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Vision
Algumas Propriedades Importantes
da Transformada de Fourier
Paulo Sérgio Rodrigues
PEL205
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Separabilidade
• Lembrando o par de Transformadas de
Fourier
1 M 1 N 1
 j 2 ux / M  vy / N 


F u, v  
f
x
,
y
e

MN x0 y 0
M 1 N 1
f x, y    F u, v e
u 0 v 0
j 2 ux / M  vy / N 
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• Ou, considerando M = N para simplificar
ainda mais:
1 N 1 N 1
F u, v    f x, y e  j 2 (ux vy) / N
N x 0 y 0
N 1 N 1
f x, y    F u, v e
u 0 v 0
j 2 ( ux  vy ) / N
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• Expandindo e arrumando:
1 N 1 N 1
 j 2 ( ux  vy ) / N
F u, v    f x, y e
N x 0 y 0
1 N 1 N 1
 j 2ux / N  j 2vy / N
F u, v    f x, y e
e
N x 0 y 0
1 N 1  j 2ux / N N 1
 j 2vy / N
F u, v    e
f x, y e

N x 0
y 0
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Separabilidade
• Da mesma forma, para a transformada inversa:
1 N 1  j 2ux / N N 1
 j 2vy / N


F u, v    e
f
x
,
y
e

N x 0
y 0
1 N 1 j 2ux / N N 1
j 2vy / N
f x, y    e
F u, v e

N u 0
v 0
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Separabilidade
• Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D
1 N 1  j 2ux / N N 1
 j 2vy / N


F u, v    e
f
x
,
y
e

N x 0
y 0
 1 N 1

 j 2vy / N
F ( x, v )  N   f ( x , y ) e

 N y 0

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Separabilidade
• Pode-se ver cada parte como uma transformada 1D
 1 N 1

 j 2vy / N
F ( x, v )  N   f ( x , y ) e

 N y 0

N 1
1
 j 2ux / N
F (u, v)   F ( x, v)e
N x 0
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Translação
Um “problema” para visualizar o espectro de Fourier de
Uma função f(x,y) é o fato do pico mais alto ocorrer no eixo x = 0
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Translação
No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização
Pode ficar comprometida
f(x,y)
|F(u,v)|
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Translação
No entanto, pode-se provar que, para constantes u0, v0, x0, y0:
f ( x, y)e
j 2 u0 xv0 y / N
 F (u  u0 , v  v0 )
e
f ( x  x0 , y  y0 )  F (u, v)e
 j 2 ux0 vy0 / N
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Translação
Mas, quando M = N e u0 = v0 = N/2 :
e j 2 u0 xv0 y / N  e
N N 
j 2  x  y  / N
2 
2
 e j  x y  (1)
como e  cos y  j seny  e
jy
j
 1 (2)
Substituindo (2) em (1), concluímos que:
e
j 2 ( u0 x v0 y ) / N
 (1)
 x y 
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Translação
Finalmente, baseado nos resultados dos slides 10 e 11:
f ( x, y)e
j 2 u0 x v0 y 
 F (u  u0 , v  v0 )
se u0  v0  N / 2
f ( x, y)(1) x y   F (u  N / 2, v  N / 2)
Conclusão: Para se deslocar o espectro de Fourier para o centro
do sistema de coordenadas, basta multiplicar cada ponto (x,y)
de sua inversa por -1 elevado a soma x + y
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Translação
No caso de uma imagem f(x,y), a qualidade da visualização
é claramente melhor
|F(u,v)| sem Shift
f(x,y)
 f x, y 

 f x, y (1) x y 

|F(u,v)| com Shift
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Periodicidade e Simetria Conjugada
A transformada de Fourier é periódica de período N; isto é:
F (u, v)  F (u  N , v)  F (u, v  N )  F (u  N , v  N )
isso pode ser provadoatravésde substituição
direta de u  N e v  N em
1 N 1 N 1
 j 2 ux  vy  / N
F (u, v)   f ( x, y)e
N x 0 y 0
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Rotação
Se introduzirmos coordenadas polares:
x  r cos
y  rsen
u   cos
v   sen
f ( x, y) e F (u, v) se tornam: f (r , ) e F (,  )
Substituindo diretamente em f(x,y) e F(u,v), temos:
f (r,  0 )  F (,  0 )
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Rotação
Exemplo de Rotação
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Distributividade
Uma vez que:
 f1 ( x, y)  f 2 ( x, y)   f1 ( x, y)  f 2 ( x, y)
A transformada de Fourier é DISTRIBUTIVA sobre ADIÇÃO
Mas ...
 f1 ( x, y) f 2 ( x, y)   f1 ( x, y) f 2 ( x, y)
A transformada de Fourier NÃO é DISTRIBUTIVA sobre MULTIPLICAÇÃO
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Escala
Para dois escalares a e b
af x, y   aFu, v 
1
f ax  by 
F u / a, v / b
ab
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Valor Médio
f x, y  
N 1 N 1
1
N2
 f x, y 
x 0 y 0
fazendo u  v  0 em
1 N 1 N 1
F u, v    f x, y e j 2 ux vy / N 
N x 0 y 0
1
F 0,0 
N
N 1 N 1
 f x, y 
x 0 y 0
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Valor Médio
1
F 0,0 
N
f x, y  
N 1 N 1
 f x, y 
x 0 y 0
N 1 N 1
1
N2
 f x, y 
x 0 y 0
1
f  x, y   F 0,0
N
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Transformada do Delta de Dirac
f(x)

F ( w)    ( x)e i 2wx dx  e0  1
(x)

x
|| F(w) ||
1
w
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Pares importantes
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Propriedades da transformada
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Descritores de Fourier
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Descritores de Fourier
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