2.
Síntese de Transformadores de Quarto de Onda
2.1
Introdução
Transformadores de guia de onda são amplamente empregados no projeto
de componentes em onda guiada e são encontrados em praticamente todas as
cadeias alimentadoras de antenas e demais estruturas de onda guiada na faixa de
microondas.
Neste Capítulo são apresentados os modelos matemáticos clássicos que
regem o funcionamento de transformadores de quarto de onda genéricos. Também
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
são apresentados as soluções particulares para implementação de transformadores
de resposta plana (Binomial) e para implementação de transformadores com maior
banda de freqüência possível (Chebyshev).
2.2
Transformadores de uma Seção de Quarto de Onda
Transformadores de quarto de onda de banda larga (Collin, 1955) são
utilizados basicamente como seções intermediárias para prover o casamento de
impedância entre guias de ondas que apresentam impedâncias e/ou estruturas
físicas diferentes entre si.
O desafio consiste em se obter o casamento esperado, na banda de
operação desejada, com o transformador de menor dimensão física, o que
usualmente também leva à estrutura de menor custo de implementação.
O princípio fundamental de um transformador pode ser compreendido
através da análise do casamento entre uma carga resistiva ZL e uma linha de
transmissão de impedância característica Z1 (Collin, 1966).
Nesse caso, uma linha de impedância característica Z2 de um quarto de
comprimento de onda é inserida entre a carga ZL e a linha Z1, o que leva a
impedância efetiva da carga na porta da linha Z1 a assumir o valor:
19
Z L + jZ 2 tan  βλ 
2
 4  = Z2
Z = Z2
Z 2 + jZ L tan  βλ  Z L
 4
Se Z2 é escolhido de forma a que seja igual a
(2.1)
Z 1 Z L , então Z = Z ,
1
atingindo-se o objetivo de se casar a carga ZL a linha Z1, desde que seja respeitada
a condição de seu comprimento ser λ/4 (ou N·λ/2 + λ/4).
Ou seja, se assumirmos que θ é o comprimento elétrico do transformador
na freqüência f, a impedância de entrada é:
θ =βl
2π f
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
θ=
Z in = Z 2
c
(2.2)
(2.3)
l
Z L + jZ 2 tan (θ )
Z 2 + jZ L tan (θ )
(2.4)
Conseqüentemente, o coeficiente de reflexão é:
Γ=
Z in − Z1
Z L − Z1
=
Z in + Z1 Z L + Z1 + j tan (θ ) 2 Z L Z1
(2.5)
Ou seja:
Γ =ρ=
1
2
 2 Z Z
 
L
1
1 + 
sec θ  
 
  Z L − Z1
 

1
2
(2.6)
A variação de ρ com a freqüência é periódica por causa do comportamento
também periódico da impedância e entrada com a freqüência, isto é, o casamento
proporcionado pelo transformador se repete cada vez que seu comprimento
elétrico variar de π.
Nesse caso, assumindo que o coeficiente de reflexão máximo que se queira
tolerar seja ρm, a faixa de freqüências de operação do transformador será aquela
em que a variação de θ ainda consiga manter o valor de ρ < ρm; ou seja:
20
θ m = cos −1
2 ρ m Z1 Z L
(Z L − Z1 )
1 − ρm
(2.7)
2
Para o caso de estruturas não dispersivas (como em estruturas coaxiais
TEM, e diferentemente de estruturas em onda guiada TE/TM), a largura de faixa
de um transformador de uma seção de quarto de onda, calculado para a freqüência
central f0, é dada por:
2 ρ m Z1 Z L
∆f
4
= 2 − cos −1
π
f0
(Z L − Z 1 ) 1 − ρ m 2
(2.8)
É importante reforçar nesse ponto que este cálculo de largura de faixa
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
pressupõe, além do já comentado efeito de dispersão de comprimento de onda da
estrutura, que as impedâncias de entrada e saída não variam, e que as
descontinuidades que decorrem da implementação física desses transformadores
não apresentam reatâncias parasitas.
Na realidade, tais pressuposições impõem forte limite ao emprego desses
modelos, o que fez por estimular os estudos que se seguirão nos tópicos
subseqüentes.
De qualquer forma, mesmo supondo-se condições favoráveis como
estruturas não dispersivas, pode-se notar que a aplicação de transformadores de
uma seção fica limitada a operação em bandas estreitas. Para operação em
estruturas de banda larga, ou de valores muito diferenciados de impedâncias de
entrada e saída, os transformadores de múltiplas seções de quarto de onda se
apresentam como a solução mais viável.
2.3
Modelo para Pequenas Reflexões
Para procedermos à síntese dos transformadores de múltiplas seções, se faz
necessário desenvolvermos alguns resultados preliminares, os quais são
pertinentes ao caso de combinação de pequenas múltiplas reflexões.
21
Considerando o caso abaixo (Figura 1), de uma impedância ZL ligada a
uma impedância Z1 através de uma linha de impedância Z2.
Figura 1– Descontinuidade genérica.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
Onde:
Γ1 =
T21 = 1 + Γ1 =
Z 2 − Z1
Z 2 + Z1
2Z 2
Z1 + Z 2
Γ3 =
(2.9)
Γ2 = −Γ1
T12 = 1 + Γ2 =
2 Z1
Z1 + Z 2
(2.10)
(2.11)
ZL − Z2
ZL + Z2
O que representa que a onda refletida total de amplitude Γ é a soma de
todas as ondas parciais transmitidas para a esquerda, resultante das múltiplas
reflexões que ocorrem na seqüência de descontinuidades que compõe a estrutura.
Esta soma é dada por:
2
Γ = Γ1 + T12T21Γ3e −2 jθ + T12T21Γ3 Γ2 e −4 jθ + ...
∞
(2.12)
= Γ1 + T12T21Γ3e −2 jθ ∑ Γ2 Γ3 e −2 njθ
n
n
n =0
Esta série geométrica resulta em:
Se
Γ = Γ1 +
T12T21Γ3e −2 jθ
1 − Γ2 Γ3e −2 jθ
(2.13)
22
 ∞ n
−1 
 ∑ r = (1 − r )  :
 n=0

Γ=
Γ1 + Γ3e −2 jθ
1 + Γ1Γ3e − 2 jθ
(2.14)
Se | Γ1| e | Γ3| são pequenos, aproximamos Γ = Γ1 + Γ3e-2jθ.
Isto quer dizer que para pequenas reflexões, o coeficiente de reflexão total
resultante é igual àquele obtido levando-se em conta somente as reflexões de
primeira ordem.
Esse resultado é que sustenta todo o modelo de primeira ordem que se
desenvolveu para transformadores de quarto de onda e diversas seções.
2.4
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
Modelo para Transformadores de Quarto de Onda de Múltiplas
Seções
O coeficiente de reflexão total de um transformador de quarto de onda
devido às ondas refletidas de primeira ordem é:
Γ = ρ 0 + ρ1e −2 jθ + ρ1e −4 jθ + ... + ρ N e −2 jNθ
(2.15)
Onde e-2jNθ introduz o retardo de fase nas diversas ondas refletidas na
estrutura.
No caso de implementação de transformadores simétricos (ρ0 = ρN; ρ1 =
ρN-1; ρ2 = ρN-2; etc.), o coeficiente de reflexão pode ser reescrito como:
[ (
)
(
) ]
Γ = e − jNθ ρ 0 e jNθ + e − jNθ + ρ1 e j ( N − 2 )θ + e − j ( N − 2 )θ + ...
(2.16)
Onde o último termo é ρ(N-1/2) (ejθ + e-jθ) para N ímpar e ρ(N/2) para N par.
Das equações anteriores, pode-se afirmar que para um transformador
simétrico, o coeficiente de reflexão Γ é dado por uma série de Fourier de cosenos:
Γ = 2e − jNθ [ρ 0 cos Nθ + ρ1 cos( N − 2 )θ + ... + ρ N cos( N − 2n )θ + ...]
(2.17)
23
Onde o último termo é ρ(N-1/2) cosθ para N ímpar e ρ(N/2) para N par.
Ou seja, a partir de uma escolha adequada do coeficiente de reflexão ρn e
do correspondente Zn, uma variedade de características de banda-passante pode
ser obtida. Uma vez que a série é uma série de co-senos, a função deve ser
periódica sobre o intervalo π, correspondente à faixa de freqüências sobre a qual o
comprimento de cada seção do transformador varia de meio comprimento de
onda.
2.4.1
Transformador Binomial
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
A característica de banda passante mais plana possível é obtida se ρ =│Γ│
e as primeiras (N-1) derivadas em relação à freqüência (ou θ) se anularem na
freqüência de casamento f0.
Essa característica é obtida se escolhermos:
(
Γ = A 1 + e − 2 jθ
)
(2.18)
N
Para a qual:
ρ = Γ = A2 N (cos θ )N
(2.19)
Para θ = 0 ou π: Γ = A2N; então:
A = 2− N
(2.20)
Z L − Z0
Z L + Z0
Escrevendo a Eq. (2.18) na forma de uma expansão binomial, obtemos:
Γ = 2− N
Z L − Z0
Z L + Z0
N
∑C
n =0
N
n
e − j 2 nθ
(2.21)
24
Onde os coeficientes são:
CnN =
N ( N − 1)( N − 2)...( N − n + 1)
N!
=
n!
(N − n)!n!
(2.22)
Onde:
CnN = C NN− n ; C0N = 1 ; C1N = N = C NN−1 ...etc
(2.23)
Assim sendo, devemos escolher:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
ρn = 2− N
(2.24)
Z L − Z0 N
Cn = ρ N − n
Z L + Z0
Se assumirmos que estamos implementando um transformador com
pequenas reflexões, então ρn é pequeno, o que permite uma aproximação do tipo
(para valores 0.5 Z0 < ZL < 2 Z0):
ln
Z n+1
Z − Zn
≈ 2 n +1
≈ 2ρn
Zn
Z n+1 + Z n
ln
= 2 − N CnN ln
ZL
Z0
ZL
Z − Z0
≈2 L
Z0
Z L + Z0
(2.25)
(2.26)
A característica de banda passante mais plana possível é apresentada na
Figura 2 a seguir.
Figura 2 – Curva típica de ρ para o caso binomial.
25
O ângulo θm relativo à condição ρ = ρm, onde ρm é o valor máximo
desejado para ρ, é dado por:
1
θ m = cos −1
N
(2.27)
2ρm
Z
ln L 
 Z0 
E a largura de faixa normalizada é dada por:
1
N
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
2ρm
∆f 2( f 0 − f m )
4
=
= 2 − cos −1
Z
π
f0
f0
ln L 
 Z0 
(2.28)
Figura 3 - Dependência de ρ em função do número de seções.
2.4.2
Transformador Chebyshev
Uma alternativa à implementação de transformadores com resposta mais
plana possível do tipo Binomial, seria permitir que o coeficiente de reflexão
variasse de maneira oscilatória, ao longo de uma banda passante, com o objetivo
de otimizá-la para o maior valor possível.
26
Esta característica é obtida fazendo-se ρ se comportar de acordo com um
polinômio de Chebyshev. É possível anular ρ em tantas freqüências contidas na
banda passante quantas forem as seções do transformador.
O polinômio de Chebyshev de grau n, Tn(x), é um polinômio de grau n em
x. Os quatro primeiros polinômios são:
T1 (x ) = x
(2.29)
T2 (x ) = 2x 2 − 1
(2.30)
T3 (x ) = 4x 3 − 3 x
(2.31)
T4 (x ) = 8x 4 − 8 x 2 + 1
(2.32)
Tn (x ) = 2 x Tn -1 (x ) - Tn -2 ( x )
(2.33)
Os polinômios Tn oscilam entre ±1 para x compreendido no intervalo
│x│≤ 1; e aumentam de amplitude para fora desse intervalo.
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
Se x é substituído por cos θ, temos:
Tn (cos θ ) = cos nθ
(2.34)
Se considerarmos:
 cos θ 

cos θ 
 = cos n cos −1

Tn 
cos θ m 
 cos θ m 

(2.35)
O argumento será igual à unidade quando θ = θm e inferior à mesma para
θm < θ < π – θm, confinando as flutuações de igual amplitude à banda-passante
desejada.
Se considerarmos que (cos θ)n pode ser expandido em uma série de termos
em cos θ, cos 2θ, ..., cos nθ, segue que :
Γ = 2e − jNθ [ρ 0 cos( N )θ + ρ1 cos( N − 2 )θ + ... + ρ n cos( N − 2n )θ + ...]
= Ae − jNθ TN (sec θ m cos θ )
Onde A é uma constante a ser determinada.
Para θ = 0, temos:
(2.36)
27
Γ=
Zl − Z 0
= ATN (sec θ m ) ⇒
Zl + Z 0
A=
Zl − Z 0
(Zl + Z 0 ) TN (sec θ m )
(2.37)
Conseqüentemente:
Γ = e − jNθ
(Zl − Z 0 ) TN (secθ m cos θ )
(Zl + Z 0 ) TN (secθ m )
(2.38)
Na banda passante, o valor máximo de Tn (sec θm cos θ) = 1 ; assim:
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
ρm =
Zl − Z 0
(Zl + Z 0 ) TN (secθ m )
(2.39)
Se a banda passante e θm são especificados, o valor de ρm na banda fica
automaticamente delimitado a partir da Eq.(2.39).
TN (sec θ m ) =
Z l − Z 0 −1
ρm
Zl + Z0
(2.40)
Ou, para cos θ = 1:
1
 Z − Z 0 −1  
sec θ m = cos cos −1  l
ρ m  
 Zl + Z 0

N
(2.41)
Resumindo:
Impedância das Seções do Transformador Chebyshev (Tchebyscheff)
ln
Z n +1
Z − Z 0 Tn (sec θ m cos θ )
= e − jNθ L
Zn
Z L + Z 0 Tn (sec θ m )
(2.42)
Onde Tn (x) é o Polinômio de Chebyshev de ordem n.
ln
Z n +1
Z − Z 0 Tn (sec θ m cos θ )
= e − jNθ L
Zn
Z L + Z 0 Tn (sec θ m )
(2.43)
28
fT =
( f max − f min )
( f max + f min )
(2.44)
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
Figura 4 – Dependência de ρ em função do número de seções para Chebyshev
Resultados para transformadores de até 6 seções (Alison, 1968):
1 Seção (N = 1)
Z1 = Z O × Z L
(2.45)
2 Seções (N = 2)
1
 Z L  (4− 2 cos 2 θ )

C1 = 
 ZO 
Z1 = Z O C1
Z2 = Z L
(2.46)
(2.47)
(2.48)
C1
3 Seções (N = 3)
1
 Z L  (8− 6 cos 2 θ )

C1 = 
 ZO 
Z1 = Z O C1
(2.49)
Z 2 = ZO Z L
(2.51)
Z3 = Z L
(2.52)
C1
(2.50)
29
4 Seções (N = 4)
1
 Z L  (16−16 cos 2 θ + 2 cos 4 θ )

C1 = 
 ZO 
C2 = C1
(5−4 cos θ )
2
(2.54)
Z1 = Z O C1
(2.55)
Z 2 = Z O C2
(2.56)
Z3 = Z L
(2.57)
Z4 = Z L
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
(2.53)
C2
(2.58)
C1
5 Seções (N = 5)
1
 Z L  (32− 40 cos 2 θ +10 cos 4 θ )

C1 = 
Z
 O
C2 = C1
(6−5 cos θ )
2
(2.59)
(2.60)
Z1 = Z O C1
(2.61)
Z 2 = Z O C2
(2.62)
Z3 = ZO Z L
(2.63)
Z4 = Z L
(2.64)
Z5 = Z L
C2
(2.65)
C1
6 Seções (N = 6)
1
 Z  (64−96 cos 2 θ + 36 cos 4 θ − 2 cos 6 θ )
C1 =  L 
 ZO 
(2.66)
30
C2 = C1
C3 = C 2
(1+ 21sin
2
2
θ − 9 sin 2 θ cos 2 θ
)
(2.68)
Z1 = Z O C1
(2.69)
Z 2 = Z O C2
(2.70)
Z 3 = Z O C3
(2.71)
Z4 = Z L
(2.72)
Z5 = Z L
Z6 = Z L
PUC-Rio - Certificação Digital Nº 0821984/CA
(2.67)
(7 −6 cos θ )
C3
(2.73)
C2
(2.74)
C1