ATIVIDADES NO GEOGEBRA SOBRE DEMONSTRAÇÕES DE
ARQUIMEDES E BARROW
Luiz Antônio Jacyntho (UNEMAT e mestrando da UNICAMP)
Luiz Mariano Carvalho (UERJ)
Através de um programa de Geometria Dinâmica, Geogebra, é possível obter visualizações e,
conseqüentemente, uma melhor compreensão de uma demonstração elaborada por Arquimedes
para provar que a área de qualquer círculo é equivalente a de um determinado triângulo
retângulo. Também é possível entender casos particulares do Teorema Fundamental do Cálculo,
explorados por Barrow.
INTRODUÇÃO
Na primeira parte deste trabalho serão apresentadas as demonstrações de Arquimedes de Siracusa
(287 a.C. - 212 a.C, Grécia) para a área do círculo e de Isaac Barrow (1630-1677, Inglaterra) para
casos particulares do Teorema Fundamental do Cálculo. Seguir-se-ão roteiros de atividades para a
utilização de um programa de geometria dinâmica, Geogebra, que permitem uma melhor
compreensão do que Arquimedes e Barrow realizaram especificamente nestes casos e como tais
demonstrações contêm conceitos de infinito e de convergência de seqüências que só mais tarde
foram formalizados. O principal objetivo dessas atividades é servir de apoio a aulas de Cálculo
Diferencial e Integral.
PROPOSIÇÃO DE ARQUIMEDES
“A área de qualquer círculo é igual à área de um triângulo reto, no qual um dos lados sobre o
ângulo reto é igual ao raio, e o outro à circunferência, do círculo.” (em “A medida de um
círculo”, Heath, 2002)
Figura 1
Demonstração:
Sejam o círculo ABCD de área igual a C e o triângulo K de área igual a T, descritos na proposição,
então, se C não for igual a T, ela deve ser maior ou menor do que T. Suponha que C é maior do que
T. Assim, inscreva em ABCD um quadrado com os vértices em ABCD, conforme a Figura 2.
Figura 2
Figura 3
Dividindo ao meio os arcos AB, AC, CD, DA, marcando os pontos médios na circunferência e
unindo os pontos adjacentes tem-se agora um novo polígono regular, mas agora com oito lados, (ver
Figura 3). Então divida as metades novamente, conforme foi feito anteriormente e assim por diante,
até encontrar um polígono regular inscrito tal que a diferença de C com a sua área seja menor que a
diferença de C com T. Então a área deste polígono é maior que T (aqui é usado o Método da
Exaustão1, proposição 1 do livro X dos Elementos de Euclides, Heath, 1956).
Figura 4
1
Figura 5
“Sejam duas grandezas diferentes, se da maior é subtraída uma grandeza maior que sua metade, e do que sobrar, uma
grandeza maior que sua metade, e se este processo for repetido continuamente, então sobrará uma grandeza menor do
que a menor das grandezas dadas. E o teorema pode ser provado de forma semelhante mesmo se as partes subtraídas
forem iguais às metades.” (tradução dos autores)
Daí, seja AE qualquer lado do polígono e ON a perpendicular sobre AE, onde O é o centro de
ABCD, conforme Figura 5. Então ON é menor que o raio de ABCD e, portanto, menor que um dos
lados de K. O perímetro do polígono também é menor que a circunferência do círculo e
conseqüentemente menor que outro lado de K, ambos os lados que formam o ângulo reto de K.
Portanto a área do polígono é menor que T; o que contraria a hipótese inicial, logo C é menor ou
igual a T.
De forma análoga Arquimedes desenvolveu a demonstração para um círculo inscrito em um
quadrado chegando à conclusão da necessidade das áreas do círculo e do triângulo retângulo
proposto serem iguais.
PROPOSIÇÃO DE BARROW
Nessa proposição, ao contrário do que estamos acostumados atualmente, apenas o eixo vertical não
é utilizado, sendo assim os valores abaixo do eixo horizontal (que contém o segmento AD) não são
considerados negativos.
“Seja ZGE qualquer curva na qual o eixo é AD; e seja as ordenadas aplicadas a este eixo, AZ,
PG, DE, crescendo continuamente em relação à ordenada inicial AZ; também seja AIF uma
curva tal que, se qualquer segmento de reta EDF é traçado perpendicular a AD, cortando as
curvas nos pontos E, F, e AD em D, o retângulo contido por DF e um dado comprimento R é
igual ao espaço interceptado ADEZ ; seja também DE/DF = R/DT, e una DT. Então TF é
tangente à curva AIF no ponto F.” (Conferencia 10, proposição 11, pág. 116, Child, 1916).
Figura 6
Demonstração:
Seja qualquer ponto I é tomado na curva AIF (primeiro entre de F e A), e através dele, IG é traçado
paralelo a AZ, e KL é paralelo a AD, cortando as retas dadas como é mostrado na Figura 7;
Figura 7
Figura 8
então por semelhança de triângulos conclui-se que LF/ LK = DF/ DT (1). Como por hipótese DE/ R
= R/DT, daí vem que DF/DT = DE/R (2). Agora de (1) e de (2), temos que LF/LK = DE/R ou que
LF.R = LK.DE. (3). Novamente da hipótese temos que DF.R = área ADEZ e que PI.R = área APGZ
(4). Como LF = DF – DL, IL foi traçado paralelo a VD e PI paralelo a DL então DL = PI e também
LF = DF – PI (5), isso pode ser visto na Figura 8. Daí por (3), (4) e (5), temos que: DE.LK = LF.R
= ( DF – PI ).R = área ADEZ – área APGZ = área PDEG (na Figura 9 pode-se conferir esta
igualdade).:
Figura 9
Figura10
Como a área PDEG < DP.DE, (ver figura 10) pois novamente usando a hipótese temos que as
ordenadas são continuamente crescentes, então DE.LK<DP.DE e conseqüentemente LK <DP .
Assim como DP = LI ( ver figura 7), conclui-se que K não pode ser um ponto da curva AIF; logo a
reta em questão é tangente no ponto F. De forma análoga, se o ponto I é tomado depois de F, e a
mesma construção é feita como antes, podendo ser mostrado que LK> DP. Assim ficou
demonstrado que a reta TF tangencia a curva AIF no ponto F.
GRÁFICOS DINÂMICOS NO PROGRAMA GEOGEBRA
Estamos desenvolvendo um conjunto de atividades para apoio a aulas de Cálculo Diferencial e
Integral, em particular, para o ensino do conceito de Integral e do Teorema Fundamental do
Cálculo. Nessas duas atividades propomos passos que levem o estudante a experimentar conflitos
(Giraldo, 2004) entre os conceitos que ele terá aprendido nas aulas teóricas e as respostas do
computador aos comandos do Geogebra. Essas atividades ainda não foram testadas em sala de aula,
mas pretendemos fazer experimentos em breve.
Atividade sobre a proposição de Arquimedes
Figura 11
1. Calcule a área do circulo e depois a área do polígono regular inscrito contendo 64 lados.
Depois diminua ambas as áreas na posição mover e observe o que acontece.
2. Vá em opções e aumente para 5 o número de casas decimais e observe o resultado
3. Use a função zoom e aumente em cima de um lado do polígono até que a figura fique do
tamanho de sua tela.
4. Aumente o número de lados do polígono, será que para qualquer polígono vai existir
diferença entre sua área e a área da circunferência?
5. Se existir diferença o que deve acontecer para que ela não apareça?
6. Qual é a sua conclusão após realizar as etapas acima?
Objetivo da atividade
Nesse caso o estudante deverá experimentar uma contradição entre a informação dada pelo
computador de que as áreas do círculo e do polígono são iguais, por um lado, e a demonstração de
que elas são diferentes. Através de atividades de magnificação e de variação do número das casas
decimais, queremos colocar o estudante diante do fato de que a informação do computador é
limitada à precisão utilizada e de que a justificativa de a área do círculo ser maior pode se dar
através do conceito de limite de uma seqüência infinita de números reais (áreas dos polígonos).
Atividade sobre a proposição de Barrow
Uma limitação importante da demonstração de Barrow é que ela só é válida para funções
estritamente crescentes ou decrescentes, apesar desse ponto não será enfocado nesse momento, ele
será visto em outras atividades.
Figura 12
1. Coloque o ponto F de tal forma que à distância DF seja um número entre 7 e 8.
2. Clique em cima do ponto A e mexa a reta que passa pelos pontos A e F e observe o que
acontece com a distância DH
3. Qual é o valor da inclinação da reta quando o ponto H se localiza em cima do ponto E?
4. Quando o ponto H fica sobre o ponto E, sobre que ponto vai ficar o ponto A
5. Vá em opções e aumente o número de casas decimais para 5 e observe o que acontece
6. Qual é o valor da divisão de DF por DE?
7. Escolha a função ampliar e selecione o ponto F, amplie e relate o que aconteceu.
8. Coloque agora o ponto F de tal forma que à distância DF seja um número entre 1 e 2 e faça
os procedimentos de 1 até 7 novamente.
Objetivo da atividade
Essa atividade faz parte de um conjunto de outras que já terão trabalhado vários aspectos da
demonstração geométrica de Barrow para o Teorema Fundamental do Cálculo. A idéia central é
desenvolver a relação entre a inclinação da reta tangente ao gráfico da função integral (na parte
superior do gráfico) e a ordenada da função para a qual se está calculando a integral (na parte
inferior). Através de processos de magnificação e mudança da quantidade de casas decimais, o
objetivo é que o estudante possa refletir sobre a relação entre o conceito de derivada (inclinação da
reta tangente) e integral (nesse caso igual, a menos de sinal, à área definida por uma curva, um eixo
e retas perpendiculares ao eixo). Com a utilização de diferentes pontos na curva pretendemos
mostrar que o comportamento do programa pode variar muito, pois em um dos casos a reta tangente
e a curva serão indistinguíveis e em outro elas sempre serão diferentes. Novamente nesse caso, a
limitação da precisão utilizada, poderá levar aos estudantes a refletirem sobre os conceitos
envolvidos. O objetivo central dessa atividade é fortalecer a idéia de que a reta tangente é a única
que atende à condição de corresponder à ordenada da função que se está calculando a integral. Ao
mesmo tempo será vivenciada a limitação do programa em confirmar essa informação por causa da
limitação na precisão da representação dos números reais.
OBSERVAÇÕES FINAIS
Apresentamos um extrato de atividades que temos desenvolvido para apoio a aulas de Cálculo
Diferencial e Integral. Ao nos apoiarmos em textos históricos e utilizarmos a Geometria Dinâmica,
visamos aumentar o interesse dos alunos pelo desenvolvimento da matemática, acentuando
diferenças, similaridades, limitações entre várias épocas do desenvolvimento do pensamento
matemático e reforçamos a necessidade da construção de conceitos sólidos para fundamentação do
Cálculo Diferencial e Integral.
Referências
Child, J. M. (1916). The Geometrical Lectures of Isaac Barrow. The Open Court Publishing
Company.
Giraldo, V. (2004). Descrições e Conflitos Computacionais: O Caso da Derivada, Tese de
Doutorado, COPPE-UFRJ.
Heath, T. L. (1956) Euclid, The Thirteen Books of The Elements, Dover.
Heath, T. L. (2002) The Works of Archimedes. Dover.