1
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e da Educação
Curso de Licenciatura Plena em Matemática
José Sávio Bicho de Oliveira
Hidrômetros em São Miguel do Guamá: uma experiência
de Modelagem Matemática com alunos do ensino médio
São Miguel do Guamá
2010
2
José Sávio Bicho de Oliveira
Hidrômetros em São Miguel do Guamá: uma experiência
de Modelagem Matemática com alunos do ensino médio
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciatura Plena em Matemática, Universidade
do Estado do Pará.
Orientadora: Profª M.Sc. Roberta Modesto Braga
São Miguel do Guamá
2010
3
José Sávio Bicho de Oliveira
Hidrômetros em São Miguel do Guamá: uma experiência
de Modelagem Matemática com alunos do ensino médio
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito parcial para obtenção do grau de
Licenciatura Plena em Matemática, Universidade
do Estado do Pará.
Data de aprovação: 11/ 01/ 2010
Banca Examinadora
___________________________________________ - Orientadora
Profª. Roberta Modesto Braga
M.Sc. em Educação em Ciências e Matemáticas (UFPA)
Universidade do Estado do Pará
___________________________________________ - Examinadora
Profª. Ivanete Maria Barroso Moreira
Universidade do Estado do Pará
___________________________________________ - Examinadora
Profª. Maria Aparecida Pimentel Coutinho
Universidade do Estado do Pará
4
Dedico este trabalho aos meus pais, Sávio e
Leila, e aos meus irmãos, Sílvio e Leilane,
minha família, que com seu carinho,
compreensão e incentivo mostraram-me que
podemos ir além das nossas fronteiras na
busca de novos horizontes.
5
AGRADECIMENTOS
A Deus, meu Pai, por ter me dado firmamento de sabedoria e por permitir
a realização desta etapa da busca pelo conhecimento.
Aos meus pais, Sávio e Leila, por terem me incentivado a realizar este
curso e por serem meu suporte durante todos os momentos da minha vida. Desde
quando ainda não sabia que caminho eu seguiria, eles foram minha direção.
Aos meus irmãos, Sílvio e Leilane, pela amizade, compreensão e
companheirismo, e por não medirem esforços em me ajudarem sempre que precisei.
A minha tia e madrinha “Tia Ita” por acreditar em mim e em meus sonhos
sempre e pela solidez apresentada em minha vida.
A minha namorada, Carla Campos, pela contribuição em momentos da
minha trajetória acadêmica me apoiando sempre que precisei e acreditando em meu
potencial.
À Universidade do Estado do Pará, pela oportunidade oferecida através
do curso dando-me suporte no tripé ensino, pesquisa e extensão.
A Prof.ª M.Sc. Roberta Modesto Braga, orientadora deste trabalho, por ter
se mostrado uma educadora levando-me a ter novos olhares acerca do ensino de
Matemática. Agradeço pela compreensão, amizade, paciência e idéias.
Aos mestres docentes do curso pelos momentos de investigações
oportunizados os quais contribuíram para minha formação matemática e
educacional.
A Profª. M.Sc. Sandra Neves pela dedicação, amizade e participação na
trajetória da minha formação acadêmica.
Ao Prof. Esp. Everaldo Raiol pela seriedade e compromisso assumidos
enquanto professor e pelo companheirismo e compreensão tidos quando precisei.
Aos funcionários do Campus de São Miguel do Guamá da UEPA, pela
atenção e cooperação. Ao Prof. Flávio Carvalho pelo incentivo e confiança a mim
dados.
A Rosileide Araújo (Zuca), diretora da escola em que trabalho, por
acreditar em meu potencial enquanto educador matemático e pela amizade
construída.
6
Aos amigos que conquistei durante a realização do curso pela parceria na
busca pelo conhecimento, em especial a todos os amigos da turma de Matemática
2006.
À Larissa Oliveira pela amizade construída durante todo o curso na qual
compartilhamos momentos únicos, da qual sentirei muitas saudades. À Angela Alves
pela amizade e parceria nas situações de estudos e descontração. Ao Fábio
Fernandes pela sua disposição na socialização do conhecimento.
A todos que estiveram presentes durante essa jornada de formação
contribuindo de alguma forma para que essa etapa fosse concluída.
7
Chegamos ao ponto em que temos que educar
as pessoas naquilo que ninguém sabia ontem,
e prepará-las para aquilo que ninguém sabe
ainda, mas que alguns terão de saber amanhã.
Margareth Mead
8
RESUMO
OLIVEIRA, José Sávio Bicho de. Hidrômetros em São Miguel do Guamá: uma
experiência de Modelagem Matemática com alunos do ensino médio. 2009. 82 f.
Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura Plena em
Matemática) – Universidade do Estado do Pará, São Miguel do Guamá, 2010.
Este trabalho apresenta resultados de uma experiência de ensino de Matemática via
Modelagem Matemática com uma turma de 1ª série do Ensino Médio de uma escola
pública de São Miguel do Guamá - PA. O principal objetivo da pesquisa foi elaborar
uma proposta de utilização da Modelagem Matemática como alternativa de ensino e
aprendizagem que contribuísse para a compreensão do cotidiano dos alunos. Nesse
sentido, apresentamos subsídios teóricos sobre o nível de ensino de interesse da
pesquisa e acerca da utilização da Modelagem Matemática no ensinoaprendizagem. O desenvolvimento das atividades proporcionou o esclarecimento da
mudança do processo de cobrança dos valores do consumo de água com e sem
hidrômetros a partir de uma abordagem metodológica onde a aplicação da arte de
modelar matematicamente um problema real foi realizada sob o ponto de vista do
entendimento do cotidiano dos alunos por meio de relações matemáticas. Mediante
o quadro a priori, conclui-se que a Modelagem Matemática como alternativa para
ensinar e aprender matemática concebeu um cerne de mudanças de concepções
dos alunos acerca da Matemática uma vez que contribuiu para o ensinoaprendizagem e para a compreensão da realidade.
Palavras-chave: Modelagem Matemática; Compreensão da realidade; Ensino
Médio.
9
ABSTRAC
OLIVEIRA, José Bicho de Savio. Meters in Sao Miguel of Guama: A Mathematical
Modeling experience with high school students. 2010. 82 f. Conclusion of Course
(Graduate Full Degree in Mathematics) - University of Pará, São Miguel of Guama,
2010.
This work presents results of an experiment in teaching mathematics saw
Mathematical Modeling with a group of 1st grade of high school to a public school in
Sao Miguel do Guama - PA. The main objective of this research was to develop a
proposal for the use of Mathematical Modeling as an alternative teaching and
learning that contributes to understanding the daily life of students. Accordingly, we
present theoretical data on the level of teaching and research interest on the use of
Mathematical Modeling in the teaching and learning. Business activities provided
clarification of the change process in collecting water consumption with and without
meters from an approach where the application of the art mathematically model a
real problem was carried out under the terms of understanding the daily life of
students through mathematical relationships. Through the framework a priori, it is
concluded that the Mathematical Modeling as an alternative to teaching and learning
mathematics has developed a core of changes in students' conceptions about
mathematics as it contributed to the teaching and learning and understanding of
reality.
Key-words: Mathematical Modeling; understanding of reality; School.
10
LISTA DE ESQUEMAS, FOTOGRAFIA E REGISTROS
Esquema 01:
Processo de Modelagem Matemática.
31
Esquema 02:
Dinâmica da Modelagem Matemática.
31
Fotografia 01:
Registro 01:
Registro 02:
Registro 03:
Registro 04:
Registro 05:
Representação de um exemplo de resolução no quadro de
escrever.
Esboço do cálculo da tarifa pelo consumo de água.
Estimativas de consumo de água e valor a pagar feitas pelos
alunos.
Representação gráfica da tarifação do consumo de água feita
por uma equipe.
Esboço da elaboração de modelos não condizentes com a
realidade.
Esboço da elaboração de modelos condizentes com a
realidade.
51
52
54
55
56
57
11
LISTA DE TABELAS
Tabela 01:
Tabela 02:
Tabela 03:
Demonstrativo dos valores a serem pagos propostos na
licitação.
Demonstrativo dos valores atuais a serem pagos.
Formas
de
desperdício
de
água
praticadas
presenciadas pelos alunos.
38
39
e/ou
46
Tabela 04:
Valores a pagar em função do consumo de água.
49
Tabela 05:
Estimativas de consumo de água e valor a pagar.
53
Tabela 06:
Relações matemáticas ideais para a situação-problema.
58
12
LISTA DE GRÁFICOS
Gráfico 01:
Gráfico 02:
Gráfico 03:
Gráfico 04:
Gráfico 05:
Gráfico 06:
Gráfico 07:
Gráfico 08:
Gráfico 09:
Frequência
das
repostas
do
aluno
pelo
estudo
de
Matemática.
Frequência de respostas sobre o ensino de Matemática
relacionado com o cotidiano.
Importância da Matemática para a compreensão da realidade
na visão dos alunos.
Forma de abastecimento de água nas residências dos
alunos.
Demonstrativo
das
opiniões
dos
alunos
sobre
o
abastecimento de água no município.
A visão dos alunos sobre a contribuição da atividade para
sua aprendizagem matemática.
Influência da atividade nas concepções dos alunos acerca da
Matemática.
Frequência da compreensão do processo de tarifação.
Frequência de alunos que concordam com o processo de
cobrança da água consumida.
42
42
43
45
46
60
61
62
63
13
SUMÁRIO
RESUMO
ABSTRACT
INTRODUÇÃO
14
CAPÍTULO I: ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NO ENSINO
MÉDIO
1.1 Educação Matemática Brasileira e suas implicações no Ensino Médio
1.2 Reflexões sobre o currículo de Matemática do Ensino Médio
17
17
20
CAPÍTULO II: MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO
2.1 Modelagem Matemática: definições, raízes e ensino
2.2 Procedimentos da Modelagem Matemática no ensino
2.3 Modelagem Matemática X Currículo
2.4 O professor e a utilização da Modelagem Matemática em sala de aula
26
26
31
32
34
CAPÍTULO III: A MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: A
PESQUISA E SEUS RESULTADOS
3.1 A escola
3.2 Os personagens
3.3 O contexto
3.4 A Metodologia
3.4.1 Atividade I: Questionário 01
3.4.2 Atividade II: Hidrômetros em São Miguel do Guamá
3.4.3 Atividade III: Questionário 02
3.5 A análise
3.5.1 Do Questionário 01
3.5.2 Da atividade de Modelagem
3.6.3 Do Questionário 02
36
36
36
37
39
40
40
40
41
41
48
59
COSIDERAÇÕES FINAIS
REFERÊNCIAS
APÊNDICES
ANEXOS
66
68
74
80
14
INTRODUÇÃO
A Matemática é
concebida como uma área de conhecimentos
fundamentais para a compreensão do mundo e participação ativa do homem na
sociedade, porém o ensino dessa disciplina tem passado por certos problemas
quando os alunos dizem que não sabem ou não gostam de Matemática ou quando
os professores relatam sobre sua prática metodológica de ensino. No ensino médio,
é notório o grande índice de reprovações e evasões, isto pode ocorrer devido ao que
se ensina e como se ensina.
No entanto, nos últimos anos, diversos pesquisadores em Educação
Matemática buscam por metodologias que proporcionem um melhor ensinoaprendizagem através de aulas motivadoras e que desenvolvam habilidades de
investigação nos alunos. Partindo deste ponto, são necessárias estratégias para que
haja uma maior aquisição do conhecimento matemático nessa etapa de ensino, ou
seja, buscar métodos inovadores de ensino-aprendizagem capazes de melhorar, ou
mesmo mudar, o ensino da Matemática. Para Kammi (1995):
Inovar o ensino da matemática geralmente relaciona-se com o
desenvolvimento de novas metodologias de ensino que complementem o
conteúdo trabalhado com o objetivo de desenvolver a autonomia dos alunos
bem como seu conhecimento lógico matemático analisado dentro de uma
visão interativa e autônoma, na formação de indivíduos autônomos,
capazes de raciocinar de forma independente, participativo e criativo (p. 4550).
Com base nas idéias da autora citada, apresentamos a Modelagem
Matemática como um ambiente de aprendizagem que auxilia na compreensão do
que é ensinado através do entendimento da realidade no contexto dentro e fora da
sala de aula. É importante considerar ainda que por meio desta vertente da
Educação Matemática o aprendizado de conteúdos matemáticos torna-se mais
acessível aos alunos.
Como processo de ensinar e de aprender Matemática, identificamos a
Modelagem Matemática como alternativa que pode ser capaz de inovar as aulas e
auxiliar na compreensão de conhecimentos, pois “o ensino-aprendizagem de
Matemática será mais gratificante, uma vez que o aluno passe a aprender o que lhe
desperta interesse, tornando-o então co-responsável pelo seu aprendizado”
(BIEMBENGUT & HEIN, 2007, p. 125).
15
Desta forma, é essencial a apresentação de atividades que despertem no
alunado o interesse pela busca do próprio conhecimento, onde essas atividades
devem permitir o desenvolvimento investigativo que norteie o saber matemático.
Assim, assumimos em nosso trabalho uma pesquisa com alunos de uma escola
pública de ensino médio de São Miguel do Guamá conduzindo-os para o
entendimento de fatos da realidade na qual estão inseridos e através da elaboração
de modelos matemáticos permitir aprendizagem com significado para os alunos.
Neste aspecto, realizamos nossa pesquisa buscando entender que
contribuições a Modelagem Matemática proporciona para a compreensão da
realidade dos alunos do ensino médio?
Este trabalho está estruturado em três capítulos que trazem nossas
contribuições na área de estudo.
No Capítulo I, Ensino-Aprendizagem de Matemática no Ensino Médio,
expomos uma análise teórica sobre o Ensino Médio identificando a evolução da
Educação Matemática no Brasil e como os processos históricos educacionais
influenciaram o processo de ensino e aprendizagem neste nível de ensino. Ainda
neste capítulo, apresentamos discussões sobre o currículo de Matemática da etapa
de educação, evidenciando as várias dimensões curriculares que refletem a
realidade do ensino da disciplina.
O
Capítulo
II,
Modelagem
concepções
teóricas
sobre
a
Matemática
Modelagem
na
Educação,
Matemática
como
apresenta
alternativa
metodológica, esclarecendo ao leitor o que é esse ambiente de aprendizagem e
como pode ser utilizado em sala de aula. Nesse contexto, realizamos uma
abordagem conceitual de acordo com a literatura estudada, apresentando o
desenvolvimento da Modelagem enquanto estratégia educacional, suas implicações
curriculares e as relações entre professores e a alternativa metodológica.
Após o levantamento teórico, sentindo a necessidade de uma prática para
reforçar os pressupostos apresentados, construímos então o Capítulo III, A
Modelagem Matemática no Ensino Médio: a pesquisa e seus resultados. Este
capítulo subsidia a proposta metodológica de cunho investigativo da Modelagem
Matemática na sala de aula, identificando os métodos de coleta e análise de dados.
O capítulo é dedicado a investigação da Modelagem Matemática no ensino de
Função do 1º grau de acordo com a compreensão da situação da cobrança do
16
consumo de água, no município de São Miguel do Guamá, presente na realidade
dos alunos.
Após as pesquisas bibliográficas e de campo, chegamos a conclusões
que são evidenciadas ao final deste trabalho onde podem ser encontradas
considerações acerca da experiência vivida.
17
CAPÍTULO I: ENSINO-APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO
1.1 Educação Matemática Brasileira e suas implicações no Ensino Médio
Com a intenção de melhor delinear a atual situação do ensino de
Matemática no Brasil, é de suma importância analisar o percurso histórico e as
finalidades da Educação Matemática Brasileira para que haja compreensão dos
fundamentos teórico-metodológicos apresentados ao Ensino Médio.
Atualmente conhecido como Ensino Médio, o ensino secundário tinha
outro significado durante as primeiras décadas do século passado. Este nível de
educação era tido como um tipo de ensino voltado para a instrução das elites sociais
enquanto o curso primário atendia a educação das camadas populares daquela
época,
não
sendo
pré-requisito
para
o
secundário.
Eram
os
cursos
profissionalizantes que davam a continuação do ensino primário, porém estes não
possibilitavam ingresso na educação superior, visto que apenas egressos de cursos
secundários tinham acesso a este nível de instrução. O ensino profissional era
oferecido durante um ano após a realização da educação secundaria (GODOY,
2002).
Duas reformas podem ser apontadas como triviais para a formalização da
Educação no Brasil: a de Francisco Campos em 1931 e a de Gustavo Capanema
em 1942. A primeira atribuiu ao ensino secundário uma parte com duração de cinco
anos com finalidade de formar cidadãos e outra de dois anos para preparar o
alunado para o ensino superior. Na reforma de 1942, o principal objetivo era formar
intelectuais e trabalhadores (Idem).
Posteriormente,
legislações
educacionais
reformularam
o
ensino
profissional integrando-se ao regular, onde os cursos profissionalizantes e
propedêuticos (de preparação para o ensino superior) assumiram um caráter
subsequencial de ingresso ao ensino superior. Com estas medidas, busca-se uma
nova identidade para o Ensino Médio como sendo a última etapa da Educação
Básica, formada pelos ensinos infantil, fundamental e médio. Neste sentido, passa a
ter um caráter de formação cidadã oferecendo ao educando a competência de
produção de conhecimento por meio de atribuições técnico-profissionais.
18
A trajetória do ensino de Matemática no nível médio brasileiro é tomada
por diversos acontecimentos ao longo da História. Em 1837, foi criado o Colégio
Pedro II que serviu como modelo para outras escolas de ensino médio até 1930.
Entre o período de 1837 e 1932 a Matemática não era ensinada em todos os níveis
de escolaridade. No ano de 1856 a Matemática passou a ser ensinada em todos os
anos do ensino secundário e não somente nos últimos. Até 1929, a Educação
Matemática compreendia os campos da Aritmética, Álgebra, Geometria e
Trigonometria que, a partir deste ano, passaram a ser agrupadas e a Matemática
torna-se disciplina através da proposta do Colégio Pedro II passando a integrar, de
acordo com a reforma Campos, o currículo de todas as séries dos cursos
fundamental, médio e de alguns superiores (GODOY & SANTOS, 2008).
A década de 60 foi a mais importante para o ensino de Matemática no
Brasil e no mundo. Com o surgimento do advento Movimento da Matemática
Moderna, o ensino da disciplina começa a ser reformulado de acordo com as
emergências industriais e tecnológicas que redirecionaram a sociedade no pósguerra. Esta reforma buscava modernização do ensino desta área de conhecimento.
De acordo com Fischer et al. (2007, p. 2):
Nessa década, o ensino de Matemática no Brasil sofre mudanças na
educação básica. Tais mudanças decorrem de uma discussão internacional
acerca de uma nova abordagem para o ensino de Matemática, que
propunha aproximar o ensino realizado na educação básica ao
desenvolvido na Universidade, o que corresponde à linguagem e à estrutura
empregada pelos matemáticos da época. Este Movimento internacional
torna-se conhecido como Movimento da Matemática Moderna (MMM).
No Brasil, o movimento teve início no Estado de São Paulo através da
criação do Grupo de Estudos do Ensino da Matemática – GEEM no ano de 1961,
que teve como principal objetivo divulgar e orientar a Matemática Moderna nas
Escolas de nível secundário. O grupo teve como principais ações a formação de
professores de Matemática e a tradução, publicação e divulgação de obras do
Movimento da Matemática Moderna.
Entendendo como necessidade as transformações nas propostas de
ensinar Matemática numa organização de desenvolvimento crítico do aluno, no ano
de 1998 foram elaborados os Parâmetros Curriculares Nacionais de Matemática
para o ensino fundamental e em 1999 para o ensino médio propondo orientações
19
curriculares e metodológicas com o propósito de redirecionar o ensino de
Matemática na Educação Básica.
A Matemática e seu ensino vêm passando por mudanças ocorridas
durante a história recebendo uma gama de contribuições para melhoria da
aprendizagem dos alunos. Isso é uma questão para ser levada em consideração
uma vez que o ensino de matemática é fundamental na formação dos indivíduos. As
idéias de D’Ambrosio (2007) apontam sua preocupação pela abrangência da
Matemática quando relata que as matemáticas elementar, avançada, universitária,
pura e aplicada são muito afetadas pela diversidade cultural.
Sobre
o
ensino
de
matemática
e
suas
contribuições
para
o
desenvolvimento cognitivo humano, D’Ambrosio (2007) confessa: “poderíamos dizer
que a matemática é o estilo de pensamento dos dias de hoje, a linguagem adequada
para expressar as reflexões sobre a natureza e as maneiras de explicação. Isso tem
naturalmente importantes raízes e implicações filosóficas” (p. 58). Partindo do ponto
de vista do autor acima citado, podemos dizer que o ensino de matemática na
escola média é caracterizado como uma ciência de entendimento da realidade na
busca do desenvolvimento cidadão e profissional.
Na concepção de Lima (2003) o ensino médio de Matemática deve
abranger uma abordagem em sala de aula que compreenda três componentes:
conceituação, manipulação e aplicações, que devem ser utilizadas adequadamente
onde este tripé ideológico fundamenta o processo de aprendizagem proporcionando
clareza das idéias e habilidade de pensar e discernir os argumentos matemáticos.
Porém, a nosso ver, a Matemática é indispensável para a formação cultural e técnica
do educando e deve ser articulada como uma ciência crítica e reflexiva de ideias.
Ainda de acordo com Lima, a Matemática Moderna foi um momento que
propiciou uma maior dosagem da conceituação ocasionando uma desorientação dos
outros dois componentes, como relata que:
As conseqüências desse movimento em nosso país foram desastrosas, em
que pese o fato de que algumas das práticas propostas eram realmente
aconselháveis. Acontece que, tradicionalmente, desde nossos dias de
colônia, estamos acostumados a seguir a moda que nos ditam os países
mais desenvolvidos. E, em geral, imitamos o que é fácil, superficial e frívolo.
Nossa imitação da Matemática Moderna resultou em abandono da
Geometria e dos cálculos numéricos, substituídos por exageros
conjuntivistas e de pseudo-formalismo vazio e desligado da realidade
(LIMA, 2003, p. 150).
20
Diante do exposto, consideramos que a Matemática e seu ensino atual é
resultado desse processo histórico e de suas influências no sistema educacional, as
falhas decorrentes do movimento são percebidas e praticadas na educação
brasileira, mas não é fácil mudar o que está incorporado nas escolas e nas práticas
de professores para a reorientação das aulas na sociedade moderna. D’Ambrosio
(2007) afirma que o fracasso da Matemática Moderna deve-se ao fato de terem
sidos alterados os conteúdos sem reformular os objetivos e os métodos
adequadamente.
O público-alvo do Ensino Médio regular está compreendido geralmente
por alunos da faixa etária de 15 a 17 anos. Este alunado possui certa noção sobre
seu futuro, objetivando caminhos e ideais para sua vida. No que afirma Lima (2003)
a Matemática do Ensino Fundamental norteia uma estrutura matemática de
formação cidadã enquanto a do médio tem uma postura de formação profissional e
de suporte para os estudos universitários.
Porém, ainda são necessárias algumas ações quanto a formação de
professores e a utilização de livros didáticos. Na orientação de seu trabalho diário, o
professor deve direcionar os estudantes à compreensão do significado da
Matemática e não possibilitar uma noção de parcialidade dedutiva de regras
(fórmulas, corolários, demonstrações, conjecturas).
O ensino deve abordar as várias faces da Matemática como: uma arte no
enlace de proposições, teorias, raciocínios e enunciados, o estético destaca a
soberania da Matemática; um instrumento útil e complexo nas aplicações cotidianas;
uma linguagem científica na teorização da ciência; e um desafio a ser tomado diante
sua ludicidade e cultura (LIMA, 2003, p. 147).
1.2 Reflexões sobre o currículo de Matemática do Ensino Médio
No sentido de entender o papel do currículo que delineia o ensino de
Matemática no Ensino Médio, é relevante entender o que é currículo. Com base nos
estudos de Torres (1994), entende-se por currículo o conjunto de conteúdos e
objetivos, métodos e critérios de avaliação, e as relações e aprendizagens sociais.
Nesse sentido, o currículo deve abranger as experiências de aprendizagem
envolvidas no ambiente escolar as quais direcionam o ensinar, o aprender e o
avaliar através de respostas dadas ao que, quando e como ensinar? e ao que,
21
quando e como avaliar? como estratégia para o ato educativo (TORRES, 1994;
COLL, 1999; D’AMBROSIO, 2007).
As idéias de Santos e Oliveira (1998, p. 14) afirmam que:
É importante considerar ainda que o campo do currículo envolve tanto
atividades de caráter político-pedagógico, voltadas para a definição de
propostas para os sistemas de ensino ou para as escolas, quanto estudos e
análises, cujo objetivo é a construção de teorias e princípios sobre o
desenvolvimento curricular e sobre diferentes dimensões e perspectivas
dessa realidade.
Assim, as dimensões estruturais e a importância dada ao currículo como
base educacional influenciam no ensino, no caso o de Matemática para a educação
média. O currículo do Ensino Médio perpassa o dualismo entre a formação
profissional e o caráter propedêutico da educação secundária. Durante décadas,
principalmente nas três últimas do Século XX, houve discussões sobre currículos de
Matemática voltados para o Ensino Médio brasileiro, em destaque para a elaboração
dos Guias Curriculares na década de 70, das Propostas Curriculares na década de
80 e dos Parâmetros Curriculares Nacionais nos anos 90 (GODOY & SANTOS,
2008, p. 02).
Desde esse período até os dias atuais, buscam-se componentes que
norteiem a elaboração de currículos de Matemática para o sistema educacional. De
acordo com Rico (1997 apud GODOY & SANTOS, 2008), o cenário da Educação
Matemática no ensino médio é determinante para a base curricular de Matemática
se considerados seus fins para este nível de ensino, são as dimensões culturais,
políticas, educativas e sociais que proporcionam uma reflexão global acerca do
sistema educativo.
A Matemática possui papel primordial na Educação sendo necessária a
discussão sobre seu currículo para que esta seja um instrumento envolvente das
finalidades da Educação Matemática. Para Rico (Idem) o currículo da Educação
Básica é um plano de formação de ensino e de aprendizagem, então como o da
Matemática pode propiciar a aquisição do conhecimento geral na categoria de
educação em questão? Na verdade, as bases curriculares propostas objetivam
sustentar o ensino-aprendizagem para um entendimento do conhecimento
matemático que estabeleça dimensões para/na organização curricular.
22
A reflexão sobre currículo de Matemática deve ser norteada pela análise e
discussão dos objetivos, conteúdos, metodologias e resultados do ensino dessa
disciplina. Na postura conceitual de Pires (2000, p. 08), “[...] parece existir uma
crença generalizada de que as mudanças curriculares constituem fatores decisivos
para a renovação e o aperfeiçoamento do ensino de Matemática”. As reformas
curriculares propostas no ensino desta disciplina ocorrem de acordo com as
transformações almejadas pela Educação, sendo lentas e complexas as
implantações.
As estruturas curriculares de Matemática que imprimem a realidade
escolar atual é resultado de propostas curriculares elaboradas desde a apreciação
do Movimento da Matemática Moderna até os dias de hoje, abandonando
a
linearidade do conhecimento matemático e integrando-o a uma idéia de rede
(PIRES, 2000).
O ensino de Matemática começou a ser reformulado a partir da década de
50 quando os franceses passaram a debatê-lo e os belgas iniciaram suas primeiras
experiências. Neste cenário, onde os russos lançavam o Sputinik1 despertando
preocupação sobre o eventual atraso tecnológico das elites ocidentais e a
configuração do pós-guerra proporcionava modernidade industrial, em 1960 é
delineado o Movimento Matemática Moderna, fruto de uma caminhada política de
formação para a liderança econômica mundial que passou a ser um dos principais
coadjuvantes das alterações curriculares ocorridos em vários países, inclusive no
Brasil (PIRES, 2000).
Nesse bojo de mudanças, a estrutura curricular da disciplina passa a ser
norteada por aspectos sociais, psicológicos, antropológicos e linguísticos situando
um novo significado ao ensino de Matemática. Pires (2000) expõe suas reflexões
sobre as bases curriculares da reforma do ensino de matemática:
A crítica à excessiva valorização dos conteúdos em lugar dos métodos,
primeiras discussões sobre a resolução de problemas e a ligação
Matemática com a vida real, os debates sobre o uso de calculadoras e
outros materiais de ensino foram colocando em xeque o ideário
movimento anterior [...] (p. 12).
1
Primeiro satélite artificial da Terra.
as
da
de
do
23
Assim, a medida curricular para o ensino de Matemática foi sendo
reformada gradualmente no decorrer dos anos articulando estratégias conjugadas
de práticas. Nesse aspecto, os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino
Médio – PCNEM direcionam o ensino atual da disciplina abordada.
O ensino de Matemática no Ensino Médio deve mediar o desenvolvimento
intelectual do educando através de estratégias diferenciadas que proporcionem sua
inserção no mundo contemporâneo, o qual exige competências para a vida em
sociedade permeando tanto o pessoal como o profissional.
Na busca da efetivação destes ideais, Brasil (1999) dispõe considerações
sobre os papeis da Matemática ensinada no Ensino Médio, a saber:
A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a
estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também
desempenha um papel instrumental, pois é uma ferramenta que serve para
a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as
atividades humanas (p. 40),
Com este mesmo ideário, Brasil (2002, p.111) enfatiza que:
No ensino médio, etapa final da escolaridade básica, a Matemática deve ser
compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para
a formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma
visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver
capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional.
Nesse âmbito, é considerável ressaltar as contribuições da disciplina para
a construção do pensamento e de atitudes do aluno a qual incide na possibilidade de
solucionar situações do dia-a-dia por meio de ações reflexivas de criatividade
científica tendo como referência um aprimoramento técnico e estratégico que
propicie articular o conhecimento em diferentes contextos. Para que tais evidências
sejam efetivadas, Brasil (1999, p. 40) referencia que:
[...] os números e a álgebra como sistemas de códigos, a geometria na
leitura e interpretação do espaço, a estatística e a probabilidade na
compreensão de fenômenos em universos finitos são subáreas da
Matemática especialmente ligadas a aplicações.
Assim, a estrutura curricular a ser tomada no Ensino Médio deve ser
elaborada do ponto de vista analítico, crítico e reflexivo integrando os conteúdos
acima citados por se tratarem de tópicos fundamentais para o desenvolvimento que
24
o sistema escolar procura alcançar. As questões curriculares são, de fato, uma
discussão ampla e científica, um bom desenvolvimento do currículo não pode ser
realizado sem boas metodologias de ensino e sem a integração dos conteúdos.
No sentido de identificar relações curriculares da Matemática, Brasil
(1999) retrata que para elaborar um bom currículo os conteúdos e as práticas devem
ser evidenciados na medida em que os organizadores de currículos e os professores
levem em consideração os conteúdos mínimos da Base Nacional Comum
direcionando um currículo para as necessidades escolares e da comunidade local e
para o desenvolvimento de competências e de habilidades apresentadas
anteriormente.
A interdisciplinaridade e a contextualização são essenciais para a
abordagem do currículo de Matemática do Ensino Médio permitindo um leque de
possibilidades das sub-áreas que a disciplina engloba através de conexões internas
à própria Matemática, mas também pode se integrar a outras áreas do
conhecimento como a Física, Geografia, Administração e Economia. Além disso, a
Educação Matemática no nível médio deve abordar a dimensão cultural da
Educação onde, de acordo com Sacritán (1995), o currículo deve ser a soma de todo
tipo de aprendizagens quando considerada a integração de temas culturais
entendida como uma série de processos que revelam a realidade através da
introdução da perspectiva multicultural nos conteúdos e nos livros didáticos.
De acordo com Fossa (2001, p. 30-31) a elaboração do currículo de
Matemática deve assumir os seguintes critérios:
1- O currículo deveria ser organizado segundo a estrutura da disciplina. [...]
2- O conteúdo básico de toda a matemática é o números naturais. [...] 3- O
conteúdo do currículo matemático deveria ser organizado em torno dos
elementos. [...] 4- Revisões periódicas do currículo deveriam ser feitas para
garantir a sua organização correta segundo a estrutura da disciplina.
As questões sobre Matemática e seu ensino são discutidas por diversos
autores, nesse contexto, Torres (1994) diz que a Matemática é destaque nos
currículos escolares por aguçar as aptidões intelectuais dos alunos. Todos
consideram que o rendimento da aprendizagem de matemática é fator importante
para a eficiência e a qualidade da educação, em contrapartida o ensinoaprendizagem de matemática passa por problemas que englobam a negação dos
alunos diante da matéria.
25
Em seu estudo, Godoy e Santos (2008, p.02) diz que “[...] não existe
consenso sobre, por exemplo, o que se deve ensinar em Matemática [...] muitas são
as possibilidades, mas poucas são consensuais”, dessa forma, o desenvolvimento e
a organização do currículo devem ser as referências.
Diante dessa abordagem, o sistema educacional busca alternativas
curriculares para reorientarem as práticas e ações docentes em sala de aula para o
direcionamento de uma aprendizagem discente transitória a partir de métodos
avaliativos firmados no processo de ensino e de aprendizagem estabelecido em sala
de aula.
Os currículos de Matemática para o Ensino Médio não devem ser uma
lista de conteúdos a serem seguidos em sala de aula, numa série ou curso, e sim
uma interlocução de ações estratégicas dentro de um programa educacional capaz
de integrar características emergentes da sociedade, que busque uma prática
educativa criativa através da utilização de parâmetros metodológicos capazes de
alcançar as metas do ensino de Matemática.
26
CAPÍTULO II: MODELAGEM MATEMÁTICA NA EDUCAÇÃO
2.1 Modelagem Matemática: definições, raízes e ensino
A Modelagem Matemática é considerada uma arte de traduzir situaçõesproblema reais em linguagem matemática podendo ser utilizada como metodologia
de ensino em vários tipos e níveis de educação (BIEMBENGUT, 1999; BASSANEZI,
2004). O trabalho de modelar matematicamente requer algumas considerações
acerca do grau de escolaridade, do currículo, do tempo, de alunos e professores,
assim como a formação e os saberes do professor, visto que estas variáreis são
fatores determinantes no sucesso ou fracasso deste processo metodológico.
Definir Modelagem Matemática é uma tarefa complicada diante as várias
abordagens dadas a metodologia em questão, aqui apontaremos concepções de
alguns autores tendo em vista a compreensão do que é essa ferramenta de ensino.
De acordo com Biembengut (1999), a Modelagem Matemática é
considerada um processo artístico-matemático que objetiva gerar um modelo para
solucionar um problema de cadeia geral e específica. Assim, “[...] a modelagem, arte
de modelar, é um processo que emerge da própria razão e participa da nossa vida
como forma de constituição e de expressão do conhecimento” (BIEMBENGUT,
1999, p. 19).
Na abordagem conceitual de Bassanezi (2006, p. 16), “[...] Modelagem
Matemática consiste na arte de transformar problemas da realidade em problemas
matemáticos e resolvê-los interpretando suas soluções na linguagem do mundo
real”, esse panorama pode conduzir a aprendizagem matemática através da
exploração de aptidões dos educandos.
As considerações de Barbosa (2003b, p.02) admitem que a Modelagem
Matemática é um ambiente de aprendizagem que permite articular conceitos
matemáticos:
[...] o ambiente de Modelagem está associado à problematização e
investigação. O primeiro refere-se ao ato de criar perguntas e/ou problemas
enquanto que o segundo, à busca, seleção, organização e manipulação de
informações e reflexão sobre elas. Ambas atividades não são separadas,
mas articuladas no processo de envolvimento dos alunos para abordar a
atividade proposta. Nela, podem-se levantar questões e realizar
investigações que atingem o âmbito do conhecimento reflexivo.
27
As idéias de Burak (1992, 2004, 2005) ilustram a essência da Modelagem
Matemática como instrumento de construção do conhecimento atribuindo a mesma
um aspecto de compreensão e significação das relações matemáticas. Em sua tese
de doutorado especifica que a contextualização do ensino através da Modelagem
Matemática “constitui-se em um conjunto de procedimentos cujo objetivo é construir
um paralelo para tentar explicar matemáticamente, os fenômenos presentes no
cotidiano do ser humano, ajudando-o a fazer predições e a tomar decisões”
(BURAK, 1992, p. 62).
Como já mencionado, há muitas situações cotidianas que podem ser
interpretadas através de soluções matemáticas envolvendo uma matemática
elementar ou uma mais aprofundada. Para se chegar à resolução de um problema, a
produção de formulações matemáticas detalhadas requer soluções e deduções
representadas por símbolos e relações matemáticas que pretendem expressar o
fenômeno ou situação da realidade objetivando se chegar ao modelo matemático.
Modelo pode ser entendido, então, como uma abstração da mente
através da tentativa de compreender e expressar intuitivamente uma relação de
forma dedutiva. No que afirma Bassanezi (2004):
Um modelo matemático é um conjunto consistente de equações ou
estruturas matemáticas, elaborado para corresponder a algum fenômeno –
este pode ser físico, biológico, social, psicológico, conceitual ou outro
modelo matemático (p. 174).
Desde as primeiras concepções matemáticas, o ser humano articula
formas para expressar os fenômenos que ocorrem a sua volta, sejam naturais ou
sociais. O resultado deste processo é denominada modelo e está presente em
várias áreas: arte, moda, arquitetura, história, economia, literatura, matemática
(BIEMBENGUT, 1999). Talvez seja esta a essência da Modelagem Matemática:
fazer interlocuções entre as ciências através de um processo criativo.
O desenvolvimento da Matemática foi realizado gradualmente através da
percepção de argumentos matemáticos realizados de acordo com as necessidades
da sociedade, os quais foram aperfeiçoados continuamente com progressos
provenientes da expansão do conhecimento. “A Matemática tem uma longa história
repleta de conhecimentos, descobertas e curiosidades, apesar de no começo esta
28
ter sido usada apenas para as necessidades básicas [...]” (OLIVEIRA; ALVES &
NEVES, 2009, p. 08).
Os conhecimentos matemáticos foram sendo elaborados a partir da
necessidade de buscar soluções para os problemas cotidianos, neste sentido a
Modelagem Matemática de situações foi surgindo como forma de apropriação
fenomenológica (BIEMBENGUT, 1999). A partir do ideário de Miorim (1998), não é
possível datar e localizar o surgimento da Modelagem Matemática, o que podemos
dizer é que trata-se de um método que surgiu há bastante tempo e que os egípcios,
babilônicos e gregos foram os povos que mais modelaram situações da realidade
prática, chegando aos modelos que conhecemos hoje.
A modelagem e o desenvolvimento de modelos ocorreram durante
momentos históricos importantes para a Matemática, a saber: a invenção da roda,
cerca de 3000 a.C. quando os sumérios observaram que um tronco de árvore rolava
em um declive e poderiam locomover volumes pesados através da sustentação por
objetos rolantes; no mesmo período, os egípcios criaram técnicas de medição e
demarcação de terras em relação às águas do rio Nilo, gerando modelos
geométricos para a resolução de seus problemas quanto às enchentes; os
babilônicos criaram, cerca de 2000 a.C., modelos de acordo com os movimentos
celestiais para a viagem de seus governantes; os gregos (1500 a. C.) contribuíram
satisfatoriamente com a elaboração de modelos matemáticos principalmente no
campo da Geometria.
Uma gama de modelos desenvolvidos durante o progresso da Matemática
pode ser identificada para evidenciar as raízes e contextos do surgimento da
Modelagem Matemática. Nesse sentido, destacamos a pesquisa de Chaves (2005,
24-6) sobre o desenvolvimento de modelos durante a História da Matemática: Tales
de Mileto (639 – 568 a.C.) que utilizou varas e sombras para determinar a atura das
pirâmides através da semelhança de triângulos; Pitágoras (570 -500 a.C.) fundou a
escola “Tudo é número” onde adoravam os números que para eles faziam parte das
coisas, desenvolvendo modelos na área de Teoria dos Números e de Geometria,
assim como a relação entre razões numéricas e notas musicais; Platão (427 - 347
a.C.) desenvolveu modelos para o caráter das pessoas, de acordo com suas ideias
filosóficas; Eudoxo (488 – 355 a.C.) modelou os fenômenos celestes em torno da
Terra; Euclides (300 a.C. - ) matematizou modelos geométricos e organizou-os em
“Os Elementos”; Arquimedes (287 – 212 a.C.) modelou fenômenos físicos e deduziu
29
as leis das alavancas e roldanas; Eratóstenes (276 – 194 a.C.) criou um modelo
para calcular o raio da Terra e um dispositivo para calcular os números primos
menores que n: o crivo de Eratóstenes; Diofanto (325 - 409) contribuiu para o
desenvolvimento da álgebra.
Diante desse referencial, podemos notar que a Modelagem Matemática é
compreendida como um processo presente durante o surgimento e desenvolvimento
da Matemática e de outras ciências através da criação de modelos e teorias
matemáticas. Atualmente temos conceitos matemáticos desenvolvidos durante a
história da humanidade que são trabalhados dentro da sala de aula, a Modelagem
Matemática pode utilizar essas relações e articular a elaboração dos mesmos
através do estudo de fenômenos levando à criação de outros modelos.
A importância de estruturar a aquisição do conhecimento matemático
requer estratégias alternativas de ensino-aprendizagem com finalidade
de
compreendê-lo e explorá-lo. Nesse sentido, a Modelagem Matemática “[...] é um
processo que alia teoria e prática, motiva o usuário na procura do entendimento da
realidade que o cerca e na busca de meios para agir e transformá-lo [...]”
(BASSANEZI, 2006, p. 17).
A aprendizagem matemática não está relacionada simplesmente a
aquisição de conceitos formados e sim na formalização de conhecimentos que
devem ser constituídos a partir de outros que foram ensinados anteriormente, assim,
através da Modelagem Matemática, o aluno pode interagir com o universo
matemático que lhe é apresentado proporcionando a capacidade de resolução de
problemas matemáticos ou cotidianos. Diante disso, Barbosa (2001a) relata que:
Modelagem pode ser entendida em termos mais específicos. Do nosso
ponto de vista, trata-se de uma oportunidade para os alunos indagarem
situações por meio da matemática sem procedimentos fixados previamente
e com possibilidades diversas de encaminhamento. Os conceitos e idéias
matemáticas exploradas dependem do encaminhamento que só se sabe à
medida que os alunos desenvolvem a atividade [...] (p.05).
Para que o estudo de uma situação-problema seja evidenciado na
aquisição de modelos matemáticos, o aluno deve levantar uma hipótese, testá-la,
corrigí-la, inferir, transferir, transcender e generalizar com o intuito de instigar sua
capacidade intelectual que deve ser evidenciada através de um ensino desvinculado
de métodos tradicionais que buscam apenas memorizações e não aplicações e
30
aprendizados.
É nesse contexto que a Modelagem Matemática tem significado ao
ensino-aprendizagem, uma vez que permite trabalhar com a realidade dos alunos
independente do contexto e de sua complexidade. Assim, parafraseando
Biembengut (1999), o ensino de Matemática imbricado na Modelagem faz com que
alunos e professores estabeleçam análises e reflexões sobre a realidade a partir dos
modelos elaborados, entendendo e incorporando conhecimentos matemáticos na
compreensão da sociedade em que vivem.
Como já foi apresentado em idéias anteriores, Modelagem Matemática
trata do processo interativo de aquisição de um modelo que serve para solucionar
situações do contexto estudado. Nesse método, a linguagem do mundo é traduzida
em linguagem matemática a qual assume destaque na representação de expressões
da realidade em situações matemáticas.
Nesse sentido, Mendes (2009, p. 83-4) diz que:
O resultado da utilização pedagógica dessa tendência evidencia o fato de
que o aluno é levado a seguir uma lógica viva de descoberta, em vez da
lógica estática de organização do já conhecido. Os conteúdos anteriormente
estudados adquirem um novo significado e se constituem em redescobertas
que dão ao aluno condições de perceberem o processo de formalização
desses conceitos [...].
É nesse aspecto que a Modelagem Matemática enquanto metodologia de
ensino pode intervir na aprendizagem dos alunos possibilitando-os desenvolver mais
interesse pela disciplina através do estudo de situações cotidianas por meio de
pesquisas que permitam aplicações da Matemática em outras ciências e/ou no diaa-dia.
No que diz Soistak e Burak (2005) a metodologia da qual estamos
tratando pode ser tida “[...] como uma alternativa de ensino que busca relacionar os
conhecimentos práticos do aluno, do seu cotidiano com conhecimentos matemáticos
sistematizados na escola, a partir de um tema de seu interesse” (p. 02).
Esse ponto de vista é discutido por muitos autores em seus estudos e
pesquisas, pois a pesquisa em Modelagem Matemática como metodologia de ensino
é um campo que vem recebendo gradualmente adeptos tendo em vista a
diversidade de trabalhos geralmente apresentados em eventos e periódicos
específicos da Educação e da Educação Matemática.
31
2.2 Procedimentos da Modelagem Matemática no ensino
A elaboração de modelos matemáticos permite compreender, simular e
prever a situação em questão através de aproximações condizentes com a
realidade, pois é uma maneira simplificada para entender melhor os aspectos do
fenômeno estudado, seja ele verídico ou fictício.
O trabalho da Modelagem Matemática procura associar matemática e
realidade que, a priori, são dois campos independentes. De acordo com Biembengut
(1999), temos o seguinte esquema:
situação real
Modelagem Matemática
matemática
modelo
Esquema 01: Processo de Modelagem Matemática.
Fonte: BIEMBENGUT, 1999, p. 21.
O desenvolvimento desse esquema envolve uma sequência de
procedimentos que possibilita a obtenção do modelo matemático, os quais podem
ser agrupados em três etapas apresentadas em seis subetapas, como segue:
Interação
Situação
Familiarização
Matematização
Formulação
Esquema 02: Dinâmica da Modelagem Matemática.
Fonte: BIEMBENGUT, 1999, p. 23.
Resolução
Modelo Matemático
Interpretação
Validação
32
Na etapa de Interação, o problema deve ser conhecido através de
estudos e pesquisas em livros, revistas e sites especializados ou de experiências e
de dados informados por especialistas. Esta etapa está subdividida em duas:
reconhecimento da situação-problema e familiarização com o assunto a ser
modelado (pesquisa), porém não é necessário ter-la como sequência ou como fase
obrigatória para passar para a seguinte, pois quanto mais se interagir com os dados
maior será o conhecimento sobre a problemática estudada.
Outra etapa definida pela autora é a Matematização do problema que se
objetiva traduzir da linguagem natural para a linguagem matemática em forma de um
conjunto de expressões aritméticas, fórmulas algébricas ou representações gráficas
que permitam a dedução de uma solução, este momento é denominado de
formulação do problema ou hipótese por apresentar características sobre o
levantamento de informações, fatores, constantes, variáveis, símbolos e relações
inerentes ao estudo da situação-problema.
Após a verificação de termos matemáticos que expressam uma possível
solução ao problema apresentado, propõe-se que seja feita a resolução do problema
em termos do modelo. Neste momento do processo da Modelagem é imprescindível
um conhecimento aprofundado sobre a matemática adquirida na formulação.
O processo de modelar matematicamente suscita a elaboração de Modelo
Matemático, nesta etapa é trivial a relação entre o modelo encontrado e a situação
que se modelou visando verificar a viabilidade e precisão da estrutura modelada.
Caso o modelo não apresente uma solução para o que está sendo analisado, e isto
pode ser verificado validando o modelo, é necessário retornar para a etapa de
Matematização para que as possíveis alterações procedimentais sejam realizadas.
2.3 Modelagem Matemática X Currículo
O currículo de Matemática é determinante para o ensino e a
aprendizagem da disciplina quando propicia o desenvolvimento do aluno. O sistema
educacional estabelece um currículo escolar e exige que seja cumprido em
decorrência da estrutura da organização tradicional estabelecido na escola.
O desenvolvimento de atividades de Modelagem Matemática configura
abordagens curriculares a partir de experiências vividas pelos alunos. Barbosa
(2003a, p. 74) assume que “[...] incorporá-la na escola deve significar também o
33
movimento do currículo de matemática para um paradigma baseada na investigação
e exploração dos alunos”.
Partindo desta perspectiva, o ensino de matemática via Modelagem deve
privilegiar os tópicos relevantes do conteúdo programático, os quais devem ser
interligados durante o desenvolvimento da disciplina. Assim, a metodologia da
Modelagem Matemática, enquanto ação pedagógica, auxilia o processo ensinoaprendizagem evidenciando os conteúdos escolares, ao considerar o educando
como agente do trabalho de investigação que permita a ação crítica do aluno
perante a sociedade globalizada, na qual estamos inseridos.
Nas atividades de Modelagem Matemática os conteúdos matemáticos são
trabalhados de acordo com o problema da pesquisa e são abordados com mais
significado em contrapartida ao sistema comum de ensino onde é o currículo que
determina o problema a ser estudado. Na Modelagem, a sequencia dos conteúdos é
dada de acordo com as atividades através do surgimento de novas idéias que
exigem outros tópicos matemáticos que os alunos já conhecem ou descobrem
durante o processo.
Dessa maneira, o trabalho com a Modelagem Matemática contribui para
que a construção do conhecimento de determinado conteúdo matemático seja
realizada de forma mais significativa. No entanto, o currículo estabelecido para cada
série deve ser evidenciado quando se utiliza a metodologia apresentada. As
considerações de Caldeira (2009, p. 37) evidenciam as nossas proposições quando
diz que:
[...] tais implicações não caracterizam uma educação matemática na qual o
estudante simplesmente aprenda o que ele utilizará na semana seguinte, no
seu cotidiano, mas aquela que selecione e apresente os conteúdos
matemáticos necessários para uma compreensão de sua própria realidade
e o fortalecimento dos vínculos socais.
É nesse sentido que a adoção da Modelagem Matemática como proposta
de trabalho em sala de aula deve explorar os conteúdos curriculares, com o
propósito de dar significado aos tópicos matemáticos, através do desenvolvimento
de vários conteúdos na apreciação do problema de investigação. Assim, um
conteúdo pode ser visto várias vezes em diferentes momentos e em diferentes
trabalhos de Modelagem Matemática, levando o aluno a compreender a importância
34
desta metodologia de ensino de Matemática para o cotidiano, visando a formação
cidadã.
2.4 O professor e a utilização da Modelagem Matemática em sala de aula
Nos últimos anos várias pesquisas em diversos países vêm sendo feitas
para verificar as contribuições da Modelagem Matemática para o ensino, gerando
uma extensa literatura com concepções de que a metodologia deve ser utilizada
apenas sob o aspecto de melhoria do aprendizado de conceitos matemáticos,
todavia há outros que defendem a idéia de ensinar matemática por meio da
Modelagem.
O professor, portanto, deve identificar como esta vertente será utilizada
na sua prática docente tendo em vista a elaboração de estratégias que inspirem o
cotidiano da sala de aula.
A condição necessária para o professor implementar modelagem no ensino
é ter audácia e um forte desejo de modificar sua prática. Além disso, deve
procurar ter um bom embasamento sobre modelagem no ensino. Isso
implica realizar um estudo na literatura disponível sobre modelagem,
estudar alguns modelos clássicos, elaborar alguns modelos matemáticos,
procurando conhecê-los e, se possível, implementar experiências
semelhantes no ensino (BIEMBENGUT, 1999, p. 41).
Neste âmbito, trabalhar com Modelagem Matemática é como um desafio
para o professor uma vez que este deve desempenhar o papel de mediação na
realização da prática metodológica enquanto o aluno é configurado como
participante ativo no processo de modelar matematicamente, assim o professor
deixa de ser “doador” do conhecimento e o aluno “receptor”.
Tendo em vista essa discussão, as concepções de Machado Jr. e Espírito
Santo (2004) concebem que:
Neste enfoque o professor assume características diferentes, tem o papel
de mediador da relação ensino aprendizagem, deve orientar o trabalho
tirando dúvidas e colocando novos pontos de vista em relação ao problema
tratado e outros aspectos que permitam aos alunos pensarem sobre o
assunto. [...]
Pode ser útil o professor proporcionar um momento de discussão durante a
realização da tarefa com o objetivo de ajudar os alunos a vencer certas
dificuldades. A discussão final sobre a atividade e conclusões dos alunos é
também uma boa ocasião para promover a reflexão sobre o trabalho. (p.
79).
35
A Educação, em seu aspecto tradicional, tem o professor como condutor
do processo ensino-aprendizagem. Porém, quando a metodologia da Modelagem
Matemática é implementada na sala de aula, o professor passa a compartilhar as
situações de ensino para que haja a efetivação da aprendizagem. Nesse sentido, o
professor admite o papel de socializador do saber e não transmissor e detentor, o
centro do processo.
A possibilidade de se praticar Modelagem Matemática no contexto
educacional permite que os professores tenham novos olhares acerca da Educação
através da apropriação de uma nova postura profissional. No que concebe Barbosa
(2002, p. 01) sobre a Modelagem como linha da Educação Matemática, “[...] os
professores devem conhecê-la para decidirem autonomamente sobre a inclusão
desse ambiente de aprendizagem – e de que modo – nas suas práticas docentes”.
Segundo Biembengut (1999) há um certo mal entendido por parte de
alguns professores sobre a utilização da Modelagem Matemática no ensino. A
autora aponta os exemplos mais comuns: uso de um tema para identificar conteúdos
matemáticos; o professor inicia o processo, mas não dá continuidade.
No contexto da Modelagem Matemática como recurso para a prática
docente de professores, alguns autores (BARBOSA, 2001b, 2002; OLIVEIRA, 2007)
desenvolvem pesquisas no campo da formação inicial e relatam resultados
satisfatórios no que diz respeito a práticas de Modelagem na sala de aula. Segundo
os autores, os professores, a partir do conhecimento da Modelagem Matemática,
adquirem novas concepções dando luz a novos métodos para a melhoria de ensino
da Matemática.
Nesse paradigma de mudanças de concepções em relação à Matemática,
os educadores matemáticos, por fazer a relação entre matemática e educação como
alicerce para a formação intelectual e social dos alunos (FIORENTINI &
LORENZATO,
2007),
devem
conduzir
atividades
de
Modelagem
para
o
desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas relacionadas ao seu
cotidiano.
36
CAPÍTULO III: A MODELAGEM MATEMÁTICA NO ENSINO MÉDIO: A PESQUISA
E SEUS RESULTADOS
3.1. A escola
A pesquisa de campo foi realizada em uma instituição de ensino médio da
rede pública estadual, a qual concedeu a oportunidade de realizarmos a
investigação. Realizamos o estudo na Escola Estadual de Ensino Médio Frei Miguel
de Bulhões que está localizada na Rua Antonio Carlos de Lima, s/n, no Bairro Vila
Nova, próximo ao centro de São Miguel do Guamá, no estado do Pará. No ano de
2009 foram matriculados cerca de mil e quinhentos alunos distribuídos nos turnos
matutino, vespertino e noturno.
A estrutura física da escola é disposta em cinco blocos que compreendem
uma diretoria, uma sala da coordenação pedagógica, doze salas de aulas, uma sala
de professores, um laboratório multidisciplinar de ciências, um laboratório de
informática, uma sala de multimídia, uma biblioteca, uma secretaria, uma sala de
fotocópias, um almoxarifado, uma copa, uma cantina, uma quadra esportiva e dois
banheiros – um feminino e outro masculino.
O corpo pedagógico da escola é formado por um diretor, não possuindo
vice-direção, seis técnicos pedagógicos, dez funcionários de secretaria e trinta e três
professores, sendo cinco de Matemática.
3.2 Os personagens
A pesquisa realizada contou com sujeitos inseridos no contexto escolar
que como participantes ativos do processo contribuíram para o cumprimento das
ações planejadas.
Participaram da pesquisa 46 alunos, concluindo o processo apenas 44, da
turma M1MR042. O professor da turma atua na educação média desde 2008, ano
em que concluiu o curso de Licenciatura Plena em Matemática na Universidade do
2
A nomenclatura dada às turmas da escola significa, no caso: M – manhã; 1 – 1ª série; M – médio; R
– regular; 04 – número da turma.
37
Estado do Pará (UEPA) e que conseguiu aprovação no concurso para professor de
Matemática da Secretaria de Estado de Educação (SEDUC) do Estado do Pará.
Neste cenário, como pesquisadores, assumimos papel importante no
desenvolvimento desse trabalho, pois através da proposta pretendemos direcionar
caminhos para a Educação Matemática no município.
3.3 O contexto
O trabalho de investigação desenvolvido teve como contexto uma
problemática da realidade do município de São Miguel do Guamá a qual
descreveremos a seguir.
Ao longo de muitos anos o serviço de abastecimento de água do
município foi fornecido pela empresa S.A.A.E. (Serviço de Abastecimento de Água e
Esgoto) que, independentemente da quantidade de consumo, cobrava uma taxa
única para todas as residências que usufruíam deste sistema. Porém, as críticas
acerca da água fornecida levaram as famílias a optarem por outras formas de
abastecimento como a perfuração de poços artesianos em suas residências.
Um fato importante a se considerar é sobre a situação da água no período
correspondente ao final do mês de novembro e início de dezembro quando acontece
o Círio de Nossa Senhora de Nazaré de São Miguel do Guamá, nesse intervalo de
tempo, tanto o consumo como a falta de água tornam-se mais intenso em
decorrência das visitas que a população recebe em suas casas. Essa situação leva
moradores de alguns bairros a buscarem estratégias para obter água, tais como ligar
a torneira pela madrugada e carregar água de afluentes.
O maior problema da água talvez seja o desperdício ocasionado pela falta
de conscientização dos moradores sobre a moderação do consumo, pois pagando
apenas uma taxa os consumidores não se importavam com consumos exagerados e
com desperdícios, por exemplo.
No ano de 2009, a Prefeitura Municipal de São Miguel do Guamá
privatizou o serviço através de uma licitação no sentido de promover a melhoria do
abastecimento de água no município. A empresa ENDICON, Engenharia de
Instalações e Construções LTDA, ganhou o direito de administrar o serviço de
abastecimento da água sendo fiscalizada pela ARSAE (Agência Regularizadora dos
Serviços de Água e Esgoto).
38
A questão da qualidade da água passou a ser normatizada pela empresa
através do tratamento com produtos específicos, assim como a vazão da mesma
passou a ser considerada mais intensa devido ao sistema de encanamento proposto
pela entidade. Agora o problema é outro: a cobrança da tarifa de seu consumo.
Uma medida da empresa para controlar o consumo de água foi instalar
hidrômetros, aparelho comumente chamado de medidor ou relógio de água, nas
residências que usufruem do sistema de abastecimento de água. Para saber quanto
uma família paga em determinado mês, é realizada a leitura do mostrador do
hidrômetro através da diferença da leitura do mês anterior pelo mês atual.
Os cálculos dos valores das tarifas são feitos de acordo com três
categorias: residencial social; residencial; comercial, industrial, pública. As tarifas
que deveriam ser cobradas pela ENDICON seriam a da proposta da licitação
mostrada a seguir:
PROPOSTA DA LICITAÇÃO
Categoria
Tipo
1
Residencial
Social
2
Residencial
3
Comercial
Industrial
Pública
Faixa de
Consumo
(m3/mês)
TRA
Tarifa
Referencial
de Água (R$/
m3)
Fórmula – ((TRA
+ (K ofertado))=
(Tarifa
Referencial a ser
aplicada).
Valor
Final
Usuário
(R$/ m3)
0 a 10
11 a 20
21 a 30
0 a 10
11 a 20
21 a 30
31 a 50
> 50
0 a 10
11 a 20
21 a 30
31 a 50
> 50
0,43
0,73
0,94
0,86
1,45
1,88
2,34
3,26
1,38
2,16
3,09
3,88
4,09
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,00
1,43
1,73
1,94
1,86
2,45
2,88
3,34
4,26
2,38
3,16
4,09
4,88
5,09
Tarifa
Mínima
14,30
14,80
23,80
Tabela 01: Demonstrativo dos valores a serem pagos propostos na licitação.
Fonte: ARSAE (2009).
Porém, a partir dos dados disponibilizados pela ARSAE, em dezembro de
2009, de acordo com o estabelecido entre a empresa e o órgão regularizador os
valores a pagar pela quantidade consumida são cobrados de acordo com a tabela a
seguir:
39
SITUAÇÃO ATUAL
Categoria
Tipo
1
Residencial
Social
2
Residencial
3
Comercial
Industrial
Pública
Faixa de
Consumo
(m3/mês)
TRA
Tarifa
Referencial
de Água (R$/
m3)
Fórmula – ((TRA
+ (K ofertado))=
(Tarifa
Referencial a ser
aplicada).
Valor
Final
Usuário
(R$/ m3)
0 a 10
11 a 20
21 a 30
0 a 10
11 a 20
21 a 30
31 a 50
> 50
0 a 10
11 a 20
21 a 30
31 a 50
> 50
0,43
0,73
0,94
0,86
1,45
1,88
2,34
3,26
1,38
2,16
3,09
3,88
4,09
0,31
0,00
0,00
0,62
0,00
0,00
0,00
0,00
1,00
0,00
0,00
0,00
0,00
0,74
0,73
0,94
1,48
1,45
1,88
2,34
3,26
2,38
2,16
3,09
3,88
4,09
Tarifa
Mínima
7,40
14,80
23,80
Tabela 02: Demonstrativo dos valores atuais a serem pagos.
Fonte: ARSAE (2009).
3.4 A Metodologia
O trabalho desenvolvido na pesquisa teve como principal objetivo
investigar as principais contribuições da Modelagem Matemática no ensino médio
através da compreensão do dia-a-dia dos alunos. Para isso, adotamos uma
abordagem educacional para que os alunos sistematizassem relações matemáticas
a fim do entendimento de relações cotidianas.
Neste aspecto, realizamos nossa pesquisa buscando entender que
contribuições a Modelagem Matemática proporciona para a compreensão da
realidade dos alunos do ensino médio?
Como tema do trabalho de Modelagem Matemática foi escolhida a
problemática da tarifação do consumo de água no município de São Miguel do
Guamá. Através do trabalho de investigação realizado no ensino médio, são
apresentados indícios da aplicação da Modelagem Matemática enquanto estratégia
de ensino e aprendizagem de Matemática na facilitação do entendimento do que
ocorre na realidade.
No sentido de entender a problemática apresentada e chegar a modelos
matemáticos que interpretassem as ações desenvolvidas, optamos por conduzir a
investigação por meio de uma abordagem qualitativa metodológica, para tal
40
utilizamos instrumentos como questionários, observação e anotações durante a
vivência com Modelagem Matemática, assim como registros dos alunos.
Para alcançar nossos objetivos, dividimos a pesquisa de campo em três
atividades: Questionário 01; Hidrômetros em São Miguel do Guamá; Questionário
02.
3.4.1 Atividade I: Questionário 01
Antes de iniciar a atividade de Modelagem Matemática, foi aplicado um
questionário com todos os alunos com perguntas abertas e fechadas com o objetivo
de identificar suas opiniões sobre a compreensão do ensino de Matemática e suas
relações com o cotidiano além de instigar suas idéias acerca da situação-problema
apresentada nessa pesquisa onde o consumo de água é o alvo.
3.4.2 Atividade II: Hidrômetros em São Miguel do Guamá
Como já apresentado, estudar a realidade quando se estuda matemática
permite uma compreensão recíproca uma da outra. Nesse contexto educacional, a
atividade de Modelagem Matemática desenvolvida na sala de aula é uma alternativa
que proporciona o envolvimento da Matemática com a realidade dos alunos.
A atividade intitulada Hidrômetros em São Miguel do Guamá foi
desenvolvida em 2 horas/aulas e teve como objetivo evidenciar o processo de
tarifação da conta de água, o uso racional de água e a preservação da natureza,
bem como reforçar a aprendizagem de conceitos de Função de 1º grau 3.
3.4.3 Atividade III: Questionário 02
Este questionário foi apresentado depois da realização da atividade de
Modelagem Matemática objetivando fazer um diagnóstico sobre as contribuições da
alternativa metodológica para o processo ensino-aprendizagem de Matemática no
ensino médio. Neste momento, ficou aberto um espaço para que os alunos
3
Análises semelhantes foram feitas por Chaves et al. (2004) e Chaves (2005).
41
expressassem suas concepções sobre a aplicação da Modelagem Matemática em
sala de aula e a situação-problema estudada.
3.5 A análise
3.5.1 Do Questionário 01
A análise a seguir trata da aplicação de um questionário (Apêndice 01)
antes da realização da atividade de Modelagem Matemática na turma em que
realizamos a pesquisa. Esse questionário era composto por 8 perguntas – 5
totalmente fechadas, 2 abertas e 1 semi-aberta – que tinham a finalidade de sondar
as concepções dos alunos sobre a Matemática, seu ensino e suas aplicações,
fazendo um elo sobre as opiniões sobre a tarifação do consumo de água no
município.
A questão número 1 do questionário trazia a seguinte indagação: Você
gosta de estudar Matemática?. Com essa pergunta queríamos saber qual o
interesse dos alunos pela disciplina. A pergunta era de cunho objetivo tendo como
alternativa “Sim” ou “Não”, porém alguns dos discentes relataram que tinham certo
interesse, mas não gostavam totalmente, assim pediram para colocar “Mais ou
menos” como alternativa, sendo deferido o pedido por entendermos que seria
necessário ter uma opção que expressasse a afetividade dos alunos.
Nesse sentido, como mostra o gráfico 01, a maioria dos alunos tem certa
afinidade em estudar Matemática uma vez que 47,83% dizem que gostam de fazer
estudos referentes a disciplina e 23,91% admitem possuir algum interesse pela
ciência, outros 26,09% da turma não gostam da disciplina possuindo aversão até
mesmo ao nome e 2,17% preferiram não responder a esta questão.
42
Gráfico 01: Frequência das repostas do aluno pelo estudo de Matemática.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
Diante as respostas dadas pelos alunos, notamos que grande parte não
possui interesse pelos estudos da Matemática em decorrência da forma usual que o
ensino da disciplina tem assumido nas escolas e nas práticas dos professores o que
incapacita os educandos a enfrentarem a realidade do mundo contemporâneo
(CHAVES, 2005).
A segunda pergunta do questionário indagou o aluno procurando
identificar se as aulas de Matemática são realizadas envolvendo situações do
seu cotidiano?. Nessa análise percebemos que os educandos responderam que às
vezes (91,30%) ou sempre (8,70%) situações do seu dia-a-dia são relacionadas nas
aulas de Matemática, como mostra o gráfico 02:
Gráfico 02: Frequência de respostas sobre o ensino de Matemática relacionado com o cotidiano.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
43
O gráfico dá indícios de que vem ocorrendo uma postura diferenciada em
relação ao ensino da Matemática, podendo vir a favorecer o desenvolvimento da
atividade de Modelagem Matemática, uma vez que os alunos já têm a experiência
de trabalhar em sala de aula com situações envolvendo o cotidiano, mesmo que
eventualmente, pois o professor da turma se preocupa em mostrar uma Matemática
além das fórmulas. De acordo com essas idéias, Mendes (2009, p. 10) corrobora
afirmando que é necessário “[...] abordar a matemática enquanto uma atividade
referente à efetivação de um pensamento ativo que busca construir soluções para os
processos lógico-interrogativos surgidos no dia-a-dia [...]”.
Em relação a interrogativa: Em sua opinião, a Matemática é importante
para a compreensão da realidade? Por quê?. Temos:
Gráfico 03: Importância da Matemática para a compreensão da realidade na visão dos alunos.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
De acordo com o gráfico 03, é possível observar que aproximadamente
87% dos alunos consideram a Matemática importante para a compreensão da
realidade, justificando o fato a questões do seu próprio cotidiano e/ou de importância
da mesma de forma geral para o mundo, como:
- Por que muitas vezes que a gente vai ao banco, ao mercado, a gente
precisa da matemática, ela faz parte de nossa vida.
- Porque praticamente tudo que fazemos, por exemplo, se formos
comprar alguma coisa, nós precisamos da matemática.
44
- Por que o dólar cai e sobe, entre outras coisas, e sem a matemática
nem teríamos noção do que se passa.
- Por que ela mostra como a gente pode refletir sobre o que acontece no
mundo.
Os relatos acima evidenciam a visão que a maioria dos alunos tem em
relação à utilidade da matemática para o nosso dia-a-dia como uma ciência que
explica a realidade. Os alunos que afirmaram que essa relação não existe
correspondem a 10,87% defendendo o seu ponto de vista quando apontam que:
- Porque eu acho que não tem nada a ver com a nossa realidade.
- Pois, pra mim às vezes a gente estuda tanto pra depois conseguir um
trabalho que não se utiliza quase a matemática, apesar dos números
participar geralmente do nosso dia a dia.
- Não vejo no que retrata a realidade.
- Não, porque nem tudo dentro da sociedade é importante a matemática.
- Por que a matemática pode estar no nosso dia-a-dia para compreensão
da realidade não depende tanto assim da matemática.
Assim, percebemos que esses alunos têm sua aversão interior a
disciplina que pode ter sido desenvolvida por não compreenderem que a Matemática
tem seu valor nas relações pessoais, ou por no decorrer de sua formação não ter
havido incentivo/exemplos/práticas para que chegassem a conclusão de que a
Matemática está compreendida até mesmo em suas mãos.
As demais perguntas do questionário serviram para identificar as
primeiras idéias sobre a problemática da tarifa de água que ainda não tinha sido
apresentada como fonte de investigação matemática naquelas aulas. A quarta
questão instigou os alunos assim: Atualmente, o abastecimento de água de sua
residência é feito de que forma? (Gráfico 04).
45
Gráfico 04: Forma de abastecimento de água nas residências dos alunos.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
A partir do exposto nas identificações acima, apenas 19,56% dos alunos
moravam em residências com hidrômetros, as moradias dos outros alunos possuem
outro tipo de abastecimento de água, como poço (26,09%) ou água encanada sem
hidrômetro (45, 65%), esta última deve ocorrer devido ao fato de que a empresa
ainda não havia instalado os aparelhos de hidrômetros em todos os bairros do
município ou por que alguns alunos moravam em localidades vizinhas.
No sentido de compreender o que os alunos pensam acerca do
abastecimento de água na cidade foi exposto o questionamento: Qual a sua
opinião sobre o atual sistema de abastecimento de água em São Miguel do
Guamá? O gráfico mostra que a população, representada pelos alunos neste
estudo, não está satisfeita com os serviços oferecidos na medida em que 36,96%
consideram ruim e outros 36,96% acham regular sendo que apenas 21,74% dizem
ser bom e 4,34% ótimo.
46
Gráfico 05: Demonstrativo das opiniões dos alunos sobre o abastecimento de água no município.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
Como a maioria dos alunos demonstra não estar satisfeita com o sistema
de abastecimento de água, seja pela sua qualidade ou pela forma de cobrança,
percebemos que os serviços devem ser melhorados para garantir melhorias para a
população que, representada pelos alunos, expressa seus pontos de vista no
sentido de buscar melhores alternativas para o problema da água no município.
A sexta pergunta proporcionou aos alunos que identificassem as formas
de desperdício de água que mais estão presentes no seu dia-a-dia. Quais formas
de desperdício de água você pratica e/ou presencia em seu dia-a-dia?. Nesse
momento eles puderam marcar as alternativas que lhes fossem comuns, distribuídas
na Tabela 03:
Formas de desperdícios
Número de respostas
Escovar os dentes com a torneira aberta
19
Lavar o carro com mangueiras e não com baldes
11
Dar mais de uma descarga no banheiro
12
Se ensaboar deixando o chuveiro ligado
23
Lavar louça com a torneira sempre ligada
25
Gotejamento, vazamento e infiltrações
11
Outra
1
Tabela 03: Formas de desperdício de água praticadas e/ou presenciadas pelos alunos.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
47
Através desta pergunta, verificamos que todas as formas de desperdício
foram apontadas pelos alunos sendo que as mais praticadas são “Lavar louça com a
torneira sempre ligada” e “Se ensaboar deixando o chuveiro ligado” o que pode estar
relacionado à falta de conscientização por parte dos alunos. As maneiras de
desperdiçar água indicadas pelos alunos são comumente realizadas em nosso diaa-dia, assim podemos dizer que, de maneira geral, são praticadas pela maioria das
pessoas.
A sétima pergunta: O que você acha sobre a utilização de hidrômetros
no abastecimento de água no município? gerou uma diferenciação nas respostas
dadas pelos alunos, pois cada um relatou o que acontece em sua residência ou em
seu bairro, como podemos evidenciar nas falas a seguir:
- Bom por um lado, que aumenta a consciência do desperdício da água, e
ruim porque as pessoas irão pagar pela água.
- Eu acho uma forma muito justa pagar pelo tanto que usa.
- Bom, porque as pessoas vão dar mais valor na água economizando e
ajudando a natureza.
- Bom: porque aprendemos a economizar água afinal água é vida.
- É muito bom, facilita o trabalho das pessoas carregarem água de longe.
- Eu acho normal a utilização de hidrômetros, mas não acho aceitável á
cobrança de água já que não possui água regularmente.
- Só é mais uma forma de “roubar” o dinheiro e os contribuintes, por que
além de ser uma água de má qualidade (suja, com gosto), ainda temos
que pagar.
Assim, é certamente perceptível que os alunos participantes da pesquisa
possuem opiniões diferentes e procuram notificar o que pensam por mais que seus
valores estejam em jogo. Uma das discussões apresentadas por alguns alunos,
expressada em uma das falas acima, relata a preocupação pela preservação da
natureza através da racionalização do consumo de água, estes apontaram ter
consciência de que é preciso poupar usufruindo sem desperdício.
Quando questionados na última questão do questionário: Dê sua opinião
sobre a mudança da cobrança da tarifa de água no município, ficou evidente nas
48
respostas dos alunos as suas preocupações quanto a economia da água e ao custo
do serviço. Veja:
- Eu concordo com a mudança da cobrança porque tem muita gente que
desperdiça muita água e não pensa que um dia a água pode acabar.
- Se a mudança da tarifa de água for para melhorar a vida das pessoas é
bom.
- Na minha opinião o aumento de tarifa de água não deveria ser cobrado
devido a falta de água em alguns lugares do município.
- Minha opinião é que a cobrança de água poderia ter uma taxa todo mês
como sempre ou uma taxa mínima que o valor não poderia ser passado.
- Acho bom, porque assim só pagamos o que usamos, apesar de muitas
pessoas não terem condições de pagar um preço auto por isso nem
sempre usam o tanto que precisam.
Esta pergunta instigou a consciência cidadã dos alunos quando
apresentam suas preocupações com a natureza, com a vida e com as pessoas
carentes. As reflexões geradas no apontamento de suas opiniões deixaram claro
que querem o melhor para todos.
Com a aplicação do questionário, podemos notar as angústias e os
prazeres dos alunos em relação à Matemática no sentido de entender o meio que
está em sua volta. Assim, com base no questionário, acreditamos que a Matemática
é vista pelo aluno de acordo com o que lhe é proporcionado, isso fica óbvio quando
os sujeitos da pesquisa inferem seu posicionamento na realidade, a partir de
conhecimentos matemáticos que possuem.
3.5.2 Da atividade de Modelagem
Após o preenchimento do questionário, solicitamos que os alunos
formassem grupos de quatro ou cinco pessoas, anunciando que realizaríamos uma
atividade (Apêndice 02) de Matemática sobre a temática questionada. Os alunos
dividiram-se em nove equipes, como dois alunos chegaram no segundo horário,
optaram por formar uma dupla para a resolução da atividade, pois se sentiram
atrasados. Então solicitamos que resolvessem as perguntas do questionário e
49
depois começassem a resolver a atividade proposta. Logo, foram formadas dez
equipes.
Ao distribuir as atividades, solicitamos aos alunos que lessem o texto que
ora haviam recebidos para depois resolver as questões. Neste momento, notamos
que alguns dos alunos não queriam ler, então fiz a leitura do texto para se
familiarizassem com o tema e que as dúvidas fossem sanadas. Após a leitura,
solicitamos que fizessem perguntas, mas não foram realizadas devido à falta de
entrosamento.
A resolução das questões começou a ser feita pelas equipes sem saber
quais conteúdos matemáticos estavam construindo; vale ressaltar que em nenhum
momento esclarecemos que o conteúdo que estávamos estudando era Função
Polinomial do 1º grau. A seguir seguem as análises das questões de acordo com o
que foi percebido durante os procedimentos realizados com a turma, em relação à
Tabela 04, referente a categoria residencial, fornecida no texto da atividade.
Consumo (m3 ou 1000 litros)
0 a 10
11 a 20
21 a 30
31 a 50
> 50
Valor (R$/m3)
(taxa mínima de 14,80)
1,45
1,88
2,34
3,26
Tabela 04: Valores a pagar em função do consumo de água.
Fonte: ARSAE (2009).
1- QUANDO UMA FAMÍLIA CONSOME 8 M3 EM UM DETERMINADO MÊS, PAGA
TARIFA DE?
Esta questão serviu para diagnosticar o entrosamento dos alunos com a
situação para saber se tinham percebido a relação da tarifa mínima de R$ 14,80
assumida como taxa para quem consome até 10 m 3 de água. Observamos que a
maioria dos alunos não tinha percebido com êxito essa informação, outros até
ficaram confusos com a tabela do texto, porém a partir de nossos esclarecimentos
eles começaram a entender o que era pra ser feito.
A totalidade das equipes acertou esta pergunta por se tratar de uma
situação que não precisou fazer cálculos, pois a interpretação do texto foi suficiente
para que fosse respondida corretamente.
50
2- UMA FAMÍLIA QUE CONSUMIR 13 M3 PAGARÁ QUE VALOR?
Ao se depararem com esta questão os alunos sentiram um pouco de
dificuldade, pois eles teriam que realizar algumas operações matemáticas
fundamentais para chegar ao resultado esperado. Nesse momento, os alunos
solicitaram que usassem as calculadoras de seus telefones móveis, pois envolviam
números decimais e eles não queriam errar. A utilização de tecnologias para o
tratamento do erro no trabalho de Modelagem Matemática, segundo Braga (2009),
possibilita uma aprendizagem de qualidade por se tratar de uma perspectiva que
facilita a coleta, o tratamento e a manipulação dos dados envolvidos na situaçãoproblema.
Apenas seis equipes conseguiram realizar as operações para chegar ao
valor de R$ 19,15 realizando o seguinte procedimento:
14,80 + 3. 1,45 = 14,80 + 4,35 = 19,15
Os alunos que não conseguiram realizar o procedimento sentiram
dificuldades para organizar o raciocínio e assim responder a questão, então
lembramos que eles poderiam fazer 10 + 3, onde pelos 10 m 3 seria paga a tarifa
mínima e pelos 3 m3 pagaria R$ 1,45 por metro cúbico.
As outras equipes acharam o valor de R$16,25 admitindo a soma da tarifa
mínima com o valor do metro cúbico de água do intervalo, ignorando os 3 m3, como
observamos a seguir
14,80 + 1.45 = 16,25
Com a resolução dessa questão notamos que a maior parte dos alunos
possui a noção de função do 1º grau que intuitivamente estavam usando quando
conseguiam realizar as operações corretamente.
3- CONSUMINDO 29000 LITROS DE ÁGUA NO MÊS, UMA FAMÍLIA PAGARÁ
QUE PREÇO?
51
A resolução dessa pergunta exigiu que os alunos soubessem fazer a
transformação de litros para m3. Para tal, conduzi os alunos a observarem na tabela
do texto as informações de que o consumo era medido em m 3 ou a cada 1000 litros
de água. Nessa ocasião, os alunos construíram uma regra de três para saber a
quantidade de m3 correspondente a 29000 litros, outros conseguiram identificar sem
fazer o procedimento.
Após verificar que o valor corresponde a 29 m3, os alunos não
conseguiam chegar ao valor da cobrança pelo consumo, pois a tabela ainda estava
um pouco confusa para eles, foi quando esclarecemos no quadro de escrever como
eles poderiam fazer quando o consumo estivesse no intervalo de 21 a 30. Assim,
apresentamos um exemplo para 27 m3, veja:
Fotografia 01: Representação de um exemplo de resolução no quadro de escrever.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
Logo, os alunos iniciaram o processo de busca do valor a pagar pela
família que tivesse o consumo especificado. Das equipes, seis fizeram da seguinte
forma:
52
Registro 01: Esboço do cálculo da tarifa pelo consumo de água.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
O valor a ser pago pelo consumo em questão é de R$ 46,22. As demais
equipes não estavam conseguindo por si só chegar ao valor indicado, visto que não
conseguiam entender mesmo com auxílio. Então, conduzimos os grupos
identificando outro exemplo
de
resolução
que foi dado
a
cada
equipe
individualmente para que chegassem ao resultado esperado. Isto proporcionou a
resolução feita pelos grupos.
4- VAMOS CONSTRUIR UMA TABELA PARA REPRESENTAR O PREÇO A SER
PAGO PELO CONSUMO DE ÁGUA. ESTABELEÇA DUAS QUANTIDADES DE M3
DE ÁGUA PARA CADA INTERVALO DE CONSUMO DA TABELA DO TEXTO.
No primeiro momento, os integrantes de algumas equipes não
conseguiram compreender que era para fazer uma relação entre a tabela do texto e
a da questão. Com isso, informamos aos membros que precisavam escolher dois
números de cada intervalo da tabela do texto e identificar na coluna “Consumo (m 3)”
da tabela abaixo e depois encontrassem os valores que eventualmente eles
poderiam pagar por aquela quantidade de água.
Tendo como base os valores disponibilizados por uma das equipes com o
propósito de identificar o processo de resolução desta questão, destacamos as
relações a seguir:
53
Registro 02: Estimativas de consumo de água e valor a pagar feitas pelos alunos.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
Notamos que os alunos identificaram corretamente as quantidades de
água visando a obtenção de valores a serem pagos pelos consumos, porém os dois
últimos valores a serem pagos foram encontrados de forma incorreta pela equipe
uma vez que estavam habituados ao intervalo de dez assim como nos anteriores. A
tabela 05 demonstra o consumo com o devido valor a pagar:
Consumo (m3)
4
8
14
17
25
28
33
39
51
65
Valor a pagar (R$)
14,80
14,80
14,80 + 4 . 1,45 =
14,80 + 5,80 = 20,60
14,80 + 7 . 1,45 =
14,80 + 10,15 = 24, 95
14,80 + 10 . 1,45 + 5 . 1,88 =
14,80 + 14,50 + 9,40 = 38,70
14,80 + 10 . 1,45+ 8 . 1,88 =
14,80 + 14,50 + 15,04 = 44,34
14,80 + 10 . 1,45+ 10 . 1,88 + 3 . 2,34 =
14,80 + 14,50 + 18,80 + 7, 02 = 55,12
14,80 + 10 . 1,45+ 10 . 1,88 + 9 . 2,34 =
14,80 + 14,50 + 18,80 + 21, 06 = 69,16
14,80 + 10 . 1,45 + 10 . 1,88 + 20 . 2,34 + 1 . 3,26=
14,80 + 14,50 + 18,80 + 46,80 + 3,26 = 98,16
14,80 + 10 . 1,45 + 10 . 1,88 + 20 . 2,34 + 15 . 3,26=
14,80 + 14,50 + 18,80 + 46,80 + 48,90 = 143,80
Tabela 05: Estimativas de consumo de água e valor a pagar.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
54
O processo de obtenção dos valores como o exemplo acima foi realizado
por todas as equipes embora algumas tenham apresentado um ou outro resultado
incorreto, contudo a premissa de estabelecer relações de variação foi alcançada
dando êxito ao trabalho da Modelagem Matemática que pretendia propiciar
significado a Matemática estudada pelos alunos.
5- REPRESENTAR ATRAVÉS DE UM GRÁFICO A RELAÇÃO (ACIMA) DE
ACORDO COM A TABELA DO TEXTO.
Entendendo que os alunos possuíam a noção de plano cartesiano devido
ao nível de escolaridade da turma, solicitei projeção de um gráfico representativo da
relação atribuindo a reta x ao consumo de água (m3) e a reta y ao valor a pagar
(R$). Sobre esse conceito matemático os alunos não tiveram dificuldades de
identificar. Nesse momento começaram perceber que se tratava de uma função. Isso
é perceptível quando um aluno relata assim:
- Quanto mais usar a água, mais alto será valor a pagar.
Biembengut & Hein (2000, p. 13) concebem que com a utilização da
Modelagem Matemática no ensino “[...] é dada ao aluno a oportunidade de estudar
situações-problemas por meio de pesquisa, desenvolvendo seu interesse e
aguçando seu senso crítico”.
Podemos perceber tal proposição quando os
componentes de nove grupos se empenharam para construir o que lhes estava
sendo requerido, porém nenhum o fez como deveria ser, pois eles fizeram levando
em consideração os dados da tabela da atividade disjuntos das informações da
tabela do texto traçando uma reta como se houvesse apenas uma única função
linear, pois não estavam habituados com representações em intervalos. A seguir
apresentamos a representação gráfica de um dos grupos:
55
Registro 03: Representação gráfica da tarifação do consumo de água feita por uma equipe.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
Como percebemos, a equipe fez um gráfico que expressa o consumo de
água de forma linear não levando em consideração o espaçamento real entre os
valores dos m3. Os alunos tiveram certas dificuldades em representar um gráfico
com intervalos diferentes, pois normalmente as aulas de funções apresentam uma
única função para ser representada em gráfico e isso não explora a ideia de que em
um mesmo plano cartesiano podem ser representados mais de uma função.
6- VOCÊ JÁ PERCEBEU QUE EXISTE UMA RELAÇÃO ENTRE DETERMINADA
QUANTIDADE DE ÁGUA E PREÇO POR M3 DE ÁGUA, CERTO. AGORA TENTE
ESCREVER
EXPRESSÕES
MATEMÁTICAS
PARA
AS
SITUAÇÕES
APRESENTADAS.
A elaboração de modelos matemáticos é um momento do processo da
Modelagem Matemática em que é feita a apropriação matemática da situação que
se objetiva modelar. Para Burak (2004, p. 03), com a Modelagem Matemática:
56
o ensino de Matemática torna-se dinâmico, mais vivo e, em conseqüência,
mais significativo para o aluno e para o grupo. Contribui para tornar mais
intensa, mais eficiente e mais eficaz a construção do conhecimento por
parte de cada aluno participante do grupo, do próprio grupo ou dos grupos,
sobre determinado conteúdo, a partir do conhecimento que cada aluno ou o
grupo já possui sobre o assunto. Isso confere maior significado ao contexto,
permitindo e favorecendo o estabelecimento de relações matemáticas, a
compreensão o significado dessas relações.
Em relação a citação, percebemos algumas das ideias de acordo com
nossa análise. Aproximando-se a hora do término das aulas os alunos ficaram
inquietos para irem embora, pois não haveria aula depois das que estávamos
ministrando, então pedimos para que eles continuassem a resolução da atividade,
porém como viram que essa questão exigia tempo alguns fizeram as outras duas
perguntas, mesmo assim seis grupos tentaram elaborar os modelos esperados por
terem visto novos significados na Matemática, pois se sentiram motivados devido ao
ambiente que a Modelagem Matemática proporcionou.
Na resolução dessa questão, os alunos já tinham percebido que o
pagamento de água é dado de acordo com o que é consumido, a atividade teve
como pressuposto que o aluno chegasse à relação y = ax + b, onde x representa a
quantidade de água consumida e y o valor a pagar, ou a uma função constante para
o primeiro intervalo dado pela tabela.
No decorrer da formulação dos modelos, observamos que os alunos não
estavam chegando a modelos que representassem a realidade estudada sendo
dispares aos cálculos utilizados pela empresa de abastecimento de água no
município, ver registro 04:
Registro 04: Esboço da elaboração de modelos não condizentes com a realidade.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
57
O registro 04 evidencia que a equipe ignorou os intervalos e acrescentou
apenas a parte fixa, no entanto, apesar do erro, demonstra reconhecimento de
função do 1º grau como uma parte variável e uma parte fixa. Desse modo,
reforçamos o exemplo exposto no texto da atividade e intervimos junto aos membros
de cada equipe para explicar detalhadamente conduzindo-os a compreenderem o
que deveriam fazer, porém, mesmo com todo estímulo e idéias, apenas dois grupos
encontraram os modelos para a situação-problema em pesquisa, observe os
modelos encontrados:
Registro 05: Esboço da elaboração de modelos condizentes com a realidade.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
No desenvolvimento dos modelos, um aluno indagou sobre os números
decimais existentes entre os intervalos, foi quando esclarecemos à turma o que
ainda não tinha sido informado, pois ainda não haviam ocorrido questionamentos
sobre tal argumento. Porém, conduzimos os alunos a identificarem os valores
fracionados no intervalo imediatamente maior, por exemplo, o consumo de 10,5 m 3
está no intervalo de 11 a 20. Embora não terem feito essa indicação em seus
modelos, notamos que entenderam o esclarecimento dado.
Portanto, queremos ressaltar que estas equipes poderiam ir mais além
quando estavam fazendo suas formulações, os estudantes poderiam ter realizado
operações com as constantes envolvidas nos modelos para o cálculo do valor a
pagar pelo consumo da água, ou seja, sintetizar, chegando às seguintes conclusões:
58
Faixa de consumo (m3 ou 1000 litros)
0  x ≤ 10
10  x ≤ 20
20  x ≤ 30
30  x ≤ 50
x  50
Relação matemática
y = 14,80
y = 1,45x + 0,30
y = 1,88x – 8,30
y = 2,34x – 22,10
y = 3,26x – 68,10
Tabela 06: Relações matemáticas ideais para a situação-problema.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009)
Com a resolução desta questão, observamos que alguns alunos
possuíam certas dificuldades em relação a reta real quando não conseguiram
identificar as propriedades entre domínio e imagem na medida em que não
conduziram os intervalos de forma adequada. As dificuldades no aprendizado dos
alunos foram sendo amenizadas na medida em que a realidade ia propiciando
experimentações
através
dos
caminhos
implementados
pela
Modelagem
Matemática. É importante ressaltar que a partir da intervenção ocorrida na
elaboração dos modelos, os alunos passaram a entender o processo de tarifação do
consumo de água com e sem hidrômetros.
Sobre o contexto da elaboração de modelos, Garding (1997, p. 09)
apresenta subsídios dizendo que “ao tentar compreender o mundo à sua volta, o
homem organiza as suas observações e idéias em estruturas conceptuais. A estas
chamamos modelos [...]” e Barbosa (2003a, p. 68) afirma que “[...] Modelagem pode
potencializar a intervenção das pessoas nos debates e nas tomadas de decisões
sociais que envolvem aplicações da matemática [...]”.
É neste aspecto que a formulação de modelos representou uma forma de
apropriação de conceitos matemáticos inerentes a realidade dos sujeitos a fim de
explicar e resolver situações-problemas do mundo real. Observamos que nem todos
conseguiram elaborar os modelos, mas conseguiram compreender a situação e
sistematizaram conhecimentos matemáticos, isso é mais importante (BASSANEZI,
2004).
7- COMO AS RELAÇÕES ENCONTRADAS SÃO CONHECIDAS?
Antes de chegarem a esta questão alguns alunos já haviam reconhecido
que a atividade tratava de Função do 1º grau ou Função Afim, expondo, por
exemplo, a variação do valor pago de acordo com o consumo. Seis equipes
59
chegaram nessa conclusão sem nossa ajuda, as outras pediram a resposta por que
não estavam conseguindo resolver a situação indagada, foi quando conduzimo-las a
observarem em seus cadernos os assuntos de Matemática e a fazerem relações
com a atividade que estavam resolvendo, então concluíram do que se tratava.
8- CALCULE O VALOR A SER PAGO PELO CONSUMO DE ÁGUA DA SUA CASA,
UTILIZANDO A EXPRESSÃO MATEMÁTICA ADEQUADA.
Os participantes dos grupos não sabiam qual o consumo de água de sua
casa, então direcionamos a escolha de um integrante para fazerem o processo de
acordo com o número de pessoas de sua casa tendo como base a estimativa
contida no folder (Anexo A) entregue a eles. Embora alguns dos alunos terem
admitido a falta de hidrômetros, não efetuarem pagamento ou serem de outro
município, demos o mesmo direcionamento a estes.
3.6.3 Do Questionário 02
Após a realização da atividade de Modelagem Matemática aplicamos um
questionário (Apêndice 03) para diagnosticar as contribuições da atividade para a
formação estudantil e cidadão dos alunos participantes do trabalho. O questionário
era disposto em 5 questões sendo 1 fechada, 3 semi-abertas e 1 aberta. É
importante ressaltar que apenas 44 alunos realizaram esta etapa da nossa
programação.
Com a aplicação do questionário destacamos as contribuições da
atividade para a aprendizagem dos alunos e para a compreensão do processo de
cobrança de tarifa do consumo de água. Com isso, foi perguntado inicialmente: A
atividade desenvolvida proporcionou melhoria na sua aprendizagem em
Matemática? A freqüência das respostas dos alunos é dada através do Gráfico 06:
60
Gráfico 06: A visão dos alunos sobre a contribuição da atividade para sua aprendizagem matemática.
Fonte: Pesquisa de campo (2009).
Os alunos que responderam sim correspondem a 88,64% da classe, os
outros atribuíram que a atividade não contribuiu para sua aprendizagem ou esta foi
feita de forma parcial quando alguns fizeram ao lado das alternativas a opção “Mais
ou menos”.
Para evidenciar as contribuições para a aprendizagem matemática
durante a realização da atividade, concordamos com Machado Jr. (2005, p.17)
quando diz que:
apresentar uma proposta que atenda as novas demandas de ensino,
ajude a transformar o aluno em co-responsável pelo desenvolvimento
atividades curriculares, engajado no processo de ensino e
aprendizagem, motivado a aprender a aprender e transformar-se
cidadão é um desafio que se impõe à escola hoje, agora.
que
das
de
em
De acordo com a concepção do autor, fica evidente que a Modelagem
Matemática é uma vertente de ensino para a sociedade atual onde formar cidadãos
é uma meta comum da Educação através de mudanças de concepções na medida
em que a Matemática faça da aprendizagem matemática uma aprendizagem social.
“Portanto, o conhecimento matemático apresenta um potencial de grande
aplicabilidade na construção da cidadania e que deve ser explorado da forma mais
ampla possível” (SOARES & SCHEIDE, 2004, p. 05).
Sabemos que a maioria dos alunos daquela turma não possuía muita
afinidade com estudos de matemática, a pergunta O desenvolvimento da atividade
influenciou em suas concepções sobre a Matemática? Comente. foi lançada
61
tendo em vista as contribuições da atividade, de Modelagem Matemática, em suas
concepções acerca da disciplina.
Gráfico 07: Influência da atividade nas concepções dos alunos acerca da Matemática.
Fonte: Pesquisa de campo (2009).
A maioria da turma (81,82%) identificou a opção “Sim” para evidenciar
que a atividade tinha, de alguma forma, influenciado em seu modo de conceber a
Matemática, como demonstrado nas seguintes frases:
- Por que me ensinou mais sobre matemática e me fez ver como não é
tão ruim.
- Por que ensina a desenvolver o conhecimento em matemática de uma
forma que vivenciamos em nosso dia-a-dia.
- Porque eu pude refletir mais sobre o que o professor vinha passando
durante a semana.
- Sim, me influenciou para que eu seja uma pessoa mais atenta e
inteligente.
Neste ponto, verificamos que a concepção de que a matemática é algo
pronto e acabado foi desmitificada devido ao processo estimulante e motivador da
Modelagem Matemática a qual orientou os alunos a verem aplicações da
matemática na abordagem de situações cotidianas em forma de modelos que as
explicam.
62
Os alunos que opinaram por não haver contribuições são equivalentes a
13,64% e 4,54% admitiram a opção “mais ou menos” criada por quem assim
considerou. Suas respostas a esta questão foram expressas em alguns dos
comentários descritos abaixo:
- Minha concepção sobre matemática é a mesma.
- Eu continuo não gostando da Matemática, dá muito trabalho.
- Porque eu não gosto de matemática nem um pouco.
- Porque matemática não entra na minha cabeça.
- Podemos não gostar de matemática mas ela faz parte de nossa vida.
Na última fala listada acima, um dos alunos alega não gostar de
matemática, talvez por um histórico de como foi apresentada durante sua jornada
estudantil, tendo uma visão formada, porém o estudante deixa bem claro na opinião
dada que ela faz parte da vida diária de todos. Mendes (2009) afirma que o que se
ensina e como se ensina são pontos que influenciam de forma decisiva nas
concepções de Matemática.
Quando perguntamos se De acordo com as atividades de Matemática
foi possível entender o processo de cobrança da tarifação do consumo de
água no município? Por quê? os alunos, quase a totalidade, responderam que sim
estando representados no gráfico 09, correspondendo a 95,46%, já os demais
4,54% responderam não terem compreendido o processo de cobrança da tarifa de
água.
Gráfico 08: Frequência da compreensão do processo de tarifação.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
63
Em relação às opiniões dos alunos sobre o entendimento do processo
realizado pela empresa responsável pelo abastecimento de água no município,
percebemos que ficou expressamente estabelecido que o trabalho de Modelagem
Matemática realizado em sala de aula gerou investigações em relação aos conceitos
matemáticos e cotidianos dos sujeitos participantes, enfatizadas nas frases de
alguns educandos assim:
- Por que com isso iremos regular o consumo de água, e entender como
funciona o relógio.
- Porque esse processo de cobrança é para mostrar para o consumidor o
tanto que ele gasta em sua residência.
- Sim por que, eu não sabia como era cobrada a taxa de água e agora eu
aprendi como é feito esse processo.
- Por que, dessa maneira poderemos fazer esses cálculos em casa, e
assim ver o que gastamos durante o mês.
Ao
perguntarmos
aos
participantes
se
concordavam
com
os
procedimentos que tinham estudado respondendo a situação: A partir dos
esclarecimentos, você concorda com a forma de cobrança da água em São
Miguel do Guamá? Justifique.
Gráfico 09: Frequência de alunos que concordam com o processo de cobrança da água consumida.
Fonte: Pesquisa de Campo (2009).
- De todos os tipos de cobrança até hoje esse foi o melhor, o mais justo...
64
- Não que seja sim, mais é uma forma de evitar o desperdício de água.
- Não concordo pelo motivo de não ter um bom abastecimento de água no
município para ser cobrada.
- Sim por que com esta forma podemos economizar mais e pagar menos
pela tarifa de água.
- Se água for bem tratada e limpa é uma justa cobrança.
O mais interessante nas respostas dadas a pergunta não foi saber que
72,72% concordam, 25% não concorda e 2,27% concorda em partes e sim as
respostas dadas pelos alunos pela convergencia de suas ideias pensando na
qualidade de vida da população local ou até mesmo da humanidade, pois alguns
apontam seus argumentos à pessoas carentes, à economia da água e de dinheiro
ou à qualidade de vida dos consumidores. Para suscitar as frases dos alunos ao
responderem a indagação, concordamos com Caldeira (2009, p.38) quando alega
que:
O conhecimento matemático adotado pela cultura escolar incorporado pelos
pressupostos da Modelagem Matemática, não mais simplesmente como um
método de ensino-aprendizagem, mas como uma concepção de educação
matemática que incorpore proposições matemáticas advindas das
interações sociais, levando em consideração, também, aspectos da cultura
matemática não escolar, deverá fazer com que o estudante perceba a
necessidade do enfrentamento da sua realidade, lutar contra ela se
necessário for; romper com determinadas amarras e com as adaptações a
que comumente estão acostumados a lidar [...].
Quando os alunos foram solicitados a dar suas sugestões, escrever suas
dúvidas e apontar críticas sobre a água e seu consumo no município, apresentaramse bastante entusiasmados, pois declaram que muitas foram as contribuições do
nosso trabalho para aquela turma.
- No meu ponto de vista a empresa ENDICOM tinha que melhorar o seu
serviço no município por que tem pessoas que não têm acesso a água
potável, mas devido essas críticas a empresa tende a melhorar. A forma
de cobrança está excelente por que está ajudando o nosso planeta, e
está ajudando não desperdiçar água.
65
- No meu ponto de vista as pessoas deveriam pensar mais no futuro e
diminuir o gasto de água; em muitos casos há pessoas que reclamam por
água saudável, então foi bom esse projeto de hidrômetro.
- A água que eu possuo todo dia é muito ruim, é amarelada tem um gosto
péssimo o cheiro é de ferrugem, á água tem que mudar, tem que ser uma
água boa para eles cobrarem, o que adianta termos água ruim e pagar
tão caro isso não pode eles tem que compreeder já que estamovs
pagando a água deve ser melhorada para a população.
- Gostei da atividade, porque nela aprendemos como ocorre o processo
de contação da tarifa de água e eu achei esse processo justo, porque tem
algumas pessoas que pensam de outra maneira, só porque não
conhecem o processo.
Com as respostas dos alunos, podemos dizer que o trabalho contribuiu
satisfatoriamente para a formação dos mesmos como cidadões críticos e ativos
perante a realidade na qual estão inseridos atualmente, numa sociedade que exige
conhecimentos para viver de forma justa, igualitária e humana, pois, de acordo com
a prática desenvolvida, os estudantes refletiram sobre o papel da Matemática no
contexto apresentado, isto pode ser notado quando os alunos fazem referência a
economia de água, a preocupação com as pessoas carentes, a saúde, a qualidade
da água e o valor a ser pago pelo consumo.
66
CONSIDERAÇÕES FINAIS
A realização deste trabalho evidenciou a utilização da Modelagem
Matemática no ensino-aprendizagem da Matemática buscando trazer à tona a
necessidade de constituir novas práticas no ambiente escolar onde a Matemática
apresentou contribuições para o entendimento e solução de situações-problemas
presentes no dia-a-dia dos alunos participantes da pesquisa.
No decorrer da realização deste estudo foi possível verificar como a
Matemática na perspectiva da Modelagem Matemática contribui para a formação
das pessoas tornando-as ativas perante a sociedade. Neste sentido, a investigação
apresentou resultados colaboradores para que iniciativas como estas sejam
utilizadas no ensino.
Através das falas e escritas dos alunos durante o ambiente gerado,
percebemos que, de maneira geral, estes personagens compreenderam a
matemática e a situação-problema uma vez que proporcionou recursos para a
compreensão da realidade em que os alunos estavam inseridos. Portanto, a
estratégia metodológica da Modelagem Matemática suscitou um ambiente de
socialização de pontos de vista, sugestões, críticas, opiniões e conceitos
matemáticos na medida em que os alunos inferiam seus conhecimentos para
aprender matemática e compreender o dia-a-dia.
Neste aspecto, o alunado participante da pesquisa investigou neste
ambiente de ensino no qual buscavam sua aprendizagem. Isto é evidenciado pela
interação vivenciada entre os alunos participantes, a situação-problema e os
pesquisadores quando o objetivo era resolver a atividade no sentido de proporcionar
o reconhecimento da Matemática na sociedade.
Assim, com este trabalho constatamos que a abordagem da Modelagem
Matemática no ensino de Matemática torna a aprendizagem de conteúdos
matemáticos mais significativa e motivadora. As discussões, considerações e
reflexões e os resultados produzidos durante todo o desenvolvimento da pesquisa
vêm subsidiar o contexto da Educação, em singular o da Educação Matemática,
onde os professores são os principais responsáveis pelo sistema educacional, mas
não os principais personagens.
Durante a realização do nosso trabalho, algumas dificuldades foram
encontradas quando se objetivou trabalhar Modelagem Matemática em sala de aula,
67
um dos principais obstáculos a ser apontado é a questão do tempo que não fora
disponibilizado por que a pesquisa foi feita próximo ao período de avaliações da
escola. Outra dificuldade a ser comentada foi a indisponibilidade de alguns alunos
em não participar ativamente do processo, pois não estavam interessados no
desenvolvimento das atividades já que não fazia parte da avaliação. Ainda
queremos destacar que a elaboração de modelos não foi feita por todos, pois alguns
alunos apresentaram dificuldades durante a resolução da atividade de Modelagem
Matemática em relação ao conteúdo que estava sendo estudado.
A experiência desenvolvida verificou que, de acordo com Blum (1995
apud BARBOSA, 2003a, p. 03), a Modelagem Matemática contribui para a
aprendizagem matemática quando: os alunos sentiram-se estimulados devido à
motivação proporcionada nos estudos; houve uma facilitação da aprendizagem de
idéias matemáticas através da interlocução com outros assuntos; a preparação para
utilizar a matemática em diferentes áreas foi exposta no uso da matemática no
cotidiano; a investigação possibilitou o desenvolvimento de habilidades gerais de
exploração; a compreensão do papel sócio-cultural da matemática foi explorada de
forma a mostrar a matemática nas relações sociais.
No sentido de contribuir com as pesquisas sobre a Modelagem
Matemática enquanto estratégia de ensino e aprendizagem, acreditamos ter
aprendido com a experiência onde colocamos em prática conhecimentos
matemáticos e pedagógicos tendo em vista um ensino diferenciado para um
aprendizado
contextualizado,
onde
o
desenvolvimento matemático, e vice-versa.
fenômeno
apresentado
ajudou
no
68
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SP: Papirus, 1994. – (Série “Educação Internacional” do Instituto Paulo Freire)
74
APÊNDICES
75
APÊNDICE A – QUESTIONÁRIO DE PESQUISA PRÉ-ATIVIDADE
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
NÚCLEO DE SÃO MIGUEL DO GUAMÁ – CAMPUS XI
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
Caro aluno (a), este questionário faz parte da pesquisa do meu Trabalho de
Conclusão de Curso para obtenção do grau em Licenciatura Plena em Matemática
pela Universidade do Estado do Pará - UEPA. Ao contribuir com esta pesquisa,
responda de forma sincera, pois desta condição dependerá a veracidade das
informações apresentadas. Este trabalho está sendo realizado sob a orientação da
Prof.ª M.Sc. Roberta Modesto Braga. Desde já agradeço sua colaboração.
José Sávio Bicho de Oliveira
1- Você gosta de estudar Matemática?
( ) Sim
( ) Não
2- As aulas de Matemática são realizadas envolvendo situações do seu cotidiano?
( ) Sempre
( ) Às vezes
( ) Nunca
3- Em sua opinião, a Matemática é importante para a compreensão da realidade?
Por quê?
( ) Sim
( ) Não
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4- Atualmente, o abastecimento de água de sua residência é feito de que forma?
( ) poço
( ) encanada sem hidrômetro (“relógio”)
( ) encanada com hidrômetro
( ) outra: _______________________
5- Qual a sua opinião sobre o atual sistema de abastecimento de água em São
Miguel do Guamá?
( ) ótimo
( ) bom
( ) regular
( ) ruim
6- Quais formas de desperdício de água você pratica e/ou presencia em seu dia-adia?
( ) escovar os dentes com a torneira aberta
( ) lavar o carro com mangueiras e não com baldes
( ) dar mais de uma descarga no banheiro
( ) se ensaboar deixando o chuveiro ligado
( ) lavar louça com a torneira sempre ligada
( ) gotejamento, vazamento e infiltrações
( ) outra:_________________________________
7- O que você acha sobre a utilização de hidrômetros no abastecimento de água no
município?
8- Dê sua opinião sobre a mudança da cobrança da tarifa de água no município.
76
APÊNDICE B – ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA
HIDRÔMETROS EM SÃO
MIGUEL DO GUAMÁ
Disciplina: Matemática
Data: 09/12/09
Equipe: ___________________
1- ________________________
2- ________________________
3- ________________________
4- ________________________
5- ________________________
77
HIDRÔMETROS EM SÃO MIGUEL DO
GUAMÁ
Por muito tempo o serviço de
abastecimento de água de São Miguel do
Guamá foi fornecido pelo Serviço de
Abastecimento de Água e Esgoto - S.A.A.E.
que cobrava uma taxa única de R$ 11,00. O
tratamento de água oferecido pela empresa,
segundo moradores, não era muito bom devido
aos seguintes fatos: água enferrujada
(ferrugem bactéria); pouca vazão de água;
entre outros.
Muito além desses problemas, a falta de conscientização das pessoas
sobre a economia de água era o que mais preocupava as autoridades na medida
em que o desperdício era feito constantemente por “não” haver conseqüências que
incomodassem diretamente as vidas dos moradores do município, pois, como
sabemos, era cobrada uma taxa fixa.
Em 2009, a Prefeitura Municipal de São Miguel do Guamá decidiu
privatizar o serviço através de uma licitação (concurso de propostas) para promover
um melhor abastecimento de água à população guamaense. Como resultado
desse processo, a ENDICON Engenharia de Instalações e Construções LTDA
passou a ser a concessionária do serviço de abastecimento da água, a qual é
supervisionada pela ARSEA (Assessoria de Regularização do Serviço de Água e
Esgoto).
Com esta nova medida, o consumo de água pela população de nosso
município passou a ser medido por hidrômetros, aparelho comumente chamado de
medidor ou relógio de água, onde é realizada a leitura para a cobrança da água
consumida no mês. A cobrança é feita a partir da diferença da leitura do mostrador
do hidrômetro do mês anterior pelo mês atual. Essa situação tem gerado alguns
maus entendidos pela população por não entender como é realizado o processo de
cobrança das tarifas.
Perante o contrato estabelecido pela empresa e o órgão fiscalizador, os
valores das tarifas de consumo de água são feitos de acordo com três categorias:
residencial social; residencial; comercial, industrial, pública. De acordo com os dados
disponibilizados pela ARSEA, em dezembro de 2009, o valor a pagar pelo consumo
de água na categoria residencial é feito de acordo com a tabela abaixo:
Consumo (m3 ou 1000 litros)
0 a 10
11 a 20
21 a 30
31 a 50
> 50
Valor (R$/m3)
(taxa mínima de 14,80)
1,45
1,88
2,34
3,26
É considerável afirmar que a tarifa mínima a ser paga é de R$ 14,80, ou
seja, quando o consumo for inferior a 10 metros cúbicos de água deve ser pago a
tarifa mínima. O cálculo realizado pela empresa é estabelecido a partir dos intervalos
de consumo sendo cobrados os excedentes, veja: quem consome até 10 m 3 paga a
tarifa mínima, a partir disso é cobrada a taxa de R$ 1,45 por metro cúbico até
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completar 20 m3. Isso é feito para todos os intervalos de consumo. Assim, por
exemplo, se em uma residência o consumo for de 27 metros cúbicos, os moradores
pagarão 10 m3 no valor da tarifa mínima mais 10 no valor de R$1,45 e 7 no valor de
R$1,88 totalizado R$42,46 de tarifa.
Nesse sentido, vamos resolver as situações apresentadas a seguir para
compreendermos como é feita a cobrança das tarifas de consumo de água que
chegam mensalmente às casas da população do nosso município.
1- Quando uma família consome 8 m3 em um determinado mês, paga tarifa de?
2- Uma família que consumir 13 m3 pagará que valor?
3- Consumindo 29000 litros de água no mês, uma família pagará que preço?
4- Vamos construir uma tabela para representar o preço a ser pago pelo consumo
de água. Estabeleça duas quantidades de m 3 de água para cada intervalo de
consumo da tabela do texto.
Consumo (m3)
Valor a pagar (R$)
5- Representar através de um gráfico a relação (acima) de acordo com a tabela do
texto.
6- Você já percebeu que existe uma relação entre determinada quantidade de água
e preço por m3 de água, certo. Agora tente escrever expressões matemáticas para
as situações apresentadas.
7- Como as relações encontradas são conhecidas?
8 – Calcule o valor a ser pago pelo consumo de água da sua casa, utilizando a
expressão matemática adequada.
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APÊNDICE C – QUESTIONÁRIO DE PESQUISA PÓS-ATIVIDADE
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
NÚCLEO DE SÃO MIGUEL DO GUAMÁ – CAMPUS XI
CURSO DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA
Caro aluno (a), este questionário faz parte da pesquisa do meu Trabalho de
Conclusão de Curso para obtenção do grau em Licenciatura Plena em Matemática
pela Universidade do Estado do Pará - UEPA. Ao contribuir com esta pesquisa,
responda de forma sincera, pois desta condição dependerá a veracidade das
informações apresentadas. Este trabalho está sendo realizado sob a orientação da
Prof.ª M.Sc. Roberta Modesto Braga. Desde já agradeço sua colaboração.
José Sávio Bicho de Oliveira
1- A atividade desenvolvida proporcionou melhoria na sua aprendizagem em
Matemática?
( ) Sim
( ) Não
2- O desenvolvimento da atividade influenciou em suas concepções sobre a
Matemática? Comente.
( ) Sim
( ) Não
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3- De acordo com as atividades de Matemática foi possível entender o processo de
cobrança da tarifação do consumo de água no município? Por quê?
( ) Sim
( ) Não
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4- A partir dos esclarecimentos, você concorda com a forma de cobrança da água
em São Miguel do Guamá? Justifique.
( ) Sim
( ) Não
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5- No espaço abaixo expresse seu ponto de vista, dê sugestões, escreva suas
dúvidas e aponte críticas sobre a água e seu consumo no município.
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ANEXOS
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ANEXO A–CARTILHA DO HIDRÔMETRO FORNECIDA PELA EDICON
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83
Universidade do Estado do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
Curso de Licenciatura Plena em Matemática
Núcleo de São Miguel do Guamá – Campus XI
Rua Antônio Carlos de Lima S/N
68660-000, São Miguel do Guamá - PA