XXXIII ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO
A Gestão dos Processos de Produção e as Parcerias Globais para o Desenvolvimento Sustentável dos Sistemas Produtivos
Salvador, BA, Brasil, 08 a 11 de outubro de 2013.
USO DA PROGRAMAÇÃO LINEAR
PARA OTIMIZAÇÃO DA RECEITA DE
UMA ESCOLA DE IDIOMAS
Rodrigo de Sa Guimaraes (UFG-CAC )
[email protected]
Jaqueline Oliveira Silva (UFG-CAC )
[email protected]
Poliana Calaca de Souza (UFG-CAC )
[email protected]
Stella Jacyszyn Bachega (UFG-CAC )
[email protected]
O mercado de empresas especializadas na prestação de serviços tem
um papel fundamental na economia global e sua importância se
desenvolve em paralelo com o desenvolvimento social. Dentre os
segmentos de prestação de serviços, está o ramo dee segmentos de
escolas de idiomas. As empresas desse segmento, atualmente, possuem
maior necessidade de uso de ferramentas gerenciais que melhor
auxiliem o processo de decisório.Nesse contexto, o presente trabalho
tem o objetivo de aplicar a técnica de Programação Linear para
otimizar a receita bruta de uma empresa franqueada atuante no setor
de escolas de idiomas, por meio da melhor distribuição de alunos nas
turmas, considerando a meta almejada pela empresa. Para tanto,
foram utilizados os procedimentos de pesquisa estudo de caso e
pesquisa experimental. Dentre os principais resultados, verificaram-se
as quantidades de alunos que deveriam ser disponibilizadas em todas
as turmas de idiomas da empresa para maximizar a receita bruta
semestral, além de atingir a meta de crescimento de alunos na escola
estabelecida pela franqueadora. Dentre as contribuições, o presente
artigo divulga a possibilidade de uso de modelos matemáticos, na
realidade de pequenas e médias empresas, como auxílio ao processo
decisório e na gestão das operações.
Palavras-chaves: Programação linear, otimização da receita,
segmento de escolas de idiomas
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1. Introdução
O mercado de empresas especializadas na prestação de serviços tem um papel fundamental na
economia global e sua importância se desenvolve em paralelo com o desenvolvimento social
(FITZSIMMONS; FITZSIMMONS, 2004). As principais características dos serviços,
segundo Roio (2012, p. 4), são: a necessidade da participação do cliente no processo de
prestação do serviço, a intangibilidade, e a simultaneidade entre a produção e o consumo.
Assim, as empresas atuantes nesse setor devem estar atentas a qualidade do serviço prestado,
de modo a sobreviver e prosperar no ambiente competitivo em que estão inseridas.
Dentre os segmentos de prestação de serviços, está o ramo de segmentos de escolas de
idiomas (ABF, 2013). De acordo com Moreira (2010), um dos segmentos mais antigos do
mercado de franquias brasileiro é o de escola de idiomas, no qual atualmente existem 17
franquias nesse ramo. Diversos fatores podem explicar a popularização do ensino de idiomas
no Brasil, dentre eles podemos citar a expansão da classe C, pelo bom desempenho da
economia brasileira, e os grandes eventos mundiais que o país se prepara para sediar nos
próximos anos, que irá fomentar o turismo no país.
Com isso, as empresas desse segmento passam a ter maior necessidade de uso de ferramentas
gerenciais que melhor auxiliem o processo de decisório. Lachtermacher (2007) advoga que os
gestores se deparam constantemente com situações nas quais há a necessidade de tomar
decisões considerando alternativas concorrentes e conflitantes, sendo que a modelagem da
situação pode ser considerada durante a resolução de problemas organizacionais.
Em meio às ciências que auxiliam as organizações no processo decisório está a Pesquisa
Operacional (PO). Hillier e Lieberman (2009) afirmam que a PO é aplicável em problemas
que envolvem a condução e coordenação das operações em uma organização, ou seja, das
atividades desempenhadas. A PO abrange várias técnicas/ferramentas, dentre elas há a
Programação Linear (TAHA, 2010). Exemplos de trabalhos com a aplicação de programação
linear são: Çetin, Prasad e Prasad (2013), Ignacio et al. (2012), Sousa et al. (2012), Paula et al.
(2011), Ferreira e Bachega (2011), Oening et al. (2004), e Munhoz e Morabito (2001). A
maioria dos trabalhos desenvolvidos nessa área é desenvolvida em empresas de bens de
consumo, sendo que empresas especializadas em serviços são pouco estudadas.
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Nesse contexto, o presente trabalho tem o objetivo de aplicar a técnica de Programação Linear
para otimizar a receita bruta de uma empresa franqueada atuante no setor de escolas de
idiomas, por meio da melhor distribuição de alunos nas turmas, considerando a meta almejada
pela empresa.
Para atingir o objetivo proposto, o presente artigo possui a seguinte estrutura: na segunda
seção são expostas informações sobre o setor de franquias; na terceira seção há uma revisão
bibliográfica sobre programação linear; na quarta seção há a metodologia da pesquisa; a
quinta seção aborda a modelagem desenvolvida; na sexta seção há a análise dos resultados; e
na sétima seção estão as considerações finais.
2. Setor de franquias
Conforme MDIC (2005), a franquia (franchising) é um modelo de negócios definido pela Lei
n. 8.955 de 1994. Trata-se de um sistema onde um franqueador cede ao franqueado o direito
de uso de marca ou patente. Também cede o direito de distribuição exclusiva ou semiexclusiva de serviços ou produtos. Eventualmente, pode-se ainda haver a cessão do direito de
uso de tecnologia de implantação e administração de negócio ou sistema operacional, detidos
ou desenvolvidos pelo franqueador (mediante remuneração direta ou indireta, sem caracterizar
vínculo empregatício).
O sistema de franquias ganha destaque como importante tendência entre os diferentes modos
de contratação entre empresas (AZEVEDO; SILVA, 2002). Segundo a ABF (2013), o setor
cresceu 16,2% em 2012, crescimento esse que veio acompanhado à geração de 103 mil
empregos diretos, crescimento de 12,3% em relação ao ano anterior e totalizando 941 mil
empregados.
Ademais, o ranking das 25 maiores franquias é exposto na Tabela 1. Nota-se que empresas do
segmento de escolas de idiomas se encontram entre as maiores franquias no país.
Tabela 1 – Ranking das 25 maiores franquias (continua...)
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Tabela 1 – Ranking das 25 maiores franquias (...continuação)
Fonte: Adaptado de ABF (2013).
3. Programação linear
Este trabalho aborda a programação linear (PL) como ferramenta para resolução do problema
estudado. Segundo Moreira (2010), a PL é um dos modelos matemáticos mais populares. É
usada para solucionar problemas que possuam variáveis que possam ser medidas,
relacionadas entre si, e que possam ser expressas por meio de equações e/ou inequações
lineares. A facilidade da aplicação da PL é dada, conforme Silva et al. (2010), pela
simplicidade do modelo e pela presença de técnica de solução programável em computador.
Taha (2010) advoga que os modelos de PL devem possuir as seguintes propriedades:
 Proporcionalidade: a contribuição de determinada variável de decisão deve ser
diretamente proporcional ao valor da variável;
 Aditividade: a soma das contribuições individuais das variáveis presentes no modelo
deve representar a contribuição total das variáveis da função objetivo e das restrições;
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 Certeza: os coeficientes das restrições e da função objetivo são determinísticos.
Os modelos de PL devem possuir os seguintes componentes (PIZZOLATO; GANDOLPHO,
2009):
 Variáveis de decisão: xj, sendo j = 1, 2,..., n;
 Função objetivo Z a ser otimizada;
 Restrições lineares;
 Não negatividade das variáveis de decisão, xj ≥ 0.
Assim, a formulação algébrica geral dos problemas de PL segue a estrutura (GOLDBARG;
LUNA, 2005, p. 26):
Onde:
M = {1, 2,..., m}, o conjunto dos índices das restrições do problema;
N = {1, 2,..., n}, o conjunto dos índices das variáveis;
M1  M e N1  N;
A = {aij}  matriz de restrições;
aj  j-ésima coluna de A;
x = (xj), j  N / vetor coluna de n componentes;
c = (cj), j  N / vetor linha de n componentes;
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d = (di), i  M / vetor coluna de m componentes.
4. Metodologia da pesquisa
Os procedimentos de pesquisa utilizados nesse trabalho são o estudo de caso (YIN, 1990) e a
pesquisa experimental (CRESWELL, 1994; BRYMAN, 1989). O estudo de caso foi utilizado
devido à necessidade de adquirir informações e compreender a realidade da empresa e o
problema estudado. Já a pesquisa experimental foi utilizada devido à utilização da abordagem
quantitativa e da modelagem matemática.
Para a coleta de dados, a pesquisa documental e entrevista, foram os tipos adotados
(MARCONI; LAKATOS, 2006). A coleta de dados ocorreu durante o mês de junho de 2012,
sendo entrevistados o proprietário e um funcionário da empresa estudada que detêm
conhecimento sobre a rotina da empresa pesquisada.
A análise dos dados foi realizada baseando-se em métodos e técnicas de Pesquisa
Operacional. Nessa pesquisa utilizou-se a técnica Programação Linear, mais especificamente
a técnica Programação Linear Inteira, considerando a forma geral dos problemas de PL
(GOLDBARG; LUNA, 2005, LACHTERMACHER, 2007). Assim, ao se definir as variáveis
de decisão, a função objetivo e as restrições, elaborou-se o modelo matemático. O modelo foi
programado e resolvido com o auxílio do software LINDO® v.6.1 trial version.
A empresa pesquisada iniciou suas atividades em 1990 no segmento de ensino de idiomas
(inglês e espanhol). Trata-se de uma empresa franqueada, com capital nacional e do tipo
limitada. Atualmente possui 15 funcionários diretos, sendo que 11 são professores. Possui
oito salas disponíveis para a realização das aulas. Funciona 12 horas e 30 minutos por dia de
segunda a sexta-feira e seis horas aos sábados.
No momento da coleta de dados, a empresa possuía cinco turmas de inglês para crianças de
quatro a oito anos de idade, duas turmas de inglês para crianças de nove a dez anos de idade,
15 turmas de adolescentes e adultos no nível básico de inglês, nove turmas de adolescente e
adulto no nível intermediário de inglês, seis turmas de adolescentes e adultos no nível
avançado de inglês, três turmas de especialização em inglês e três turmas de nível básico de
espanhol para crianças, adolescentes e adultos. A escola detinha 378 alunos em sua totalidade.
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5. Modelagem
O objetivo do modelo é encontrar a melhor distribuição de alunos, por turma de idioma, de
forma a maximizar a receita semestral da escola. Há turmas de alunos compostas por crianças,
adolescentes e adultos dos níveis básico, intermediário e avançado de inglês e espanhol. As
receitas brutas semestrais por turma de idioma estão na Tabela 2. Destaca-se que atualmente a
empresa trabalha somente com turma nível básico de espanhol.
Tabela 2 – Receitas brutas semestrais por turma de idioma
As variáveis de decisão consideradas no modelo desenvolvido estão detalhadas na Tabela 3.
Observa-se que a quantidade de alunos matriculados nas turmas “Crianças de quatro a oito
anos de idade” do curso de inglês é representada pela variável ‘x1’.
Tabela 3 – Variáveis de decisão consideradas no modelo
Portanto, a função objetivo que maximizará a receita semestral bruta é:
MAX Z = 522x1 + 642x2 + 770x3 + 822x4 + 897x5 + 972 x6 +748,80x7
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Para o cálculo da meta de alunos que a empresa necessita atingir, considera-se o total de
turmas do semestre precedente e adiciona-se o percentual de crescimento estipulado pela
franqueadora. Considera-se também, o percentual médio de alunos desistentes por semestre.
De posse dessas informações, verificou-se que a meta a ser atingida no próximo semestre é de
435 alunos. Dessa forma, a modelagem da restrição do atendimento da meta estabelecida pela
matriz é a que segue:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 435
(7)
Outra especificação que a escola de idiomas deve atender, por exigência da franqueadora, é o
número mínimo de cinco alunos por turma, pois abaixo desse valor não é viável abrir ou
manter uma turma. Já o número máximo de alunos não deve superar 16 alunos, para que a
qualidade do serviço prestado seja sustentada.
As inequações que representam as quantidades mínimas e máximas de alunos matriculados
em cada categoria de turma, considerando as quantidades de turmas a serem ofertadas no
próximo semestre e as limitações de alunos por sala, são especificadas na Tabela 4. Nota-se,
por exemplo, que o limite inferior de quantidade de alunos matriculados nas turmas de quatro
a oito anos de idade do curso de inglês (x1) é dado pelo produto da quantidade mínima de
alunos por sala (cinco alunos) com o número de turmas ofertadas no próximo semestre (cinco
turmas). Assim, pelo menos 25 alunos deveriam ser matriculados nessa categoria de turma. Já
o limite superior é de 80 alunos. Tal valor foi obtido por meio da multiplicação da quantidade
máxima de alunos por sala (16 alunos) com o número de turmas dessa categoria ofertadas no
próximo semestre (cinco turmas).
Tabela 4 – Restrições de quantidades de alunos por turmas abertas para o próximo semestre
Ainda, deve-se assumir que as variáveis de decisão precisam atender a condição de não
negatividade, a saber:
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x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7  0
(8)
Portanto, o modelo matemático do problema estudado foi formulado conforme segue:
6. Análise dos resultados
Por meio da análise do relatório emitido pelo software LINDO®, verificou-se que o valor
máximo que a função objetivo pode atingir, ou seja, a receita bruta semestral máxima
atendendo todas as restrições é de R$ 356.528,00.
Os valores ótimos encontrados para as variáveis de decisão estão na Tabela 5. Nota-se que as
turmas com as maiores quantidades de alunos que devem ser matriculados para maximizar a
receita bruta são as turmas de "Nível intermediário" do curso de inglês (x4), "Adolescentes e
adultos no nível básico" do curso de inglês (x3) e "Nível avançado" do curso de inglês (x5).
Tabela 5 – Resultados encontrados para as variáveis de decisão
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Também, verificou-se que houve folgas em algumas restrições de limites superiores e
inferiores de alunos matriculados em cada categoria de turma, considerando as quantidades de
turmas a serem ofertadas no próximo semestre e as limitações de alunos por sala. Como pode
ser observado na Tabela 6, por exemplo, há ainda a possibilidade de matrícula de 55 alunos
para a turma de quatro a oito anos de idade do curso de inglês (x1), considerando que o
máximo de alunos nessa categoria seria 80.
Tabela 6 – Folgas obtidas para as restrições consideradas
Ressalta-se que, por se tratar de um modelo que utiliza a Programação Linear Inteira, devido
às características do problema (quantidade de alunos tem que ser números inteiros), as
análises de sensibilidade não são significativas (COLIN, 2007; PAULO et al. 2003).
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7. Considerações finais
Por meio da aplicação da PL no problema estudado, identificou-se quais as quantidades
ótimas de alunos nas turmas de idiomas deveriam ser consideradas para a maximização da
receita bruta semestral da empresa e para o alcance da meta de crescimento de números de
alunos estabelecida pela franqueadora. Portanto, o objetivo pretendido nessa pesquisa foi
alcançado.
Verificaram-se quais as quantidades de alunos que deveriam ser disponibilizadas em todas as
turmas da empresa. Assim, a gerência pode adotar medidas, principalmente para manter a
quantidade de alunos que apresentam maior contribuição para a receita da instituição, que são
os alunos no nível intermediário. Perante esta informação a empresa pode adotar ações
gerenciais com foco na manutenção desses alunos no curso, além de manter a estratégia de
captação de novos alunos.
O presente artigo apresenta a contribuição de divulgar a possibilidade de uso de modelos
matemáticos, na realidade de pequenas e médias empresas, como auxílio ao processo
decisório e na gestão das operações. Também, mostra a possibilidade de uso da PL em
empresas de serviço e propicia a maior compreensão do uso da PL nos âmbitos acadêmico e
empresarial.
Cabe salientar que esse trabalho integra uma pesquisa que visa aplicar técnicas/ferramentas de
pesquisa operacional (PO) para auxiliar a gestão das operações de empresas prestadoras de
serviços. Sugere-se, como pesquisa futura, realizar uma pesquisa-ação na empresa estudada
para acompanhar o uso do modelo desenvolvido e a implantação dos resultados encontrados.
Ademais, há a possibilidade de efetuar uma pesquisa de avaliação (survey) para identificação
de técnicas/ferramentas de PO que sejam utilizadas em empresas prestadoras de serviços.
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