam previstos para a área
3, devendo a questão ser anulada.
Bem, é verdade, processos estocásticos não estavam previstos na área 3. Mas a questão
35 é sobre variáveis aleatórias, assunto que estava previsto no programa.
Creio que a questão utilizou o termo “estocástico” no lugar de “aleatório”.
Assim, o item II daquela questão nos diz que (
X
σX
+
Y
σY
) não varia, caso a correlação
seja -1, o que é verdade.
Basta fazer:
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V(
X
σX
+
Y
σY
) = 1 + 1 + 2 cov( X , Y ) = 0
Bom, é isso. Espero que ajude.
Abraços
Vítor.
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