ABORDAGEM DO CONCEITO DE DERIVADA SEM LIMITES
Maria Clara Martins, ESEC; Jaime Carvalho e Silva, UC
Introdução
O conceito de derivada é abordado pela primeira vez na disciplina de Matemática no 11º
ano do ensino secundário. De acordo com as orientações curriculares actualmente em vigor esta
abordagem é feita numa primeira fase de modo intuitivo e posteriormente trabalhando exemplos
com maior complexidade mas recorrendo sempre à teoria de limites. Mas será que o conceito de
derivada terá que ser necessariamente abordado recorrendo ao conceito de limite? Não. De facto,
iremos, no que segue apresentar uma abordagem do conceito de derivada baseada no livro
“Calculus Unlimited” de J. Marsden e A. Weinstein. Trata-se de uma abordagem alternativa
visto não envolver a teoria de limites e exigir apenas como pré-requisitos que o aluno esteja
familiarizado com funções e gráficos.
Para a definição de derivada de uma função num ponto que aqui apresentaremos, a
seguinte definição será indispensável:
Definição 1: [Mudança de Sinal]
Seja f uma função real de variável real e x0 um número real. A função f muda de sinal
negativo para positivo em x0 se existir um intervalo ]a, b[ contendo x0 em que f esteja
definida (excepto eventualmente em x0 ), tal que f ( x ) < 0 se a < x < x0 e f ( x ) > 0 se
x0 < x < b . A função f muda de sinal positivo para negativo em x0 se existir um intervalo
]a, b[
contendo x0 em que f esteja definida (excepto eventualmente em x0 ), tal que
f ( x ) > 0 se a < x < x0 e f ( x ) < 0 se x0 < x < b .
Geometricamente, dizemos que uma função f muda de sinal se o seu gráfico atravessa
o eixo dos xx de um lado para o outro.
É importante notar que o intervalo
]a, b[
na definição 1 deverá ser escolhido
convenientemente. De facto, devemos ter em conta que certas funções podem, num determinado
ponto x0 , mudar de sinal positivo para negativo e logo a seguir num ponto x1 , mudar de sinal
negativo para positivo.
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I.1. Definição de Derivada de uma função num ponto
Apresentaremos de seguida uma motivação para introduzir o conceito de derivada
recorrendo à velocidade instantânea de um objecto. Assim, clarifiquemos primeiro o que se
entende por movimento uniforme e velocidade de um objecto.
Suponhamos que um objecto de pequenas dimensões, que identificaremos a um ponto, se
move segundo uma recta e a sua posição muda linearmente com o tempo. Para simplificar a
linguagem diremos que a distância percorrida pelo objecto a partir de um ponto de referência é
representada por uma variável y (lei do movimento do objecto) e que y é uma função do
tempo. Dizemos que o objecto tem movimento uniforme e que a taxa de variação de y em
relação ao tempo é a velocidade do objecto. Assim, podemos concluir que a velocidade de um
objecto que tem movimento rectilíneo uniforme é constante pelo que, geometricamente, tal
significa que a velocidade coincide com a recta que representa a função y .
Apesar de termos definido movimento rectilíneo uniforme podemos verificar que na
natureza é difícil encontrar objectos que o possuam; no entanto, uma vez que é possível
determinar a velocidade de um objecto com movimento rectilíneo uniforme, será que é possível
fazer o mesmo relativamente a um objecto com um movimento rectilíneo diferente do uniforme?
A resposta a esta questão é afirmativa e no caso de um movimento rectilíneo não uniforme, a
taxa de variação da distância de um ponto em relação ao tempo em cada instante, dependerá do
instante considerado, designando-se por velocidade instantânea.
Para um melhor entendimento do conceito de velocidade instantânea estudaremos o
seguinte problema:
Exemplo 1:
Numa auto-estrada com três vias, v1 , v2 e v3 , num dos sentidos circulam três
automóveis, A1 , A2 e A3 , cada um em sua via. Os automóveis A1 e A3 têm um movimento
uniforme cuja velocidade é 90 km e 120 km por hora, respectivamente. Sabendo que o
automóvel A2 ultrapassa A1 e é ultrapassado pelo automóvel A3 exactamente às 12 horas,
estime a velocidade de A2 exactamente às 12 horas.
Resolução:
Uma vez que A2 é ultrapassado por A3 exactamente às 12 horas, podemos concluir que a
velocidade de A2 nesse instante é inferior à velocidade de A3 . Analogamente, podemos concluir
que a velocidade de A2 é superior à velocidade de A1 , pois este é ultrapassado por A2
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exactamente às 12 horas. Assim, exactamente às 12 horas, a velocidade do automóvel A2 está
compreendida entre 90 km e 120 km , por hora.
Designando por
y1 e
y2 a distância percorrida pelos automóveis
A1 e
A2 ,
respectivamente, em relação a uma origem comum, podemos concluir que às 12 horas estas duas
funções são iguais, ou seja, considerando o tempo medido em horas, y1 (12 ) = y2 (12 ) .
Graficamente podemos representar o comportamento das funções y1 e y2 como é
exemplificado na figura 1.
Se designarmos por y a distância relativa entre A2 e A1 ,
então y = y2 − y1 .
Nestas condições, a função y será negativa até às 12
horas e será positiva a partir desse momento. Por outro lado,
sabemos que a velocidade do automóvel A1 é inferior à
Figura 1: Uma possível
representação gráfica das
velocidade do automóvel A2 e que este último ultrapassa A1 às
funções y1 e y2 .
12 horas, logo neste instante A2 terá que ter velocidade superior à
de A1 .
Tendo em conta o exemplo anterior, recorrendo à interpretação geométrica do conceito de
velocidade num movimento rectilíneo uniforme, ou seja, uma vez que a representação gráfica de
um movimento uniforme com velocidade v é uma recta com declive v então é possível estimar
a velocidade, num determinado momento, de um objecto com um movimento não uniforme cuja
lei é descrita por uma função f estudando como é que rectas com vários declives intersectam o
gráfico de f , ou seja, estudando o sinal das funções diferença que se obtêm.
Vejamos uma aplicação do que foi dito no seguinte exemplo:
Exemplo 2:
A posição de um objecto é definida em função do tempo t por p (t ) = 2t 3 .
Provar que a sua velocidade em t = 1 está compreendida entre 2 e 10.
Resolução:
A posição do objecto dado em t = 1 é p (1) = 2 . Provemos que a sua velocidade é
inferior a 10. Para tal consideremos um outro objecto com movimento uniforme cuja
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velocidade é 10 e cuja posição em t = 1 é 2. Tem-se então que p2 (t ) = 10t − 8 é a lei
que traduz o movimento deste objecto. Consideremos agora a função diferença
d 2 = p − p2 e estudemo-la em t = 1 . Temos d 2 (t ) = p (t ) − p2 (t ) = 2t 3 −10t + 8
Logo, d 2 muda de sinal positivo para negativo em t = 1 e isso significa que no
momento t = 1 , o objecto cuja posição é determinada por p é ultrapassado pelo
objecto cuja posição é descrita por p2 , logo, em t = 1 a velocidade do primeiro é
inferior à velocidade do segundo que é 10.
De modo análogo, prova-se que a
velocidade do objecto em t = 1 é superior a 2.
Tendo em conta o exemplo apresentado, podemos dizer que é possível estimar a
velocidade num determinado instante comparando a função dada, f , com rectas de equação
y − y0 = m ( x − x0 ) em que ( x0 , y0 ) é um ponto (que coincide com o ponto do gráfico de f que
tem como abcissa o momento em que se pretende estudar a velocidade do objecto) da recta e m
é o declive.
Formalizemos então a definição de derivada de uma função num ponto.
Definição 2: [Derivada de uma função num ponto]
Seja f uma função definida num intervalo aberto contendo x0 . Dizemos que m0 é
uma derivada de f em x0 se forem verificadas as seguintes condições:
1. Para todo o número real m tal que m < m0 , a função
f ( x ) −  f ( x0 ) + m ( x − x0 ) 
muda de sinal de negativo para positivo em x0 .
2. Para todo o número real m tal que m > m0 , a função
f ( x ) −  f ( x0 ) + m ( x − x0 ) 
muda de sinal de positivo para negativo em x0 .
Se existir m0 nas condições anteriores, dizemos que f é uma função diferenciável em
x0 e escrevemos
m0 = f ′ ( x0 ) .
Se f é uma função diferenciável em todos os pontos do seu domínio dizemos
simplesmente que f é uma função diferenciável.
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Prova-se que se existir f ′ ( x0 ) então esse valor é único.
Consideremos agora o seguinte exemplo:
Exemplo 3:
A posição no momento x de um objecto é x3 . Qual a sua velocidade em x = 0 ?
Resolução:
Consideremos a seguinte função diferença
g ( x ) = f ( x) −  f ( x0 ) + m ( x − x0 ) = x ( x 2 − m)
Se m > 0 , g ( x ) muda de sinal positivo para negativo em x = 0 (Figura 2).
Se m < 0 , g ( x ) muda de sinal negativo para positivo em x = 0 (pois x 2 − m > 0 )
(Figura 3).
Logo f ′ (0) = 0 e portanto a velocidade do objecto em x = 0 é zero.
Figura 2: Representação gráfica de
algumas funções diferença para valores
positivos de m .
Figura 3: Representação gráfica de
algumas funções diferença para valores
negativos de m .
A definição de derivada de uma função f num ponto de abcissa x0 pode ser interpretada
geometricamente da seguinte forma:
Todas as rectas que passam pelo ponto ( x0 , f ( x0 ) ) com declive superior a m0 = f ′ ( x0 )
atravessam o gráfico de f
de baixo para cima (da esquerda para a direita no ponto
( x , f ( x ) ) ), enquanto que as rectas que passam pelo ponto ( x , f ( x ) )
0
0
0
0
com declive inferior a
m0 = f ′ ( x0 ) atravessam o gráfico de f de cima para baixo (da esquerda para a direita no
mesmo ponto). Assim, a recta que tem declive m0 = f ′ ( x0 ) e que passa por ( x0 , f ( x0 ) ) será a
recta tangente ao gráfico de f em ( x0 , f ( x0 ) ) .
É importante referir que nem toda a recta que passa por ( x0 , f ( x0 ) ) e não atravessa o
gráfico da função neste ponto é uma recta tangente ou por outro lado, existem rectas tangentes
que atravessam o gráfico no ponto de tangência. [Exemplo 4]
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Exemplo 4:
Mostrar que f não é diferenciável em x = 0 sendo f uma função definida por
f :ℝ→ ℝ
x֏ x
.
Resolução:
Se 0 ≤ m ≤ 1 a função f ( x) − mx é sempre positiva ou nula (Figura 4).
Para existir derivada de f no ponto zero teria de existir um número real m0 tal que para
valores inferiores a esse m0 a diferença entre f e a recta de declive m que passa pelo ponto
( 0, 0 ) ,
mudasse de sinal de negativo para positivo, e para valores superiores a esse m0 a
diferença teria de passar de sinal de positivo para negativo. Como existem valores de m onde
a função não muda de sinal então conclui-se que f não é diferenciável em x = 0 .
Figura 10: Representação gráfica
de f e algumas funções definidas
por y = mx com 0 ≤ m ≤ 1 .
I.2. Transições e Derivadas
Neste ponto iremos apresentar uma definição do conceito de derivada um pouco diferente
da apresentada em I.1. Assim, iremos reformular esta definição à custa do conceito de ponto de
transição. Além disso, o conceito de mudança de sinal também poderá ser reformulado em
termos de ponto de transição.
I.2.1. Ponto de Transição, Mudança de Sinal e Ultrapassagem
Algumas mudanças são repentinas, ou definitivas e são marcadas por um ponto de
transição. Por exemplo, o pôr-do-sol assinala a transição do dia para a noite, o solstício de Verão
marca a transição da Primavera para o Verão. A temperatura de zero graus num termómetro é o
ponto de transição de temperaturas positivas para temperaturas negativas. Consideremos ainda o
seguinte exemplo:
Exemplo 5:
Uma tartaruga e uma lebre estão a fazer uma corrida em que ora corre uma mais depressa ora
corre a outra, ou correm lado a lado, podendo parar mas nunca recuar. Seja T o período de
tempo em que a tartaruga lidera a corrida e L o período de tempo em que a lebre lidera a
prova. O momento em que a lebre ultrapassa a tartaruga é o ponto de transição de T para L .
Quando a tartaruga ultrapassar a lebre então o ponto de transição será de L para T .
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Posto isto, vamos definir matematicamente o conceito de transição.
Definição 3: [Ponto de transição ]
Sejam A e B dois conjuntos de números reais. Um número x0 é um ponto de transição de
A para B se existir um intervalo aberto I contendo x0 tal que:
1. Se x ∈ I e x < x0 , então x ∈ A e x ∉ B .
2. Se x ∈ I e x > x0 , então x ∈ B e x ∉ A .
Note-se que na corrida entre a tartaruga e a lebre, estas corressem lado a lado num dado
intervalo de tempo, então neste caso não haveria nenhum ponto de transição. Ou seja, se para
t < t1 a tartaruga está à frente da lebre, para t > t2 a lebre está à frente da tartaruga e se entre t1 e
t2 os dois animais estão lado a lado, então não há nenhum ponto de transição mas sim um
período de transição.
No que se segue, iremos apresentar uma outra caracterização de mudança de sinal de uma
função em termos da noção de ponto de transição.
Teorema 1:
Consideremos uma função f , N o conjunto dos elementos do domínio tais
que f ( x) < 0 e M o conjunto dos elementos do domínio tais que f ( x) > 0 .
A) x0 é um ponto de transição de N para M se e só se f mudar de sinal de negativo
para positivo em x0 .
B) x0 é um ponto de transição de M para N se e só se f mudar de sinal de positivo
para negativo em x0 .
Retomando o exemplo da corrida da lebre e da tartaruga, denotemos por T (t ) a posição da
tartaruga no instante t e por L (t ) a posição da lebre no mesmo instante. Se dissermos que a
tartaruga ultrapassa a lebre no instante t0 então podemos escrever que existe um intervalo aberto
I contendo t0 tal que:
1. Se t ∈ I e t < t0 , então T (t ) < L (t ) .
2. Se t ∈ I e t > t0 , então T (t ) > L (t ) .
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Supondo que as funções T e L são as que estão representadas graficamente na figura 12,
podemos verificar que num intervalo contendo t0 , o gráfico de T está abaixo do gráfico de L
para t inferior a t0 , e está acima do gráfico de L para t superior a t0 .
Importa realçar a importância de escolher um intervalo conveniente onde se verifiquem as
condições 1. e 2. pois a lebre poderia alcançar a tartaruga logo a seguir ao momento t0 , por
exemplo num momento t1 , e esse momento não pode pertencer ao intervalo escolhido.
Ponto onde a tartaruga
ultrapassa a lebre
Figura 5: Representação gráfica das
Intervalo onde são satisfeitas
as condições 1. e 2.
funções T e L .
Podemos agora definir o que se entende em matemática por ultrapassar.
Definição 4:
Sejam f e g duas funções e A um subconjunto da intersecção dos dois domínios em que
f ( x) < g ( x) , e B um subconjunto em que f ( x) > g ( x) . Dizemos que f ultrapassa g em
x0 se x0 é um ponto de transição de A para B .
Obviamente que se existir um intervalo I onde se verifiquem as condições 1. e 2., então
em qualquer intervalo J contido em I contendo x0 também se verificam as mesmas condições.
Exemplo 6:
Seja f ( x) =
1
e g ( x ) = −x + 1 . Mostre que f ultrapassa g
1− x
em x = 0 .
Consideremos I = ]−∞,1[ . Para
f ( x) < g ( x ) ⇔
x∈I
e
x < 0 tem-se
f ( x) < g ( x) . De facto,
x (2 − x)
x (2 − x )
1
< 1− x ⇔
< 0 . Analisando o sinal de
podemos
1− x
1− x
1− x
verificar que esta função é negativa em x ∈ I e x < 0 . Para x ∈ I e x > 0 tem-se
f ( x) > g ( x) . Logo f ultrapassa g em x = 0 , como podemos observar na representação
gráfica apresentada.
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Os conceitos de ultrapassar e de mudança de sinal podem ser definidos em termos um do
outro, de facto, prova-se que f muda de sinal em x0 se e só se f ultrapassa ou é ultrapassada
pela função nula.
I.2.2. Reformulação da definição de Derivada de uma função num ponto
O conceito de derivada foi apresentado anteriormente usando o conceito de mudança de
sinal de uma função. Iremos agora apresentar uma definição equivalente com uma terminologia
diferente.
Seja f uma função cujo domínio contém um intervalo aberto contendo x0 . Seja A o
conjunto dos números m para os quais a função f ( x0 ) + m ( x − x0 ) (cujo gráfico é a recta com
declive m que passa por ( x0 , f ( x0 ) ) ) é ultrapassada pela função f em x0 . Seja B o conjunto
dos números m para os quais a função f ( x0 ) + m ( x − x0 ) ultrapassa a função f em x0 .
Teorema 2:
Um número m0 é um ponto de transição de A para B se e só se m0 é a derivada de f em x0 .
Caso exista, a derivada de uma função num ponto, é única. Este facto, na terminologia que
estamos agora a usar, significa que existe um único ponto de transição de A para B .
Exemplo 7:
Calcular a derivada de f ( x) = x 2 − x em x = 1 pelo teorema 9.
Resolução:
Consideremos g ( x) = f (1) + m ( x −1) ou g ( x ) = m ( x −1) . Queremos definir os conjuntos A
e B , sendo A o conjunto dos valores m para os quais f ultrapassa g em x = 1 , e B o
conjunto dos valores m para os quais f é ultrapassada por g em x = 1 . Para determinar os
conjuntos A e B notemos que f ( x) − g ( x) = x 2 − x − m ( x −1) = ( x −1)( x − m) .
Se m > 1 então f − g muda de sinal positivo para negativo em x = 1 , logo f é ultrapassada
por g em x = 1 .
Se m < 1 então f − g muda de sinal negativo para positivo em x = 1 , logo f ultrapassa g em
x = 1 . Posto isto, A = ]−∞,1[ e B = ]1, +∞[ logo como 1 é o ponto de transição de A para B ,
tem-se que f ′ (1) = 1 .
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Conclusão
A abordagem do conceito de derivada sem limites apresenta-se como uma alternativa ao
cálculo, usando o método de exaustão para a derivada em vez de limites. Esta abordagem visa
uma compreensão intuitiva dos números reais, no entanto o seu desenvolvimento é rigoroso e
todos os resultados são facilmente demonstrados. Esta abordagem recorre muito a raciocínios
geométricos, mais do que a usual, por exemplo: a definição de completamento é apresentada em
termos de convexidade em contraste com o uso de limites superiores e inferiores, e os cortes de
Dedekind são substituídos pela noção de ponto de transição.
A nível de pré-requisitos é exigido ao aluno, conhecimentos de funções, gráficos e
álgebra (o aluno deverá estar bastante à vontade com o manuseamento de inequações).
Por não exigir o conhecimento da teoria de limites, esta abordagem parece encaixar-se
nos primeiros anos do ensino secundário ou porque não, ainda no ensino básico. O aluno poderá
confrontar-se com o conceito de derivada mesmo não conhecendo o conceito de limite podendo
resolver problemas de máximos e mínimos da área da física, economia, … que envolvam o
conceito de derivada. Parece-nos importante referir que esta abordagem não exige teoria de
limites mas exige que o aluno seja capaz de raciocinar geometricamente e resolver, com alguma
destreza, equações e inequações. Assim, se do ponto de vista conceptual a abordagem do
conceito de derivada sem limites não parece trazer dificuldades, em relação ao domínio da
geometria pode originar algumas dificuldades, não porque exija o conhecimento de teoremas
profundos mas porque os alunos devem possuir hábitos de trabalho de raciocínios geométricos,
tirar conclusões, interpretar e orientar o seu raciocínio a nível geométrico. Além disto, esta
abordagem é muito suportada pela ilustração geométrica (“ f ultrapassa g em x0 se x0 é um
ponto de transição de A para B ”) e até física pelo que terá alguma vantagem em ser utilizada
no 9º ano em conjunto com a disciplina de Física.
É deixada a sugestão para estudos posteriores: seria interessante avaliar em campo a
reacção dos alunos a esta abordagem.
Bibliografia:
JERROLD MARSDEN, ALAN WEINSTEIN, Calculus Unlimited, The Benjamin/ Cummings
Publishing Company, Inc. California, 1981.
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