UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR I
NÚMEROS COMPLEXOS
1. Representar geometricamente no plano de Argand-Gauss os seguintes subconjuntos de C:
(a) A = {z ∈ C|Re(z) = 0}
(b) B = {z ∈ C||z| ≤ 2}
(c) F = {z ∈ C|Re(z) ≥ 1
e
Im(z) ≥ 2}
2. Utilizando as fórmulas de Newton e Moivre, expressar sen3Θ e cos3Θ em função de senΘ e cosΘ.
3. Calcular:
(a)
√
4
1
(b)
√
−16i
4. Um quadrado, inscrito numa circunferência de centro na origem, tem como um de seus vértices o
afixo de z1 = 3i. Que números complexos são representados pelos outros três vértices?
5. Resolver as seguintes equações binomiais e trinomiais:
(a) x4 − 1 + i = 0
(b) x3 − 27
(c) x6 + 9x3 + 8 = 0
√
(d) ix2 − 2x + 3 = 0
1
6. (ITA-75) Se z1 e Z2 são números complexos, Z1 + Z2 e Z1 · Z2 são ambos reais, então podemos
afirmar que:
(a) Z1 e Z2 são ambos reais ou Z1 = Z2 .
(b) Z1 e Z2 são números complexos não reais.
(c) Z1 e Z2 são números reais irracionais.
(d) Z1 é número complexo puro e Z2 é um número real.
(e) nenhuma das respostas anteriores.
7. (CESCEM-70) Dados os números complexos:
Z1 = ρ · (cosφ + i · senφ)
Z2 = ρ · (senφ + i · cosφ)
Podemos afirmar que:
(a) Z1 e Z2 são conjugados.
(b) Z1 · Z2 é um número real.
(c) Z1 + Z2 é um número real.
(d) Z1 + i · Z2 é um número real.
(e) Z1 − i · Z2 é um número real.
8. (UNICAMP-67) Dois números complexos, não nulos, estarão representados, no plano complexo,
sobre uma reta que passa pela origem:
(a) se seu produto for um número complexo.
(b) se seu quociente for um número real.
(c) somente se seua argumentos forem côngruos a
π
2.
(d) sempre.
(e) nunca.
9. (CESCEM-74) As funções hiperbólicas cosh(z) e senh(z) são definidas como:
cosh(z) =
ez +e−z
2
, senh(z) =
2
ez −e−z
2
Onde z = x + iy e ex+iy = ez = ex (cos(y) + isen(y)). Nestas condições, podemos dizer que cosh(z)
é igual a:
(a) senh(x) · sen(y) + icosh(x) · cos(y).
(b) cosh(x) · cos(y) + isenh(x) · sen(y).
(c) cosh(x) · senh(y) + isen(x) · cos(y).
(d) sinh(x) · cos(y) + icosh(x) · sen(y).
(e) cosh(x) · sin(y) + isenh(x) · cos(y).
10. (ITA-76): Suponhamos que:
Z1 = a + ix e Z2 = a + iy, a 6= 0, x 6= 0 são dois números complexos, tais que Z1 · Z2 = 2. Então
temos:
(a) Z1 = Z2 , e | Z1 |=| Z2 |= 2.
√
(b) Z1 = Z2 , e | Z1 |=| Z2 |= 2.
√
(c) Z1 = Z2 , e | Z1 |=| Z2 |= 2.
(d) Z1 + Z2 = 2a e a2 + y 2 = 4.
(e) nenhuma das respostas anteriores.
BIBLIOGRAFIA
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar -Complexos, polinômios e equações. 4a edição. Vol 6. Editora: Atual.
Esta lista foi elaborada pela P rof a Cláudia Ribeiro Santana (DCET-UESC) e confeccionada com
a colaboração de Paulo Roberto Ribeiro de Jesus (6o semestre de Quı́mica-UFBA).
3
RESPOSTAS
1. (a)
(b)
(c)
2. (a) cos3Θ = cos3 θ − 3sen2 θ.cosθ
(b) sen3Θ = 3cos2 θ.senθ − sen3 θ
3. (a) i ou − i ou 1 ou − 1
√
√
√
√
(b) −2 2 + 2 2i ou 2 2 − 2 2i
4. z0 = 3 z1 = 3i z2 = −3 z3 = −3i
5. (a) x =
√
8
2.[cos( 7π
16 +
kπ
2 )+
√
3 3
2 .i,
i.sen( 7π
16 +
kπ
2 )],
√
onde k ∈ {0, 1, 2, 3}
(b) S = { 3, − 32 +
− 32 − 3 2 3 .i}
√
√
√
(c) S = { 1 + i 3, − 2, 1 − i 3, 21 + i 23 , − 1,
(d) S = {
√
2
2
+(
√
6
2
-1)i,
√
− 2
2
-(
√
6
2
+1)i}
4
1
2
-i
√
3
2 }
6. CONCLUSÕES
Suponha que z1 = a+bi e Z2 = c+di daı́, Z1 +Z2 = (a+c)+(b+d)i = (a+c), pois Z1 +Z2 é real
portanto, b = −d. Z1 · Z2 = ac − bd + (ad + bc)i = ac − bd, pois Z1 · Z2 é real portanto, ad = −bc,
como b = −d segue que a = c se d 6= 0. Logo podemos concluir que Z1 e Z2 são ambos reais, caso
d = b = 0, ou Z1 = Z2 . RESPOSTA
A .
7. CONCLUSÕES
Observemos que se ρ = 0 todas as afirmações são verdadeiras.
Suponhamos que ρ 6= 0:
(a) Z1 e Z2 são conjugados ⇔ cosφ = senφ e cosφ = −senφ, ou seja, cosφ = senφ = 0, o que é
um absurdo. Logo, podemos afirmar que Z1 e Z2 não podem ser conjugados.
(b) Z1 · Z2 =iρ2 (cosφ2 + senφ2 ) = iρ2 . Como estamos supondo que ρ 6= 0, segue que Z1 · Z2 é um
imaginário puro.
(c) Z1 + Z2 = ρ · [(cosφ + senφ) + i(cosφ + senφ)] é um número real ⇔ (cosφ = −senφ ⇔ senφ =
=±
√
2
2 ).
(d) Z1 + i · Z2 = 2iρ · senφ é um número real ⇔ senφ = 0 ⇔ φ = kπ, k ∈ Z.
(e) Z1 − i · Z2 = 2ρcosφ é um número real.
RESPOSTA E .
8. CONCLUSÕES
Seja z1 = x1 + iy1 e z2 = x2 + iy2 . Como, por hipótese, z1 e z2 pertencem a uma reta que passa
pela origem, seguem que as partes reais e imaginárias de z1 e z2 satisfazem a equação:
y2 − y1
(X − x1 ) + y1 , onde x2 6= x1 .
x2 − x1
r:Y =
Como (0, 0) ∈ r, segue que +y1 =
y2 −y1
x2 −x1 x1
r:Y =
daı́ podemos reescrver r sob a forma:
y2 − y1
y2 − y1
X = aX, onde a =
.
x2 − x1
x2 − x1
Assim z1 = x1 + iy1 = x1 + iax1 = x1 (1 + ia) e z2 = x2 + iy2 = x2 + iax2 = x2 (1 + ia). Podemos
concluir também que x1 6= 0 e x2 6= 0, já que z1 e z2 são diferentes de zero. Logo
número real ⇔ z1 e z2 pertencem a uma reta que passa pela origem.
RESPOSTA B .
5
z1
z2
(e
z2
z1 )
é um
9. CONCLUSÕES
cosh(z) =
=
ez + e−z
ex (cos(y) + isen(y)) + e−x (cos(y) − isen(y))
=
=
2
2
(ex − e−x )sen(y)
(ex + e−x )cos(y)
+i
= cosh(x) · cos(y) + isenh(x) · sen(y).
2
2
RESPOSTA B .
10. Como Z1 · Z2 = 2, segue que a2 − xy = 2 e ax + ay = 0, ou seja, x = −y e a2 + y 2 = 2. Portanto,
√
Z1 = Z2 e | Z1 |=| Z2 |= 2. RESPOSTA C .
Esta lista foi elaborada pela P rof a Cláudia Ribeiro Santana (DCET-UESC) e confeccionada com
a colaboração de Paulo Roberto Ribeiro de Jesus (6o semestre de Quı́mica-UFBA).
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