Meteorologia Física
Exercícios de METEOROLOGIA FÍSICA
Pedro M A Miranda, 2003
Termodinâmica do ar seco
1. A atmosfera de Vénus é constituída por 95% de CO2 e 5% de N2 (concentrações
volúmicas, MCO2=44 g mol-1, MN2=28 g mol-1). Determine:
a. A constante dos gases ideais (mássica) para essa atmosfera;
b. Os seus calores específicos a pressão e a volume constantes. (cp do CO2:
4.4R, cp do N2: 3.5R)
2. Uma partícula de ar, à temperatura inicial de -20ºC, desloca-se dos 10 para os
100 hPa.
a.
Admita que se trata de um processo adiabático. Calcule: (i) o trabalho
específico realizado sobre essa partícula; (ii) a temperatura final;
b. Admita que se trata de um processo isotérmico. Calcule: (i) o trabalho
específico realizado sobre essa partícula; (ii) a variação da sua
temperatura potencial e da sua entropia específica; (iii) o calor transferido
para a partícula.
3. Uma massa de ar seco sofre uma expansão adiabática (ascensão) dos 1000 aos
700 hPa. Admitindo que o sistema é fechado e que a sua temperatura inicial é de
10oC, determine:
a. A temperatura e o volume específicos finais;
b. A variação de energia interna e da entalpia específicas;
c. O trabalho realizado na expansão de 1km3 de ar (volume inicial).
4. Um kg de ar seco, com uma temperatura inicial de 0ºC sofre o processo cíclico
seguinte: (i) Expansão isotérmica entre os 700 e os 600 hPa; (ii) arrefecimento
isobárico até aos -10ºC; (iii) Compressão isotérmica até aos 700 hPa; (iv)
aquecimento isobárico de volta aos 0ºC.
a. Esquematize esse processo num diagrama (p,v)
b. Calcule o trabalho realizado no processo.
c. Repita a alínea a) com uma folha de cálculo.
5. Mostre que:

1 ∂θ 1  g
∂T
=
− γ  , com γ = −

θ ∂z T  c p
∂z

6. Mostre que a densidade cresce com a altitude se γ > g / R (gradiente vertical
autoconvectivo).
7. Considere 1 mol de ar, inicialmente à temperatura de 0ºC e à pressão de 103Pa,
que sofre um processo para o qual Q = C dT (com C constante, processo
politrópico), até que atinge um volume triplo do inicial a 250 hPa.
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Meteorologia Física
a.
b.
c.
d.
Mostre que no processo politrópico se tem pv n = const ;
Calcule n para o caso indicado;
Determine a temperatura final e a variação da energia interna;
Determine o trabalho realizado e o calor recebido pelo sistema.
8. Partindo da equação de estado e da relação fundamental, mostre que a energia
interna de um gás ideal é uma função exclusiva da temperatura. (Sugestão:
utilize o esquema da energia livre, f(T,v)).
9. Admita que a troposfera, entre os 0 e os 12 km de altitude, é caracterizada
pelas seguintes propriedades: temperatura à superfície = 15ºC, taxa de
decréscimo da temperatura com a altitude = 6.5 ºC/km, pressão à superfície
1013.25 hPa.
a.
Calcule analiticamente, desprezando o efeito da humidade, o perfil
vertical de pressão na troposfera.
b. Admita que o perfil de humidade é dado na tabela, variando linearmente
entre os pontos de medida. Calcule numericamente, numa folha de
cálculo, o perfil de pressão, comparando-o com o da alínea anterior.
z (km)
r (g/kg)
0
9
1
7
2
6
5
2
8
0
12
0
10. Obtenha por pesquisa na Internet, um perfil vertical médio de temperatura.
a.
Localize a tropopausa, estratopausa e mesopausa.
b. Utilizando a folha de cálculo desenvolvida no exercício 9, calcule o perfil
vertical da pressão até aos 120 km, admitindo que a composição é
constante (e que a atmosfera é seca).
Sistema heterogéneo ar-água
11. Uma casa encontra-se numa zona em que a temperatura exterior vale -10ºC, a
humidade relativa vale 50% e a pressão 1000 hPa. (Utilize o diagrama)
a.
Admitindo que a temperatura no interior da casa vale 25ºC e é obtida por
simples aquecimento, qual será a sua humidade relativa?
b. Admitindo que a casa tem um volume interior de 75 m3, calcule qual a
quantidade de água que será necessário evaporar para elevar a sua
humidade relativa para 80% (à mesma temperatura de 25ºC)?
c. Qual a energia que deve ser fornecida para criar as condições descritas em
b?
12. 20 litros de ar com uma temperatura de 20ºC e uma humidade relativa de 60%
são comprimidos isotermicamente até atingirem um volume de 4 litros. Calcule a
massa de água condensada. (Utilize a equação de Clausius-Clapeyron admitindo
que lv=const).
13. Duas massas de ar à pressão de 1010 hPa misturam-se isobaricamente, em partes
iguais, sem trocas de calor com o exterior. Antes da mistura, uma das massas de
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ar tem a temperatura de 30ºC e 90% de humidade relativa e a outra apresenta
uma temperatura de 5ºC e 95% de humidade relativa.
a. Utilize o diagrama de fases da água para determinar o estado
termodinâmico da massa de ar misturada (T,p,RH).
b. Calcule a concentração do nevoeiro de mistura.
14. A 25ºC a tensão de saturação do vapor de água vale, aproximadamente
31.67 mb.
a.
Calcule, sem recorrer a diagramas termodinâmicos ou tabelas, a tensão do
vapor de uma partícula de ar a 25ºC, se a sua temperatura do ponto de
orvalho valer Td=5ºC.
b. Qual é o valor da razão de mistura da referida partícula se a pressão for
1000 mb?
c. Quais serão os valores da tensão do vapor e da razão de mistura após uma
expansão adiabática até aos 800 mb?
15. Mostre que (em unidades SI):
T − Td ≈ −35 log10 ( H r ) .
16. Utilizando uma folha de cálculo, construa uma carta psicrométrica: tensão de
vapor em função da temperatura, para as humidades relativas de entre 0% e
100% (com 10% de intervalo) e para as temperaturas entre 0 e 40ºC. Admita que
o calor latente é constante, lv=2.5×106Jkg-1.
17. Utilizando uma folha de cálculo:
a.
Represente a variação do calor latente com a temperatura entre 0 e 100ºC,
recorrendo à lei de Kirchoff;
b. Integre numericamente a lei de Clausius-Clapeyron e trace a curva de
saturação líquido-vapor.
Processos termodinâmicos do ar húmido
18. Às 19h fez-se a seguinte observação junto da superfície: T=13ºC, r=8g/kg,
p=1000hPa. Nas horas seguintes a massa de ar considerada sofre um processo de
arrefecimento isobárico com formação de nevoeiro, atingindo este, às 6h da
manhã, uma concentração de 2g/kg de água líquida.
a.
Utilize o diagrama de fases para descrever o processo seguido pela massa
de ar (marque os estados inicial e final, e o processo de arrefecimento).
b. Calcule a taxa média de perda de calor do ar, em W kg-1.
c. Admitindo que este processo ocorre numa camada com 100 m de
espessura, estime o fluxo de calor entre essa camada e o exterior, em W
m.2.
19. Uma cabine de avião tem uma pressão interna de 850 hPa, uma temperatura de
20ºC e uma humidade relativa de 50%. Se essa cabine sofrer uma descompressão
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adiabática para os 350 hPa que condições se observarão (temperatura e
humidade). Recorra aos diagramas.
20. Admitindo que a temperatura de uma partícula de ar à superfície é de 16ºC e
que o nível de condensação por convecção se encontra a pc=840hPa, Tc=0ºC,
determine os valores de p,r,Td,Tw,U,e,ew. Utilize o tefigrama.
21. Mostre que a altura da base das nuvens pode ser aproximada por (“regra dos 120
metros”)
z ≈ 120 (T − Td ) .
22. Uma massa de ar à temperatura de 15ºC, pressão de 1000 hPa e humidade
relativa de 80% sofre um processo de expansão adiabática até aos 400 hPa. Nesse
processo ocorre precipitação de 70% da água condensada, após o que se dá uma
compressão adiabática que traz o ar de volta à pressão inicial.
a. Marque o processo descrito no tefigrama. Leia o estado final da massa de ar
(p,T,Td,HR)
b. Como variou a temperatura potencial nesse processo?
c. Como variou a temperatura potencial do termómetro molhado? E a
temperatura potencial equivalente.
23. Considere uma atmosfera saturada com uma espessura de 300 m, cuja base se
encontra ao nível dos 850 mb, sujeita a um movimento ascensional de velocidade
w=2ms-1. A sua temperatura média é de 20ºC. Calcule o máximo da intensidade
de precipitação nas referidas condições.
24. Represente a seguinte sondagem no tefigrama:
p (hPa)
T (ºC)
Td (ºC)
910
23.5
14.5
850
17.0
12.5
770
10
6
745
10
-1.5
660
2
-10
555
-10
-13
500
-13
-18
400
-24.5
-30.5
300
-39.5
-
200
-35
-
a. Para o ar junto da superfície calcule: (i) temperatura potencial; (ii) razão de
mistura; (iii) humidade relativa.
b. Considere a ascensão adiabática de ar a partir da base da sondagem.
Calcule: (i) pressão do nível de condensação; (ii) conteúdo em água líquida
aos 500 hPa; (iii) calor latente libertado entre a base e os 500 hPa; (iv)
localização do nível de convecção livre; (v) localização do topo da nuvem.
25. Um föhn que sopra à superfície a 1000 hPa tem uma temperatura de 38ºC e uma
razão de mistura de 4 g/kg. Poderá ser este o mesmo ar que se encontra à
mesma pressão do outro lado da montanha com uma temperatura de 21.5ºC e
com uma razão de mistura de 10 g/kg? E aos 800 hPa com 5ºC e 5 g/kg? Utilize o
tefigrama.
26. Obtenha a seguinte expressão para o aumento de temperatura devido ao
congelamento de água numa nuvem, admitindo que o processo se dá a um
determinado nível na ascensão (a pressão constante):
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∆T =

e
l f rl + l s rw 1 − i
 ew
cp +




ri l s2
Rv T 2
27. Uma massa de ar saturada (sem água líquida) à temperatura de 2ºC, mistura-se
isobaricamente, em partes iguais, com uma outra massa de ar igualmente
saturada (sem água líquida) à temperatura de 30ºC. A pressão vale 1013.25hPa.
a. Utilizando o diagrama de fases, calcule o estado da massa de ar misturada (T,
r, rl).
b. Repita o cálculo sem recorrer ao diagrama de fases. (Sugestão: Utilize uma
tabela de tensões de vapor para caracterizar o estado inicial. Utilize um
algoritmo para determinar o estado final, por intersecção entre a linha
isentálpica e a curva de saturação).
28. Represente a seguinte sondagem no tefigrama:
p (hPa)
T (ºC)
Td (ºC)
1000
22
17
800
15
-5
600
-5
-11
a. Estime, em cada nível, os valores da razão de mistura, da humidade relativa e
da temperatura potencial.
b. Determine o estado final da camada 1000-600 num processo de mistura
vertical.
Estabilidade atmosférica
29. Considere a seguinte sondagem:
Pressão (hPa)
T (ºC)
Td (ºC)
1000
30
21.5
970
25
21
900
19
18
850
16.5
16.5
800
20
5
700
11
-4
a. Marque-a no tefigrama. Determine a humidade relativa e a razão de mistura
aos 1000 hPa.
b. Classifique as diferentes camadas quanto à estabilidade estática.
c. Classifique as diferentes camadas quanto à estabilidade potencial. Justifique.
d. Estime a frequência de Brunt-Väisälä da camada 900-850hPa.
30. Represente a seguinte sondagem no tefigrama:
p (hPa)
T (ºC)
Td (ºC)
920
24
18.1
850
20
17.2
800
15.8
13.0
700
6
0.6
600
0
-14.3
500
-8
-12.0
400
-19.5
-24.7
300
-33
250
-38
200
-45
a. Classifique o perfil quanto à estabilidade latente, para uma ascensão a partir
da superfície. Justifique.
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b. Considere uma partícula que ascende a partir da superfície. Explique,
qualitativamente como varia a sua velocidade vertical (identifique camadas
em que se espera redução e aumento de velocidade).
c. Admita que a corrente ascendente atinge uma velocidade de 1ms-1 aos
750hPa. Estime, justificando, velocidades aos 900 hPa e aos 300 hPa.
d. Estime a frequência de Brunt-Väisälä na camada 900-850.
31. Nas condições da sondagem do exercício 24, avalie a velocidade vertical aos 500
hPa, desprezando o atrito e os processos de mistura lateral. Indique as hipóteses
utilizadas.
32. Nas condições do exercício anterior, avalie a taxa de precipitação, na base da
nuvem.
33. Utilizando uma folha de cálculo, estime a CIN e a CAPE do perfil do exercício 30.
34. Uma sondagem ao nascer do Sol revela o seguinte perfil de temperatura

 Γd 
z
 T0 + 
2



T ( z) = 

 Γd   Γd 
z − 
( z − 1)
T0 + 
 2   4 

z < 1km
z ≥ 1km
a. Determine a temperatura de superfície a partir da qual se inicia convecção
profunda.
b. Admitindo que o solo aquece à taxa de 3ºC/h, estime a hora de formação de
cumulus.
Aerossol e nuvens
35. Utilizando a lei de Stokes para a força de resistência do ar exercida sobre uma
partícula esférica de raio r e velocidade terminal de queda v:
F = 6πη v r
determine o tempo de queda através de uma camada de 1 km de ar, de gotas
com raios de 1µm , 10µm e 100µm , respectivamente. Note que η = ρν é a
viscosidade do ar.
36. Uma gota com um raio inicial de 100µm cai com velocidade dada pela lei de
Stokes através de uma nuvem cuja concentração é de 100 gotículas de 10µm por
cm3. Determine o tempo que a referida gota necessita para atingir o raio de
1mm , admitindo que a eficiência do processo de colecção é de 80%.
37. Numa nuvem com 1000m de espessura, à temperatura de 0ºC, existe uma
concentração de 1g/kg de gotículas com um raio médio de 1µm . Admitindo uma
eficiência média do processo de colisão/coalescência de 0.7, calcule o tempo
necessário para o crescimento, por esse processo, de uma gota de 10 µm de raio
até atingir o raio de 1mm .
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38. Uma nuvem cuja base se encontra aos 5000 m acima do solo produz gotas de
chuva cujo raio vale 1 mm, ao nível da base da nuvem. A velocidade terminal
dessas gotas é dada por v = kr . A atmosfera abaixo da nuvem é caracterizada
por um perfil de humidade relativa variando linearmente entre 100% (junto da
nuvem) e 40% (junto da superfície).
a. Mostre que a lei de variação do raio da gota no seu percurso até atingir a
superfície satisfaz, admitindo certas aproximações, a expressão
dr
r
= G ( H r − 1)
dt
b. Admitindo que G = 7 × 10−10 m 2 s −1 , k = 6000 s −1 , calcule o raio da gota no
momento em que atinge o solo. (Sugestão: Comece por escrever a lei de
variação da humidade relativa, H r , com a altitude).
39. Numa nuvem existe uma concentração de 0.6gm-3 de gotículas com um raio
médio de 1µm . Considere uma gota com 100 µm , a uma altura H acima da base
da nuvem, e que atinge o raio de 1 mm ao atingir a base. Admita que a
velocidade terminal dessa gota é dada por v = kr (k=6000 s-1), que a nuvem se
encontra em repouso e que o único processo de crescimento é o processo de
colisão-coalescência. Admitindo uma eficiência média do processo de
colisão/coalescência de 0.75 e que existe uma corrente ascendente com 1ms-1,
calcule:
a. A posição inicial da gota (H);
b. O tempo de percurso.
40. Uma nuvem de grande extensão vertical é composta por gotículas de raio igual a
10µm, com uma concentração de 1000 gotículas por cm3. Nessa nuvem observase uma corrente ascensional constante w=2 ms-1. Considere uma gota com raio
inicial de 100µm, que se encontra na base da nuvem, admita que a velocidade
terminal das gotas é dada por v=kr (k=8000 s-1) e que o processo de colisãocoalescência tem uma eficiência de 0.8.
a. Mostre que o raio da gota cresce exponencialmente com o tempo.
b. Determine o tempo de subida da gota colectora (até atingir a altura máxima
acima da base da nuvem).
c. Localize a altura máxima atingida pela gota colectora, acima da base da
nuvem.
41. Uma nuvem produz precipitação constituída por gotas cujo raio vale 0.8mm no
momento em que atravessam a base da nuvem, 2000m acima do solo, e 0.4mm
no momento em que atinge o solo. Na camada de ar abaixo da nuvem observa-se
uma humidade relativa de 60% e existe uma corrente ascendente com velocidade
constante. Admita que a velocidade terminal da gota é dada pela lei v = kr , em
que k = 6000 s −1 e que a lei de crescimento do raio da gota pode ser aproximada
dr
por r
= G ( H r − 1) , com G = 7 × 10−10 m 2 s −1 .
dt
a. Calcule o tempo de queda.
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b. Calcule a velocidade da corrente ascendente.
c. Admita que a taxa de precipitação vale 1 mm h-1 na base da nuvem. Que valor
será observado ao nível do solo? (Admita que todas as gotas de chuva têm a
dimensão referida no enunciado)
Transferência de radiação na atmosfera
42. A partir da lei de Planck do corpo negro, deduza as leis de Stefan-Boltzmann e
do deslocamento de Wien.
43. Uma superfície coberta por neve limpa apresenta um albedo de 0.75 a 0.95. Uma
superfície florestada apresenta, por sua vez, um albedo de 0.10 a 0.20. Ambas as
superfícies se comportam aproximadamente como um corpo negro na zona dos
grandes c.d.o. (comprimentos de onda). Admitindo que as duas superfícies são
sujeitas a um fluxo de radiação descendente de 200 Wm-2 na gama dos grandes
c.d.o. e de 200 Wm-2 de radiação solar, calcule as suas temperaturas de
equilíbrio. Relacione o resultado com o processo de realimentação positiva
albedo/radiação.
44. Um planeta recebe uma irradiância solar idêntica à observada na órbita da Terra
(constante solar S=1370 Wm-2). Admita que a sua superfície tem um albedo de
0.3 e se comporta como um corpo negro para a radiação de grande comprimento
de onda. A sua atmosfera é constituída por duas camadas isotérmicas com
reflectividade nula e absorvidade igual a 0.2 e 0.7 para os pequenos e para os
grandes comprimentos de onda, respectivamente.
a. A estabeleça o diagrama de fluxos de radiação apropriado;
b. Determine as temperaturas de equilíbrio da superfície e das duas camadas
da atmosfera;
c. Determine a temperatura efectiva e o albedo do planeta.
45. Um planeta esférico sujeito a uma constante solar de 1000 Wm-2, encontra-se
rodeado por uma atmosfera isotérmica não difusiva (reflectividade=0, em todos
os c.d.o.) caracterizada por uma absorvidade solar de 0.6 e por uma absorvidade
infravermelha de 0.5. A superfície do planeta tem um albedo de 0.2 e comportase como um corpo negro na região do infravermelho.
a. Calcule a irradiância média incidente sobre o planeta. Desenhe o diagrama
de fluxos radiativos.
b. Calcule a temperatura efectiva do planeta.
c. Calcule as temperaturas médias da superfície e da atmosfera.
d. Qual a magnitude do efeito de estufa? Justifique.
46. Um planeta cuja superfície é um corpo negro encontra-se rodeado por uma
atmosfera cuja absorvidade para a radiação solar é dada por aS e cuja
absorvidade para a radiação infravermelha é dada por aIV. Mostre que se aS>aIV a
temperatura da superfície planeta será inferior à sua temperatura efectiva
(efeito de estufa negativo). Admita que o planeta está em equilíbrio radiativo,
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Meteorologia Física
que todas as trocas de calor entre a superfície e a atmosfera são por radiação e
que a atmosfera não dispersa radiação.
47. Uma nave espacial cilíndrica roda sobre o seu eixo de simetria, sendo este
perpendicular ao plano da eclíptica. A nave encontra-se a 2×108 km do centro do
Sol e distante de qualquer planeta. Admita que a superfície da nave se comporta
como um corpo negro na zona infravermelha do espectro e que tem um albedo
de 0.5. A nave tem 5 m de geratriz e 2 m de raio.
a. Determine a temperatura de equilíbrio da nave, se no seu interior não
existirem fontes de calor.
b. Calcule a potência das fontes internas de calor necessária para elevar a
temperatura de equilíbrio para os 15ºC.
48. Um satélite esférico orbita em torno da Terra a 2000 km da superfície, seguindo
uma órbita circular.
a. Calcule a temperatura efectiva do satélite quando ele se encontra no cone de
sombra da Terra, sabendo que a temperatura efectiva da Terra vale 255 K.
b. Calcule a temperatura efectiva do satélite quando ele se encontra iluminado
pelo Sol.
Sugestões: a) determine a dimensão angular da Terra, dω , quando vista da superfície do
satélite; b) note que a irradiância terrestre na superfície do satélite é dada por L dω ; c)
imponha a condição de balanço de energia.
49. Considere uma atmosfera isotérmica em que existe uma única espécie química
opticamente activa. Admita que, na zona do espectro solar, a única forma de
interacção entre a radiação e a atmosfera é o processo de absorção. Recorrendo
à lei de Beer-Lambert, em condições de Sol no zénite:
a. Determine o perfil vertical de irradiância solar;
b. Determine o perfil vertical da taxa de aquecimento radiativo;
c. Localize o nível de máximo aquecimento. Mostre que esse nível corresponde a
uma espessura óptica de 1.
d. Arbitrando valores para os diferentes parâmetros, utilize uma folha de cálculo
para representar graficamente os perfis a) e b).
50. Admitindo que o Sol se encontra no zénite e que a atmosfera é isotérmica, a
concentração de ozono pode ser expressa por:
n = n0 p 3 / 2
em que n é o número de moléculas por m3. Mostre que, se se admitir que o
coeficiente de absorção é constante (independente do c.d.o.), a taxa de
aquecimento devida à absorção de radiação solar é dada por:
1/ 2
 p 

Q& = Q& m 

 pm 
3/ 2
 

1 p 


exp − 
−
1
 3  pm 



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Meteorologia Física
em que pm é o nível de aquecimento máximo e Q& m a taxa de aquecimento a
esse nível.
51. Na zona da “janela atmosférica” entre os 8µm e os 13µm absorção de radiação
é fundamentalmente devida ao vapor de água. O coeficiente de absorção
correspondente é dado aproximadamente por k2 e , em que k2 é uma constante
( k2 ≈ 0.1m 2 kg −1 Pa −1 ) e e a tensão de vapor.
a. Se a tensão de vapor à superfície for 10 hPa determine a transmissividade de
uma camada junto à superfície com 1 km de espessura.
b. Admitindo que a tensão de vapor varia com a pressão de acordo com a lei
e = e 0 ( p / p 0 ) 4 , determine a transmissividade total da atmosfera.
c. Estime a taxa de aquecimento de uma camada da atmosfera junto da
superfície em K dia-1.
52. Uma atmosfera é constituída por N camadas isotérmicas transparentes para a
radiação solar (pequeno c.d.o.) e com uma absorvidade infravermelha aIV (igual
em todas as camadas). Esta atmosfera encontra-se em equilíbrio radiativo com
uma superfície (inferior) negra, sob um fluxo de radiação solar de irradiância F0.
a. Calcule a irradiância emitida pela superfície, para N=1,2,...N.
b. Mantendo constante τ = N aIV , mostre que no limite ( N → ∞ ), i.e. para uma
estratificação contínua, se tem:
F
Fs = 0 (τ + 2)
2
53. Calcule as horas do nascer e pôr do Sol em Lisboa (latitude 38º40’) nos dias do
solstício de Verão e de Inverno. (Recorde a lei de variação do ângulo zenital:
cosψ = sin φ sin δ + cos φ cos δ cos ω ).
54. Repita o cálculo para a latitude de 75ºN, no dia do solstício de Dezembro.
Interprete o resultado.
55. Nas condições do problema 53, calcule a radiação solar disponível no topo da
atmosfera ao longo de todo o ciclo diurno (em J/m-2).
56. Faça um gráfico, recorrendo a uma folha de cálculo, da radiação solar disponível
no topo da atmosfera ao longo de todo o ciclo diurno (em J/m-2) em Lisboa, ao
longo de todo o ano. Utilize a expressão aproximada, para a variação da
declinação solar, em que α é o ângulo diário (vale 0 no dia 1 de Janeiro e 2π
no dia 31 de Dezembro).
δ ≈ 0.006918 - 0.399912cos(α ) + 0.070257 * sin(α ) - 0.006758 cos(2α )
+ 0.000907 * sin(2α ) - 0.002697 * cos(3α ) + 0.00148sin(3 * β )
10