Capítulo 2
Introdução à Mecânica dos
Fluidos:
Conceitos Fundamentais
Escoamento em volta
de veículo para análise
de sua performance
aerodinâmica.
Universidade Federal Fluminense – EEIMVR - VEM
Mecânica dos Fluidos I
I. L. Ferreira, A. J. Silva, J. F. Feiteira
Introdução à Mecânica do Fluidos
Copyright (c) 2010
by John Wiley & Sons, Inc
2.1 Introdução
Tópicos Principais:
O fluido como um contínuo;
Campo de velocidade;
Campo de Tensão;
Viscosidade;
Tensão superficial;
Descrição e classificação dos movimentos de um fluido.
Chapter 12 Mixtures and Psychrometrics
2.2 Fluido como um Contínuo
Contínuo:
Sob certas circunstâncias um fluido pode ser tratado
como meio contínuo.
Ex.: Escoamento de um rio.
Meio não-contínuo:
A hipótese de contínuo falha quando a trajetória média
livre das moléculas torna-se da mesma ordem de
grandeza da menor dimensão característica significativa
do problema.
Ex.: Escoamento de um gás rarefeito na atmosfera
superior.
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2.2 Fluido como um Contínuo
Contínuo:
Sob certas circunstâncias um fluido pode ser tratado
como meio contínuo.
Ex.: Escoamento de um rio.
δm
ρ ≡ lim
δV →δV ' δV
ρ = ρ ( x, y , z , t )
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2.3 Campo de Velocidade
Definição de Velocidade de um fluido:
Define-se a velocidade de um fluido num ponto C, como a
velocidade instantânea no centro de gravidade do volume
δV, que instantaneamente envolve este ponto C.
r r
V = V ( x, y , z , t )
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r
ou V = uiˆ + vˆj + wkˆ
2.3 Campo de Velocidade
Quanto a campo de velocidade considere-se:
Escoamentos permanentes e transientes;
Escoamentos 1D, 2D e 3D;
Linhas de tempo, trajetórias, linhas de emissão e linhas de
corrente;
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2.3 Campo de Velocidade
Escoamento Permanente:
Se as propriedades em cada ponto de um escoamento não
se alteram com o tempo, o escoamento é dito permanente,
e, por conseguinte,
r
r r
∂V
= 0 e V = V ( x, y , z ) ;
∂t
∂ρ
= 0 e ρ = ρ ( x, y , z )
∂t
Escoamento Transiente:
Se as propriedades em cada ponto de um escoamento se
alteram com o tempo, o escoamento é dito transiente,
logo,
r
r r
∂V
∂
ρ
≠ 0 e V = V ( x, y , z , t ) ;
≠ 0 e ρ = ρ ( x, y , z , t )
∂t
∂t
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2.3 Campo de Velocidade
Escoamentos 1D, 2D e 3D:
Um escoamento é classificado como unidimensional,
bidimensional e tridimensional de acordo com o número
de coordenadas espaciais necessárias para especificar
seu campo de velocidade.
Escoamento unidimensional e bidimensional.
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2.3 Campo de Velocidade
Linhas de Tempo, trajetórias, Linhas de Emissão e Linhas
de Corrente:
Linhas de Tempo: Se num campo de escoamento, várias
partículas adjacentes forem marcadas num dado instante
formarão uma linha no fluido.
Trajetória: É o caminho traçado por uma partícula fluida
em movimento. Ex.: Fumaça, corante e etc.;
Linhas de Emissão: Linha que une os pontos que passam
num local fixo do espaço, onde todas as partículas
passando por aquele ponto fixo seriam identificáveis no
escoamento.
Linhas de Corrente: São aquelas desenhadas no campo
de escoamento de forma que num dado instante são
tangentes à direção do escoamento, em cada ponto do
campo
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2.3 Campo de Velocidade
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2.4 Campo de Tensão
Forças de Superfície e Forças de Campo:
Cada partícula do fluido pode estar sujeita à ação de
forças de superfície (pressão e atrito), e de forças de
campo (eletromagnética e gravitacional).
A força gravitacional agindo sobre um elemento de fluido
dV é dada pela seguinte expressão,
r
F = ρ g dV
r
Considere uma porção, δA da superfície em um ponto
qualquer C. A orientação é dada pelo vetor unitário n̂ .
O vetor n̂ é normal a superfície.
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2.4 Campo de Tensão
r
δA
r
A força, δF
, agindo sobre uma
pode ser
decomposta em duas componentes uma normal e
outra tangente à área.
Desta forma, uma tensão normal e uma de
cisalhamento podem ser definidas, logo,
δFn
σ n = lim
δA →0 δA
n
n
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δFt
τ n = lim
δA →0 δA
n
n
2.4 Campo de Tensão
Um infinito número de planos passam pelo ponto C,
no entanto o estado de tensão pode ser descrito pela
especificação das tensões atuantes em três planos
quaisquer
ortogonais
entre
si,
pelas
nove
componentes
σ xx τ xy

τ yx σ yy
 τ zx τ zy

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τ xz 

τ yz 
σ zz 
2.4 Campo de Tensão
O elemento infinitesimal abaixo apresenta seis planos
em que a tensão pode atuar. Os planos são
caracterizados como positivos e negativos de acordo
com o sentido da normal;
Uma
tensão
será
quando
o
positiva
sentido e o plano no
qual atua são ambos
positivos ou negativos.
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2.5 Viscosidade
Para um fluido, as tensões de cisalhamento surgem
devido ao escoamento viscoso;
Os sólidos são elásticos e os fluidos são viscosos.
Materiais intermediários são viscoelásticos;
Para um fluido em repouso não haverá tensão de
cisalhamento;
A relação entre a tensão de cisalhamento aplicada e o
escoamento caracteriza o tipo de fluido;
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2.5 Viscosidade
Considere um elemento de fluido entre duas placas
semi-infinitas, a placa superior move-se com
velocidade constante δu sob ação de uma força δFx. A
tensão de cisalhamento, τyx, aplicada ao elemento de
volume é expressa da seguinte forma:
δFx dFx
τ yx = lim
=
δA → 0 δA
dAy
y
y
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2.5 Viscosidade
Durante um lapso de tempo δt, o elemento fluido é
deformado da posição MNOP para M’NOP’. Desta
forma a taxa de deformação será dada por,
δα dα
taxadef = lim
=
δt →0 δt
dt
A distância δl é dada por,
δl = δu δt
Para pequenos ângulos pode-se escrever,
δl
tan δα =
≈ δα
δy
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2.5 Viscosidade
Logo,
e δl = δu δt então, combinando as
expressões e aplicando o limite quando δt e δy tendem a
zero,
δl = δα δy
dα du
=
dt dy
Desta forma, um elemento fluido quando submetido a
uma tensão de cisalhamento, experimentará uma taxa
de deformação proporcional à du/dy.
Os fluidos nos quais a tensão de cisalhamento é
proporcional à taxa de deformação são denominados
fluidos newtonianos.
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2.5 Viscosidade – Fluidos Newtonianos
São fluidos nos quais a tensão de cisalhamento é
proporcional a taxa de deformação. Ex.: água,
gasolina, álcool e ar.
τ yx
du
∝
dy
A lei de Newton para a viscosidade estabelece que,
τ yx
du
≡µ
dy
Onde µ é a viscosidade dinâmica [F.t/L2] dada nas seguintes
unidades,
N.s
1 2 = 1 Pa.s
m
lbf .s
slug.s
1 2 =1 2
ft
ft
(S.I.)
(B.S.)
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g
1 poise = 1
cm.s
2.5 Viscosidade – Fluidos Newtonianos
A razão entre a viscosidade absoluta e a massa
específica é denominada viscosidade cinemática [L2/t],
apresentada da seguinte forma,
µ
ν=
ρ
[m2/s]
Uma unidade comum é o stoke definido como,
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2.5 Viscosidade – Fluidos Não-Newtonianos
Os fluidos nos quais a tensão de cisalhamento não é
diretamente proporcional à taxa de deformação, são
denominados de fluidos não-newtonianos. Ex.: Creme
dental, tinta, ketchup e sangue.
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2.5 Viscosidade – Fluidos Não-Newtonianos
Para muitas aplicações de engenharia, uma relação
conveniente representativa entre a tensão de
cisalhamento e a taxa de cisalhamento é mostrada
abaixo,
τ yx
 du 
≡ k  
 dy 
n
Onde k é o denominado de índice de consistência e n é o
índice de comportamento do escoamento.
A equação acima pode ser reescrita da seguinte forma,
τ yx
du
≡k
dy
n −1
du
du
=η
dy
dy
η - viscosidade efetiva.
A fim de assegurar o mesmo sinal entre a taxa e a tensão.
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2.5 Viscosidade – Fluidos Não-Newtonianos
O creme dental, a lama de perfuração e o plástico de
Bingham, comportam-se como sólidos até que uma
tensão limite seja atingida, a partir da qual começam a
escoar como fluidos; desta forma,
τ yx
 du 
≡ τ y + µ p  
 dy 
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2.6 Tensão Superficial
Sempre que um líquido encontra-se em contato com
outros líquidos, gases ou sólidos, uma interface se
desenvolve agindo como uma membrana elástica
esticada, originando uma tensão superficial;
Esta membrana apresenta duas características: Um
ângulo de contato θ e uma magnitude de tensão
superficial σ [N/m2];
Tais características dependem do tipo de fluido e do
tipo da superfície;
Exemplos típicos: Insetos sobre a superfície da água,
agulhas sobre a água, bolhas de sabão, etc.
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2.6 Tensão Superficial
Balanço de força num segmento da interface mostra
um salto na pressão através da membrana elástica;
A tensão superficial é responsável por fenômenos de
ondas capilares, de ascensão e depressão capilar;
Se o ângulo θ for < 90o superfície molhada,
Se θ > 90º superfície não-molhada;
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2.6 Tensão Superficial
Depressão e Ascensão Capilar
Um efeito importante da tensão superficial em engenharia
é a criação dos indesejáveis meniscos em manômetros e
barômetros;
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2.6 Tensão Superficial
Depressão e Ascensão Capilar
Os assim chamados compostos surfactantes reduzem
consideravelmente (em mais de 40%) os efeitos da tensão
superficial quando adicionados à àgua.
Tais substâncias têm grande aplicação comercial: a
maioria dos detergentes contém surfactantes para ajudar
a água a penetrar e retirar sujeira das superfícies. Os
surfactantes são também utilizados na recuperação de
óleos vegetais e minerais.
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2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos
Mecânica dos
Fluidos Contínuos
Viscosos
µ≠0
Não-viscosos
µ=0
Compressível
Incompressível
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Laminar
Turbulento
Interno
Externo
2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos
Dois aspectos da mecânica dos fluidos mais difíceis
de tratar: (1) sua natureza viscosa e (2) sua
compressibilidade;
Uma
primeira
proposição,
tratou
o
fluido
incompressível e sem atrito. Porém conduziu a
paradoxo de D’Alembert;
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2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos
Fluidos Viscosos e Não-Viscosos:
Considere uma bola sendo chutada a 96 km/h. Qual a
natureza do arrasto do ar sobre a bola? Atrito com o ar?
Aumento de pressão na frente da bola?
Uma partícula de areia, com velocidade terminal de 1 cm/s
sob efeito da gravidade? Qual a natureza do arrasto?
Essas perguntas podem ser respondidas através de um
número adimensional chamado Reynolds que relaciona
forças de pressão e forças viscosas.
ρVL
Re =
µ
µ
ρ
V
L
- viscosidade
Re Bola ≈ 400000
- massa específica
Re areia ≈ 0.7
- Velocidade
- Comprimento característico
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2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos
Fluidos Viscosos e Não-Viscosos:
Num escoamento incompressível e sem atrito, a teoria
prediz linhas de correntes da forma apresentada em (a),
Os pontos A e C apresentam pressões elevadas,
enquanto B e o simétrico apresentam baixas pressões,
não existindo força líquida de arrasto devido à pressão,
Paradóxo de D’Alembert.
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2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos
Fluidos Viscosos e Não-Viscosos:
Prandtl em 1904 postulou uma condição de nãodeslizamento, u = 0 em B, e a velocidade aumenta
rapidamente de zero até o valor previsto pela teoria do
escoamento não-viscoso. Existirá sempre uma camada
limite delgada em que o atrito é significativo.
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2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos
Fluidos Viscosos e Não-Viscosos:
O ar na esteira terá pressão relativamente baixa enquanto
a frente da bola possuirá uma pressão elevada criando um
arrasto de pressão devido à forma do objeto.
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2.7 Classificação dos Movimentos de Fluidos
Fluidos Viscosos e Não-Viscosos:
Uma possibilidade de redução de esteira, diminuindo
portanto o arrasto de pressão, é conseguida pela utilização
de um perfil aerodinâmico;
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