MAT016 – CÁLCULO I
RESUMO SOBRE CONTINUIDADE
Definição/propriedades
Uma função f é contínua em x = a se:
i) f(a) está definida;
( )
ii)
( )
iii) f(a)=
( );
São exemplos de funções contínuas para todo
número real: funções polinomiais, sen x, cos x.
Descontinuidade removível
i) f(a) está definida (ou não) e é um número real;
)
iii) f(a) ≠
( )
( )
( )
Exemplos/explicações
A função será contínua em x=a se as três afirmações forem
verdadeiras:
i) Significa que substituindo x=a na função o
valor existe (não ficará um “buraco” ou não há
assíntota vertical).
ii) Calculamos os dois limites laterais e
verificamos que eles resultam no mesmo valor.
iii) Observamos se o valor calculado no primeiro
item é igual ao valor obtido no segundo item.
A função tem uma descontinuidade removível quando os
valores calculados em (i) e (ii) são diferentes, assim
observamos que um ponto da função é “deslocado” ou
deixa de existir.
Veja o exemplo de uma função que não é contínua em x =
2:
( )
( )
Portanto
( )
Descontinuidade de salto
i) f(a) está definida (ou não) e é um número real;
( )
ii)
( ).
( )
Na descontinuidade de salto observamos que os limites
laterais são diferentes, por isso dizemos que a função “deu
um salto” em um determinado valor de x. Veja o exemplo
de uma função que não é contínua em x = 0:
( )
( )
Portanto
( )
Descontinuidade essencial
i) em geral x=a é uma assíntota vertical;
( )
ii)
( ) são infinitos.
( )
As funções que possuem descontinuidade essencial são as
que possuem assíntotas verticais, ou seja, aquelas nas
quais obtemos
ao calcularmos os limites laterais.
Veja o exemplo de uma função com descontinuidade
essencial em x=2:
( )
( )
e