Estatística I
Aula 5
Prof.: Patricia Maria Bortolon, D. Sc.
PROBABILIDADE
Os Postulados de Probabilidade
1. As probabilidades são números reais positivos
maiores que zero e menores que 1; simbolicamente,
0 ≤ P(A) ≤ 1 para qualquer evento A.
2. Qualquer espaço amostral tem probabilidade 1,
P(Ω) = 1 para qualquer espaço amostral Ω.
3. Se dois eventos são mutuamente excludentes, a
probabilidade de ocorrência de um ou do outro é
igual à soma de suas probabilidades.
Simbolicamente, P(A U B) = P(A) + P(B) para dois
eventos A e B quaisquer mutuamente excludentes.
Propriedade básicas da Probabilidade
1. P (O) = 0 , a probabilidade de ocorrência do
conjunto vazio é nula. O conjunto vazio é também
chamado evento impossível.
2. ΣP(Ei) = 1 , a soma das probabilidades de todos os
eventos possíveis é sempre igual a 1.
3. P(Ei) + P(Ei) = 1 , a soma da probabilidade de um
evento com a probabilidade de seu evento
complementar é sempre igual a 1.
Exemplo
• Se A e B são os eventos de o Dr. Paulo estar em seu
consultório às 9 horas da manhã ou de estar no
hospital, se P(A) = 0,48 e P(B)=0,27, encontre:
–
–
–
–
(a) P (A)
(b) P (A U B)
(c) P (A ∩ B)
Solução:
• P(A) representa a probabilidade de Dr. Paulo não estar no hospital
às 9h, pela terceira propriedade básica, P(A) = 1 – 0,48 = 0,52
• P(AUB) = 0,48 + 0,27 = 0,75, pelo terceiro postulado, pois os
eventos são mutuamente excludentes. Ou seja, a probabilidade de
Dr. Paulo estar ou no hospital ou no consultório é de 75%.
• P(A ∩ B) = 0, pois como os eventos são excludentes a intersecção
dos mesmos é o conjunto vazio, que tem probabilidade igual a 0.
Regras de Adição
• Generalização do Postulado 3
– k eventos são mutuamente excludentes quando não há dois
quaisquer deles que tenham algum elemento em comum. Nesse
caso o terceiro postulado pode ser aplicado repetidamente até
que:
Se k eventos são mutuamente excludentes, a probabilidade
de ocorrência de qualquer um deles é igual à soma de suas
probabilidades individuais, simbolicamente,
P(A1 U A2 U...U Ak) = P(A1) + P(A2) + ... + P(Ak)
para quaisquer eventos mutuamente excludentes A1, A2, ... e Ak.
Exemplo
• As probabilidades de uma pessoa que deseja
adquirir um carro novo escolher um Chevrolet, um
Ford ou um Honda são 0,17, 0,22 e 0,08,
respectivamente. Supondo que ela compre apenas
um carro, qual é a probabilidade de ser de uma
dessas três marcas?
– Solução: como as três possibilidades são mutuamente
excludentes, uma substituição direta dá 0,17 + 0,22 + 0,08 =
0,47.
Regra Geral de Adição
• Até aqui trabalhamos com eventos mutuamente
excludentes, mas como somar probabilidades de
eventos que não sejam excludentes?
P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
Para entendermos o porquê vamos a um exemplo utilizando
o diagrama de Venn...
Regra Geral de Adição
• No diagrama abaixo o conjunto I representa a
probabilidade de um recém-formado receber uma
proposta de uma indústria e o conjunto B a
probabilidade do mesmo receber uma proposta de
um banco. Observe que há uma probabilidade de
que ele receba proposta dos dois, representada pela
área de intersecção entre I e B.
B
I
0,18
Ω
0,12
0,24
Regra Geral de Adição
• Pelo diagrama podemos ver que:
–
–
–
–
P(I) = 0,18 + 0,12 = 0,30
P(B) = 0,12 + 0,24 = 0,36
P(I U B) = 0,12 + 0,18 + 0,24 = 0,54
Mas se tivéssemos aplicado a regra de adição para eventos
excludentes calcularíamos P(I) + P(B) = 0,30 + 0,36 = 0,66 o
que estaria errado.
B
I
0,18
Ω
0,12
0,24
Regra Geral de Adição
• Cont.:
– Esse erro resulta de somar duas vezes P(I ∩ B) = 0,12. A
correção se faz subtraindo 0,12 de 0,66. Assim, poderíamos
escrever, de acordo com a regra geral de adição:
P(I U B) = P(I) + P(B) – P(I∩B)
= 0,30 + 0,36 – 0,12
= 0,54
B
I
0,18
Ω
0,12
0,24
Exemplo
• As probabilidades de que choverá no Recife num
certo dia de agosto, de que haverá trovoadas nesse
dia, e de que choverá e haverá trovoadas nesse dia
são de 0,27, 0,24 e 0,15, respectivamente. Qual é a
probabilidade de chover e/ou haver trovoadas nesse
dia no Recife?
– Solução: Se R denota chuvas e T denota trovoadas, temos P(R)
= 0,27, P(T) = 0,24 e P(R ∩ T) = 0,15. Substituindo estes valores
na expressão da regra geral de adição obtemos
P(R U T) = P(R) + P(T) - P(R ∩ T)
= 0,27 + 0,24 – 0,15
= 0,36
Probabilidade Condicional
• Se quisermos saber a probabilidade de um evento,
sem especificar o espaço amostral, o que fazer?
• É bem possível que encontremos respostas
diferentes, todas corretas.
• Exemplo: qual a probabilidade de um contador
ganhar mais de $200.000/ano dentro dos 10 anos
seguintes à formatura?
– Podemos obter uma resposta que se aplique aos contadores
que trabalham em empresas, outra diferente para contadores
que trabalham para o governo, e ainda outra para os contadores
com escritórios próprios.
– Ou seja, a resposta depende da escolha do espaço amostral.
– Como a definição do espaço amostral não é óbvia, em geral
costumamos dizer “a probabilidade de A dado Ω”
– Expressamos a probabilidade condicional com P(A | Ω)
Probabilidade Condicional
• Suponha que uma pesquisa tenha estudado os serviços
prestados dentro da garantia por 200 lojas de pneus em uma
grande cidade. Os resultados foram:
Bom serviço dentro
da garantia (G)
Serviço deficiente
dentro da garantia
Total
Lojas
especializadas
numa marca (N)
64
16
80
Lojas não
especializadas
42
78
120
Total
106
94
200
• Selecionando uma loja aleatoriamente quais as probabilidades
de:
– Escolher uma loja especializada numa marca (evento N)
– Escolher uma loja que preste bom serviço dentro da garantia (evento G)
– Escolher uma loja especializada numa marca e que preste bom serviço
dentro da garantia (evento N ∩ G)
Probabilidade Condicional
Bom serviço dentro
da garantia (G)
Serviço deficiente
dentro da garantia
Total
Lojas
especializadas
numa marca
(N)
64
16
80
Lojas não
especializadas
42
78
120
Total
106
94
200
– Escolher uma loja especializada numa marca (evento N)
80
Até aqui usamos
P( N ) =
= 0,40
a definição de
200
probabilidade
– Escolher uma loja que preste bom serviço dentro da garantia
(evento G)
106
s/n
P(G ) =
200
= 0,53 !!!!
– Escolher uma loja especializada numa marca e que preste bom serviço
dentro da garantia (evento N ∩ G)
P( N ∩ G ) =
64
= 0,32
200
Probabilidade Condicional
Bom serviço dentro
da garantia (G)
Serviço deficiente
dentro da garantia
Total
Lojas
especializadas
numa marca
(N)
64
16
80
Lojas não
especializadas
42
78
120
Total
106
94
200
– O que acontece se limitarmos a escolha a lojas especializadas
numa marca? Isso reduz o espaço amostral à primeira linha da
tabela, e daí a probabilidade de prestar bons serviços dentro da
garantia é
64
P(G | N ) =
= 0,80 Bem melhor que 0,53!!
– Mas note que:
80
64
P( N ∩ G )
P (G | N ) = 200 =
80
P( N )
200
Probabilidade Condicional
• Definição:
Se P(B) é diferente de zero, então a probabilidade de A em
relação a B, isto é, a probabilidade de A dado B, é
P( A ∩ B)
P( A | B) =
P( B)
Exemplo
• Com referência às lojas de pneus, qual a probabilidade de uma
loja que não é especializada numa marca prestar bons serviços
sob garantia? Ou seja, qual a probabilidade P(G|N)?
42
120
= 0,21 e P( N ) =
= 0,60
200
200
P(G ∩ N ) 0,21
P(G | N ) =
=
= 0,35
P( N )
0,60
P(G ∩ N ) =
• Mas também poderíamos ter obtido o mesmo resultado
diretamente na segunda linha da tabela, escrevendo:
42
P (G | N ) =
= 0,35
120
Exemplo
• Numa certa escola de primeiro grau, a probabilidade de um
aluno selecionado aleatoriamente provir de um lar com somente
o pai ou a mãe presente é 0,36 e a probabilidade de ele provir de
um lar com somente o pai ou a mãe presente e ser um estudante
fraco (que geralmente é reprovado) é 0,27. Qual é a
probabilidade de um aluno selecionado aleatoriamente ser um
estudante fraco, dado que ele provém de um lar com somente o
pai ou a mãe presente?
– Definindo F como um estudante fraco e O um estudante que provém de
um lar com somente o pai ou a mãe, temos que P(O)=0,36 e
P(F∩O)=0,27
– Assim a probabilidade de ser um estudante fraco dado que provém de
um lar com somente pai ou mãe é denotado por
P( F | O) =
P ( F ∩ O) 0,27
=
= 0,75
P(O)
0,36
Regras de Multiplicação
• Se na expressão da probabilidade condicional multiplicarmos
ambos os lados por P(B), obteremos a fórmula que permite
calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois
eventos.
P(A ∩ B) = P(B) . P(A | B)
• A regra geral da multiplicação afirma que a probabilidade de
ocorrência de dois eventos é o produto da probabilidade de
ocorrência de um deles pela probabilidade condicional da
ocorrência do outro, dado que o primeiro ocorreu, está
ocorrendo, ou ocorrerá. Como não interessa qual dos dois
eventos designamos por A e qual por B, também podemos
escrever:
P(A ∩ B) = P(A) . P(B | A)
Exemplo
• Um júri consiste em 15 pessoas que somente completaram o
Ensino Médio e em 9 pessoas que tiveram alguma educação
superior. Se um advogado seleciona ao acaso dois dos
membros do júri para uma arguição, qual é a probabilidade de
nenhum dos dois ter tido alguma educação superior?
– Solução: Se A é o evento de a primeira pessoa selecionada não ter tido
alguma educação superior, então P(A)=15/24. Também, se B é o evento
de a segunda pessoa selecionada não ter tido educação superior, segue
que P(B|A)=14/23, já que há somente 14 pessoas sem alguma educação
superior dentre as 23 que restam depois de ter sido selecionada uma
pessoa sem alguma educação superior. Portanto, a regra geral de
multiplicação fornece
15 14 105
P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B | A) =
⋅ =
= 0,38
24 23 276
Regra Especial de Multiplicação
Eventos Independentes
• Dois eventos são independentes quando a
probabilidade de ocorrência de um não afeta a
probabilidade de ocorrência de outro.
• Na linguagem de probabilidade podemos escrever:
– P (A | B) = P (A), ou seja, o fato de B ter ocorrido não altera a
probabilidade de A ocorrer
– P (B | A) = P (B), ou seja, o fato de A ter ocorrido não altera a
probabilidade de B ocorrer
• A regra de multiplicação anteriormente definida fica:
P(A ∩ B) = P(B) . P(A | B) = P(B) . P(A)
P(A ∩ B) = P(A) . P(B | A) = P(A) . P(B)
Exemplo
•
Foram pesquisados 300 domicílios que compraram aparelhos de TV, foi
perguntado se estavam satisfeitos com a compra. A tabela abaixo, classifica de
forma cruzada, a satisfação e se o aparelho tem tela de plasma ou não. Verifique
se estar satisfeito com a compra e o tipo de aparelho de TV comprado são
estatisticamente independentes.
Tipo de Aparelho
De tela de plasma
Sem tela de plasma
Total
Satisfeito com a compra?
Sim
Não
Total
64
16
80
176
44
220
240
60
300
P (Satisfeito | Tela de plasma) =
64/300
= 0,80
80/300
que é igual a
P (Satisfeito) =
•
240
= 0,80
300
Logo, estar satisfeito com a compra e o tipo de aparelho comprado são eventos
estatisticamente independentes. O conhecimento de um dos eventos não afeta a
probabilidade do outro evento.
Exemplo
• Se for de 0,70 a probabilidade de uma pessoa
entrevistada em um shopping ser contra o aumento
de impostos para o financiamento da saúde, qual é a
probabilidade de entrevistar quatro pessoas no
shopping e as três primeiras serem contra o
aumento de impostos, mas a quarta não ser contra?
– Solução: Admitindo que o fato de uma pessoa ser contra
independe do fato da outra ser ou não contra, ou seja, admitindo
a independência dos eventos, multiplicamos todas as
probabilidades e obtemos:
– (0,70) (0,70) (0,70) (0,30) = 0,1029
Teorema de Bayes
• É utilizado para rever probabilidades anteriormente
calculadas com base em novas informações.
• Desenvolvido por Thomas Bayes no século 18, o
teorema de Bayes é uma extensão do que
aprendemos anteriormente sobre probabilidade
condicional.
P(A ∩ B) = P(B) . P(A | B)
P(A ∩ B) = P(A) . P(B | A)
P(A) . P(B | A) = P(B) . P(A | B)
P(B | A) = P(B) . P(A | B)
P(A)
Exemplo
• Em um estado onde os carros são submetidos a
testes quanto à emissão de gases:
– P(A) = ? = prob. do automóvel ser reprovado no teste
– P(B) = 0,25 = prob. de emitir gases em excesso
– P(A | B) = 0,99 = prob. de ser reprovado dado que emite gases
em excesso
– P(A | B’) = 0,17 = prob. de ser reprovado dado que não emite
gases em excesso
– P(B | A) = ? = qual a prob. de dado que foi reprovado ele emitir
gases em excesso?
P(B | A) = P(B) . P(A | B)
P(A)
Mas não sabemos qual é a P(A)!!
Exemplo
A ocorre de duas formas, quando B ocorre ou quando B’ ocorre.
B
P(A | B) = 0,99
A P(B) . P(A | B) = (0,25)(0,99)
= 0,2475
Como as duas formas como A pode
ocorrer são mutuamente excludentes
a probabilidade de A é a soma das duas
probabilidades calculadas
P(A) = 0,2475 + 0,1275 = 0,3750
B’
P(A | B’) = 0,17
A P(B’) . P(A | B’) = (0,75)(0,17)
= 0,1275
E a probabilidade que procurávamos é:
P( B | A) =
P( B) ⋅ P( A | B) (0,25)(0,99)
=
= 0,66
P( A)
(0,3750)
Generalizando...
• ... para o caso em que há mais de duas “causas”
possíveis para o evento A, ou seja, mais de dois
ramos conduzindo ao evento A.
• Podemos dizer que P(Bi | A) é a probabilidade de o
evento A ter sido alcançado através do i-ésimo ramo
da árvore (com i = 1, 2, ..., k) e pode ser mostrado
que essa probabilidade é igual à razão da
probabilidade associada ao i-ésimo ramo pela soma
das probabilidades associadas com todos os k
ramos que alcançam A.
• Formalmente escrevemos o Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Se B1 , B2 ,L , Bk são eventos mutuamente excludentes dos quais
um deve ocorrer, então
P( Bi A) =
P( Bi ) ⋅ P ( A Bi )
P( B1 ) ⋅ P( A B1 ) + P( B2 ) ⋅ P( A B2 ) + L + P( Bk ) ⋅ P( A Bk )
para i = 1, 2,L , k .
Veja que o denominador nada
mais é que P(A), quando A é
alcançado através de vários
passos intermediários
Diagrama de árvore para o Teorema de Bayes
B1
P(A | B1)
B2
P(A | B2)
etc.
Bk
P(A | Bk)
A P(B1) . P(A | B1)
P(B2) . P(A | B2)
etc.
A P(Bk) . P(A | Bk)
Exemplo
• Numa fábrica de enlatados, as linhas de produção I, II e III
respondem por 50, 30 e 20% da produção total. Se 0,4% das
latas da linha I são lacradas inadequadamente e as
percentagens correspondentes às linhas II e III são de 0,6% e
1,2%, respectivamente, qual é a probabilidade de uma lata
lacrada impropriamente (e descoberta na inspeção final de
produtos prontos) provir da linha de produção I?
– Vamos nomear os eventos A = lata ser lacrada impropriamente; B1, B2
e B3 uma lata provir das linhas I, II e III.
– As probabilidades fornecidas
• P(B1) = 0,50; P(B2) = 0,30 e P(B3) = 0,20
• P(A | B1) = 0,004; P(A |B2) = 0,006 e P(A | B3) = 0,012
– A probabilidade procurada
• P(B1 | A) = ?
Exemplo
Linha I
0,004
Linha II
0,006
Linha III
0,012
A (0,50)(0,004) = 0,0020
A (0,30)(0,006) = 0,0018
A (0,20)(0,012) = 0,0024
P(A) = 0,0020 + 0,0018 + 0,0024 = 0,0062
P( B1 | A) =
P( B1 ) ⋅ P ( A | B1 )
P ( B1 ) ⋅ P( A | B1 ) + P ( B2 ) ⋅ P( A | B2 ) + P ( B3 ) ⋅ P ( A | B3 )
P( B1 | A) =
0,0020
= 0,32
0,0062