Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
PROCEDIMENTO PARA AUTOCALIBRAÇÃO DE UNIDADES DE REFERÊNCIA DE ATITUDE
COELHO, FERNANDO ANTONIO ALMEIDA
Diretoria de Sistemas de Armas da Marinha
R. Primeiro de Março, 118. Ed. Barão de Ladário, 21º Andar. Centro. Rio de Janeiro - RJ
E-mail:[email protected]
HEMERLY, ELDER MOREIRA
Divisão de Eng. Eletrônica, Instituto Tecnológico de Aeronáutica
Praça Mal. Eduardo, 50, Vila das Acácias, CEP 12228-900, São José dos Campos - SP
E-mail: [email protected]
Abstract Ellipsis fitting is one of the most used methods to magnetometer and accelerometer calibration, because there is no
need for any position references, thereby making it suitable for self calibration and on line applications. Unfortunately, this autocalibration algorithm alone does not compensate some sensing axes misalignment caused by distortion of the magnetic field due
to soft-iron interferences. As a solution we propose to use ellipsoid fitting only to calibrate the accelerometer, while the
magnetometer is calibrated using attitude information from the accelerometer. With this approach, there is no need for any
external reference, what makes the method suitable for low cost applications.
Keywords magnetometer, soft-iron, auto-calibration, ellipsoid fitting, misalignment.
Resumo Ajustamento de elipses é um dos métodos mais usados para calibração de magnetômetro e acelerômetro, devido a não
necessitar de qualquer referência de posição, o que o torna adequado a aplicações que requeiram autocalibração em tempo real.
Infelizmente, este método de autocalibração não compensa erros de alinhamento dos eixos de medida causados por distorções do
campo magnético devido a interferências ditas tipo soft-iron. Como solução, propõe-se usar ajustamento de elipsoide apenas na
calibração do acelerômetro, enquanto que o magnetômetro é calibrado usando informação de atitude fornecida pelo acelerômetro.
Neste caso, não há necessidade de uso de qualquer referência externa, o que torna o método adequado para aplicações de baixo
custo.
Palavras-chave magnetômetro, soft-iron, autocalibração, ajustamento de elipsoide, desalinhamento.
Por outro lado, o método de ajustamento de
elipsoide usa restrições geométricas do modelo dos
erros para estimar os parâmetros de calibração sem a
necessidade de referência de atitude (GebreEgziabhe, et al., 2006; Renaudin, et al., 2010; Fang,
et al., 2011). Entretanto, esse algoritmo não
compensa erros de alinhamento causados por
distorções
do
campo
magnético,
devidos,
principalmente, a interferências ditas do tipo softiron (Gebre-Egziabher, 2007; Li & Li, 2012). Uma
bússola magnética calibrada por esse método, sob
interferência tipo soft-iron, apresentou erros médios
de até 5 graus no rumo, em experimentos práticos
(Renaudin, et al., 2010), enquanto que, em
simulações de trajetórias típicas de voo de um
veículo aero não tripulado, os erros finais no rumo
chegam a 10 graus (Gebre-Egziabher, 2007).
Li & Li (2012) apresentam o método de calibração
de magnetômetro chamado de Dot Product
Invariance (DPI), o qual se vale do fato de que o
produto interno de dois vetores invariantes é
constante. Assim, o vetor aceleração da gravidade
medido pelo acelerômetro é usado como auxiliar para
calibrar o magnetômetro. Entretanto, em seu artigo
Li & Li (2012) têm o acelerômetro previamente
calibrado por métodos tradicionais, recaindo
novamente na necessidade de referências de atitude
externa.
1 Introdução
Unidades de Referência de Atitude (URA) de
baixo custo são o principal componente do sistema
de navegação de pequenos veículos e outros sistemas
autônomos. Estas URA normalmente usam tríades de
acelerômetros, magnetômetros e às vezes girômetros
fundidos em um único dispositivo para produzir
medições de atitude e rumo mais precisas e
confiáveis que as de cada sensor individualmente.
Quando esses sensores são montados na plataforma
do veículo, aparecem alguns erros de calibração
devido a desalinhamentos mecânicos e, em especial,
o magnetômetro sofre de interferência de materiais
ferromagnéticos intrinsecamente presentes na
plataforma. Assim, mesmo que esses sensores já
venham calibrados da fábrica, eles precisam ser
calibrados no local onde serão instalados.
Métodos tradicionais de calibração precisam de
algum tipo de referência de atitude e rumo. Em geral
eles comparam as saídas do sensor em diferentes
posições com a projeção do vetor sob medida (Syed,
et al., 2007; Renk, et al., 2005). Esses algoritmos
precisam ser executados em laboratórios com
condições controladas e instrumentação especial;
logo, não são apropriados para aplicações de baixo
custo, externas ou de tempo real.
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Belo Horizonte, MG, 20 a 24 de Setembro de 2014
Neste trabalho, o acelerômetro é previamente
calibrado pelo método de ajustamento de elipsoide,
que não usa referência de atitude externa, e depois é
utilizado para calibrar o magnetômetro pelo método
DPI. Como os acelerômetros não sofrem
interferências
magnéticas,
os
efeitos
de
desalinhamento
por
soft-iron
podem
ser
compensados com este procedimento. Simulações e
dados experimentais são utilizados para demonstrar o
bom desempenho do método proposto.
soft-iron (Renaudin, et al., 2010). Quando esses
efeitos não são significativos, a matriz
se
aproxima da matriz identidade.
O mesmo modelo de erros é aplicável ao
acelerômetro, bastando apenas utilizar o vetor
gravidade em substituição a , e o equivalente a
(2) é
(4)
3 Calibração do Acelerômetro
2 Modelagem dos Erros dos Sensores
O método de ajustamento de elipsoide utiliza
medidas tomadas de um campo magnético (ou
gravitacional) estacionário, que pode ser o próprio
campo magnético da Terra (ou aceleração da
gravidade) em um determinado local. Neste caso, o
campo sob medição tem magnitude constante e pode
ser encontrado em modelos geológicos como do
Britsh Geological Survey (2010). De qualquer modo,
como a magnitude do vetor não afeta as medidas de
atitude que interessam em aplicações de URA, um
valor fictício, por exemplo, próximo da unidade pode
ser utilizado no procedimento de calibração. De (4)
pode-se escrever
Em uma URA, a intensidade do campo
magnético da terra, , é a medida utilizada para
estimar a direção (rumo) da plataforma onde está
instalada. Os três eixos de medida do magnetômetro
normalmente são alinhados com os eixos do corpo do
veículo, de modo que as medidas a serem
apresentadas sejam os componentes do vetor campo
magnético da terra projetado nos eixos do corpo,
denotado por
. Na prática, existem erros de
instrumentação intrínsecos à tecnologia do sensor,
bem como interferências causadas por materiais
ferromagnéticos presentes no veículo, que geram
desvios no campo magnético da terra. Assim, o vetor
medido,
, é corrompido por erros, de acordo com
a equação vetorial
(1)
(5)
onde:
onde:
é uma matriz cheia
,
é o bias
determinístico, e
é o ruído dos sensores.
A matriz
e o vetor
em (1) compõem os
efeitos originários de diferentes tipos de
interferências, como soft-iron, hard-iron e
imperfeições construtivas, porém para estimação dos
parâmetros, a origem dos erros é indiferente. Uma
descrição detalhada dos diferentes efeitos envolvidos
em um magnetômetro é feita por Renaudin et al.
(2010).
Resolvendo-se (1) para
obtém-se o valor exato
do campo sob medição,
(2)
,
e
.
Convém notar que embora o ruído
seja
gaussiano e com média nula, o ruído
pode não o
ser, pois sua esperança é
.
No
método
de
ajustamento de elipsoide, considera-se que o nível de
ruído do sensor é suficientemente baixo para ser
negligenciado. Pylvänäinen (2008) faz uma análise
empírica da sensibilidade do algoritmo ao nível do
ruído presente.
A equação quadrática (5) descreve uma superfície
de segunda ordem, por exemplo, um hiperboloide ou
elipsoide. Uma condição suficiente para que (5)
represente um elipsoide é que a matriz
seja
positiva definida e que
seja positivo
(Renaudin, et al., 2010), o que de fato é verdade pela
própria definição desses parâmetros. Assim, o
método de ajustamento de elipsoide consiste em
estimar
e
em (5), restritos às condições que
descrevem um elipsoide, e a literatura apresenta
diferentes métodos de estimação desses parâmetros
(Halır & Flusser, 1998; Fitzgibbon, et al., 1999;
Gebre-Egziabher, 2007; Fang, et al., 2011;
Tabatabaci, et al., 2013).
Perceba-se que a matriz
é simétrica, de modo
que requer a estimativa de seis parâmetros apenas.
Logo, reconstituir
, a partir de , resulta
Portanto, calibrar o magnetômetro consiste em
estimar
e
em (2).
A matriz
pode ser decomposta no produto de
uma matriz ortogonal por outra simétrica, chamada
de decomposição polar, conforme
(3)
A matriz simétrica
é estimada pelo método de
ajustamento de elipsoide, que não é capaz de estimar
a matriz ortogonal , como será mostrado na Seção
3. Essa matriz ortogonal pode ser interpretada como
o desalinhamento do triedro de medida em relação ao
corpo do veículo, podendo ser causada tanto por
desalinhamentos mecânicos quanto por distorções do
campo magnético devido, principalmente, a efeitos
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inúmeras soluções. Uma solução típica desse
problema é tomar a decomposição em valores
singulares
, e se tem
(6)
onde a amplitude do campo magnético da Terra,
, e seu ângulo de inclinação formado com o vetor
gravidade,
, podem ser encontrados em tabelas de
modelos do campo magnético para o local do
experimento (Britsh Geological Survey, 2010). Já
para o valor de
, o método DPI utiliza a
intensidade padrão da gravidade que pode ser
normalizada,
.
As incógnitas em (8),
e
podem ser
estimadas por mínimos quadrados.
Convém notar que (6) resulta em uma matriz
simétrica, o que significa que o componente
ortogonal de (3) não é estimado com o método de
ajustamento de elipsoide. O componente ortogonal
pode ser interpretado como um erro de alinhamento
do triedro do sensor em relação ao triedro do corpo, e
é devida a erros de construção/instalação. Porém, no
caso do magnetômetro, esse desalinhamento é
acrescido por distorções do campo magnético
causadas pela presença de material ferromagnético na
plataforma do veículo. Como o acelerômetro é imune
a essa interferência, esse desalinhamento é
minimizado quando o ajustamento de elipsoide é
aplicado ao acelerômetro.
5 Estimação da Atitude e Rumo
A qualidade da calibração reflete nas estimativas
de atitude e rumo geradas pela URA, de modo que é
natural avaliar essa qualidade analisando-se os erros
nas estimativas desses ângulos. Baseado na projeção,
no plano vertical, do vetor gravidade medido pelo
acelerômetro,
,
obtém-se
as
estimativas dos ângulos de rolagem, , e arfagem,
, sendo
4 Calibração do Magnetômetro
Li & Li (2012) apresentam o método de
calibração de magnetômetro chamado de Dot
Product Invariance (DPI), o qual se vale do fato de
que o produto interno de dois vetores invariantes é
constante. Assim, o método utiliza o vetor aceleração
da gravidade,
, medido pelos acelerômetros
previamente calibrados, presentes na URA, em
conjunto com o vetor intensidade do campo
magnético,
, para estimar os parâmetros de
calibração do magnetômetro. Esse algoritmo
consegue eliminar os erros de desalinhamento do
efeito soft-iron. Porém, esse método utiliza o
acelerômetro como referência de atitude, tendo sua
qualidade determinada pela qualidade da calibração
prévia do acelerômetro. Então, em (Li & Li, 2012), o
acelerômetro é previamente calibrado por métodos
tradicionais, recaindo novamente na necessidade de
laboratórios e instrumentação especiais; logo, não é
apropriado a aplicações de baixo custo.
Neste artigo, propõe-se calibrar o acelerômetro
pelo método de ajustamento de elipsoide, que não
requer referência externa de posição, e, como o
acelerômetro não sofre interferência magnética, os
erros de desalinhamento residuais são minimizados.
Em seguida, o método DPI é usado para calibrar o
magnetômetro, eliminando assim erros de
desalinhamento causados por interferências tipo softiron.
Para aplicar o método DPI parte-se da expressão
(7)
(10)
onde
é a função inversa da tangente de
quatro quadrantes (Mathwork, 2014).
A partir desses ângulos, tem-se a matriz de
transformação que projeta o vetor intensidade do
campo magnético no plano horizontal, conhecido
como plano local, gerando o vetor
. Desse vetor estima-se o rumo em
relação ao “norte magnético”, , dado por
(11)
Caso julgado necessário, o rumo em (11) pode ser
corrigindo para o rumo em relação ao “norte
verdadeiro” somado-se o ângulo de declinação do
campo magnético da Terra no local (Britsh
Geological Survey, 2010).
6 Simulações
A fim de avaliar o desempenho do método
proposto, o algoritmo foi inicialmente aplicado a
dados simulados. Nessas simulações, a intensidade
do campo magnético local foi normalizada gerando o
vetor unitário
.
Erros de ortogonalidade dos eixos de medida,
desalinhamento, fator de escala e bias foram
introduzidos no magnetômetro, gerando os
parâmetros da Tabela 1. A decomposição polar da
Tabela 1 representa ângulos de desalinhamento de
,
e
, em torno dos eixos Z, Y
e X, respectivamente.
que, combinada com (2), com o ruído negligenciado,
resulta em
(8)
sendo
dada por
(9)
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Tabela 1. Parâmetros do magnetômetro
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mostram que os dados são representativos do espaço
amostral, para aplicação do método de ajustamento
de elipsoide. Já os valores medidos são apresentados
na Figura 4.
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Decomposição Polar
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Figura 1. Ângulos de Euler dos movimentos simulados
Por outro lado, a aceleração da gravidade foi
considerada na direção do eixo Z (vertical) e também
normalizada, enquanto os parâmetros utilizados no
acelerômetro estão apresentados na Tabela 2. A
decomposição polar da Tabela 2 equivale a
desalinhamento de
,
e
, em
torno dos eixos Z, Y e X, respectivamente.
Tabela 2. Parâmetros do acelerômetro
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Figura 2. Representação tridimensional das medidas do
magnetômetro (valores normalizados)
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Decomposição Polar
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Figura 3. Representação tridimensional das medidas do
acelerômetro (valores normalizados)
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2
3
Além disso, foram introduzidos ruídos gaussianos
de medição em ambos os sensores, com desviospadrão da ordem de
em cada eixo, ou seja, em
uma faixa dinâmica em torno de 60dB, valores
típicos do sensor 3DM-GX1 (Renk, et al., 2005),
utilizado nos resultados experimentais deste artigo,
na Seção 7.
Foram então simulados movimentos de guinada,
arfagem e rolagem, ou seja, em torno dos eixos do
corpo Z, Y, X, respectivamente, conforme a Figura 1,
que geraram as representações tridimensionais
mostradas na Figura 2 e Figura 3. Essas figuras
Figura 4. Medidas normalizadas obtidas na simulação
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Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
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O método proposto foi aplicado, e foram
estimados os parâmetros apresentados na Tabela 3,
onde se percebe estimação exata para o bias do
redução dos erros máximos de estimativa de rumo,
que são reduzidos de
, sem calibração, para
após calibração. Ou seja, apenas os erros
remanescentes de alinhamento do acelerômetro não
são compensados. Esses mesmos erros de
desalinhamento são observados nas estimativas de
arfagem, que teve seu erro máximo reduzido de
para
, enquanto o erro máximo de
rolagem, reduziu de
para
.
acelerômetro e valores de
bem próximos de
da Tabela 2. Já a parte ortogonal da decomposição
polar não é estimada pelo método de ajustamento de
elipsoide aplicado ao acelerômetro, não sendo
compensada pela calibração.
Tabela 3. Parâmetros estimados pelo método proposto
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Decomposição Polar de
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Figura 5. Erros de estimação dos ângulos de rumo, arfagem e
rolagem, em três condições: antes da calibração, com os sensores
calibrados por ajustamento de elipsoide e com o método proposto
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6 Resultados Experimentais
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2
O método de calibração proposto foi aplicado à
URA 3DM-GX1, produzida pela MicroStrain. Essa
URA, possui também girômetros para estabilização
das medidas de atitude, e tem acurácia típica de 0,5o
em condições estáticas e
em condições dinâmicas
(MicroStrain Inc, 2006).
Os dados foram coletados no formato raw, ou seja,
após conversão analógico-digital de 16 bits com um
bit de sinal. Esses dados foram então escalonados em
medidas físicas multiplicado-os pelo valor de fundo
de escala informado pelo fabricante (1,2 Gauss para
o magnetômetro e 3 G para o acelerômetro), e depois
normalizados ao dividi-los pela amplitude do campo
magnético e gravidade no local de medida (0,23
Gauss e 1 G).
Duas configurações foram ensaiadas: (I) sensor
sem interferência magnética; e (II) sensor sob
interferência magnética de um parafuso de aço,
posicionado sobre o sensor conforme apresentado em
destaque na Figura 6.
3
1
2
3
Quanto aos parâmetros estimados para o
magnetômetro, esses apresentam bias bem próximo
do verdadeiro, enquanto que os demais parâmetros
apresentam erros entre 1 e 16% dos valores
verdadeiros. Porém, a matriz ortogonal resultante da
decomposição polar dessa estimativa equivale a
ângulos de desalinhamento entre o magnetômetro e o
acelerômetro de
,
, em torno
dos eixos Z, Y e X, respectivamente, valores que são
próximos aos verdadeiros,
,
.
Estimando-se os erros dos ângulos de atitude
calculados a partir de (10) e (11), resultam os
gráficos da Figura 5, onde as medidas são realizadas
de três modos: sem calibração, com ambos os
sensores calibrados por ajustamento de elipsoide, e
pelo método proposto.
Como os ângulos de arfagem e rolagem são
calculados a partir do vetor aceleração, aplicar
ajustamento de elipsoide no magnetômetro não altera
a estimativa desses ângulos, por isso a Figura 5 não
mostra diferença entre os dois métodos de calibração
aplicados.
A eficácia do método proposto é observada na
Figura 6. Parafuso de aço afixado sobre o sensor para introdução
de interferência magnética, na configuração II
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Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
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Uma mesa de inclinação, não magnética,
apresentada na Figura 7, foi utilizada para posicionar
o sensor em diversos ângulos de inclinação, e a cada
posição eram colhidos dados por cerca de 1s a uma
taxa de
. As medidas obtidas e suas posições
tridimensionais estão traçadas na Figura 8, Figura 9 e
Figura 10. Cabe ressaltar que, apesar de a mesa
possuir dispositivos de medição dos ângulos de
inclinação, ela não é utilizada como referência de
atitude para a calibração.
apresentados na Tabela 4. A matriz
indica a
estimação de erros de desalinhamento entre o
acelerômetro e o magnetômetro de
,
e
em torno dos eixos Z, Y e X, respectivamente.
Tabela 4. Parâmetros estimados para a configuração I
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Figura 7. Mesa de inclinação, não magnética, com dois eixos
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Para avaliar a qualidade dessa estimativa, o sensor
foi posto sobre a mesa de inclinação nivelada e
alinhada ao norte magnético, e foram tomadas
medidas de ângulos de rumo de
a
com
passos de
. Os erros nas estimativas de atitude e
rumo estão mostrados na Figura 11, a qual indica
erros máximos após calibração de
,
e
, em rumo, arfagem e
rolagem, respectivamente. Quando o magnetômetro é
calibrado por ajustamento de elipsoide o erro
máximo em rumo apresentado tem a mesma ordem
de grandeza,
, conforme era de se esperar
para a configuração I - sem interferência magnética.
Figura 8. Medidas normalizadas da intensidade do campo
magnético e da aceleração da gravidade
Figura 9. Representação tridimensional das medidas do
acelerômetro (valores normalizados)
Figura 10. Representação tridimensional das medidas do
magnetômetro (valores normalizados)
Figura 11. Erros nas estimativas de rumo e atitude para a
configuração I
Os parâmetros estimados na configuração I estão
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Na configuração II, a estimação dos parâmetros do
acelerômetro não se altera, então foram estimados
apenas os parâmetros do magnetômetro, que estão
apresentados na Tabela 5. Nesta configuração, a
interferência magnética adicionada teve grande
influência no bias, caracterizando-se como do tipo
hard-iron, em vez de soft-iron, mesmo assim, os
ângulos de desalinhamento foram alterados para
,
e
em torno dos eixos Z, Y e
X, respectivamente.
7 Conclusões
Foi proposto um método de autocalibração de
unidades de referência de atitude de baixo custo, que
combina ajustamento de elipsoide com invariância
do produto interno. Simulações e resultados
experimentais mostraram que o método é capaz de
compensar
erros
de
desalinhamento
do
magnetômetro, causados por materiais magnéticos
que estejam presentes na plataforma, ao contrário de
outros métodos tradicionalmente empregados.
Como o método não usa referência externa,
também pode ser aplicado na calibração adaptativa
dos sensores, compensando parâmetros que possam
variar com o tempo, por exemplo, em função da
temperatura ou da configuração magnética da
plataforma onde opera.
Tabela 5. Parâmetros estimados na configuração II
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Referências Bibliográficas
Decomposição Polar de
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http://files.microstrain.com/3DM-
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Novamente, para esta configuração, os erros de
atitude e rumo foram medidos com a mesa de
inclinação nivelada. Os erros estão mostrados na
Figura 12, e os valores máximos após calibração
foram
,
e
, em rumo,
arfagem e rolagem, respectivamente. Já com
calibração do magnetômetro por ajustamento de
elipsoide apenas, os erros em rumo triplicaram em
relação à configuração I, resultando em erro máximo
de
.
Figura 12. Erros nas estimativas de rumo e atitude para a
configuração II
3443
Anais do XX Congresso Brasileiro de Automática
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