UNIVERSIDADE DO EXTREMO SUL CATARINENSE - UNESC
CURSO DE PÓS-GRADUAÇÃO ESPECIALIZAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MATEMÁTICA
CINARA CAMILO TEIXEIRA
A RELAÇÃO ENTRE A MATEMÁTICA E O CORPO HUMANO
CRICIÚMA, FEVEREIRO 2009
CINARA CAMILO TEIXEIRA
A RELAÇÃO ENTRE A MATEMÁTICA E O CORPO HUMANO
Monografia apresentada à Diretoria de Pósgraduação da Universidade do Extremo Sul
Catarinense - UNESC, para a obtenção do
título de especialista em Educação Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Ademir Damazio
CRICIÚMA, FEVEREIRO 2009.
Dedico este trabalho ao meu amado, Davi.
AGRADECIMENTO
Agradeço a minha irmã, Patrícia, e meu
cunhado, Luciano. Também aquele que estimo
o professor Ademir, meu orientador.
“A linguagem dos tempos retrata-se de
infinitas formas, pintadas pelo olhar de
quem pinta as coisas do mundo”.
Cínara Camilo Teixeira
RESUMO
Este trabalho objetiva compreender a Relação entre a Matemática e o Corpo
Humano. Com este objetivo, realizou-se a revisão bibliográfica na qual se sintetizou
a história da matemática, o conceito de educação matemática e a relação entre a
matemática e a biologia. Esta pesquisa é caracterizada como descritiva e
bibliográfica. Para o resultado, foram apresentados alguns modelos matemáticos
envolvendo o ser humano e amplia-se para a possibilidade de recurso didático vivo
para ensinar e compreender Matemática.
Palavras-chave:
matemático.
corpo
humano,
biologia,
educação
matemática,
modelo
.LISTA DE ILUSTRAÇÕES
Figura 1 – Proporções do corpo humano.............................................................................22
LISTA DE TABELAS
Tabela 1 – O sistema de numeração decimal........................................................................21
Tabela 2 – Principais acontecimentos do desenvolvimento embrionário..........................38
LISTA DE DIAGRAMAS
Diagrama 1 – Compreensão do organismo humano como um conjunto de células.........42
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 11
2 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - O CORPO HUMANO COMO FONTE DE
PRODUÇÃO DO CONHECIMENTO – E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA .................... 13
2.1 História da Matemática...................................................................................................................................................13
2.1.1 Pré-história ............................................................................................................................................... 13
2.1.2 Idade Antiga ............................................................................................................................................ 14
2.1.3 Idade Média.............................................................................................................................................. 20
2.1.4 Idade Moderna.......................................................................................................................................... 21
2.1.5 Idade Contemporânea.................................................................................................................................24
2.2 Educação matemática: compromisso com a socialização do conhecimento produzido historicamente........27
3 MODELOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS COM O CORPO HUMANO..........30
3.1Outras relações Matemáticas presentes no corpo humano.............................................................................34
3.2 Outras quantificações e medidas matemáticas da biologia do corpo humano ............................................. 39
3.3 Matemática no corpo – Um olhar que se pretende novo...............................................................................40
4 METODOLOGIA................................................................................................................ 45
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................................................. 46
REFERÊNCIAS ..................................................................................................................... 48
11
1 INTRODUÇÃO
Na contemporaneidade, alguns pesquisadores têm se dedicado ao estudo
da construção dos conceitos matemáticos. A forma como nós, seres humanos,
construímos nossos conceitos têm a influência de diferentes fatores, como históricocultural e sócio-econômico. A literatura tem apresentado o pressuposto de que o
ensino da matemática, que contemple situações de análise próximas da vivência dos
alunos, produz aprendizagem mais significativa. Assim, torna-se importante que o
professor relacione os conceitos abordados em sala de aula com diferentes
situações da realidade vivida pelo aluno, que proporcione a construção do
conhecimento. De acordo com BICUDO (2000, p.24) “... entender que a explicitação
da expressão construção do conhecimento solicita a explicitação do modo pelo qual
se entende realidade”. Nas escolas, ainda existe professor com cultura mecanicista
em relação à matemática, que tem gerado um desgostar pela disciplina.
Desta percepção surgiu à idéia de contextualizar-se a concepção e o
desenvolvimento do ser humano com a educação matemática. Como referência
inicial, adotou-se a analogia entre a constituição da célula humana e a teoria dos
conjuntos. O princípio norteador é o que o aluno, ao perceber o que ocorre por meio
da adição de dois pró-núcleos e das sucessivas divisões celulares o homem formase, adotará um novo olhar para a matemática. Dessa situação de análise, o aluno
poderá perceber que está no meio de um todo, o mundo, que pode ser
compreendido por técnicas e ferramentas matemáticas. Da mesma forma, o próprio
aluno, sua concepção e desenvolvimento, poderá ser compreendido. BICUDO
(2000, p. 29) nos diz “... que podemos compreender construção de conhecimento e
construção da realidade como um mesmo movimento no qual o mundo faz sentido
para a pessoa,...”.
Vale
dizer
que
essas
idéias
surgiram
e
tiveram
sua
primeira
sistematização no trabalho de conclusão do curso de Licenciatura em Matemática.
As novas experiências adquiridas deram subsídios para acréscimos e correções.
Uma delas foi à delimitação e formulação de uma questão de pesquisa, qual seja: as
possibilidades didáticas da relação matemática com o corpo humano.
A partir destas considerações, este trabalho intitulado: “A Relação entre a
Matemática e o Corpo Humano” teve como objetivo: proporcionar a compreensão de
12
conceitos matemáticos a partir do desenvolvimento do corpo humano. Estabeleceuse como objetivos específicos:
- Identificar as possibilidades didáticas da relação entre conceitos
matemáticos e desenvolvimento do corpo humano.
- Apresentar modelos matemáticos que explicitam a compreensão de
conceitos da matemática escolar.
O texto foi estruturado em três momentos. No primeiro momento,
realizou-se a revisão bibliográfica, na qual sintetizou-se a história da matemática,
pesquisou-se o conceito de educação matemática e uma relação entre a matemática
e a biologia. No segundo momento, descreveu-se as metodologias utilizadas, que
são caracterizadas por ser descritivas e bibliográficas. No terceiro momento, como
resultado da pesquisa, estabeleceu-se alguns modelos em que mostra-se a
matemática presente no desenvolvimento humano.
13
2 A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA - O CORPO HUMANO COMO FONTE DE
PRODUÇÃO DO CONHECIMENTO – E EDUCAÇÃO MATEMÁTICA
2.1 A História da Matemática
2.1.1 Pré-história
A humanidade, em sua história, utilizou-se de diferentes formas para
registrar sua existência. Durante o período da Pré-história, o homem deixou marcas
de como e para que vivia.
De acordo com BOYER (2002, p.472) o homem Neanderthal já
evidenciava a existência da contagem. O fóssil do Homo sapiens neanderthalensis
foi encontrado pela primeira vez com datação de cem mil anos atrás, em regiões da
Europa, Oriente Médio, Norte da África e Ásia. Sua constituição física era baixa e
robusta, o cérebro media 1450 centímetros cúbicos, caminhava ereto, vivia em
cavernas, usava ferramentas feitas de pedras e lanças de madeira. O último registro
do Neanderthal foi datado de, aproximadamente, trinta e cinco mil anos.
O homem pré-histórico vivia de caça de animais, de pesca, da coleta de
frutos, raízes, sementes e ovos. Costumava registrar suas façanhas, limitando-se
em fazer marcar em pedaços de madeira e de ossos. Também, fazia algumas
pinturas nas paredes, chamadas de rupestres, feitas com um pouco de carvão,
obtido pela queima de madeira e ossos, e uma espécie de pigmento de minerais.
Nestes registros, encontraram-se evidências de que contava matematicamente sua
história.
Ainda, BOYER (2002, p.472), descreve que, aproximadamente, a uns
vinte e cinco mil anos o “Homem de Cro-Magnom” rabiscava “Desenhos geométricos
primitivos”.
O homem primitivo continuou a evoluir-se e desenvolver-se a partir de
mudanças ocorridas na sociedade e no crescimento populacional, Assim, surge uma
nova necessidade, a de cultivar a terra e pastorear rebanhos, o que fez surgir à
necessidade de controlá-los. A técnica que o pastor primitivo usava era de soltar
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grupos de cinco animais para o pasto e de colocar cinco pedrinhas em um saquinho
de couro que carregava consigo, ao recolhê-los retirava as mesmas quantidades de
pedrinhas. Sem saber, começou a construir o conceito de número, relacionando um
objeto com outro objeto, dando origem a um ramo da matemática chamado, hoje, de
cálculo, visto que, em latim, pedrinha é traduzido como cálculo.
Não só o pastor separava seus animais em grupos de cinco, mas também
o pescador com seus peixes, o caçador com sua caça. Eles precisavam de algo
concreto, como os cinco dedos das mãos ou dos pés, cinco peixes. Sendo assim,
anotava suas atividades predispostas em grupos de cinco riscos na madeira, cinco
marcas em um osso.
Deste modo, o homem continuava seu desenvolvimento, e procurava
alternativas de soluções práticas para os problemas do seu dia-a-dia.
2.1.2 Idade Antiga
A Pré-história findou em 4000 a.C., marcada pelo surgimento e história da
escrita, que abrange o desenvolvimento das antigas civilizações orientais e clássicas
(egípcia, mesopotâmia, hebraica, grega, romana) e termina com a queda do império
romano do ocidente em 476 d.C. Nesta parte da pesquisa, será apresentada uma
síntese da historicidade matemática no Egito, Grécia e Roma, influência para o
desenvolvimento desta ciência.
Segundo Fischer (1997), o Egito, eternamente lembrado por suas famosa
pirâmides e templos, era governado por reis chamado faraós. Estes eram adorados
como deuses, mas, antes de se tornar um faraó, o príncipe era treinado para o
esporte, para a guerra e a para arte de governar. Muitos deles tornaram-se
inesquecíveis, pois foram enterrados em pirâmides e outros, ainda, homenageados
em obeliscos.
As três pirâmides mais famosas localizam-se em Gizé, onde foram
erguidas entre 2550 e 2470 a.C. para guardar os corpos dos faraós Quéops.
Por volta de 2630 a.C., os faraós decretaram aos agricultores que
começassem a erigir pirâmides durante as cheias do rio Nilo, que ocorriam do mês
15
de junho a setembro. As enchentes ocasionavam, no solo que margeava o Nilo e
nos campos irrigados por canais, uma colheita abundante, visto que ao abaixar as
águas, a terra ficava cheia de uma espécie de humo (certo adubo natural), tornandoa fértil para o plantio. Na época da colheita, a atividade era intensa, e acontecendo o
corte do trigo que era feito com foices de pedra. Com o trigo, produziam pães e
cerveja. Também colhiam vegetais, frutas como romãs, tâmaras e uvas, que
transformavam em vinho. Os egípcios ricos ainda acrescentavam em sua
alimentação carne de caça, em especial a dos antílopes, e algumas aves aquáticas
encontradas entre os juncos do Nilo. Existia também a pesca, efetuada com redes
ou ganchos de metal, que alimentavam a população de maior poder.
Os escribas registravam os acontecimentos e calculavam as façanhas,
por meio da escrita chamada hieroglífica (parecia com as coisas que representavam)
e, mais tarde, com um outro sistema mais rápido, chamado escrito hierático (da
direita para a esquerda).
Assim, usavam-se os números falados e os números
digitados que eram relacionados aos dedos. Os símbolos escritos eram
representados por riscos verticais ou horizontais, ou seja, representando os dedos
levantados ou estendidos. Em conformidade com Eves (2008), remonta a palavra
digito que significa dedo.
Segundo Pasqualotti (2005), ao efetuar cálculos desenvolveram um
sistema de numeração composto por sete símbolos chaves. Sendo:
Um traço vertical representava o número um.
Um osso de calcanhar valia 10 unidades.
Um laço valia 100 unidades.
Uma flor de lótus valia 1.000 unidades.
Um dedo dobrado valia 10.000 unidades.
Um girino representava 100.000 unidades.
16
Uma figura ajoelhada, talvez a representação de um deus, valia
1.000.000 unidades.
Com estes símbolos básicos, todos os outros números eram combinados
por um sistema aditivo.
Estes símbolos não foram tão eficientes quando, em determinados
cálculos, os medidores de terra deparavam-se com números não inteiro. Tal
problema surgiu principalmente na época do faraó Sesóstris, por volta de 3 000 a.C.,
quando decretou a distribuição das terras que margeavam o Nilo para alguns
privilegiados agricultores.
Assim, dividiu-se as terras e separou-as com cercas. Mas, todo o ano,
devido ao fenômeno causado pelas águas, tornava-se necessário novamente medir
as terras. Os medidores de terra não conseguiam obter um valor exato, surgindo a
medida não inteira. Este tipo de problema deu origem aos números fracionários.
Mas, o sistema de numeração egípcia tinha muitas falhas, o que tornava
complicado as operações quando os símbolos se repetiam.
Percebe-se que, nesta fase da história novamente, o homem usa a
matemática para resolução de problemas cotidianos, inspirados por observações
presentes no seu contexto.
Mais tarde, por volta de 753 a.C., a cidade de Roma foi construída e
começou a desenvolver seu império no século III a.C., com a ocupação de outros
povos, em 476 d.C. Durante este período, Roma enfrentou muitas guerras ao se
defender e, também, quando saia em campanha para de conquistar novos
territórios. Em 27 a.C., teve seu primeiro imperador chamado Augusto.
De acordo com Fischer (1997), Roma era uma capital agitada, mas
organizada, com uma população de um milhão de cidadãos. Possuía estradas que
se interligavam. Os ricos viviam em casas, os pobres em cortiços. Uma importante
construção feita durante o império romano é o Coliseu, obra do imperador
Vespasiano (9-79 d.C.), com capacidade para 50 mil espectadores. A arena possuía
um assoalho de madeira coberto por areia que permitia a absorção do sangue da
vítima. Esta construção tornava possível assistir a lutas entre gladiadores e animais
selvagens, finalizadas com a morte de um dos lutadores.
17
Roma, considerada a civilização de maior importância da antiguidade,
contribuiu para o desenvolvimento da matemática, principalmente, quando criou um
sistema de numeração mais prático e eficiente do que os outros que já existiam.
Este sistema não foi formado por novos símbolos, mas por letras do seu próprio
alfabeto, com base em sete números-chave, sendo eles:
I, tinha o valor um,
V, o valor cinco,
X, o valor de 10 unidades,
L, tinha o valor de 50,
C, o valor de 100,
D, o valor de 500 unidades,
M, valia 1 000 unidades.
Com esses sete símbolos, os romanos formulavam todos os outros
números. Para tal, estabeleciam algumas regras. Quando queriam escrever, por
exemplo, três, somavam I+I+I=III. Se os símbolos eram diferentes e estavam junto e
o menor na frente do maior, como IX, subtraiam assim 10 – 1 = 9. Ainda, quando o
maior vinha antes do menor XXI, somava 10+10+1=21.
Para a representação de números maiores usavam um traço em cima do
símbolo. Este traço significava a multiplicação do número representado abaixo por
1000. Se, fossem dois traços, por exemplo, em cima do M, somaria o valor de um
milhão.
Registros históricos relatam que o sistema de numeração romano foi
adotado por muitos povos, mas ainda encontravam dificuldades em desenvolver e
efetuar cálculos. Com isso, se continuou a procura de símbolos mais simples e
apropriados para representar os números.
A Grécia antiga, de acordo com Fisher (1997), teve grande influência na
história, principalmente, no desenvolvimento da Geometria. A vida cotidiana dos
habitantes era repleta de banquetes, visto que era um povo hospitaleiro, e a comida
tinha significado religioso, pois era comum estarem ofertando-a, como sacrifício, aos
deuses. Além disso, foram realizadores dos primeiros jogos olímpicos, em Olímpia,
sul da Grécia em 776 a.C., com o objetivo de homenagear a Zeus. Um outro fato
marcante foi à batalha de Maratona, na qual Feidípides correu quarenta quilômetros
do campo de batalha até Atenas para levar a notícia que o exército ateniense
venceu a força Persa. Mas, devido ao seu esforço acabou morrendo. Este fato, até
18
hoje, influencia na corrida de maratona, pois a distância percorrida pelos corredores
é mais ou menos a mesma desenvolvida por Feidípides. Além disso, uma
construção histórica encontra-se na Acrópole em Atenas, Grécia, local em que foi
erigido o Parthenom, dedicado a Atena Parthenos (Atena, virgem guerreira), deusa
protetora da cidade.
Ainda, a Grécia é a terra do pai da filosofia, Sócrates (c.470 - 399 a.C.),
que surge porque os atenienses buscavam entender o mundo pela lógica.
Buscavam a compreensão do porque as coisas aconteciam e como aconteciam.
Sócrates tinha muitos alunos, entre eles o famoso Platão (c. 427 – 347
a.C.), que fundou a primeira academia (universidade), onde lecionou até os oitenta
anos, quando morreu. Um trabalho famoso de Platão foi a República, que mostrou
que a melhor maneira de governar era ter um rei que combinasse força e firmeza
com a sabedoria de um filósofo.
Platão também teve um aluno famoso, Aristóteles (c.384 – 322 a.C.),
nascido na Macedônia, norte da Grécia, cujo interesse principal foi a biologia. Mais
tarde, ele foi convidado para ser preceptor de Alexandre, o Grande. Por fim,
estabelece sua própria escola chamada Liceu.
Precedendo a estes famosos, conforme Fischer (1997) nasce Tales de
Mileto (c. 636 a.C. – 546 a.C.), filósofo, astrônomo e matemático grego, sendo
considerando o fundador da geometria grega, ou de uma geometria abstrata na
forma estritamente dedutiva, mais tarde desenvolvida por Euclides. Com isso,
desenvolveu cinco teoremas sendo eles:
Que a bissetriz de um círculo é seu diâmetro;
Que o triângulo isóscele tem seus dois ângulos da base iguais;
Os ângulos opostos de duas linhas retas que se cruzam são iguais;
Que o ângulo inscrito num semicírculo é reto;
Ainda que um triângulo possa ser determinado se tivermos dois de seus
ângulos e o lado incluso. Com esses teoremas, Tales conseguia calcular distâncias.
Poderia saber a distância de uma embarcação em alto mar em relação à terra firme,
ou até mesmo, a altura de uma pirâmide.
Além disso, a cosmologia de Tales, dizia que tudo no universo é água e desse
modo, que a terra flutuava nas águas. Esta concepção ficou conhecida mais tarde
pelas obras de Aristóteles.
19
Também preveu um eclipse solar em 585 a.C., mas hoje duvida-se da
veracidade dessa previsão, pois Tales talvez não tinha conhecimento necessário
para medir a sombra da lua e saber onde ela cairia. Mas, sabe-se que, realmente
aconteceu um eclipse em 18 de maio de 585 a.C., talvez seja por isso, que Tales foi
considerado um dos sete sábios da antigüidade.
Um
outro
matemático
e
filósofo
grego
que
contribuiu
para
o
desenvolvimento da geometria foi Euclides (c. 300 a.C.). De acordo com Fischer
(1997), ele foi o fundador de uma escola em Alexandria, no Egito, onde trabalhou e
desenvolveu sua principal obra “Os Elementos”, que é composta por treze tomos.
Esta obra trata dos princípios da aritmética, geometria e alguns teoremas. Os
Elementos incluíam não só os trabalhos de Euclides, mas também os de outros
matemáticos da Grécia antiga, sendo eles: Hipócrates de Quios, Teateto, Téudio e o
Eudóxio. Além disso, incluía fórmulas geométricas criadas por Pitágoras, como o
cálculo das dimensões de círculos e esferas, e os volumes dos sólidos regulares.
Também continha assuntos de óptica e perspectiva.
Conforme já citado, temos um outro matemático de grande influência na
Grécia antiga, que foi Pitágoras (580 a.C. – 500 a.C.). Ele contribuiu para o
desenvolvimento da matemática moderna e da filosofia ocidental, pois seu objetivo
era explicar com termos matemáticos todos os fenômenos naturais. Em seus
estudos, desenvolveu um teorema que leva seu nome, contribuiu com os conceitos
de seqüências aritméticas e geométricas e os quadrados dos números, que foram
estes fundamentais para a matemática moderna. Pitágoras, também desenvolveu a
matemática das harmonias, que foi a base da música ocidental moderna. Criou uma
comunidade religiosa, que representava seus pensamentos e estudos trazendo
grande influência para o filósofo Platão e outros.
Fischer (1997) diz que Tales de Mileto foi uma grande influência para a
geometria abstrata na forma estritamente dedutiva desenvolvida por Euclides.
Pitágoras, com seus teoremas, influenciou Euclides e, assim, também Platão que
eram discípulo de Sócrates. Do mesmo modo, Sócrates influencia Platão que
influenciou Aristóteles que por sua vez, a convite, influenciou Alexandre. Este,
orgulhava-se da herança cultural herdada do grego Aristóteles, e divulgava a arte e
a filosofia durante as conquistas feitas. Fundou muitas cidades entre elas
Alexandria, no Egito.
20
A matemática desenvolvida por Pitágoras influenciou as estratégias de
guerra, visto que Alexandre foi um general de grandes e vastas conquistas.
2.1.3 Idade Média
A Idade Média fica compreendida entre a Queda do Império Romano do
Ocidente, em 476, e a Tomada de Constantinopla pelos turcos otomanos
muçulmanos, em 1453. Em conformidade com Fischer (1997), durante este período,
principalmente o século VI, os hindus faziam cálculos matemáticos com apenas
nove símbolos, sendo eles 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Muitas vezes, encontravam
dificuldades em escrever alguns números, pois ainda não tinha um símbolo para
representar a ausência de tudo. Então, no ano de 809, o califa de Bagdá Al-mamum
filho de Haroun-ar-Rashid, procurando fazer de Bagdá o maior centro de ciências do
mundo, contratou vários sábios e um brilhante matemático árabe Al-khowarizmi para
estudar os livros vindos da Índia, os quais eram considerados prêmios de guerra por
Haroun-ar-Rashid. Ao analisar estes livros, Al-Khowarizmi descobriu entre os
símbolos um ovo de ganso, compreendeu o que representava e publicou ao mundo
em um livro intitulado “Sobre a arte hindu de calcular”.
O livro explicava como funcionavam os dez símbolos chamados de
sistema de numeração hindu denominado por 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ficando
conhecido como notação de Al-khowarizmi, do latim algorismus e, então, chega-se
ao nome algarismo.
Assim, o árabe Al-Khowarizmi construiu o sistema de
numeração decimal de algarismo hindo-arábico.
21
HINDU
SÉCULO IV
HINDU
SÉCULO IX
HINDU
SÉCULO XI
ÁRABES OCIDENTAIS
SÉCULO XI
ÁRABES ORIENTAIS
SÉCULO XVI
EUROPEUS
SÉCULOS XV E XVI
ATUAL
1234567890
Tabela 1: dados conforme NETO, Álvaro Garcia. Programa Educa@r mostra as modificações até
os nossos dias.
Com isso, tudo ficou mais fácil e claro para os estudos do conceito de
números, os quais surgiram por necessidades do homem contar as coisas da
natureza, por isso chamado de números naturais. Ainda, os inteiros e os fracionários
agora poderiam ser escritos como uma razão de dois números naturais chamandoos de números racionais, possibilitando o estudo da matemática no mundo.
2.1.4 Idade Moderna
Na
Idade
Moderna,
muitos
estudiosos
contribuíram
para
o
desenvolvimento da matemática. Um destes foi Leonardo da Vinci (1452-1519),
famoso artista, e “... freqüentemente considerado um matemático,...” (BOYER, 2002,
22
p.191). Isso porque em sua arte, encontram-se as aplicações da matemática. Vinci
costumava construir nas obras com base na razão áurea, sendo uma destas a
famosa Monalisa em (c. 1504).
Monalisa retrata uma beleza diferente, talvez porque foi desenhada com
determinadas razões geométricas, algo que causa a sensação de belo, e ao mesmo
tempo, não se define. Esta razão, contida em nos mesmos, definida por:
x
a
=
,
a x−a
sendo x uma linha segmento, divido em duas partes de tal modo que a razão entre o
segmento inteiro (x) e a parte maior ( a) é igual à razão entre a parte maior (a) e a
menor (x-a).
Figura 1: SODRÉ, Ulisses e TÓFFOLI, Sonia F.L. O Pi e a Sagrada Geometria. Podemos
observar as proporções do corpo humano.
23
As razões geométricas que Vinci usou são bases para a formação de
estruturas. No renascimento, o homem era considerado a medida de tudo.
Atualmente, buscam-se modelos matemáticos aplicados à biologia, citase, neste contexto, “Espiral de DNA” (KIYUKAWA, 1991, p.205) que é uma dupla
hélice de ácido desoxirribonucléico, situada no núcleo da célula, a unidade de que
toda coisa viva possui combinações geométricas.
De acordo com Dvoskin (2000), as combinações geométricas ou a
geometria teve seu princípio estabelecido por Euclides (c.330-275 a.C.) um
matemático grego. Mas, René Descartes (1596-1650), um francês, matemático e
filosofo, revolucionou este estudo da forma e tamanho das figuras no espaço.
Também em outro ramo da matemática, a álgebra que estuda as incógnitas
representadas por letras. Descartes representou equações algébricas como curvas
geométricas, possibilitando a criação da geometria analítica.
Ainda na Idade Moderna, conforme Dvoskin (2000), o matemático e
filósofo alemão Gottfried Leibniz (1646-1716) foi um dos responsáveis pelo
desenvolvimento do conceito fundamental de limites e as transformações, o cálculo.
Isaac Newton (1642-1727), físico matemático inglês, também se apresenta como
criador da teoria do cálculo. Além de ser um dos pioneiros no uso do cálculo,
Newton contribui com a descoberta da lei da força que age entre duas massas
fazendo com que se atraiam pela gravidade. As três leis do movimento baseiam-se
em que tudo e constituídos de átomos que se encontram em vibração constante.
Dividiu a luz (parte de espectro) branca nas cores de espectro, conseguiu projetar o
telescópio refletor.
O advogado Pierre de Fermat (1601-1665) que tinha a matemática como
passa tempo, foi o pioneiro em desenvolver a teoria dos números. Alem disso,
contribui com a geometria analítica, em alguns aspectos nos estudo do cálculo e
para uma maneira de calcular, com base em dados precisos, tendo a chance de que
um acontecimento sujeito ao acaso venha ocorrer, isto e a teoria da probabilidade.
Johannes Kepler (1571-1630), astrônomo e matemático alemão contribui
para o mundo, afirmando que os planetas giram em elipses em torno do sol,
considerando a principal força que governa as órbitas dos planetas. De acordo com
Dvoskin (2000), o estudo da elipse que é uma curva comum, assim como círculo,
parábola e hipérbole, foi desenvolvido, em parte, há muito tempo atrás pela
matemática grega Hipátia (370-415). Ainda, Kepler influenciou os estudos de
24
Newton com as leis dos movimentos planetários, defendeu a tese do sistema solar
heliocêntrico, também fez significativas contribuições para a óptica e a geometria.
Assim, outros pesquisadores seduzidos pela matemática continuaram a
contribuir para seu desenvolvimento. Como afirma Roger Bacon (apud BOYER
2002, p.168) “... não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo”, sem
o conhecimento matemático.
2.1.5 Idade Contemporânea
A Idade Contemporânea que compreende os nossos dias, também
destacou muitos outros pesquisadores. Um deles, conforme Dvoskin (2000), Pierre
Simom Laplace (1749-1827), matemático e astrônomo francês, comprovou com o
uso de técnicas matemáticas complexas que o movimento da lua e dos planetas
aparentemente irregulares são, na realidade, partes de um ciclo muito longo, mas
com regularidade. Outra prova foi à estabilidade do sistema solar, conforme previsto
por Isaac Newton.
A
matemática
Sophie
Germain
(1776-1831),
uma
francesa
que
demonstrou o último teorema de Fermat, conforme Dvoskin (2000) pesquisou a
teoria da matemática na elasticidade, ganhando um prêmio do instituto da França.
O astrônomo alemão Karl Frederich Gauss (1777-1855), matemático e
físico, destacou-se nos estudos do campo magnético da terra, no qual desenvolveu
novas maneiras de calcular as órbitas dos corpos celestes. No estudo específico da
matemática, teve influência na geometria, aludindo à existência de uma geometria
não-euclidiana, pois tanto Karl como outros, rejeitaram o quinto axioma de Euclides,
o qual diz que num ponto determinado só pode passar uma linha paralela a uma
linha determinada. Reinterpreta os quatro outros axiomas, com isso, conseguem
uma geometria consistente. Gauss desenvolveu a idéia dos números complexos,
criou o teorema fundamental da álgebra, interessou-se em calcular a menor
distância entre pontos de superfícies curvas, a geodésia.
O inglês Charles Babbage (1791-1871) contribuiu para o desenvolvimento
da matemática quando construiu a máquina analítica antecessora dos modernos
25
computadores eletrônicos. O estudo da eletrônica, um ramo da física, trata da
preparação
dos
circuitos
que
geram
correntes
elétricas
que
transportam
informações, controlando computares. Estes computadores conforme Dvoskin
(2000) têm com base os processos digitados, que é um cálculo proposicional
interpretado na álgebra booleana em termos de valores verdadeiros.
Esta interpretação foi feita por George Boole (1815-1864), um matemático
inglês. Contribuiu no ramo do cálculo e na teoria da probabilidade, o que o tornou
um dos pioneiros do logicismo. O estudo da lógica foi iniciado por Aristóteles (384
a.C. -322 a.C.), visto que queria explicações lógicas para as coisas do mundo. Hoje,
é denominado um estudo dos padrões gerais do raciocínio. Um exemplo clássico de
lógica foi expresso pelo escritor e matemático inglês Lewis Carroll (apud DVOSKIN
2000) quando uma de suas personagens em “Alice no País das Maravilhas” diz que
“Se foi assim, deve ser, e se fosse assim, poderia ser, mas, como não é, não foi”.
Um outro matemático a contribuir nos estudos contemporâneos da
matemática foi Gottlos Frege (1848-1925), quando criou o estudo da lógica
matemática.
Além de Boole e Frege, também David Hilbert (1862-1943), um
matemático, físico, alemão, trabalhou no campo da filosofia da matemática propondo
uma nova corrente, o formalismo, e fez pesquisas no campo da física e trabalhos
com geometria comparados a do matemático grego Euclides (c.300 a.C.).
Bertrand
Russel
(1872-1979),
filósofo,
matemático,
britânico,
fez
contribuições no início do século 20 para o estudo da lógica.
O americano John Von Neumann (1903-1957) realizou trabalhos, em
especial, na teoria dos conjuntos e na teoria das redes, que é um ramo da álgebra
abstrata. Esta teoria estipula que um conjunto é uma série ou coleção de itens
distintos. Sendo o conjunto representado por uma letra e seus elementos por
símbolos. Estas relações seguem regras estabelecidas por Boole visto que a álgebra
booleana é isomórfica, cada um corresponde por um, nos cálculos das proposições.
De acordo com Dvoskin (2000), estes conjuntos podem ser representados
ou mostrados por um diagrama de Venn, o qual de maneira topológica, ou seja, por
meio de círculos que se cruzam, pode-se observar a relação entre os conjuntos e a
relação entre as proposições. O diagrama de Venn tem este nome porque foi criado
por John Venn. Além disso, Neumann pesquisou a hidrodinâmica e participou do
desenvolvimento da mecânica quântica. Nos limites de sua vida, Neumann
26
trabalhava em um projeto com computadores, cujo funcionamento tinha por base os
princípios do cérebro humano.
Kurt Gödel (1906-2078), um filósofo e matemático austríaco, contribuiu
com seus teoremas dos incompletos. Mostrou que nos sistemas simbólicos com
base em axiomas, que é um sistema formal, existem proposições cuja comprovação
positiva ou negativa é impossível. Com está demonstração, desvelou que é
impossível estabelecer fundamentos puramente axiomáticos, nos estudos da
matemática.
Benoit Mandelbrot (1924-), matemático, francês de origem polonesa,
cujas pesquisas influenciaram sobre a simulação gráfica em computadores. Além do
mais, contribuiu no campo da geometria dos fractais e na teoria do caos. O estudo
dos fractais vem possibilitando medidas mais exatas de objetos, de determinadas
estruturas que formam órgãos, territórios, e outros com desigualdade em sua forma.
A palavra fractal vem do latim fractus que significa quebrado ou desigual. Entre o
estudo dos fractais podemos denominá-los como sendo linear, por exemplo, o floco
de neve de Koch, que são iguais quando ampliados e os fractais não-lineares, como
o conjunto de Mandelbrot, cujas características são a variedade infinita de formas
orgânicas. Ainda os fractais naturais, como exemplo, os bronquíolos dos pulmões
apresentam ramificações do tipo fractal.
Conforme diz Lobachevsky (apud BOYER, 2002, p.369), “Não há ramo da
matemática, por abstrato que seja que não possa um dia vir a ser aplicado aos
fenômenos do mundo real”. Com isso, percebe-se que até mesmo a formação do ser
humano pode ser medida e compreendida pela matemática, do qual o homem a
observou e formou seus conceitos por meio das coisas vistas no mundo em que
vive.
Assim, outros pesquisadores seduzidos pela matemática continuaram a
contribuir para seu desenvolvimento. Como afirma Roger Bacon (apud BOYER
2002, p.168) “... não pode conhecer as outras ciências ou as coisas do mundo”, sem
o conhecimento matemático.
27
2.2 Educação matemática: compromisso com a socialização do conhecimento
produzido historicamente
A educação matemática pode ser definida ou conceituada como um plano
da prática pedagógica.
Segundo PAIS (2001 p.10):
A educação matemática é uma grande área de pesquisa educacional, cujo
objeto de estudo é a compreensão, interpretação e descrição de fenômenos
referentes ao ensino e à aprendizagem da matemática, nos diversos níveis
da escolaridade, quer seja em sua dimensão teórica ou prática.
Assim, Educação Matemática pode explicar como um sujeito pode ser
alfabetizar matematicamente, pois envolve o ato de compreender e apropriar-se “...
das diferentes linguagens,...” (SANTA CATARINA, 1998, p.106). Quando o sujeito se
apropria das diferentes linguagens e possibilita o desenvolvimento de suas
capacidades cognitivas, percebendo o mundo ao seu redor, com uma melhor
aptidão para resolver os problemas do seu dia a dia. Ou seja, o sujeito será capaz
de “[...] produzir significados, estabelecer relações, justificar, analisar e criar”.
(SANTA CATARINA, 1998, P.107). Permite-lhe, pois uma leitura compreensiva e
transformadora do mundo em que vive.
De acordo com BRASIL (2001, p.29):
Faz parte da vida de todas as pessoas nas experiências mais simples como
contar, comparar e operar sobre quantidades. Nos cálculos relativos a
salários, pagamentos e consumo, na organização de atividades como
agricultura e pesca, a Matemática se apresenta como um conhecimento de
muita aplicabilidade. Também é um instrumento importante para diferentes
áreas do conhecimento, por se utilizada em estudos tanto ligados às
ciências da natureza como às ciências sociais e por estar presente na
composição musical, na coreografia, na arte e nos esportes.
Isto implica que o professor deve estar consciente do seu papel na
sociedade. A qual está em constante transformação. No entanto, o que se observa é
que “uma parcela significativa dos professores que atuam com Matemática não
28
conseguiu viabilizar, na escola, a transformação esperada da prática pedagógica
tradicional em Educação Matemática”. (SANTA CATARINA, 1998, p.105).
Em SANTA CATARINA, (1998, p.105), destaca-se que no ensino da
matemática, na maioria das vezes, são desconsiderados os aspectos, políticos,
econômicos e sociais, que envolvem o processo ensino-aprendizagem. Fatores
estes que devem ser relacionados com os conceitos de número, álgebra, geometria,
estatística e probabilidade. Conceitos estes que se fundem com a natureza humana,
quando observados no mundo em que vivemos. Sabendo disso, o papel do
professor é relacionar estes conceitos com as outras ciências que também procuram
explicar fenômenos naturais e o próprio ser humano no mundo em que vive.
Conforme BRASIL (2001, p.38) “O significado da atividade matemática para o aluno
também resulta das conexões que ele estabelece entre ela e as demais disciplinas,
entre ela e seu cotidiano e das conexões que ele percebe entre os diferentes temas
matemáticos”. Ainda BRASIL (2001, p.38) afirma que “O estabelecimento de
relações é tão importante quanto à exploração dos conteúdos matemáticos, pois,
abordados de forma isolada, os conteúdos podem acabar representando muito
pouco para a formação do aluno, particularmente para a formação da cidadania”.
Esta desconsideração acontece porque ainda se tem a matemática com
uma ciência pronta e acabada, em que o aluno é apenas treinado para executar
mecanicamente o que já está pronto, ou seja, um aluno passivo que aceita tudo. Isto
se tornaria diferente se o professor construísse e reconstruísse significativamente os
conceitos junto com o aluno. Dessa forma, o aluno deixaria de ser treinado e estaria
em constante formação, transformando-se em um ser crítico e ativo com capacidade
de associar símbolos e resolver os problemas do seu dia a dia, a fim de transformar
positivamente a sociedade em que vive.
Assim, torna-se necessário que o professor de matemática esteja convicto
a desenvolver, ao longo de sua trajetória docente uma coerência política e
ideológica, propondo-se a educar matematicamente. Desta maneira “... há que se
transformar o ensino de Matemática em Educação Matemática...” (PROPOSTA
CURRICULAR /91 apud SANTA CATRINA 1998, p. 106).
Está reflexão envolve uma análise do contexto no qual inclui o aluno, ou
até mesmo, uma reflexão sobre o próprio aluno. Com isso, este corpo
intelectualizado é construído a partir do momento que percebe o contexto e cria-se
um novo paradigma, ou um novo conhecimento da realidade vista e vivida.
29
Conforme BICUDO (2000, p.33) o “Corpo e existência se pressupõem, embaralhamlhe, formam uma trama”.
Conhecedor da realidade do aluno, o professor deve criar situações em
sala de aula que promovam um novo olhar em relação à matemática, estabelecendo
um processo de ensinar que cause a aprendizagem significativa dos que procuram
apreender, e não apenas aprender.
30
3 MODELOS MATEMÁTICOS RELACIONADOS COM O CORPO HUMANO
Observa-se na literatura o uso da matemática para explicar aspectos do
estudo da vida. Assim, quando explica-se o ácido desoxirribonucléico, de acordo
com o modelo de James Watson (biólogo americano) e Francis Crick (biólogo inglês)
observa-se que possuem certas formas geométricas.
[...] molécula é constituída por dois filamentos (cadeias de nucleotídeos)
enrolados, um ao redor do outro, na forma de uma hélice dupla. Os
nucleotídeos de um mesmo filamento ficam unidos através de uma ligação
que se estabelece entre a pentose de um nucleotídeo e o fosfato do
nucleotídeo vizinho. E os filamentos, também chamados de fitas, estão
ligados por meio de pontes de hidrogênio situadas entre uma base púrica e
uma base pirimídica. (PAULINO, 1999, p.60).
Portanto, esta pentose (monossacarídeo com cinco átomos de carbono),
também lembra as faces que constituem um dodecaedro, poliedro regular, que
contém doze faces de cinco lados, estudado na geometria. Está ligada a um fosfato
que tem forma de um círculo e, por outro lado, liga-se a uma base que possui seis
arestas e seis vértices que possibilita um formato de uma hexagonal. (FROTAPESSOA, 2001, p.37).
O nucleotídeo “é constituído de uma molécula de ácido fosfórico ligada a
uma pentose” (PAULINO, 1999, p.59). Esta “pentose se acha ligada a uma base
nitrogenada” (PAULINO, 1999, p.59).
A base nitrogenada é classificada em ser
púricas e pirimídicas. As bases púricas sempre serão representadas pela Adenina e
a Guanina e as bases pirimídicas sempre representadas pela Citosina, Timina e
Uracila.
Com isso, conforme (PAULINO, 1999, p.60) “No DNA, a base púrica
adenina (A) liga-se sempre à base pirimídica timina (T); e a base púrica guanina (G)
liga-se sempre à base pirimídica citosina (C)”. A adenina tem o número de
nucleotídeos iguais à timina e a citosina sempre terá o número nucleotídeos iguais à
guanina. Portanto, se estabelece uma relação, cujo modelo funcional Paulino, (1999,
p. 60), demonstra:
31
A
= 1;
T
C
=1
G
ou
A C
= =1
T G
ou
A+C
=1
T +G
O referido autor explica:
no DNA de uma célula existam 30% de guanina. Como cada guanina liga-se
somente a uma citosina, a existência de 30% de guanina implica a
existência de 30% de citosina. Portanto, restam 40% para as outras bases
(adenina e timina). Como o número de A e T é sempre igual, conclui-se que
esse DNA contém 20% de adenina e 20% de timina. (PAULINO, 1999,
p.60).
Portanto, temos: G=30%, logo C=30% então G+C=60%, assim os 40%
restantes dividem-se entre A e T, pois A=T.
O DNA é formado por estruturas com aspectos geométricos, sendo
constituído por nucleotídeos que possuem bases pirimídicas e púricas. As
pirimídicas sempre pareiam com as púricas, ou seja, C pareia com G e A com T.
O cromossomo é constituído pela molécula de DNA e contém algumas
centenas ou até mesmo milhares de genes que carregam consigo todas as
características de um ser humano. É parte integrante do núcleo da célula, a unidade
da vida.
Conforme Paulino (1999, p.155):
Quimicamente, os cromossomos são filamentos de cromatina formados por
moléculas de DNA e proteínas. Ao longo de todo o cromossomo existem os
genes – cada gene é responsável por determinada característica do
indivíduo”. ... “um gene corresponde à seqüência de bases do DNA
cromossômico, capaz de determinar a síntese de uma proteína; o local
ocupado pelo gene no cromossomo chama-se lócus gênico. Uma
cromossomo pode abrigar inúmeros genes.
32
Na espécie humana, abrigam-se 46 cromossomos (células somáticas) ou
23 pares de homólogos. Desses, 23 são originários do pai e 23 da mãe. No caso do
sexo, o indivíduo resulta da interação de determinados genes situados em um único
par de homólogos, chamados de cromossomos sexuais ou ainda de heterossomos
ou alossomos. Os autossomos, que não têm implicação com o sexo, são os outros
22 pares. Assim, o homem tem 44 autossomos mais dois sexuais (xy), enquanto
isso, a mulher possui 44 autossomos mais dois sexuais (xx).
Por meio da fusão destas duas células haplóides, origina-se uma única
célula chamada zigoto. Esta carrega consigo um conjunto de cromossomos, que se
transformara em um novo organismo diplóide por sucessivas divisões celulares,
assegurando a continuidade entre uma geração e outra, através do mecanismo de
mitose e meiose.
De acordo com Robertis e Robertis, Jr (1993, p.5):
Mitose: processo que ocorre no núcleo durante a divisão celular, pelo qual o
material genético é publicado igualmente e duas novas séries de
cromossomos idênticos aos originais são gerados. ... Meiose: processo que
ocorre durante a formação dos gametas e que compreende uma divisão
reducional pela qual cada célula filha recebe um cromossoma de cada par
de cromossomas homólogos, o que reduz pela metade o número de
cromossomas de cada célula.
O desenvolvimento e a hereditariedade acontecem pelo processo de
mitose e meiose, ou seja, uma única célula que se divide sucessivamente, formando
grupos específicos de células que acabam constituindo um organismo.
Nestes
grupos específicos, no caso do tecido epitelial, pode-se citar que algumas células
têm formato de um prisma outras de um cubo (PAULINO, 1999, p. 227). No tecido
conjuntivo, pode-se dizer que algumas células têm formato estrelado e núcleo
ovóide; outras têm núcleo esférico. Muitas apresentam forma oval e também esférica
(PAULINO, 1999, p.234); e também existem aquelas de forma de disco bicôncavo,
ou seja, achatada (PAULINO, 1999, p.238). Salienta-se que há outros formatos que
não estão sendo citados, porém com os exemplos elucidados é possível perceber
certa geometria em suas formas.
É por meio do gene contido no núcleo das células que se transmite a
hereditariedade, demonstrada por algumas técnicas matemáticas que envolvem
noções de probabilidade e suas regras da multiplicação e adição. Desta maneira,
33
possibilitou-se, pelo pioneiro estudo da hereditariedade do biólogo e botânico Gregor
Mendel, o entendimento do porquê os pais com tipo de sangue A, tem um filho tipo
O. Ao usar fórmula probabilística, é possível prever a altura, a cor da pele, a cor dos
olhos e outras características transmitidas pelo genoma.
Um exemplo é apresentado por Linhares e Gewandsznajder (1999, p.40)
ao citar que um casal que têm quatro filhos e pergunta: Qual é a probabilidade de ter
três homens e uma mulher? “A chance para o evento homem é de ½ e para o
evento mulher, também ½”. ...
[...] primeiramente, de quantos maneiras pode ocorrer o evento três homens
e uma mulher:
C43 =
4!
4.3.2.1
=
=4
3!(4 − 3)! 3.2.1.1
A seguir multiplicamos esse valor pela probabilidade para três homens e
uma mulher, assim:
4.
1
2
3
1 4 1
. =
=
2 16 4
Percebe-se, neste exemplo, o uso da matemática, que possibilita calcular
quantas formas possíveis um evento pode ocorrer. Assim: C np =
n!
, onde n é
p!(n − p )!
o números de objetos e p é as alternativas.
Portanto, há um elo entre a matemática e o estudo da vida humana, e,
com isso, possibilita e permite realizar modelos com o ser humano para ensinar e
educar matematicamente.
34
3.1 Outras relações Matemáticas presentes no corpo humano
O homem vem escrevendo sua história por meio das observações do
mundo o qual vive. Este escrever, muitas vezes, é demonstrado por símbolos
observados no seu próprio cotidiano. Com isso, o homem pôde relatar suas
façanhas quando pintava paredes de cavernas e ao dispor marcas em certos
objetos. Em determinado momento do seu desenvolvimento, as marcas, tinham
como base seu próprio corpo, relacionava o objeto a um dos prolongamentos
articulados que termina as suas mãos e os seus pés.
Com isso, o entendimento da matemática a partir do ser humano tem sido
pesquisado por alguns autores. Este olhar possibilita estabelecer uma relação entre
a matemática e o estudo da vida humana.
Para mostrar a concepção e o desenvolvimento da vida humana sob o
ponto de vista da matemática, primeiro se faz necessário conhecermos um pouco
sobre alguns órgãos do corpo humano, sabendo suas medidas e funções.
Conforme Maia (2004), os ovários com cerca de quatro cm no seu maior
eixo, têm a função de produzir os gametas femininos e hormônios. A menina, ao
nascer, apresenta nos dois ovários entorno de quatrocentos mil a seiscentos mil
folículos (óvulo junto com as células que o envolvem). Outro órgão é o útero,
medindo cerca de sete centímetros seu eixo maior, na sua parte superior de ambas
aos lados abre-se às trompas. Quando uma mulher está grávida seu útero sofre
acentuada hipertrofia, suas fribas musculares atingem o comprimento de seiscentos
micra e quando não está grávida suas fibras medem em torno de cinqüenta micra.
Os ovários, o útero e as tropas serão destacados na análise matemática
com relação à concepção da vida humana e, no organismo masculino, os
espermatozóides e outros.
Os espermatozóides são os gametas masculinos, sendo células haplóides
(n) formadas por um processo de divisão celular conhecido como meiose. A meiose
apresenta duas divisões: meiose I (reducional), em que células diplóides com
(quarenta e seis cromossomos – 2n) formam células haplóides com vinte e três
cromossomos (n); a meiose II é equacional resultando quatro células haplóides no
final do processo. Estas células, produzidas nos testículos, que são as gônadas ou
glândulas sexuais masculinas. Conforme Maia (2004), no interior de cada testículo
35
existem dezenas de pequenos compartimentos chamados lóbulos testiculares. Cada
um deles abriga de um a quatro túbilos seminíferos com setenta centímetros de
extensão, em que os espermatozóides (gametas n) são produzidos. Normalmente, o
espermatozóide tem cinqüenta e dois a sessenta e dois micras de comprimento.
Numa ejaculação são eliminados trezentos milhões a quinhentos milhões
espermatozóides e em cada ml de sêmem encontra-se sessenta milhões a noventa
milhões gametas. É sabido que na primeira ejaculação existe a possibilidade de
expelir 5ml a 5,555555556 ml de sêmem. O arredondamento pode ser para 5,6 ou
trucar para 5,5ml.
Maia (2004) diz que a população de espermatozóides eliminados em uma
ejaculação apresenta heterogeneidade, pois alguns são fortes, outros fracos que são
eliminados no canal vaginal e deslocam-se até o terço superior da tuba uterina, onde
ocorrerá a fecundação. Devido à heterogeneidade, mencionada anteriormente, a
velocidade de deslocamento dos espermatozóides no muco cervical varia de 27 a 48
micras/seg. Logo, poucos espermatozóides conseguem completar a jornada a que
se propõem, e apenas um fecundará o óvulo.
A fecundação ocorre quando um único espermatozóide penetra no óvulo
formando a célula ovo que tem o tamanho da cabeça de um alfinete. Duas células
haplóides (n) fundem-se originando uma célula diplóide (2n).
Após trinta horas, o ovo se divide em duas células, pelo processo de
divisão celular conhecido como mitose, isto é, uma divisão equacional.
Em quatro dias, o embrião está com sessenta e quatro células, e por
volta do quinto ou sexto dia, o embrião começa a se implantar no útero. Com estas
divisões, começa a formar grupos de células. Cada célula ocupa uma posição
própria no embrião, tornando-se especializada, que passa a exercer determinadas
funções. Este conjunto de células se organizará e se especializa, constituindo os
diversos tipos de tecidos que, por sua vez, formará os órgãos.
Nesse processo, uma única célula tornar-se duas e depois quatro, longo
em seguida oito, e depois dezesseis, o que nos mostra uma seqüência de números
em progressão geométrica, muito comum na natureza, conforme Dvoskin (2000).
Podemos chamar o zigoto de a1 , a constante, neste caso, é a divisão que
geralmente acontece então o q = 2, razão da P.G.. Como temos a1 = 1 e a razão
q=2, é possível escrever:
36
a2 = a1.q
a2 = 1 . 2
a2 = 2
a3 = a2 .q
a3 = 2.2
a3 = 4
a4 = a3.q
a4 = 4.2
a4 = 8
a5 = a4 .q
a5 = 8.2
a5 = 16
E, assim, sucessivamente. Vale lembrar que o ser humano adulto é
formado por alguns bilhões de células. Por isso, não é possível precisar o último
termo desta seqüência. Mas, por exemplo, se o último termo fosse a 31 , teríamos:
an = a1.q n−1
a31 = 1.231−1
a31 = 1073741824
Se ainda usássemos o termo a 32 , obteríamos:
an = a1.q n−1
a32 = 1.q 32−1
a32 = 2147483648
Ainda, com o termo a 33 :
an = a1.q n−1
a33 = 1.233−1
a33 = 4294967296
Portanto, para os seres humanos adultos que têm bilhões de células, o
cálculo do termo a 34 , daria como resultado:
an = a1.q n−1
a34 = 1.234−1
a34 = 8589934592
37
Retornando ao desenvolvimento embrionário, recorre-se a Fischer (1997),
ao dizer que com seis semanas o embrião tem 2,5 cm. Na 8ª semana, começa a ser
chamado de feto. Porém, é somente na 12ª semana que apresenta aspectos
humanos e sexo evidente. Também os nervos e músculos estão desenvolvidos o
bastante para fazê-los mover-se, pode nadar e urinar no fluido amniótico. As orelhas
começam a ser visíveis e os olhos estão evidentes, mas com pálpebras ainda
cerradas. Na 22ª semana, o feto tem cerca de 20 cm de comprimento e aparecem as
sobrancelhas. Na 40ª semana ou aos nove meses, o feto está pronto para nascer.
Os olhos estão abertos e funcionando, visto que através do tecido esticado do
estômago materno, pode ver a luz externa, também já possui unhas.
Ao nascer, o bebê é um organismo formado por sistemas constituídos de
órgãos, que, por sua vez, são formados de tecidos e estes por células. Em
conformidade com Maia (2004), existe cerca de 200 tipos diferentes de grupos de
células que trabalham entre si, que garantem a sobrevivência e perpetuação da
espécie: células haplóides ou diplóides que fazem meiose e mitose. Portanto, nesse
estágio o ser humano tem um organismo formado por bilhões de células.
Poderíamos resumir o que foi exposto em uma tabela, em que uma grandeza é o
tempo, medido em horas e a outra grandeza são os principais acontecimentos do
desenvolvimento embrionário.
38
TEMPO (em horas)
CARACTERÍSTICAS DO
DESENVOLVIMENTO EMBRIONÁRIO
Zero
Fecundação (zigoto), uma célula.
30
1ª divisão, duas células.
40
2ª divisão, quatro células.
72
3ª divisão, oito células.
80
Mórula inicial
96
7ª divisão, 64 células.
120
Blastócito
156
Início da implantação
336
Endométrio cresce em volta do embrião
720
O embrião tem três cm e pesa oito mil
vezes, de quando era um zigoto.
1340
O embrião passa a ter aspecto
tipicamente humano e pesa 15 gramas
3192
O embrião torna-se um feto
3360
Com movimentos mais fortes, a mãe
começa percebê-lo.
6480
Geralmente acontece o parto
Tabela 2: elaborada pela autora com base nos seguintes autores: PAULINO, Wilson Roberto;
PESSOA-FROTA, Oswaldo; LINHARES, Sérgio e GEWANDSZNAJDER, Fernando; ROBERTIS,
E.D.P. De e ROBERTIS, Jr; DVOSKIN, Marcos; FISCHER, Ricardo A. e MAIA, George Doyle.
39
Muitos modelos matemáticos podem ser apresentados através do elo
existente entre a matemática e desenvolvimento de um indivíduo. Por exemplo, para
verificar o crescimento de um zigoto humano, podemos representar por meio de
gráficos, que representam as relações entre duas grandezas. Então, a relação se
estabelece entre tempo (em horas) e o desenvolvimento do zigoto.
3.2 Outras quantificações e medidas matemáticas da biologia do corpo
humano
De acordo com Fischer (1997), os órgãos localizados na cabeça e no
pescoço são: o crânio, olhos, nariz, laringe, traquéia, dentes, cérebro, língua,
garganta, esôfago e coluna vertebral.
Durante a vida, um ser humano têm duas dentições, a primeira com 20
dentes e a segunda dentição que tem 32 dentes, que substitui a dentição primária e
fica permanente, exceto os sisos que aparecem no início da idade adulta.
Fischer (1997) diz que a laringe é um órgão com o comprimento de 5cm e
tem forma de tubo que liga a garganta à traquéia. É composta por nove porções de
um material duro e flexível chamado cartilagem e ligamentos não-flexíveis.
A traquéia mede 12 cm de comprimento, tem 2,5 cm de largura e liga a
garganta aos pulmões. A sua frente e as laterais são envolvidas por 16 a 20 anéis
de cartilagem.
O esôfago é um órgão em forma de tubo de cerca de 25 cm, achatado
quando esta vazio, mas ao receber um bolo de alimentos mastigado alarga-se.
A coluna é um conjunto de 33 ossos dispostos em uma seqüência linear
chamados de vértebras, que se estendem da base do crânio à pélvis no tórax. Ela
abriga um cilindro de tecido nervoso denominado medula espinhal, que passa pelos
orifícios centrais das vértebras.
No tórax e no abdômen encontram-se órgãos como: coração, costelas,
estômago, bexiga, intestinos, pâncreas, rins e outros.
O coração é uma bolsa muscular do tamanho de uma mão fechada que
bombeia sangue para o corpo, por isso suas paredes se contraem e relaxam cerca
de 70 vezes por minuto.
40
As costelas são em número de 12 pares de ossos. De acordo com
Fischer (1997), as do 8ª, do 9ª e do 10ª pares não se unem diretamente ao esterno
sendo por isso conhecida como falsas costelas. Os dois últimos pares são
chamados de flutuante, pois se ligam aos músculos da parede abdominal.
Os 12 pares de costelas que formam a caixa torácica e apóiam o tórax
são fixados em 12 vértebras da metade superior da coluna.
O estômago é uma bolsa flexível envolvida por tecido muscular, situa-se
ao lado esquerdo do abdome, sob o diafragma. Quando este órgão está cheio pode
medir até 1,5 litros, após viajar por um longo tubo muscular chamado esôfago,
podendo armazenar alimento por 2 a 4 horas.
A bexiga é uma bolsa muscular situada no abdome inferior, que ao encher
pode dilatar-se o bastante para conter cerca de ½ litro de urina.
Os intestinos podem ser divididos em intestino grosso e intestino delgado.
O intestino grosso é um tubo largo de cerca de 1,5 m de extensão, situado no
abdome. O intestino delgado é um tubo longo e fino de cerca de 5m de comprimento
no qual ocorre a maior parte do processo de digestão e absorção dos alimentos.
O pâncreas é uma glândula de cerca de 15 cm de comprimento,
localizada sob o estômago e ligada ao intestino delgado por um duto, o canal
pancreático.
Fischer (1997) diz que os rins são dois órgãos em forma de feijão, com
cerca de 12 cm de comprimento e 5 cm de largura, situados na parte posterior do
abdome, cada qual abaixo de um dos pulmões. Cada dia, os rins filtram cerca de
180 litros de fluido de sangue, produzindo 1,5 litros de urina.
3.3 Matemática no corpo – Um olhar que se pretende novo
De acordo com Santos (2000), podemos definir que matematicamente,
um conjunto pode ser uma lista, uma coleção, uma classe, uma ou nenhuma
unidade que podem ser constituídos de pessoas, objetos e outros. O conjunto é
considerado um conceito primitivo e não se aceita uma definição em si e para seus
elementos. A partir dessa idéia, podemos chamar o organismo humano adulto
normal de um conjunto de células.
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Traduz-se, a seguir, a idéia desenvolvida por Teixeira (2005) que articula
o estudo das células humanas com a linguagem matemática da teoria dos conjuntos.
Chamou-se organismo de um conjunto com uns 100 trilhões de elementos, as
células.
O conjunto de células do organismo = {um, dois, três, quatro, cinco,..., 100
000 000 000 000}, ou uns 100 trilhões de células = {organismo}. Destaca-se, neste
caso, uma relação de igualdade, ou seja, todo elemento do organismo pertence a
uns 100 trilhões de células e vice versa.
Assim, temos organismo = uns 100 trilhões de células = {sistemas,
órgãos, tecidos, células}. Pode-se dizer que o elemento célula faz parte do conjunto
organismo, então pertence ao conjunto organismo.
Está se estabelecendo que organismo = uns 100 trilhões de células =
sistemas, órgãos, tecidos, células = {sistema circulatório, sistema digestivo, sistema
endócrino, sistema linfático, sistema muscular, sistema nervoso, sistema ósseo,
sistema reprodutor, sistema urinário}. No caso da relação de pertinência o ∉ (não
pertence) não é usado, pois todos os elementos células fazem parte do conjunto
organismo.
Na relação de inclusão, temos que célula é subconjunto do organismo
quando todo elemento célula é também elemento do organismo. Representa-se por
célula ⊂ organismo, ou seja, célula está contida no organismo. Ou ainda organismo
⊃ célula, ou seja, organismo contém célula.
A relação não está contido e não contém falham, pois todos os elementos
células estão contidos no conjunto organismo.
A operação e União que resulta o conjunto organismo é uns 100 trilhões
de células = sistemas, órgãos, tecidos, células = sistema circulatório, sistema
digestivo, sistema endócrino, sistema linfático, sistema muscular, sistema nervoso,
sistema ósseo, sistema reprodutor, sistema urinário = {crânio, olhos, nariz, dentes,
laringe, traquéia, cérebro, ouvido, língua, garganta, músculos, esôfago, coluna
vertebral, pulmões, coração, costelas, fígado, diafragma, intestino grosso,...,
intestino delgado, bexiga, estômago, pâncreas, rins, baço, vasos sangüíneos, ovário,
trompa de falópio, útero, testículos}. Podemos chamar organismo U célula, pois na
união o conjunto deve ser formado por todos os elementos do organismo ou da
célula, sabendo que estamos relacionando que organismo = uns 100 trilhões de
células.
42
Nas operações de diferença e o complementar, falha, pois todos os
elementos células pertencem ao organismo.
No diagrama de Venn, podemos ver do seguinte modo:
Células
Diferentes
tecidos
Diferentes
órgãos
Diferentes
sistemas
Organismo
Diagrama 1: Conforme autora este diagrama foi criado a partir da compreensão dos seguintes
autores: PAULINO, Wilson Roberto; PESSOA-FROTA, Oswaldo; LINHARES, Sérgio e
GEWANDSZNAJDER, Fernando; ROBERTIS, E.D.P. De e ROBERTIS, Jr; DVOSKIN, Marcos;
FISCHER, Ricardo A.; MAIA, George Doyle; SANTOS, Carlos Alberto Marcondes e KIYUKAWA,
Rokusauro.
Desse modo células ⊂ tecidos, células ⊂ órgãos, células ⊂ sistemas,
células ⊂ organismo. Ou ainda: organismo ⊃ sistemas, organismo ⊃ órgãos,
organismo ⊃ tecidos, organismo ⊃ células. Portanto, o organismo é um conjunto
cujos elementos são as células.
Para conhecermos e entendermos o ser humano com tal concepção, que
passa desde seu desenvolvimento até a sua morte, são necessários modelos
43
matemáticos que caracterizem relação entre ensino e aprendizagem, objeto da
educação matemática. Vale salientar a presença da matemática é constante e viva
para todos os que procuram entender a origem de sua própria vida. Logo, é possível
utilizar o estudo do ser humano como situações didáticas vivas que auxiliam na
compreensão da matemática.
Batschelet (1978, p.313-5) apresenta uma suposição como modelo
matemático, envolvendo equação diferencial, para o crescimento de uma célula, de
acordo com a sua massa inicial:
Suponhamos que a massa de uma célula seja
m0 . A célula cresce em um
ambiente ideal. Então, sua massa é uma função do tempo, e podemos
escrever m = m(t ) com m = m0 em t = 0 . Admitamos que substâncias
químicas passem rapidamente através da parede celular, e que o
crescimento seja determinado somente pela velocidade do metabolismo
dentro da célula. Já que o rendimento do metabolismo depende da massa
das moléculas particulares, é razoável admitirmos que a taxa de
crescimento é proporcional à massa a cada instante, isto é, dm / dt ∞ m ou
dm
= am
dt
com uma certa constante positiva a.
Também Aguiar, Xavier e Rodrigues (1988, p.35) trazem uma situação
que questiona:
Células nervosas estão conectadas em redes, desempenhando suas
funções através do envio de impulso para outras células. Seja N o conjunto
de todas as células nervosas de um certo indivíduo. Diz-se que uma célula
nervosa n1 está conectada a uma outra n 2 quando n1 recebe impulsos de
n2 . O conceito de conecção define uma relação no produto cartesiano
NxN? É uma função?
Os mesmos autores (1988, p.267-8) propõem:
Com o auxílio de computadores, D.Y. Downham e R.K.B. Morgan (Nature,
242:528-30,1973) mostraram que o tempo esperado T(n) para que uma
célula anormal se divida em duas, quatro etc., até atingir n células, é dado
por
(
)
T (n ) = 0,235 n + 0,577 ln n + 0,5 − 0,505 hora.
44
Em seu estudo, esses autores fizeram n variar entre 25 e 10.000, e os
resultados aproximados dos valores teoricamente previstos com boa
precisão. Mostre que se n é suficiente grande,
T (n ) ≅ 0,235 n.
Basta mostrar que
lim
(
ln n + 0,5
n→∞
n
uma vez que, sabidamente,
)=0
lim 0,505 /
n = 0.
n→∞
Assim como as células normais se reproduzem e podem traduzir-se em
linguagem matemática, Aguiar, Xavier e Rodrigues (1988, p.294) indicam um modelo
diferencial para as células malignas:
“Propõe Martin Eisen em Mathematical models in cell biology and câncer
chemotherapy, Lecture Notes in Biomathematics, Berlim, Springer-Verlag,
vol.30, que o crescimento de uma massa celular y poderia ser representada
por
(
)
dy
= a − by k y
dt
onde a, b e k são constantes positivas“
Observa-se, então, as múltiplas possibilidades de criar modelos explicativos
relacionados com as células humanas. Isso significa que outras opções, além das
células, podem ser focos para o mesmo objetivo. Dessa forma, o desenvolvimento
do corpo humano passa a ser considerado um potencial pedagógico para o
processo de ensinar e aprender matemática.
45
4 METODOLOGIA
A metodologia refere-se ao tipo de pesquisa atribuída ao trabalho
científico, sendo assim existem muitos métodos para a construção da pesquisa em
forma de trabalho.
Com isso, a pesquisa deve responder em “um só tempo, às questões
como?, com quê?, onde?, quanto?” (MARCONI e LAKATOS, 2001. p.105).
Assim, os métodos utilizados nesta pesquisa foram baseados nos
conceitos definidos por LAKATOS e MARCONI apud RAUEN (2002, p.37), os quais
afirmam que “a finalidade da atividade científica é a obtenção da verdade, através da
comprovação de hipótese, que, por sua vez, são pontes entre a observação da
realidade e a teoria científica que explica a realidade”.
Desse modo, RAUEN (2002, p.44) nos diz que “Popper não descreveu
um método que buscasse certezas, porque a verdade é inatingível, mas justamente
a eliminação de erros, algo passível de ser realizado. Para ele, toda pesquisa tem
origem num problema, para o qual procura-se uma solução, por meio de tentativas...
e eliminação de erros”.
Ainda LAKATOS e MARCONI apud RAUEN (2002, p.45) afirmam “que,
além dos métodos de abordagem, poderiam ser elencados métodos de
procedimento, ou melhor, “etapas mais concretas da investigação, com finalidade
mais restrita, em termos de explicação geral dos fenômenos,...””
Com isso, há vários tipos de pesquisas, as quais podem ser conceituadas
como se fossem um desenho metodológico, conforme RAUEN (2002, p.54) afirma
que “Desenho é o modelo conceitual e operativo que organiza uma pesquisa”. Ainda
diz que “Há inúmeros desenhos de pesquisa. Esses desenhos implicam várias
formas de classificação metodológica de pesquisas”.
Assim, este trabalho acadêmico científico foi construído pelo conceito
metodológico de uma pesquisa bibliográfica. Pois, conforme RAUEN (2002, p.55)
afirma que “A pesquisa bibliográfica opera, a partir do material já elaborado, que
constitui o acervo bibliográfico da humanidade”.
Seguiu-se o seguinte roteiro metodológico: primeiro a escolha do assunto,
depois “... elaboração do plano de trabalho, identificação, localização, compilação,
fichamento, análise e interpretação,...” (MEDEIROS, 2004, p.51) e a redação.
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5 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Tem-se lido e escutado que o ensino da Matemática, muitas vezes, é
apresentado de forma mecânica e descontextualizado. Tal percepção foi
estimuladora do presente estudo que versou a produção de um texto, cujas raízes
foram à literatura e as experiências pessoais.
Tendo isso em vista, buscou as origens ou os primeiros registros do
contato do homem com a matemática, em que os primeiros cálculos matemáticos
eram realizados utilizando seu próprio corpo. Na maioria das vezes, relacionava um
objeto a um dedo de suas mãos, sem saber, fazia a correspondência de 1=1.
Também, quando separava em grupos de cinco suas anotações, tinha como base a
sua própria mão, pois ela continha cinco dedos. Sem perceber, agrupava suas
contas em conjuntos que continham cinco elementos. Portanto, é possível dizer que
o homem usava seu próprio corpo como um modelo matemático para entender,
compreender e relacionar as coisas observadas em seu contexto.
Com “A Relação entre Matemática e o Corpo Humano” – titulo do
presente trabalho - pode-se contextualizar os conteúdos escolares, valendo-se de
modelo matemático do próprio corpo do educando.
No decorrer da pesquisa, cogita-se a idéia que a espiral de DNA possui
combinações geométricas. Uma espiral de DNA é formada de nucleotídeos e pode
constituir um gene que no seu conjunto codifica todas as nossas características,
inclusive, talvez, um padrão de beleza.
O DNA está contido no núcleo da unidade da vida, a célula, que em
progressão geométrica, possibilita o desenvolvimento e crescimento de um ser
humano, ou seja, sua formação.
Percebeu-se, pois, que realmente o ser humano pode ser um modelo
para demonstrar os conceitos matemáticos. Inferiu-se que somos um conjunto
formado por 100 trilhões de células, que estão em constante trabalho de dividir-se e
mulplicar-se e formam subconjuntos de células especificas. Pode-se dizer que o ser
humano ocupa lugar no espaço, pois possui dimensões geométricas. Tem uma
espacialidade que pode ter medidas trigonométricas e geométricas e, algumas delas
é mostrada pela geometria dos fractais.
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Essas conjecturas abrem espaços para novos estudos. Na presente
pesquisa, mostra-se as primeiras possibilidades de aproximações entre o processo
ensino-aprendizagem da matemática e o conhecimento do corpo humano.
Evidencia-se nessa inter-relação conceitos como: contagem, medidas, formas
geométricas,
progressões
geométricas,
teoria
dos
conjuntos
e
equações
diferenciais.
Entretanto, importa dizer que tal evidência traduz-se em tímidas amostras
das possibilidades didáticas que o conhecimento do corpo humano oferece para
integrar-se com os conceitos matemáticos. Um olhar mais criterioso e sistemático
com respaldo teórico, na certa, contribuiria para a dinamização e visão
interdisciplinar que comungue biologia com a matemática.
Considera-se de suma importância a consciência de que este é apenas
um olhar sobre o ser humano, e a matemática que considera como um modelo vivo
para o ensino dentre outros existentes e muitos que poderão advir.
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1997. CD-ROM
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