UFPE, 1o semestre de 2009.
Disciplina MC-934 (anteriormente PGE-969)
“Métodos Matemáticos para Estatı́stica”.
Professor André Toom
Prova 3
Temos funções f1 , f2 , f3 , . . . , g com valores reais, definidas e
Problema 1.
continuas no segmento aberto (0, 1) . Sabemos que para cada x ∈ (0, 1) a seqüência
fn (x) tende para g(x) . Podemos concluir que esta convergência é uniforme?
Aviso: Seguinte definição, esta convêrgencia é chamada de uniforme se
∀ε > 0 ∃ k ∀ n > k ∀x ∈ (0, 1) : |fn (x) − g(x)| < ε.
Problema 2.
Num encontro cientı́fico professor Tagarela anunciou a hipótese
seguinte:
Para cada seqüência em qualquer espaço métrico o conjunto de pontos
de aderência desta seqüência é fechado no mesmo espaço métrico.
Esta hipótese é correta?
Problema 3.
Queremos definir um espaço métrico M cujos elementos são
funções continiuas limitadas na reta. Definimos a distância entre qualqueres funções
f, g ∈ M assim:
dist(f, g) = sup |f (x) − g(x)|.
x∈IR
a) Provar que esta definição satisfaz as todas condições de espaço métrico.
b) Neste espaço métrico existe uma seqüência qual não tem nenhum ponto de
aderência?
Cada problema vale 4 pontos.
É proibido para prova durar mais que 3 horas.
GABARITOS
Problema 1.
Temos funções f1 , f2 , f3 , . . . , g com valores reais, definidas
e continuas no segmento aberto (0, 1) . Sabemos que para cada x ∈ (0, 1)
a seqüência fn (x) tende para g(x) . Podemos concluir que esta convergência é
uniforme?
Aviso: Seguinte definição, esta convêrgencia é chamada de uniforme se
∀ ε > 0 ∃ k ∀ n > k ∀x ∈ (0, 1) : |fn (x) − g(x)| < ε.
Resposta: não podemos. Contra-exemplo:
(
1 − nx
fn (x) =
0
se
se
(1)
0 < x ≤ 1/n,
1/n ≤ x < 1.
Provemos a negação de (1), a saber
∃ ε > 0 ∀ k ∃ n > k ∃x ∈ (0, 1) : |fn (x) − g(x)| ≥ ε.
Para provar esta afirmação é bastante tomar
ε = 1/2, n = k + 1
Problema 2.
seguinte:
(supondo que k é natural) e
x=
1
.
2n
Num encontro cientı́fico professor Tagarela anunciou a hipótese
Para cada seqüência em qualquer espaço métrico o conjunto de pontos
de aderência desta seqüência é fechado no mesmo espaço métrico.
Esta hipótese é correta?
Resposta: sim, esta hipótese é correta. Denotamos de M o nosso espaço, de (an )
a nossa seqüência e de A o conjunto dos seus pontos de aderência. Provemos que
M \ A é aberto em M . Tomemos qualquer ponto p ∈ M \ A e provemos que
existe ε > 0 tal que Vε (p) ⊂ M \ A . Pois p ∈ M \ A , existe δ > 0 tal que o
conjunto {n : an ∈ Vδ (p)} é finito. Tomemos ε = δ/2 . Observamos que para cada
q ∈ Vε (p)
Vε (q) ⊂ Vδ (p).
Logo o conjunto {n : an ∈ Vδ (q)} também é finito. Logo cada ponto em Vε (p)
pertence a M \ A . Logo M \ A é aberto em M . Logo A é fechado em M .
Problema 3.
Queremos definir um espaço métrico M cujos elementos são
funções continiuas limitadas na reta. Definimos a distância entre qualqueres
funções f, g ∈ M assim:
dist(f, g) = sup |f (x) − g(x)|.
x∈IR
a) Provar que esta definição satisfaz as todas condições de espaço métrico.
b) Neste espaço métrico existe uma seqüência qual não tem nenhum ponto de
aderência?
Provemos a desigualdade de triângulo. Primeiro observamos que
∀ x : |f (x) − h(x)| =
|f (x) − g(x) + g(x) − h(x)| ≤
|f (x) − g(x)| + |g(x) − h(x)| ≤
sup |f (x) − g(x)| + sup |g(x) − h(x)|.
Daqui
sup |f (x) − h(x)| ≤ sup |f (x) − g(x)| + sup |g(x) − h(x)|.
b) Resposta: sim, existe. Exemplo:


0
fn (x) = x − n


1
se
se
se
x ≤ n,
n ≤ x ≤ n + 1,
n + 1 ≤ x.
Provemos pela contradição que esta seqüência (fn ) não tem nenhum ponto de
aderência. Seja ela tem um ponto de aderência p . Logo para cada ε > 0 o conjunto
{n : fn ∈ Vε (p)} é infinito. Observamos que para cada dois elementos deste conjunto
a distância entre eles é menor que 2ε . Tomemos ε = 1/2 . Logo temos um conjunto
infinito de termos de nossa seqüência, entre cada dois elementos deste conjunto a
distancia é menor que 1. Mas de outro lado observamos que dist(fk , fn ) = 1 para
todos k 6= n . Entao temos contradição.