QUESTÕES DISCURSIVAS – Módulo 02 – 2009
D1) (FUVEST-SP 2008) A figura ao lado representa o número w =
−1 + i 3
no
2
plano complexo, sendo i = − 1 a unidade imaginária. Nessas condições,
1
e w3 .
a) determine as partes real e imaginária de
w
1
b) represente
e w 3 na figura a seguir.
w
c) determine as raízes complexas da equação z 3 − 1 = 0
D2) (UFMG 2008)
1. Escreva na forma trigonométrica os números complexos ( 3 + i ) e 2 2 (1 + i ) , em que i 2 = −1 .
[
2. Calcule os menores inteiros positivos m e n tais que ( 3 + i )m = 2 2 (1 + i )
]n .
D3) (UNESP 2006) Seja z = 1 + i um número complexo.
3
a) Escreva z e z na forma trigonométrica.
2
b) Determine o polinômio de coeficientes reais, de menor grau, que tem z e | z | como raízes e coeficiente
dominante igual a 1.
D4) (UFC-CE 2006 modificada)
Os números complexos z = 1 + i 3 e w = r e
iθ
= r ⋅ ( cos θ + i .sen θ ), com r = w e 0 ≤ θ < 360 º ,
satisfazem a equação z ⋅ w =1 . Determine r e θ .
Dica-MR: Lembre-se que z ⋅ z = z
2
D5) (UFRJ/2001) Determine o menor inteiro n > 1 para o qual ( 3 + i )
n
é um número real positivo.
D6) (Unicamp-SP/2005)
12
a) Calcular ( 3 + i )
;
b) sendo z =
2
2
2
3
15
+i
, calcular o valor de 1 + z + z + z + ⋅ ⋅ ⋅ + z .
2
2
D7) (Darwin 2006) Mostre que o número complexo w = 1 + i é uma das raízes quintas de z = − 4 − 4 i .
π
π

3
D8) (Inatel/2005) Encontre o valor de Z para o número complexo Z = 2  cos + i sen  .
4
4

D9) (Da Vinci) Determine as raízes quartas do número complexo 1 + i e represente-as no plano de Argand-Gauss.
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D10) (UFSCar-SP) Considere a equação algébrica − x 4 + kx 3 − kx 2 + kx − 4 = 0 , na variável x, com k ∈ C .
a) Determine k = a + bi, com a e b reais, para que o número complexo 2i seja uma das raízes da equação.
b) Determine todas as raízes da equação quando k = 5.
RESOLUÇÕES DISCURSIVAS – Módulo 02 – 2009
D1)a) w = −
1
3
1
1 w
+
i ⇒
=
⋅
2
2
w w w
1
w
=
⇒
w w ⋅w
⇒
2 
3 
 1
 −  + 

 2
 4 
|w | =
1
3
− −
i
1
w
1
2
2
=
⇒
=
⇒
w | w |2
w
( 1 )2
1
w
=
, pois w ⋅ w = | w |2 (propriedade).
w | w |2
1
1
3
=− −
i
w
2
2
2
⇒ |w | =1
1
3
1 
1 
........... Re   = −
e Im   = −
.
2
2
w 
w 
1 
2 
 θ = 120 º
3 
sen θ =
2 
cos θ = −
w 3 =| w |3 ⋅(cos 3θ + i .sen 3θ ) ⇒ w 3 = ( 1 )3 ⋅ (cos 3.120 º + i .sen 3.120 º )
w3 = 1
Re ( w 3 ) = 1 e Im ( w 3 ) = 0.
D1)b)
Número Complexo
Parte Real
1
w
w3
−
Parte
Imaginária
1
2
−
1
3
2
0
D1)c) z 3 − 1 = 0 ⇒ z = 3 1 ⇒ z = 3 1 + 0 i
Fazendo-se z = 1 + 0 i, | z | = 1 e seu argumento θ = 0º .
0º + 360 º k
0º + 360 º k 

+ i . sen
Pela 2ª fórmula de Moivre: w k = 3 | z | ⋅  cos

3
3


w 0 = 1 ⋅ (cos 0º + i .sen 0 º ) ⇒ w 0 = 1
w1 = 1 ⋅ (cos 120 º + i .sen 120º )
⇒ w1 = −
1
3
+
i
2
2
1
3
−
i
2
2
1
3
− −
i
2
2
w 2 = 1 ⋅ (cos 240 º + i .sen 240 º ) ⇒ w 2 = −
Raízes de z 3 − 1 = 0 : 1, −
1
3
+
i e
2
2
1
3
1
1 
D1) a ) Re   = − e Im   = −
2
2
w 
w 
Re ( w 3 ) = 1 e Im ( w 3 ) = 0 .
c) −
1
3
1
3
+
i , − −
i e 1.
2
2
2
2
b)
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Respostas:
D2) Resolução:
1.
z1 = 3 + i
z2 = 2 2 (1 + i )
| z1 | = ( 3 )2 + (1 )2
| z2 | = ( 2 2 )2 + ( 2 2 )2
| z1 | = 2
z1 = 2 ⋅ (cos 30º + i .sen 30º )
2.
[
( 3 + i )m = 2 2 (1 + i )
] n .............
Com as informações do item anterior:
( 3 + i )m = 2 m ⋅ [ cos ( 30 m ) + i .sen ( 30 m ) ] e
[
Fazendo ( 3 + i )m = 2 2 (1 + i )
| z2 | = 4
z2 = 4 ⋅ (cos 45 º +i .sen 45 º )
]n , teremos:
[2
2 (1 + i )
] n = 4 n ⋅ [ cos ( 45 n ) + i .sen ( 45 n ) ]
2 m ⋅ [ cos ( 30 m ) + i .sen ( 30 m ) ] = 4 n ⋅ [ cos ( 45 n ) + i .sen ( 45 n ) ]
 2 m = 4 n.......... .......... ( 1 )
2 m ⋅ cos ( 30 m ) = 4 n ⋅ cos ( 45 n )

⇔ 
e

2 m ⋅ sen ( 30 m ) = 4 n ⋅ sen ( 45 n )
30 m = 45 n + 360 k ....... ( 2 )

Em ( 1 ) : 2 m = 2 2 n ⇒ m = 2 n .......... ....................... (1A )
 (1A ) → ( 2 A ) : 2 ( 2 n ) = 3 n + 24 k ⇒ n = 24 k
Em ( 2 ) : 30 m = 45 n + 360 k ⇒ 2 m = 3 n + 24 k ......... ( 2 A ) 
Como m e n são inteiros positivos, seus menores valores ocorrem para k = 1, ou seja, n = 24 e m = 48.
Respostas:
D2) 1.
3 + i = 2 (cos 30º + i sen 30º ) e 2 2 (1 + i ) = 4 (cos 45 º + i sen 45 º ) .
2. n = 24 e m = 48.
D3) Resolução: a)
2
2
| z | = 1 +1
z 3 = ( 2 )3 ⋅ ( cos 3 ⋅ 45 º + i ⋅ sen 3 ⋅ 45 º )
⇒ | z |= 2
z = 2 ⋅ ( cos 45 º + i ⋅ sen 45 º )
z 3 = 2
2 ⋅ ( cos 135 º + i ⋅ sen 135 º )
| z3 |
b) Como se trata de um polinômio com coeficientes reais e este possui z1 = 1 + i como raiz, pelo teorema das
2
raízes complexas não reais, z2 = 1 – i também é raiz do referido polinômio. Se z3 = | z | , ou seja, z3 = 2 também
é uma das raízes do polinômio, teremos um polinômio cujo grau mínimo é três. Assim, com os dados do
enunciado, considerando o polinômio P( x ) = a ⋅ ( x − z1 ) ⋅ ( x − z2 ) ⋅ ( x − z3 ) , onde “a” é o coeficiente dominante:
x 2 − ( z1 + z2 ).x + ( z1 . z2 )
3
x )
=
x
4
x 2+
6
x
−
4
P ( x ) = 1 ⋅ [ x 2 − (1 + i + 1 − i ).x + (
1
+
i
).(
1 −
i ) ] ⋅ ( x − 2 ) ⇒ P ( x ) = ( x 2 − 2 x + 2 ).( x − 2 ) ∴ P
(
−
z1 + z2
z1 . z2
Respostas:
3
D3) a) z = 2 ⋅ ( cos 45 º + i ⋅ sen 45 º ) e z = 2 2 ⋅ ( cos 135 º + i ⋅ sen 135 º ) .
3
2
D3) b) Considerando o polinômio P(x), P ( x ) = x − 4 x + 6 x − 4 .
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P( x ) = 1 ⋅ ( x − z1 ) ⋅ ( x − z2 ) ⋅ ( x − z3 )
D4) | z |2 = (1 )2 + ( 3 )2 ⇒ | z |2 = 4 .
1

....... (1 )
z ⋅ w = 1 ⇒ z =
w

z ⋅ z = | z |2 .......... ........ ( 2 )

(1 ) → ( 2 ) :
Em (3): w =
1
⋅ z = | z |2 ⇒
w
w=
z
1− 3 i
1
3
⇒ w= −
i ⇒
4
4
4
2
 3
1
3
1 

w= +
i ⇒ | w |=   +
 4 
4
4
4 


w=
.......... (3)
| z |2
1
⋅ (cos 30º + i . sen 30º ) ⇒
2
w=
1
3
+
i
4
4
2
⇒
| w |=
1
2
1/ 4

sen θ = 1 / 2 ⇒ sen θ = 1 / 2

cos θ = 3 / 4 ⇒ cos θ = 3 / 2

1/ 2
e
θ = 30º
w = r e i θ = r ⋅ ( cos θ + i .sen θ ) ⇒ 
r = 1 / 2
Respostas: D4) r = 1 / 2 e θ = 60º .
1 
2 
D5) Resolução: z = 3 + i ⇒ | z | = ( 3 )2 + (1 )2 ⇒ | z | = 2 ....
 θ = 30º ⇒ z = 2 ⋅ (cos 30º + i .sen 30º )
3
cos θ =
2 
z n = 2 n ⋅ [ cos ( 30 n ) + i .sen ( 30 n ) ]
cos ( 30 n ) > 0 ........ ( 1 )
Para z n ser um número real positivo temos que analisar duas condições: 
sen ( 30 n ) = 0 ........ ( 2 )
( 1 ) e ( 2 ) simultaneamente: 30 n = 0º + 360 k
sen θ =
O menor inteiro “n” será para k = 1, ou seja: n = 12 k ⇒ n = 12.1 ⇒ n
= 12
.
Resposta: D5) 12
1 
2 
D6) a) z = 3 + i ⇒ | z | = ( 3 )2 + (1 )2 ⇒ | z | = 2 ......
 θ = 30º ⇒ z = 2 ⋅ (cos 30º + i .sen 30º )
3
cos θ =
2 
sen θ =
0 1
z12 = 212 ⋅ [ cos ( 30.12 ) + i .sen ( 30.12 ) ] ⇒ z12 = 4 096 ⋅ ( cos 360 º + i .sen 360 º ) ⇒
b) 1 + z + z 2 + z 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + z15 =
z15 ⋅ z − 1
z16 − 1
⇒ 1 + z + z 2 + z 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + z15 =
z −1
z −1
........ ( 1 )
Soma de 16 termos em PG
de razão z.
Entretanto, z16 =| z |16 ⋅ [ cos (16.θ ) + i ⋅ sen (16.θ ) ] .......... ........ ( 2 )
z=
z12 = 4 096
2
2
+i
⇒ | z | = ( 2 / 2 )2 + ( 2 / 2 )2 ⇒ | z | = 1 ......... ( 3 )
2
2
Substituindo ( 3 ) e ( 4 ) em ( 2 ):
Substituindo ( 5 ) em ( 1 ):
Respostas: D6) a) 4 096.
0
11
z16 = ( 1 )16 ⋅ ( cos 720 º + i . sen 720 º ) ⇒
1 + z + z 2 + z 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + z15 =
b) zero.
116 − 1
z −1
⇒
z16 = 1
..... ( 5 )
1 + z + z 2 + z 3 + ⋅ ⋅ ⋅ + z15 = 0
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tg θ = 1 ⇒ θ = 45 º ......... ( 4 )
D7) Resolução:
w = 1 + i ⇒ | w | = 2 e θ = 45 º ⇒ w = 2 ⋅ (cos 45 º + i .sen 45 º ) ....... ( 1 )
w 5 = ( 2 )5 ⋅ [ cos ( 45.5 ) + i . sen ( 45.5 ) ]
⇒ w 5 = 4 2 ⋅ ( cos 225 º + i . sen 225 º )


2
2  
5
w5 =4 2 ⋅  −
+ i . −
= − 4 − 4 i ........ c .q.d .
 ⇒ w


 2
 2  
Resposta: vide demonstração.
D8) Resolução:

π
π

 π
 π 
Z = 2  cos + i sen  ⇒ Z 3 = ( 2 )3 ⋅ cos  3 ⋅  + i sen  3 ⋅  
4
4
4




 4


 2 
2 
 ⇒ Z3 = − 4 2 + 4 2 i
Z3 = 8 ⋅   −
+ i .


 2 
  2 


RESPOSTA D8
D9) Resolução:
Considerando z = 1 + i , teremos:
2
2
| z | = (1 ) + (1 ) ⇒ | z | = 2 e θ = 45 º
π
π

z = 2 ⋅ (cos 45 º + i .sen 45 º ) ⇒ z = 2 ⋅  cos + i . sen 
4
4

π
π


+ 2 k .π
+ 2 k .π 

4
4
4
4

+ i ⋅ sen
wk = z ⇒ wk =
2 ⋅  cos
4
4






π
π 
π
π 
8


w 0 = 4 2 ⋅  cos
+ i ⋅ sen
+ i ⋅ sen 
 ⇒ w 0 = 2 ⋅  cos
16
16
16
16




π
π
π
π
9
9
9
9
8




+ i ⋅ sen
+ i ⋅ sen
w1 = 4 2 ⋅  cos
 ⇒ w1 = 2 ⋅  cos

16
16 
16
16 


17 π
17 π 
17 π
17 π 
8


+ i ⋅ sen
+ i ⋅ sen
w 2 = 4 2 ⋅  cos
 ⇒ w 2 = 2 ⋅  cos

16
16
16
16 



25π
25π 
25π
25π 
8


+ i ⋅ sen
+ i ⋅ sen
w 3 = 4 2 ⋅  cos
 ⇒ w1 = 2 ⋅  cos

16 
16
16 
16


D10) Resolução:
a) − ( 2 i )4 + k ⋅ ( 2 i )3 − k ⋅ ( 2 i )2 + k ⋅ ( 2 i ) − 4 = 0
−16 − 8 k i + 4 k + 2 k i − 4 = 0 ( ÷2 ) ⇒ − 8 − 4 k i + 2 k + k i − 2 = 0 ⇒
10 − 3 k i + 2 k = 0
Se arrumarmos −10 − 3 k i + 2 k = 0 ⇒ ( 2 k − 10 ) + ( −3 k i ) = 0 + 0 i ⇒ k ∉ C
10
(2 + 3 i )
⋅
⇒
2 − 3 i (2 + 3 i )
k=
b) − x 4 + 5 x 3 − 5 x 2 + 5 x − 4 = 0
.... Pelo teorema das possíveis raízes racionais x = 1 e x = 4 são
raizes da equação; assim, utilizando o dispositivo prático de BriotRuffini:
x2 +1 = 0 ⇒ x = ± i
Respostas: a) k =
20 30
+
i
13 13
b) 1; 4; i e – i .
20 30
+
i
13 13
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Se arrumarmos − 10 − 3 k i + 2 k = 0 ⇒ − 10 + k ⋅ ( 2 − 3 i ) = 0 ⇒ k =