CONTRIBUIÇÕES DE AVALIAÇÕES EXTERNAS À PRÁTICA PEDAGÓGICA DO PROFESSOR
QUE ENSINA MATEMÁTICA PARA CRIANÇAS DE 6 A 10 ANOS NO QUE SE REFERE AO
SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL
Edda Curi
Universidade Cruzeiro do Sul — Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática/
São Paulo — Brasil
[email protected]
Cintia Aparecida Bento dos Santos
Universidade Cruzeiro do Sul - Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Matemática/
São Paulo — Brasil
[email protected]
Introdução
A comunicação que ora será apresentada é parte de um Projeto de Pesquisa1 alocado no âmbito do Programa Observatório para Educação, com apoio financeiro da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior — Capes. O Projeto se desenvolve na Universidade Cruzeiro do Sul, com o Grupo de Pesquisa CCPPM — Conhecimentos,
Crenças e Práticas de Professores que Ensinam Matemática coordenado pela Dra Edda Curi.
Resultados de algumas investigações realizadas pelo Grupo de Pesquisa
No âmbito desse Grupo de Pesquisa foram defendidas 15 dissertações e uma tese de doutorado nos últimos 4 anos. Da
análise dos resultados das dissertações defendidas no âmbito do Grupo de pesquisa CCPPM é possível concluir que
o processo de transformar conhecimento científico em conhecimento escolar requer uma compreensão profunda de
conceitos matemáticos, didáticos e curriculares, considerando-se os obstáculos envolvidos na construção do saber matemático no contexto de quem irá aprender matemática. Também é possível constatar que na constituição dos conhecimentos didáticos dos conteúdos, os saberes da experiência são fundamentais, mas não são suficientes. Um elemento
importante para a constituição do conhecimento didático, revelado nessas pesquisas, foi o estudo por parte dos professores de pesquisas sobre o ensino e aprendizagem matemática, o desenvolvimento dessas pesquisas com seus alunos e
posterior análise no Grupo de Pesquisa. Nesse movimento, os professores eram estimulados a coletar e analisar dados,
a observar procedimentos que seus alunos utilizam, a entrevistá-los para identificar como pensaram como resolveram,
a buscar seus erros, valorizando as estratégias pessoais e a lógica de cada um, construindo conhecimentos didáticos dos
conteúdos que estavam ensinando. As pesquisas desenvolvidas pelo Grupo CCPPM apontam que a discussão que envolve conhecimentos didáticos do conteúdo e conhecimentos curriculares é potencializada quando os professores estão em atuação. A análise dos resultados revela também certa fragilidade nos conhecimentos matemáticos relativos aos
conteúdos que normalmente são desenvolvidos no ensino fundamental, mesmo pelos professores que tinham como
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Maiores detalhes do Projeto podem ser verificados em Curi (2010).
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formação inicial cursos de licenciatura em Matemática. Percebe-se que há mais possibilidades de apropriação de conhecimentos matemáticos, didáticos e curriculares quando professores participam de processo de formação continuada que
possibilitam reflexões, relações entre a teoria e a prática e a pesquisa e o tratamento articulado das diferentes vertentes
do conhecimento do professor. Constata-se ainda que os professores que tem mais conhecimentos matemáticos se apropriam com mais facilidade dos conhecimentos didáticos e curriculares.
Essas conclusões levam a desafios importantes a serem enfrentados como a necessidade de incorporação de pesquisas
de Educação Matemática na formação dos professores, a importância de se trabalhar em espaços escolares na formação
do professor, de formar grupos de estudos para refletir sobre o ensino de Matemática em que participem professores de
todos os graus de ensino e ainda de refletir sobre crenças e concepções de professores que interferem nas práticas.
O novo Projeto de Pesquisa
A pesquisa sobre formação de professores vai continuar, mas outra vertente de pesquisa foi aberta para o Grupo de Pesquisa CCPPM relativa à análise de erros e macro- avaliações. A experiência de trabalhos técnicos e as dissertações já defendidas permitem abrir esse novo foco de pesquisa e integrar novos orientandos de mestrado e doutorado nessa frente.
Nesse sentido, foi organizado o Projeto de Pesquisa “Prova Brasil de Matemática: Revelações e possibilidades de avanços
nos saberes de alunos de 4.ª série/5.ºx ano e indicativos para formação de professores”, que tem a duração de 38 meses. O
Projeto está em fase inicial e envolve uma equipe constituída de dois doutores, três doutorandos, três mestrandos, seis
estudantes da graduação da Universidade e sete professoras da rede pública de São Paulo. O Projeto foi dividido em quatro fases. Na primeira fase, foram analisados alguns documentos produzidos pelo Ministério da Educação, referentes à
avaliação em Matemática do Ciclo I, habilidades e exemplos de itens de avaliação, documentos teóricos produzidos pelo
Ministério da Educação e textos de autores que discutem macro avaliações e avaliações diagnósticas. A primeira fase terminou no mês de abril e a partir do mês de maio, iniciou-se um estudo dos dados das escolas participantes e a aplicação
de questões com os alunos. O Grupo de Pesquisa vem analisando os dados das escolas, depois seleciona alguns itens de
avaliação para desenvolvê-los com os alunos de 5.º ano das escolas envolvidas e analisa os resultados. Após essa análise,
os itens de avaliação testados são transformados pelo Grupo de Pesquisa em questões de resposta construída pelos alunos que são desenvolvidas com os mesmos alunos. Esse movimento permite investigar erros, dificuldades e habilidades
já construídas. Destacamos para esta comunicação as análises de conhecimentos sobre o Sistema de Numeração Decimal de alunos de 5.º ano de uma escola participante do Projeto de Pesquisa, com base em estudos de Parra e Saiz (1996).
Alguns aspectos do Sistema de Avaliação da Educação Básica no Brasil
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Iniciamos apresentando alguns aspectos do Sistema de Avaliação da Educação Básica do Brasil e dos relatórios de
apresentação dos resultados para escolas e professores. As avaliações externas fazem parte de uma realidade bastante
comum dentro das escolas brasileiras, porém as discussões sobre os resultados obtidos precisam ainda ser objeto de reflexão e direcionamento de ações. No que se refere ao ensino de Matemática, as informações divulgadas sobre os resultados encontrados indicam que, de um modo geral, o desempenho dos estudantes está abaixo do esperado. Talvez por
essas informações, sejam constantes as afirmações de que os alunos brasileiros “não sabem” Matemática e que não são
capazes de utilizá-la em situações do cotidiano. Por outro lado, os resultados de macro-avaliações não são incorporados
na prática escolar. Uma das hipóteses da não incorporação de dados relativos aos resultados de macro- avaliações por
parte dos professores em seu planejamento escolar é que eles se considerarem alijados do processo de avaliação. Outra
hipótese é a não utilização desses dados por parte de gestores para formulação de políticas que possibilitem a melhoria
da qualidade do ensino em Matemática. Uma das finalidades do Projeto de Pesquisa já citado é a análise dos dados apresentados nos relatórios e sua transposição para a prática efetiva no cenário escolar. Este é um processo complexo para os
agentes envolvidos nesse contexto, que talvez não utilizem os dados por falta de saber o que fazer com eles a partir de
sua leitura. No geral, os resultados de macro-avaliações demoram a chegar às escolas, a serem analisados e incorporados na prática. Mas, não é apenas o fato dos resultados das avaliações não chegarem às escolas. A avaliação deve ter conseqüências nas escolas, não se limitando apenas a apresentar resultados, mas levando a atitudes no sentido das escolas
procurarem superar seus problemas. No entanto, as atitudes, no sentido de superação de problemas de aprendizagem,
normalmente são cobradas apenas das escolas. A responsabilidade pelos resultados deve envolver o governo, a universidade, os profissionais que atuam nas escolas, a comunidade escolar, a sociedade. Nesse sentido, um Projeto de Pesquisa
envolvendo escolas e Universidade pode contribuir para superação das dificuldades de aprendizagem em Matemática
dos alunos da escola e formação de seus professores.
O SAEB— Sistema de Avaliação da Educação Básica — iniciou-se em 1991, depois de algumas experiências do MEC,
em anos anteriores, em alguns Estados brasileiros, com avaliações da Educação Primária.2 A partir de 1993, o SAEB vem
ocorrendo a cada dois anos. A partir de 2005, o SAEB foi modificado transformando-se num sistema composto por
dois processos de avaliação: a Avaliação Nacional da Educação Básica – Aneb que mantém as características e objetivos
do SAEB aplicado até 2003 e a Avaliação Nacional do Rendimento Escolar (Anresc) também conhecida como Prova
Brasil, destinada a avaliar as escolas públicas do ensino básico. Segundo Horta Neto (2010), o SAEB é um misto de avaliação normativa e avaliação criterial. Quanto à avaliação normativa, o juízo de valor está baseado na comparação entre
unidades de análise utilizadas (indivíduos ou instituições). O juízo de valor é dito normativo numa referência à curva
normal da estatística, o juízo de valor produzido é relativo à classificação do indivíduo em relação aos demais. Quando
a comparação é realizada a partir de referências definidas previamente, o autor Horta Neto (2010) afirma que o juízo de
valor se refere a critério. Nesse caso, podem ser estabelecidos níveis diferentes de aprendizagem que se esperam de cada
aluno, possibilitando construir uma escala que contenha esses níveis, apontando o que se espera do aluno em cada um
desses níveis. Um ponto que precisa ser destacado é a divulgação dos resultados do SAEB e da Prova Brasil. Os relatórios, em linguagem nem sempre é clara ao professor, apresentam os níveis de desempenho dos alunos de forma simplificada. Muitas vezes não há exemplos, o que nem sempre esclarece ao professor o significado das escalas apresentadas e
como os resultados podem ser utilizados para a melhoria das aprendizagens dos alunos.
Depois dessa breve apresentação passamos a discutir as habilidades que envolvem a compreensão do Sistema de Numeração Decimal — SND — e apresentamos as análises dos dados3 selecionados para esta comunicação.
Análise dos dados
Os resultados do Saeb/Prova Brasil são organizados por níveis de proficiência que são distribuídos em intervalos, numa
escala que, em Matemática, inicia-se no nível 75 e vai até o nível 325. Selecionamos para essa comunicação os dados de
uma escola participante do Projeto.
Nessa escola, no intervalo de nível 151-200 surgem os primeiros indicativos de compreensão dos alunos das características do SND. Grande parte dos alunos resolvem algumas situações contextualizadas no sistema monetário e a resolução do item envolve a compreensão dos princípios aditivo e multiplicativo do SND. Aparecem muito poucos itens
contemplando situações descontextualizadas, envolvendo características do SND que agregam as habilidades de identificar a escrita numérica de um número escrito “por extenso”, de comparar números para identificar o maior, de decompor e compor um número em suas ordens. Os números que aparecem em itens desse nível são da ordem de grandeza
das centenas.
É apenas no intervalo de nível 201–250 que há indícios de consolidação da construção do SND pelos alunos desta escola. Menor quantidade de alunos encontra-se nesse nível. Eles resolvem itens contextualizados no sistema monetário, em
situações que envolvem a idéia de agrupamentos e trocas entre cédulas e moedas, além dos que envolvem a composição e
decomposição de números. Os alunos resolvem ainda itens com situações descontextualizadas, envolvendo composição
e decomposição de números naturais revelando a compreensão de uma das características do SND, sua escrita aditiva e
multiplicativa. Outras características do SND como o valor de um algarismo dado pelo lugar que ele ocupa no número,
a comparação de números, a identificação do maior ou menor, são identificadas pelos alunos da escola que resolvem vários itens em situações descontextualizados. Os números envolvidos são da ordem de grandeza da unidade de milhar e
de dezena de milhar, o que pode revelar o início de uma generalização das características do SND por esses alunos.
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Educação Primária: Atual período dos anos iniciais do Ensino Fundamental.
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Os dados aqui analisados foram retirados de Brasil (2008) e Inep (2011)
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ACTAS
Com essa análise, é possível conjecturar que o ensino do SND nessa escola é feito de forma segmentada, num trabalho com números até a ordem das centenas e com menos ênfase números até a ordem de unidade de milhar e depois de
dezena de milhar.
Nas outras escolas envolvidas no Projeto a situação não é tão diferente. A análise desses dados e os estudos realizados
pelo Grupo de Pesquisa fizeram com que as professoras buscassem outro foco para o ensino. Nas reuniões de formação,
foram propostas questões abertas de resposta construída pelos alunos. O desenvolvimento dessas questões na escola já
citada permitiu que as crianças percebessem que o SND apresenta regularidades que são comuns para qualquer ordem
de grandeza dos números.
Havia muitos acertos quando a questão envolvia a decomposição de um número da ordem das centenas, mas as crianças não percebiam que as regularidades dessa decomposição poderiam ser usadas na decomposição de um número de
qualquer ordem de grandeza.
Além disso, números com zero intercalado apresentavam dificuldades para as crianças na decomposição. É importante salientar ainda que o SND apresenta algumas exceções que “fogem” das regularidades quando o zero aparece intercalado entre os algarismos numa escrita numérica. Nesse caso, as dificuldades aparecem, pois a decomposição desse
número não apresenta regularidades de outros em que os algarismos são todos diferentes de zero.
Algumas crianças, ao decompor o número 8001 escreviam 8000+000+00+1. Precisavam avançar nessa “escrita intermediária”, pois quando a questão era apresentada em forma de teste, por não acharem essa escrita, assinalavam qualquer alternativa e erravam a questão. A análise realizada permitiu às professoras fazerem intervenções que possibilitaram
o avanço das crianças. Cabe destacar a importância de se trabalhar não apenas com a decomposição de um número em
suas ordens e classes, mas também com a composição dos mesmos, o que permite a visualização da escrita numérica. Segundo Parra e Saiz (1996) o papel das regularidades pode ser observado em situações de comparação e nos argumentos
construídos pelas crianças para fundamentar ou rejeitar uma escrita numérica. As autoras afirmam que ao estabelecer
regularidades é possível explicitar a organização do SND e gerar avanços no uso da numeração escrita.
Cabe destacar as anotações de muitas crianças indicando “as casas” relativas às ordens do SND, ou seja “dividir o
número em casinhas (MCDU)”. Ao que parece, essas crianças usam apenas a posição do algarismo no número não percebendo seu valor posicional, ou seja, não têm a noção de posicionalidade do SND. As indicações das “casas” e a não
percepção por parte das crianças de que quando se coloca um zero à direita o número, este fica multiplicado por 10 parece revelar que elas não percebem que o valor de cada algarismo num número é obtido multiplicando esse algarismo
por uma determinada potencia de base 10. Segundo Parra e Saiz (1996) se em um número for colocado um algarismo a
mais, necessariamente potências de 10 de “maior grau” que as envolvidas irão intervir em sua decomposição e o número
será 10 vezes maior. Como elas afirmam é uma questão de posicionalidade.
Ao solicitar que as crianças respondessem quantas dezenas tem o número 254, muitas não encontraram a resposta
correta, pois não compreendiam a diferença entre a posição do algarismo “na casa” das dezenas e a quantidade de dezenas que tem o número. Isto é decorrente do SND ser um sistema posicional. Segundo Parra e Saiz (1996), o SND é um
sistema mais econômico do que outros sistemas de numeração antigos em conseqüência do valor posicional, pois uma
quantidade finita de símbolos (no nosso sistema de 0 a 9, ou seja, dez símbolos) é suficiente para registrar um número de
qualquer ordem de grandeza. No entanto, as autoras afirmam que quanto mais econômico o sistema de numeração, menos transparente ele é, pois oculta ações por trás da posicionalidade para a formação do número, deixando-o econômico.
Algumas Considerações
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Chama-nos a atenção a dificuldade dos alunos em compreender o funcionamento de um sistema de numeração, usado
no cotidiano por todos, talvez por terem aprendido de forma mecânica, fragmentada, sem compreensão. Os resultados
dos alunos mostram que os itens contextualizados no sistema monetário estão nos níveis mais baixos da escala de proficiência, o que nos faz crer que o uso cotidiano do SND não depende de conhecimentos escolarizados e que os alunos
usam de seus conhecimentos extra- escolares para resolver esse tipo de item. Quanto aos itens descontextualizados, as
dificuldades apresentadas são maiores e estes se encontram em níveis mais alto da escala de proficiência. Os resultados
dos alunos revela ainda que provavelmente o ensino do SND foi feito de forma fragmentada e mecânica. É preciso estabelecer relações entre o que as crianças sabem do uso social do SND e a organização posicional do sistema. Isso não é
fácil se o professor não tiver conhecimentos para ensinar esse conteúdo.
Algumas pesquisas realizadas no âmbito do Grupo de Pesquisa como as de Silva (2009, 2010) mostram que as professoras desses alunos também têm dificuldade com a posicionalidade do SND e com as relações que existem por trás da
posicionalidade para a formação do número. Mostram ainda que, talvez por suas dificuldades com relação às características do SND, as professoras trabalham de forma mecânica, “separando os números em casinhas” para efetuar as operações fundamentais.
As reuniões do Grupo de Pesquisa, além de discutir os reaultados das avaliações, focam a formação do professor.
Como já foi dito, muitas das dificuldades das crianças eram também das professoras, principalmente no que se refere à
posicionalidade. As reuniões de formação têm evoluido e as professoras sentem-se mais seguras para trabalahr esse assunto com seus alunos e fazer as intervenções necessárias.
Estamos tão acostumados a conviver com esse sistema de numeração que, no geral, não percebemos o que é próprio
do sistema e as propriedades que usamos para representá-lo. No entanto, essa percepção é necessária. Para que as crianças se apropriem do nosso sistema de numeração elas devem descobrir o que ele oculta e os professores devem ser os mediadores dessas descobertas e, portanto, devem ter o conhecimento necessário para uma atuação eficiente.
Referências bibliográficas
Brasil. (2008). Matemática. Orientações para o professor Saeb/Prova Brasil, 4.ª série/5.º ano. Brasília: Inep.
Curi, E. (2010). Projeto de Pesquisa “Prova Brasil de Matemática: Revelações possibilidades de avanços nos saberes de alunos de
4a série/5o ano e indicativos para formação de professores”, aprovado no âmbito do programa Observatório da Educação,
com apoio Capes, Edital 2010, in Xerox.
Horta Neto, J. L. (2010). Avaliação externa de escolas e sistemas: questões presentes no debate sobre o tema. In Revista Brasileira
de Estudos Pedagógicos — RBEP. Brasília: vol 91 no 227, p.84-104, jan/abr2010.
Inep. (2011). Dados do Saeb/Prova Brasil de 2007 referentes às escolas envolvidas no Projeto “Prova Brasil de Matemática:
Revelações possibilidades de avanços nos saberes de alunos de 4a série/5o ano e indicativos para formação de professores”,
in CD.
Silva, S. D. da. (2009). Formação continuada na HTPC: refletindo sobre o ensino da Matemática nos anos iniciais do ensino
fundamental. Dissertação de Mestrado, Universidade Cruzeiro do Sul. São Paulo; SP: [s.n].
__________. (2010). Formação continuada: o uso da calculadora e o sistema de numeração decimal. Anais do SHIAM.
Seminário de história e Investigações nas aulas de Matemática. UNICAMP: Faculdade de Educação. Campinas.
Parra, C.; Saiz. I. (1996). O sistema de numeração: um problema didático in Didática da Matemática. Reflexões Psicopedagógicas.
Porto Alegre: Artes Médicas.
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