AS DIFICULDADES DOS ALUNOS, DO 6º ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL, PARA A REALIZAÇÃO DAS OPERAÇÕES
FUNDAMENTAIS: ADIÇÃO, SUBTRAÇÃO, MULTIPLICAÇÃO E
DIVISÃO COM NÚMEROS NATURAIS
BRANDT, Célia Finck – UEPG
[email protected]
BASSOI, Tânia Stella – UNIOESTE
[email protected]
DIONIZIO, Fátima Queiroz – UEPG
[email protected]
Eixo Temático: Educação Matemática
Agência Financiadora: não contou com financiamento
Resumo
A presente pesquisa buscou responder às seguintes questões: Quais as dificuldades dos
alunos, do 6º ano do ensino fundamental, para a realização das operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão com números naturais? Os erros são decorrentes da
compreensão da estrutura do sistema de numeração decimal (SND)? Os erros são decorrentes
da compreensão da estrutura do algoritmo? Os erros cometidos são decorrentes da
compreensão da organização dos registros de representação (palavra e notação arábica)? Teve
por objetivos: compreender as dificuldades das crianças no domínio da estrutura do SND;
explicitar a compreensão do SND pelas crianças no momento da utilização dos algoritmos
operatórios; desvelar as hipóteses que as crianças manifestam para justificar estratégias e
procedimentos utilizados para realizar operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
com números naturais; apontar o campo conceitual (conjunto de situações e conjunto de
conceitos) necessário para a realização dessas operações. Utiliza como procedimentos
metodológicos os dados empíricos resultantes da resolução dessas operações pelas crianças e
os analisa à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud em relação aos
esquemas que, permitem investigar os conhecimentos-em-ação do sujeito referente às
categorias de elementos: metas e antecipações, regras de ação, invariantes operatórios
(conceitos e teoremas em ato) e possibilidades de inferência em situação. Como resultados
foi possível identificar a natureza para a realização das operações com números naturais
desses erros como sendo decorrentes da compreensão da estrutura do sistema de numeração
decimal, da estrutura do algoritmo ou da organização dos registros de representação (palavra e
notação arábica).
9175
Palavras chave: Campos conceituais. Operações com números naturais. Sistema de
numeração.
Introdução
O presente texto apresenta os resultados de uma pesquisa relativa às respostas dadas
por alunos à questões envolvendo operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
com números naturais. Essas respostas caracterizaram os dados empíricos da presente
investigação, submetidos à analise à luz da teoria dos Campos Conceituais de Gérard
Vergnaud, que buscou responder às seguintes questões: Quais as dificuldades dos alunos, do
6º ano do ensino fundamental, para a realização das operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão com números naturais? Os erros são decorrentes da compreensão da
estrutura do sistema de numeração decimal? Os erros são decorrentes da compreensão da
estrutura do algoritmo? Os erros cometidos são decorrentes da compreensão da organização
dos registros de representação (palavra e notação arábica)?
Com o desenvolvimento da investigação pretendeu-se atingir os seguintes objetivos:
compreender as dificuldades das crianças no domínio da estrutura do Sistema de Numeração
Decimal (SND); explicitar a compreensão do SND pelos alunos no momento da utilização
dos algoritmos operatórios; desvelar as hipóteses que as crianças manifestam para justificar
estratégias e procedimentos utilizados para realizar operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão com números naturais; apontar o campo conceitual (conjunto de
situações e conjunto de conceitos) necessário para a realização de operações de adição,
subtração, multiplicação e divisão com números naturais.
Procedimentos metodológicos
A investigação foi encaminhada numa abordagem qualitativa, que se desenvolveu em
momentos distintos. Primeiramente, foi aplicado um instrumento de coleta de informações,
com dez questões, com os quatro tipos de operações matemáticas: adição, subtração,
multiplicação e divisão para quatro turmas de alunos do 6° ano (antiga 5ª série) do Ensino
Fundamental de uma escola pública.
9176
Procedimentos de organização dos dados
As respostas apresentadas, por escrito, foram organizadas de acordo com o QUADRO
1, conforme o tipo de resolução apresentada. Para a resolução correta foi destacada se a
resolução apresentada utilizou ou não o algoritmo. Para as resoluções incorretas destacaramse: as questões não resolvida (NF), as questões erradas, cujos erros eram passíveis de
identificação (R) e as questões erradas cujo erro era incompreensível (I).
Questão
Aluno
Acerto: Estratégias
Erro
I
NF
R
QUADRO 1: Categorização das respostas apresentadas pelos alunos
Dessa forma pudemos identificar os tipos de erros apresentados na resolução das
questões e o número de sujeitos do grupo que apresentaram o mesmo tipo de erro. Esses erros
foram analisados à luz da Teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud (1990). O
QUADRO 2 de permite visualizar as questões propostas.
Questão A: Adição sem recurso à ordem superior, com duas parcelas de dois algarismos: 35 + 42.
Questão B: Adição com recurso à ordem superior, com duas parcelas sendo a 1º. Com três algarismos e a
segunda com quatro algarismos: 2785+3456
Questão C: Subtração com recurso à ordem superior na ordem das dezenas com três algarismos no minuendo
e no subtraendo: 839
Questão D: Subtração com recurso à ordem das dezenas, com três algarismos no minuendo e no subtraendo:
942-543
Questão E: Multiplicação por 1 com três algarismos no multiplicador: 121x1
Questão F: Multiplicação por zero e com três algarismos no multiplicador: 784 x 0.
Questão G: multiplicação de um algarismo no multiplicador por três algarismos no multiplicando: 743 x 2.
Questão H: Multiplicação de dois algarismos no multiplicador e no multiplicando: 45 x 16.
Questão I: Divisão de 100 por 2.
Questão J: Divisão de um número com três algarismos no dividendo por um algarismo no divisor.
QUADRO 2: Questões propostas aos alunos
Organização dos dados por erros
Os erros foram agrupados para análise posterior e podem ser visualizados a seguir:
1 Erros de adição tanto nas adições como nas multiplicações. (35+42=67)
2 Empréstimos da casa das unidades para a casa das dezenas, da casa das dezenas para a
casa das centenas. O valor emprestado é considerado uma unidade que não é somado ao
algarismo de qualquer casa e sim justaposto (ou à direita ou à esquerda). Ou esse valor
emprestado é considerado uma unidade.
3 Utilização excessiva do algoritmo. Até para multiplicar por 1 e por zero. Falta de
9177
segurança para a realização das operações sem a utilização de algoritmos.
4 Utilização errada do algoritmo oriundo da não compreensão da estrutura do SND
(colocar unidades em baixo de dezenas...). Exemplo: 3546
1.
nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn nnnnn
5 Acréscimo de zero ao número.
+278 0
6326
2780
+3546
6326
6 Subtração do menor do maior não importando quem é o minuendo e quem é o subtraendo
ou somar quando não dá para subtrair (mesmo que isso signifique somar alguns
algarismos e subtrair outros na mesma operação). Exemplos:
942
- 583
441
7 Multiplicação por 1: soma uma unidade a cada algarismo ou duplica o valor de cada
algarismo.
121
x1
232
8 Multiplicação por zero dá o mesmo número (784x0=784) ou acrescenta um zero ao
número.
9 Na multiplicação por um algarismo no multiplicador erra uma das multiplicações.
10 Divide ao invés de multiplicar.
11 Não registra o algarismo da ordem das unidades de milhar ao multiplicar um número de 3
algarismos por um número de um algarismo.
12 Soma e multiplica na mesma operação.
13 Substituiu o multiplicador 2 por 1. 743x1 = 743
14 Trata cada algarismo do multiplicador como se valor absoluto (unidades) e não relativo e,
por essa razão, erra a posição do resultado para adicionar. 45
x16
270
+45
315
15 Multiplica a unidade por unidade do multiplicando, registra a reserva, e a dezena por
9178
dezena.
4³5
x16
70
16 Somou o algarismo das unidades do multiplicador aos algarismos do multiplicando (tanto
centenas como unidades) Considerou a multiplicação apenas da unidades vezes a dezena.
743
x2
985
17 Erro de tabuada. Tanto nas multiplicações como nas divisões.
18 Esquecem de adicionar a reserva na multiplicação.
3
45
x16
240
45
690
19 Só multiplica pelo algarismo da unidade do multiplicador. 345
x 16
270
20 Multiplicou primeiro a casa das dezenas do multiplicador pelo multiplicando e depois não
soube onde colocar o resultado da multiplicação da casa das unidades.
21 Fizeram tentativas de usar o algoritmo.
100∟2
10
5
10
0
22 Arrisca o algoritmo e obtém como quociente (100) e resto (0). 100∟2
100
23 Arrisca o algoritmo e obtém como quociente (200) e resto (0).. Pode ser que multiplicou.
100∟2
200
24 Não sabe o que fazer para dividir zero por dois. Só colocou o 5 na resposta, e não o
50.
9179
100∟2
10 5
000
25 Compreensão da professora: não aceita o resultado 050 (a criança ao tentar dividir 1 por
dois vê que não dá e coloca zero. Segue dividindo corretamente e por isso o resultado
050)
100∟2
10 050
00
0
26 Não baixou o segundo número do dividendo, mas fez diretamente a divisão. 845∟5
3
169
27 Reproduz espacialmente o algoritmo das estruturas aditivas conforme já identificado por
Muniz (2009), porém manipula o algoritmo conforme o da divisão, isto é, inicia pela
esquerda.
100
÷2
05
Esses erros foram agrupados conforme uma classificação mais geral que os
abrangessem.
Erros de Adição e Subtração. (EAS) Erros do tipo 1.
Empréstimos (E): da casa das unidades para a casa das dezenas, da casa das dezenas para a
casa das centenas ou o valor emprestado considerado uma unidade não somada ao algarismo
de qualquer casa e sim justaposta (ou à direita ou à esquerda). Erros do tipo 2.
Por exemplo: 3154
981412
- 42
-5 8 3
272
340
Subtração do Menor do Maior (SMeMa) não importando quem é o minuendo e quem é o
subtraendo ou adição em virtude da não possibilidade de subtração (mesmo que isso
signifique somar alguns algarismos e subtrair outros na mesma operação). Erros do tipo 6.
Exemplo:
942
-583
9180
441
Acréscimo de Zero ao Número. (AZN) Na operação 278+3546 faz 2780 + 3546. Erro do tipo
5.
Multiplicação é sempre Aumento (MA): Na multiplicação por 1 soma uma unidade a cada
algarismo ou duplica o valor de cada algarismo. Erro do tipo 7.
Multiplicação por Zero dá o mesmo número ou acrescenta um zero ao número (MZ) Muitas
crianças cometem esse erro, isto é, consideram o zero como elemento neutro. Erro do tipo 8.
Utilização Errada do Algoritmo (EA) oriundo da não compreensão da estrutura do SND
(colocar unidades em baixo de dezenas. Erros do tipo 11, 12, 18, 19 e 20, 22, 23, 24, 25 e 26.
3546
+ 278
6326
Tratamento de cada algarismo do multiplicador em função de seu Valor Absoluto (VA)
(unidades) e não relativo e, por essa razão, erro da posição do resultado para adicionar. (por
exemplo registro e utilização da reserva, no entanto, adição de unidade com dezena e dezena
com unidade. Erro do tipo 14. Por exemplo
Multiplica da mesma forma que Adiciona (MA) Multiplicação da unidade por unidade do
multiplicando, registro da reserva, e da dezena. Erro do tipo 15.
Adiciona ao invés de Multiplicar (AM) Adição do algarismo das unidades do multiplicador
aos algarismos do multiplicando (tanto dezenas como unidades). Erro do tipo 16.
Procedimentos de análise dos dados empíricos: esquemas próprios utilizados pelos
alunos que fundamentam a realização de suas atividades matemáticas.
A análise das produções matemáticas dos alunos implicou no conhecimento das
formas de pensar, subsidiado por uma teoria de conhecimento na dimensão epistemológica e
psicológica.
Nossa opção foi pela teoria de campos conceituais de Gérard Vergnaud pela
possibilidade de análise dos procedimentos de resolução de questões de matemática,
explicitando as significações compreendidas nos esquemas de pensamento utilizados
pelos alunos.
9181
Segundo Vergnaud (1990, p. 155), a teoria dos campos conceituais trabalha com a
idéia de situação e da ação dos sujeitos nestas situações. Vergnaud (1990) reconhece a
importância da teoria de Jean Piaget para a teoria dos campos conceituais e destaca dois
conceitos dessa teoria: o conceito de esquema (organização invariante da conduta para
uma dada classe de situações) e de invariante operatório.
Os erros foram analisados em relação aos esquemas que, permitem investigar os
conhecimentos-em-ação do sujeito em relação às categorias de elementos: metas e
antecipações, regras de ação, invariantes operatórios (conceitos e teoremas em ato) e
possibilidades de inferência em situação.
Dado o exposto passaremos, na sequência, a apresentar as análises dos procedimentos
de resolução, buscando explicar os diferentes tipos de erros apresentados, as hipóteses
levantadas, os conceitos não construídos e as significações atribuídas às diferentes soluções.
Análise dos erros
Os erros identificados, tanto nas operações de adição como de multiplicação, relativos
às adições, (EAS) foram analisados em relação ao teorema mobilizado (Card A + Card B=
Card (A + B). Qualquer que seja a estratégia utilizada, contar todos ou contar na sequência,
vai significar que a criança está lançando mão de um teorema em ação. Enquanto conceitos
são necessários a contagem (contagem de unidades ou de grupos e, neste caso, é necessário
seguir a lógica de contagem: contar todos, contar apenas uma vez e repetir os nomes dos
números na mesma ordem) e a cardinalidade (estabelecer relações de ordem e inclusão
hierárquica).
Foram também identificados erros de subtração e, por essa razão a necessidade da
identificação de conceitos e teoremas em ato necessários para a realização correta das
operações de subtração.
Para os problemas que envolvem subtrações, Fayol (1996) apresenta tipos
diferenciados de procedimentos dentre os quais destacamos: “contar para trás a partir de”
1
1
1
1
1
1
1
1
(12,11,10, 9, 8, 7, 6, 5, 4) ou “contar para trás até” (12, 111, 110, 19, 18) a partir do maior dos
termos até atingir o menor, enumerando os elementos da seqüência obtida.
No caso das crianças analisadas podemos inferir, a partir de suas produções escritas
que as estratégias “contar para trás a partir de” ou “contar para trás até”, relacionadas ao
procedimento de diferença ou ao procedimento do complemento falham levando as crianças a
9182
apresentarem erros de subtração. Essas estratégias exigem também conceitos de contagem e,
também, a manipulação de objetos ou dedos ou a mobilização em pensamento da correta
ordem da sequência numérica recitada em ordem inversa. Igualmente, como na adição,
mobiliza o teorema Car (A)–Car (B) = Car (A–B).
Os erros relativos aos significados atribuídos aos empréstimos, posicionamento dos
numerais no algoritmo ou à não possibilidade de retiradas, foram analisados em relação às
metas traçadas pela criança que compreenderam regras baseadas em conceitos em ato
relacionados à estrutura do SND. Isso porque segundo Duval (1995) um conceito envolve um
significante, um significado e uma significação pelo sujeito tendo por referência um objeto de
conhecimento, nesse caso o SND utilizado para a representação dos números na forma
numérica, como podemos observar na FIGURA 1.
referência
Significado
Significação (nesse caso a
Objeto
(O
SND)
atribuição de significação aos
algarismos do registro de
representação da escrita numérica
pela criança)
representação
Significante (a
escrita numérica)
FIGURA 1 - Estrutura Diádica e Triádica da Significância
FONTE: Duval, 1995, p.63
A criança realiza uma operação de subtração e cria hipóteses a partir da significação
atribuída aos algarismos dessa escrita. Essa significação não compreende o conhecimento da
estrutura que está presente nesse tipo de registro (de base dez e posicional). Por essa razão ela,
ao realizar a operação 35 – 42 e, ao não conseguir retirar 4 (dezenas) de 3 (dezenas), empresta
1 do 5 (que é unidade) e coloca esse valor numérico à direita das 3 dezenas interpretando o
novo valor como sendo 31, retirando as 4 dezenas (consideradas 4 unidades), obtendo 27. As
4 unidades que ficaram são suficientes para a retirada das 2 unidades do 42, resultando em
272. Essa interpretação foi baseada no registro apresentado pela criança
4
3 15
-42
272
9183
A mesma análise permite interpretar os procedimentos em que as crianças subtraem o
menor do maior, não importando se o algarismo do registro seja do minuendo ou do
subtraendo. Nesse caso a criança trabalha com os algarismos dos numerais como se fossem
algarismos justapostos, pois não atribui significação ao registro de representação do número.
As antecipações compreendem regras de ação que explicitam conceitos em ato utilizados (o
conceito de subtração, nesse caso, retirar o menor do maior) e esquemas que dão conta de
obtenção de resultados (a utilização do algoritmo que se baseia num conceito em ato
fragilizado, isto é, a compreensão da estrutura do SND).
Essas inferências podem justificar também o caso em que a criança completa com um
zero à direita em um numeral com menos algarismos para adicionar a outro com mais
algarismos. A não significação aos registros de representação do número embasa as ações da
criança que se apóia no procedimento algoritmo, mecanizado, mas que lhe dá segurança para
acreditar que obterá o resultado. Esse procedimento é realizado conforme orientações
recebidas, isto é, colocar os algarismos um em baixo do outro e, nesse caso, o zero é
acrescentado por não ter valor nenhum.
Os resultados da multiplicação por 1 e por zero poderiam ser realizados sem o recurso
ao algoritmo se a criança estivesse de posse do conceito de multiplicar. O mesmo ocorre com
a multiplicação por dois que poderia ser realizada sem a recorrência ao algoritmo se acoplada
à conceitualização da estrutura do SND.
A utilização correta do algoritmo, mas com adições do multiplicando aos algarismos
do multiplicador (121 x 1 = 232), ou com a duplicação desses algarismos (121 x 1 = 242), ou com
a invariância desses algarismos na multiplicação por zero (121 x 0 = 121), foi analisada em
relação ao esquema e, como conseqüência, às antecipações e regras de ação cujos conceitos
em ato revelam uma atribuição de significação equivocada em relação ao registro de
representação da operação em forma de algoritmo escrito. Num outro contexto pode ser que a
criança atribua uma significação diferenciada que a leve a apresentar o resultado correto da
operação.
No nosso cotidiano não se manifestam situações em que precisemos multiplicar por
1ou dividir zero por 2. Prevalece nesse caso a idéia de que multiplicar é aumentar (idéia de
adição sucessiva) e essa idéia tem que ser associada ao registro escrito que se manifesta no
sinal de x (vezes). Ou prevalece a idéia de que o zero não modifica nada (transportado da
9184
adição) e, por essa razão, ao enxergar o sinal de x (vezes) no registro escrito transporta essa
significação ao resultado.
A antecipação da criança, para a utilização do algoritmo, se apóia numa regra de ação
que revela lançar mão de um conceito em ato relativo á estrutura do SND que se baseia em
hipóteses próprias (que não respeitam o valor posicional) em relação aos algarismos da escrita
numérica levando-a a colocar os numerais em posições relativas não coincidentes. A esse fato
se associa a utilização de um teorema em ato fragilizado (relativo à adição) que não permite
que a criança perceba a cardinalidade resultante dessa adição revelada pela soma obtida.
A reprodução espacial do algoritmo das estruturas aditivas, para a realização da
multiplicação, conforme já identificado por Muniz (2009), leva a criança a manipular o
algoritmo da divisão, isto é, inicia pela direita ou faz a multiplicação da unidade vezes
unidade fazendo a reserva e depois faz dezena vezes dezena.
3
45 ou
x16
70
100
÷2
05
Nestes dois casos aplica o algoritmo da adição para a realização de multiplicação
(somar unidade com unidade e dezena com dezena). Pode-se inferir que houve a reprodução
espacial do algoritmo das estruturas aditivas. Esse erro tem que ser interpretado em relação ao
esquema e sua efetividade. O esquema de adicionar ou subtrair unidade/dezena com (de)
unidade/dezena mantém-se invariante para essa criança para realização da operação de
multiplicação. Esse esquema compreendeu uma meta, isto é, realizar a operação para obter o
resultado, antecipações e neste caso a criança antecipa que deve multiplicar unidade/dezena
por unidade/dezena que caracterizou as regras que comandaram a ação. Essas regras, por sua
vez têm que ser associadas aos conceitos e conhecimentos em ato (invariantes operatórios)
que nesse caso, para uma nova situação, no caso a multiplicação, estão fragilizados. Nesse
caso é o teorema que se refere à multiplicação e lhe da a possibilidade de certas inferências,
especificamente proceder da mesma forma que na adição.
Esses procedimentos revelam uma antecipação apoiada sobre hipóteses construídas
pela criança em relação à significação atribuída ao algoritmo da multiplicação. Nesse caso o
esquema se apóia num conceito ainda equivocado e, por essa razão, hipóteses que poderão ser
refutadas em processos de intervenção por meio de desafios cognoscitivos. Essas hipóteses
são construídas em virtude da não atribuição de significação ao procedimento algoritmo. Ela
sabe que cada algarismo do multiplicando se relaciona com cada algarismo do multiplicador.
9185
Como esse conceito é equivocado ela ao invés de multiplicar, soma, além de esquecer-se do
algarismo da casa das dezenas.
Considerações finais
Na presente investigação foi possível identificar algumas das dificuldades dos alunos,
do 6º ano do ensino fundamental, para a realização das operações de adição, subtração,
multiplicação e divisão com números naturais. Igualmente a natureza desses erros como
sendo decorrentes da compreensão da estrutura do sistema de numeração decimal, da estrutura
do algoritmo ou da organização dos registros de representação (palavra e notação arábica).
A partir dos resultados encontrados foi possível compreender as dificuldades das
crianças no domínio da estrutura do Sistema de Numeração Decimal (SND). As análises
permitiram explicitar a compreensão do SND pelos alunos, no momento da utilização dos
algoritmos operatórios e desvelar as hipóteses que elas manifestam, para justificar estratégias
e procedimentos utilizados para realizar essas operações. Ao proceder com análises
subsidiadas pela teoria dos Campos Conceituais de Gérard Vergnaud foi possível apontar o
campo conceitual (conjunto de situações e conjunto de conceitos) necessário para a realização
dessas operações.
Até o momento procedemos com a avaliação dos erros. Estaremos na continuidade do
estudo procedendo com as análises das formas de intervenção para que esses erros sejam
superados.
Para tanto será importante observar (nas atividades a serem propostas) que para a
utilização do algoritmo da divisão inicia-se pelo algarismo de maior ordem que não é o caso
do algoritmo da adição, subtração e multiplicação. Isso significa que deve haver também
aprendizado do algoritmo.
Igualmente observar que ao manipular os algoritmos as crianças lançam mão dos
mesmos esquemas (iniciar da direita para a esquerda para as adições, subtrações e
multiplicações e da esquerda para a direita no caso das divisões), no entanto os erros são
decorrentes da não identificação da estrutura do SND na notação arábica. Por isso emprestam
ao subtrair uma unidade da dezenas (ou vice e versa) e a acrescentam às unidades ou a elas
justapõem, ou trabalham com o valor absoluto dos algarismos do numeral.
Nessas intervenções será necessário observar se os erros apresentados são decorrentes
da incompreensão da estrutura do SND ou se são decorrentes da incompreensão do algoritmo
9186
e ainda, se os esquemas são criações próprias que funcionariam se houvesse compreensão do
SND.
Importante, nas intervenções, será considerar as produções dos alunos e evidenciar os
esquemas utilizados e as atribuições de significados aos dígitos da notação numérica que
levam a soluções diferentes pelos alunos. E isto deve ser feito aproveitando os argumentos
utilizados pelos alunos e ao mesmo tempo socializando com os demais colegas da classe. São
essas produções que podem subsidiar propostas de intervenção para superação de obstáculos
(epistemológicos ou pedagógicos) e avanços conceituais.
O esquema é um produto de ordem psicológica apoiado na representação mental. As
produções escritas não são capazes de revelar as construções amplas e complexas das
crianças. É necessário, portanto, complementar os registros com justificativas e argumentos
que revelam o que não se torna explicitado.
Tal intencionalidade implica considerar a diversidade do pensamento humano na
organização da prática educativa e, por essa razão efetivar uma transposição didática do
conhecimento científico produzido, não o levando como pronto e acabado, ao contemplar
interesses, necessidades, dificuldades, intuições primeiras, possibilidades, abordagens,
encaminhamentos, estratégias, entre outras questões.
Igualmente considerar a necessidade de uma forma diferenciada do olhar do professor
em relação às produções das crianças buscando compreendê-las, aceitá-las quando corretas,
mesmo que diferentes ou não canônicas, socializá-las para valorizar o sujeito epistêmico que é
capaz de pensar e de produzir conhecimento, entendê-las enquanto frágeis ou oriundas de
processos de desenvolvimento, e, colaborar para as rupturas necessárias por meio de desafios
cognoscitivos e de problematizações.
Essa forma diferenciada de olhar implica rupturas pessoais, oriundas de nossos
processos de formação tanto escolares, como profissional, em cursos de formação de
professores. Essas rupturas significarão desconstruções e reconstruções de natureza
conceitual, procedimental e profissional, conforme apontado por Muniz (2009).
REFERÊNCIAS
FAYOL, M. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto Alegre:
Artes Médicas, 1996.
MUNIZ, Cristiano A. B. & BITTAR, Marilena. A aprendizagem matemática na
perspectiva da teoria dos campos conceituais. 1. Ed. Curitiba: Editora CRV, 2009.
9187
VERGNAUD, Gérard. La théorie des champs conceptuels. Recherches em didactique de
mathématiques, v. 10, n. 23, p.133-170, 1990.
DUVAL, Raymond. Sémiósis et pensée humaine: registres sémiotiques et apprentissages
intellectuels. Suisse: Peter Lang, 1995.