Sistemas Numéricos
Trabalho compilado da Internet
Prof. Claudio Passos
 A Informação e sua Representação
•
O computador, sendo um equipamento eletrônico, armazena e
movimenta as informações internamente sob forma eletrônica; tudo o
que faz é reconhecer dois estados físicos distintos, produzidos pela
eletricidade, pela polaridade magnética ou pela luz refletida – em
essência, eles sabem dizer se um “interruptor” está ligado ou
desligado.
•
Por ser uma máquina eletrônica, só consegue processar duas
informações: a presença ou ausência de energia.
•
Para que a máquina pudesse representar eletricamente todos os
símbolos utilizados na linguagem humana, seriam necessários mais de
100 diferentes valores de tensão (ou de corrente).
 Tipos de grandezas
• Analógica  contínua
• Digital  discreta (passo a passo)
• Computadores analógicos – Trabalham com sinais
elétricos de infinitos valores de tensão e corrente (modelo
continuamente variável, ou analogia, do que quer que
estejam medindo).
• Computadores digitais – Trabalham com dois níveis de
sinais elétricos: alto e baixo. Representam dados por meio
de um símbolo facilmente identificado (dígito).
 Como os computadores modernos
representam as informações?
 Como os computadores modernos
representam as informações?
Para o computador, tudo são números.
Computador Digital  Normalmente a informação a ser
processada é de forma numérica ou texto  codificada
internamente através de um código numérico.
Código mais comum  BINÁRIO
Por que é utilizado o sistema binário ?
 Como os computadores modernos
representam as informações?
Como os computadores representam as informações utilizando apenas
dois estados possíveis - eles são totalmente adequados para números
binários.
O – desligado
1 – ligado
Número binário no computador: bit [de “Binary digIT”]
A unidade de informação.
Uma quantidade computacional que pode tomar um de dois valores,
tais como verdadeiro e falso ou 1 e 0, respectivamente (lógica positiva).
Um bit está ligado (set) quando vale 1, desligado ou limpo (reset ou clear)
quando vale 0; comutar, ou inverter é passar de 0 para 1 ou de 1 para 0.
 Como os computadores modernos
representam as informações?
•Um bit pode representar apenas 2 símbolos (0 e 1)
•Necessidade - unidade maior, formada por um conjunto de bits, para
representar números e outros símbolos, como os caracteres e os sinais
de pontuação que usamos nas linguagens escritas.
•Unidade maior (grupo de bits) - precisa ter bits suficientes para
representar todos os símbolos que possam ser usados:
• dígitos numéricos,
•letras maiúsculas e minúsculas do alfabeto,
•sinais de pontuação,
•símbolos matemáticos e assim por diante.
 Sistemas
de Numeração
Conjunto de símbolos utilizados para representação de
quantidades e de regras que definem a forma de
representação.
Cada sistema de numeração é apenas um método diferente
de representar quantidades. As quantidades em si não
mudam; mudam apenas os símbolos usados para
representá-las.
A quantidade de algarismos disponíveis em um dado
sistema de numeração é chamada de base.
Tipos de representação numérica: notação posicional e
notação não posicional.
 Sistemas
de Numeração Básicos
•Binário
•Octal
•Decimal
•Hexadecimal
•Base: grupo com um determinado número de objetos
Sistema
Base
Algarismos
Binário
2
0,1
Octal
8
0,1,2,3,4,5,6,7
Decimal
10
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
Hexadecimal
16
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
 Os Sistemas de Conversão
 Para se compreender a conversão de
sistemas, teremos que apresentar os
sistemas de numeração.
 Comecemos então pelo já nosso conhecido
Sistema Decimal. Que como bem sabem,
deriva dos nossos antepassados utilizarem
os 10 dedos para contar.
 Sistema de Numeração Decimal
Dígitos Decimais:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Potências de base 10
10 
1
10 
2
10 
3
10 
4
10 
0
1
10
100
1000
10 000
 Sistema de Numeração Binário
 Este sistema é o
Potências de base 2
utilizado pelos
computadores.
Dígitos Binários:
0
1
2 
1
2 
2
2 
23 
4
2 
5
2 
0
1
2
4
8
16
32
2 
7
2 
8
2 
29 
10
2 
6
64
128
256
512
1024
 Sistema de Numeração Hexadecimal
Dígitos Hexadecimal:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Potências de base 16
16 
1
16 
2
16 
3
16 
4
16 
0
A
B
C
D
E
F
1
16
256
4096
65 536
Tipos de Conversões
Demonstrações
 Decimal  Binário
 Binário  Decimal
 Decimal  Hexadecimal
 Hexadecimal  Decimal
Conversão Decimal  Binário
Como só existem dois números no sistema binário temos a seguinte
correspondência:
Decimal (10)
Binário (2)
0
1
2
3
4





0
1
10
11
100
5

101
6
7
8



110
111
1000
Conversão Decimal  Binário
É claro que assim era difícil, vamos então aprender a converter
qualquer numero. Que tal o 21(10) por exemplo ?
21(10) ---------------- ? (2)
Quantas vezes há
21
2
0 1 10
1 0
21(10) = 1 0 1 0 1
X
2
5
1
X
2
2
0
2
1
Conversão DecimalHexadecimal
Como existem dezasseis números, temos a seguinte correspondência:
Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(10)









Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(16)
Decimal
(10)
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Hexadecimal









9
A
B
C
D
E
F
10
11
(16)
Conversão Decimal  Hexadecimal
É claro que assim era difícil continuar, vamos então aprender a
converter qualquer numero. Que tal o 3344(10) por exemplo ?
3344(10) ---------------- ? (16)
Quantas vezes há
3 3 4 4 16
01 4 4 2 0 9
0 0 0 4 9
0 1
0
1
3344(10) = D
X
16
1 3
D
X
1
0
Conversão Binário  Decimal
Como só existem dois números no sistema binário, teremos que
trabalhar com Base 2, logo temos por exemplo:
1001(2) ---------------- ? (10)
1
2
0
3
2
0
2
2
1
1
2
+
+
+
23 x 1
22 x 0
21 x 0
8
+
0
+
0
0
20 x 1
+
1 = 9
1001(2) ---------------- 9(10)
Pesos
Conversão HexadecimalDecimal
A conversão de números hexadecimais para decimal, processa-se
através de operações de multiplicação, vamos ver um exemplo:
1E2(16) ---------------- ? (10)
1
2
16
E
2
1
0
16
+
16
Pesos
+
162 x 1
161 x E 160 x 2
161 x 14
256
+
224
+
2 = 482
1E2(16) ---------------- 482(10)
Aritmética binária
• Adição Binária - Regras
Aritmética binária - Adição
Aritmética binária
Subtração Binária – Regras
Aritmética binária - Subtração
Aritmética binária - Subtração
Aritmética binária
Aritmética binária
Aritmética binária- Operação em Hexadecimal
•Adição Hexadecimal
• Igual à adição decimal:
Decimal 9 + 2 = 11
Hexadecimal 9 + 2 = B.
• Se o resultado da soma de 2 algarismos hexadecimais é
maior que 15, subtrai-se 16 deste valor, coloca-se o resto
como resultado e faz-se um “vai um” para a próxima soma.
Aritmética binária- Adição em Hexadecimal
Aritmética binária- Subtração em Hexadecimal
1. Como o número 8 é menor que B, pedimos emprestado 1 ao vizinho,
que passa a valer 9.
2. Este 1 emprestado (que vale 16) somado a 8 dá 24.
3. Subtrai-se o subtraendo B = 11 de 24, obtendo-se 13, ou seja, D.
4. Como 9 é menor que F, pedimos 1 ao vizinho, que passa a valer 4.
5. Soma-se 16 ao 9, dando 25, menos F obtém-se A.
6. E, finalmente, 4 menos 1 = 3.
Aritmética binária- Subtração em Hexadecimal
• Igual ao decimal, porém levando em conta que agora a base do
sistema é 16.
• Quando o minuendo é menor que o subtraendo, pede-se 1
emprestado ao número vizinho à esquerda, porém, agora, esse 1 faz
aumentar de 16 aquele que pediu emprestado.