Conservação
de Energia
●
Energia Potencial
●
Forças Conservativas e Dissipativas
–
Força Peso?
–
Força Elástica?
–
Força de Atrito?
Energia Potencial
Algumas forças especiais (chamadas Forças
Conservativas) permitem potencializar energia no
sistema, definida como:
Δ U FC = −W if
FC
onde FC é uma Força Conservativa.
Forças Conservativas
Forças Conservativas é um classe especial de forças que
satisfazem as condições:
Forças Conservativas
Forças Conservativas é um classe especial de forças que
satisfazem as condições:
●
W if
FC
independe do caminho
Forças Conservativas
Forças Conservativas é um classe especial de forças que
satisfazem as condições:
W if
●
i
FC
independe do caminho
f
Forças Conservativas
Forças Conservativas é um classe especial de forças que
satisfazem as condições:
W if
●
FC
independe do caminho
f
1
i
Forças Conservativas
Forças Conservativas é um classe especial de forças que
satisfazem as condições:
W if
●
FC
independe do caminho
f
1
i
2
Forças Conservativas
Forças Conservativas é um classe especial de forças que
satisfazem as condições:
W if
●
FC
independe do caminho
f
1
3
i
2
Forças Conservativas
Forças Conservativas é um classe especial de forças que
satisfazem as condições:
W if
●
FC
independe do caminho
f
1
3
2
i
W if1 = W if2 = W if3
FC
FC
FC
Forças Conservativas
Forças Conservativas é um classe especial de forças que
satisfazem as condições:
W if
●
FC
independe do caminho
f
1
3
2
i
W if1 = W if2 = W if3
FC
FC
FC
●
W ii = 0
FC
i
Força Peso
Para testar se a força Peso é uma Força Conservativa,
considere o cálculo do Trabalho realizado pela força Peso
nos três caminhos:
Força Peso
Para testar se a força Peso é uma Força Conservativa,
considere o cálculo do Trabalho realizado pela força Peso
nos três caminhos:
f
i
Força Peso
Para testar se a força Peso é uma Força Conservativa,
considere o cálculo do Trabalho realizado pela força Peso
nos três caminhos:
f
A
i
Força Peso
Para testar se a força Peso é uma Força Conservativa,
considere o cálculo do Trabalho realizado pela força Peso
nos três caminhos:
f
A
B
i
Força Peso
Para testar se a força Peso é uma Força Conservativa,
considere o cálculo do Trabalho realizado pela força Peso
nos três caminhos:
f
?
W ifA = W ifB = W ifC
G
A
C
i
B
?
G
G
Força Peso
Caminho A:
Força Peso
Caminho A:
f
i
Força Peso
Caminho A:
Δx
Δy
i
f
W ifA =W Δ y +W Δ x
G
Força Peso
Caminho A:
f
W ifA =W Δ y +W Δ x
G
W Δ y =P⋅Δ y⋅cos 180 °
Δy
i
P
Força Peso
Caminho A:
f
W ifA =W Δ y +W Δ x
G
W Δ y =P⋅Δ y⋅cos 180 °
Δy
i
P
W Δ y =−m g Δ y
Força Peso
Caminho A:
Δx
P
i
f
W ifA =W Δ y +W Δ x
G
W Δ y =P⋅Δ y⋅cos 180 °
W Δ y =−m g Δ y
W Δ x =P⋅Δ x⋅cos 90°
Força Peso
Caminho A:
Δx
P
i
f
W ifA =W Δ y +W Δ x
G
W Δ y =P⋅Δ y⋅cos 180 °
W Δ y =−m g Δ y
W Δ x =P⋅Δ x⋅cos 90°
W Δ x =0
Força Peso
Caminho A:
Δx
f
W ifA =W Δ y +W Δ x
G
W Δ y =P⋅Δ y⋅cos 180 °
Δy
i
W Δ y =−m g Δ y
W Δ x =P⋅Δ x⋅cos 90°
W Δ x =0
W ifA =−m g Δ y +0
G
Força Peso
Caminho A:
Δx
f
W ifA =W Δ y +W Δ x
G
W Δ y =P⋅Δ y⋅cos 180 °
Δy
i
W Δ y =−m g Δ y
W Δ x =P⋅Δ x⋅cos 90°
W Δ x =0
W ifA =−m g Δ y +0
G
W ifA =−m g Δ y
G
Força Peso
Caminho B:
Força Peso
Caminho B:
i
Força Peso
Caminho B:
Δx
i
P
Força Peso
Caminho B:
f
Δy
Δx
i
P
P
W ifB =W Δ x +W Δ y
G
Força Peso
Caminho B:
f
W ifB =W Δ x +W Δ y
G
W ifB =−m g Δ y=W ifA
G
Δy
Δx
i
P
P
G
Força Peso
●
Caminho C:
Força Peso
●
Caminho C:
f
C
i
Força Peso
●
Caminho C:
f
C
i
δx δy
Força Peso
●
Caminho C:
f
C
i
δx δy
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
δx
C
i
δx δy
P
W δ x =P⋅δ x⋅cos 90 °
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
δx
C
i
δx δy
P
W δ x =P⋅δ x⋅cos 90 °
W δ x =0
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
δx
C
i
P
δy
δx δy
P
W δ x =P⋅δ x⋅cos 90 °
W δ x =0
W δ y =P⋅δ y⋅cos 180 °
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
δx
C
i
P
δy
δx δy
P
W δ x =P⋅δ x⋅cos 90 °
W δ x =0
W δ y =P⋅δ y⋅cos 180 °
W δ y =−m g δ y
Força Peso
●
Caminho C:
f
C
i
δx δy
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
W ifC ≃ 0+∑ (−m g δ y)
G
C
i
δx δy
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
W ifC ≃ 0+∑ (−m g δ y)
G
C
i
δx δy
W ifC ≃ −m g ∑ δ y
G
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
W ifC ≃ 0+∑ (−m g δ y)
G
C
W ifC ≃ −m g ∑ δ y
G
δy
∑
δ y→0
W ifC = −m g lim
G
i
δx δy
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
W ifC ≃ 0+∑ (−m g δ y)
G
C
W ifC ≃ −m g ∑ δ y
G
δy
∑
δ y→0
W ifC = −m g lim
G
i
W ifC = −m g Δ y
G
δx δy
Força Peso
●
Caminho C:
f
W ifC ≃ ∑ W δ x +∑ W δ y
G
W ifC ≃ 0+∑ (−m g δ y)
G
C
W ifC ≃ −m g ∑ δ y
G
δy
∑
δ y→0
W ifC = −m g lim
G
i
W ifC = −m g Δ y
G
δx δy
Portanto:
W ifA = W ifB = W ifC = W if
G
G
G
Independe do caminho!
G
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Se yf = yi ⇒
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Se yf = yi ⇒
W ii = − {m g y i −m g y i }
G
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Se yf = yi ⇒
W ii = − {m g y i −m g y i }
G
W ii = 0
G
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Se yf = yi ⇒
W ii = − {m g y i −m g y i }
G
W ii = 0
G
Portanto a força Peso é uma
Força Conservativa
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Se yf = yi ⇒
W ii = − {m g y i −m g y i }
G
W ii = 0
G
Portanto a força Peso é uma
Força Conservativa
Define uma Energia
Potencial Gravitacional:
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Se yf = yi ⇒
W ii = − {m g y i −m g y i }
G
W ii = 0
G
Portanto a força Peso é uma
Força Conservativa
Define uma Energia
Potencial Gravitacional:
Δ U G = −W if
G
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Se yf = yi ⇒
W ii = − {m g y i −m g y i }
G
W ii = 0
G
Portanto a força Peso é uma
Força Conservativa
Define uma Energia
Potencial Gravitacional:
Δ U G = −W if
G
Δ U G = m g y f −m g y i
Força Peso
●
?
W ii = 0
G
W if = −m g Δ y
G
W if = − {m g y f −m g y i }
G
Se yf = yi ⇒
W ii = − {m g y i −m g y i }
G
W ii = 0
Define uma Energia
Potencial Gravitacional:
Δ U G = −W if
G
Δ U G = m g y f −m g y i
UG = mg y
G
onde y é a posição vertical
Portanto a força Peso é uma
(e não a altura). Depende
Força Conservativa
do referencial.
Exemplo 1
Um macaco de 2,0kg se pendura em um galho de uma árvore,
que se encontra a 5,0m acima do solo. (a) Com a referência
no solo qual a energia potencial do macaco?
Exemplo 1
Um macaco de 2,0kg se pendura em um galho de uma árvore,
que se encontra a 5,0m acima do solo. (a) Com a referência
no solo qual a energia potencial do macaco?
y 1 (m)
5,0
0,0
Exemplo 1
Um macaco de 2,0kg se pendura em um galho de uma árvore,
que se encontra a 5,0m acima do solo. (a) Com a referência
no solo qual a energia potencial do macaco?
U Gi1=m g y i1
y 1 (m)
5,0
0,0
Exemplo 1
Um macaco de 2,0kg se pendura em um galho de uma árvore,
que se encontra a 5,0m acima do solo. (a) Com a referência
no solo qual a energia potencial do macaco?
U Gi1=m g y i1 ⇒ y i1=5,0 m
U Gi1=2,0⋅9,8⋅5,0
U Gi1=98,0 J
y 1 (m)
5,0
0,0
Exemplo 1
Um macaco de 2,0kg se pendura em um galho de uma árvore,
que se encontra a 5,0m acima do solo. (a) Com a referência
no solo qual a energia potencial do macaco?
U Gi1=m g y i1 ⇒ y i1=5,0 m
U Gi1=2,0⋅9,8⋅5,0
U Gi1=98,0 J
(b) Com o referencial no macaco,
y 2 (m)
qual a sua energia potencial
gravitacional?
0,0
−5,0
Exemplo 1
Um macaco de 2,0kg se pendura em um galho de uma árvore,
que se encontra a 5,0m acima do solo. (a) Com a referência
no solo qual a energia potencial do macaco?
U Gi1=m g y i1 ⇒ y i1=5,0 m
U Gi1=2,0⋅9,8⋅5,0
U Gi1=98,0 J
(b) Com o referencial no macaco,
y 2 (m)
qual a sua energia potencial
gravitacional?
0,0
U Gi2=m g y i2
−5,0
Exemplo 1
Um macaco de 2,0kg se pendura em um galho de uma árvore,
que se encontra a 5,0m acima do solo. (a) Com a referência
no solo qual a energia potencial do macaco?
U Gi1=m g y i1 ⇒ y i1=5,0 m
U Gi1=2,0⋅9,8⋅5,0
U Gi1=98,0 J
(b) Com o referencial no macaco,
y 2 (m)
qual a sua energia potencial
gravitacional?
0,0
U Gi2=m g y i2 ⇒ y i2=0,0
U Gi2=2,0⋅9,8⋅0,0
U Gi2=0,0
−5,0
Exemplo 1
Observe que a energia potencial gravitacional depende do
referencial escolhido.
Exemplo 1
Observe que a energia potencial gravitacional depende do
referencial escolhido.
U G=m g y
Exemplo 1
Observe que a energia potencial gravitacional depende do
referencial escolhido.
U G=m g y
(b) Em seguida o macaco cai ao solo.
Calcule a variação da energia
potencial gravitacional, para os dois
referenciais?
y 1 (m)
5,0
0,0
Exemplo 1
Observe que a energia potencial gravitacional depende do
referencial escolhido.
U G=m g y
(b) Em seguida o macaco cai ao solo.
Calcule a variação da energia
potencial gravitacional, para os dois
referenciais?
●
No 1º referencial:
y 1 (m)
5,0
0,0
Exemplo 1
Observe que a energia potencial gravitacional depende do
referencial escolhido.
U G=m g y
(b) Em seguida o macaco cai ao solo.
Calcule a variação da energia
potencial gravitacional, para os dois
referenciais?
●
No 1º referencial:
U Gf1=m g y f1
y 1 (m)
5,0
0,0
Exemplo 1
Observe que a energia potencial gravitacional depende do
referencial escolhido.
U G=m g y
(b) Em seguida o macaco cai ao solo.
Calcule a variação da energia
potencial gravitacional, para os dois
referenciais?
●
No 1º referencial:
U Gf1=m g y f1 ⇒ y f1=0,0
U Gf1=0,0
Δ U G1=U Gf1−U Gi1
Δ U G1=0,0−98,0
Δ U G1=−98,0 J
y 1 (m)
5,0
0,0
Exemplo 1
●
No 2º referencial:
Exemplo 1
●
No 2º referencial:
y 2 (m)
0,0
−5,0
Exemplo 1
●
No 2º referencial:
U Gf2=m g y f2
y 2 (m)
0,0
−5,0
Exemplo 1
●
No 2º referencial:
U Gf2=m g y f2 ⇒ y f2=−5,0 m
U Gf2=−98,0 J
Δ U G2 =U Gf2 −U Gi2
Δ U G2 =−98,0−0,0
Δ U G2 =−98,0 J
y 2 (m)
0,0
−5,0
Exemplo 1
●
No 2º referencial:
U Gf2=m g y f2 ⇒ y f2=−5,0 m
U Gf2=−98,0 J
Δ U G2 =U Gf2 −U Gi2
Δ U G2 =−98,0−0,0
Δ U G2 =−98,0 J
Observe que o trabalho depende da
y 2 (m)
variação da energia potencial:
0,0
−5,0
Exemplo 1
●
No 2º referencial:
U Gf2=m g y f2 ⇒ y f2=−5,0 m
U Gf2=−98,0 J
Δ U G2 =U Gf2 −U Gi2
Δ U G2 =−98,0−0,0
Δ U G2 =−98,0 J
Observe que o trabalho depende da
y 2 (m)
variação da energia potencial:
0,0
W if =−Δ U G1=−Δ U G2 =98,0 J
G
−5,0
Exemplo 1
●
No 2º referencial:
U Gf2=m g y f2 ⇒ y f2=−5,0 m
U Gf2=−98,0 J
Δ U G2 =U Gf2 −U Gi2
Δ U G2 =−98,0−0,0
Δ U G2 =−98,0 J
Observe que o trabalho depende da
y 2 (m)
variação da energia potencial:
0,0
W if =−Δ U G1=−Δ U G2 =98,0 J
G
O trabalho, como a variação da
energia potencial, independem do
referencial.
−5,0
Força Elástica
Força Elástica
Uma abordagem mais direta para a Força Elástica:
Trabalho realizado pela força elástica quando o sistema é levado do
estado inicial para o final:
Força Elástica
Uma abordagem mais direta para a Força Elástica:
Trabalho realizado pela força elástica quando o sistema é levado do
estado inicial para o final:
W if = −
e
{
1
1
k x f 2 − k x i2
2
2
}
xi 0
x
xi 0
xf x
Força Elástica
Uma abordagem mais direta para a Força Elástica:
Trabalho realizado pela força elástica quando o sistema é levado do
estado inicial para o final:
W if = −
e
{
1
1
k x f 2 − k x i2
2
2
}
Observe que a forma como o sistema
evolui do estado inicial para o final
não aparece na equação.
Portanto o trabalho depende apanas
das posições inicial e final e não do
caminho!
xi 0
x
xi 0
xf x
Força Elástica
Uma abordagem mais direta para a Força Elástica:
Trabalho realizado pela força elástica quando o sistema é levado do
estado inicial para o final:
W if = −
e
{
1
1
k x f 2 − k x i2
2
2
}
Observe que a forma como o sistema
evolui do estado inicial para o final
não aparece na equação.
Portanto o trabalho depende apanas
das posições inicial e final e não do
caminho!
xi 0
x
xi 0
xf x
Força Elástica
No segundo teste é evidente que o trabalho é nulo se a posição
inicial e final forem a iguais.
Força Elástica
No segundo teste é evidente que o trabalho é nulo se a posição
inicial e final forem a iguais.
W ii = −
e
W ii = 0
e
{
1
1
k x i 2 − k x i2
2
2
}
Força Elástica
No segundo teste é evidente que o trabalho é nulo se a posição
inicial e final forem a iguais.
W ii = −
e
{
1
1
k x i 2 − k x i2
2
2
}
W ii = 0
e
Portanto a força de mola (força elástica) é uma Força Conservativa e
por isto se define uma Energia Potencial Elástica:
Força Elástica
No segundo teste é evidente que o trabalho é nulo se a posição
inicial e final forem a iguais.
W ii = −
e
{
1
1
k x i 2 − k x i2
2
2
}
W ii = 0
e
Portanto a força de mola (força elástica) é uma Força Conservativa e
por isto se define uma Energia Potencial Elástica:
Δ U e=−W if
ΔUe =
e
1
1
k x i2 − k x i 2
2
2
⇒
Ue =
1 2
kx
2
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
S (caminho)
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
S (caminho)
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
S (caminho)
δS
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
S (caminho)
δS
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
S (caminho)
f
δS
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
S (caminho)
f
δS
δ W f =f δ S
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
S (caminho)
f
δS
δ W f =f δ S
δ W f =f⋅δ S⋅cos 180 °
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
S (caminho)
f
δS
δ W f =f δ S
δ W f =f⋅δ S⋅cos 180 °
δ W f =−f⋅δ S
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
W if ≃∑ δ W f
f
S (caminho)
f
δS
δ W f =f δ S
δ W f =f⋅δ S⋅cos 180 °
δ W f =−f⋅δ S
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
W if ≃∑ δ W f
f
S (caminho)
f
δS
δ W f =f δ S
δ W f =f⋅δ S⋅cos 180 °
δ W f =−f⋅δ S
W if ≃∑ (−f⋅δ S)
f
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
W if ≃∑ δ W f
f
S (caminho)
f
W if ≃∑ (−f⋅δ S)
f
W if ≃−f⋅∑ δ S
f
δS
δ W f =f δ S
δ W f =f⋅δ S⋅cos 180 °
δ W f =−f⋅δ S
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
W if ≃∑ δ W f
f
S (caminho)
f
W if ≃∑ (−f⋅δ S)
f
W if ≃−f⋅∑ δ S
f
δS
∑
δ S→0
W if =−f⋅lim
f
δS
δ W f =f δ S
δ W f =f⋅δ S⋅cos 180 °
δ W f =−f⋅δ S
Força de Atrito
Para determinar o trabalho da força de atrito, considere a tarefa de
mover uma caixa sobre o piso como ilustra abaixo. Supondo a força
de atrito constante ao longo de todo o movimento:
W if ≃∑ δ W f
f
S (caminho)
f
W if ≃∑ (−f⋅δ S)
f
W if ≃−f⋅∑ δ S
f
δS
∑
δ S→0
W if =−f⋅lim
f
δS
δ W f =f δ S
δ W f =f⋅δ S⋅cos 180 °
δ W f =−f⋅δ S
W if =−f⋅S
f
Força de Atrito
O trabalho realizado pela força de atrito depende explicitamente do
comprimento do caminho percorrido pelo corpo (S).
Força de Atrito
O trabalho realizado pela força de atrito depende explicitamente do
comprimento do caminho percorrido pelo corpo (S).
W if =−f⋅S
f
Força de Atrito
O trabalho realizado pela força de atrito depende explicitamente do
comprimento do caminho percorrido pelo corpo (S).
W if =−f⋅S
f
Portando a força de atrito não é uma força conservativa.