Departamento de Matemática
INTRODUÇÃO À ANÁLISE E FUNÇÃO ZETA DE RIEMANN
Aluno: Pietro Ribeiro Pepe
Orientador: Luca Scala
Introdução à Análise
O objetivo principal do projeto foi, durante o primeiro semestre, adquirir base
matemática adiantando o curso de Introdução à Análise, que abordou entre outros tópicos:
topologia da reta, limites e convergência de sequências e séries numéricas, Teorema de
Bolzano-Weierstrass, Teorema do Valor Intermediário e continuidade uniforme.
Algumas noções matemáticas, assim como a adaptação ao raciocínio indutivo e dedutivo, são
essenciais para qualquer estudo mais aprofundado e melhor compreensão dos problemas de
mais alto nível.
Um pouco de análise complexa, como representações de números complexos, foi
estudado em adição ao conteúdo de introdução à análise. Abaixo serão abordados alguns dos
tópicos vistos ao longo do projeto, de forma a elucidar um pouco sua extensão.
Estudo da função zeta
Como continuação, foi estudada a função zeta de Riemann e sua origem. Tal função é
de grande importância na matemática, relacionada à distribuição dos números primos e com
dúvidas que perduram até os dias de hoje, como a conjectura denominada hipótese de
Riemann.
A hipótese de Riemann sobre os números primos é de tal importância que tem intrigado
os matemáticos há mais de 150 anos. A hipótese é um dos poucos problemas não resolvidos
do programa de Hilbert e é tão difícil que em 2000 o Clay Mathematics Institute ofereceu um
prêmio de 1 milhão de dólares a quem prová-lo, juntamente a outros problemas, como a
questão “N versus NP”.
∞
1
ζ(z) = ∑ 𝑧
𝑛
𝑛=1
A função zeta (ζ) de Riemann desempenha um papel muito importante em várias áreas
de pesquisa moderna. Na Física Teórica aparece em problemas de regularização de
determinantes infinitos que surgem em Teoria de Campos; e, também, em alguns trabalhos
teóricos sobre o importante fenômeno da supercondutividade.
De relevante importância para o estudo dos números primos, a função zeta de
Riemann invariavelmente ocupa amplo espaço em qualquer texto sobre a Teoria dos
Números. Sua relação com outras funções especiais também lhe reserva uma posição
importante na Teoria das Funções.
𝟏
Convergência da série ∑∞
𝒏=𝟏 𝒏𝒛
1
1
Tentamos ver se a série ∑ 𝑛𝑧 converge absolutamente, ou seja, se ∑ |𝑛𝑧 | converge, e se
sim, para quais valores.
Substituindo 𝑛 𝑧 = 𝑒 𝑧.log⁡(𝑛) , podemos escrever nossa série como:
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∞
∞
𝑛=1
𝑛=1
1
∑ | 𝑧 | = ∑|𝑒 −𝑧.log⁡(𝑛) |
𝑛
Desenvolvendo |𝑒 𝑧 | temos:
|𝑒 𝑧 | = |𝑒 𝑎 . 𝑒 𝑏𝑖 |
Pela fórmula de Euler (𝑒 𝑥𝑖 = cos(𝑥) + 𝑖⁡𝑠𝑒𝑛(𝑥), 𝑝𝑎𝑟𝑎⁡𝑥⁡𝑟𝑒𝑎𝑙):
|𝑒 𝑧 | = |𝑒 𝑎 ⁡(cos(𝑏) + 𝑖⁡𝑠𝑒𝑛(𝑏))|
|𝑒 𝑧 |
|𝑒 𝑧 | = |𝑒 𝑎 ⁡|√cos²(𝑏) + 𝑠𝑒𝑛²(𝑏)⁡
= 𝑒 = ⁡ 𝑒 𝑅𝑒(𝑧) , 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜⁡𝑅𝑒(𝑧)⁡𝑎⁡𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒⁡𝑟𝑒𝑎𝑙⁡𝑑𝑒⁡𝑧
Ou seja:
𝑎
∞
∑|𝑒
∞
−𝑧.log⁡(𝑛)
| = ⁡ ∑ 𝑒 −𝑅𝑒(𝑧 log(𝑛))
𝑛=1
𝑛=1
Desenvolvendo a parte real do expoente temos:
𝑅𝑒(𝑧 log(𝑛)) = 𝑅𝑒((𝑎 + 𝑏𝑖)log⁡(𝑛)) = 𝑅𝑒(𝑎. 𝑙𝑜𝑔(𝑛) + 𝑏𝑖. 𝑙𝑜𝑔(𝑛)) = 𝑅𝑒(𝑧). log(𝑛)
Logo:
∞
∑𝑒
∞
−𝑅𝑒(𝑧 log(𝑛))
𝑛=1
= ∑𝑒
𝑛=1
∞
−𝑅𝑒(𝑧) log(𝑛)
=∑
𝑛=1
1
𝑛𝑅𝑒(𝑧)
Vemos que para Re(z) > 1, temos uma série sub-harmônica, que por sua vez converge
absolutamente. Ora, se a série converge absolutamente, então podemos dizer que ela
converge;
A função zeta e os números primos
Um dos tópicos abordados foi, como dito anteriormente, a relação da função zeta com os
números primos, a qual será sucintamente mostrada abaixo.
Uma das formas de mostrar tal relação começa com o “crivo de Eratóstenes”. Eratóstenes
desenvolveu esse algoritmo para encontrar os números primos. Ele funciona de tal maneira:
Em primeiro lugar listamos todos os números inteiros, começando com 2. Percorremos
todos os números em ordem crescente, e para cada número encontrado riscamos todos os
múltiplos, tirando ele próprio, da lista. Assim os números restantes (aqueles que não foram
riscados) da lista são todos primos. Com o algoritmo já conhecido, o aplicaremos, de forma
semelhante, à função zeta:
ζ(z) = 1 +
Multiplicamos
1
2𝑧
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+⋯
2𝑧 3𝑧 4𝑧 5𝑧 6𝑧
por ζ(z):
1
1
1
1
1
1
ζ(z) = 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + ⋯
𝑧
2
2
4
6
8
10
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Subtraímos a primeira expressão dessa segunda, temos então:
(1 −
1
1
1
1
1
1
) ζ(z) = 1 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + ⋯
𝑧
2
3
5
7
9
11
1
Fazendo o mesmo para 3𝑧 temos:
(1 −
1
1
1
1
1
1
1
) (1 − 𝑧 ) ζ(z) = 1 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + 𝑧 + ⋯
𝑧
3
2
5
7
11
13
17
Se continuarmos fazendo até algum primo bastante grande, como 997, temos:
(1 −
1
1
1
1
1
1
1
1
) (1 −
) … (1 − 𝑧 ) (1 − 𝑧 ) ζ(z) = 1 +
+
+
+
+⋯
997 𝑧
991 𝑧
3
2
1009 𝑧 1013𝑧 1019 𝑧 1021 𝑧
Vemos que o lado direito, se z for qualquer número maior que 1, é apenas pouco maior que o
próprio 1. Se z for 3, por exemplo, o valor será 1,0000000673103608134... [1]. Logo não é tão
improvável dizer que, se o processo for repetido infinitamente, temos algo como:
… (1 −
1
1
1
1
1
1
) (1 − 𝑧 ) (1 − 𝑧 ) (1 − 𝑧 ) (1 − 𝑧 ) (1 − 𝑧 ) ζ(z) = 1
𝑧
13
11
7
5
3
2
Dividindo cada lado da expressão repetidamente, por cada termo entre parênteses, temos:
ζ(z) = (
1
1
1 − 2𝑧
)⁡.⁡⁡(
1
1
1 − 3𝑧
1
)⁡. (
1−
1
5𝑧
)⁡. (
1
1
1 − 7𝑧
)⁡. (
1
1
1 − 11 𝑧
)⁡. …
O que, na verdade, reescrito de uma maneira mais “limpa” é:
ζ(z) = ∏(1 − 𝑝−𝑧 )−1
𝑝
Vemos então que a função zeta pode ser escrita como produto de termos relacionados a cada
primo existente. Aqui temos uma pequena demonstração de que os primos são infinitos. Caso eles não
fossem, o lado direito seria um número finito, logo para qualquer z, teríamos o lado esquerdo resultando
também em um número finito, é claro. Contudo, para z=1, sabemos que o lado esquerdo é a série
harmônica, cuja soma total diverge. Logo, por ser impossível o caso de um infinito à esquerda ser igual
a um número finito à direita, o número de primos deve ser infinito.
A hipótese de Riemann
A famosa conjectura ou hipótese de Riemann está relacionada com os zeros da função ζ.
Os zeros da função ζ localizados em zn = −2n, n = 1, 2, . . . são chamados zeros triviais. Sobre
esses não há mistério, uma vez que a função zeta obedece a equação funcional:
onde
𝜋𝑠
ζ(1 − z) = 2(2𝜋)−𝑧 𝑐𝑜𝑠 ( ) 𝛤(𝑧)ζ(𝑧)⁡[2]
2
∞
𝛤(𝑧) ≔ ∫ 𝑥𝑧−1 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
0
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𝜋𝑧
Já que aqui vemos que cos⁡( 2 ) é zero quando z é um inteiro ímpar maior ou igual a 3.
Dessa forma, ζ(1 − z) é zero para todos os inteiros ímpares maiores que 3, logo:
ζ(z) = 0⁡𝑒⁡𝑅𝑒(𝑧) < 0⁡ → 𝑧 = −2, −4, −6, −8, …
Riemann afirmou que a função ζ tem infinitos zeros na faixa 0 ≤ Re(z) ≤ 1, conhecida
por faixa crítica. J. Hadamard foi o primeiro a provar esta afirmação, em 1893.
A hipótese de Riemann estabelece que todos os infinitos zeros da função ζ, pertencentes
à faixa crítica 0 ≤ Re(z) ≤ 1, estão sobre a reta Re(z) =1/2, que é chamada de reta crítica. Esta
hipótese, que trata dos zeros não triviais da função ζ, pode ser escrita, em contraste com o que
foi falado sobre os zeros trivais logo acima, como:
ζ(z) = 0⁡𝑒⁡0 ≤ 𝑅𝑒(𝑧) ≤ 1⁡ → 𝑅𝑒(𝑧) =
1
2
Desta forma, os zeros não triviais da função ζ, de acordo com a conjectura de Riemann,
são infinitos e da forma z = 1/2+iσ, com σ real. Sabe-se que até o momento, nenhuma prova
foi apresentada para esta conjectura.
Vale ressaltar que este problema não é do tipo que pode ser abordado por métodos
elementares. Já deu origem a uma extensa e complicada bibliografia:
G. H. Hardy, em 1914 provou que existe uma infinidade de zeros sobre a reta Re(z)
=1/2. (Mas, uma infinidade não significa que são todos).
E. C. Titchmarsh mostrou, em 1935/1936, que há 1041 zeros na região 0 ≤ Re(z) ≤ 1 e 0
< Im(z) < 1468. Todos estes zeros estão sobre a reta crítica Re(z) =1/2 [3].
Com o notável auxílio dos computadores, já se sabe que o primeiro bilhão e meio de
zeros não triviais encontram-se sobre a reta crítica, mas ainda não se pode dizer com certeza,
enquanto não houver uma prova rigorosa, se a hipótese é de fato verdadeira ou senão falsa.
Referências
1 – DERBYSHIRE, J. Obsessão prima. 1.ed. Rio de Janeiro: Editora Record, 2012. 447p.
2 – CARL ERICKSON. Prime Numbers and the Riemann Hypothesis. Disponível em: <
http://people.brandeis.edu/~cwe/pdfs/primes_and_riemann.pdf> Acesso em: 20 jul. 2014.
3 - AGUILERA-NAVARRO, Maria Cecília K; AGUILERA-NAVARRO, Valdir C. A
função zeta de Riemann. Revista Ciências Exatas e Naturais, v. 1, n. 1, 1999.