IV Colóquio Internacional Educação e Contemporaneidade ISSN 1982-3657
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MODELAGEM MATEMÁTICA: A CONSTRUÇÃO DE UM CONCEITO
Marcelo Leon Caffé de Oliveira1
Universidade Estadual de Feira de Santana – UEFS
[email protected]
RESUMO
O presente trabalho apresenta um conceito de modelagem matemática e seu processo de
construção, a partir da análise de conceitos encontrados na literatura. Esta construção foi
realizada com base numa pesquisa bibliográfica, tomando como fontes artigos publicados em
periódicos e em anais de eventos, livros e teses de doutorado.
PALAVRAS-CHAVE: Educação Matemática. Modelagem Matemática. Construção de um
Conceito.
ABSTRACT
This paper presents a concept of mathematical modeling and its construction process, from
the analysis of concepts found in literature. This construction was based on a literature search,
using as source articles published in journals and conference proceedings, books and doctoral
theses.
KEY-WORDS: Mathematics Education. Mathematical Modeling. Construction of a Concept.
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INTRODUÇÃO
Muito se tem argumentado para que o ensino de matemática esteja relacionado com os
propósitos de exercício da cidadania, o que, por sua vez, é entendido em termos da
possibilidade dos alunos atuarem nos espaços sociais externos à escola (BARBOSA, 2001,
2003a; BRASIL, 1998; D’AMBRÓSIO, 1998, 2002).
Além disso, alguns trabalhos (D’AMBRÓSIO, 1986, 1998; BRASIL, 1998;
BASSANEZI, 2002; BARBOSA, 2004; SKOVSMOSE, 2004; OLIVEIRA, 2007, 2009;
MELO; OLIVEIRA, 2009) têm apontado para a necessidade de transformar a sala de aula de
Matemática num espaço de diálogo entre os diversos tipos de saberes, de análise crítica e de
estímulo à capacidade reflexiva. Em particular, há a ênfase na problematização de situações
do cotidiano nas aulas de matemática, pois elas favorecem uma participação mais efetiva dos
alunos (OLIVEIRA, 2007), fazendo com que as relações aluno aluno e aluno professor
sejam mais dialógicas.
A modelagem matemática tem sido apresentada como uma das possíveis maneiras de
organizar as aulas de matemática para alcançar os propósitos de utilizar problemas do
cotidiano (BRASIL, 1998; BARBOSA, 2004; BARBOSA; OLIVEIRA, 2008; MELO;
OLIVEIRA, 2009), bem como o de tematizar questões relacionadas ao exercício da cidadania
(ALMEIDA; DIAS, 2004, BARBOSA, 2001, 2003a; JACOBINI; WODEWOTZKI, 2006;
KATO, 2007; OLIVEIRA; OLIVEIRA, 2008; ROZAL; ESPÍRITO SANTO, 2007).
No âmbito da Educação Matemática são encontradas várias maneiras de conceituar
modelagem matemática2. Neste artigo, apresento a construção de um conceito de modelagem
a partir da análise de elementos enfatizados em alguns conceitos encontrados na literatura
nacional. Ele é um recorte da revisão de literatura que fiz em minha dissertação de mestrado,
sendo parte do capítulo intitulado “A Prática de Modelagem dos Alunos”.
METODOLOGIA
Este trabalho se configura como uma pesquisa bibliográfica, também chamada de
estudo documental, que segundo Fiorentini e Lorenzato (2006, p. 102) “é aquela que se faz
preferencialmente sobre documentação escrita”. Os documentos utilizados como fontes nesta
investigação foram artigos publicados em periódicos e em anais de eventos, livros e teses de
doutorado.
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Uma das possibilidades de estudo bibliográfico é a metanálise, que se configura como
“uma revisão sistemática de outras pesquisas, visando realizar uma avaliação crítica das
mesmas e/ou produzir novos resultados ou sínteses a partir do confronto desses estudos,
transcendendo aqueles anteriormente obtidos” (FIORENTINI; LORENZATO, 2006, p. 103).
Este artigo pode ser classificado como uma metanálise, pois pretendo construir um
conceito de modelagem matemática a partir da análise e da síntese de conceitos presentes nos
documentos consultados.
A CONSTRUÇÃO DE UM CONCEITO
Como dito anteriormente, vários conceitos de modelagem são encontrados na
literatura nacional, e nestes vários conceitos é possível observar que a ênfase é dada em
aspectos diferentes.
A seguir, analiso vários desses aspectos que são enfatizados em alguns dos conceitos
de modelagem encontrados na literatura e, ao final, enuncio uma concepção de modelagem.
A ênfase na utilização de problemas da realidade abordados através da Matemática.
Encontramos na literatura várias referências ao fato dos problemas abordados nas
atividades de modelagem fazerem referência à realidade e serem abordados através da
Matemática. Araújo (2002) considera que a modelagem é uma abordagem de uma situação ou
problema não-matemático da realidade por meio da matemática. Já Barbosa (2001) afirma que
numa atividade de modelagem os alunos são convidados a investigar situações com referência
na realidade por meio da Matemática. Bassanezi (2002) considera a modelagem como uma
arte que transforma problemas reais em problemas matemáticos.
Concordo que os problemas abordados por meio de atividades de modelagem devam
fazer referência na realidade (SKOVSMOSE, 2008). Estes problemas são normalmente
construídos a partir de situações retiradas do cotidiano ou de outras áreas do conhecimento
diferentes da matemática, situações que não foram inventadas por alguém com o objetivo de
ensinar Matemática.
Aqui começa a se formar o conceito de modelagem adotado nesta pesquisa:
modelagem matemática envolve problemas não matemáticos com referência na realidade que
os estudantes solucionam utilizando Matemática.
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A ênfase apenas na elaboração de hipóteses e aproximações simplificadoras.
Para Bean (2001, p.53), “a essência da modelagem matemática consiste em um
processo no qual características pertinentes de um objeto ou sistema são extraídas, com a
ajuda de hipóteses e aproximações simplificadoras, e representadas em termos matemáticos (o
modelo)”.
Uma limitação apresentada por este conceito é abrir a possibilidade de problemas
puramente matemáticos, que seriam normalmente classificados como problemas de
Investigação Matemática3, serem considerados problemas de modelagem. Isso se configura
como uma limitação, pois o foco da atividade de modelagem estaria no desenvolvimento de
teoria matemática e não na discussão do papel da Matemática e dos modelos matemáticos na
sociedade. Também é uma limitação afirmar que todo processo de modelagem culmina com a
construção de um modelo, que é o próximo tópico a ser abordado.
A ênfase na obtenção/construção de um modelo matemático.
Para Almeida e Dias (2004), a modelagem envolve a criação de modelos com o
objetivo de analisar um determinado problema através da formulação e simplificação de
hipóteses. Já Bassanezi (2002) e Biembengut (1999) enfatizam simplesmente que a
modelagem é um processo para se obter um modelo. Araújo e Espírito Santo (2007)
enfatizam que a modelagem, através da construção de modelos, possibilita um melhor
aprendizado por parte dos alunos.
Neste ponto, é pertinente analisar alguns conceitos de modelo matemático encontrados
na literatura e evidenciar o conceito de modelo que será adotado nesta pesquisa.
Em linhas gerais, um modelo matemático é definido como a tradução do problema em
questão através de um conjunto de símbolos e relações matemáticas. É a representação
matemática do problema em questão, obtida depois que as variáveis envolvidas são
simplificadas através de conceitos matemáticos (BASSANEZI, 2002; BEAN, 2001;
BIEMBENGUT, 1999).
Contudo, há nuances que diferenciam as definições de modelo matemático para cada
um desses autores. Para Bassanezi (2002) e Bean (2001) essa representação matemática se dá
em termos de equações ou estruturas matemáticas. Já Barbosa (2001) e Biembengut (1999)
flexibilizam o conceito de modelo matemático ao considerarem qualquer representação
matemática do problema em questão como um modelo.
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Nas palavras de Biembengut (1999), um modelo “pode ser formulado em termos
familiares, utilizando-se expressões numéricas ou fórmulas, diagramas, gráficos ou
representações geométricas, equações algébricas, tabelas, programas computacionais etc.” (p.
20). Abre-se assim a possibilidade de considerar a planta baixa de uma casa, ou o orçamento
dos custos de construção dela como modelos.
A idéia de modelo apresentada por Barbosa (2001) e Biembengut (1999) será adotada
nesta investigação por ampliar e flexibilizar o conceito de modelo herdado da Matemática
Aplicada,
acrescentando
gráficos,
representações
geométricas,
tabelas
etc.
como
possibilidades de representar um modelo matemático.
Cabe enfatizar aqui o meu entendimento de que, em uma atividade de modelagem, não
é necessário que haja a construção de um modelo matemático, pois “o importante - assim
julgo - não é a construção do modelo em si, mas o processo de indagação e investigação, que
pode, ou não, envolver a formulação de um modelo matemático propriamente dito”
(BARBOSA, 2001, p. 36).
Aceitar a idéia de que uma atividade de modelagem deve necessariamente culminar
com a construção de um modelo matemático, faz com que só seja possível determinar se essa
atividade é ou não de modelagem após o termino da mesma, ao analisarmos se os alunos
chegaram ou não à construção de um modelo matemático.
Modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem de Matemática ou como ambiente de
aprendizagem.
Além dos elementos evidenciados acima, encontramos também referências à
modelagem como uma estratégia de ensino-aprendizagem de Matemática (ALMEIDA; DIAS,
2004; ARAÚJO; ESPÍRITO SANTO, 2007; BASSANEZI, 2002; BIEMBENGUT, 1999;
JACOBINI; WODEWOTZKI, 2006; SOUZA; ESPÍRITO SANTO, 2007), como um processo
gerador de um ambiente de aprendizagem (CHAVES; ESPÍRITO SANTO, 2007 apud
CUNHA; ESPÍRITO SANTO, 2007) ou como um ambiente de aprendizagem (BARBOSA,
2001, 2003a; OLIVEIRA; BARBOSA, 2007) no âmbito da Educação Matemática.
As referências que encontramos à modelagem como estratégia de ensinoaprendizagem de Matemática enfatizam a relação entre as atividades de modelagem e os
conteúdos matemáticos. Em Almeida e Dias (2004) e em Souza e Espírito Santo (2007)
encontramos referência à modelagem como estratégia de ensino-aprendizagem em que os
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conteúdos curriculares de Matemática são abordados através da investigação e análise de
situações reais.
Bassanezi (2002) sugere a modelagem como uma estratégia de ensino-aprendizagem
em cursos regulares ou não e afirma que neste caso os modelos obtidos e o fenômeno
modelado devem servir como motivação para o aprendizado de conteúdos matemáticos e que
“o mais importante não é chegar imediatamente a um modelo bem sucedido mas, caminhar
seguindo etapas onde o conteúdo matemático vai sendo sistematizado e aplicado.” (p. 38)
Outra referência à modelagem como estratégia de ensino é encontrada em Biembengut
(1999). A autora afirma que a modelagem é um possível caminho para despertar o interesse
dos alunos por tópicos matemáticos desconhecidos e que um dos objetivos da inserção de
atividades de modelagem no currículo de Matemática é possibilitar a aquisição de
conhecimento matemático.
Já Araújo e Espírito Santo (2007) afirmam que, como uma estratégia de ensinoaprendizagem, a modelagem possibilita um melhor aprendizado dos conteúdos matemáticos
pelos alunos.
A idéia de que a modelagem é um processo gerador de um ambiente de aprendizagem,
está relacionada à preocupação em articular os conteúdos matemáticos com os conteúdos de
outras áreas do conhecimento, numa tentativa de fazer com que os alunos desenvolvam uma
visão global do problema investigado (CHAVES; ESPÍRITO SANTO, 2007 apud CUNHA;
ESPÍRITO SANTO, 2007, p.09).
Já a noção de ambiente de aprendizagem se refere ao modo como as atividades
escolares são organizadas e os alunos estimulados a realizá-las (SKOVSMOSE, 2008). Como
exemplos de ambientes de aprendizagem podemos citar, dentre outros, a resolução de
problemas, a investigação matemática, a aula expositiva e a modelagem.
Conforme afirma Barbosa (2003b, p. 68-69),
[...] o ambiente de Modelagem está associado à problematização e
investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas
enquanto que o segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de
informações e reflexão sobre elas. Ambas atividades não são separadas, mas
articuladas no processo de envolvimento dos alunos para abordar a atividade
proposta. Nela, podem-se levantar questões e realizar investigações que
atingem o âmbito do conhecimento reflexivo.
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Durante a abordagem de atividades propostas no ambiente de modelagem os alunos
são convidados a problematizar e investigar um determinado tema, manipulando informações
e refletindo sobre elas de forma sistematizada.
Como vimos acima, a noção de ambiente de aprendizagem difere da noção de
processo gerador de ambiente de aprendizagem e da noção de estratégia de ensinoaprendizagem. Quando a modelagem é tratada como estratégia de ensino há a ênfase no
ensino e na aprendizagem dos conteúdos matemáticos. A idéia de processo gerador de
ambiente de aprendizagem, a meu ver, se aproxima da visão de que modelagem é uma
estratégia de ensino-aprendizagem apresentada por Bassanezi (2002), Biembengut e Hein
(2003), dentre outros. E, quando a modelagem é tratada como ambiente de aprendizagem, há
a ênfase na problematização e na investigação de um determinado tema de acordo com o
contexto.
A noção de modelagem como ambiente de aprendizagem é adotada neste trabalho e
assim temos delineado o seguinte conceito de modelagem: modelagem matemática é um
ambiente de aprendizagem em que os estudantes são convidados a solucionar
matematicamente problemas não matemáticos com referência na realidade.
Para completar o conceito de modelagem enunciado acima é necessário apresentar a
perspectiva sócio-crítica de modelagem. Um conceito está associado ao “o que é modelagem”
e uma perspectiva4 está associada ao “porque utilizar modelagem”.
A Perspectiva Sócio-Crítica se refere às dimensões sócio-culturais da Matemática. Ela
reivindica a necessidade de pensar criticamente o papel da Matemática na sociedade, o papel
da natureza dos modelos matemáticos e a função da modelagem na sociedade (KAISER;
SRIRAMAN, 2006).
Associando o conceito de modelagem acima enunciado com a perspectiva SócioCrítica de modelagem, apresento a seguir, de forma mais elaborada, a concepção de
modelagem que estou propondo.
Modelagem matemática é um ambiente de aprendizagem em que os estudantes são
convidados a solucionar matematicamente problemas não matemáticos com referência na
realidade que possuam potencialidades de gerar reflexões sobre a presença da Matemática na
sociedade.
CONSIDERAÇÕES FINAIS
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Neste trabalho, a partir de uma pesquisa bibliográfica, apresentei o processo de
construção de um conceito de modelagem matemática, partindo da análise de elementos
enfatizados em outros conceitos encontrados na literatura.
O entendimento gerado pela análise empreendida é que, como dito acima, modelagem
matemática é um ambiente de aprendizagem em que os estudantes são convidados a
solucionar matematicamente problemas não matemáticos com referência na realidade que
possuam potencialidades de gerar reflexões sobre a presença da Matemática na sociedade.
Dessa maneira, o ambiente de modelagem matemática pode ser caracterizado:
_ Pelo convite feito aos alunos para solucionar matematicamente um problema não
matemático. Este processo envolve um convite a problematizar e/ou investigar a situação que
deu origem ao problema não matemático. O termo problematizar está associado à ação de
levantar questões sobre a situação proposta e o termo investigar diz respeito às ações de
buscar diligentemente, de pesquisar, selecionar, manipular e organizar dados que possibilitem
a construção de soluções para as questões levantadas. O convite para problematizar e/ou
investigar feito aos alunos, configura o ambiente de modelagem como um cenário para
investigação5;
_ Pelo fato de o problema não matemático a ser solucionado ter referência na
realidade, isto é, ele é construído a partir de situações cotidianas ou de outras áreas do
conhecimento, se situações retiradas da vida real, não é uma realidade construída com
propósitos pedagógicos e nem é um problema puramente matemático (SKOVSMOSE, 2008);
_ Pelo fato dos alunos não possuírem estratégias de resolução previamente construídas
que possam ser aplicadas ao problema.
_ Por ter a possibilidade de potencializar reflexões sobre o papel da Matemática na
sociedade, isto é, por possibilitar a discussão da natureza dos modelos matemáticos e seus
usos na sociedade, já refletindo, de certa maneira, a perspectiva sócio-crítica de modelagem
(BARBOSA, 2006; KAISER; SRIRAMAN, 2006).
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1
Mestre em Ensino, Filosofia e História das Ciências pela Universidade Federal da Bahia (UFBA) e pela
Universidade Estadual de Feira de Santana (UEFS), professor Assistente da UEFS, membro do Núcleo de
Pesquisas em Modelagem Matemática e do Grupo Colaborativo em Modelagem Matemática.
2
Com a intenção de evitar repetições, as vezes me referirei à modelagem matemática apenas como modelagem.
3
Numa Investigação Matemática “o aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de
questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na
discussão e argumentação com os seus colegas e o professor”. (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p.
23).
4
Associada à uma determinada perspectiva de modelagem matemática temos os argumentos para implementação
de atividades de modelagem nos currículos de Matemática, o que evidencia os propósitos da implementação das
atividades de modelagem em sala de aula e o conceito de modelagem que está sendo adotado. Como este
trabalho não está focado numa discussão sobre perspectivas de modelagem matemática, sugiro aos que querem
se aprofundar neste tema a leitura de Kaiser e Sriraman (2006), Barbosa e Santos (2007) e Oliveira (2009).
5
“Um cenário para investigação é aquele que convida os alunos a formular questões e a procurar explicações”
(SKOVSMOSE, 2008, p. 21).