UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
CENTRO UNIVERSITÁRIO NORTE DO ESPÍRITO SANTO
8a Lista de Álgebra Linear - Produto interno
Prof. Romildo Neimeg Marques
1. A partir da base β do R 3 obtenha uma base ORTONORMAL, usando o processo de
ortogonalização Gram-Schmidt, e considerando o produto interno canônico em R 3 .
(a) β = {(2, 6, 3); (−5, 6, 24); (9, −1, −4)}
(b) β = {(3, 4, 12); (7, −8, 15); (−15, 6, 44)}
2. Seja S um subespaço vetorial de V , e h , i um produto interno em V . Mostre que o
complemento ortogonal de S dado por
S ⊥ = {v ∈ V ; hv, wi = 0 para todo w ∈ S}
(ou seja, o conjunto dos vetores de V que são ortogonais a todos os vetores de S) é um
subespaço vetorial de V .
3. Mostre a desigualdade de Schwarz, |hv, wi| ≤ kv||kwk
Dica: Use a desigualdade hαv + w, αv + wi ≥ 0, válida para todo α ∈ R , e o fato de que
kuk2 = hu, ui.
4. Mostre a desigualdade triangular, kv + wk ≤ kvk + kwk
Dica: tome o quadrado em ambos os lados e use a desigualdade de Schwarz.
5. Sejam u1 , . . . , un ∈ R n vetores tais que, para cada i = 1, . . . , n, tem-se hui , ui i = 1 e
hui , uj i = 0 para todos j 6= i (são unitários e dois a dois ortogonais). Mostre que dado
qualquer vetor w ∈ R n , vale a igualdade w = hu1 , wiu1 + hu2 , wiu2 + · · · + hun , wiun .
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RESPOSTAS
1. (a) 71 (2, 6, 3); 71 (−3, −2, 6); 71 (6, −3, 2)
1
1
1
(b) 13
(3, 4, 12); 13
(4, −12, 3); 13
(−12, −3, 4)
2. Sejam u, v ∈ S ⊥ e α ∈ R . Para qualquer vetor w ∈ S, temos hu, wi = hv, wi = 0. Então,
hu + v, wi = hu, wi + hv, wi = 0 + 0 = 0,
e logo u + v ∈ S ⊥ . Também
hαu, wi = αhu, wi = α0 = 0,
e αu ∈ S ⊥ . Isso mostra que S ⊥ é fechado para a soma e multiplicação por escalar, ou
seja, é espaço vetorial de V .
3. Como se trata de números não negativos, mostrar que |hv, wi| ≤ kvkkwk é o mesmo
que mostrar que hv, wi2 ≤ kvk2 kwk2 . É fácil de ver que a desigualdade de Schwarz vale
quando v = 0. Suponha então que v seja vetor não nulo. Para qualquer α ∈ R , temos
hαv + w, αv + wi ≥ 0. Separando esse produto interno, obtemos
hv, viα2 + 2hv, wiα + hw, wi ≥ 0.
Como hv, vi > 0, o presente polinômio tem então uma raiz real ou não possui raı́zes reais.
Segue que seu discriminante deve ser ≤ 0, ou seja
∆ = 4hv, wi2 − 4hv, vihw, wi ≤ 0.
Como hu, ui = kuk2 , concluı́mos que hv, wi2 ≤ kvk2 kwk2 , como querı́amos.
4. Como se trata de números não negativos, mostrar que kv + wk ≤ kvk + kwk é o mesmo
que mostrar que kv + wk2 ≤ (kvk + kwk)2 . Ora, como kuk2 = hu, ui, temos
kv + wk2 = hv + w, v + wi
= hv, v + wi + hw, v + wi
= hv, vi + hv, wi + hw, vi + hw, wi
= kvk2 + 2hv, wi + kwk2
Pela desigualdade de Schwarz, temos hv, wi ≤ |hv, wi| ≤ kvkkwk, e logo
kv + wk2 = kvk2 + 2hv, wi + kwk2 ≤ kvk2 + 2kvkkwk + kwk2 = (kvk + kwk)2 ,
o que mostra o resultado.
5. Como os vetores u1 , . . . , un são dois a dois ortogonais e não nulos (pois são unitários),
esses n vetores são LI, e portanto formam uma uma base de R n . Assim, podemos escrever
qualquer w ∈ R n como
w = a1 u1 + a2 u2 + · · · + an un .
Devemos mostrar portanto que ai = hui , wi para todo i. Ora, fazendo o produto interno
na expressão acima por ui , obtemos hui , wi = ai hui , ui i = ai , pois hui , uj i = 0 para todo
j 6= i. Isso conclui a demonstração.
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