UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET INTRODUÇÃO AO CÁLCULO FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR I NÚMEROS COMPLEXOS 1. Representar geometricamente no plano de Argand-Gauss os seguintes subconjuntos de C: (a) A = {z ∈ C|Re(z) = 0} (b) B = {z ∈ C||z| ≤ 2} (c) F = {z ∈ C|Re(z) ≥ 1 e Im(z) ≥ 2} 2. Utilizando as fórmulas de Newton e Moivre, expressar sen3Θ e cos3Θ em função de senΘ e cosΘ. 3. Calcular: (a) √ 4 1 (b) √ −16i 4. Um quadrado, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o afixo de z1 = 3i. Que números complexos são representados pelos outros três vértices? 5. Resolver as seguintes equações binomiais e trinomiais: (a) x4 − 1 + i = 0 (b) x3 − 27 (c) x6 + 9x3 + 8 = 0 √ (d) ix2 − 2x + 3 = 0 1 6. (ITA-75) Se z1 e Z2 são números complexos, Z1 + Z2 e Z1 · Z2 são ambos reais, então podemos afirmar que: (a) Z1 e Z2 são ambos reais ou Z1 = Z2 . (b) Z1 e Z2 são números complexos não reais. (c) Z1 e Z2 são números reais irracionais. (d) Z1 é número complexo puro e Z2 é um número real. (e) nenhuma das respostas anteriores. 7. (CESCEM-70) Dados os números complexos: Z1 = ρ · (cosφ + i · senφ) Z2 = ρ · (senφ + i · cosφ) Podemos afirmar que: (a) Z1 e Z2 são conjugados. (b) Z1 · Z2 é um número real. (c) Z1 + Z2 é um número real. (d) Z1 + i · Z2 é um número real. (e) Z1 − i · Z2 é um número real. 8. (UNICAMP-67) Dois números complexos, não nulos, estarão representados, no plano complexo, sobre uma reta que passa pela origem: (a) se seu produto for um número complexo. (b) se seu quociente for um número real. (c) somente se seua argumentos forem côngruos a π 2. (d) sempre. (e) nunca. 9. (CESCEM-74) As funções hiperbólicas cosh(z) e senh(z) são definidas como: cosh(z) = ez +e−z 2 , senh(z) = 2 ez −e−z 2 Onde z = x + iy e ex+iy = ez = ex (cos(y) + isen(y)). Nestas condições, podemos dizer que cosh(z) é igual a: (a) senh(x) · sen(y) + icosh(x) · cos(y). (b) cosh(x) · cos(y) + isenh(x) · sen(y). (c) cosh(x) · senh(y) + isen(x) · cos(y). (d) sinh(x) · cos(y) + icosh(x) · sen(y). (e) cosh(x) · sin(y) + isenh(x) · cos(y). 10. (ITA-76): Suponhamos que: Z1 = a + ix e Z2 = a + iy, a 6= 0, x 6= 0 são dois números complexos, tais que Z1 · Z2 = 2. Então temos: (a) Z1 = Z2 , e | Z1 |=| Z2 |= 2. √ (b) Z1 = Z2 , e | Z1 |=| Z2 |= 2. √ (c) Z1 = Z2 , e | Z1 |=| Z2 |= 2. (d) Z1 + Z2 = 2a e a2 + y 2 = 4. (e) nenhuma das respostas anteriores. BIBLIOGRAFIA • IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar -Complexos, polinômios e equações. 4a edição. Vol 6. Editora: Atual. Esta lista foi elaborada pela P rof a Cláudia Ribeiro Santana (DCET-UESC) e confeccionada com a colaboração de Paulo Roberto Ribeiro de Jesus (6o semestre de Quı́mica-UFBA). 3 RESPOSTAS 1. (a) (b) (c) 2. (a) cos3Θ = cos3 θ − 3sen2 θ.cosθ (b) sen3Θ = 3cos2 θ.senθ − sen3 θ 3. (a) i ou − i ou 1 ou − 1 √ √ √ √ (b) −2 2 + 2 2i ou 2 2 − 2 2i 4. z0 = 3 z1 = 3i z2 = −3 z3 = −3i 5. (a) x = √ 8 2.[cos( 7π 16 + kπ 2 )+ √ 3 3 2 .i, i.sen( 7π 16 + kπ 2 )], √ onde k ∈ {0, 1, 2, 3} (b) S = { 3, − 32 + − 32 − 3 2 3 .i} √ √ √ (c) S = { 1 + i 3, − 2, 1 − i 3, 21 + i 23 , − 1, (d) S = { √ 2 2 +( √ 6 2 -1)i, √ − 2 2 -( √ 6 2 +1)i} 4 1 2 -i √ 3 2 } 6. CONCLUSÕES Suponha que z1 = a+bi e Z2 = c+di daı́, Z1 +Z2 = (a+c)+(b+d)i = (a+c), pois Z1 +Z2 é real portanto, b = −d. Z1 · Z2 = ac − bd + (ad + bc)i = ac − bd, pois Z1 · Z2 é real portanto, ad = −bc, como b = −d segue que a = c se d 6= 0. Logo podemos concluir que Z1 e Z2 são ambos reais, caso d = b = 0, ou Z1 = Z2 . RESPOSTA A . 7. CONCLUSÕES Observemos que se ρ = 0 todas as afirmações são verdadeiras. Suponhamos que ρ 6= 0: (a) Z1 e Z2 são conjugados ⇔ cosφ = senφ e cosφ = −senφ, ou seja, cosφ = senφ = 0, o que é um absurdo. Logo, podemos afirmar que Z1 e Z2 não podem ser conjugados. (b) Z1 · Z2 =iρ2 (cosφ2 + senφ2 ) = iρ2 . Como estamos supondo que ρ 6= 0, segue que Z1 · Z2 é um imaginário puro. (c) Z1 + Z2 = ρ · [(cosφ + senφ) + i(cosφ + senφ)] é um número real ⇔ (cosφ = −senφ ⇔ senφ = =± √ 2 2 ). (d) Z1 + i · Z2 = 2iρ · senφ é um número real ⇔ senφ = 0 ⇔ φ = kπ, k ∈ Z. (e) Z1 − i · Z2 = 2ρcosφ é um número real. RESPOSTA E . 8. CONCLUSÕES Seja z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 . Como, por hipótese, z1 e z2 pertencem a uma reta que passa pela origem, seguem que as partes reais e imaginárias de z1 e z2 satisfazem a equação: y2 − y1 (X − x1 ) + y1 , onde x2 6= x1 . x2 − x1 r:Y = Como (0, 0) ∈ r, segue que +y1 = y2 −y1 x2 −x1 x1 r:Y = daı́ podemos reescrver r sob a forma: y2 − y1 y2 − y1 X = aX, onde a = . x2 − x1 x2 − x1 Assim z1 = x1 + iy1 = x1 + iax1 = x1 (1 + ia) e z2 = x2 + iy2 = x2 + iax2 = x2 (1 + ia). Podemos concluir também que x1 6= 0 e x2 6= 0, já que z1 e z2 são diferentes de zero. Logo número real ⇔ z1 e z2 pertencem a uma reta que passa pela origem. RESPOSTA B . 5 z1 z2 (e z2 z1 ) é um 9. CONCLUSÕES cosh(z) = = ez + e−z ex (cos(y) + isen(y)) + e−x (cos(y) − isen(y)) = = 2 2 (ex − e−x )sen(y) (ex + e−x )cos(y) +i = cosh(x) · cos(y) + isenh(x) · sen(y). 2 2 RESPOSTA B . 10. Como Z1 · Z2 = 2, segue que a2 − xy = 2 e ax + ay = 0, ou seja, x = −y e a2 + y 2 = 2. Portanto, √ Z1 = Z2 e | Z1 |=| Z2 |= 2. RESPOSTA C . Esta lista foi elaborada pela P rof a Cláudia Ribeiro Santana (DCET-UESC) e confeccionada com a colaboração de Paulo Roberto Ribeiro de Jesus (6o semestre de Quı́mica-UFBA). 6