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MÉTODO PARA A OBTENÇÃO DA TRAJETÓRIA DE PRIMEIRO MOMENTO
DOS SISTEMAS LINEARES SINGULARES SUJEITOS A SALTOS
MARKOVIANOS
Amanda Liz Pacı́fico Manfrim1 , Eduardo Fontoura Costa2 , Marco Henrique Terra3 , João Yoshiyuki Ishihara4
1
2
UNESP, FCAV, Depto. de Ciências Exatas, Jaboticabal, SP, Brasil, [email protected]
USP, ICMC, Depto. de Matemática Aplicada e Estatı́stica, São Carlos, SP, Brasil, [email protected]
3
USP, EESC, Depto. de Engenharia Elétrica, São Carlos, SP, Brasil, [email protected]
4
UNB, ENE, Depto. de Engenharia Elétrica, Brası́lia, DF, Brasil, [email protected]
Resumo: Este artigo apresenta um método para determinar uma trajetória de primeiro momento para os
sistemas lineares singulares sujeitos a saltos Markovianos regulares, que leva em consideração as matrizes
de parâmetro do sistema, a matriz de probabilidade de
transição da cadeia de Markov e a distribuição desta
cadeia.
Palavras-chave: Sistemas singulares, dinâmica estocástica, regularidade.
1. INTRODUÇÃO
Os sistemas singulares têm despertado interesse considerável na literatura devido ao fato desta classe ser
apropriada para modelar sistemas que são muito utilizados em diversas áreas. Exemplos clássicos de aplicação
são encontrados em modelagem de sistemas: aeronáuticos [12], de circuitos [9], econômicos [8], interconectados
em larga escala [7], robóticos [6] e com processos quı́micos [3].
Outra classe de sistemas que tem recebido grande
atenção é a dos sistemas estocásticos, cuja evolução é
influenciada por fatores aleatórios. Falhas, reparos em
máquinas e modificações em parâmetros de sistemas são
exemplos clássicos em que o uso exclusivo de argumentos determinı́sticos não é apropriado. Uma abordagem
importante dessa classe de sistemas é baseada em modelos com saltos Markovianos nos parâmetros, que vem
se tornando muito popular por possuı́rem propriedades
eficientes para descrever este tipo de comportamento em
sua dinâmica, veja [1], [13], e as suas referências. Exemplos de aplicação podem ser encontrados em [2] e [11].
Ao incorporar saltos de Markov nos parâmetros
de um sistema singular convencional, obtém-se uma
classe bastante ampla de sistemas, denominada de sistemas lineares singulares sujeitos a saltos Markovianos
(SLSSM). Esta classe tem grande potencial de aplicações
em sistemas fı́sicos e econômicos, veja por exemplo [4] e
[10].
Os SLSSM, a tempo discreto, descrito em um espaço
de probabilidade apropriado dado por (Ω, F̄, P ), podem
ser modelados como:
(
Sθ(k+1) x(k + 1) = Fθ(k) x(k) + Gθ(k) u(k)
Ψ:
y(k) = Hθ(k) x(k),
(1)
para k = 0, 1, . . ., sendo o par (x(k), θ(k)) o estado do
sistema, com θ ∈ T = {1, . . . , N }, chamado de variável de salto ou modo e x(k) a variável do sistema
dinâmico associado a cada modo θ(k), y(k) a saı́da do
sistema e u(k) a entrada de controle do sistema. θ(k)
é o estado de uma cadeia de Markov discreta no tempo
com espaço de estado finito e com matriz de probabilidade de transição P = [pij ], i, j = 1, . . . , N , tal que
pij := P (θ(k + 1) = j | θ(k) = i) é a probabilidade do
sistema passar do modo de operação i para j; portanto
pij ≥ 0 deve ser satisfeita, para i, j ∈ T e, para cada
PN
i, j=1 pij = 1. Define-se a distribuição da cadeia de
Markov, dada por πi (k), com πi (k) = P (θ(k) = i) sempre que i ∈ T. Uma vez que θ(k) = i e θ(k + 1) = j,
Sθ(k+1) = Sj , Fθ(k) = Fi , Gθ(k) = Gi e Hθ(k) = Hi ,
sendo Sj uma matriz singular. Considera-se os seguintes
conjuntos de matrizes conhecidas de dimensões apropriadas F = (F1 , ..., FN ), G = (G1 , ..., GN ) e H =
(H1 , ..., HN ).
Tendo em vista que os SLSSM são sistemas estocásticos, observamos que é possı́vel definir a regularidade de
diversas maneiras. Neste artigo, propomos uma noção
de regularidade que envolve a existência e unicidade
de solução para cada realização da cadeia de Markov.
Isto nos permite definir valores esperados associados
ao SLSSM, como E {x(k)}. Desta maneira, apresentamos dois conceitos de regularidade para os SLSSM
denominados de regularidade estocástica e regularidade
estocástica em horizonte finito T (ou T -regularidade).
Propomos, ainda, um algoritmo para determinar uma
trajetória de primeiro momento para esta classe de sistema.
2. NOTAÇÕES
Nesta seção, apresentamos as notações para referência posterior. Rn denota o espaço linear Euclidiano
9
de dimensão n, Rr,n (respectivamente, Rn ) o espaço
linear normado formado por todas as matrizes reais
de dimensão r × n (respectivamente, n × n) e Rn0
(Rn+ ) o cone convexo fechado das matrizes simétricas semidefinidas positivas (o cone aberto das matrizes
simétricas definidas positivas); U ′ denota o transposto
de U , U ≥ V (U > V ) significa que U − V ∈ Rn0
(U − V ∈ Rn+ ).
Seja Mn,q o espaço linear formado
por um número N
de matrizes tais que Mn,q = U = (U1 , . . . , UN ) : Ui ∈
Rn,q , i = 1, . . . , N ; ainda, Mn ≡ Mn,n . Denotamos
como Mn0 (Mn+ ) o conjunto Mn quando ele é constituı́do de Ui ∈ Rn0 (Ui ∈ Rn+ ) para todo i = 1, . . . N .
Define-se, também, como U ≥ V (U > V ) a representação de Ui ≥ Vi (Ui > Vi ), para cada i = 1, . . . , N ; estendemos, de forma análoga, esta representação para as
outras relações matemáticas. Para U ∈ Mn0 , definimos
||U || = max0≤i≤N σ(Ui ), sendo σ (Ui ) o maior valor singular de Ui . Denotamos, sempre que não houver risco de
confusão, o valor esperado condicional E{·|x0 , θ0 } simplesmente por E{·} e a variância por V ar (·).
Para A ∈ F̄, a função indicador 1A é definida de
maneira usual, ou seja, para w ∈ Ω,
(
1 se w ∈ A
1A(w) =
0 caso contrário.
de probabilidade não nula, existir uma única trajetória
X = {x(0), x(1), . . . , x(T )} satisfazendo o Sistema Ψ.
Note que para cada i = 1, . . . , N , 1{θ(k)=i} = 1 se θ(k) =
i, e 0 caso contrário. No tempo k , assumindo θ(k) = i,
a dinâmica do SLSSM apresentado em Ψ é determinada
por
E {|| (x(k)) ||r } ≤ ||Lk ||r .
Sj x(k + 1) = Fi x(k) + Gi u(k),
(2)
sendo x ∈ Rn , u(k) ∈ Rm , e as matrizes de parâmetros
Sj , Fi ∈ Rn e Gi ∈ Rq×m , para todo i, j = 1, . . . , N .
Sempre que os valores de x(t) e θ(t) forem conhecidos
para 0 ≤ t ≤ k, denotaremos o conjunto desses valores
por Ft , ou seja, Ft = {x(0), θ(0), · · · , x(t), θ(t)} e consideramos P ∈ RN .
3. REGULARIDADE ESTOCÁSTICA
Considere o SLSSM em horizonte T satisfazendo
(2), com 0 ≤ k ≤ T − 1 e condições de contorno, que
podem ser
(c1 ) x(0) = x0 , com x0 admissı́vel;
(c2 ) x(0) = x0 e x(T ) = xT , com x0 e xT admissı́veis,
sendo que xm é admissı́vel sempre que o Sistema Ψ admite solução no instante m.
Definição 3.1. Dizemos que o Sistema Ψ, ou equivalentemente (S, F, P), é regular estocasticamente de horizonte finito T (ou T -regular) sempre que para cada
sequência de controle U = {u(0), u(1), . . . , u(T − 1)} e
distribuição inicial da cadeia, π(0), existirem condições
de contorno (i) ou (ii), tal que para cada realização da
cadeia Θ, dada por Θ (ω) = {θ(0), θ(1), . . . , θ(T − 1)},
Observe que a existência da condição de contorno
(i), ou seja, x(0) admissı́vel está associada à ação de
controle U e à distribuição inicial da cadeia, π(0). De
forma análoga, a existência da condição de contorno (ii),
ou seja, x(0) e x(T ) admissı́veis dependem tanto da ação
de controle U quanto da distribuição inicial da cadeia,
π(0).
Definição 3.2. Dizemos que o Sistema Ψ, ou equivalentemente (S, F, P), é regular estocasticamente quando
o Sistema Ψ for T -regular para todo T ≥ 0.
4. CONDIÇÃO PARA DETERMINAR UMA
TRAJETÓRIA DE PRIMEIRO MOMENTO
DOS SLSSM
Nesta seção vamos apresentar alguns resultados
com o objetivo de construir condições para determinar
uma trajetória de primeiro momento de um SLSSM regular estocasticamente.
Lema 4.1. Seja r um número inteiro positivo. Se o
Sistema Ψ é T -regular, então o processo X é limitado
quase certamente e, além disso, existem Lk ∈ Rn , 0 ≤
k ≤ T tais que
(3)
Observação 4.1. Note que a Definição 3.1, de T regularidade, implica na existência de uma única trajetória X para cada realização distinta da trajetória Θ.
Uma vez que o Sistema Ψ possui todos seus momentos bem definidos, podemos empregar o Teorema Central do Limite para fazer uma aproximação destes momentos, pois o cálculo direto pode ser uma tarefa difı́cil.
O próximo resultado é uma extensão direta dos resultados apresentados em [5], desta maneira a prova é omitida.
Proposição 4.1. Considere o Sistema Ψ T -regular. Se
0 ≤ || (x(k)) ||r ≤ ||Lk ||r , então
Var (|| (x(k)) ||r ) ≤
||Lk ||2r
.
4
Lema 4.2. Considere o Sistema Ψ T -regular. Sejam
µk = E {||x(k)||r }, sendo r um inteiro positivo, X̄k,M a
média para uma amostra de tamanho M , ou seja,
PM
||x(k, wb )||r
X̄k,M = b=1
,
M
e Σk,M = Var X̄k,M então existe Lk tal que
2r
k ||
Σk,M ≤ ||L4M
, e a distribuição de X̄k,M converge para
N (µk , Σk,M ), quando M tende a infinito. Em particular, X̄k,M converge em probabilidade para µk .
O próximo resultado é uma consequência direta do
Lema 4.1, que nos permite impor uma condição de primeiro momento para o Sistema Ψ e com isso obter um
10
método computacional para determinar uma trajetória
de um SLSSM regular estocasticamente. Outras podem
ser obtidas através de diversas relações de equivalência
para E {x(k)}.
Lema 4.3. Considere as seguintes equações nas variáveis qi (k) ∈ Rn , sendo i ∈ T e k ≥ 0,
Sj qj (k + 1) =
N
X
pij Fi qi (k) +
i=1
N
X
pij πi (k)Gi u(k), (4)
i=1
j ∈ T. Se o Sistema Ψ é T -regular com condição de
contorno (c1 ) ou (c2 ), como apropriado, então
qi (k) = E x (k) 1{θ(k)=i}
satisfaz (4).
Proof. Pré-multiplicando (2) por 1{θ(k+1)=j} e aplicando o valor esperado em ambos os lados da igualdade
obtemos
E Sθ(k+1) x(k + 1)1{θ(k+1)=j} =
= E Fθ(k) x(k)1{θ(k+1)=j}
(5)
+ E Gθ(k) u(k)1{θ(k+1)=j} .
Assim, aplicando propriedades básicas de valor esperado, temos que
Sj E x(k + 1) 1{θ(k+1)=j} =
=
N
X
E Fθ(k) x(k)1{θ(k+1)=j} 1{θ(k)=i}
i=1
+
N
X
i=1
(6)
E Gθ(k) u(k)1{θ(k+1)=j} 1{θ(k)=i} .
N
X
i=1
pij Fi E x(k) 1{θ(k)=i}
+
N
X
(7)
pij πi (k) Gi u(k).
qi (k) := E x(k) 1{θ(k)=i} ∈ Rn ;
′
(k) ∈ RN n ;
q(k) := q1′ (k) · · · qN
′
q := q ′ (0) · · · q ′ (T ) ∈ R(T +1)N n ;
′
u := u′ (0) · · · u′ (T − 1) ∈ RT n ;


S1 0 · · ·
0
 0 S2 · · ·
0 


Nn
S :=  .
.
..  ∈ R ;
.
..
..
 ..
. 
0
0 · · · SN


p11 F1 p21 F2 · · · pN 1 FN
 p12 F1 p22 F2 · · · pN 2 FN 


Nn
F := 
∈R ;
..
..
..
..


.
.
.
.
p1N F1 p2N F2 · · · pN N FN


p11 π1 (k)G1 + · · · + pN 1 πN (k)GN
 p12 π1 (k)G1 + · · · + pN 2 πN (k)GN 


N n×n
Ḡk := 
;
∈R
..


.
p1N π1 (k)G1 + · · · + pN N πN (k)GN


−F
S
···
0
0
 0
−F · · ·
0
0 


T N n×(T +1)N n
H= .
;
∈R
.
.
.
..
..
. . ... 
 ..



G=

0
Ḡ(0)
0
..
.
0
···
0
Ḡ(1)
..
.
0
−F
···
···
..
.
···
S
0
0
..
.
Ḡ(T − 1)

(8)


T N n×T n
.
∈R

Utilizando as notações apresentadas anteriormente,
obtemos uma representação para o Sistema (4) como
segue.
Lema 5.1. O Sistema (4) dado por
i=1
Nesta seção propomos um método para determinar
uma da trjetória de primeiro momento dos SLSSM regular em um horizonte T . Inicialmente vamos escrever
o sistema (4) na forma matricial, para isso introduzimos
a seguinte notação considerando 0 ≤ k ≤ T :
0
Sabendo que u(k) é independente de 1{θ(k)=i} , podemos
reescrever (6) como
Sj E x(k + 1) 1{θ(k+1)=j} =
=
5. MÉTODO PARA A TRAJETÓRIA DE
PRIMEIRO MOMENTO DOS SLSSM T REGULARES
Definindo qi (k) := E x(k) 1{θ(k)=i} , podemos reescrever (7) como (4).
Observação 4.2. Note que (4) pode ter multiplicidade
de soluções. O Lema 4.3afirma que uma
dessas soluções
coincide com qi (k) := E x(k) 1{θ(k)=i} .
O Lema 4.3 fornece uma condição necessária testável
para a T -regularidade, como destacamos no próximo resultado.
Teorema 4.1. Se o Sistema Ψ é T -regular então existe
solução para o Sistema (4).
Proof. Uma vez que o Sistema Ψ é T -regular, através
do Lema 4.2 temos que a variável aleatória x(k) está
bem
definida e tem momentos finitos, logo qi (k) =
E x(k) 1{θ(k)=i} está bem definido. Aplicando o Lema
4.3 segue o resultado.
Sj qj (k + 1) =
N
X
pij Fi qi (k) +
i=1
N
X
pij πi (k) Gi u(k),
i=1
j ∈ T, pode ser reescrito como
H q = G u.
(9)
Proof. Considere o Sistema (4), sempre que j = m, m ∈
T,
Sm qm (k + 1) =
N
X
i=1
pim Fi qi (k) +
N
X
pim πi (k)u(k)
i=1
= p1m F1 q1 (k) + · · · + pN m FN qN (k)
+ p1m π1 (k)G1 u(k) + · · · + pN m πN (k)GN u(k)
ou seja,
S q(k + 1) = F q(k) + Ḡ(k) u(k)
(10)
11
assim, segue o resultado.
Com o objetivo de encontrar uma trajetória de primeiro momento para os SLSSM propostos, apresentamos o seguinte algoritmo
Passo 1. Entre com as matrizes Sj , Fi , Gi e P, com
a distribuição inicial da cadeia π0 , com o vetor de
controle u(k), com o vetor x(0) e com o horizonte
T . Considerando i, j ∈ T, construa as matrizes S e
F como em (8).
Passo 2. Para k = 1, . . . , T , construa a matriz H e o
vetor b = Gu, e resolva a seguinte equação em q:
H q = b.
Passo 3. Para determinar a trajetória de
meiro momento dos SLSSM, dada
X̄ = {x̄(0), x̄(1), . . . , x̄(T )}, faça
x̄(k) =
N
X
pripor
qi (k), k = 1, . . . , T.
i=1
6. EXEMPLO NUMÉRICO
Nesta seção ilustramos eficiencia do método proposto
na Seção 5 através de um exemplo numérico.
[2] do Val, J. B. R. e T. Basar (1999). Receding horizon control of jump linear systems and a macroeconomic policy problem. Journal of Economic Dynamics
& Control 23, 1099–1131.
[3]DOI Gilles, E. D. (1998). Network theory for chemical processes. Chemical Engineering and Technology 21(2), 121–132.
[4] J. Lam, Z. Shu, S. X. e E. K. Boukas (2007). Robust
H∞ control of descriptor discrete-time Markovian
jump systems. International Journal of Control 80(3),
374 – 385.
[5] James, B. (1996). Probabilidade: Um curso em
nı́vel intermediário., Volume 2. IMPA.
[6]DOI Lew is, F. L. (1986). A survey of linear singular systems. Circuits, Systems, and Signal Processing 5(1),
3–36.
[7] Luenberger, D. G. (1978).
Time-invariant
descriptor systems. Automatica 14(5), 473 – 480.
[8] Luenberger, D. G. e A. Arbel (1977). Singular dynamic Leontief systems. Econometrica 45(4), 991–
995.
[9]DOI New
comb, R. W. e B. Dziurla (1989). Some circuits
and systems applications of semistate theory. Journal
Circuits, Systems, and Signal Processing 8(3), 235–
260.
Exemplo 6.1. Considere o sistema Ψ, com N = 2,
dado por
[10]DOI Raouf, J. e E. Boukas (2007).
Stabilization
1 0
0 0
1 0
S1 =
, S2 =
, F1 = F2
,
of discontinuous singular systems with Markovian
0 0
0 1
0 1
switching and saturating inputs. Number 1, pp. 2442–
1 0
1
2447.
G1 = G2 =
e u(k) =
.
0 1
0
[11] Siqueira, A. A. G. e M. H. Terra (2004). Nonlinear
0.7 0.3
and Markovian H-infinity controls of underactuated
Para P =
, π(0) = 0.5 0.5 e T = 5, temos
0.4 0.6
manipulators. IEEE Transactions on Control System
que
Technology 12(6), 811–826.
−0, 75
−0, 60
−0, 51
−0, 47
−0, 45
X̄ =
,
,
,
,
. [12] Stevens, B. L. e F. L. Lewis (1991). Aircraft Mo0
0
0
0
0
deling, Dynamics and Control. Wiley, New York.
7. CONCLUSÃO
Neste artigo apresentamos dois conceitos de regularidade para os sistemas lineares sujeitos a saltos Markovianos denominados de regularidade estocástica e regularidade estocástica em horizonte finito T (ou T regularidade). Foi proposto, ainda, um método para determinar uma trajetória de primeiro momento para esta
classe de sistema, que leva em consideração as matrizes
de parâmetro do sistema, a matriz de probabibilidade de
transição da cadeia de Markov e a distribuição desta
cadeia.
REFERENCES
[1] Costa, O. L. V., M. D. Fragoso, e R. P. Marques
(2005). Discrete-time Markov jump linear systems:
Probability and its applications. Springer-Verlag,
London.
[13]DOI Todorov, M. G. e M. D. Fragoso (2008). Output
feedback H-infinity control of continuous-time infinite
Markovian jump linear systems via LMI methods.
SIAM Journal on Control and Optimization 47(2),
950–974.