Lista 2 - Álgebra Linear II
Prof. Luciano Bedin
1. Seja V um espaço euclidiano. Em cada afirmação abaixo, prove ou dê contraexemplo.
a. Sendo 0 o elemento neutro da adição em V , 0 é ortogonal a todo v ∈ V .
b. Se u é ortogonal a v, então v é ortogonal a u.
c. Se u é ortogonal a v e v é ortogonal a w, então u é ortogonal a w.
d. Se u1 é ortogonal a v e u2 é também ortogonal a v, então u1 + u2 é ortogonal
a v.
e. Se v é ortogonal a w e λ ∈ R, então λv é ortogonal a w.
2. Seja V um espaço euclidiano com norma k.k proveniente de seu produto interno.
Prove que ∀u, v ∈ V , os vetores kukv + kvku e kukv − kvku são ortogonais.
3. Seja V um espaço euclidiano e {u1 , u2 , . . . , un } ⊂ V uma base ortonormal. Prove
que, para v, w ∈ V arbitrários, tem-se
n
X
hv, wi =
hv, ui ihw, ui i.
i=1
4. Seja u = (a, b, c) ∈ R3 (com o produto interno usual) um vetor unitário, com abc 6= 0.
Determine t de modo que, pondo v = (−bt, at, 0) e w = (act, bct, −1/t), os vetores
u, v e w sejam ortogonais dois a dois e também unitários.
5. Em cada um dos casos abaixo, determine se o conjunto u, v, w ⊂ R3 é ortonormal,
ortogonal ou nenhum dos dois, com relação ao produto interno usual.
a. u = (1, 2, 1), v = (1, −1, 1), w = (−1, 1, 2).
b. u = (a, b, c), v = (−b, a, 0), w = (−ac, −bc, a2 + b2 ).
c. u = 71 (2, 6, 3), v = 71 (3, 2, −6), w = 71 (6, −3, 2).
6. Seja V um espaço euclidiano e U = {u1 , u2 , . . . , un } uma base desse espaço. Suponha
que, para todo v = x1 u1 + x2 u2 + . . . + xn un , tenhamos kvk2 = x21 + x22 + . . . + x2n .
Prove que a base U é ortonormal.
7. Seja V um espaço euclidiano com norma k.k proveniente de seu produto interno.
Mostre que se u, v ∈ V satisfazem ku + vk = ku − vk, então u e v são ortogonais.
8. Prove que, num espaço euclidiano V , se u, v ∈ V são ortogonais e não-nulos, então
cos2 (u, u − v) + cos2 (v, u − v) = 1. Aqui, cos(u, u − v) denota o cosseno do ângulo
entre os vetores u e u − v.
9. Seja {e1 , e2 , e3 } a base canônica de V = R3 . Mostre que, dados números reais
a, b, c, a fim de que exista em V um produto interno tal que he1 , e1 i = a, he1 , e2 i =
he2 , e1 i = b e he2 , e2 i = c é necessário e suficiente que a > 0 e ac > b2 .
10. Existe em R3 um produto interno tal que he1 , e1 i = 2, he2 , e2 i = 3, he3 , e3 i =
4, he1 , e2 i = 0 e he2 , e3 i = he1 , e3 i = 1. Essa afirmação é verdadeira ou falsa?
Justifique.
11. Considere em V = Rn a norma k.k. Mostre que se a, b ∈ V são tais que kak ≤ r,
kbk ≤ r (para algum r > 0), então k(1 − t)a + tbk ≤ r para cada t ∈ (0, 1).
12. Seja V um espaço euclidiano com norma definida por seu produto interno. Consideremos u, v ∈ V fixados. Encontrar o vetor do conjunto {u + tv, t ∈ R} de menor
norma, supondo v 6= o.
13. Sejam u = (1, 1, 0) e v = (0, 1, 2) vetores do espaço euclidiano V = R3 . Determine
os vetores w ∈ R3 tais que kwk = 1 e hu, wi = hv, wi = 0, considerando k.k a norma
proveniente do produto interno usual em V .
14. Sejam u e v vetores de um espaço euclidiano V . Considerando em V a norma
k.k proveniente de seu produto interno, prove que hu, vi = 0 se, e somente se,
ku + αvk ≥ kuk, ∀α ∈ R.
15. Sejam e1 , e2 , . . . , er vetores unitários de um espaço euclidiano com norma k.k proveniente de seu produto interno. Suponha que kei − ej k = 1 sempre que i 6= j. Calcule
o cosseno do ângulo entre dois vetores ei e ej .